Notwendige und hinreichende Bedingung für die Beugung einer Funktion. Intervalle der Konvexität und Konkavität des Graphen einer Funktion

Wenn wir eine Funktion untersuchen und ihren Graphen konstruieren, bestimmen wir in einer der Phasen die Wendepunkte und Konvexitätsintervalle. Diese Daten zusammen mit den Anstiegs- und Abfallintervallen ermöglichen es uns, den Graphen der untersuchten Funktion schematisch darzustellen.

Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass Sie bis zu einer bestimmten Reihenfolge auch verschiedene Typen kennen.

Beginnen wir das Studium des Materials mit den notwendigen Definitionen und Konzepten. Als nächstes äußern wir die Beziehung zwischen dem Wert der zweiten Ableitung einer Funktion in einem bestimmten Intervall und der Richtung ihrer Konvexität. Lassen Sie uns danach zu den Bedingungen übergehen, die es uns ermöglichen, die Wendepunkte des Funktionsgraphen zu bestimmen. Im Text geben wir typische Beispiele mit ausführlichen Lösungen.

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Konvexität, Konkavität einer Funktion, Wendepunkt.

Definition.

konvex nach unten auf dem X-Intervall, wenn sein Graph an keinem Punkt des X-Intervalls niedriger als die Tangente an ihn liegt.

Definition.

Die differenzierbare Funktion wird aufgerufen konvex nach oben auf dem X-Intervall, wenn sein Graph an keinem Punkt des X-Intervalls höher als die Tangente an ihn liegt.

Eine nach oben konvexe Funktion wird oft aufgerufen konvex, und konvex nach unten - konkav.

Sehen Sie sich die Zeichnung an, die diese Definitionen illustriert.

Definition.

Der Punkt wird aufgerufen Wendepunkt des Graphen der Funktion y \u003d f (x), wenn es an einem bestimmten Punkt eine Tangente an den Funktionsgraphen gibt (sie kann parallel zur Oy-Achse sein) und es eine solche Nachbarschaft des Punktes gibt, innerhalb dessen links und rechts des Punktes M hat der Funktionsgraph verschiedene Richtungen Ausbuchtungen.

Mit anderen Worten, der Punkt M wird als Wendepunkt des Graphen einer Funktion bezeichnet, wenn an diesem Punkt eine Tangente liegt und der Graph der Funktion die Richtung der Konvexität ändert, indem er durch sie hindurchgeht.

Sehen Sie sich gegebenenfalls den Abschnitt an, um sich an die Bedingungen für das Vorhandensein einer nicht vertikalen und einer vertikalen Tangente zu erinnern.

Die folgende Abbildung zeigt einige Beispiele für Wendepunkte (mit roten Punkten markiert). Beachten Sie, dass einige Funktionen möglicherweise keine Wendepunkte haben, während andere einen, mehrere oder unendlich viele Wendepunkte haben können.

Finden der Konvexitätsintervalle einer Funktion.

Wir formulieren einen Satz, mit dem wir die Intervalle der Konvexität einer Funktion bestimmen können.

Satz.

Wenn die Funktion y=f(x) eine endliche zweite Ableitung auf dem Intervall X hat und wenn die Ungleichung (), dann hat der Graph der Funktion eine Konvexität, die auf X nach unten (oben) gerichtet ist.

Mit diesem Satz können Sie die Intervalle der Konkavität und Konvexität einer Funktion finden, Sie müssen nur die Ungleichungen bzw. den Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion lösen.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Punkte, an denen die Funktion y = f(x) definiert ist und die zweite Ableitung nicht existiert, in die Intervalle der Konkavität und Konvexität aufgenommen werden.

Lassen Sie uns dies an einem Beispiel behandeln.

Beispiel.

Finden Sie die Intervalle, in denen der Graph der Funktion hat eine nach oben gerichtete Konvexität und eine nach unten gerichtete Konvexität.

Entscheidung.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Gesamtheit der reellen Zahlen.

Finden wir die zweite Ableitung.

Der Definitionsbereich der zweiten Ableitung fällt mit dem Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion zusammen. Um die Intervalle der Konkavität und Konvexität herauszufinden, reicht es daher aus, bzw. zu lösen.

Daher ist die Funktion auf dem Intervall nach unten konvex und auf dem Intervall nach oben konvex.

Grafische Darstellung.

Ein Teil des Diagramms der Funktion im konvexen Intervall ist blau dargestellt, im konkaven Intervall rot.

Betrachten Sie nun ein Beispiel, bei dem der Definitionsbereich der zweiten Ableitung nicht mit dem Definitionsbereich der Funktion übereinstimmt. In diesem Fall sollten, wie bereits erwähnt, die Punkte des Definitionsbereichs, an denen es keine endliche zweite Ableitung gibt, in die Intervalle der Konvexität und (oder) Konkavität aufgenommen werden.

Beispiel.

Finden Sie die Intervalle der Konvexität und Konkavität des Funktionsgraphen.

Entscheidung.

Beginnen wir mit dem Funktionsumfang:

Finden wir die zweite Ableitung:

Der Definitionsbereich der zweiten Ableitung ist die Menge . Wie Sie sehen, liegt x=0 im Bereich der ursprünglichen Funktion, aber nicht im Bereich der zweiten Ableitung. Vergessen Sie diesen Punkt nicht, er muss in das Intervall der Konvexität und (oder) Konkavität aufgenommen werden.

Jetzt lösen wir die Ungleichungen und auf dem Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion. Zutreffend . Ausdruckszähler geht auf null an oder , Nenner - bei x = 0 oder x = 1 . Wir tragen diese Punkte schematisch auf dem Zahlenstrahl ein und finden das Vorzeichen des Ausdrucks in jedem der Intervalle heraus, die im Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion enthalten sind (dies wird durch den schraffierten Bereich auf dem unteren Zahlenstrahl angezeigt). Ein positiver Wert ist ein Pluszeichen, ein negativer Wert ein Minuszeichen.

Auf diese Weise,

und

Daher erhalten wir die Antwort, indem wir den Punkt x=0 einbeziehen.

Beim der Graph der Funktion hat eine nach unten gerichtete Konvexität, mit - Wölbung nach oben gerichtet.

Grafische Darstellung.

Ein Teil des Graphen der Funktion auf dem konvexen Intervall ist blau dargestellt, auf den konkaven Intervallen - in rot ist die schwarze gepunktete Linie die vertikale Asymptote.

Notwendige und hinreichende Bedingungen für eine Flexion.

Notwendige Bedingung für eine Flexion.

Lassen Sie uns formulieren notwendige Bedingung für die Flexion Funktionsgraph.

Der Graph der Funktion y=f(x) habe an einem Punkt eine Wende und eine stetige zweite Ableitung für , dann ist die Gleichheit wahr.

Aus dieser Bedingung folgt, dass die Abszissen der Wendepunkte unter denen zu suchen sind, in denen die zweite Ableitung der Funktion verschwindet. ABER, diese Bedingung ist nicht ausreichend, d.h. nicht alle Werte, bei denen die zweite Ableitung gleich Null ist, sind die Abszissen der Wendepunkte.

Zu beachten ist auch, dass per Definition des Wendepunktes das Vorhandensein einer Tangente erforderlich ist, sie kann auch senkrecht sein. Was bedeutet das? Und das bedeutet folgendes: Die Abszissen der Wendepunkte können alles aus dem Definitionsbereich der Funktion sein, wofür und . Normalerweise sind dies die Punkte, an denen der Nenner der ersten Ableitung verschwindet.

Die erste hinreichende Bedingung für eine Flexion.

Nachdem alle gefunden wurden, die Abszissen von Wendepunkten sein können, sollten Sie verwenden die erste hinreichende Bedingung für die Flexion Funktionsgraph.

Die Funktion y=f(x) sei am Punkt stetig, habe eine Tangente (sie kann vertikal sein) und diese Funktion habe eine zweite Ableitung in irgendeiner Umgebung des Punktes . Dann, wenn innerhalb dieser Nachbarschaft links und rechts von , hat die zweite Ableitung verschiedene Vorzeichen, dann ist der Wendepunkt des Graphen der Funktion.

Wie Sie sehen können, erfordert die erste hinreichende Bedingung nicht die Existenz der zweiten Ableitung am Punkt selbst, sondern ihre Existenz in der Nähe des Punktes.

Nun fassen wir alle Informationen in Form eines Algorithmus zusammen.

Algorithmus zum Auffinden der Wendepunkte einer Funktion.

Wir finden alle Abszissen der möglichen Wendepunkte des Graphen der Funktion (bzw und ) und finden Sie heraus, durch welche die zweite Ableitung das Vorzeichen ändert. Solche Werte sind die Abszissen der Wendepunkte, und die ihnen entsprechenden Punkte sind die Wendepunkte des Funktionsgraphen.

Betrachten Sie zur Verdeutlichung zwei Beispiele für das Auffinden von Wendepunkten.

Beispiel.

Finden Sie Wendepunkte und Intervalle der Konvexität und Konkavität eines Funktionsgraphen .

Entscheidung.

Der Definitionsbereich der Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen.

Finden wir die erste Ableitung:

Der Definitionsbereich der ersten Ableitung ist auch die gesamte Menge der reellen Zahlen, also der Gleichheiten und wird für keine ausgeführt.

Finden wir die zweite Ableitung:

Lassen Sie uns herausfinden, bei welchen Werten des Arguments x die zweite Ableitung verschwindet:

Die Abszissen der möglichen Wendepunkte sind also x=-2 und x=3 .

Jetzt bleibt es zu prüfen ausreichendes Zeichen Wendepunkt, an welchem ​​dieser Punkte die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt. Legen Sie dazu die Punkte x=-2 und x=3 auf die reelle Achse und wie in verallgemeinerte Intervallmethode, platzieren wir die Vorzeichen der zweiten Ableitung über jedem Intervall. Unter jedem Intervall ist die Richtung der Konvexität des Graphen der Funktion schematisch durch Bögen dargestellt.

Die zweite Ableitung ändert das Vorzeichen von Plus nach Minus, wenn sie von links nach rechts durch den Punkt x=-2 geht, und ändert das Vorzeichen von Minus nach Plus, wenn sie durch x=3 geht. Daher sind sowohl x=-2 als auch x=3 die Abszissen der Wendepunkte des Funktionsgraphen. Sie entsprechen den Diagrammpunkten und .

Wenn wir uns noch einmal die reelle Achse und die Vorzeichen der zweiten Ableitung in ihren Intervallen ansehen, können wir auf die Intervalle von Konvexität und Konkavität schließen. Der Graph der Funktion ist auf dem Intervall konvex und auf den Intervallen und konkav.

Grafische Darstellung.

Ein Teil des Graphen der Funktion auf dem konvexen Intervall ist blau dargestellt, auf den konkaven Intervallen – in rot sind die Wendepunkte als schwarze Punkte dargestellt.

Beispiel.

Finden Sie die Abszissen aller Wendepunkte eines Funktionsgraphen .

Entscheidung.

Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen.

Finden wir die Ableitung.

Die erste Ableitung ist im Gegensatz zur ursprünglichen Funktion nicht bei x=3 definiert. Aber und . An der Stelle mit der Abszisse x = 3 gibt es also eine vertikale Tangente an den Graphen der ursprünglichen Funktion. x=3 kann also die Abszisse des Wendepunktes des Funktionsgraphen sein.

Wir finden die zweite Ableitung, ihren Definitionsbereich und die Punkte, an denen sie verschwindet:

Wir haben zwei weitere mögliche Abszissen der Wendepunkte. Wir markieren alle drei Punkte auf dem Zahlenstrahl und bestimmen auf jedem der erhaltenen Intervalle das Vorzeichen der zweiten Ableitung.

Die zweite Ableitung ändert das Vorzeichen und geht durch jeden der Punkte, daher sind sie alle Abszissen der Wendepunkte.

Es bleibt abzuwägen Konvexität, Konkavität und Beugungen des Graphen. Beginnen wir mit denen, die von Website-Besuchern so geliebt werden die Übung. Bitte stehen Sie auf und lehnen Sie sich nach vorne oder hinten. Das ist eine Ausbuchtung. Jetzt strecke deine Arme vor dir aus, Handflächen nach oben, und stell dir vor, dass du einen großen Baumstamm auf deiner Brust hältst… …na ja, wenn dir der Baumstamm nicht gefällt, lass da etwas/jemand anderen sein =) Das ist Konkavität . In manchen Quellen gibt es synonyme Begriffe wölben sich auf und nach unten wölben, aber ich bin ein Anhänger von Kurznamen.

! Beachtung : einige Autoren Definieren Sie Konvexität und Konkavität genau umgekehrt. Das ist auch mathematisch und logisch richtig, aber inhaltlich oft völlig falsch, auch auf der Ebene unseres spießbürgerlichen Begriffsverständnisses. So wird beispielsweise eine bikonvexe Linse als Linse „mit Höckern“ bezeichnet, aber nicht mit „Einbuchtungen“ (bikonkav).
Und sagen wir, ein „konkaves“ Bett - es „ragt“ immer noch eindeutig nicht =) (wenn Sie jedoch darunter klettern, werden wir bereits über eine Ausbuchtung sprechen; =)) Ich halte mich an einen Ansatz, der dem Natürlichen entspricht menschliche Assoziationen.

Die formale Definition der Konvexität und Konkavität des Graphen ist für eine Teekanne ziemlich schwierig, weshalb wir uns auf eine geometrische Interpretation des Begriffs beschränken konkrete Beispiele. Betrachten Sie den Graphen einer Funktion, die kontinuierlich auf dem ganzen Zahlenstrahl:

Es ist einfach damit zu bauen geometrische Transformationen, und wahrscheinlich wissen viele Leser, wie es aus einer kubischen Parabel erhalten wird.

Lass uns anrufen Akkord das Segment, das verbindet zwei verschiedene Punkte Grafik.

Der Graph der Funktion ist konvex in einem bestimmten Intervall, wenn es lokalisiert ist nicht weniger jeder Akkord des angegebenen Intervalls. Die experimentelle Linie ist auf konvex, und offensichtlich befindet sich hier jeder Teil des Graphen ÜBER seinem eigenen Akkord. Um die Definition zu veranschaulichen, habe ich drei schwarze Segmente gezeichnet.

Die Graphfunktionen sind konkav auf dem Intervall, wenn es lokalisiert ist nicht höher irgendein Akkord dieses Intervalls. In diesem Beispiel ist der Patient an der Lücke konkav. Ein Paar brauner Segmente demonstriert überzeugend, dass sich hier und irgendein Stück der Karte UNTER diesem befindet Akkord.

Der Punkt auf dem Diagramm, an dem es von konvex zu konkav wechselt oder Konkavität zu Konvexität heißt Wendepunkt. Wir haben es in einer einzigen Kopie (der erste Fall), und in der Praxis kann der Wendepunkt sowohl den grünen Punkt bedeuten, der zur Linie selbst gehört, als auch den „x“-Wert.

WICHTIG! Wendungen in der Grafik sollten sauber dargestellt werden und sehr glatt. Alle Arten von "Unregelmäßigkeiten" und "Rauheiten" sind nicht akzeptabel. Es ist eine Sache von ein wenig Übung.

Der zweite Ansatz zur Definition von Konvexität / Konkavität in der Theorie ist durch Tangenten gegeben:

Konvex auf dem Intervall befindet sich der Graph nicht höher Tangente an einem beliebigen Punkt des gegebenen Intervalls. Konkav dasselbe auf dem Intervalldiagramm - nicht weniger jede Tangente an diesem Intervall.

Die Hyperbel ist im Intervall konkav und im Intervall konvex:

Beim Durchgang durch den Ursprung ändert sich die Konkavität in die Konvexität, aber der Punkt NICHT BEACHTEN Wendepunkt, da die Funktion nicht spezifiziert in ihr.

Strengere Aussagen und Theoreme zum Thema finden Sie im Lehrbuch, und wir gehen weiter zu einem reichhaltigen praktischen Teil:

So finden Sie konvexe Intervalle, konkave Intervalle
und Wendepunkte des Graphen?

Das Material ist einfach, Schablone und wiederholt sich strukturell Untersuchung einer Funktion für ein Extremum.

Konvexität/Konkavität des Graphen charakterisiert zweite Ableitung Funktionen.

Die Funktion sei in einem bestimmten Intervall zweimal differenzierbar. Dann:

– wenn die zweite Ableitung auf dem Intervall liegt, dann ist der Graph der Funktion auf dem gegebenen Intervall konvex;

– Wenn die zweite Ableitung auf dem Intervall liegt, dann ist der Graph der Funktion auf dem gegebenen Intervall konkav.

Auf Kosten der Vorzeichen der zweiten Ableitung nach Räumen Bildungsinstitutionen eine prähistorische Assoziation wandelt: „-“ zeigt an, dass „Wasser nicht in den Funktionsgraphen gegossen werden kann“ (Ausbuchtung),
und "+" - "bietet eine solche Gelegenheit" (Konkavität).

Notwendige Bedingung für Flexion

Wenn es an dem Punkt eine Beugung im Graphen der Funktion gibt, dann:
oder Wert existiert nicht(lass es uns herausfinden, lies!).

Dieser Satz impliziert, dass die Funktion kontinuierlich an einem Punkt und in dem Fall in einem Teil seiner Nachbarschaft zweimal differenzierbar ist.

Die Notwendigkeit der Bedingung legt nahe, dass die Umkehrung nicht immer gilt. Das heißt, aus Gleichheit (oder Nichtexistenz des Werts) noch nicht sein die Existenz einer Beugung des Graphen der Funktion am Punkt . Aber in beiden Situationen rufen sie an kritischer Punkt der zweiten Ableitung.

Ausreichende Flexionsbedingung

Ändert die zweite Ableitung beim Durchgang durch einen Punkt das Vorzeichen, so liegt an dieser Stelle eine Wende im Graphen der Funktion vor.

Wendepunkte (ein Beispiel wurde bereits getroffen) sind möglicherweise überhaupt nicht vorhanden, und in diesem Sinne sind einige elementare Beispiele indikativ. Analysieren wir die zweite Ableitung der Funktion:

Man erhält eine positive konstante Funktion, das heißt für jeden Wert von "x". An der Oberfläche liegende Tatsachen: Die Parabel ist durchgehend konkav Domänen, gibt es keine Wendepunkte. Es ist leicht zu erkennen, dass ein negativer Koeffizient die Parabel „dreht“ und konvex macht (was uns durch die zweite Ableitung mitgeteilt wird – eine negative konstante Funktion).

Exponentialfunktion auch konkav auf:

für jeden Wert von "x".

Es gibt natürlich keine Wendepunkte in der Grafik.

Wir untersuchen die Konvexität / Konkavität des Graphen Logarithmische Funktion :

Somit ist der Zweig des Logarithmus auf dem Intervall konvex. Die zweite Ableitung ist auch auf dem Intervall definiert, aber bedenken Sie es ES IST VERBOTEN, da dieses Intervall nicht in enthalten ist Domain Funktionen . Die Anforderung ist offensichtlich - da es dort keinen Logarithmus gibt, ist natürlich keine Rede von Konvexität / Konkavität / Biegung.

Wie Sie sehen können, erinnert wirklich alles sehr an die Geschichte von Zunahme, Abnahme und Extrema der Funktion. Sieht aus wie ich selbst Funktionsgraph-Forschungsalgorithmusfür Konvexität, Konkavität und das Vorhandensein von Knicken:

2) Wir suchen nach kritischen Werten. Dazu nehmen wir die zweite Ableitung und lösen die Gleichung. Als kritisch gelten auch Punkte, an denen die 2. Ableitung nicht existiert, die aber im Definitionsbereich der Funktion selbst liegen!

3) Wir markieren auf dem Zahlenstrahl alle gefundenen Unstetigkeitspunkte und kritischen Punkte ( weder das eine noch das andere darf sich herausstellen - dann brauchen Sie nichts zu zeichnen (wie in einem zu einfachen Fall), es reicht aus, sich auf einen schriftlichen Kommentar zu beschränken). Intervallmethode wir bestimmen die Vorzeichen auf den erhaltenen Intervallen. Wie gerade erklärt, sollte man bedenken nur die Intervalle, die im Funktionsumfang enthalten sind. Wir ziehen Rückschlüsse auf die Konvexität / Konkavität und Wendepunkte des Funktionsgraphen. Wir geben eine Antwort.

Versuchen Sie, den Algorithmus verbal auf die Merkmale anzuwenden . Im zweiten Fall gibt es übrigens ein Beispiel, bei dem am kritischen Punkt kein Kurvenknick vorliegt. Beginnen wir jedoch mit etwas schwierigeren Aufgaben:

Beispiel 1

Entscheidung:
1) Die Funktion ist auf der gesamten realen Linie definiert und stetig. Sehr gut.

2) Finde die zweite Ableitung. Sie können vorwürfeln, aber es ist viel rentabler zu verwenden Regeldifferenzierung komplexer Funktionen:

Beachte das , was bedeutet, dass die Funktion ist nicht abnehmend. Obwohl dies nicht mit der Aufgabe zusammenhängt, ist es immer wünschenswert, auf solche Fakten zu achten.

Finden Sie die kritischen Punkte der zweiten Ableitung:

- kritischer Punkt

3) Prüfen wir die Erfüllung der hinreichenden Flexionsbedingung. Lassen Sie uns die Vorzeichen der zweiten Ableitung auf den erhaltenen Intervallen bestimmen.

Beachtung! Jetzt arbeiten wir mit der zweiten Ableitung (und nicht mit einer Funktion!)

Als Ergebnis erhält man einen kritischen Punkt: .

3) Wir markieren zwei Unstetigkeitspunkte, einen kritischen Punkt auf dem Zahlenstrahl und bestimmen die Vorzeichen der zweiten Ableitung auf den erhaltenen Intervallen:

Ich erinnere Sie an eine wichtige Intervallmethode, was die Lösung erheblich beschleunigen kann. Zweite Ableitung erwies sich als sehr umständlich, daher ist es nicht notwendig, seine Werte zu berechnen, es reicht aus, für jedes Intervall eine „Schätzung“ vorzunehmen. Wählen wir zum Beispiel einen Punkt, der zum linken Intervall gehört,
und mache die Substitution:

Analysieren wir nun die Multiplikatoren:

Zwei „Minus“ und „Plus“ ergeben also ein „Plus“, was bedeutet, dass die zweite Ableitung auf dem gesamten Intervall positiv ist.

Kommentierte Aktionen sind einfach verbal auszuführen. Außerdem ist es vorteilhaft, den Multiplikator ganz zu ignorieren – er ist für jedes „X“ positiv und beeinflusst die Vorzeichen unserer zweiten Ableitung nicht.

Welche Informationen hat sie uns also gegeben?

Antworten: der Graph der Funktion ist konkav an und konvex auf . Am Ursprung (es ist klar, dass ) Es gibt eine Beugung im Diagramm.

Beim Durchlaufen von Punkten ändert auch die zweite Ableitung das Vorzeichen, sie gelten aber nicht als Wendepunkte, da an ihnen die Funktion leidet endlose Pausen.

Im analysierten Beispiel die erste Ableitung sagt uns über das Wachstum der Funktion im Ganzen Domänen. Es wäre immer so ein Freebie =) Außerdem die Anwesenheit von drei Asymptote. Es wurden viele Daten empfangen, die es ermöglichen ein hohes Maß Glaubwürdigkeit zu präsentieren Aussehen Grafik. Zum Haufen ist die Funktion auch ungerade. Versuchen Sie auf der Grundlage der festgestellten Fakten einen Entwurf zu skizzieren. Bild am Ende der Lektion.

Aufgabe für unabhängige Entscheidung:

Beispiel 6

Untersuchen Sie den Graphen der Funktion auf Konvexität, Konkavität und finden Sie die Wendepunkte des Graphen, falls vorhanden.

Es gibt keine Ziehung in der Stichprobe, aber es ist nicht verboten, eine Hypothese aufzustellen;)

Wir schleifen das Material, ohne die Punkte des Algorithmus zu nummerieren:

Beispiel 7

Untersuchen Sie den Graphen der Funktion auf Konvexität, Konkavität und finden Sie Wendepunkte, falls vorhanden.

Entscheidung: Funktion bleibt endlose Lücke am Punkt .

Bei uns ist wie immer alles in Ordnung:

Derivate sind nicht die schwierigsten, die Hauptsache ist, mit ihrer „Frisur“ vorsichtig zu sein.
Im induzierten Marafet finden sich zwei kritische Punkte der zweiten Ableitung:

Lassen Sie uns die Vorzeichen auf den erhaltenen Intervallen bestimmen:

An dem Punkt gibt es eine Beugung des Graphen, suchen wir die Ordinate des Punktes:

Beim Durchgang durch einen Punkt ändert die zweite Ableitung nicht das Vorzeichen, daher gibt es KEINE Beugung im Graphen darin.

Antworten: Konvexitätsintervalle: ; Konkavintervall: ; Wendepunkt: .

Betrachten Sie die letzten Beispiele mit zusätzlichem Schnickschnack:

Beispiel 8

Finde Intervalle von Konvexität, Konkavität und Wendepunkten eines Graphen

Entscheidung: mit Standort Domänen keine besonderen Probleme:
, und die Funktion erleidet an einigen Stellen Diskontinuitäten.

Gehen wir die ausgetretenen Pfade:

- kritischer Punkt.

Lassen Sie uns die Vorzeichen bestimmen, indem wir die Intervalle berücksichtigen nur aus dem Funktionsumfang:

An der Stelle, an der sich der Graph krümmt, berechnen wir die Ordinate:

Anweisung

Punkte Flexion Funktionen muss zum Geltungsbereich seiner Definition gehören, die erst gefunden werden muss. Plan Funktionen- Dies ist eine Linie, die kontinuierlich sein oder Unterbrechungen haben, monoton abnehmen oder steigen, ein Minimum oder ein Maximum haben kann Punkte(Asymptoten), konvex oder konkav sein. Ein abrupter Wechsel von zwei jüngsten Staaten und wird Knick genannt.

Eine notwendige Existenzbedingung Flexion Funktionen besteht in der Gleichheit der Sekunde mit Null. Nachdem wir also die Funktion zweimal differenziert und den resultierenden Ausdruck mit Null gleichgesetzt haben, können wir die Abszissen der möglichen Punkte finden Flexion.

Diese Bedingung folgt aus der Definition der Eigenschaften Konvexität und Konkavität des Graphen Funktionen, d.h. negativ und positiver Wert zweite Ableitung. Am Punkt Flexion eine starke Änderung dieser Eigenschaften, was bedeutet, dass die Ableitung die Nullmarke passiert. Die Gleichheit mit Null reicht jedoch immer noch nicht aus, um einen Wendepunkt anzuzeigen.

Es gibt zwei hinreichende Bedingungen, dass die in der vorherigen Stufe gefundene Abszisse zu dem Punkt gehört Flexion: Durch diesen Punkt können Sie eine Tangente ziehen Funktionen. Die zweite Ableitung hat rechts und links vom Erwartungswert unterschiedliche Vorzeichen Punkte Flexion. Daher ist ihre Existenz am Punkt selbst nicht notwendig, es genügt zu bestimmen, dass sie dort das Vorzeichen ändert Funktionen Null ist, und die dritte nicht.

Lösung: Suchen. In diesem Fall gibt es keine Einschränkungen, daher ist es der gesamte Raum der reellen Zahlen. Berechnen Sie die erste Ableitung: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Achten Sie auf . Daraus folgt, dass der Definitionsbereich des Derivats begrenzt ist. Der Punkt x = 5 ist punktiert, was bedeutet, dass eine Tangente hindurchgehen kann, was teilweise dem ersten Zeichen der Hinlänglichkeit entspricht Flexion.

Bestimmen Sie für den resultierenden Ausdruck bei x → 5 - 0 und x → 5 + 0. Sie sind gleich -∞ und +∞. Sie haben bewiesen, dass eine senkrechte Tangente durch den Punkt x=5 geht. Dieser Punkt kann ein Punkt sein Flexion, aber zuerst die zweite Ableitung berechnen: (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

Lasse den Nenner weg, da du den Punkt x = 5 bereits berücksichtigt hast. Lösen Sie die Gleichung 2 x - 22 \u003d 0. Sie hat eine einzige Wurzel x \u003d 11. Der letzte Schritt besteht darin, dies zu bestätigen Punkte x=5 und x=11 sind Punkte Flexion. Analysieren Sie das Verhalten der zweiten Ableitung in ihrer Nähe. Offensichtlich ändert es am Punkt x = 5 das Vorzeichen von „+“ auf „-“ und am Punkt x = 11 umgekehrt. Fazit: beides Punkte sind Punkte Flexion. Die erste hinreichende Bedingung ist erfüllt.

Wenn wir eine Funktion zeichnen, ist es wichtig, die konvexen Intervalle und Wendepunkte zu definieren. Wir brauchen sie zusammen mit den Intervallen der Abnahme und Zunahme für eine übersichtliche Darstellung der Funktion in grafischer Form.

Um dieses Thema zu verstehen, müssen Sie wissen, was die Ableitung einer Funktion ist und wie man sie in einer bestimmten Ordnung berechnet, sowie in der Lage sein, sie zu lösen verschiedene Typen Ungleichheiten.

Zu Beginn des Artikels werden die wichtigsten Konzepte definiert. Dann zeigen wir, welche Beziehung zwischen der Richtung der Konvexität und dem Wert der zweiten Ableitung über ein bestimmtes Intervall besteht. Als nächstes werden wir die Bedingungen angeben, unter denen die Wendepunkte des Graphen bestimmt werden können. Alle Überlegungen werden durch Beispiele von Problemlösungen illustriert.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

In Abwärtsrichtung in einem bestimmten Intervall, wenn sein Graph an keinem Punkt dieses Intervalls niedriger als die Tangente liegt.

Bestimmung 2

Die differenzierbare Funktion ist konvex auf einem bestimmten Intervall nach oben, falls der Graph dieser Funktion an keinem Punkt dieses Intervalls höher als die Tangente an sie liegt.

Eine nach unten konvexe Funktion kann auch als konkav bezeichnet werden. Beide Definitionen sind in der folgenden Grafik deutlich dargestellt:

Bestimmung 3

Wendepunkt der Funktion ist ein Punkt M (x 0 ; f (x 0)) , an dem es eine Tangente an den Graphen der Funktion gibt, vorausgesetzt, dass die Ableitung in der Nähe des Punktes x 0 existiert, wo der Graph der Funktion anders annimmt Richtungen der Konvexität auf der linken und rechten Seite.

Einfach ausgedrückt ist ein Wendepunkt eine Stelle in einem Graphen, an der es eine Tangente gibt, und die Richtung der Konvexität des Graphen beim Durchlaufen dieser Stelle ändert die Richtung der Konvexität. Wenn Sie sich nicht erinnern, unter welchen Bedingungen die Existenz einer vertikalen und einer nicht vertikalen Tangente möglich ist, empfehlen wir Ihnen, den Abschnitt über die Tangente des Funktionsgraphen an einem Punkt zu wiederholen.

Unten ist ein Diagramm einer Funktion mit mehreren rot hervorgehobenen Wendepunkten. Lassen Sie uns klarstellen, dass das Vorhandensein von Wendepunkten nicht zwingend ist. Auf dem Graphen einer Funktion kann es eine, zwei, mehrere, unendlich viele oder keine geben.

In diesem Abschnitt sprechen wir über einen Satz, mit dem Sie die Konvexitätsintervalle auf dem Graphen einer bestimmten Funktion bestimmen können.

Bestimmung 4

Der Graph der Funktion wird eine Konvexität in Richtung nach unten oder nach oben haben, wenn die entsprechende Funktion y = f (x) eine zweite endliche Ableitung auf dem angegebenen Intervall x hat, vorausgesetzt, dass die Ungleichung f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) wahr sein.

Mit diesem Satz können Sie die Intervalle der Konkavität und Konvexität auf jedem Graphen einer Funktion finden. Dazu müssen Sie nur die Ungleichungen f "" (x) ≥ 0 und f "" (x) ≤ 0 auf dem Definitionsbereich der entsprechenden Funktion lösen.

Lassen Sie uns klarstellen, dass diejenigen Punkte, an denen die zweite Ableitung nicht existiert, aber die Funktion y = f (x) definiert ist, in die Intervalle der Konvexität und Konkavität aufgenommen werden.

Schauen wir uns ein Beispiel für ein bestimmtes Problem an, wie man diesen Satz richtig anwendet.

Beispiel 1

Zustand: gegeben eine Funktion y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Bestimmen Sie, in welchen Intervallen sein Graph Konvexität und Konkavität aufweisen wird.

Entscheidung

Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen. Beginnen wir mit der Berechnung der zweiten Ableitung.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Wir sehen, dass der Definitionsbereich der zweiten Ableitung mit dem Definitionsbereich der Funktion selbst zusammenfällt. Um die Intervalle der Konvexität zu identifizieren, müssen wir daher die Ungleichungen f "" (x) ≥ 0 und f "" (x) ≤ 0 lösen .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Wir haben diesen Zeitplan gegebene Funktion wird Konkavität auf dem Segment haben [ 2 ; + ∞) und Konvexität auf dem Segment (- ∞ ; 2 ] .

Zur Verdeutlichung zeichnen wir einen Graphen der Funktion und markieren darauf den konvexen Teil blau und den konkaven Teil rot.

Antworten: der Graph der gegebenen Funktion hat eine Konkavität auf dem Segment [ 2 ; + ∞) und Konvexität auf dem Segment (- ∞ ; 2 ] .

Was aber tun, wenn der Definitionsbereich der zweiten Ableitung nicht mit dem Definitionsbereich der Funktion übereinstimmt? Hier ist uns die obige Bemerkung nützlich: Die Punkte, an denen die letzte zweite Ableitung nicht existiert, werden wir auch in die Segmente der Konkavität und Konvexität aufnehmen.

Beispiel 2

Zustand: gegeben eine Funktion y = 8 x x - 1 . Bestimmen Sie, in welchen Intervallen sein Graph konkav und in welchen Intervallen konvex ist.

Entscheidung

Lassen Sie uns zunächst den Umfang der Funktion herausfinden.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Nun berechnen wir die zweite Ableitung:

y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

Der Definitionsbereich der zweiten Ableitung ist die Menge x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Wir sehen, dass x gleich Null im Bereich der ursprünglichen Funktion liegt, aber nicht im Bereich der zweiten Ableitung. Dieser Punkt muss im Segment der Konkavität oder Konvexität enthalten sein.

Danach müssen wir die Ungleichungen f "" (x) ≥ 0 und f "" (x) ≤ 0 im Definitionsbereich der gegebenen Funktion lösen. Wir verwenden dazu die Intervallmethode: bei x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 oder x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 der Zähler 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 wird 0 und der Nenner ist 0 bei x , Null oder Einheit.

Lassen Sie uns die resultierenden Punkte in den Graphen eintragen und das Vorzeichen des Ausdrucks für alle Intervalle bestimmen, die in den Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion eingeschlossen werden. In der Grafik ist dieser Bereich schraffiert dargestellt. Wenn der Wert positiv ist, markieren Sie das Intervall mit einem Plus, wenn es negativ ist, dann mit einem Minus.

Somit,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , und f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; ein)

Wir schalten den zuvor markierten Punkt x = 0 ein und erhalten die gewünschte Antwort. Der Graph der ursprünglichen Funktion wird bei 0 eine nach unten gerichtete Ausbuchtung haben; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , und nach oben - für x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; ein) .

Lassen Sie uns ein Diagramm zeichnen und den konvexen Teil blau und den konkaven Teil rot markieren. Die vertikale Asymptote ist mit einer schwarzen gestrichelten Linie markiert.

Antworten: Der Graph der ursprünglichen Funktion wird bei 0 eine nach unten gerichtete Ausbuchtung haben; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , und nach oben - für x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; ein) .

Wendebedingungen für einen Funktionsgraphen

Beginnen wir mit der Formulierung der notwendigen Bedingung für die Beugung des Graphen einer Funktion.

Bestimmung 5

Nehmen wir an, wir haben eine Funktion y = f(x), deren Graph einen Wendepunkt hat. Für x = x 0 hat es eine stetige zweite Ableitung, daher gilt die Gleichheit f "" (x 0) = 0.

Angesichts dieser Bedingung sollten wir nach Wendepunkten unter denen suchen, an denen die zweite Ableitung zu 0 wird. Diese Bedingung wird nicht ausreichen: Nicht alle diese Punkte werden uns passen.

Beachten Sie auch, dass wir gemäß der allgemeinen Definition eine vertikale oder nicht vertikale Tangente benötigen. In der Praxis bedeutet dies, dass man, um die Wendepunkte zu finden, diejenigen nehmen sollte, an denen die zweite Ableitung dieser Funktion 0 wird. Um die Abszissen der Wendepunkte zu finden, müssen wir daher alle x 0 aus dem Definitionsbereich der Funktion nehmen, wobei lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ und lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ . Meistens sind dies Punkte, an denen der Nenner der ersten Ableitung zu 0 wird.

Die erste hinreichende Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes des Funktionsgraphen

Wir haben alle x 0 -Werte gefunden, die als Abszisse der Wendepunkte genommen werden können. Danach müssen wir die erste hinreichende Flexionsbedingung anwenden.

Bestimmung 6

Nehmen wir an, wir haben eine Funktion y = f (x), die am Punkt M (x 0 ; f (x 0)) stetig ist. Außerdem hat sie an diesem Punkt eine Tangente, und die Funktion selbst hat in der Nähe dieses Punktes x 0 eine zweite Ableitung. Wenn in diesem Fall die zweite Ableitung auf der linken und rechten Seite entgegengesetzte Vorzeichen annimmt, kann dieser Punkt als Wendepunkt betrachtet werden.

Wir sehen, dass diese Bedingung nicht unbedingt erfordert, dass die zweite Ableitung an diesem Punkt existiert, ihr Vorhandensein in der Nähe des Punktes x 0 ist ausreichend.

All dies kann bequem als Abfolge von Aktionen dargestellt werden.

1. Zuerst müssen Sie alle Abszissen x 0 möglicher Wendepunkte finden, wobei f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Finden Sie heraus, an welchen Stellen die Ableitung das Vorzeichen ändert. Diese Werte sind die Abszissen der Wendepunkte, und die ihnen entsprechenden Punkte M (x 0 ; f (x 0)) sind die Wendepunkte selbst.

Betrachten wir zur Verdeutlichung zwei Probleme.

Beispiel 3

Zustand: gegeben eine Funktion y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x . Bestimmen Sie, wo der Graph dieser Funktion Wende- und Wölbungspunkte haben wird.

Entscheidung

Diese Funktion ist für den gesamten Satz reeller Zahlen definiert. Wir betrachten die erste Ableitung:

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Lassen Sie uns nun den Definitionsbereich der ersten Ableitung finden. Es ist auch die Menge aller reellen Zahlen. Daher können die Gleichungen lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ und lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ für keine Werte von x 0 erfüllt werden.

Wir berechnen die zweite Ableitung:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 \u003d - 2, x 2 \u003d 1 + 25 2 \u003d 3

Wir haben die Abszissen von zwei wahrscheinlichen Wendepunkten gefunden - 2 und 3. Wir müssen nur noch prüfen, an welcher Stelle die Ableitung ihr Vorzeichen ändert. Lassen Sie uns eine numerische Achse zeichnen und diese Punkte darauf darstellen, danach werden wir die Vorzeichen der zweiten Ableitung auf die resultierenden Intervalle setzen.

Die Bögen zeigen die Richtung der Konvexität des Graphen in jedem Intervall.

Die zweite Ableitung kehrt das Vorzeichen (von Plus nach Minus) an der Stelle mit der Abszisse 3 um, indem sie diese von links nach rechts durchläuft, und macht dasselbe (von Minus nach Plus) an der Stelle mit der Abszisse 3 . Daraus können wir schließen, dass x = - 2 und x = 3 die Abszissen der Wendepunkte des Funktionsgraphen sind. Sie entsprechen den Punkten des Diagramms - 2; - 4 3 und 3 ; - 15 8 .

Betrachten wir noch einmal das Bild der Zahlenachse und die daraus resultierenden Vorzeichen auf den Intervallen, um Rückschlüsse auf die Stellen der Konkavität und Konvexität zu ziehen. Es stellt sich heraus, dass sich die Ausbuchtung auf dem Segment - 2 befindet; 3 , und Konkavität auf Segmenten (- ∞ ; - 2 ] und [ 3 ; + ∞) .

Die Lösung des Problems ist in der Grafik deutlich dargestellt: blaue Farbe- Konvexität, rot - Konkavität, schwarz bedeutet Wendepunkte.

Antworten: die Ausbuchtung befindet sich auf dem Segment - 2; 3 , und Konkavität auf Segmenten (- ∞ ; - 2 ] und [ 3 ; + ∞) .

Beispiel 4

Zustand: Berechnen Sie die Abszissen aller Wendepunkte des Graphen der Funktion y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

Entscheidung

Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen. Wir berechnen die Ableitung:

y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5

Anders als bei einer Funktion wird deren erste Ableitung nicht bei einem x-Wert von 3 bestimmt, sondern:

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

Dies bedeutet, dass eine vertikale Tangente an den Graphen durch diesen Punkt verläuft. Daher kann 3 die Abszisse des Wendepunkts sein.

Wir berechnen die zweite Ableitung. Wir finden auch den Bereich seiner Definition und die Punkte, an denen er auf 0 wechselt:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3 , 4556 , x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0,4675

Wir haben zwei weitere mögliche Wendepunkte. Wir setzen sie alle auf einen Zahlenstrahl und markieren die resultierenden Intervalle mit Zeichen:

Der Vorzeichenwechsel erfolgt beim Durchlaufen jedes angegebenen Punktes, was bedeutet, dass es sich bei allen um Wendepunkte handelt.

Antworten: Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion zeichnen, indem wir Konkavitäten in Rot, Konvexitäten in Blau und Wendepunkte in Schwarz markieren:

Wenn wir die erste hinreichende Wendebedingung kennen, können wir die notwendigen Punkte bestimmen, an denen das Vorhandensein der zweiten Ableitung nicht erforderlich ist. Auf dieser Grundlage kann die erste Bedingung als die universellste und geeignetste zur Lösung verschiedener Arten von Problemen angesehen werden.

Beachten Sie, dass es zwei weitere Wendebedingungen gibt, die jedoch nur angewendet werden können, wenn am angegebenen Punkt eine endliche Ableitung vorhanden ist.

Wenn wir f "" (x 0) = 0 und f """ (x 0) ≠ 0 haben, dann ist x 0 die Abszisse des Wendepunkts des Graphen y = f (x) .

Beispiel 5

Zustand: die Funktion y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 ist gegeben. Bestimmen Sie, ob der Funktionsgraph an Punkt 3 eine Beugung haben wird; 4 5 .

Entscheidung

Das erste, was zu tun ist, ist sicherzustellen, dass der gegebene Punkt überhaupt zum Graphen dieser Funktion gehört.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Die angegebene Funktion wird für alle Argumente definiert, die reelle Zahlen sind. Wir berechnen die erste und zweite Ableitung:

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Wir haben festgestellt, dass die zweite Ableitung gegen 0 geht, wenn x gleich 0 ist. Das bedeutet, dass die notwendige Wendebedingung für diesen Punkt erfüllt ist. Jetzt verwenden wir die zweite Bedingung: Wir finden die dritte Ableitung und finden heraus, ob sie bei 3 zu 0 wird:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Die dritte Ableitung verschwindet für keinen Wert von x. Daraus können wir schließen, dass dieser Punkt der Wendepunkt des Graphen der Funktion sein wird.

Antworten: Lassen Sie uns die Lösung in der Abbildung zeigen:

Nehmen wir an, dass f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, . . . , f (n) (x 0) = 0 und f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . In diesem Fall erhalten wir für gerade n, dass x 0 die Abszisse des Wendepunkts des Graphen ist y \u003d f (x) .

Beispiel 6

Zustand: gegeben eine Funktion y = (x - 3) 5 + 1 . Berechnen Sie die Wendepunkte seines Graphen.

Entscheidung

Diese Funktion ist für den gesamten Satz reeller Zahlen definiert. Berechnen Sie die Ableitung: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Da es auch für alle reellen Werte des Arguments definiert wird, gibt es an jedem Punkt seines Diagramms eine nicht vertikale Tangente.

Lassen Sie uns nun berechnen, für welche Werte die zweite Ableitung 0 wird:

y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Wir haben festgestellt, dass für x = 3 der Graph der Funktion einen Wendepunkt haben kann. Wir verwenden die dritte Bedingung, um dies zu bestätigen:

y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2 , y " " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 (x - 3) 2 " = 120 (x - 3) , y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Wir haben n = 4 nach der dritten hinreichenden Bedingung. Das gerade Zahl, also ist x = 3 die Abszisse des Wendepunkts und entspricht dem Punkt des Graphen der Funktion (3 ; 1) .

Antworten: Hier ist ein Diagramm dieser Funktion mit markierter Konvexität, Konkavität und Wendepunkt:

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Mit einem Online-Rechner finden Sie heraus Wendepunkte und Konvexitätsintervalle eines Funktionsgraphen bei der Gestaltung der Lösung in Word. Ob eine Funktion zweier Variablen f(x1,x2) konvex ist, wird anhand der Hesse-Matrix entschieden.

y=

Eingaberegeln für Funktionen:

Die Richtung der Konvexität des Graphen der Funktion. Wendepunkte

Definition: Eine Kurve y=f(x) heißt im Intervall (a; b) nach unten konvex, wenn sie an irgendeinem Punkt dieses Intervalls oberhalb der Tangente liegt.

Definition: Die Kurve y=f(x) heißt im Intervall (a; b) nach oben konvex, wenn sie an irgendeinem Punkt dieses Intervalls unterhalb der Tangente liegt.

Definition: Die Intervalle, in denen der Graph der Funktion nach oben oder unten konvex ist, heißen die Intervalle der Konvexität des Graphen der Funktion.

Die Konvexität nach unten oder nach oben der Kurve, die der Graph der Funktion y=f(x) ist, wird durch das Vorzeichen ihrer zweiten Ableitung gekennzeichnet: Wenn in irgendeinem Intervall f''(x) > 0 ist, dann ist die Kurve konvex nach unten in diesem Intervall; wenn f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Definition: Der Punkt des Graphen der Funktion y=f(x), der die Konvexitätsintervalle der entgegengesetzten Richtungen dieses Graphen trennt, wird Wendepunkt genannt.

Als Wendepunkte können nur kritische Punkte zweiter Art dienen; Punkte, die zum Definitionsbereich der Funktion y = f(x) gehören, an denen die zweite Ableitung f''(x) verschwindet oder bricht.

Die Regel zum Finden von Wendepunkten des Funktionsgraphen y = f(x)

1. Finde die zweite Ableitung f''(x) .
2. Finde kritische Punkte der zweiten Art der Funktion y=f(x) , d.h. der Punkt, an dem f''(x) verschwindet oder bricht.
3. Untersuchen Sie das Vorzeichen der zweiten Ableitung f''(x) in den Intervallen, in die die gefundenen kritischen Punkte den Definitionsbereich der Funktion f(x) unterteilen. Wenn in diesem Fall der kritische Punkt x 0 die Konvexitätsintervalle entgegengesetzter Richtung trennt, dann ist x 0 die Abszisse des Wendepunkts des Funktionsgraphen.
4. Berechnen Sie Funktionswerte an Wendepunkten.

Beispiel 1 . Finden Sie die Konvexitätslücken und Wendepunkte der folgenden Kurve: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Lösung: Finde f '(x) = 12x - 3x 2 , f ''(x) = 12 - 6x.
Lassen Sie uns die kritischen Punkte durch die zweite Ableitung finden, indem wir die Gleichung 12-6x=0 lösen. x=2 .


f(2) = 6*2 2 - 2 3 = 16
Antwort: Die Funktion ist aufwärtskonvex für x∈(2; +∞) ; die Funktion ist nach unten konvex für x∈(-∞; 2) ; Wendepunkt (2;16) .

Beispiel 2 . Hat die Funktion Wendepunkte: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Beispiel 3 . Finden Sie die Intervalle, in denen der Funktionsgraph konvex und konvex ist: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4