Der Logarithmus der Einheit zu jeder Basis ist gleich. Logarithmische Einheit und logarithmische Null. Definition der Logarithmusfunktion

Der Logarithmus einer Zahl N aus grund a heißt Exponent X , auf die Sie erhöhen müssen a um die Nummer zu bekommen N

Unter der Vorraussetzung, dass
,
,

Aus der Definition des Logarithmus folgt, dass
, d.h.
- diese Gleichheit ist die grundlegende logarithmische Identität.

Logarithmen zur Basis 10 werden Dezimallogarithmen genannt. Anstatt
schreiben
.

Basislogarithmen e heißen natürlich und bezeichnet
.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

Logarithmus der Einheit in einer beliebigen Basis Null

Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe die Logarithmen der Faktoren.

3) Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen

Faktor
wird der Übergangsmodul von Logarithmen an der Basis genannt a zu Logarithmen an der Basis b .

Mit den Eigenschaften 2-5 ist es oft möglich, den Logarithmus eines komplexen Ausdrucks auf das Ergebnis einfacher arithmetischer Operationen mit Logarithmen zu reduzieren.

Zum Beispiel,

Solche Transformationen des Logarithmus heißen Logarithmen. Reziproke Transformationen von Logarithmen nennt man Potenzierung.

Kapitel 2. Elemente der höheren Mathematik.

1. Grenzen

Funktionsgrenze
ist eine endliche Zahl A, wenn, beim Streben xx 0 für jeden vorgegebenen
, es gibt eine Nummer
das sobald
, dann
.

Eine Funktion, die einen Grenzwert hat, unterscheidet sich davon um einen infinitesimalen Betrag:
, wobei - b.m.w., d.h.
.

Beispiel. Betrachten Sie die Funktion
.

Beim Streben
, Funktion j geht auf null:

1.1. Grundlegende Sätze über Grenzen.

Die Grenze eines konstanten Werts ist gleich diesem konstanten Wert

.

Der Grenzwert der Summe (Differenz) endlich vieler Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert eines Produkts endlich vieler Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte dieser Funktionen, wenn der Grenzwert des Nenners ungleich Null ist.

Bemerkenswerte Grenzen

,
, wo

1.2. Beispiele für Grenzwertberechnungen

Allerdings werden nicht alle Limits so einfach berechnet. Häufiger wird die Berechnung des Limits auf die Offenlegung der Typunsicherheit reduziert: oder .

.

2. Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns eine Funktion haben
, kontinuierlich auf dem Segment
.

Streit bekam etwas Auftrieb
. Dann wird die Funktion inkrementiert
.

Argumentwert entspricht dem Wert der Funktion
.

Argumentwert
entspricht dem Wert der Funktion .

Somit, .

Lassen Sie uns den Grenzwert dieser Beziehung bei finden
. Wenn dieser Grenzwert existiert, wird er als Ableitung der gegebenen Funktion bezeichnet.

Definition der 3. Ableitung einer gegebenen Funktion
durch argument wird die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments genannt, wenn das Inkrement des Arguments willkürlich gegen Null geht.

Ableitung der Funktion
kann wie folgt bezeichnet werden:

; ; ; .

Definition 4Die Operation zum Finden der Ableitung einer Funktion wird aufgerufen Differenzierung.

2.1. Die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Betrachten Sie die geradlinige Bewegung eines starren Körpers oder materiellen Punktes.

Irgendwann lassen bewegender Punkt
war auf Distanz aus der Startposition
.

Nach einiger Zeit
sie bewegte sich ein Stück weit
. Attitüde =- Durchschnittsgeschwindigkeit materieller Punkt
. Finden wir die Grenze dieses Verhältnisses unter Berücksichtigung dessen
.

Folglich reduziert sich die Bestimmung der momentanen Geschwindigkeit eines materiellen Punktes auf die Bestimmung der Ableitung der Bahn nach der Zeit.

2.2. geometrischer Wert Derivat

Angenommen, wir haben eine grafisch definierte Funktion
.

Reis. 1. Die geometrische Bedeutung der Ableitung

Wenn ein
, dann der Punkt
, bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt
.

Somit
, d.h. der Wert der Ableitung bei gegebenem Wert des Arguments numerisch gleich dem Tangens des Winkels, den die Tangente an einem gegebenen Punkt mit der positiven Richtung der Achse bildet
.

2.3. Tabelle der grundlegenden Differenzierungsformeln.

Power-Funktion

Exponentialfunktion

Logarithmische Funktion

Trigonometrische Funktion

Umgekehrte trigonometrische Funktion

2.4. Abgrenzungsregeln.

Ableitung von

Ableitung der Summe (Differenz) von Funktionen

Ableitung des Produkts zweier Funktionen

Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

2.5. Ableitung von komplexe Funktion.

Lassen Sie die Funktion
so dass es dargestellt werden kann

und
, wobei die Variable ist also ein Zwischenargument

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der gegebenen Funktion nach dem Zwischenargument durch die Ableitung des Zwischenarguments nach x.

Beispiel 1.

Beispiel2.

3. Funktionsdifferential.

Lass es sein
, differenzierbar in einem gewissen Intervall
Loslassen beim Diese Funktion hat eine Ableitung

,

dann kannst du schreiben

(1),

wo - eine unendlich kleine Menge,

denn bei

Multiplikation aller Gleichheitsterme (1) mit
wir haben:

Woher
- b.m.v. Auftrag von oben.

Wert
heißt Differential der Funktion
und bezeichnet

.

3.1. Der geometrische Wert des Differentials.

Lassen Sie die Funktion
.

Abb.2. Die geometrische Bedeutung des Differentials.

.

Offensichtlich das Differential der Funktion
ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an dem gegebenen Punkt.

3.2. Derivate und Differentiale verschiedener Ordnungen.

Wenn es gibt
, dann
heißt erste Ableitung.

Die Ableitung der ersten Ableitung heißt Ableitung zweiter Ordnung und wird geschrieben
.

Ableitung n-ter Ordnung der Funktion
heißt Ableitung der Ordnung (n-1) und lautet:

.

Das Differential des Differentials einer Funktion wird als zweites Differential oder Differential zweiter Ordnung bezeichnet.

.

.

3.3 Lösen biologischer Probleme durch Differenzieren.

Aufgabe 1. Studien haben gezeigt, dass das Wachstum einer Kolonie von Mikroorganismen dem Gesetz gehorcht
, wo N – Anzahl der Mikroorganismen (in Tausend), t – Zeit (Tage).

b) Wird die Bevölkerung der Kolonie in diesem Zeitraum zunehmen oder abnehmen?

Antworten. Die Kolonie wird an Größe zunehmen.

Aufgabe 2. Das Wasser im See wird regelmäßig getestet, um den Gehalt an pathogenen Bakterien zu kontrollieren. Durch t Tage nach dem Test wird die Bakterienkonzentration durch das Verhältnis bestimmt

.

Wann wird die Mindestkonzentration an Bakterien im See erreicht und es wird möglich sein, darin zu schwimmen?

Lösung Eine Funktion erreicht Maximum oder Minimum, wenn ihre Ableitung Null ist.

,

Lassen Sie uns bestimmen, ob das Maximum oder Minimum in 6 Tagen sein wird. Dazu nehmen wir die zweite Ableitung.

Antwort: Nach 6 Tagen ist eine minimale Bakterienkonzentration vorhanden.

1.1. Bestimmung des Grads für einen ganzzahligen Exponenten

X1 = X
X2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N Mal

1.2. Null Grad.

Per Definition ist es üblich anzunehmen, dass die Nullpotenz einer beliebigen Zahl gleich 1 ist:

1.3. negativer Grad.

X-N = 1/XN

1.4. Bruchexponent, Wurzel.

X 1/N = N-te Wurzel von X.

Zum Beispiel: X 1/2 = √X.

1.5. Die Formel für das Addieren von Potenzen.

X(N+M) = XN * XM

1.6 Formel zum Subtrahieren von Graden.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Formel zur Potenzmultiplikation.

XN*M = (XN)M

1.8. Die Formel zur Potenzierung eines Bruchs.

(X/Y)N = XN/YN

2. Nummer z.

Der Wert der Zahl e ist gleich der folgenden Grenze:

E = lim(1+1/N), da N → ∞.

Mit einer Genauigkeit von 17 Stellen ist die Zahl e 2,71828182845904512.

3. Eulersche Gleichheit.

Diese Gleichheit verbindet fünf Zahlen, die in der Mathematik eine besondere Rolle spielen: 0, 1, die Zahl e, die Zahl Pi, die imaginäre Einheit.

E(i*pi) + 1 = 0

4. Exponentialfunktion exp (x)

exp(x) = e x

5. Ableitung der Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft: Die Ableitung einer Funktion ist gleich sich selbst Exponentialfunktion:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logarithmus.

6.1. Definition der Logarithmusfunktion

Wenn x = b y , dann ist der Logarithmus die Funktion

Y = Logb(x).

Der Logarithmus zeigt, um wie viel es notwendig ist, eine Zahl zu erhöhen - die Basis des Logarithmus (b), um eine bestimmte Zahl (X) zu erhalten. Die Logarithmusfunktion ist für X größer Null definiert.

Beispiel: Protokoll 10 (100) = 2.

6.2. Dezimaler Logarithmus

Dies ist der Logarithmus zur Basis 10:

Y = Protokoll 10 (x) .

Bezeichnet Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Anwendungsbeispiel dezimaler Logarithmus- Dezibel.

6.3. Dezibel

Artikel wird auf einer separaten Seite hervorgehoben Dezibel

6.4. binärer Logarithmus

Dies ist der Logarithmus zur Basis 2:

Y = Log2(x).

Bezeichnet mit Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. natürlicher Logarithmus

Dies ist der Logarithmus zur Basis e:

Y = Loge(x) .

Bezeichnet mit Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Natürlicher Logarithmus - Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion exp(X).

6.6. charakteristische Punkte

Loga(1) = 0
Log a(a) = 1

6.7. Die Formel für den Logarithmus des Produkts

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Die Formel für den Logarithmus des Quotienten

Protokoll a (x/y) = Protokoll a (x) - Protokoll a (y)

6.9. Formel für den Potenzlogarithmus

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formel zur Umrechnung in einen Logarithmus mit anderer Basis

Protokoll b (x) = (Protokoll a (x)) / Protokoll a (b)

Beispiel:

Protokoll 2 (8) = Protokoll 10 (8) / Protokoll 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formeln, die im Leben nützlich sind

Oft gibt es Probleme bei der Umrechnung von Volumen in Fläche oder Länge, und das umgekehrte Problem ist die Umrechnung von Fläche in Volumen. Zum Beispiel werden Bretter in Würfeln (Kubikmeter) verkauft, und wir müssen berechnen, wie viel Wandfläche mit Brettern ummantelt werden kann, die in einem bestimmten Volumen enthalten sind, siehe Berechnung von Brettern, wie viele Bretter in einem Würfel sind. Oder, die Abmessungen der Wand sind bekannt, es ist notwendig, die Anzahl der Ziegel zu berechnen, siehe Ziegelberechnung.

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Wie Sie wissen, addieren sich beim Multiplizieren von Ausdrücken mit Potenzen ihre Exponenten immer (a b * a c = a b + c). Dieses mathematische Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet, und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle mit ganzzahligen Indikatoren. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Anwendungsbeispiele für diese Funktion finden sich fast überall dort, wo es darum geht, umständliche Multiplikationen zu einfachen Additionen zu vereinfachen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie Sie damit arbeiten. Einfache und zugängliche Sprache.

Definition in der Mathematik

Der Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, d. h. der Logarithmus jeder nicht negativen Zahl (d. h. jeder positiven Zahl) „b“ in ihrer Basis „a“ wird als Potenz von „c“ betrachtet. , zu der die Basis "a" erhoben werden muss, damit am Ende der Wert "b" entsteht. Analysieren wir den Logarithmus anhand von Beispielen, sagen wir, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist sehr einfach, Sie müssen einen solchen Abschluss finden, dass Sie von 2 bis zum erforderlichen Abschluss 8 erhalten. Nachdem Sie einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das zu Recht, denn 2 hoch 3 ergibt die Zahl 8 in der Antwort.

Sorten von Logarithmen

Für viele Schüler und Studenten scheint dieses Thema kompliziert und unverständlich zu sein, aber in Wirklichkeit sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich an ihre Eigenschaften und einige Regeln zu erinnern. Dort sind drei bestimmte Typen logarithmische Ausdrücke:

1. Natürlicher Logarithmus ln a, dessen Basis die Euler-Zahl ist (e = 2,7).
2. Dezimal a, wobei die Basis 10 ist.
3. Der Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen wird auf eine standardmäßige Weise gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduzierung und anschließender Reduzierung auf einen Logarithmus unter Verwendung von logarithmischen Theoremen. Um die korrekten Werte von Logarithmen zu erhalten, sollte man sich bei ihren Entscheidungen an ihre Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen erinnern.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regelbeschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie sind nicht diskussionswürdig und wahr. Zum Beispiel können Sie Zahlen nicht durch Null teilen, und es ist auch unmöglich, eine gerade Wurzel daraus zu ziehen negative Zahlen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:

• die Basis "a" muss immer größer als Null und gleichzeitig ungleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, weil "1" und "0" in jedem Maße immer gleich ihren Werten sind;
• wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass "c" größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wurde die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x \u003d 100 zu finden. Es ist sehr einfach, Sie müssen eine solche Potenz wählen und die Zahl zehn erhöhen, auf die wir 100 erhalten. Dies ist natürlich 10 2 \u003d 100.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck nun logarithmisch darstellen. Wir erhalten log 10 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen darauf, den Grad zu finden, in dem die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten.

Um den Wert eines unbekannten Grads genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit einer Gradtabelle umzugehen. Es sieht aus wie das:

Wie Sie sehen können, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über eine technische Denkweise und Kenntnisse des Einmaleins verfügen. Allerdings z große Werte Sie brauchen eine Gradtabelle. Es kann sogar von denen verwendet werden, die in komplexen mathematischen Themen überhaupt nichts verstehen. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe ist der Wert der Potenz c, zu der die Zahl a erhoben wird. An der Kreuzung in den Zellen werden die Werte der Zahlen ermittelt, die die Antwort sind (a c = b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, erhalten wir den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der echteste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten Bedingungen der Exponent der Logarithmus ist. Daher können alle mathematischen Zahlenausdrücke als logarithmische Gleichung geschrieben werden. Zum Beispiel kann 3 4 = 81 als Logarithmus von 81 zur Basis 3 geschrieben werden, was vier ist (log 3 81 = 4). Für negative Potenzen gelten die gleichen Regeln: 2 -5 = 1/32 schreiben wir als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema "Logarithmen". Wir werden Beispiele und Lösungen von Gleichungen etwas weiter unten betrachten, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Ein Ausdruck der folgenden Form ist gegeben: log 2 (x-1) > 3 - es ist logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert "x" unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gesuchten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (z. B. der Logarithmus von 2 x = √9) einen oder mehrere bestimmte numerische Werte in der Antwort implizieren, während beim Lösen von Ungleichungen eine Fläche definiert wird zulässige Werte, und die Unstetigkeitspunkte dieser Funktion. Folglich ist die Antwort keine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Lösung der Gleichung, sondern eine fortlaufende Reihe oder Menge von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Beim Lösen primitiver Aufgaben zum Ermitteln der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später mit Beispielen für Gleichungen vertraut machen, lassen Sie uns zuerst jede Eigenschaft genauer analysieren.

1. Die grundlegende Identität sieht so aus: a logaB =B. Es gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins, und B größer als null ist.
2. Der Logarithmus des Produkts lässt sich in folgender Formel darstellen: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Voraussetzung ist in diesem Fall: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Du kannst einen Beweis für diese Logarithmenformel geben, mit Beispielen und einer Lösung. Seien log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2 , dann a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1+f2 (Gradeigenschaften ) und weiter per Definition: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was zu beweisen war.
3. Der Logarithmus des Quotienten sieht so aus: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Der Satz in Form einer Formel hat folgende Form: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird "Eigenschaft des Grades des Logarithmus" genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und es ist nicht überraschend, da alle Mathematik auf regelmäßigen Postulaten beruht. Schauen wir uns den Beweis an.

Lassen Sie log a b \u003d t, es stellt sich heraus, dass a t \u003d b. Potenziert man beide Teile mit m: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n , also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmusproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie sind in fast allen Aufgabenheften zu finden und gehören auch zum Pflichtteil von Klausuren in Mathematik. Um eine Universität zu besuchen oder einen Aufnahmetest in Mathematik zu bestehen, müssen Sie wissen, wie man solche Aufgaben richtig löst.

Leider gibt es keinen einzelnen Plan oder Schema zum Lösen und Bestimmen des unbekannten Werts des Logarithmus, jedoch können bestimmte Regeln auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung angewendet werden. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder reduziert werden kann Gesamtansicht. Sie können lange logarithmische Ausdrücke vereinfachen, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig verwenden. Lernen wir sie bald kennen.

Bei der Entscheidung logarithmische Gleichungen, ist es notwendig zu bestimmen, welche Art von Logarithmus wir vor uns haben: Ein Beispiel für einen Ausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass Sie bestimmen müssen, inwieweit die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Für Lösungen Natürliche Logarithmen man muss logarithmische Identitäten oder deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung logarithmischer Probleme verschiedener Typen an.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: Mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Anwendung der Hauptsätze auf Logarithmen an.

1. Die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen eine Erweiterung erforderlich ist sehr wichtig Zahlen b in einfachere Faktoren. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - wie Sie sehen können, ist es uns mit der vierten Eigenschaft des Grads des Logarithmus gelungen, auf den ersten Blick einen komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Es muss lediglich die Basis faktorisiert werden und anschließend die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus genommen werden.

Aufgaben aus der Klausur

Logarithmen finden sich oft in Aufnahmeprüfungen, besonders viele logarithmische Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen (Staatsexamen für alle Schulabgänger). Normalerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten Testteil Prüfung), sondern auch in Teil C (die schwierigsten und umfangreichsten Aufgaben). Die Prüfung setzt eine genaue und perfekte Kenntnis des Themas „Natürliche Logarithmen“ voraus.

Beispiele und Problemlösungen sind amtlichen entnommen USE-Optionen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2 , durch die Definition des Logarithmus erhalten wir, dass 2x-1 = 2 4 , also 2x = 17; x = 8,5.

• Alle Logarithmen werden am besten auf die gleiche Basis reduziert, damit die Lösung nicht umständlich und verwirrend wird.
• Alle Ausdrücke unter dem Vorzeichen des Logarithmus werden als positiv angezeigt. Wenn Sie also den Exponenten des Exponenten des Ausdrucks herausnehmen, der unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht und als Basis dient, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.

Heute werden wir darüber sprechen logarithmische Formeln und demonstrieren Lösungsbeispiele.

Sie implizieren für sich genommen Lösungsmuster gemäß den grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen. Bevor wir die Logarithmusformeln auf die Lösung anwenden, erinnern wir uns für Sie zunächst an alle Eigenschaften:

Basierend auf diesen Formeln (Eigenschaften) zeigen wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen basierend auf Formeln.

Logarithmus Eine positive Zahl b zur Basis a (als log a b bezeichnet) ist der Exponent, auf den a erhöht werden muss, um b zu erhalten, mit b > 0, a > 0 und 1.

Nach der Definition log a b = x, was äquivalent zu a x = b ist, also log a a x = x.

Logarithmen, Beispiele:

log 2 8 = 3, weil 2 3 = 8

log 7 49 = 2 weil 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, weil 5 -1 = 1/5

Dezimaler Logarithmus ist ein gewöhnlicher Logarithmus, dessen Basis 10 ist. Bezeichnet als lg.

log 10 100 = 2 weil 10 2 = 100

natürlicher Logarithmus- auch der übliche Logarithmus-Logarithmus, aber mit der Basis e (e \u003d 2,71828 ... - eine irrationale Zahl). Wird als ln bezeichnet.

Es ist wünschenswert, sich die Formeln oder Eigenschaften von Logarithmen zu merken, da wir sie später beim Lösen von Logarithmen, logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen benötigen. Lassen Sie uns jede Formel noch einmal mit Beispielen durcharbeiten.

• Grundlegende logarithmische Identität
  ein Protokoll ein b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Eigenschaften des Grades einer logarithmierbaren Zahl und der Basis des Logarithmus

  Der Exponent einer logarithmischen Zahl log a b m = mlog a b

  Exponent der Basis des Logarithmus log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  wenn m = n, erhalten wir log a n b n = log a b

  Log 4 9 = Log 2 2 3 2 = Log 2 3

• Übergang in eine neue Stiftung
  log a b = log c b / log c a,

  wenn c = b, erhalten wir log b b = 1

  dann log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Wie Sie sehen können, sind die Logarithmusformeln nicht so kompliziert, wie sie scheinen. Nachdem wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen betrachtet haben, können wir zu logarithmischen Gleichungen übergehen. Wir werden Beispiele für die Lösung logarithmischer Gleichungen im Artikel genauer betrachten: "". Nicht verpassen!

Wenn Sie noch Fragen zur Lösung haben, schreiben Sie diese in die Kommentare zum Artikel.

Hinweis: entschieden, eine Ausbildung einer anderen Klasse im Ausland als Option zu absolvieren.

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein – kein einziges ernsthaftes Problem wird ohne sie gelöst. Logarithmisches Problem. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log a x und protokollieren a j. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. Protokoll a x+log a j= anmelden a (x · j);
2. Protokoll a x−log a j= anmelden a (x : j).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Beachten Sie: Schlüsselmoment hier - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen bei der Berechnung logarithmischer Ausdruck auch wenn seine Einzelteile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Protokoll 6 4 + Protokoll 6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Basierend auf dieser Tatsache, viele Prüfungsunterlagen. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Das ist leicht zu sehen letzte Regel folgt den ersten beiden. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
Log 7 49 6 = 6 Log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

[Bilderüberschrift]

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Wir haben:

[Bilderüberschrift]

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben dieselbe Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Lass den Logarithmus loggen a x. Dann für eine beliebige Zahl c so dass c> 0 und c≠ 1 gilt die Gleichheit:

[Bilderüberschrift]

Insbesondere, wenn wir setzen c = x, wir bekommen:

[Bilderüberschrift]

Aus der zweiten Formel folgt, dass man die Basis und das Argument des Logarithmus vertauschen kann, aber in diesem Fall wird der ganze Ausdruck „umgedreht“, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen zu finden numerische Ausdrücke. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

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Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

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Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

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Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall die Nummer n wird zum Exponenten des Arguments. Anzahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es wird die grundlegende logarithmische Identität genannt.

In der Tat, was wird passieren, wenn die Nummer b damit an die Macht erheben b insofern ergibt sich eine Zahl a? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

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Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

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Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Prüfungsaufgabe :)

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. Protokoll a a= 1 ist die logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Protokoll a 1 = 0 ist logarithmisch Null. Base a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Weil a 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.