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Allgemeines Schema zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung. Rationale Gleichungen - Wissens-Hypermarkt

Smirnowa Anastasia Jurjewna

Unterrichtsart: Lektion lernen neues Material.

Organisationsform Aktivitäten lernen : frontal, individuell.

Der Zweck der Lektion: eine neue Art von Gleichungen einzuführen - gebrochene rationale Gleichungen, eine Vorstellung über den Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen zu geben.

Unterrichtsziele.

Lernprogramm:

Bildung des Konzepts einer fraktional rationalen Gleichung;
Betrachten Sie einen Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen, einschließlich der Bedingung, dass der Bruch gleich Null ist;
die Lösung gebrochener rationaler Gleichungen nach dem Algorithmus zu lehren.

Entwicklung:

Bedingungen für die Bildung von Fähigkeiten schaffen, um das erworbene Wissen anzuwenden;
zur Entwicklung beitragen kognitives Interesse Studierende zum Thema;
Entwicklung der Fähigkeit der Schüler, zu analysieren, zu vergleichen und Schlussfolgerungen zu ziehen;
Entwicklung von Fähigkeiten zur gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle, Aufmerksamkeit, Gedächtnis, mündliche und schriftliche Rede, Unabhängigkeit.

Pflege:

Bildung von kognitivem Interesse am Fach;
Erziehung zur Selbständigkeit bei der Lösung von Erziehungsproblemen;
Erziehung des Willens und der Ausdauer, um die endgültigen Ergebnisse zu erzielen.

Ausrüstung: Lehrbuch, Tafel, Buntstifte.

Lehrbuch "Algebra 8". Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorov, herausgegeben von S.A.Telyakovsky. Moskauer „Aufklärung“. 2010

Auf der dieses Thema fünf Stunden sind vorgesehen. Diese Lektion ist die erste. Die Hauptsache ist, den Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen zu studieren und diesen Algorithmus in Übungen zu erarbeiten.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment.

Hallo Leute! Heute möchte ich unseren Unterricht mit einem Vierzeiler beginnen:
Um das Leben für alle einfacher zu machen
Was würde entschieden werden, was könnte,
Lächeln, viel Glück an alle
Egal welche Probleme
Lächelte sich an, erstellt gute Laune und begann mit der Arbeit.

Gleichungen werden an die Tafel geschrieben, schauen Sie sie sich genau an. Können Sie alle diese Gleichungen lösen? Welche nicht und warum?

Gleichungen, bei denen die linke und die rechte Seite gebrochene rationale Ausdrücke sind, werden gebrochene rationale Gleichungen genannt. Was denkst du, werden wir heute im Unterricht lernen? Formulieren Sie das Unterrichtsthema. Also öffnen wir Notizbücher und schreiben das Thema der Lektion „Lösung gebrochener rationaler Gleichungen“ auf.

2. Aktualisierung des Wissens. Frontale Befragung, mündliche Arbeit mit der Klasse.

Und jetzt werden wir das wichtigste theoretische Material wiederholen, das wir studieren müssen neues Thema. Bitte beantworten Sie die folgenden Fragen:

Was ist eine Gleichung? ( Gleichheit mit einer oder mehreren Variablen.)
Wie heißt Gleichung #1? ( Linear.) Lösungsweg lineare Gleichungen. (Bewege alles mit der Unbekannten auf die linke Seite der Gleichung, alle Zahlen nach rechts. Bringen Sie ähnliche Begriffe. Finde den unbekannten Multiplikator).
Wie heißt Gleichung 3? ( Quadrat.) Wege zu lösen quadratische Gleichungen. (P über Formeln)
Was ist ein Anteil? ( Gleichheit zweier Relationen.) Die Haupteigenschaft der Proportion. ( Wenn der Anteil wahr ist, dann ist das Produkt seiner extremen Terme gleich dem Produkt der mittleren Terme.)
Welche Eigenschaften werden zum Lösen von Gleichungen verwendet? ( 1. Wenn wir in der Gleichung den Term von einem Teil auf einen anderen übertragen und sein Vorzeichen ändern, erhalten wir eine Gleichung, die der angegebenen entspricht. 2. Wenn beide Teile der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.)
Wann ist ein Bruch gleich Null? ( Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null und der Nenner nicht Null ist.)

3. Erläuterung des neuen Materials.

Lösen Sie Gleichung Nr. 2 in Heften und an der Tafel.

Antworten: 10.

Die gebrochene rationale Gleichung können Sie versuchen, das Problem mit der grundlegenden Proportionseigenschaft zu lösen? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Lösen Sie Gleichung Nr. 4 in Heften und an der Tafel.

Antworten: 1,5.

Welche rationale Bruchgleichung kannst du versuchen zu lösen, indem du beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner multiplizierst? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D = 1 > 0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Antworten: 3;4.

Wir werden die Lösung von Gleichungen vom Typ der Gleichung Nr. 7 in den folgenden Lektionen betrachten.

Erklären Sie, warum das passiert ist? Warum gibt es in einem Fall drei Wurzeln und in dem anderen zwei? Welche Zahlen sind die Wurzeln dieser gebrochenen rationalen Gleichung?

Bis jetzt haben die Schüler das Konzept einer fremden Wurzel nicht kennengelernt, es ist wirklich sehr schwierig für sie zu verstehen, warum dies passiert ist. Wenn niemand in der Klasse eine klare Erklärung für diese Situation geben kann, stellt der Lehrer Leitfragen.

Wie unterscheiden sich die Gleichungen Nr. 2 und 4 von den Gleichungen Nr. 5.6? ( In den Gleichungen Nr. 2 und 4 im Nenner der Zahl Nr. 5-6 - Ausdrücke mit einer Variablen.)
Was ist die Wurzel der Gleichung? ( Der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung eine wahre Gleichheit wird.)
Wie finde ich heraus, ob eine Zahl die Wurzel einer Gleichung ist? ( Machen Sie einen Scheck.)

Bei einem Test fällt einigen Schülern auf, dass sie durch Null dividieren müssen. Sie schließen daraus, dass die Zahlen 0 und 5 nicht die Wurzeln dieser Gleichung sind. Es stellt sich die Frage: Gibt es eine Möglichkeit, gebrochene rationale Gleichungen zu lösen, die diesen Fehler eliminiert? Ja, diese Methode basiert auf der Bedingung, dass der Bruch gleich Null ist.

Versuchen wir, auf diese Weise einen Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen zu formulieren. Kinder selbst formulieren den Algorithmus.

Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen:

Bewegen Sie alles nach links.
Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
Erstelle ein System: Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null ist und der Nenner nicht Null ist.
Löse die Gleichung.
Überprüfen Sie die Ungleichheit, um fremde Wurzeln auszuschließen.
Schreibe die Antwort auf.

4. Primäres Verständnis von neuem Material.

Partnerarbeit. Die Schüler entscheiden selbst, wie sie die Gleichung lösen, je nach Art der Gleichung. Aufgaben aus dem Lehrbuch "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600 (b, c); Nr. 601 (a, e). Der Lehrer kontrolliert die Ausführung der Aufgabe, beantwortet die aufgetretenen Fragen und unterstützt leistungsschwache Schüler. Selbsttest: Antworten werden an die Tafel geschrieben.

b) 2 - Fremdwurzel. Antwort:3.

c) 2 - Fremdwurzel. Antwort: 1.5.

a) Antwort: -12.5.

5. Erklärung der Hausaufgaben.

Lesen Sie Punkt 25 aus dem Lehrbuch, analysieren Sie die Beispiele 1-3.
Lernen Sie den Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen.
Lösen Sie in den Heften Nr. 600 (d, e); Nr. 601 (g, h).

6. Zusammenfassung der Lektion.

Also haben wir uns heute in der Lektion mit gebrochenen rationalen Gleichungen vertraut gemacht und gelernt, wie man diese Gleichungen löst verschiedene Wege. Unabhängig davon, wie gebrochene rationale Gleichungen gelöst werden, was sollte beachtet werden? Was ist die "List" von gebrochenen rationalen Gleichungen?

Vielen Dank an alle, die Lektion ist vorbei.

Wir haben bereits gelernt, wie man quadratische Gleichungen löst. Erweitern wir nun die untersuchten Methoden auf rationale Gleichungen.

Was ist ein rationaler Ausdruck? Diesem Begriff sind wir bereits begegnet. Rationale Ausdrücke sogenannte Ausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, ihren Graden und Vorzeichen mathematischer Operationen bestehen.

Dementsprechend sind rationale Gleichungen Gleichungen der Form: , wo - rationale Ausdrücke.

Bisher haben wir nur die rationalen Gleichungen betrachtet, die sich auf lineare reduzieren lassen. Betrachten wir nun die rationalen Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden können.

Beispiel 1

Löse die Gleichung: .

Lösung:

Ein Bruch ist genau dann 0, wenn sein Zähler 0 und sein Nenner nicht 0 ist.

Wir erhalten folgendes System:

Die erste Gleichung des Systems ist eine quadratische Gleichung. Bevor wir es lösen, teilen wir alle seine Koeffizienten durch 3. Wir erhalten:

Wir bekommen zwei Wurzeln: ; .

Da 2 niemals gleich 0 ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: . Da keine der Wurzeln der oben erhaltenen Gleichung mit den ungültigen Werten der Variablen übereinstimmt, die beim Lösen der zweiten Ungleichung erhalten wurden, sind sie beide Lösungen dieser Gleichung.

Antworten:.

Lassen Sie uns also einen Algorithmus zum Lösen rationaler Gleichungen formulieren:

1. Verschieben Sie alle Terme auf die linke Seite, sodass auf der rechten Seite 0 erhalten wird.

2. Transformiere und vereinfache die linke Seite, bringe alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

3. Den resultierenden Bruch nach folgendem Algorithmus mit 0 gleichsetzen: .

4. Schreiben Sie die Wurzeln auf, die in der ersten Gleichung erhalten werden, und erfüllen Sie als Antwort die zweite Ungleichung.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel 2

Löse die Gleichung: .

Lösung

Ganz am Anfang übertragen wir alle Terme auf die linke Seite, sodass auf der rechten Seite 0 bleibt und wir erhalten:

Nun bringen wir die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:

Diese Gleichung entspricht dem System:

Die erste Gleichung des Systems ist eine quadratische Gleichung.

Die Koeffizienten dieser Gleichung: . Wir berechnen die Diskriminante:

Wir bekommen zwei Wurzeln: ; .

Jetzt lösen wir die zweite Ungleichung: Das Produkt der Faktoren ist genau dann ungleich 0, wenn keiner der Faktoren gleich 0 ist.

Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein: . Wir erhalten, dass von den beiden Wurzeln der ersten Gleichung nur eine geeignet ist - 3.

Antworten:.

In dieser Lektion haben wir uns daran erinnert, was ein rationaler Ausdruck ist, und auch gelernt, wie man rationale Gleichungen löst, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden.

In der nächsten Lektion werden wir rationale Gleichungen als Modelle realer Situationen betrachten und auch Bewegungsprobleme betrachten.

Referenzliste

Bashmakov M.I. Algebra, Klasse 8. - M.: Aufklärung, 2004.
Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. et al., Algebra, 8. 5. Aufl. -M.: Bildung, 2010.
Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra, Klasse 8. Lehrbuch für allgemeine Bildungsinstitutionen. -M.: Bildung, 2006.

Das Fest Pädagogische Ideen "Öffentlicher Unterricht" ().
Schule.xvatit.com().
Rudocs.exdat.com().

Hausaufgaben

Machen wir uns mit rationalen und gebrochen rationalen Gleichungen vertraut, geben ihre Definition, geben Beispiele und analysieren auch die häufigsten Arten von Problemen.

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Rationale Gleichung: Definition und Beispiele

Die Bekanntschaft mit rationalen Ausdrücken beginnt in der 8. Klasse der Schule. Zu dieser Zeit beginnen die Schüler im Algebraunterricht zunehmend, Aufgaben mit Gleichungen zu lösen, die rationale Ausdrücke in ihren Notizen enthalten. Lassen Sie uns unsere Erinnerung an das, was es ist, auffrischen.

Bestimmung 1

rationale gleichung ist eine Gleichung, in der beide Seiten rationale Ausdrücke enthalten.

In diversen Handbüchern findet man eine andere Formulierung.

Bestimmung 2

rationale gleichung- Dies ist eine Gleichung, deren Datensatz auf der linken Seite einen rationalen Ausdruck enthält und der rechte Null enthält.

Die Definitionen, die wir für rationale Gleichungen gegeben haben, sind äquivalent, da sie dasselbe bedeuten. Die Richtigkeit unserer Worte wird durch die Tatsache bestätigt, dass für alle rationalen Ausdrücke P und Q Gleichungen P=Q und P-Q = 0 werden äquivalente Ausdrücke sein.

Wenden wir uns nun den Beispielen zu.

Beispiel 1

Rationale Gleichungen:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rationale Gleichungen können, genau wie Gleichungen anderer Art, eine beliebige Anzahl von Variablen von 1 bis zu mehreren enthalten. Zunächst werden wir überlegen einfache Beispiele, in der die Gleichungen nur eine Variable enthalten. Und dann fangen wir an, die Aufgabe allmählich zu verkomplizieren.

Rationale Gleichungen werden in zwei große Gruppen unterteilt: ganzzahlig und gebrochen. Mal sehen, welche Gleichungen für jede der Gruppen gelten.

Bestimmung 3

Eine rationale Gleichung ist eine ganze Zahl, wenn der Datensatz ihres linken und rechten Teils ganze rationale Ausdrücke enthält.

Bestimmung 4

Eine rationale Gleichung ist gebrochen, wenn einer oder beide ihrer Teile einen Bruch enthalten.

Bruchrationale Gleichungen enthalten zwangsläufig eine Division durch eine Variable, oder die Variable steht im Nenner. Beim Schreiben ganzzahliger Gleichungen gibt es keine solche Unterteilung.

Beispiel 2

3 x + 2 = 0 und (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 sind ganze rationale Gleichungen. Hier werden beide Teile der Gleichung durch ganzzahlige Ausdrücke dargestellt.

1 x - 1 = x 3 und x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sind gebrochen rationale Gleichungen.

Ganze rationale Gleichungen umfassen lineare und quadratische Gleichungen.

Ganze Gleichungen lösen

Die Lösung solcher Gleichungen reduziert sich normalerweise auf ihre Transformation in äquivalente algebraische Gleichungen. Dies kann erreicht werden, indem äquivalente Transformationen der Gleichungen gemäß dem folgenden Algorithmus durchgeführt werden:

zuerst erhalten wir Null auf der rechten Seite der Gleichung, dazu ist es notwendig, den Ausdruck, der sich auf der rechten Seite der Gleichung befindet, auf die linke Seite zu übertragen und das Vorzeichen zu ändern;
dann wandeln wir den Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung in ein Polynom um Standard Ansicht.

Wir müssen eine algebraische Gleichung erhalten. Diese Gleichung wird in Bezug auf die ursprüngliche Gleichung äquivalent sein. Einfache Fälle ermöglichen es uns, das Problem zu lösen, indem wir die gesamte Gleichung auf eine lineare oder quadratische reduzieren. Im allgemeinen Fall lösen wir eine algebraische Gradgleichung n.

Beispiel 3

Es ist notwendig, die Wurzeln der gesamten Gleichung zu finden 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Lösung

Lassen Sie uns den ursprünglichen Ausdruck umformen, um eine äquivalente algebraische Gleichung zu erhalten. Dazu übertragen wir den auf der rechten Seite der Gleichung enthaltenen Ausdruck auf die linke Seite und ändern das Vorzeichen in das Gegenteil. Als Ergebnis erhalten wir: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Jetzt werden wir den Ausdruck auf der linken Seite in ein Polynom der Standardform umwandeln und ausführen notwendige Maßnahmen mit diesem Polynom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Wir haben es geschafft, die Lösung der ursprünglichen Gleichung auf die Lösung einer quadratischen Gleichung der Form zu reduzieren x 2 − 5 x − 6 = 0. Die Diskriminante dieser Gleichung ist positiv: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Dies bedeutet, dass es zwei echte Wurzeln geben wird. Finden wir sie mit der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 oder x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 oder x 2 = - 1

Überprüfen wir die Richtigkeit der Wurzeln der Gleichung, die wir im Zuge der Lösung gefunden haben. Für diese Zahl, die wir erhalten haben, setzen wir in die ursprüngliche Gleichung ein: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 und 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Im ersten Fall 63 = 63 , in dieser Sekunde 0 = 0 . Wurzeln x=6 und x = − 1 sind tatsächlich die Wurzeln der in der Beispielbedingung angegebenen Gleichung.

Antworten: 6 , − 1 .

Schauen wir uns an, was „Macht der gesamten Gleichung“ bedeutet. Wir begegnen diesem Begriff oft dann, wenn wir eine ganze Gleichung in Form einer algebraischen darstellen müssen. Lassen Sie uns das Konzept definieren.

Bestimmung 5

Grad einer ganzzahligen Gleichung ist der Grad algebraische Gleichung, was der ursprünglichen ganzen Gleichung entspricht.

Wenn Sie sich die Gleichungen aus dem obigen Beispiel ansehen, können Sie feststellen: Der Grad dieser ganzen Gleichung ist der zweite.

Beschränkte sich unser Kurs auf das Lösen von Gleichungen zweiten Grades, so könnte die Betrachtung des Themas hier abgeschlossen werden. Aber alles ist nicht so einfach. Das Lösen von Gleichungen dritten Grades ist mit Schwierigkeiten verbunden. Und für Gleichungen über dem vierten Grad existiert es überhaupt nicht allgemeine Formeln Wurzeln. In dieser Hinsicht erfordert die Lösung ganzer Gleichungen dritten, vierten und anderen Grades, dass wir eine Reihe anderer Techniken und Methoden anwenden.

Der am häufigsten verwendete Ansatz zum Lösen ganzer rationaler Gleichungen basiert auf der Faktorisierungsmethode. Der Aktionsalgorithmus lautet in diesem Fall wie folgt:

wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite, sodass Null auf der rechten Seite des Datensatzes bleibt;
Wir stellen den Ausdruck auf der linken Seite als Produkt von Faktoren dar und gehen dann zu einer Reihe einfacherer Gleichungen über.

Beispiel 4

Finde die Lösung der Gleichung (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Lösung

Wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite des Datensatzes auf die linke Seite mit umgekehrtem Vorzeichen: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Die Umwandlung der linken Seite in ein Polynom der Standardform ist unpraktisch, da wir dadurch eine algebraische Gleichung vierten Grades erhalten: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Die Leichtigkeit der Transformation rechtfertigt nicht alle Schwierigkeiten bei der Lösung einer solchen Gleichung.

Es ist viel einfacher, den anderen Weg zu gehen: Wir nehmen den gemeinsamen Faktor heraus x 2 − 10 x + 13 . So kommen wir zu einer Gleichung der Form (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Jetzt ersetzen wir die resultierende Gleichung durch einen Satz von zwei quadratischen Gleichungen x 2 − 10 x + 13 = 0 und x 2 − 2 x − 1 = 0 und finden ihre Wurzeln durch die Diskriminante: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Antworten: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

In ähnlicher Weise können wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen verwenden. Diese Methode ermöglicht es uns, zu äquivalenten Gleichungen mit Potenzen zu gelangen, die niedriger sind als die in der ursprünglichen Gesamtgleichung.

Beispiel 5

Hat die Gleichung Wurzeln? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Lösung

Wenn wir nun versuchen, die ganze rationale Gleichung auf eine algebraische zu reduzieren, erhalten wir eine Gleichung vom Grad 4, die keine hat rationale Wurzeln. Daher ist es für uns einfacher, den anderen Weg zu gehen: eine neue Variable y einzuführen, die den Ausdruck in der Gleichung ersetzt x 2 + 3 x.

Jetzt arbeiten wir mit der ganzen Gleichung (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Wir übertragen die rechte Seite der Gleichung auf die linke Seite mit entgegengesetztem Vorzeichen und führen die notwendigen Transformationen durch. Wir bekommen: y 2 + 4 y + 3 = 0. Lassen Sie uns die Wurzeln der quadratischen Gleichung finden: y = − 1 und y = − 3.

Jetzt machen wir die umgekehrte Substitution. Wir erhalten zwei Gleichungen x 2 + 3 x = − 1 und x 2 + 3 x = - 3 . Schreiben wir sie um als x 2 + 3 x + 1 = 0 und x 2 + 3 x + 3 = 0. Wir verwenden die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung, um die Wurzeln der ersten erhaltenen Gleichung zu finden: - 3 ± 5 2 . Die Diskriminante der zweiten Gleichung ist negativ. Das bedeutet, dass die zweite Gleichung keine echten Wurzeln hat.

Antworten:- 3 ± 5 2

Ganze Gleichungen hohe Abschlüsse kommen recht häufig in Aufgaben vor. Vor ihnen braucht man keine Angst zu haben. Sie müssen bereit sein, eine nicht standardmäßige Methode zu ihrer Lösung anzuwenden, einschließlich einer Reihe künstlicher Transformationen.

Lösung von gebrochen rationalen Gleichungen

Wir beginnen unsere Betrachtung dieses Unterthemas mit einem Algorithmus zum Lösen von gebrochen rationalen Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 , wobei p(x) und q(x) sind ganzzahlige rationale Ausdrücke. Die Lösung anderer gebrochen rationaler Gleichungen kann immer auf die Lösung von Gleichungen der angegebenen Form zurückgeführt werden.

Die am häufigsten verwendete Methode zum Lösen von Gleichungen p (x) q (x) = 0 basiert auf der folgenden Aussage: Zahlenbruch du v, wo v ist eine von Null verschiedene Zahl, die nur dann gleich Null ist, wenn der Zähler des Bruchs gleich Null ist. Der Logik der obigen Aussage folgend können wir behaupten, dass die Lösung der Gleichung p (x) q (x) = 0 auf die Erfüllung zweier Bedingungen reduziert werden kann: p(x)=0 und q(x) ≠ 0. Darauf aufbauend wird ein Algorithmus zur Lösung gebrochener rationaler Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 aufgebaut:

wir finden die Lösung der ganzen rationalen Gleichung p(x)=0;
wir prüfen, ob die Bedingung für die bei der Lösung gefundenen Nullstellen erfüllt ist q(x) ≠ 0.

Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann die gefundene Wurzel, wenn nicht, dann ist die Wurzel keine Lösung des Problems.

Beispiel 6

Finden Sie die Nullstellen der Gleichung 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Lösung

Wir haben es mit einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 zu tun, in der p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Beginnen wir mit der Lösung der linearen Gleichung 3 x - 2 = 0. Die Wurzel dieser Gleichung wird sein x = 2 3.

Lassen Sie uns die gefundene Wurzel überprüfen, ob sie die Bedingung erfüllt 5 x 2 - 2 ≠ 0. Ersetzen Sie dazu einen numerischen Wert in den Ausdruck. Wir erhalten: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Die Bedingung ist erfüllt. Das bedeutet es x = 2 3 ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antworten: 2 3 .

Es gibt eine weitere Möglichkeit, gebrochene rationale Gleichungen p (x) q (x) = 0 zu lösen. Denken Sie daran, dass diese Gleichung der gesamten Gleichung entspricht p(x)=0 in der Region zulässige Werte Variable x der ursprünglichen Gleichung. Dies erlaubt uns, den folgenden Algorithmus zum Lösen der Gleichungen p(x) q(x) = 0 zu verwenden:

löse die Gleichung p(x)=0;
Finden Sie den Bereich akzeptabler Werte für die Variable x ;
Wir nehmen die Wurzeln, die im Bereich zulässiger Werte der Variablen x liegen, als gewünschte Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung.

Beispiel 7

Löse die Gleichung x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Lösung

Lösen wir zuerst die quadratische Gleichung x 2 − 2 x − 11 = 0. Um seine Wurzeln zu berechnen, verwenden wir die Wurzelformel für einen geraden zweiten Koeffizienten. Wir bekommen D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, und x = 1 ± 2 3 .

Jetzt können wir die ODV von x für die ursprüngliche Gleichung finden. Das sind alles Zahlen für die x 2 + 3 x ≠ 0. Es ist dasselbe wie x (x + 3) ≠ 0, womit x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Lassen Sie uns nun prüfen, ob die in der ersten Stufe der Lösung erhaltenen Wurzeln x = 1 ± 2 3 innerhalb des Bereichs akzeptabler Werte der Variablen x liegen. Wir sehen, was reinkommt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche rationale Bruchgleichung zwei Wurzeln x = 1 ± 2 3 hat.

Antworten: x = 1 ± 2 3

Die zweite beschriebene Lösungsmethode ist einfacher als die erste in Fällen, in denen der Bereich der zulässigen Werte der Variablen x leicht zu finden ist, und die Wurzeln der Gleichung p(x)=0 irrational. Zum Beispiel 7 ± 4 26 9 . Wurzeln können rational sein, aber mit einem großen Zähler oder Nenner. Zum Beispiel, 127 1101 und − 31 59 . Dies spart Zeit für die Überprüfung des Zustands. q(x) ≠ 0: Laut ODZ ist es viel einfacher, Wurzeln auszuschließen, die nicht passen.

Wenn die Wurzeln der Gleichung p(x)=0 ganze Zahlen sind, ist es zweckmäßiger, den ersten der beschriebenen Algorithmen zum Lösen von Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 zu verwenden. Schnelleres Finden der Wurzeln einer ganzen Gleichung p(x)=0, und prüfen Sie dann, ob die Bedingung für sie erfüllt ist q(x) ≠ 0, und finden Sie nicht die ODZ, und lösen Sie dann die Gleichung p(x)=0 auf diesem ODZ. Dies liegt daran, dass es in solchen Fällen in der Regel einfacher ist, eine Überprüfung vorzunehmen, als die ODZ zu finden.

Beispiel 8

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Lösung

Wir beginnen mit der Betrachtung der gesamten Gleichung (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 und seine Wurzeln zu finden. Dazu wenden wir die Methode der Lösung von Gleichungen durch Faktorisierung an. Es stellt sich heraus, dass die ursprüngliche Gleichung einem Satz von vier Gleichungen entspricht: 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, von denen drei linear sind und einer ist quadratisch. Wir finden die Wurzeln: aus der ersten Gleichung x = 1 2, ab dem zweiten x=6, ab dem dritten - x \u003d 7, x \u003d - 2, ab dem vierten - x = − 1.

Lassen Sie uns die erhaltenen Wurzeln überprüfen. In diesem Fall ist es für uns schwierig, die ODZ zu bestimmen, da wir dazu eine algebraische Gleichung fünften Grades lösen müssen. Es ist einfacher, die Bedingung zu überprüfen, nach der der Nenner des Bruchs, der auf der linken Seite der Gleichung steht, nicht verschwinden sollte.

Ersetzen Sie wiederum die Wurzeln anstelle der Variablen x im Ausdruck x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 und berechne seinen Wert:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Die durchgeführte Überprüfung ermöglicht es uns festzustellen, dass die Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung 1 2 , 6 und sind − 2 .

Antworten: 1 2 , 6 , - 2

Beispiel 9

Finden Sie die Wurzeln der gebrochenen rationalen Gleichung 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Lösung

Beginnen wir mit der Gleichung (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Finden wir seine Wurzeln. Es ist für uns einfacher, diese Gleichung als Kombination aus quadratischen und linearen Gleichungen darzustellen 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 und x − 2 = 0.

Wir verwenden die Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung, um die Wurzeln zu finden. Wir erhalten zwei Wurzeln x = 7 ± 69 10 aus der ersten Gleichung und aus der zweiten x=2.

Den Wert der Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen, um die Bedingungen zu überprüfen, wird für uns ziemlich schwierig sein. Es ist einfacher, den LPV der Variablen x zu bestimmen. In diesem Fall ist der DPV der Variablen x alles Zahlen, außer denen, für die die Bedingung erfüllt ist x 2 + 5 x − 14 = 0. Wir erhalten: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Lassen Sie uns nun überprüfen, ob die gefundenen Wurzeln in den Bereich akzeptabler Werte für die x-Variable gehören.

Die Wurzeln x = 7 ± 69 10 - gehören daher, sie sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und x=2- gehört nicht dazu, daher ist es eine fremde Wurzel.

Antworten: x = 7 ± 69 10 .

Untersuchen wir gesondert die Fälle, in denen der Zähler einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 eine Zahl enthält. Wenn in solchen Fällen der Zähler eine andere Zahl als Null enthält, hat die Gleichung keine Wurzeln. Wenn diese Zahl gleich Null ist, dann ist die Wurzel der Gleichung eine beliebige Zahl aus der ODZ.

Beispiel 10

Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Lösung

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, da der Zähler des Bruchs auf der linken Seite der Gleichung eine Zahl ungleich Null enthält. Dies bedeutet, dass für alle Werte von x der Wert des Bruchs, der in der Bedingung des Problems angegeben ist, nicht gleich Null ist.

Antworten: Keine Wurzeln.

Beispiel 11

Löse die Gleichung 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Lösung

Da der Zähler des Bruchs Null ist, ist die Lösung der Gleichung ein beliebiger Wert von x aus der ODZ-Variablen x.

Lassen Sie uns nun die ODZ definieren. Es werden alle x-Werte für die enthalten sein x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Gleichungslösungen x 4 + 5 x 3 = 0 sind 0 und − 5 , da diese Gleichung äquivalent zur Gleichung ist x 3 (x + 5) = 0, und es ist wiederum äquivalent zu dem Satz von zwei Gleichungen x 3 = 0 und x + 5 = 0 wo diese Wurzeln sichtbar sind. Wir kommen zu dem Schluss, dass der gewünschte Bereich akzeptabler Werte alle x sind, außer x=0 und x = -5.

Es stellt sich heraus, dass die rationale Bruchgleichung 0 x 4 + 5 x 3 = 0 eine unendliche Anzahl von Lösungen hat, die beliebige Zahlen außer Null und - 5 sind.

Antworten: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Lassen Sie uns nun über gebrochene rationale Gleichungen beliebiger Form und Methoden zu ihrer Lösung sprechen. Sie können geschrieben werden als r(x) = s(x), wo r(x) und s(x) sind rationale Ausdrücke, und mindestens einer von ihnen ist gebrochen. Die Lösung solcher Gleichungen wird auf die Lösung von Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 reduziert.

Wir wissen bereits, dass wir eine äquivalente Gleichung erhalten können, indem wir den Ausdruck von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite mit umgekehrtem Vorzeichen übertragen. Das bedeutet, dass die Gleichung r(x) = s(x) entspricht der Gleichung r(x) − s(x) = 0. Wir haben auch schon besprochen, wie man einen rationalen Ausdruck in einen rationalen Bruch umwandelt. Dank dessen können wir die Gleichung leicht umwandeln r(x) − s(x) = 0 in seinen identischen rationalen Bruch der Form p (x) q (x) .

Wir gehen also von der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung weg r(x) = s(x) zu einer Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 , deren Lösung wir bereits gelernt haben.

Zu beachten ist, dass bei Übergängen aus r(x) − s(x) = 0 zu p (x) q (x) = 0 und dann zu p(x)=0 Wir dürfen die Erweiterung des Bereichs gültiger Werte der Variablen x nicht berücksichtigen.

Es ist ziemlich realistisch, dass die ursprüngliche Gleichung r(x) = s(x) und Gleichung p(x)=0 infolge der Transformationen werden sie nicht mehr gleichwertig sein. Dann die Lösung der Gleichung p(x)=0 kann uns Wurzeln geben, die fremd sein werden r(x) = s(x). Diesbezüglich ist in jedem Fall eine Überprüfung durch eine der oben beschriebenen Methoden durchzuführen.

Um Ihnen das Studium des Themas zu erleichtern, haben wir alle Informationen in einem Algorithmus zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form verallgemeinert r(x) = s(x):

wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite mit umgekehrtem Vorzeichen und erhalten rechts Null;
wir wandeln den ursprünglichen Ausdruck in einen rationalen Bruch p (x) q (x) um, indem wir nacheinander Aktionen mit Brüchen und Polynomen ausführen;
löse die Gleichung p(x)=0;
wir enthüllen fremde Nullstellen, indem wir ihre Zugehörigkeit zur ODZ überprüfen oder sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Optisch sieht die Aktionskette wie folgt aus:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → Ausfall r o n d e r o o n s

Beispiel 12

Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung x x + 1 = 1 x + 1 .

Lösung

Kommen wir zur Gleichung x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Lassen Sie uns den gebrochenen rationalen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung in die Form p (x) q (x) umwandeln.

Dazu müssen wir rationale Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und den Ausdruck vereinfachen:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Um die Wurzeln der Gleichung zu finden - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, müssen wir die Gleichung lösen − 2 x − 1 = 0. Wir bekommen eine Wurzel x = - 1 2.

Es bleibt uns überlassen, die Überprüfung mit einer der Methoden durchzuführen. Betrachten wir sie beide.

Setzen Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung ein. Wir erhalten - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Wir sind bei der richtigen numerischen Gleichheit angelangt − 1 = − 1 . Das bedeutet es x = − 1 2 ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Jetzt werden wir die ODZ durchchecken. Lassen Sie uns den Bereich der akzeptablen Werte für die Variable x bestimmen. Dies ist der gesamte Satz von Zahlen, mit Ausnahme von − 1 und 0 (wenn x = − 1 und x = 0, verschwinden die Nenner von Brüchen). Die Wurzel, die wir haben x = − 1 2 gehört zur ODZ. Dies bedeutet, dass es die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist.

Antworten: − 1 2 .

Beispiel 13

Finden Sie die Nullstellen der Gleichung x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Lösung

Wir haben es mit einer gebrochen rationalen Gleichung zu tun. Daher werden wir gemäß dem Algorithmus handeln.

Verschieben wir den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite mit entgegengesetztem Vorzeichen: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Führen wir die notwendigen Transformationen durch: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Wir kommen zur Gleichung x=0. Die Wurzel dieser Gleichung ist Null.

Prüfen wir, ob diese Wurzel für die ursprüngliche Gleichung fremd ist. Ersetzen Sie den Wert in der ursprünglichen Gleichung: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Wie Sie sehen können, ergibt die resultierende Gleichung keinen Sinn. Dies bedeutet, dass 0 eine irrelevante Wurzel ist und die ursprüngliche rationale Bruchgleichung keine Wurzeln hat.

Antworten: Keine Wurzeln.

Wenn wir keine anderen äquivalenten Transformationen in den Algorithmus aufgenommen haben, bedeutet dies keineswegs, dass sie nicht verwendet werden können. Der Algorithmus ist universell, aber er soll helfen, nicht einschränken.

Beispiel 14

Löse die Gleichung 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Lösung

Der einfachste Weg ist, die gegebene gebrochene rationale Gleichung gemäß dem Algorithmus zu lösen. Aber es gibt einen anderen Weg. Betrachten wir es.

Subtrahieren Sie vom rechten und linken Teil 7, erhalten wir: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Daraus können wir schließen, dass der Ausdruck im Nenner der linken Seite gleich dem Kehrwert der Zahl von der rechten Seite sein sollte, also 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Subtrahiere von beiden Teilen 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analog 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, woraus 1 5 - x 2 \u003d 1 3 und weiter 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Lassen Sie uns überprüfen, ob die gefundenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Antworten: x = ± 2

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Ein ganzzahliger Ausdruck ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen und Literalvariablen besteht und die Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation verwendet. Ganzzahlen umfassen auch Ausdrücke, die eine Division durch eine andere Zahl als Null beinhalten.

Das Konzept eines gebrochenen rationalen Ausdrucks

Ein Bruchausdruck ist ein mathematischer Ausdruck, der neben den Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Zahlen und Literalvariablen sowie der Division durch eine Zahl ungleich Null auch die Division in Ausdrücke mit Literalvariablen enthält.

Rationale Ausdrücke sind alle Ganzzahl- und Bruchausdrücke. Rationale Gleichungen sind Gleichungen, deren linke und rechte Seite rationale Ausdrücke sind. Wenn in einer rationalen Gleichung der linke und der rechte Teil ganzzahlige Ausdrücke sind, dann wird eine solche rationale Gleichung ganzzahlig genannt.

Wenn in einer rationalen Gleichung der linke oder der rechte Teil Bruchausdrücke sind, dann wird eine solche rationale Gleichung als Bruch bezeichnet.

Beispiele für gebrochene rationale Ausdrücke

1.x-3/x=-6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Schema zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung

1. Finden Sie den gemeinsamen Nenner aller Brüche, die in der Gleichung enthalten sind.

2. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner.

3. Lösen Sie die resultierende ganze Gleichung.

4. Überprüfen Sie die Wurzeln und schließen Sie diejenigen aus, die den gemeinsamen Nenner auf Null bringen.

Da wir gebrochene rationale Gleichungen lösen, gibt es Variablen in den Nennern der Brüche. Sie werden also auf einem gemeinsamen Nenner stehen. Und im zweiten Absatz des Algorithmus multiplizieren wir mit einem gemeinsamen Nenner, dann können fremde Wurzeln auftreten. Bei dem der gemeinsame Nenner gleich Null ist, was bedeutet, dass die Multiplikation damit bedeutungslos ist. Überprüfen Sie daher am Ende unbedingt die erhaltenen Wurzeln.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Lösen Sie eine gebrochene rationale Gleichung: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Bleiben wir dabei allgemeines Schema: Finden Sie zuerst den gemeinsamen Nenner aller Brüche. Wir erhalten x*(x-5).

Multiplizieren Sie jeden Bruch mit einem gemeinsamen Nenner und schreiben Sie die resultierende ganze Gleichung.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Vereinfachen wir die resultierende Gleichung. Wir bekommen:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Wir haben eine einfache reduzierte quadratische Gleichung. Wir lösen es mit einer der bekannten Methoden, wir erhalten die Wurzeln x=-2 und x=5.

Jetzt überprüfen wir die erhaltenen Lösungen:

Wir ersetzen die Zahlen -2 und 5 im gemeinsamen Nenner. Bei x=-2 verschwindet der gemeinsame Nenner x*(x-5) nicht, -2*(-2-5)=14. Die Zahl -2 ist also die Wurzel der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung.

Bei x=5 wird der gemeinsame Nenner x*(x-5). Null. Daher ist diese Zahl nicht die Wurzel der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung, da es eine Division durch Null geben wird.

Unterrichtsziele:

Lernprogramm:

Bildung des Konzepts der gebrochenen rationalen Gleichungen;
verschiedene Möglichkeiten zur Lösung von gebrochenen rationalen Gleichungen zu betrachten;
Betrachten Sie einen Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen, einschließlich der Bedingung, dass der Bruch gleich Null ist;
die Lösung von gebrochenen rationalen Gleichungen nach dem Algorithmus zu lehren;
Überprüfung des Assimilationsgrades des Themas durch Durchführung von Testarbeiten.

Entwicklung:

Entwicklung der Fähigkeit, mit dem erworbenen Wissen richtig umzugehen, logisch zu denken;
Entwicklung intellektueller Fähigkeiten u mentale Operationen- Analyse, Synthese, Vergleich und Verallgemeinerung;
Entwicklung der Initiative, der Fähigkeit, Entscheidungen zu treffen, um dort nicht aufzuhören;
Entwicklung des kritischen Denkens;
Entwicklung von Forschungskompetenzen.

Pflege:

Bildung von kognitivem Interesse am Fach;
Erziehung zur Selbständigkeit bei der Lösung von Erziehungsproblemen;
Erziehung des Willens und der Ausdauer, um die endgültigen Ergebnisse zu erzielen.

Unterrichtstyp: Lektion - Erklärung des neuen Materials.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment.

Hallo Leute! Die Gleichungen stehen an der Tafel, schauen Sie sie sich genau an. Können Sie alle diese Gleichungen lösen? Welche nicht und warum?

2. Aktualisierung des Wissens. Frontale Befragung, mündliche Arbeit mit der Klasse.

Und jetzt werden wir das wichtigste theoretische Material wiederholen, das wir brauchen, um ein neues Thema zu studieren. Bitte beantworten Sie die folgenden Fragen:

Was ist eine Gleichung? ( Gleichheit mit einer oder mehreren Variablen.)
Wie heißt Gleichung #1? ( Linear.) Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen. ( Bewege alles mit der Unbekannten auf die linke Seite der Gleichung, alle Zahlen nach rechts. Bringen Sie ähnliche Begriffe. Finde den unbekannten Multiplikator).
Wie heißt Gleichung 3? ( Quadrat.) Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen. ( Auswahl volles Quadrat, durch Formeln unter Verwendung des Vieta-Theorems und seiner Folgerungen.)
Was ist ein Anteil? ( Gleichheit zweier Relationen.) Die Haupteigenschaft der Proportion. ( Wenn der Anteil wahr ist, dann ist das Produkt seiner extremen Terme gleich dem Produkt der mittleren Terme.)
Welche Eigenschaften werden zum Lösen von Gleichungen verwendet? ( 1. Wenn wir in der Gleichung den Term von einem Teil auf einen anderen übertragen und sein Vorzeichen ändern, erhalten wir eine Gleichung, die der angegebenen entspricht. 2. Wenn beide Teile der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.)
Wann ist ein Bruch gleich Null? ( Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null und der Nenner nicht Null ist.)

3. Erläuterung des neuen Materials.

Lösen Sie Gleichung Nr. 2 in Heften und an der Tafel.

Antworten: 10.

Welche gebrochene rationale Gleichung können Sie versuchen, mit der grundlegenden Eigenschaft der Proportionen zu lösen? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Lösen Sie Gleichung Nr. 4 in Heften und an der Tafel.

Antworten: 1,5.

Welche rationale Bruchgleichung kannst du versuchen zu lösen, indem du beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner multiplizierst? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D = 1 > 0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Antworten: 3;4.

Versuchen Sie nun, Gleichung #7 auf eine der Arten zu lösen.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 – 2 x – 5) x (x – 5) – x (x – 5) (x + 5) = 0			x2-2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Antworten: 0;5;-2.			Antworten: 5;-2.

Erklären Sie, warum das passiert ist? Warum gibt es in einem Fall drei Wurzeln und in dem anderen zwei? Welche Zahlen sind die Wurzeln dieser gebrochenen rationalen Gleichung?

Wie unterscheiden sich die Gleichungen Nr. 2 und 4 von den Gleichungen Nr. 5,6,7? ( In den Gleichungen Nr. 2 und 4 im Nenner der Zahl Nr. 5-7 - Ausdrücke mit einer Variablen.)
Was ist die Wurzel der Gleichung? ( Der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung eine wahre Gleichheit wird.)
Wie finde ich heraus, ob eine Zahl die Wurzel einer Gleichung ist? ( Machen Sie einen Scheck.)

x 2 -3 x -10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Wenn x=5, dann x(x-5)=0, also ist 5 eine irrelevante Wurzel.

Wenn x=-2, dann x(x-5)≠0.

Antworten: -2.

Versuchen wir, auf diese Weise einen Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen zu formulieren. Kinder selbst formulieren den Algorithmus.

Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen:

Bewegen Sie alles nach links.
Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
Erstelle ein System: Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null ist und der Nenner nicht Null ist.
Löse die Gleichung.
Überprüfen Sie die Ungleichheit, um fremde Wurzeln auszuschließen.
Schreibe die Antwort auf.

Diskussion: wie man die Lösung formalisiert, wenn man die Grundeigenschaft der Proportionen nutzt und die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner. (Ergänze die Lösung: schließe diejenigen von ihren Wurzeln aus, die den gemeinsamen Nenner auf Null bringen).

4. Primäres Verständnis von neuem Material.

Partnerarbeit. Die Schüler entscheiden selbst, wie sie die Gleichung lösen, je nach Art der Gleichung. Aufgaben aus dem Lehrbuch "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600 (b, c, i); Nr. 601 (a, e, g). Der Lehrer kontrolliert die Ausführung der Aufgabe, beantwortet die aufgetretenen Fragen und unterstützt leistungsschwache Schüler. Selbsttest: Antworten werden an die Tafel geschrieben.

b) 2 ist eine Fremdwurzel. Antwort:3.

c) 2 ist eine Fremdwurzel. Antwort: 1.5.

a) Antwort: -12.5.

g) Antwort: 1; 1.5.

5. Erklärung der Hausaufgaben.

Lesen Sie Punkt 25 aus dem Lehrbuch, analysieren Sie die Beispiele 1-3.
Lernen Sie den Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen.
Lösen Sie in den Heften Nr. 600 (a, d, e); Nr. 601 (g, h).
Versuchen Sie, #696(a) zu lösen (optional).

6. Erfüllung der Kontrollaufgabe zum untersuchten Thema.

Die Arbeit erfolgt auf Blättern.

Stellenbeispiel:

A) Welche der Gleichungen sind gebrochen rational?

B) Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler ______________________ und der Nenner _______________________ ist.

F) Ist die Zahl -3 die Wurzel von Gleichung #6?

D) Gleichung Nr. 7 lösen.

Bewertungskriterien für Aufgaben:

„5“ wird vergeben, wenn der Schüler mehr als 90 % der Aufgabe richtig gelöst hat.
"4" - 75 % -89 %
"3" - 50 % -74 %
"2" wird an einen Schüler vergeben, der weniger als 50 % der Aufgabe erledigt hat.
Note 2 wird nicht ins Tagebuch eingetragen, Note 3 ist optional.

7. Reflexion.

Auf den Flugblättern mit unabhängiger Arbeit schreiben Sie:

1 - wenn der Unterricht für Sie interessant und verständlich war;
2 - interessant, aber nicht klar;
3 - nicht interessant, aber verständlich;
4 - nicht interessant, nicht klar.

8. Zusammenfassung der Lektion.

Also haben wir uns heute in der Lektion mit gebrochenen rationalen Gleichungen vertraut gemacht, gelernt, wie man diese Gleichungen auf verschiedene Arten löst, und unser Wissen mit Hilfe eines Trainings getestet unabhängige Arbeit. Die Ergebnisse der selbstständigen Arbeit lernen Sie in der nächsten Stunde kennen, zu Hause haben Sie die Möglichkeit, das erworbene Wissen zu festigen.

Welche Methode zur Lösung gebrochener rationaler Gleichungen ist Ihrer Meinung nach einfacher, zugänglicher und rationaler? Unabhängig von der Methode zur Lösung von gebrochenen rationalen Gleichungen, was sollte nicht vergessen werden? Was ist die "List" von gebrochenen rationalen Gleichungen?

Vielen Dank an alle, die Lektion ist vorbei.

Allgemeines Schema zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung. Rationale Gleichungen - Wissens-Hypermarkt

Rationale Gleichung: Definition und Beispiele

Ganze Gleichungen lösen

Lösung von gebrochen rationalen Gleichungen

Das Konzept eines gebrochenen rationalen Ausdrucks

Beispiele für gebrochene rationale Ausdrücke

Schema zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung

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