EingangEigenschaften arithmetischer Operationen mit rationalen Zahlen. "Aktionen mit rationalen Zahlen"
In dieser Lektion erinnern wir uns an die grundlegenden Eigenschaften von Aktionen mit Zahlen. Wir werden nicht nur die grundlegenden Eigenschaften wiederholen, sondern auch lernen, wie man sie auf rationale Zahlen anwendet. Wir werden alle erworbenen Kenntnisse durch das Lösen von Beispielen festigen.
Grundlegende Eigenschaften von Aktionen mit Zahlen:
Die ersten beiden Eigenschaften sind Additionseigenschaften, die nächsten beiden sind Multiplikationseigenschaften. Die fünfte Eigenschaft gilt für beide Operationen.
Es gibt nichts Neues in diesen Eigenschaften. Sie galten sowohl für natürliche als auch für ganze Zahlen. Sie gelten auch für Rationale Zahlen und gilt für Zahlen, die wir weiter untersuchen werden (z. B. irrational).
Permutationseigenschaften:
Durch die Umordnung von Termen oder Faktoren ändert sich das Ergebnis nicht.
Kombinationseigenschaften:, .
Das Addieren oder Multiplizieren mehrerer Zahlen kann in beliebiger Reihenfolge erfolgen.
Verteilungseigenschaft:.
Die Eigenschaft verbindet beide Operationen – Addition und Multiplikation. Wenn Sie es von links nach rechts lesen, dann heißt es die Regel zum Öffnen von Klammern, und wenn Sie es in die entgegengesetzte Richtung lesen, heißt es die Regel zum Setzen des gemeinsamen Teilers aus Klammern.
Die nächsten beiden Eigenschaften beschreiben neutrale Elemente für Addition und Multiplikation: Das Addieren von Null und das Multiplizieren mit Eins ändert die ursprüngliche Zahl nicht.
Zwei weitere Eigenschaften, die beschreiben symmetrische Elemente bei Addition und Multiplikation ist die Summe der entgegengesetzten Zahlen Null; das Produkt der Kehrwerte ist gleich eins.
Nächste Eigenschaft: . Wenn eine Zahl mit Null multipliziert wird, ist das Ergebnis immer Null.
Die letzte Eigenschaft, die wir uns ansehen werden, ist .
Wenn wir eine Zahl mit multiplizieren, erhalten wir die entgegengesetzte Zahl. Diese Eigenschaft hat eine Funktion. Alle anderen betrachteten Eigenschaften konnten mit dem Rest nicht nachgewiesen werden. Dieselbe Eigenschaft kann mit den vorherigen bewiesen werden.
Multiplikation mit
Wir beweisen, dass wir die entgegengesetzte Zahl erhalten, wenn wir eine Zahl mit multiplizieren. Dazu verwenden wir die Verteilungseigenschaft: .
Es gilt für beliebige Zahlen. Ersetzen Sie anstelle der Nummer und :
Links in Klammern steht die Summe einander entgegengesetzter Zahlen. Ihre Summe ist Null (wir haben eine solche Eigenschaft). Jetzt links. Rechts erhalten wir: 
.
Jetzt haben wir links die Null und rechts die Summe zweier Zahlen. Aber wenn die Summe zweier Zahlen Null ist, dann sind diese Zahlen einander entgegengesetzt. Aber die Zahl hat nur eine Gegenzahl: . Also - das ist: .
Die Eigenschaft wurde nachgewiesen.
Eine solche Eigenschaft, die mit den bisherigen Eigenschaften bewiesen werden kann, heißt Satz
Warum gibt es hier keine Subtraktions- und Divisionseigenschaften? Zum Beispiel könnte man das Distributivgesetz für die Subtraktion schreiben: .
Aber seit:
- Die Subtraktion einer beliebigen Zahl kann äquivalent als Addition geschrieben werden, wobei die Zahl durch ihr Gegenteil ersetzt wird:
- Division kann als Multiplikation mit dem Kehrwert einer Zahl geschrieben werden:
Das bedeutet, dass die Eigenschaften von Addition und Multiplikation auf Subtraktion und Division angewendet werden können. Dadurch ist die Liste der zu merkenden Eigenschaften kürzer.
Alle betrachteten Eigenschaften sind nicht ausschließlich Eigenschaften rationaler Zahlen. Alle diese Regeln unterliegen anderen Zahlen, zum Beispiel irrationalen. Zum Beispiel ist die Summe und ihre Gegenzahl gleich Null:.
Jetzt gehen wir zum praktischen Teil über, wir lösen ein paar Beispiele.
Rationale Zahlen im Leben
Diese Eigenschaften von Objekten, die wir quantitativ beschreiben können, bezeichnen wir mit einer Zahl Mengen: Länge, Gewicht, Temperatur, Menge.
Ein und derselbe Wert kann sowohl durch eine ganze Zahl als auch durch eine positive oder negative Bruchzahl bezeichnet werden.
Zum Beispiel ist Ihre Körpergröße m - Bruchzahl. Aber Sie können sagen, dass es gleich cm ist - das ist bereits eine ganze Zahl (Abb. 1).
Reis. 1. Abbildung zum Beispiel
Noch ein Beispiel. Negative Temperatur auf der Celsius-Skala positiv auf der Kelvin-Skala (Abb. 2).
Reis. 2. Illustration zum Beispiel
Beim Bau einer Hauswand kann eine Person Breite und Höhe in Metern messen. Es erzeugt Bruchwerte. Alle weiteren Berechnungen führt er mit gebrochenen (rationalen) Zahlen durch. Eine andere Person kann alles in der Anzahl der Steine in Breite und Höhe messen. Nachdem er nur ganzzahlige Werte erhalten hat, wird er Berechnungen mit ganzen Zahlen durchführen.
Die Werte selbst sind weder ganz, noch gebrochen, noch negativ, noch positiv. Aber die Zahl, mit der wir den Wert einer Größe beschreiben, ist schon ziemlich spezifisch (z. B. negativ und gebrochen). Es kommt auf die Messskala an. Und wenn wir von realen Werten zu einem mathematischen Modell übergehen, arbeiten wir mit einer bestimmten Art von Zahlen
Beginnen wir mit der Addition. Die Begriffe können nach Belieben neu angeordnet werden, und Aktionen können in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden. Wenn die Begriffe mit unterschiedlichen Zeichen auf einer Ziffer enden, ist es zweckmäßig, zuerst Aktionen mit ihnen auszuführen. Dazu vertauschen wir die Begriffe. Zum Beispiel:
Gemeinsame Brüche mit gleiche Nenner leicht zu falten.
Entgegengesetzte Zahlen addieren sich zu Null. Zahlen mit denselben Dezimalstellen lassen sich leicht subtrahieren. Unter Verwendung dieser Eigenschaften sowie des kommutativen Additionsgesetzes ist es möglich, die Berechnung eines Werts zu erleichtern, beispielsweise des folgenden Ausdrucks:
Zahlen mit komplementären Dezimalstellen summieren sich leicht. Mit ganzen und gebrochenen Teilen gemischte Zahlen bequem, separat zu arbeiten. Wir verwenden diese Eigenschaften, wenn wir den Wert des folgenden Ausdrucks auswerten:
Kommen wir zur Multiplikation. Es gibt Zahlenpaare, die sich leicht multiplizieren lassen. Mit Hilfe des Kommutativgesetzes kannst du die Faktoren so umordnen, dass sie nebeneinander liegen. Die Anzahl der Minuspunkte im Produkt lässt sich sofort berechnen und auf das Vorzeichen des Ergebnisses schließen.
Betrachten Sie dieses Beispiel:
Wenn von den Faktoren Null, dann ist das Produkt gleich Null, zum Beispiel: .
Das Produkt der reziproken Zahlen ist gleich eins, und die Multiplikation mit eins ändert den Wert des Produkts nicht. Betrachten Sie dieses Beispiel:
Betrachten Sie ein Beispiel, das das Distributivgesetz verwendet. Wenn Sie die Klammern öffnen, wird jede Multiplikation einfach durchgeführt.
Badamshi-Sekundarschule №2
Mathematik
in der 6. Klasse
"Aktionen mit rationalen Zahlen"
bereit
Mathematiklehrer
Babenko Larisa Grigorjewna
Mit. Badamscha
2014
Unterrichtsthema:« Operationen mit rationalen Zahlen».
Unterrichtstyp :
Lektion der Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens.
Unterrichtsziele:
lehrreich:
Verallgemeinern und systematisieren Sie das Wissen der Schüler über die Handlungsregeln für positive und negative Zahlen;
Festigung der Fähigkeit, die Regeln bei der Durchführung von Übungen anzuwenden;
Entwickeln Sie Fähigkeiten für unabhängiges Arbeiten;
Entwicklung:
Sich entwickeln logisches Denken, mathematische Sprache, Rechenfähigkeiten; - die Fähigkeit zu entwickeln, das erworbene Wissen auf die Lösung angewandter Probleme anzuwenden; - Erweiterung des Horizonts;
Pädagogen:
Erziehung kognitives Interesse zum Thema.
Ausrüstung:
Blätter mit Aufgabentexten, Aufgaben für jeden Schüler;
Mathe. Lehrbuch für die 6 Bildungsinstitutionen/
N. Ya. Wilenkin, W.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. -M., 2010.
Unterrichtsplan:
Zeit organisieren.
Mündlich arbeiten
Wiederholung der Regeln der Addition und Subtraktion von Zahlen mit verschiedene Vorzeichen. Wissensaktualisierung.
Aufgaben im Lehrbuch lösen
Test Ausführung
Zusammenfassung der Lektion. Hausaufgaben machen
Betrachtung
Während des Unterrichts
Zeit organisieren.
Lehrer und Schüler grüßen.
Präsentation des Unterrichtsthemas, Arbeitsplan im Unterricht.
Heute haben wir eine ungewöhnliche Stunde. In dieser Lektion werden wir uns an alle Regeln für Operationen mit rationalen Zahlen und die Fähigkeit erinnern, die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchzuführen.
Das Motto unserer Stunde wird ein chinesisches Gleichnis sein:
„Sag es mir und ich werde es vergessen;
Zeig es mir und ich werde mich erinnern;
Lass es mich tun und ich werde es verstehen"
Ich möchte Sie auf eine Reise einladen.
In der Mitte des Raumes, in dem der Sonnenaufgang gut sichtbar war, erstreckte sich ein schmales, unbewohntes Land - eine Zahlenlinie. Niemand weiß, wo es angefangen hat und niemand weiß, wo es endet. Und die ersten, die dieses Land besiedelten, waren ganze Zahlen. Was sind natürliche Zahlen und wie werden sie dargestellt?
Antworten:
Die Zahlen 1, 2, 3, 4, … werden verwendet, um Objekte zu zählen oder anzuzeigen Seriennummer des einen oder anderen Objekts unter homogenen Objekten werden als natürliche (N ).
Verbale Zählung
88-19 72:8 200-60
Antworten: 134; 61; 2180.
Es gab unendlich viele von ihnen, aber das Land, obwohl klein in der Breite, war unendlich lang, so dass alles von eins bis unendlich passte und den ersten Zustand bildete, eine Menge natürlicher Zahlen.
Arbeiten an einer Aufgabe.
Das Land war außergewöhnlich schön. Auf seinem gesamten Territorium befanden sich prächtige Gärten. Dies sind Kirsche, Apfel, Pfirsich. Eine davon werden wir uns jetzt ansehen.
An der Kirsche befinden sich alle drei Tage 20 Prozent mehr reife Kirschen. Wie viele reife Früchte hat diese Kirsche in 9 Tagen, wenn sie zu Beginn der Beobachtung 250 reife Kirschen hatte?
Antwort: 432 reife Früchte werden in 9 Tagen auf dieser Kirsche sein (300; 360; 432).
Einige neue Zahlen begannen sich auf dem Territorium des ersten Staates niederzulassen, und diese Zahlen bildeten zusammen mit natürlichen Zahlen einen neuen Staat, wir werden herausfinden, welcher, indem wir die Aufgabe lösen.
Auf den Schülertischen liegen zwei Blätter:
1. Berechnen:
1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4x(-15)
1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12
1) 48-54 2) 37-(-37) 3) -52,7+42,7 4) -6x1/3
1) -12x (-6) 2) -90: (-15) 3) -25 + 45 4) 6 - (-10)
Übung: verbinden Sie nacheinander, ohne die Hände von allen natürlichen Zahlen zu nehmen, und benennen Sie den resultierenden Buchstaben.
Antworten zum Test:
5 68 15 60
72 6 20 16
Frage: Was bedeutet dieses Symbol? Welche Zahlen nennt man ganze Zahlen?
Antworten: 1) Links vom Territorium des ersten Staates hat sich die Zahl 0 angesiedelt, links davon -1, sogar links -2 usw. zur Unendlichkeit. Zusammen mit den natürlichen Zahlen bildeten diese Zahlen einen neuen erweiterten Zustand, die Menge der ganzen Zahlen.
2) Natürliche Zahlen, ihre Gegenzahlen und die Null heißen ganze Zahlen ( Z ).
Wiederholung des Gelernten.
1) Die nächste Seite unseres Märchens ist verzaubert. Wir werden es entzaubern und Fehler korrigieren.
27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0
63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124
50 · 8 27 -18: (-2)
Antworten:
-27 4 27 0 (-27) = 0
-50 8 4 -36: 6
2) Wir hören der Geschichte weiter zu.
Auf der Freie Plätze die Brüche 2/5 wurden ihnen auf dem Zahlenstrahl hinzugefügt; −4/5; 3,6; −2,2;… Brüche bildeten zusammen mit den ersten Siedlern einen weiteren erweiterten Zustand der Menge der rationalen Zahlen. ( Q)
1) Welche Zahlen nennt man rational?
2) Ist jeder ganze Dezimalbruch eine rationale Zahl?
3) Zeigen Sie, dass jede ganze Zahl, jeder Dezimalbruch eine rationale Zahl ist.
Aufgabe an der Tafel: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .
Antworten:
1) Eine Zahl, die als Verhältnis geschrieben werden kann , wobei a eine ganze Zahl und p eine natürliche Zahl ist, heißt rationale Zahl .
2) Ja.
3) .
Du kennst jetzt ganze und gebrochene, positive und negative Zahlen, außerdem ist die Zahl Null. Alle diese Zahlen werden rational genannt, was in der Übersetzung ins Russische " dem Geist untertan."
Rationale Zahlen
positiv null negativ
ganzzahliger Bruchteil ganzzahliger Bruchteil
Um in Zukunft erfolgreich Mathematik (und nicht nur Mathematik) studieren zu können, müssen Sie die Regeln gut kennen Rechenoperationen mit rationalen Zahlen, einschließlich der Zeichenregeln. Und sie sind so unterschiedlich! Lassen Sie sich für eine Weile verwirren.
Fiskultminutka.
Dynamische Pause.
Lehrer: Jeder Job braucht eine Pause. Lass uns eine Pause machen!
Lassen Sie uns einige Erholungsübungen machen:
1) Eins, zwei, drei, vier, fünf -
Einmal! Aufstehen, hochziehen
Zwei! bücken, bücken,
Drei! Dreimal in die Hände klatschen
Drei Kopfnicken.
Vier - Arme breiter.
Fünf - winken Sie mit den Händen. Sechs - sitzen Sie ruhig am Schreibtisch.
(Kinder folgen dem Lehrer entsprechend dem Inhalt des Textes.)
2) Blinzeln Sie schnell, schließen Sie die Augen und sitzen Sie so, während Sie bis fünf zählen. 5 Mal wiederholen.
3) Schließen Sie Ihre Augen fest, zählen Sie bis drei, öffnen Sie sie und schauen Sie in die Ferne, während Sie bis fünf zählen. 5 Mal wiederholen.
Historische Seite.
Im Leben „entdeckten“ die Menschen wie in einem Märchen nach und nach rationale Zahlen. Beim Zählen von Gegenständen entstanden zunächst natürliche Zahlen. Anfangs waren es nur wenige. Zunächst entstanden nur die Zahlen 1 und 2. Die Wörter „Solist“, „Sonne“, „Solidarität“ kommen vom lateinischen „solus“ (eins). Bei vielen Stämmen gab es keine anderen Ziffern. Statt "3" hieß es "eins-zwei", statt "4" - "zwei-zwei". Und so weiter bis sechs. Und dann war da noch viel. Brüche begegneten den Menschen beim Teilen der Beute, beim Abmessen von Mengen. Um Operationen mit Brüchen zu erleichtern, wurden erfunden Dezimalstellen. In Europa wurden sie 1585 von einem holländischen Mathematiker eingeführt.
Gleichungsarbeit
Sie lernen den Nachnamen eines Mathematikers, indem Sie die Gleichungen lösen und den Buchstaben finden, der der angegebenen Koordinate entlang der Koordinatenlinie entspricht.
1) -2,5 + x \u003d 3,5 2) -0,3 x \u003d 0,6 3) y - 3,4 \u003d -7,4
4) - 0,8: x \u003d -0,4 5) a (-8) \u003d 0 6)m + (- )=
E A T M I O V R N U S
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Antworten:
6 (C) 4)2 (B)
-2 (T) 5) 0 (I)
-4(E)6)4(H)
STEVIN - Niederländischer Mathematiker und Ingenieur (Simon Stevin)
Historische Seite.
Lehrer:
Ohne die Vergangenheit in der Entwicklung der Wissenschaft zu kennen, ist es unmöglich, ihre Gegenwart zu verstehen. Die Menschen haben schon vor unserer Zeitrechnung gelernt, mit negativen Zahlen zu handeln. Indische Mathematiker betrachteten positive Zahlen als „Eigenschaften“ und negative Zahlen als „Schulden“. So skizzierte der indische Mathematiker Brahmagupta (7. Jahrhundert) einige Regeln für die Durchführung von Operationen mit positiven und negativen Zahlen:
"Die Summe zweier Eigenschaften ist Eigentum"
„Die Summe zweier Schulden ist eine Schuld“
"Die Summe von Vermögen und Schulden ist gleich ihrer Differenz",
„Das Produkt von zwei Eigentum oder zwei Schulden ist Eigentum“, „Das Produkt von Eigentum und Schulden ist Schuld“.
Leute, bitte übersetzt die alten indischen Regeln in die moderne Sprache.
Botschaft des Lehrers:
Da es ohne Sonne keine Wärme auf der Welt gibt,
Ohne den Schnee des Winters und ohne die Blätter der Blumen,
Also gibt es in der Mathematik keine Aktionen ohne Vorzeichen!
Die Kinder sollen erraten, welches Aktionszeichen fehlt.
Übung. Fügen Sie das fehlende Zeichen ein.
− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9
− 1,3 2,8 = 1,5
Antworten: 1) + 2) ∙ 3) - 4) : 5) - 6) :
Selbstständige Arbeit(Schreiben Sie auf dem Blatt die Antworten zu den Aufgaben auf):
Zahlen vergleichen
Finden Sie ihre Module
mit Null vergleichen
Finden Sie ihre Summe
Finden Sie ihren Unterschied
Arbeit finden
Privat finden
Schreibe die entgegengesetzten Zahlen
Finden Sie den Abstand zwischen diesen Zahlen
10) wie viele ganze Zahlen dazwischen liegen
11) Finden Sie die Summe aller dazwischen liegenden ganzen Zahlen.
Bewertungskriterien: alles richtig entschieden - "5"
1-2 Fehler - "4"
3-4 Fehler - "3"
mehr als 4 Fehler - "2"
Individuelle Arbeit durch Karten(zusätzlich).
Karte 1. Lösen Sie die Gleichung: 8,4 - (x - 3,6) \u003d 18
Karte 2. Lösen Sie die Gleichung: -0,2x · (-4) = -0,8
Karte 3. Löse die Gleichung: =
Antworten auf Karten :
1) 6; 2) -1; 3) 4/15.
Spiel "Prüfung".
Die Bewohner des Landes lebten glücklich, spielten Spiele, lösten Probleme, lösten Gleichungen und boten uns an, zu spielen, um zusammenzufassen.
Die Schüler kommen an die Tafel, nehmen eine Karte und beantworten die mit geschriebene Frage Rückseite.
Fragen:
1. Welche der beiden negativen Zahlen gilt als groß?
2. Formulieren Sie die Regel zur Division negativer Zahlen.
3. Formulieren Sie die Regel zur Multiplikation negativer Zahlen.
4. Formulieren Sie eine Regel zur Multiplikation von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.
5. Formulieren Sie eine Regel zur Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.
6. Formulieren Sie die Regel zum Addieren negativer Zahlen.
7. Formulieren Sie eine Regel zum Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.
8. Wie findet man die Länge eines Segments auf einer Koordinatenlinie?
9. Welche Zahlen nennt man ganze Zahlen?
10. Welche Zahlen nennt man rational?
Zusammenfassend.
Lehrer: Heute Hausaufgaben wird kreativ:
Bereiten Sie eine Nachricht „Positive und negative Zahlen um uns herum“ vor oder verfassen Sie ein Märchen.
« Danke für den Unterricht!!!"
Dann a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.
Das Hinzufügen von Null ändert die Zahl nicht, und die Summe der entgegengesetzten Zahlen ist Null.
Daher gilt für jede rationale Zahl: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Die Multiplikation rationaler Zahlen hat auch kommutative und assoziative Eigenschaften. Mit anderen Worten, wenn a, b und c irgendwelche rationalen Zahlen sind, dann ist ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Die Multiplikation mit 1 ändert keine rationale Zahl, aber das Produkt einer Zahl und ihres Kehrwerts ist 1.
Also gilt für jede rationale Zahl a:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12 + a -12; d) 6,1 - k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. Nachdem Sie eine bequeme Reihenfolge der Berechnungen gewählt haben, finden Sie den Wert des Ausdrucks:
1191. Formulieren Sie in Worten das Kommutativgesetz der Multiplikation ab = ba und überprüfen Sie es auf:
1192. Formulieren Sie in Worten das Assoziativgesetz der Multiplikation a(bc)=(ab)c und überprüfen Sie es auf:
1193. Wählen Sie eine bequeme Reihenfolge der Berechnungen und finden Sie den Wert des Ausdrucks:
1194. Wie lautet die Zahl (positiv oder negativ), wenn Sie multiplizieren:
a) eine negative Zahl und zwei positive Zahlen;
b) zwei negative und eine positive Zahl;
c) 7 negative und mehrere positive Zahlen;
d) 20 negative und ein paar positive? Machen Sie eine Schlussfolgerung.
1195. Bestimmen Sie das Vorzeichen des Produkts:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha und Maxim versammelten sich in der Turnhalle (Abb. 91, a). Es stellte sich heraus, dass jeder der Jungen nur zwei andere kannte. Wer kennt wen? (Der Rand des Graphen bedeutet „wir kennen uns“.)
b) Brüder und Schwestern derselben Familie gehen im Hof spazieren. Welche dieser Kinder sind Jungen und welche Mädchen (Abb. 91, b)? (Die gepunkteten Kanten des Diagramms bedeuten - "Ich bin eine Schwester" und die durchgehenden - "Ich bin ein Bruder".)
1205. Berechnen Sie:
1206. Vergleiche:
a) 2 3 und 3 2 ; b) (-2) 3 und (-3) 2; c) 1 3 und 1 2 ; d) (-1) 3 und (-1) 2.
1207. Runde 5,2853 in Tausendstel; Vor Hundertstel; bis zu Zehntel; bis zu Einheiten.
1208. Lösen Sie das Problem:
1) Der Motorradfahrer holt den Radfahrer ein. Jetzt dazwischen 23,4 km. Die Geschwindigkeit eines Motorradfahrers ist 3,6-mal so hoch wie die eines Fahrradfahrers. Finden Sie die Geschwindigkeiten des Radfahrers und des Motorradfahrers, wenn bekannt ist, dass der Motorradfahrer den Radfahrer in Stunden überholen wird.
2) Ein Auto holt einen Bus ein. Jetzt dazwischen 18 km. Die Geschwindigkeit des Busses ist die Geschwindigkeit eines Autos. Finden Sie die Geschwindigkeiten des Busses und des Autos, wenn bekannt ist, dass das Auto den Bus in Stunden überholen wird.
1209. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Überprüfen Sie Ihre Berechnungen mit Taschenrechner.
1210. Nachdem Sie eine bequeme Reihenfolge der Berechnungen gewählt haben, finden Sie den Wert des Ausdrucks: 
1211. Vereinfachen Sie den Ausdruck:
1212. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:
1213. Folgendes tun:
1214. Die Schüler erhielten die Aufgabe, 2,5 Tonnen Altmetall zu sammeln. Sie sammelten 3,2 Tonnen Altmetall. Um wie viel Prozent haben die Schüler die Aufgabe erledigt und um wie viel Prozent haben sie die Aufgabe übererfüllt?
1215. Das Auto hat 240 km zurückgelegt. Davon lief sie 180 km auf einer Landstraße und den Rest des Weges auf der Autobahn. Der Benzinverbrauch pro 10 km Landstraße betrug 1,6 Liter und auf der Autobahn 25% weniger. Wie viel Liter Benzin wurden durchschnittlich pro 10 km Fahrt verbraucht?
1216. Beim Verlassen des Dorfes bemerkte der Radfahrer einen Fußgänger, der auf der Brücke in die gleiche Richtung ging, und holte ihn in 12 Minuten ein. Finden Sie die Geschwindigkeit des Fußgängers, wenn die Geschwindigkeit des Radfahrers 15 km/h beträgt und die Entfernung vom Dorf zur Brücke 1 km 800 m beträgt?
1217. Folgendes tun:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42 + 4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Wie Sie wissen, haben sich die Menschen allmählich mit rationalen Zahlen vertraut gemacht. Beim Zählen von Gegenständen entstanden zunächst natürliche Zahlen. Anfangs waren es nur wenige. So hatten die Ureinwohner der Inseln in der Torres-Straße (die Neuguinea von Australien trennt) bis vor kurzem nur zwei Zahlen in ihrer Sprache: „urapun“ (eins) und „okaza“ (zwei). Die Inselbewohner dachten so: „okaza-urapun“ (drei), „okaza-okaza“ (vier) usw. Alle Zahlen, beginnend mit sieben, nannten die Eingeborenen das Wort, das „viele“ bedeutet.
Wissenschaftler glauben, dass das Wort für hundert vor mehr als 7.000 Jahren auftauchte, für tausend - vor 6.000 Jahren und vor 5.000 Jahren in Antikes Ägypten und in Das alte Babylon Es gibt Namen für riesige Zahlen - bis zu einer Million. Doch lange Zeit galt die natürliche Zahlenreihe als endlich: Man dachte, es gebe die meisten große Nummer.
Der größte antike griechische Mathematiker und Physiker Archimedes (287-212 v. Chr.) fand eine Möglichkeit, riesige Zahlen zu beschreiben. Die größte Zahl, die Archimedes zu benennen wusste, war so groß, dass ein Band zweitausendmal länger als die Entfernung von der Erde zur Sonne dauern würde, um sie digital aufzuzeichnen.
Aber sie wussten immer noch nicht, wie man so große Zahlen aufschreibt. Dies wurde erst nach indischen Mathematikern im 6. Jahrhundert möglich. Die Zahl Null wurde erfunden und begann das Fehlen von Einheiten in den Ziffern der Dezimalschreibweise einer Zahl anzuzeigen.
Bei der Aufteilung der Beute und später beim Messen von Werten und in anderen ähnlichen Fällen stieß man auf die Notwendigkeit, "gebrochene Zahlen" einzuführen - gemeinsame Brüche. Operationen mit Brüchen galten im Mittelalter als das schwierigste Gebiet der Mathematik. Bisher sagen die Deutschen über einen Menschen, der sich in einer schwierigen Situation befindet, dass er "in Brüche gefallen ist".
Um das Arbeiten mit Brüchen zu erleichtern, wurden Dezimalzahlen erfunden. Brüche. In Europa wurden sie in X585 von dem niederländischen Mathematiker und Ingenieur Simon Stevin eingeführt.
Negative Zahlen erschienen später als Brüche. Lange Zeit Solche Zahlen wurden als „nicht vorhanden“, „falsch“ angesehen, hauptsächlich aufgrund der Tatsache, dass die akzeptierte Interpretation für positive und negative Zahlen „Eigentum - Schulden“ zu Verwirrung führte: Sie können „Eigentum“ oder „Schulden“ hinzufügen oder abziehen. aber wie versteht man das Produkt bzw. Privat „Eigentum“ und „Schuld“?
Trotz solcher Zweifel und Verwirrungen wurden die Regeln für das Multiplizieren und Dividieren positiver und negativer Zahlen im 3. Jahrhundert vorgeschlagen. vom griechischen Mathematiker Diophantus (in der Form: „Das Subtrahierte, multipliziert mit dem Addierten, ergibt den Subtrahend; das Subtrahierte mit dem Subtrahierten ergibt das Addierte“, usw.), und später drückte der indische Mathematiker Bhaskara (12. Jahrhundert) dasselbe aus Regeln in den Begriffen „Eigentum“, „Schulden“ („Das Produkt aus zwei Gütern oder zwei Schulden ist Eigentum; das Produkt aus Eigentum und Schulden ist Schulden.“ Die gleiche Regel gilt für die Teilung).
Es wurde festgestellt, dass die Eigenschaften von Aktionen bei negativen Zahlen die gleichen sind wie bei positiven (zum Beispiel haben Addition und Multiplikation eine Kommutativeigenschaft). Und schließlich sind seit Beginn des letzten Jahrhunderts negative Zahlen mit positiven gleich geworden.
Später tauchten in der Mathematik neue Zahlen auf - irrationale, komplexe und andere. Sie lernen sie in der High School kennen.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, V. I. Zhokhov, Mathematik für Klasse 6, Lehrbuch für weiterführende Schule
Bücher und Lehrbücher nach dem Kalenderplan für Mathematik Klasse 6 herunterladen, helfen dem Schüler online
Bild. Arithmetische Operationen mit rationalen Zahlen.
Text:
Regeln für Operationen mit rationalen Zahlen:
. Beim Addieren von Zahlen mit gleichen Vorzeichen müssen ihre Module addiert und ihr gemeinsames Vorzeichen vor die Summe gesetzt werden.
. bei der Addition zweier Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen aus einer Zahl mit großem Modul wird eine Zahl mit kleinerem Modul subtrahiert und das Vorzeichen der Zahl mit größerem Modul der resultierenden Differenz vorangestellt;
. Wenn Sie eine Zahl von einer anderen subtrahieren, müssen Sie die entgegengesetzte Zahl zu der zu subtrahierenden Zahl hinzufügen: a - b \u003d a + (-b)
. bei der Multiplikation zweier Zahlen mit gleichen Vorzeichen werden deren Module multipliziert und dem resultierenden Produkt ein Pluszeichen vorangestellt;
. bei der Multiplikation zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen werden deren Module multipliziert und dem resultierenden Produkt ein Minuszeichen vorangestellt;
. bei der Division von vorzeichengleichen Zahlen wird der Dividendenmodul durch den Divisormodul dividiert und dem resultierenden Quotienten ein Pluszeichen vorangestellt;
. bei der Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen wird der Betrag des Dividenden durch den Betrag des Divisors dividiert und dem resultierenden Quotienten ein Minuszeichen vorangestellt;
. Wenn Null dividiert und mit einer beliebigen Zahl ungleich Null multipliziert wird, erhält man Null:
. du kannst nicht durch null teilen.