So lösen Sie Beispiele mit Logarithmen. Aufgabe B7 – Logarithmische und exponentielle Ausdrücke umwandeln

Eines der Elemente der Algebra auf primitiver Ebene ist der Logarithmus. Der Name kommt aus dem Griechischen und leitet sich vom Wort „Zahl“ oder „Potenz“ ab und bedeutet die Potenz, mit der die Zahl in der Basis erhöht werden muss, um die endgültige Zahl zu finden.

Arten von Logarithmen

• log a b – Logarithmus der Zahl b zur Basis a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – dezimaler Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10, a = 10);
• ln b – natürlicher Logarithmus(Logarithmus zur Basis e, a = e).

Wie löst man Logarithmen?

Der Logarithmus von b zur Basis a ist ein Exponent, der erfordert, dass b zur Basis a erhöht wird. Das erhaltene Ergebnis wird wie folgt ausgesprochen: „Logarithmus von b zur Basis a“. Die Lösung für logarithmische Probleme besteht darin, dass Sie die gegebene Potenz in Zahlen aus den angegebenen Zahlen bestimmen müssen. Es gibt einige Grundregeln, um den Logarithmus zu bestimmen oder zu lösen sowie die Notation selbst umzuwandeln. Mit ihnen werden logarithmische Gleichungen gelöst, Ableitungen gefunden, Integrale gelöst und viele andere Operationen ausgeführt. Im Grunde ist die Lösung des Logarithmus selbst seine vereinfachte Schreibweise. Nachfolgend sind die Grundformeln und Eigenschaften aufgeführt:

Für jedes a ; a > 0; a ≠ 1 und für jedes x ; y > 0.

• a log a b = b – grundlegende logarithmische Identität
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , für k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – Formel für den Umzug zu einer neuen Basis
• log a x = 1/log x a

So lösen Sie Logarithmen – Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Lösen

• Schreiben Sie zunächst die erforderliche Gleichung auf.

Bitte beachten Sie: Wenn der Basislogarithmus 10 beträgt, wird die Eingabe gekürzt, sodass ein dezimaler Logarithmus entsteht. Wenn es sich lohnt natürliche Zahl e, dann schreiben wir es auf und reduzieren es auf den natürlichen Logarithmus. Das bedeutet, dass das Ergebnis aller Logarithmen die Potenz ist, mit der die Basiszahl erhöht wird, um die Zahl b zu erhalten.

Die Lösung liegt direkt in der Berechnung dieses Grades. Bevor ein Ausdruck mit einem Logarithmus gelöst wird, muss er nach der Regel, also mit Formeln, vereinfacht werden. Die wichtigsten Identitäten finden Sie, wenn Sie im Artikel etwas zurückgehen.

Wenn Sie Logarithmen mit zwei verschiedenen Zahlen, aber mit denselben Basen addieren und subtrahieren, ersetzen Sie sie durch einen Logarithmus mit dem Produkt oder der Division der Zahlen b bzw. c. In diesem Fall können Sie die Formel für den Umzug zu einem anderen Stützpunkt anwenden (siehe oben).

Wenn Sie Ausdrücke zur Vereinfachung eines Logarithmus verwenden, müssen Sie einige Einschränkungen berücksichtigen. Und das heißt: Die Basis des Logarithmus a ist nur eine positive Zahl, aber nicht gleich eins. Die Zahl b muss wie a größer als Null sein.

Es gibt Fälle, in denen Sie durch Vereinfachen eines Ausdrucks den Logarithmus nicht numerisch berechnen können. Es kommt vor, dass ein solcher Ausdruck keinen Sinn ergibt, weil viele Potenzen irrationale Zahlen sind. Belassen Sie unter dieser Bedingung die Potenz der Zahl als Logarithmus.

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes Problem lösen. logarithmisches Problem. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also lasst uns anfangen.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log A X und protokollieren A j. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

1. Protokoll A X+ Protokoll A j=log A (X · j);
2. Protokoll A X− log A j=log A (X : j).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Beachten Sie: Schlüsselmoment Hier - identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, einen logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Protokoll 6 4 + Protokoll 6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele bauen auf dieser Tatsache auf Testpapiere. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Das merkt man leicht letzte Regel folgt den ersten beiden. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d. h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben. Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

[Bildunterschrift]

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Wir haben:

[Bildunterschrift]

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch reduzieren – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus log A X. Dann für eine beliebige Zahl C so dass C> 0 und C≠ 1, die Gleichheit gilt:

[Bildunterschrift]

Insbesondere, wenn wir sagen C = X, wir bekommen:

[Bildunterschrift]

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln sind in konventionellen Formen selten zu finden numerische Ausdrücke. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

[Bildunterschrift]

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

[Bildunterschrift]

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

[Bildunterschrift]

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall die Nummer N wird zu einem Indikator für den Stellenwert der Argumentation. Nummer N kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So nennt man es: die grundlegende logarithmische Identität.

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl B auf eine solche Potenz erhöhen, dass die Zahl B zu dieser Potenz gibt die Zahl A? Das ist richtig: Sie erhalten dieselbe Nummer A. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele Menschen bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

[Bildunterschrift]

Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Berücksichtigung der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit die gleiche Grundlage, wir bekommen:

[Bildunterschrift]

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

1. Protokoll A A= 1 ist eine logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: Logarithmus zu jeder Basis A von dieser Basis aus ist gleich eins.
2. Protokoll A 1 = 0 ist logarithmischer Nullpunkt. Base A kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält - Logarithmus gleich Null! Weil A 0 = 1 ist eine direkte Konsequenz der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Anweisungen

Schreiben Sie den angegebenen logarithmischen Ausdruck. Wenn der Ausdruck den Logarithmus von 10 verwendet, wird seine Schreibweise verkürzt und sieht folgendermaßen aus: lg b ist der dezimale Logarithmus. Wenn der Logarithmus die Zahl e als Basis hat, dann schreiben Sie den Ausdruck: ln b – natürlicher Logarithmus. Es versteht sich, dass das Ergebnis von any die Potenz ist, mit der die Basiszahl erhöht werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Wenn Sie die Summe zweier Funktionen ermitteln möchten, müssen Sie diese lediglich einzeln differenzieren und die Ergebnisse addieren: (u+v)" = u"+v";

Um die Ableitung des Produkts zweier Funktionen zu ermitteln, ist es notwendig, die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten zu multiplizieren und die Ableitung der zweiten Funktion multipliziert mit der ersten Funktion zu addieren: (u*v)“ = u“*v +v"*u;

Um die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen zu ermitteln, ist es notwendig, vom Produkt der Ableitung des Dividenden multipliziert mit der Divisorfunktion das Produkt der Ableitung des Divisors multipliziert mit der Funktion des Dividenden zu subtrahieren und zu dividieren das alles durch die Divisorfunktion quadriert. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Falls gegeben komplexe Funktion, dann ist es notwendig, die Ableitung von zu multiplizieren interne Funktion und die Ableitung des externen. Sei y=u(v(x)), dann ist y"(x)=y"(u)*v"(x).

Anhand der oben erhaltenen Ergebnisse können Sie nahezu jede Funktion differenzieren. Schauen wir uns also ein paar Beispiele an:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Es gibt auch Probleme bei der Berechnung der Ableitung an einem Punkt. Angenommen, die Funktion y=e^(x^2+6x+5) sei gegeben, Sie müssen den Wert der Funktion am Punkt x=1 finden.
1) Finden Sie die Ableitung der Funktion: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Berechnen Sie den Wert der Funktion in angegebenen Punkt y"(1)=8*e^0=8

Video zum Thema

Hilfreicher Rat

Lernen Sie die Tabelle der elementaren Ableitungen. Dies wird erheblich Zeit sparen.

Quellen:

• Ableitung einer Konstante

Also, was ist der Unterschied zwischen rationale Gleichung aus dem Rationalen? Wenn die unbekannte Variable unter dem Vorzeichen steht Quadratwurzel, dann gilt die Gleichung als irrational.

Anweisungen

Die Hauptmethode zur Lösung solcher Gleichungen ist die Methode der Konstruktion beider Seiten Gleichungen in ein Quadrat. Jedoch. Das ist natürlich, das erste, was Sie tun müssen, ist, das Schild zu entfernen. Diese Methode ist technisch nicht schwierig, kann aber manchmal zu Problemen führen. Die Gleichung lautet beispielsweise v(2x-5)=v(4x-7). Durch Quadrieren beider Seiten erhält man 2x-5=4x-7. Eine solche Gleichung zu lösen ist nicht schwierig; x=1. Aber die Nummer 1 wird nicht vergeben Gleichungen. Warum? Setzen Sie eins anstelle des Werts von x in die Gleichung ein. Und die rechte und linke Seite enthalten Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben. Dieser Wert ist für eine Quadratwurzel nicht gültig. Daher ist 1 eine Fremdwurzel und daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Also, irrationale Gleichung wird durch die Methode der Quadrierung beider Teile gelöst. Und nachdem die Gleichung gelöst ist, müssen überflüssige Wurzeln abgeschnitten werden. Ersetzen Sie dazu die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung.

Betrachten Sie einen anderen.
2x+vx-3=0
Natürlich kann diese Gleichung mit derselben Gleichung wie die vorherige gelöst werden. Verbindungen verschieben Gleichungen, die keine Quadratwurzel haben, auf die rechte Seite und verwenden Sie dann die Quadrierungsmethode. Lösen Sie die resultierende rationale Gleichung und Wurzeln. Aber auch eine andere, elegantere. Geben Sie eine neue Variable ein; vх=y. Dementsprechend erhalten Sie eine Gleichung der Form 2y2+y-3=0. Das heißt, das Übliche quadratische Gleichung. Finden Sie seine Wurzeln; y1=1 und y2=-3/2. Als nächstes lösen Sie zwei Gleichungen vх=1; vх=-3/2. Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln; aus der ersten finden wir, dass x=1. Vergessen Sie nicht, die Wurzeln zu überprüfen.

Identitäten zu lösen ist ganz einfach. Dazu müssen Sie Folgendes tun Identitätstransformationen bis das Ziel erreicht ist. Also mit Hilfe des Einfachsten Rechenoperationen Die anstehende Aufgabe wird gelöst.

Du wirst brauchen

• - Papier;
• - Griff.

Anweisungen

Die einfachsten dieser Transformationen sind algebraische abgekürzte Multiplikationen (z. B. Quadrat der Summe (Differenz), Differenz von Quadraten, Summe (Differenz), Kubik der Summe (Differenz)). Darüber hinaus gibt es viele und trigonometrische Formeln, die im Wesentlichen die gleichen Identitäten sind.

Tatsächlich ist das Quadrat der Summe zweier Terme gleich dem Quadrat des ersten plus dem doppelten Produkt des ersten mit dem zweiten und plus dem Quadrat des zweiten, also (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Vereinfachen Sie beides

Allgemeine Prinzipien der Lösung

Wiederholen Sie dies gemäß dem Lehrbuch mathematische Analyse oder höhere Mathematik, was ein bestimmtes Integral ist. Bekanntlich ist die Lösung eines bestimmten Integrals eine Funktion, deren Ableitung einen Integranden ergibt. Diese Funktion heißt Stammfunktion. Basierend auf diesem Prinzip werden die Hauptintegrale konstruiert.
Bestimmen Sie anhand der Art des Integranden, welches der Tabellenintegrale in diesem Fall geeignet ist. Dies lässt sich nicht immer sofort feststellen. Oftmals macht sich die tabellarische Form erst nach mehreren Transformationen zur Vereinfachung des Integranden bemerkbar.

Variable Ersetzungsmethode

Wenn die Integrandenfunktion ist Trigonometrische Funktion, dessen Argument ein Polynom enthält, dann versuchen Sie es mit der Variablenersetzungsmethode. Ersetzen Sie dazu das Polynom im Argument des Integranden durch eine neue Variable. Bestimmen Sie anhand der Beziehung zwischen den neuen und alten Variablen die neuen Integrationsgrenzen. Finden Sie durch Differenzieren dieses Ausdrucks das neue Differential in . So wirst du bekommen die neue Art des vorherigen Integrals nahe oder sogar einem tabellarischen Integral entspricht.

Integrale zweiter Art lösen

Wenn das Integral ein Integral zweiter Art ist, eine Vektorform des Integranden, müssen Sie die Regeln für den Übergang von diesen Integralen zu skalaren Integralen verwenden. Eine solche Regel ist die Ostrogradsky-Gauss-Beziehung. Dieses Gesetz ermöglicht es uns, vom Rotorfluss einer bestimmten Vektorfunktion zum Dreifachintegral über die Divergenz eines gegebenen Vektorfelds zu gelangen.

Substitution von Integrationsgrenzen

Nachdem die Stammfunktion gefunden wurde, ist es notwendig, die Integrationsgrenzen zu ersetzen. Ersetzen Sie zunächst den Wert der Obergrenze in den Ausdruck für die Stammfunktion. Sie erhalten eine Nummer. Als nächstes subtrahieren Sie von der resultierenden Zahl eine weitere Zahl, die Sie von der Untergrenze erhalten, in die Stammfunktion. Wenn eine der Grenzen der Integration die Unendlichkeit ist, dann beim Einsetzen in Stammfunktion Es ist notwendig, bis an die Grenzen zu gehen und herauszufinden, wonach der Ausdruck strebt.
Wenn das Integral zweidimensional oder dreidimensional ist, müssen Sie die Grenzen der Integration geometrisch darstellen, um zu verstehen, wie das Integral ausgewertet wird. Tatsächlich können beispielsweise im Fall eines dreidimensionalen Integrals die Integrationsgrenzen ganze Ebenen sein, die das zu integrierende Volumen begrenzen.

Aufgabe B7 gibt einen Ausdruck an, der vereinfacht werden muss. Das Ergebnis sollte eine reguläre Zahl sein, die Sie auf Ihrem Antwortbogen notieren können. Alle Ausdrücke werden herkömmlicherweise in drei Typen unterteilt:

1. Logarithmisch,
2. Indikativ,
3. Kombiniert.

Exponentielle und logarithmische Ausdrücke in reiner Form kommen praktisch nie vor. Es ist jedoch unbedingt erforderlich, zu wissen, wie sie berechnet werden.

Im Allgemeinen ist Aufgabe B7 recht einfach zu lösen und liegt durchaus im Rahmen der Fähigkeiten eines durchschnittlichen Absolventen. Der Mangel an klaren Algorithmen wird durch deren Standardisierung und Monotonie ausgeglichen. Sie können lernen, solche Probleme einfach zu lösen große Menge Ausbildung.

Logarithmische Ausdrücke

Die überwiegende Mehrheit der B7-Aufgaben beinhaltet Logarithmen in der einen oder anderen Form. Dieses Thema gilt traditionell als schwierig, da das Studium meist in der 11. Klasse stattfindet – der Ära der Massenvorbereitung auf die Abschlussprüfungen. Daher haben viele Absolventen ein sehr vages Verständnis von Logarithmen.

Aber in diese Aufgabe muss niemand tief eingreifen Theoretisches Wissen. Wir werden nur die Meisten treffen einfache Ausdrücke, die einfaches Denken erfordern und leicht selbstständig gemeistert werden können. Nachfolgend finden Sie die grundlegenden Formeln, die Sie kennen müssen, um mit Logarithmen umzugehen:

Außerdem müssen Sie in der Lage sein, Wurzeln und Brüche durch Potenzen mit einem rationalen Exponenten zu ersetzen, sonst gibt es in manchen Ausdrücken einfach nichts, was man unter dem Logarithmuszeichen herausziehen kann. Ersatzformeln:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung von Ausdrücken:
log 6 270 − log 6 7,5
log 5 775 − log 5 6.2

Die ersten beiden Ausdrücke werden als Differenz der Logarithmen umgewandelt:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Um den dritten Ausdruck zu berechnen, müssen Sie Potenzen isolieren – sowohl in der Basis als auch im Argument. Lassen Sie uns zunächst den internen Logarithmus ermitteln:

Dann - extern:

Konstruktionen der Form log a log b x erscheinen vielen komplex und missverstanden. Mittlerweile ist dies nur ein Logarithmus des Logarithmus, d.h. log a (log b x ). Zuerst wird der interne Logarithmus berechnet (setze log b x = c) und dann der externe: log a c.

Demonstrative Ausdrücke

Wir nennen einen Exponentialausdruck jede Konstruktion der Form a k, wobei die Zahlen a und k beliebige Konstanten sind und a > 0. Die Methoden zum Arbeiten mit solchen Ausdrücken sind recht einfach und werden im Algebraunterricht der 8. Klasse besprochen.

Nachfolgend finden Sie die Grundformeln, die Sie unbedingt kennen müssen. Die Anwendung dieser Formeln in der Praxis bereitet in der Regel keine Probleme.

1. a n · a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n ) m = a n · m ;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

Wenn Sie auf einen komplexen Ausdruck mit Kräften stoßen und nicht klar sind, wie Sie ihn angehen sollen, verwenden Sie eine universelle Technik – die Zerlegung in einfache Faktoren. Ergebend große Zahlen in den Graduierungsgrundlagen werden durch einfache und verständliche Elemente ersetzt. Dann müssen Sie nur noch die oben genannten Formeln anwenden – und das Problem ist gelöst.

Aufgabe. Finden Sie die Werte der Ausdrücke: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Lösung. Zerlegen wir alle Grundlagen der Befugnisse in einfache Faktoren:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinierte Aufgaben

Wenn Sie die Formeln kennen, können alle exponentiellen und logarithmischen Ausdrücke buchstäblich in einer Zeile gelöst werden. Allerdings können in Aufgabe B7 Potenzen und Logarithmen zu recht starken Kombinationen kombiniert werden.

Heute werden wir darüber reden logarithmische Formeln und wir werden Hinweise geben Lösungsbeispiele.

Sie selbst implizieren Lösungsmuster gemäß den Grundeigenschaften von Logarithmen. Bevor wir zur Lösung Logarithmusformeln anwenden, möchten wir Sie an alle Eigenschaften erinnern:

Basierend auf diesen Formeln (Eigenschaften) zeigen wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen.

Beispiele für die Lösung von Logarithmen anhand von Formeln.

Logarithmus positive Zahl b zur Basis von a (bezeichnet durch log a b) ist ein Exponent, auf den a erhöht werden muss, um b zu erhalten, mit b > 0, a > 0 und 1.

Laut Definition ist log a b = x, was a x = b entspricht, also log a a x = x.

Logarithmen, Beispiele:

log 2 8 = 3, weil 2 3 = 8

log 7 49 = 2, weil 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, weil 5 -1 = 1/5

Dezimaler Logarithmus- Dies ist ein gewöhnlicher Logarithmus mit der Basis 10. Er wird als lg bezeichnet.

log 10 100 = 2, weil 10 2 = 100

Natürlicher Logarithmus- ebenfalls ein gewöhnlicher Logarithmus, ein Logarithmus, aber mit der Basis e (e = 2,71828... - eine irrationale Zahl). Bezeichnet als ln.

Es ist ratsam, sich die Formeln bzw. Eigenschaften von Logarithmen zu merken, da wir sie später beim Lösen von Logarithmen, logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen benötigen. Lassen Sie uns jede Formel noch einmal anhand von Beispielen durchgehen.

• Grundlegende logarithmische Identität
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logarithmus des Produkts gleich der Summe Logarithmen
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Eigenschaften der Potenz einer logarithmischen Zahl und der Basis des Logarithmus

  Exponent der logarithmischen Zahl log a b m = mlog a b

  Exponent der Basis des Logarithmus log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  wenn m = n, erhalten wir log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Übergang zu einer neuen Stiftung
  log a b = log c b/log c a,

  wenn c = b, erhalten wir log b b = 1

  dann ist log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Wie Sie sehen, sind die Formeln für Logarithmen nicht so kompliziert, wie sie scheinen. Nachdem wir uns nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen angesehen haben, können wir mit logarithmischen Gleichungen fortfahren. Beispiele zur Lösung logarithmischer Gleichungen werden wir im Artikel „“ genauer betrachten. Nicht verpassen!

Wenn Sie noch Fragen zur Lösung haben, schreiben Sie diese in die Kommentare zum Artikel.

Hinweis: Wir haben uns entschieden, eine andere Ausbildung zu absolvieren und optional im Ausland zu studieren.