Wie man Gleichungen mit rationalen Zahlen löst. Lösung gebrochener rationaler Gleichungen

Ein ganzzahliger Ausdruck ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen und Literalvariablen besteht und die Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation verwendet. Ganzzahlen umfassen auch Ausdrücke, die eine Division durch eine andere Zahl als Null beinhalten.

Das Konzept eines gebrochenen rationalen Ausdrucks

Ein Bruchausdruck ist ein mathematischer Ausdruck, der neben den Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Zahlen und Literalvariablen sowie der Division durch eine Zahl ungleich Null auch die Division in Ausdrücke mit Literalvariablen enthält.

Rationale Ausdrücke sind alle Ganzzahl- und Bruchausdrücke. Rationale Gleichungen sind Gleichungen, deren linke und rechte Seite rationale Ausdrücke sind. Wenn in einer rationalen Gleichung der linke und der rechte Teil ganzzahlige Ausdrücke sind, dann wird eine solche rationale Gleichung ganzzahlig genannt.

Wenn in einer rationalen Gleichung der linke oder der rechte Teil Bruchausdrücke sind, dann wird eine solche rationale Gleichung als Bruch bezeichnet.

Beispiele für gebrochene rationale Ausdrücke

1.x-3/x=-6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Schema zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung

1. Finden Sie den gemeinsamen Nenner aller Brüche, die in der Gleichung enthalten sind.

2. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner.

3. Lösen Sie die resultierende ganze Gleichung.

4. Überprüfen Sie die Wurzeln und schließen Sie diejenigen aus, die den gemeinsamen Nenner auf Null bringen.

Da wir gebrochen lösen rationale Gleichungen, dann sind die Nenner der Brüche Variablen. Sie werden also auf einem gemeinsamen Nenner stehen. Und im zweiten Absatz des Algorithmus multiplizieren wir mit einem gemeinsamen Nenner, dann können fremde Wurzeln auftreten. Bei dem der gemeinsame Nenner gleich Null ist, was bedeutet, dass die Multiplikation damit bedeutungslos ist. Überprüfen Sie daher am Ende unbedingt die erhaltenen Wurzeln.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Lösen Sie eine gebrochene rationale Gleichung: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Bleiben wir dabei allgemeines Schema: Finden Sie zuerst den gemeinsamen Nenner aller Brüche. Wir erhalten x*(x-5).

Multiplizieren Sie jeden Bruch mit einem gemeinsamen Nenner und schreiben Sie die resultierende ganze Gleichung.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Vereinfachen wir die resultierende Gleichung. Wir bekommen:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Wir haben eine einfache reduzierte quadratische Gleichung. Wir lösen es mit einer der bekannten Methoden, wir erhalten die Wurzeln x=-2 und x=5.

Jetzt überprüfen wir die erhaltenen Lösungen:

Wir ersetzen die Zahlen -2 und 5 im gemeinsamen Nenner. Bei x=-2 verschwindet der gemeinsame Nenner x*(x-5) nicht, -2*(-2-5)=14. Die Zahl -2 ist also die Wurzel der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung.

Bei x=5 wird der gemeinsame Nenner x*(x-5). Null. Daher ist diese Zahl nicht die Wurzel der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung, da es eine Division durch Null geben wird.

Der kleinste gemeinsame Nenner wird verwendet, um diese Gleichung zu vereinfachen. Diese Methode wird verwendet, wenn Sie die gegebene Gleichung nicht mit einem rationalen Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung schreiben können (und die Kreuzmultiplikationsmethode verwenden). Diese Methode wird verwendet, wenn Sie eine rationale Gleichung mit 3 oder mehr Brüchen erhalten (bei zwei Brüchen ist Kreuzmultiplikation besser).

Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen (oder das kleinste gemeinsame Vielfache). NOZ ist kleinste Zahl, die durch jeden Nenner ohne Rest teilbar ist.

• Manchmal ist NOZ eine offensichtliche Nummer. Wenn zum Beispiel die Gleichung gegeben ist: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, dann ist es offensichtlich, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 3, 2 und 6 6 sein wird.
• Wenn das NOD nicht offensichtlich ist, schreiben Sie die Vielfachen des größten Nenners auf und finden Sie darunter eines, das auch ein Vielfaches der anderen Nenner ist. Sie können das NOD oft finden, indem Sie einfach zwei Nenner miteinander multiplizieren. Wenn zum Beispiel die Gleichung x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 gegeben ist, dann ist NOZ = 8*9 = 72.
• Wenn ein oder mehrere Nenner eine Variable enthalten, dann ist der Vorgang etwas komplizierter (aber nicht unmöglich). In diesem Fall ist die NOZ ein Ausdruck (der eine Variable enthält), der durch jeden Nenner teilbar ist. Zum Beispiel in der Gleichung 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), weil dieser Ausdruck durch jeden Nenner teilbar ist: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Multiplizieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner jedes Bruchs mit einer Zahl, die dem Ergebnis der Division von NOZ durch den entsprechenden Nenner jedes Bruchs entspricht. Da du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst, multiplizierst du effektiv einen Bruch mit 1 (z. B. 2/2 = 1 oder 3/3 = 1).

• Multiplizieren Sie also in unserem Beispiel x/3 mit 2/2, um 2x/6 zu erhalten, und multiplizieren Sie 1/2 mit 3/3, um 3/6 zu erhalten (3x + 1/6 muss nicht multipliziert werden, da dies der Nenner ist 6).
• Gehen Sie analog vor, wenn die Variable im Nenner steht. In unserem zweiten Beispiel ist NOZ = 3x(x-1), multiplizieren Sie also 5/(x-1) mit (3x)/(3x), um 5(3x)/(3x)(x-1) zu erhalten; 1/x mal 3(x-1)/3(x-1), um 3(x-1)/3x(x-1) zu erhalten; 2/(3x) multipliziert mit (x-1)/(x-1) und du erhältst 2(x-1)/3x(x-1).

x finden. Jetzt, wo du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht hast, kannst du den Nenner loswerden. Multiplizieren Sie dazu jede Seite der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner. Lösen Sie dann die resultierende Gleichung, dh finden Sie "x". Isolieren Sie dazu die Variable auf einer Seite der Gleichung.

• In unserem Beispiel: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Du kannst 2 Brüche mit demselben Nenner addieren, also schreibe die Gleichung wie folgt: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 6 und entfernen Sie die Nenner: 2x+3 = 3x +1. Löse und erhalte x = 2.
• In unserem zweiten Beispiel (mit einer Variablen im Nenner) sieht die Gleichung so aus (nach Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Indem Sie beide Seiten der Gleichung mit NOZ multiplizieren, werden Sie den Nenner los und erhalten: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) oder 15x = 3x - 3 + 2x -2, oder 15x = x - 5 Löse und erhalte: x = -5/14.

Lösung gebrochener rationaler Gleichungen

Hilfestellung

Rationale Gleichungen sind Gleichungen, bei denen sowohl die linke als auch die rechte Seite rationale Ausdrücke sind.

(Zur Erinnerung: rationale Ausdrücke sind ganzzahlige und gebrochene Ausdrücke ohne Radikale, einschließlich der Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division - zum Beispiel: 6x; (m - n) 2; x / 3y usw.)

Bruchrationale Gleichungen werden in der Regel auf die Form reduziert:

Wo P(x) und Q(x) sind Polynome.

Um solche Gleichungen zu lösen, multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit Q(x), was zu fremden Wurzeln führen kann. Daher ist es beim Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen notwendig, die gefundenen Wurzeln zu überprüfen.

Eine rationale Gleichung heißt ganze Zahl oder algebraisch, wenn sie keine Division durch einen Ausdruck hat, der eine Variable enthält.

Beispiele für eine ganze rationale Gleichung:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Wenn in einer rationalen Gleichung eine Division durch einen Ausdruck erfolgt, der die Variable (x) enthält, dann wird die Gleichung fraktional rational genannt.

Ein Beispiel für eine gebrochene rationale Gleichung:

15
x + - = 5x - 17
x

Gebrochene rationale Gleichungen werden normalerweise wie folgt gelöst:

1) finde einen gemeinsamen Nenner von Brüchen und multipliziere beide Teile der Gleichung damit;

2) löse die resultierende ganze Gleichung;

3) diejenigen von ihren Wurzeln ausschließen, die den gemeinsamen Nenner der Brüche auf Null bringen.

Beispiele zum Lösen ganzzahliger und gebrochener rationaler Gleichungen.

Beispiel 1. Lösen Sie die gesamte Gleichung

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Lösung:

Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Nenner. Das ist 6. Dividiere 6 durch den Nenner und multipliziere das Ergebnis mit dem Zähler jedes Bruchs. Wir erhalten eine Gleichung, die dieser entspricht:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Da die linke und rechte Seite gleichen Nenner, kann weggelassen werden. Dann haben wir eine einfachere Gleichung:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Wir lösen es, indem wir Klammern öffnen und ähnliche Terme reduzieren:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Beispiel gelöst.

Beispiel 2. Lösen Sie eine gebrochene rationale Gleichung

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Wir finden einen gemeinsamen Nenner. Das ist x(x - 5). So:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Jetzt werden wir den Nenner wieder los, da er für alle Ausdrücke gleich ist. Wir reduzieren gleiche Terme, setzen die Gleichung auf Null und erhalten eine quadratische Gleichung:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Nachdem wir die quadratische Gleichung gelöst haben, finden wir ihre Wurzeln: -2 und 5.

Prüfen wir, ob diese Zahlen die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Für x = –2 verschwindet der gemeinsame Nenner x(x – 5) nicht. Also ist -2 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Bei x = 5 verschwindet der gemeinsame Nenner und zwei der drei Ausdrücke verlieren ihre Bedeutung. Die Zahl 5 ist also nicht die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antwort: x = -2

Mehr Beispiele

Beispiel 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.

Antwort: -2,2; 6.

Beispiel 2

Unterrichtsziele:

Lernprogramm:

• Bildung des Konzepts der gebrochenen rationalen Gleichungen;
• verschiedene Möglichkeiten zur Lösung von gebrochenen rationalen Gleichungen zu betrachten;
• Betrachten Sie einen Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen, einschließlich der Bedingung, dass der Bruch gleich Null ist;
• die Lösung von gebrochenen rationalen Gleichungen nach dem Algorithmus zu lehren;
• Überprüfung des Assimilationsgrades des Themas durch Durchführung von Testarbeiten.

Entwicklung:

• Entwicklung der Fähigkeit, mit dem erworbenen Wissen richtig umzugehen, logisch zu denken;
• Entwicklung intellektueller Fähigkeiten u mentale Operationen- Analyse, Synthese, Vergleich und Verallgemeinerung;
• Entwicklung der Initiative, der Fähigkeit, Entscheidungen zu treffen, um dort nicht aufzuhören;
• Entwicklung des kritischen Denkens;
• Entwicklung von Forschungskompetenzen.

Pflege:

• Erziehung kognitives Interesse zum Thema;
• Erziehung zur Selbständigkeit bei der Lösung von Erziehungsproblemen;
• Erziehung des Willens und der Ausdauer, um die endgültigen Ergebnisse zu erzielen.

Unterrichtstyp: Lektion - Erklärung des neuen Materials.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment.

Hallo Leute! Gleichungen werden an die Tafel geschrieben, schauen Sie sie sich genau an. Können Sie alle diese Gleichungen lösen? Welche nicht und warum?

Gleichungen, bei denen die linke und die rechte Seite gebrochene rationale Ausdrücke sind, werden gebrochene rationale Gleichungen genannt. Was denkst du, werden wir heute im Unterricht lernen? Formulieren Sie das Unterrichtsthema. Also öffnen wir Notizbücher und schreiben das Thema der Lektion „Lösung gebrochener rationaler Gleichungen“ auf.

2. Aktualisierung des Wissens. Frontale Befragung, mündliche Arbeit mit der Klasse.

Und jetzt werden wir das wichtigste theoretische Material wiederholen, das wir studieren müssen neues Thema. Bitte beantworten Sie die folgenden Fragen:

1. Was ist eine Gleichung? ( Gleichheit mit einer oder mehreren Variablen.)
2. Wie heißt Gleichung #1? ( Linear.) Lösungsweg lineare Gleichungen. (Bewege alles mit der Unbekannten auf die linke Seite der Gleichung, alle Zahlen nach rechts. Bringen Sie ähnliche Begriffe. Finde den unbekannten Multiplikator).
3. Wie heißt Gleichung 3? ( Quadrat.) Wege zu lösen quadratische Gleichungen. (Auswahl volles Quadrat, durch Formeln unter Verwendung des Vieta-Theorems und seiner Folgerungen.)
4. Was ist ein Anteil? ( Gleichheit zweier Relationen.) Die Haupteigenschaft der Proportion. ( Wenn der Anteil wahr ist, dann ist das Produkt seiner extremen Terme gleich dem Produkt der mittleren Terme.)
5. Welche Eigenschaften werden zum Lösen von Gleichungen verwendet? ( 1. Wenn wir in der Gleichung den Term von einem Teil auf einen anderen übertragen und sein Vorzeichen ändern, erhalten wir eine Gleichung, die der angegebenen entspricht. 2. Wenn beide Teile der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.)
6. Wann ist ein Bruch gleich Null? ( Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null und der Nenner nicht Null ist.)

3. Erläuterung des neuen Materials.

Lösen Sie Gleichung Nr. 2 in Heften und an der Tafel.

Antworten: 10.

Die gebrochene rationale Gleichung können Sie versuchen, das Problem mit der grundlegenden Proportionseigenschaft zu lösen? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Lösen Sie Gleichung Nr. 4 in Heften und an der Tafel.

Antworten: 1,5.

Welche rationale Bruchgleichung kannst du versuchen zu lösen, indem du beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner multiplizierst? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D = 1 > 0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Antworten: 3;4.

Versuchen Sie nun, Gleichung #7 auf eine der Arten zu lösen.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 – 2 x – 5) x (x – 5) – x (x – 5) (x + 5) = 0			x2-2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Antworten: 0;5;-2.			Antworten: 5;-2.

Erklären Sie, warum das passiert ist? Warum gibt es in einem Fall drei Wurzeln und in dem anderen zwei? Welche Zahlen sind die Wurzeln dieser gebrochenen rationalen Gleichung?

Bis jetzt haben die Schüler das Konzept einer fremden Wurzel nicht kennengelernt, es ist wirklich sehr schwierig für sie zu verstehen, warum dies passiert ist. Wenn niemand in der Klasse eine klare Erklärung für diese Situation geben kann, stellt der Lehrer Leitfragen.

• Wie unterscheiden sich die Gleichungen Nr. 2 und 4 von den Gleichungen Nr. 5,6,7? ( In den Gleichungen Nr. 2 und 4 im Nenner der Zahl Nr. 5-7 - Ausdrücke mit einer Variablen.)
• Was ist die Wurzel der Gleichung? ( Der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung eine wahre Gleichheit wird.)
• Wie finde ich heraus, ob eine Zahl die Wurzel einer Gleichung ist? ( Machen Sie einen Scheck.)

Bei einem Test fällt einigen Schülern auf, dass sie durch Null dividieren müssen. Sie schließen daraus, dass die Zahlen 0 und 5 nicht die Wurzeln dieser Gleichung sind. Es stellt sich die Frage: Gibt es eine Möglichkeit, gebrochene rationale Gleichungen zu lösen, die diesen Fehler eliminiert? Ja, diese Methode basiert auf der Bedingung, dass der Bruch gleich Null ist.

x 2 -3 x -10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Wenn x=5, dann x(x-5)=0, also ist 5 eine irrelevante Wurzel.

Wenn x=-2, dann x(x-5)≠0.

Antworten: -2.

Versuchen wir, auf diese Weise einen Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen zu formulieren. Kinder selbst formulieren den Algorithmus.

Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen:

1. Bewegen Sie alles nach links.
2. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
3. Erstelle ein System: Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null ist und der Nenner nicht Null ist.
4. Löse die Gleichung.
5. Überprüfen Sie die Ungleichheit, um fremde Wurzeln auszuschließen.
6. Schreibe die Antwort auf.

Diskussion: Wie kann man die Lösung formalisieren, wenn die grundlegende Eigenschaft der Proportionen verwendet wird und die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner. (Ergänze die Lösung: schließe diejenigen von ihren Wurzeln aus, die den gemeinsamen Nenner auf Null bringen).

4. Primäres Verständnis von neuem Material.

Partnerarbeit. Die Schüler entscheiden selbst, wie sie die Gleichung lösen, je nach Art der Gleichung. Aufgaben aus dem Lehrbuch "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600 (b, c, i); Nr. 601 (a, e, g). Der Lehrer kontrolliert die Ausführung der Aufgabe, beantwortet die aufgetretenen Fragen und unterstützt leistungsschwache Schüler. Selbsttest: Antworten werden an die Tafel geschrieben.

b) 2 ist eine Fremdwurzel. Antwort:3.

c) 2 ist eine Fremdwurzel. Antwort: 1.5.

a) Antwort: -12.5.

g) Antwort: 1; 1.5.

5. Erklärung der Hausaufgaben.

1. Lesen Sie Punkt 25 aus dem Lehrbuch, analysieren Sie die Beispiele 1-3.
2. Lernen Sie den Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen.
3. Lösen Sie in den Heften Nr. 600 (a, d, e); Nr. 601 (g, h).
4. Versuchen Sie, #696(a) zu lösen (optional).

6. Erfüllung der Kontrollaufgabe zum untersuchten Thema.

Die Arbeit erfolgt auf Blättern.

Stellenbeispiel:

A) Welche der Gleichungen sind gebrochen rational?

B) Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler ______________________ und der Nenner _______________________ ist.

F) Ist die Zahl -3 die Wurzel von Gleichung #6?

D) Gleichung Nr. 7 lösen.

Bewertungskriterien für Aufgaben:

• „5“ wird vergeben, wenn der Schüler mehr als 90 % der Aufgabe richtig gelöst hat.
• "4" - 75 % -89 %
• "3" - 50 % -74 %
• "2" wird an einen Schüler vergeben, der weniger als 50 % der Aufgabe erledigt hat.
• Note 2 wird nicht ins Tagebuch eingetragen, Note 3 ist optional.

7. Reflexion.

Auf den Flugblättern mit unabhängiger Arbeit schreiben Sie:

• 1 - wenn der Unterricht für Sie interessant und verständlich war;
• 2 - interessant, aber nicht klar;
• 3 - nicht interessant, aber verständlich;
• 4 - nicht interessant, nicht klar.

8. Zusammenfassung der Lektion.

Also haben wir uns heute in der Lektion mit gebrochenen rationalen Gleichungen vertraut gemacht und gelernt, wie man diese Gleichungen löst verschiedene Wege, testeten ihr Wissen mit Hilfe von Schulungen unabhängige Arbeit. Die Ergebnisse der selbstständigen Arbeit lernen Sie in der nächsten Stunde kennen, zu Hause haben Sie die Möglichkeit, das erworbene Wissen zu festigen.

Welche Methode zur Lösung gebrochener rationaler Gleichungen ist Ihrer Meinung nach einfacher, zugänglicher und rationaler? Unabhängig von der Methode zur Lösung von gebrochenen rationalen Gleichungen, was sollte nicht vergessen werden? Was ist die "List" von gebrochenen rationalen Gleichungen?

Vielen Dank an alle, die Lektion ist vorbei.

"Rationale Gleichungen mit Polynomen" ist eines der am häufigsten anzutreffenden Themen in Testaufgaben VERWENDUNG in der Mathematik. Aus diesem Grund sollte auf ihre Wiederholung verzichtet werden Besondere Aufmerksamkeit. Viele Studenten stehen vor dem Problem, die Diskriminante zu finden, Indikatoren von der rechten Seite auf die linke Seite zu übertragen und die Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, was die Bewältigung solcher Aufgaben erschwert. Das Lösen von rationalen Gleichungen zur Vorbereitung auf die Prüfung auf unserer Website hilft Ihnen, Aufgaben jeder Komplexität schnell zu bewältigen und die Prüfung perfekt zu bestehen.

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