EingangZusammenfassung einer Mathematikstunde: "Koordinatenstrahl. Bild gewöhnlicher Brüche auf einem Koordinatenstrahl." Bild von Dezimalbrüchen auf dem Koordinatenstrahl
Mathematik 5 "B" Klasse
Datum: 14.12.15
Lektion #83
Unterrichtsthema: Anzeige von gemeinsamen Brüchen und gemischten Zahlen auf der Koordinatenlinie.
Der Zweck des Unterrichts:
1. Um das Konzept eines Koordinatenstrahls unter den Schülern zu formen.
2. Entwicklung der Fähigkeit und Fähigkeiten des Bildes gewöhnlicher Brüche auf dem Koordinatenstrahl.
3. Einen Sinn für Kollektivismus kultivieren, die Fähigkeit, anderen zuzuhören.
Unterrichtstyp: Verallgemeinerung und Systematisierung des behandelten Materials.
Lehrmethoden: teilweise Suche, Selbsttestmethode.
Während des Unterrichts.
„Hier in Kasachstan wird das Leben besser sein als in anderen Ländern. Das verspreche ich dir“
N. A. Nasarbajew
Liebe Studenten!
Unser Unterricht findet am Vorabend der Feiertage zum Unabhängigkeitstag statt. - Aber wenn wir über den Staat sprechen, ist es unmöglich, über das Staatsoberhaupt - den Präsidenten der Republik Kasachstan - N. A. Nasarbajew zu schweigen. Das Wort Präsident, aus dem Lateinischen übersetzt, bedeutet „vorne sitzen“! Der Präsident sorgt dafür, dass die Gesetze der Verfassung nicht verletzt werden, der Präsident schützt die Souveränität des Staates! 1. Dezember 1991 N. A. Nasarbajew wurde der erste Präsident des souveränen Kasachstan. Und seit vielen Jahren ist Nasarbajew der erste Präsident unseres Staates, dank dessen wächst der Wohlstand unseres Landes, Sportkomplexe, Kindergärten, Schulen, Unterhaltungszentren, Gesundheitszentren.
Und ich schlage vor, unsere Lektion mit der folgenden Aufgabe zu beginnen.
Lösen wir das Problem:
1. Stellen Sie fest, wie alt N. Nasarbajew ist, wenn bekannt ist, dass der Präsident das Land seit 25 Jahren regiert, was 1/3 seines Alters entspricht. Wie alt ist er?
25*3/1=75 Jahre.
Untersuchung Hausaufgaben. (Aufgaben auf Karten)
Echte und unechte Brüche
1. Wählen Sie das gesamte Teil aus.
2. Schreiben Sie einen unechten Bruch als gemischte Zahl
Antworten: A) 17; IN 1; c) 3;
3. Drücken Sie die gemischte Zahl 5 als unechten Bruch aus
Antworten: A); BEIM) ; MIT) ;
4. Wählen Sie den gesamten Teil aus.
a) 12 c) 25 c) 16 d) 15
5. Wandle in einen unechten Bruch um.
6. Drücken Sie einen unechten Bruch als gemischte Zahl als unechten Bruch aus
Antworten: A); BEIM) ; MIT) ; d)
Schlüssel (auf der Tafel geschrieben):
Mündliche Abrechnung (auf Karten)
Mathe-Simulator ( Die Schüler haben 5 Minuten Zeit, um ihre Aufgabe zu erledigen. )
Erläuterung des neuen Themas
Kommen wir zum Hauptteil unserer Lektion.
Schreiben Sie das Thema der Lektion auf.
Koordinatenstrahl. Das Bild gewöhnlicher Brüche und gemischter Zahlen auf dem Koordinatenstrahl.
Burkina S.
Alle Arten von Aufnahmen sind erforderlich
Brüche sind wichtig
Lerne den Bruch
Dann wird dein Glück strahlen
Wenn Sie Brüche kennen
Um ihre genaue Bedeutung zu verstehen
Es wird sogar einfach
Schwierige Aufgabe.
Gehen wir Schritt für Schritt die Treppe hinauf.
Auf dem Weg nach oben werden wir die Vergangenheit wiederholen und neue Dinge lernen.
Aktualisierung des Grundwissens
Wie heißen die Elemente des Bruchs über und unter dem Strich?
Welche Aktion kann den Bruchstrich ersetzen?
Wie nennt man die Division von Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl?
Arbeiten Sie an der Untersuchung von neuem Material.
1. Flipchart ( Wiederholen der Definition des Koordinatenstrahls )
2. Arbeiten mit dem Referenzdiagramm
Definition. Die dem Punkt des Koordinatenstrahls entsprechende Zahl wird als Koordinate dieses Punktes bezeichnet.
Um einen echten Bruch auf einem Koordinatenstrahl darzustellen, benötigen Sie:
1. Teilen Sie ein einzelnes Segment in eine gleiche Anzahl von Teilen, die der Zahl im Nenner entsprechen.
2. Heben Sie vom Ursprung die Anzahl der gleichen Teile auf, die der Zahl im Zähler des Bruchs entsprechen.
Zum Beispiel:
Sportunterricht Minute
Hallo Leute! Wir haben bereits die Hälfte des Weges zurückgelegt, aber es liegen noch viele Schwierigkeiten vor uns, also ist es an der Zeit, eine Pause einzulegen und etwas Sport zu treiben.
Wir haben gute Arbeit geleistet
Und ruhen Sie sich gut aus
Wir werden aufladen
Und lass uns wieder auf die Straße gehen.
Wiederhole alle Bewegungen nach mir.
Hände auf den Rücken, Kopf nach hinten
Lassen Sie Ihre Augen zur Decke blicken.
Lass uns unsere Augen senken, auf den Schreibtisch schauen,
Und wieder hoch - wo fliegt die Fliege?
Lass uns unsere Augen bewegen, sie suchen,
Und wir entscheiden uns wieder, ein bisschen mehr.
Jetzt sind alle ausgeruht und Sie können Ihren Weg fortsetzen.
Aufgaben aus dem Lehrbuch lösen.
Jeder von euch hat eine Aufgabe zu lösen. № 888, 889
. (die Lösung wird in Notebooks durchgeführt).
Aufgaben auf mehreren Ebenen
Das Bild gewöhnlicher Brüche auf dem Koordinatenstrahl.
Leser
Zeichnen Sie einen Koordinatenstrahl, nehmen Sie 9 Zellen des Notizbuchs als ein einzelnes Segment. Punkte auf dem Koordinatenstrahl markieren: u 
Reschalkins
Zeichnen Sie einen Koordinatenstrahl, nehmen Sie 10 Zellen des Notizbuchs als ein einzelnes Segment. Markieren Sie auf dem Koordinatenbalken die Nummern:
Smekalkins
Zeichnen Sie einen Koordinatenstrahl, nehmen Sie 12 Zellen des Notizbuchs als ein einzelnes Segment. Markieren Sie Punkt N auf dem Koordinatenstrahl, legen Sie Segmente auf beiden Seiten des Punktes NA und NB mit einer Länge gleich einem einzelnen Segment beiseite. Finden Sie die Koordinaten der Punkte A und B.
Zusammenfassung der Lektion
Denken Sie, dass Brüche ein Bruchteil eines kleinen Teils von etwas sind? was es nicht wert ist, beachtet zu werden.
Und wenn, bauen Sie Ihr Haus, dasjenige, in dem Sie leben
Der Architekt hat sich bei der Berechnung um einen kleinen Bruchteil geirrt.
Zu passieren, weißt du?
Das Haus wäre zu einem Trümmerhaufen geworden.
Sie treten auf die Brücke, sie ist zuverlässig und langlebig.
Wäre ein Ingenieur in seinen Zeichnungen nicht genau?
Drei Zehntel - und die Mauern sind schräg errichtet,
Drei Zehntel – und die Autos stürzen vom Hang.
Machen Sie einen Fehler nur drei Zehntel eines Apothekers,
Es wird zu einem Gift, einer Medizin, es wird einen Menschen töten.
Hausaufgaben. Lernen Sie die Theorie aus Abschnitt 5.6, lösen Sie Nr. 890, 891, 892
BETRACHTUNG: Und jetzt müssen Sie Ihre Arbeit im Unterricht bewerten.
Zeichne ein Gesicht und bewerte dich.
"5" "4" "3"
Deshalb sagen sie das
Auf der Koordinatenlinie gleiche Brüche entsprechen dem gleichen Punkt (Abb. 117).
Zwei gleiche Brüche bedeuten dasselbe Bruchzahl. Bruchzahlen können verglichen, addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Der Kürze halber sprechen wir normalerweise über das Vergleichen, Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Brüchen.
Der Kuchen wurde in 5 Teile geschnitten und 2 Teile wurden auf einen Teller und 3 Teile auf einen anderen gelegt (Abb. 118). Zwei Aktien ergeben einen Kuchen, und drei Aktien ergeben einen Kuchen. Denn 2 Teile sind weniger als 3 gleiche Teile
Von den beiden Brüche mit gleiche Nenner der kleinere ist der mit dem kleineren Zähler, und der größere der mit dem größeren Zähler.
Der Punkt auf dem Koordinatenstrahl, der eine kleinere Koordinate hat, liegt links von dem Punkt, der eine größere Koordinate hat.
Geben Sie ein Beispiel für zwei gleiche Brüche mit unterschiedlichen Zählern.
Wie werden gleiche Brüche auf einer Koordinatenlinie gezeichnet?
Welcher der beiden Brüche mit gleichem Nenner ist kleiner und welcher größer?
Welcher der Punkte liegt auf dem Koordinatenstrahl links - mit kleinerer oder größerer Koordinate?
940. Erkläre mit einem Bild warum
941. Zeichne in ein Heft ein 18 Zellen langes Segment. Mit Hilfe dieser Segment erkläre warum:
942. Ein einzelnes Segment entspricht 12 Zellen. Markieren Sie Punkte auf der Koordinatenlinie 
. Erklären Sie das Ergebnis.
943. Markieren Sie auf dem Koordinatenstrahl die Punkte, deren Koordinaten gleich sind:
944. Ein einzelnes Segment entspricht der Länge von 6 Zellen eines Notizbuchs. Markieren Sie auf dem Koordinatenstrahl Punkte mit Koordinaten 
. Welcher dieser Punkte befindet sich auf dem Strahl links von allen und welcher rechts von allen?
945. Ordnen Sie die Brüche in aufsteigender Reihenfolge:
Ordne diese Brüche in absteigender Reihenfolge.
946. Ersetzen Sie das Sternchen durch ein Vorzeichen< или >bei Einträgen:
947. Welcher der Brüche ist größer:
948. Welcher der Punkte liegt links von Koordinatenstrahl:
949. Berechne mündlich:
950. Brüche lesen:
Nennen Sie Zähler und Nenner.
951. Auf dem Koordinatenstrahl sind folgende Punkte markiert:
Passt einer von ihnen zusammen?
952. Welcher Teil in Abbildung 120 ist:
a) Dreieck ABO aus Viereck ABCO
b) Dreieck ABO aus Viereck ABCD
c) Viereck ABCO aus Viereck ABCD
d) Viereck ABCO aus Sechseck ABCDEK?
953. Versuchen Sie, den kürzesten Weg entlang der Würfeloberfläche von Punkt A nach Punkt B zu finden (Abb. 121). Wie viele solcher Pfade können angegeben werden?
a) 5 gegen 2; b) 100 bis 30; c) 29 mal 9; d) 100 mal 11.
955. Welchen Anteil haben:
a) Tage eines Jahres; c) ein Dezimeter von einem Meter;
b) Wochentag; d) 1 cm 3 von einem Liter?
Denken Sie darüber nach, warum 1 cm 3 auch als Milliliter (1 ml) bezeichnet wird.
956. Das Volumen der Kanne beträgt 5 Liter. Ein Liter Wasser wurde hineingegossen. Welcher Bruchteil des Volumens des Krugs wird von Wasser eingenommen? Geben Sie eine Antwort für a - 1; 2; 3; 4.
967. Welcher Teil der Woche ist:
a) fünf Tage
b) sechs Tage?
968. Kürbismasse 2 kg 800 g. Finden Sie die Masse:
969. Das Haus nimmt nur Gartengrundstück. Finden Sie die Grundstücksfläche, wenn die Grundstücksfläche unter dem Haus 40 m2 beträgt.
970. Zwei Motorradfahrer fahren aufeinander zu. Die Geschwindigkeit eines Motorradfahrers beträgt 62 km/h und die eines anderen 54 km/h. In wie vielen Stunden treffen sich die Motorradfahrer, wenn jetzt 348 km zwischen ihnen liegen?
971. Die Masse einer Packung Kekse beträgt 125 g und die Masse einer Packung Cracker 380 g, was schwerer ist:
a) 9 Packungen Kekse oder 4 Packungen Cracker;
b) 22 Packungen Kekse oder 7 Packungen Cracker?
972. Im Liter Glas 910 g Hirse oder 780 g Erbsen werden vorgelegt. Welche Masse ist geringer:
a) 3 Dosen Hirse oder 4 Dosen Erbsen;
b) 7 Dosen Hirse oder 8 Dosen Erbsen?
973. Von einem Stück Draht der Länge a m schneiden sie zum ersten Mal b m ab und zum zweiten Mal - siehe Was bedeuten die folgenden Ausdrücke:
a) b+c; b) a - (b + c); Taxi; d) a-b-c
Welcher dieser Ausdrücke nimmt für beliebige Werte der Buchstaben a, b, c die gleichen Werte an? Überprüfen Sie Ihre Antwort für a = 45, b = 7 und c = 12.
N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd, Mathematik Klasse 5, Lehrbuch für Bildungsinstitutionen
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Anteile am Ganzen
Zuerst stellen wir vor Share-Konzept.
Nehmen wir an, wir haben ein Objekt, das aus mehreren absolut identischen (d. h. gleichen) Teilen besteht. Zur Verdeutlichung können Sie sich beispielsweise einen Apfel vorstellen, der in mehrere gleiche Teile geschnitten ist, oder eine Orange, die aus mehreren gleichen Scheiben besteht. Jeder dieser gleichen Teile, die das gesamte Objekt ausmachen, wird aufgerufen Anteil am Ganzen oder einfach Anteile.
Beachten Sie, dass die Anteile unterschiedlich sind. Lassen Sie uns das erklären. Nehmen wir an, wir haben zwei Äpfel. Schneiden wir den ersten Apfel in zwei gleiche Teile und den zweiten in 6 gleiche Teile. Es ist klar, dass der Anteil des ersten Apfels anders sein wird als der Anteil des zweiten Apfels.
Abhängig von der Anzahl der Anteile, aus denen das gesamte Objekt besteht, haben diese Anteile eigene Namen. Lassen Sie uns analysieren Namen teilen. Wenn das Objekt aus zwei Teilen besteht, wird jeder von ihnen ein zweiter Teil des ganzen Objekts genannt; wenn das Objekt aus drei Teilen besteht, dann wird jeder von ihnen ein dritter Teil genannt und so weiter.
Ein Sekundenschlag hat einen besonderen Namen - halb. Ein Drittel wird aufgerufen Dritter, und ein Vierfach - Quartal.
Der Kürze halber folgendes Bezeichnungen teilen. Ein zweiter Anteil wird als oder 1/2 bezeichnet, ein dritter Anteil - als oder 1/3; ein Viertel Anteil - wie oder 1/4, und so weiter. Beachten Sie, dass die Notation mit einem horizontalen Balken häufiger verwendet wird. Um das Material zu konsolidieren, geben wir noch ein Beispiel: Der Eintrag bezeichnet einhundertsiebenundsechzigstel des Ganzen.
Der Begriff des Anteils erstreckt sich natürlich von Objekten auf Größen. Eines der Längenmaße ist zum Beispiel der Meter. Um Längen unter einem Meter zu messen, können Bruchteile eines Meters verwendet werden. So können Sie zum Beispiel einen halben Meter oder ein Zehntel oder Tausendstel eines Meters verwenden. Anteile anderer Mengen werden analog aufgebracht.
Gemeinsame Brüche, Definition und Beispiele für Brüche
Zur Beschreibung werden die Anzahl der Aktien verwendet gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das es uns ermöglicht, uns der Definition gewöhnlicher Brüche zu nähern.
Lass eine Orange aus 12 Teilen bestehen. Jede Aktie entspricht in diesem Fall einem Zwölftel einer ganzen Orange, also . Lassen Sie uns zwei Schläge als bezeichnen, drei Schläge als und so weiter, 12 Schläge als . Jeder dieser Einträge wird als gewöhnlicher Bruch bezeichnet.
Jetzt geben wir einen General Definition gemeinsamer Brüche.
Die stimmhafte Definition gewöhnlicher Brüche ermöglicht es uns, zu bringen Beispiele für gemeinsame Brüche: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Und hier sind die Aufzeichnungen 
passen nicht zur stimmhaften Definition gewöhnlicher Brüche, das heißt, sie sind keine gewöhnlichen Brüche.
Zähler und Nenner
Der Einfachheit halber unterscheiden wir in gewöhnlichen Brüchen Zähler und Nenner.
Definition.
Zähler gewöhnlicher Bruch (m / n) ist eine natürliche Zahl m.
Definition.
Nenner gewöhnlicher Bruch (m / n) ist eine natürliche Zahl n.
Der Zähler befindet sich also über dem Bruchstrich (links vom Schrägstrich) und der Nenner unter dem Bruchstrich (rechts vom Schrägstrich). Nehmen wir zum Beispiel einen gewöhnlichen Bruch 17/29, der Zähler dieses Bruchs ist die Zahl 17 und der Nenner ist die Zahl 29.
Es bleibt zu diskutieren, welche Bedeutung Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs haben. Der Nenner des Bruchs gibt an, aus wie vielen Anteilen ein Posten besteht, der Zähler wiederum gibt die Anzahl solcher Anteile an. Zum Beispiel bedeutet der Nenner 5 des Bruchs 12/5, dass ein Element aus fünf Teilen besteht, und der Zähler 12 bedeutet, dass 12 solcher Teile genommen werden.
Natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1
Der Nenner eines gemeinsamen Bruchs kann sein gleich eins. In diesem Fall können wir davon ausgehen, dass das Objekt unteilbar ist, also etwas Ganzes. Der Zähler eines solchen Bruchs gibt an, wie viele ganze Elemente genommen werden. Ein gewöhnlicher Bruch der Form m/1 hat also die Bedeutung einer natürlichen Zahl m. So haben wir die Gleichheit m/1=m begründet.
Schreiben wir die letzte Gleichheit wie folgt um: m=m/1 . Diese Gleichheit erlaubt es uns, jede natürliche Zahl m als gewöhnlichen Bruch darzustellen. Beispielsweise ist die Zahl 4 der Bruch 4/1 und die Zahl 103498 der Bruch 103498/1.
So, jede natürliche Zahl m kann als gewöhnlicher Bruch mit dem Nenner 1 als m/1 dargestellt werden, und jeder gewöhnliche Bruch der Form m/1 kann durch eine natürliche Zahl m ersetzt werden.
Bruchstrich als Divisionszeichen
Die Darstellung des ursprünglichen Objekts in Form von n Anteilen ist nichts anderes als eine Teilung in n gleiche Teile. Nachdem der Gegenstand in n Anteile aufgeteilt wurde, können wir ihn gleichmäßig auf n Personen aufteilen – jeder erhält einen Anteil.
Wenn wir zunächst m identische Objekte haben, von denen jedes in n Anteile aufgeteilt ist, dann können wir diese m Objekte gleichmäßig auf n Personen aufteilen, wobei jeder Person ein Anteil von jedem der m Objekte gegeben wird. In diesem Fall hat jede Person m Anteile 1/n, und m Anteile 1/n ergeben einen gewöhnlichen Bruch m/n. Somit kann der gemeinsame Bruch m/n verwendet werden, um die Aufteilung von m Gegenständen auf n Personen darzustellen.
Wir haben also einen expliziten Zusammenhang zwischen gewöhnlichen Brüchen und Division (siehe die allgemeine Idee der Division natürlicher Zahlen). Diese Beziehung wird wie folgt ausgedrückt: Der Balken eines Bruches kann als Teilungszeichen verstanden werden, also m/n=m:n.
Mit Hilfe eines gewöhnlichen Bruchs kannst du das Ergebnis der Division von zwei schreiben natürliche Zahlen, für die keine ganzzahlige Division durchgeführt wird. Zum Beispiel kann das Ergebnis der Teilung von 5 Äpfeln durch 8 Personen als 5/8 geschrieben werden, das heißt, jeder erhält fünf Achtel eines Apfels: 5:8=5/8.
Gleiche und ungleiche gewöhnliche Brüche, Vergleich von Brüchen
Genügend natürliche Aktion ist ein Vergleich gemeinsamer Brüche, denn es ist klar, dass 1/12 einer Orange anders ist als 5/12 und 1/6 eines Apfels dasselbe ist wie das andere 1/6 dieses Apfels.
Als Ergebnis des Vergleichs zweier gewöhnlicher Brüche erhält man eines der Ergebnisse: Die Brüche sind entweder gleich oder ungleich. Im ersten Fall haben wir gleiche gemeinsame Brüche, und im zweiten ungleiche gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns eine Definition von gleichen und ungleichen gewöhnlichen Brüchen geben.
Definition.
gleich, wenn die Gleichheit a d=b c wahr ist.
Definition.
Zwei gemeinsame Brüche a/b und c/d nicht gleich, falls die Gleichheit a d=b c nicht erfüllt ist.
Hier sind einige Beispiele für gleiche Brüche. Zum Beispiel ist der gewöhnliche Bruch 1/2 gleich dem Bruch 2/4, da 1 4=2 2 (siehe ggf. Regeln und Beispiele zur Multiplikation natürlicher Zahlen). Zur Verdeutlichung können Sie sich zwei identische Äpfel vorstellen, der erste wird in zwei Hälften geschnitten und der zweite in 4 Anteile. Es ist offensichtlich, dass zwei Viertel eines Apfels 1/2 einer Aktie sind. Andere Beispiele für gleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 4/7 und 36/63 sowie das Bruchpaar 81/50 und 1620/1000.
Und die gewöhnlichen Brüche 4/13 und 5/14 sind nicht gleich, da 4 14=56 und 13 5=65, also 4 14≠13 5. Ein weiteres Beispiel für ungleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 17/7 und 6/4.
Wenn sich beim Vergleich zweier gewöhnlicher Brüche herausstellt, dass sie nicht gleich sind, müssen Sie möglicherweise herausfinden, welcher dieser gewöhnlichen Brüche kleiner eine andere, und welche mehr. Um dies herauszufinden, wird die Regel zum Vergleichen gewöhnlicher Brüche verwendet, deren Kern darin besteht, die verglichenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Ausführliche Informationen zu diesem Thema finden Sie im Artikel Vergleich von Brüchen: Regeln, Beispiele, Lösungen.
Bruchzahlen
Jeder Bruchteil ist ein Rekord Bruchzahl. Das heißt, ein Bruch ist nur eine „Hülle“ einer Bruchzahl, seiner Aussehen, und die gesamte semantische Last ist genau in einer Bruchzahl enthalten. Der Kürze und Einfachheit halber werden jedoch das Konzept eines Bruchs und einer Bruchzahl kombiniert und einfach als Bruch bezeichnet. Hier ist es angebracht, ein bekanntes Sprichwort zu paraphrasieren: wir sagen einen Bruch – wir meinen eine Bruchzahl, wir sagen eine Bruchzahl – wir meinen einen Bruch.
Brüche auf dem Koordinatenstrahl
Alle Bruchzahlen, die gewöhnlichen Brüchen entsprechen, haben ihre eigenen einzigartiger Ort on , das heißt, es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Bruchteilen und Punkten des Koordinatenstrahls.
Um zu dem Punkt zu gelangen, der dem Bruchteil m / n auf dem Koordinatenstrahl entspricht, müssen m Segmente vom Ursprung in positiver Richtung verschoben werden, deren Länge 1 / n des Einheitssegments beträgt. Solche Segmente erhält man, indem man ein einzelnes Segment in n gleiche Teile teilt, was immer mit Zirkel und Lineal möglich ist.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Punkt M auf dem Koordinatenstrahl zeigen, der dem Bruch 14/10 entspricht. Die Länge des Segments, das am Punkt O endet und dem nächstgelegenen Punkt, der mit einem kleinen Strich gekennzeichnet ist, beträgt 1/10 des Einheitssegments. Der Punkt mit der Koordinate 14/10 wird um 14 solcher Segmente vom Ursprung entfernt.
Gleiche Brüche entsprechen derselben Bruchzahl, dh gleiche Brüche sind die Koordinaten desselben Punktes auf dem Koordinatenstrahl. Beispielsweise entspricht ein Punkt den Koordinaten 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 auf dem Koordinatenstrahl, da alle geschriebenen Brüche gleich sind (er befindet sich im Abstand von der Hälfte des Einheitssegments, festgelegt vom Ursprung in positiver Richtung).
Auf einem horizontalen und nach rechts gerichteten Koordinatenstrahl befindet sich der Punkt, dessen Koordinate ein großer Bruch ist, rechts von dem Punkt, dessen Koordinate ein kleinerer Bruch ist. Ebenso liegt der Punkt mit der kleineren Koordinate links vom Punkt mit der größeren Koordinate.
Echte und unechte Brüche, Definitionen, Beispiele
Unter gewöhnlichen Brüchen gibt es echte und unechte Brüche. Diese Division hat im Grunde einen Vergleich von Zähler und Nenner.
Lassen Sie uns eine Definition von echten und unechten gewöhnlichen Brüchen geben.
Definition.
Richtiger Bruchteil ist ein gewöhnlicher Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, das heißt, wenn m Definition.
Unechter Bruch ist ein gewöhnlicher Bruch, bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, d. h. wenn m≥n, dann ist der gewöhnliche Bruch unecht. Hier sind einige Beispiele für echte Brüche: 1/4 , , 32 765/909 003 . Tatsächlich ist in jedem der geschriebenen gewöhnlichen Brüche der Zähler kleiner als der Nenner (siehe ggf. den Artikelvergleich der natürlichen Zahlen), sie sind also per Definition korrekt. Und hier sind Beispiele für unechte Brüche: 9/9, 23/4,. Tatsächlich ist der Zähler des ersten der geschriebenen gewöhnlichen Brüche gleich dem Nenner, und bei den verbleibenden Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner. Es gibt auch Definitionen von echten und unechten Brüchen, die auf dem Vergleich von Brüchen mit Eins basieren. Definition. Korrekt wenn es weniger als eins ist. Definition. Der gemeinsame Bruch heißt falsch, wenn es entweder gleich eins oder größer als 1 ist. Der gewöhnliche Bruch 7/11 ist also seit 7/11 korrekt<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 und 27/27=1 . Denken wir darüber nach, wie gewöhnliche Brüche mit einem Zähler größer oder gleich dem Nenner einen solchen Namen verdienen - "falsch". Nehmen wir als Beispiel den unechten Bruch 9/9. Dieser Bruch bedeutet, dass neun Teile eines Objekts genommen werden, das aus neun Teilen besteht. Das heißt, aus den verfügbaren neun Anteilen können wir ein ganzes Fach bilden. Das heißt, der unechte Bruch 9/9 ergibt im Wesentlichen ein ganzes Objekt, also 9/9=1. Im Allgemeinen bezeichnen unechte Brüche mit einem Zähler gleich dem Nenner ein ganzes Objekt, und ein solcher Bruch kann durch eine natürliche Zahl 1 ersetzt werden. Betrachten Sie nun die unechten Brüche 7/3 und 12/4. Es ist ziemlich offensichtlich, dass wir aus diesen sieben Dritteln zwei ganze Objekte machen können (ein ganzes Objekt sind 3 Anteile, dann brauchen wir zum Zusammensetzen von zwei ganzen Objekten 3 + 3 = 6 Anteile) und es wird immer noch einen Drittelanteil geben. Das heißt, der unechte Bruch 7/3 bedeutet im Wesentlichen 2 Artikel und sogar 1/3 des Anteils eines solchen Artikels. Und aus zwölf Vierteln können wir drei ganze Objekte machen (drei Objekte mit je vier Teilen). Das heißt, der Bruch 12/4 bedeutet im Wesentlichen 3 ganze Objekte. Die betrachteten Beispiele führen uns zu folgendem Schluss: Unechte Brüche können entweder durch natürliche Zahlen ersetzt werden, wenn der Zähler ganz durch den Nenner dividiert wird (zB 9/9=1 und 12/4=3), oder durch die Summe von eine natürliche Zahl und ein echter Bruch, wenn der Zähler nicht ohne Rest durch den Nenner teilbar ist (z. B. 7/3=2+1/3 ). Vielleicht verdienen unechte Brüche genau deshalb einen solchen Namen – „falsch“. Von besonderem Interesse ist die Darstellung eines unechten Bruchs als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs (7/3=2+1/3). Dieser Vorgang wird als Extraktion eines ganzzahligen Teils aus einem unechten Bruch bezeichnet und verdient eine separate und sorgfältigere Betrachtung. Es ist auch erwähnenswert, dass es eine sehr enge Beziehung zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen gibt. Jeder gewöhnliche Bruch entspricht einer positiven Bruchzahl (siehe Artikel positive und negative Zahlen). Das heißt, gewöhnliche Brüche sind positive Brüche. Zum Beispiel sind gewöhnliche Brüche 1/5, 56/18, 35/144 positive Brüche. Wenn es notwendig ist, die Positivität eines Bruchs hervorzuheben, wird ihm ein Pluszeichen vorangestellt, z. B. +3/4, +72/34. Wenn Sie einem gewöhnlichen Bruch ein Minuszeichen voranstellen, entspricht dieser Eintrag einer negativen Bruchzahl. In diesem Fall kann man von sprechen negative Brüche. Hier sind einige Beispiele für negative Brüche: −6/10 , −65/13 , −1/18 . Die positiven und negativen Brüche m/n und −m/n sind entgegengesetzte Zahlen. Beispielsweise sind die Brüche 5/7 und –5/7 entgegengesetzte Brüche. Positive Brüche bezeichnen, wie positive Zahlen im Allgemeinen, eine Steigerung, ein Einkommen, eine Wertänderung nach oben usw. Negative Brüche entsprechen Kosten, Schulden, einer Wertänderung in Richtung Abnahme. Beispielsweise kann ein negativer Bruchteil -3/4 als Schuld interpretiert werden, deren Wert 3/4 beträgt. Auf der Horizontalen und nach rechts gerichtete negative Brüche befinden sich links vom Referenzpunkt. Die Punkte der Koordinatenlinie, deren Koordinaten der positive Bruch m/n und der negative Bruch –m/n sind, befinden sich im gleichen Abstand vom Ursprung, aber auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes O . Erwähnenswert sind hier Brüche der Form 0/n. Diese Brüche sind gleich der Zahl Null, also 0/n=0 . Positive Brüche, negative Brüche und 0/n-Brüche bilden zusammen rationale Zahlen. Eine Aktion mit gewöhnlichen Brüchen – das Vergleichen von Brüchen – haben wir bereits oben betrachtet. Vier weitere Arithmetik sind definiert Operationen mit Brüchen- Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Lassen Sie uns auf jeden von ihnen eingehen. Das allgemeine Wesen von Aktionen mit Brüchen ähnelt dem Wesen der entsprechenden Aktionen mit natürlichen Zahlen. Lassen Sie uns eine Analogie ziehen. Multiplikation von Brüchen kann als eine Aktion betrachtet werden, bei der ein Bruch aus einem Bruch gefunden wird. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel. Angenommen, wir haben 1/6 eines Apfels und wir müssen 2/3 davon nehmen. Der Teil, den wir brauchen, ist das Ergebnis der Multiplikation der Brüche 1/6 und 2/3. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gewöhnlicher Brüche ist ein gewöhnlicher Bruch (der in einem bestimmten Fall einer natürlichen Zahl entspricht). Weiterhin empfehlen wir, die Informationen des Artikels Multiplikation von Brüchen - Regeln, Beispiele und Lösungen zu studieren. Referenzliste. 2. ABBILDUNG DER BRÜCKE AUF DEM KOORDINATENSTRAHL (S. 23) Die Ziele der Tätigkeit des Lehrers: den Begriff der gewöhnlichen Brüche zu bilden; zur Förderung der Entwicklung von mathematischer Sprache, Arbeitsgedächtnis, freiwilliger Aufmerksamkeit, visuell-effektivem Denken; eine Verhaltenskultur in Frontal- und Einzelarbeit zu pflegen Thema: Schritt für Schritt die Korrektheit und Vollständigkeit des Algorithmus der Rechenoperation kontrollieren. Persönlich: Sie erklären sich ihre bemerkenswertesten Leistungen, zeigen kognitives Interesse am Studium des Fachs, geben eine positive Einschätzung und Selbsteinschätzung der Ergebnisse ihrer Aktivitäten ab. Meta-Thema: - Regulierung: das Ziel der Bildungstätigkeit bestimmen, nach einem Mittel suchen, um es zu erreichen; - kognitiv: Schlussfolgerungen in Form von Regeln schreiben "wenn ..., dann ..."; - kommunikativ: Sie sind in der Lage, ihren Standpunkt zu verteidigen, zu argumentieren und mit Fakten zu untermauern. Hilfsmittel: Karten zur Kontrolle der Hausaufgaben. I. UNTERRICHTSPLAN: Organisatorischer Moment. Persönliches UUD: Entwicklung von kognitivem Interesse, Mobilisierung von Aufmerksamkeit, Respekt vor anderen. G e l l e s, das Thema und die Ziele der Unterrichtsstunde äußern. II. Überprüfung der Hausaufgaben. Personal UUD: Bedeutungsbildung. Kommunikatives UUD: die Fähigkeit, mit dem Lehrer zusammenzuarbeiten. Überprüfung der Tabelle. III. Aktualisierung des Wissens der Schüler. Kommunikatives UUD: die Fähigkeit zuzuhören, sich auf einen Dialog einzulassen. Regulatorische UUD: Planung ihrer Aktivitäten, Zielsetzung. mündliche Übungen. Sie werden mit der Klasse abgehalten, gleichzeitig entscheiden sechs Personen an den ersten Pulten und vier Personen an der Tafel über Karten. Mündlich: Nr. 910 (c, d), 912, 916. Hinter den ersten Pulten: Möglichkeit I 1) Notieren Sie die Zahl in Zahlen: a) ein Neuntel; b) ein Dreißigstel. 2) Es sind 18 Bälle in der Schachtel. einige sind schwarze Kugeln, der Rest ist weiß. Wie viele weiße Kugeln sind in der Schachtel? 3) Lösen Sie die Gleichung: p - 375 = 2341. - gelb, Option II 1) Schreiben Sie die Zahl in Zahlen auf: a) ein Siebzehntel; b) ein Neuntel. 2) Touristen legten 36 km zurück. Ein Teil der Reise war zu Fuß, ein Teil mit dem Boot, der Rest mit dem Bus. Wie viele Kilometer sind die Touristen mit dem Bus gefahren? 3) Lösen Sie die Gleichung: 85 - z = 36. Karten für diejenigen, die an der Tafel antworten. Karte 1. 1) Ein Stoffstück wurde in 12 gleiche Teile geschnitten. Welchen Anteil am Gesamtstück hat jedes Stück? Was ist eine Aktie? 2) Was nennt man eine Gleichung? Karte 2. Wie heißen die Aktien? ; ? Was ist eine halbe Stunde? Welcher Bruchteil eines Meters entspricht 1 cm? 2) Was ist die Wurzel der Gleichung? Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Karte 3. 1) Drücken Sie den schraffierten Teil des Kreises als Bruch aus. Warum steht diese Zahl im Nenner? Was zeigt es? Warum steht eine solche Zahl im Zähler? Was zeigt es? 2) Wie findet man den unbekannten Subtrahend? Gib ein Beispiel. Karte 4. 1) Drücken Sie den nicht schraffierten Teil der Figur als Bruch aus. Erklären Sie, warum diese Zahlen in Zähler und Nenner geschrieben werden. 2) Wie finde ich den unbekannten Minuend? Gib ein Beispiel. IV. Neues Material lernen. Persönliche UUD: moralische und ethische Orientierung. Kommunikatives UUD: Definition des Zwecks, Interaktionsmöglichkeiten. Verstehen: Zähler, Nenner. 1. 1 m = 10 dm = 100 cm 1 cm = m; 1 dm = m; 1 kg \u003d 1000 g 1 g \u003d kg 2. Das Bild von Brüchen auf dem Koordinatenstrahl. 3. Aufzeichnen eines gewöhnlichen Bruchs, Bestimmen des Zählers, Nenners. 4. Was zeigt der Nenner? Was zeigt der Zähler? V. Konsolidierung. 1. Mündlich Nr. 926 (Hausübung), Nr. 896. 2. Nr. 899, 898 (unabhängig). 3. Punkte C auf dem Koordinatenstrahl markieren; D und E. Fragen Sie zuerst die Schüler: „Welche Länge ist bequemer, um ein einzelnes Segment zu nehmen? Wieso den?". 4. Nr. 900 (lesen), Nr. 901, 903 (selbstständig). 5. Zur Wiederholung: Nr. 920, 924 (1). VI. Reflexion der Aktivität. Persönliche UUD: moralische und ethische Orientierung. Regulatorisches UUD: Bewertung von Zwischenergebnissen und Selbstregulation zur Steigerung der Lernmotivation. Entscheiden Sie selbst: 1. Die Länge eines Drahtstücks beträgt 12 m. Bei der Reparatur einer Tischlampe wurde dieses Stück aufgebraucht. Wie viele Meter Kabel bleiben übrig? 2. Das Werk erhielt 120 neue Maschinen. In der ersten Werkstatt wurden die erhaltenen Maschinen installiert. Wie viele neue Maschinen wurden in der ersten Werkstatt installiert? VII. Hausaufgaben: S. 23; Nr. 928, 927, 937, wiederholen Sie die Absätze 4, 11.Positive und negative Brüche
Aktionen mit Brüchen