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So finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion. Funktionsextreme

Mit diesem Service ist das möglich finden Sie die größten und kleinster Wert Funktionen eine Variable f(x) mit dem Entwurf der Lösung in Word. Wenn die Funktion f(x,y) gegeben ist, ist es daher notwendig, das Extremum der Funktion zweier Variablen zu finden. Sie können auch die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion finden.

Eingaberegeln für Funktionen:

Eine notwendige Bedingung für ein Extremum einer Funktion einer Variablen

Die Gleichung f" 0 (x *) = 0 ist notwendige Bedingung Extremum einer Funktion einer Variablen, d.h. an der Stelle x * muss die erste Ableitung der Funktion verschwinden. Es wählt stationäre Punkte x c aus, an denen die Funktion nicht zunimmt oder abnimmt.

Eine hinreichende Bedingung für ein Extremum einer Funktion einer Variablen

Sei f 0 (x) zweimal differenzierbar bezüglich x, das zur Menge D gehört. Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Dann ist der Punkt x * der Punkt des lokalen (globalen) Minimums der Funktion.

Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Dieser Punkt x * ist ein lokales (globales) Maximum.

Beispiel 1. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion: auf dem Segment .
Entscheidung.

Der kritische Punkt ist eins x 1 = 2 (f'(x)=0). Dieser Punkt gehört zum Segment . (Der Punkt x=0 ist unkritisch, da 0∉).
Wir berechnen die Werte der Funktion an den Enden des Segments und am kritischen Punkt.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Antwort: f min = 5 / 2 für x=2; f max = 9 bei x = 1

Beispiel #2. Finde unter Verwendung von Ableitungen höherer Ordnung das Extremum der Funktion y=x-2sin(x) .
Entscheidung.
Finde die Ableitung der Funktion: y’=1-2cos(x) . Finden wir die kritischen Punkte: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Wir finden y''=2sin(x), berechnen , also sind x= π / 3 +2πk, k∈Z die Minimalpunkte der Funktion; , also x=- π / 3 +2πk, k∈Z sind die Maxima der Funktion.

Beispiel #3. Untersuchen Sie die Extremumfunktion in der Nähe des Punktes x=0.
Entscheidung. Hier ist es notwendig, die Extrema der Funktion zu finden. Wenn das Extremum x=0 ist, dann finde seinen Typ heraus (Minimum oder Maximum). Wenn unter den gefundenen Punkten kein x = 0 ist, dann berechne den Wert der Funktion f(x=0).
Es sei darauf hingewiesen, dass, wenn die Ableitung auf jeder Seite eines gegebenen Punktes ihr Vorzeichen nicht ändert, die möglichen Situationen auch für differenzierbare Funktionen nicht erschöpft sind: Es kann vorkommen, dass für eine beliebig kleine Nachbarschaft auf einer Seite des Punktes x 0 oder auf beiden Seiten wechselt die Ableitung das Vorzeichen. An diesen Stellen muss man andere Methoden anwenden, um Funktionen auf ein Extremum zu untersuchen.

Wie findet man die größten und kleinsten Werte einer Funktion auf einem Segment?

Dafür Wir folgen dem bekannten Algorithmus:

1 . Wir finden odz-Funktionen.

2 . Bestimmung der Ableitung einer Funktion

3 . Setze die Ableitung mit Null gleich

4 . Wir finden die Intervalle, in denen die Ableitung ihr Vorzeichen behält, und bestimmen daraus die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion:

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} nimmt in diesem Intervall zu.

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion , dann die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.

5 . Wir finden Maximal- und Minimalpunkte der Funktion.

BEIM der Funktionshöchstpunkt, die Ableitung wechselt das Vorzeichen von "+" nach "-".

BEIM Minimalpunkt der FunktionAbleitung ändert das Vorzeichen von "-" nach "+".

6 . Wir finden den Wert der Funktion an den Enden des Segments,

dann vergleichen wir den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Maximalpunkten, und Wählen Sie die größte davon, wenn Sie den größten Wert der Funktion finden müssen
oder wir vergleichen den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Minimalpunkten, und Wählen Sie die kleinste davon, wenn Sie den kleinsten Wert der Funktion finden müssen

Je nachdem, wie sich die Funktion auf dem Intervall verhält, kann dieser Algorithmus jedoch erheblich reduziert werden.

Betrachten Sie die Funktion . Der Graph dieser Funktion sieht so aus:

Betrachten wir einige Beispiele für die Lösung von Problemen aus der Open Task Bank für

ein . Aufgabe B15 (#26695)

Auf den Schnitt.

1. Die Funktion ist für alle reellen Werte von x definiert

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, und die Ableitung ist für alle Werte von x positiv. Daher steigt die Funktion an und nimmt am rechten Ende des Intervalls, also bei x=0, den größten Wert an.

Antwort: 5.

2 . Aufgabe B15 (Nr. 26702)

Finden Sie den größten Wert einer Funktion auf dem Segment.

1.ODZ-Funktion title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Die Ableitung ist bei Null, ändert jedoch an diesen Stellen nicht das Vorzeichen:

Daher ist title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} steigt und nimmt den größten Wert am rechten Ende des Intervalls an, bei .

Um zu verdeutlichen, warum die Ableitung ihr Vorzeichen nicht ändert, formen wir den Ausdruck für die Ableitung wie folgt um:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Antwort: 5.

3 . Aufgabe B15 (#26708)

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion im Intervall .

1. ODZ-Funktionen: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Lassen Sie uns die Wurzeln dieser Gleichung auf einem trigonometrischen Kreis platzieren.

Das Intervall enthält zwei Zahlen: und

Lassen Sie uns die Schilder aufstellen. Dazu bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung an der Stelle x=0: . Beim Durchlaufen der Punkte ändert auch die Ableitung das Vorzeichen.

Stellen wir den Vorzeichenwechsel der Ableitung der Funktion auf der Koordinatenlinie dar:

Offensichtlich ist der Punkt ein Minimalpunkt (wo die Ableitung das Vorzeichen von "-" zu "+" ändert), und um den kleinsten Wert der Funktion auf dem Segment zu finden, müssen Sie die Funktionswerte bei vergleichen Minimalpunkt und am linken Ende des Segments, .

Aus praktischer Sicht ist die Verwendung der Ableitung am interessantesten, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu finden. Womit ist es verbunden? Gewinne maximieren, Kosten minimieren, die optimale Auslastung der Ausrüstung bestimmen ... Mit anderen Worten, in vielen Lebensbereichen muss man das Problem lösen, einige Parameter zu optimieren. Und das ist das Problem, den größten und kleinsten Wert der Funktion zu finden.

Es sei darauf hingewiesen, dass der größte und kleinste Wert einer Funktion normalerweise in einem bestimmten Intervall X gesucht wird, das entweder der gesamte Bereich der Funktion oder ein Teil des Bereichs ist. Das Intervall X selbst kann ein Liniensegment, ein offenes Intervall sein , ein unendliches Intervall .

In diesem Artikel werden wir explizit über das Finden der größten und kleinsten Werte sprechen. gegebene Funktion eine Variable y=f(x) .

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Der größte und kleinste Wert einer Funktion - Definitionen, Illustrationen.

Lassen Sie uns kurz auf die wichtigsten Definitionen eingehen.

Der größte Wert der Funktion , was für alle die Ungleichung ist wahr.

Der kleinste Wert der Funktion y=f(x) auf dem Intervall X heißt ein solcher Wert , was für alle die Ungleichung ist wahr.

Diese Definitionen sind intuitiv: Der größte (kleinste) Wert einer Funktion ist der größte (kleinste) Wert, der im betrachteten Intervall mit der Abszisse akzeptiert wird.

Stationäre Punkte sind die Werte des Arguments, bei denen die Ableitung der Funktion verschwindet.

Warum brauchen wir stationäre Punkte, um die größten und kleinsten Werte zu finden? Die Antwort auf diese Frage liefert der Satz von Fermat. Aus diesem Satz folgt: Wenn eine differenzierbare Funktion irgendwann ein Extremum (lokales Minimum oder lokales Maximum) hat, dann ist dieser Punkt stationär. Daher nimmt die Funktion oft ihren maximalen (kleinsten) Wert auf dem Intervall X an einem der stationären Punkte aus diesem Intervall an.

Auch kann eine Funktion oft die größten und kleinsten Werte an Stellen annehmen, an denen die erste Ableitung dieser Funktion nicht existiert, und die Funktion selbst definiert ist.

Lassen Sie uns gleich eine der häufigsten Fragen zu diesem Thema beantworten: "Ist es immer möglich, den größten (kleinsten) Wert einer Funktion zu bestimmen"? Nein nicht immer. Manchmal fallen die Grenzen des Intervalls X mit den Grenzen des Definitionsbereichs der Funktion zusammen, oder das Intervall X ist unendlich. Und einige Funktionen im Unendlichen und an den Grenzen des Definitionsbereichs können sowohl unendlich große als auch unendlich kleine Werte annehmen. In diesen Fällen kann nichts über den größten und kleinsten Wert der Funktion gesagt werden.

Zur Verdeutlichung geben wir eine grafische Darstellung. Schauen Sie sich die Bilder an - und vieles wird deutlich.

Auf dem Segment

In der ersten Abbildung nimmt die Funktion die größten (max y ) und kleinsten (min y ) Werte an stationären Punkten innerhalb des Segments [-6;6] an.

Betrachten Sie den in der zweiten Abbildung gezeigten Fall. Ändern Sie das Segment in . In diesem Beispiel wird der kleinste Wert der Funktion an einem stationären Punkt und der größte an einem Punkt erreicht, dessen Abszisse der rechten Grenze des Intervalls entspricht.

In Abbildung Nr. 3 sind die Randpunkte des Segments [-3; 2] die Abszissen der Punkte, die dem größten und kleinsten Wert der Funktion entsprechen.

Im offenen Bereich

In der vierten Abbildung nimmt die Funktion die größten (max y ) und kleinsten (min y ) Werte an stationären Punkten innerhalb des offenen Intervalls (-6;6) an.

Über das Intervall lassen sich keine Rückschlüsse auf den größten Wert ziehen.

Im Unendlichen

In dem in der siebten Abbildung gezeigten Beispiel nimmt die Funktion den größten Wert (max y ) an einem stationären Punkt mit der Abszisse x=1 an, und der kleinste Wert (min y ) wird am rechten Rand des Intervalls erreicht. Bei minus unendlich nähern sich die Werte der Funktion asymptotisch y=3 .

Auf dem Intervall erreicht die Funktion weder den kleinsten noch den größten Wert. Da x=2 nach rechts tendiert, tendieren die Funktionswerte gegen minus unendlich (die Gerade x=2 ist eine vertikale Asymptote), und da die Abszisse gegen plus unendlich tendiert, nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y=3 . Eine grafische Darstellung dieses Beispiels ist in Abbildung 8 dargestellt.

Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion auf dem Segment.

Wir schreiben einen Algorithmus, der es uns ermöglicht, den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment zu finden.

Wir finden den Definitionsbereich der Funktion und prüfen, ob er das gesamte Segment enthält.
Wir finden alle Punkte, an denen die erste Ableitung nicht existiert und die im Segment enthalten sind (normalerweise kommen solche Punkte in Funktionen mit einem Argument unter dem Modulzeichen und in vor Machtfunktionen mit einem gebrochenen rationalen Exponenten). Wenn es keine solchen Punkte gibt, fahren Sie mit dem nächsten Punkt fort.
Wir bestimmen alle stationären Punkte, die in das Segment fallen. Dazu setzen wir es mit Null gleich, lösen die resultierende Gleichung und wählen die passenden Wurzeln. Wenn es keine stationären Punkte gibt oder keiner von ihnen in das Segment fällt, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.
Wir berechnen die Werte der Funktion an den ausgewählten stationären Punkten (falls vorhanden), an Punkten, an denen die erste Ableitung nicht existiert (falls vorhanden), und auch bei x=a und x=b .
Aus den erhaltenen Werten der Funktion wählen wir den größten und den kleinsten aus - sie sind die gewünschten maximalen bzw. kleinsten Werte der Funktion.

Lassen Sie uns den Algorithmus analysieren, wenn Sie ein Beispiel zum Auffinden der größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem Segment lösen.

Beispiel.

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

auf dem Segment;
im Intervall [-4;-1] .

Entscheidung.

Der Definitionsbereich der Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme von Null, also . Beide Segmente fallen in den Definitionsbereich.

Wir finden die Ableitung der Funktion nach:

Offensichtlich existiert die Ableitung der Funktion an allen Punkten der Segmente und [-4;-1] .

Stationäre Punkte werden aus der Gleichung bestimmt. Die einzige echte Wurzel ist x=2 . Dieser stationäre Punkt fällt in das erste Segment.

Für den ersten Fall berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des Segments und an einem stationären Punkt, also für x=1 , x=2 und x=4 :

Daher der größte Wert der Funktion wird bei x=1 erreicht und dem kleinsten Wert – bei x=2 .

Für den zweiten Fall berechnen wir die Werte der Funktion nur an den Enden des Segments [-4;-1] (da es keine stationären Punkte enthält):

Der Prozess, den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf einem Segment zu finden, erinnert an einen faszinierenden Flug um ein Objekt (einen Graphen einer Funktion) mit einem Hubschrauber, bei dem an bestimmten Punkten aus einer Langstreckenkanone geschossen und ausgewählt wird Diese Punkte sind ganz besondere Punkte für Kontrollschüsse. Punkte werden auf eine bestimmte Weise und nach bestimmten Regeln ausgewählt. Nach welchen Regeln? Wir werden darüber weiter sprechen.

Wenn die Funktion j = f(x) kontinuierlich auf dem Segment [ a, b] , dann gelangt es auf dieses Segment am wenigsten und höchste Werte . Dies kann entweder in passieren Extrempunkte oder an den Enden des Segments. Daher zu finden am wenigsten und die größten Werte der Funktion , kontinuierlich auf dem Segment [ a, b] , müssen Sie seine Werte insgesamt berechnen kritische Punkte und an den Enden des Segments, und wählen Sie dann das kleinste und größte davon aus.

Beispielsweise ist es erforderlich, den Maximalwert der Funktion zu bestimmen f(x) auf dem Segment [ a, b] . Finden Sie dazu alle kritischen Punkte, die auf [ liegen a, b] .

kritischer Punkt heißt der Punkt, an dem Funktion definiert, und sie Derivat entweder Null ist oder nicht existiert. Dann sollten Sie die Werte der Funktion an kritischen Stellen berechnen. Und schließlich sollte man die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments vergleichen ( f(a) und f(b) ). Die größte dieser Zahlen wird sein der größte Wert der Funktion im Intervall [a, b] .

Das Problem des Findens die kleinsten Werte der Funktion .

Wir suchen gemeinsam den kleinsten und den größten Wert der Funktion

Beispiel 1. Finde den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 2] .

Entscheidung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion. Gleichen Sie die Ableitung mit Null () und erhalten Sie zwei kritische Punkte: und . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, reicht es aus, ihre Werte an den Enden des Segments und am Punkt zu berechnen , da der Punkt nicht zum Segment gehört [-1, 2] . Diese Funktionswerte sind die folgenden: , , . Es folgt dem kleinster Funktionswert(in der Grafik unten rot markiert), gleich -7, wird am rechten Ende des Segments erreicht - am Punkt , und größte(auch rot in der Grafik), ist gleich 9,- am kritischen Punkt .

Wenn die Funktion in einem bestimmten Intervall stetig ist und dieses Intervall kein Segment ist (sondern beispielsweise ein Intervall ist; der Unterschied zwischen einem Intervall und einem Segment: Die Randpunkte des Intervalls werden nicht in das Intervall aufgenommen, sondern die Randpunkte des Segments sind im Segment enthalten), dann gibt es unter den Werten der Funktion möglicherweise nicht den kleinsten und den größten. So ist beispielsweise die in der Abbildung unten dargestellte Funktion auf ]-∞, +∞[ stetig und hat nicht den größten Wert.

Für jedes Intervall (geschlossen, offen oder unendlich) gilt jedoch die folgende Eigenschaft stetiger Funktionen.

Beispiel 4. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 3] .

Entscheidung. Die Ableitung dieser Funktion finden wir als Ableitung des Quotienten:

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was uns einen kritischen Punkt gibt: . Es gehört zum Intervall [-1, 3] . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, finden wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Vergleichen wir diese Werte. Fazit: gleich -5/13, an der Spitze und der größte Wert gleich 1 am Punkt .

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach dem kleinsten und größten Wert der Funktion

Es gibt Lehrer, die beim Thema, den kleinsten und größten Wert einer Funktion zu finden, den Schülern keine komplizierteren Beispiele als die gerade betrachteten geben, dh solche, bei denen die Funktion ein Polynom oder ein Bruch ist, der Zähler und deren Nenner Polynome sind. Aber wir werden uns nicht auf solche Beispiele beschränken, da es unter den Lehrern Liebhaber gibt, die Schüler zum vollständigen Denken zu bringen (Tabelle der Ableitungen). Daher werden der Logarithmus und die trigonometrische Funktion verwendet.

Beispiel 6. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Entscheidung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion als Derivat des Produkts :

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was einen kritischen Punkt ergibt: . Es gehört zum Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, finden wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Das Ergebnis aller Aktionen: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich 0, an einem Punkt und an einem Punkt und der größte Wert gleicht e² , an der Stelle .

Beispiel 7. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Entscheidung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion:

Gleichsetzen Sie die Ableitung mit Null:

Der einzige kritische Punkt gehört zum Segment . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, finden wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Fazit: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich , am Punkt und der größte Wert, gleich , an dem Punkt .

Bei angewandten Extremalproblemen wird das Finden der kleinsten (größten) Funktionswerte in der Regel auf das Finden des Minimums (Maximums) reduziert. Aber nicht die Minima oder Maxima selbst sind von größerem praktischem Interesse, sondern die Werte des Arguments, bei denen sie erreicht werden. Bei der Lösung angewandter Probleme entsteht eine zusätzliche Schwierigkeit - die Zusammenstellung von Funktionen, die das betrachtete Phänomen oder den betrachteten Prozess beschreiben.

Beispiel 8 Ein Tank mit einem Fassungsvermögen von 4, der die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche hat und oben offen ist, muss verzinnt sein. Wie groß sollte der Tank sein, um ihn mit möglichst wenig Material abzudecken?

Entscheidung. Lassen x- Bodenseite h- Tankhöhe, S- seine Oberfläche ohne Abdeckung, v- sein Volumen. Die Oberfläche des Tanks wird durch die Formel ausgedrückt , d.h. ist eine Funktion zweier Variablen. Ausdrücken S als Funktion einer Variablen verwenden wir die Tatsache, dass , woher . Ersetzen des gefundenen Ausdrucks h in die Formel für S:

Untersuchen wir diese Funktion für ein Extremum. Sie ist überall in ]0, +∞[ , und definiert und differenzierbar

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich () und finden den kritischen Punkt. Außerdem existiert bei , die Ableitung nicht, aber dieser Wert ist nicht im Definitionsbereich enthalten und kann daher kein Extremum sein. Also, - der einzige kritische Punkt. Lassen Sie uns anhand des zweiten auf das Vorhandensein eines Extremums prüfen ausreichendes Zeichen. Finden wir die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung größer als Null ist (). Das heißt, wenn die Funktion ein Minimum erreicht . Weil das Minimum - das einzige Extremum dieser Funktion, es ist ihr kleinster Wert. Die Seite des Tankbodens sollte also 2 m und seine Höhe betragen.

Beispiel 9 Aus Absatz EIN, an der Bahnlinie gelegen, auf den Punkt Mit, davon entfernt l, Waren müssen transportiert werden. Die Kosten für den Transport einer Gewichtseinheit pro Entfernungseinheit auf der Schiene betragen , auf der Autobahn . Bis zu welchem Punkt M Linien Eisenbahn Eine Autobahn sollte gebaut werden, damit der Warentransport ab SONDERN in Mit war am sparsamsten AB Eisenbahn wird als gerade angenommen)?

Lassen Sie die Funktion y=f(X) kontinuierlich auf dem Segment [ ein, b]. Bekanntlich erreicht eine solche Funktion auf diesem Intervall ihren Maximal- und Minimalwert. Die Funktion kann diese Werte entweder an einem inneren Punkt des Segments annehmen [ ein, b] oder an der Grenze des Segments.

Um die größten und kleinsten Werte einer Funktion auf dem Segment zu finden [ ein, b] notwendig:

1) Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion im Intervall ( ein, b);

2) Berechnen Sie die Werte der Funktion an den gefundenen kritischen Punkten;

3) Berechnen Sie die Werte der Funktion an den Enden des Segments, das heißt, z x=a und x = b;

4) Wählen Sie aus allen berechneten Werten der Funktion den größten und den kleinsten aus.

Beispiel. Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

auf dem Segment.

Kritische Punkte finden:

Diese Punkte liegen innerhalb des Segments; j(1) = ‒ 3; j(2) = ‒ 4; j(0) = ‒ 8; j(3) = 1;

am Punkt x= 3 und an der Stelle x= 0.

Untersuchung einer Funktion für Konvexität und Wendepunkt.

Funktion j = f (x) namens konvex zwischen (a, b) , wenn sein Graph unter einer Tangente liegt, die an irgendeinem Punkt dieses Intervalls gezogen wird, und heißt konvex nach unten (konkav) wenn sein Graph über der Tangente liegt.

Der Punkt am Übergang, durch den die Konvexität durch die Konkavität oder umgekehrt ersetzt wird, wird genannt Wendepunkt.

Algorithmus zum Studium der Konvexität und des Wendepunkts:

1. Finden Sie die kritischen Punkte zweiter Art, also die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich Null ist oder nicht existiert.

2. Setzen Sie kritische Punkte auf den Zahlenstrahl und unterteilen Sie ihn in Intervalle. Finde das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall; wenn , dann ist die Funktion nach oben konvex, wenn, dann ist die Funktion nach unten konvex.

3. Ändert sie beim Durchlaufen eines kritischen Punktes zweiter Art das Vorzeichen und ist an dieser Stelle die zweite Ableitung gleich Null, so ist dieser Punkt die Abszisse des Wendepunktes. Finde seine Ordinate.

Asymptoten des Graphen einer Funktion. Untersuchung einer Funktion in Asymptoten.

Definition. Die Asymptote des Graphen einer Funktion heißt gerade, die die Eigenschaft hat, dass der Abstand von jedem Punkt des Graphen zu dieser Linie bei unbegrenzter Entfernung des Graphenpunkts vom Ursprung gegen Null geht.

Es gibt drei Arten von Asymptoten: vertikal, horizontal und geneigt.

Definition. Direkt angerufen vertikale Asymptote Funktionsgraph y = f(x), wenn mindestens einer der einseitigen Grenzwerte der Funktion an dieser Stelle gleich unendlich ist, d.h

wo ist der Unstetigkeitspunkt der Funktion, dh sie gehört nicht zum Definitionsbereich.

Beispiel.

D( j) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - Sollbruchstelle.

Definition. Gerade y=EIN namens horizontale Asymptote Funktionsgraph y = f(x) bei , wenn

Beispiel.

x
j

Definition. Gerade y=kx +b (k≠ 0) aufgerufen schräge Asymptote Funktionsgraph y = f(x) bei , wo

Allgemeines Schema für das Studium von Funktionen und Plotten.

Funktionsforschungsalgorithmusy = f(x) :

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion D (j).

2. Finde (wenn möglich) die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen (mit x= 0 und bei j = 0).

3. Untersuche gerade und ungerade Funktionen ( j (‒ x) = j (x) ‒ Parität; j(‒ x) = ‒ j (x) ‒ seltsam).

4. Finden Sie die Asymptoten des Graphen der Funktion.

5. Finde Intervalle der Monotonie der Funktion.

6. Finden Sie die Extrema der Funktion.

7. Finden Sie die Intervalle der Konvexität (Konkavität) und Wendepunkte des Graphen der Funktion.

8. Erstellen Sie auf der Grundlage der durchgeführten Forschung einen Graphen der Funktion.

Beispiel. Untersuchen Sie die Funktion und zeichnen Sie ihren Graphen.

1) D (j) =

x= 4 - Bruchpunkt.

2) Wann x = 0,

(0; – 5) – Schnittpunkt mit oy.

Beim j = 0,

3) j(‒ x)= Funktion Gesamtansicht(weder gerade noch ungerade).

4) Wir untersuchen nach Asymptoten.

a) vertikal

b) waagrecht

c) Finde schiefe Asymptoten wo

‒schiefe Asymptotengleichung

5) In dieser Gleichung ist es nicht erforderlich, Intervalle der Monotonie der Funktion zu finden.

Diese kritischen Punkte unterteilen den gesamten Definitionsbereich der Funktion auf das Intervall (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) und (10; +∞). Es ist zweckmäßig, die erhaltenen Ergebnisse in Form der folgenden Tabelle darzustellen.