Wie man ein Gleichungssystem mit Multiplikation löst. Lösung elementarer Systeme linearer algebraischer Gleichungen. Algorithmus zum Lösen durch Additionsverfahren

Betrachten wir zunächst den Fall, dass die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Variablen ist, d.h. m = n. Dann ist die Matrix des Systems quadratisch, und ihre Determinante heißt Determinante des Systems.

Methode der inversen Matrix

Betrachten Sie allgemein das Gleichungssystem AX = B mit einer nichtsingulären quadratischen Matrix A. In diesem Fall existiert inverse Matrix A-1 . Lassen Sie uns beide Seiten mit A -1 auf der linken Seite multiplizieren. Wir bekommen A -1 AX \u003d A -1 B. Von hier EX \u003d A -1 B und

Die letzte Gleichheit ist eine Matrixformel zum Auffinden von Lösungen für solche Gleichungssysteme. Die Verwendung dieser Formel wird als Inverse-Matrix-Methode bezeichnet

Lassen Sie uns diese Methode zum Beispiel verwenden, um das folgende System zu lösen:

;

Am Ende der Lösung des Systems kann eine Überprüfung erfolgen, indem die gefundenen Werte in die Gleichungen des Systems eingesetzt werden. In diesem Fall müssen sie sich in echte Gleichheiten verwandeln.

Lassen Sie uns für dieses Beispiel Folgendes überprüfen:

Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen mit einer quadratischen Matrix unter Verwendung von Cramers Formeln

Sei n=2:

Wenn beide Teile der ersten Gleichung mit a 22 und beide Teile der zweiten mit (-a 12) multipliziert werden und dann die resultierenden Gleichungen addiert werden, schließen wir die Variable x 2 aus dem System aus. Ebenso können Sie die Variable x 1 eliminieren (indem Sie beide Seiten der ersten Gleichung mit (-a 21) und beide Seiten der zweiten mit a 11 multiplizieren). Als Ergebnis erhalten wir das System:

Der Ausdruck in Klammern ist die Determinante des Systems

Bezeichnen

Dann nimmt das System die Form an:

Aus dem resultierenden System folgt, dass, wenn die Determinante des Systems 0 ist, das System konsistent und eindeutig ist. Seine einzigartige Lösung kann durch die Formeln berechnet werden:

Wenn = 0, a 1 0 und/oder  2 0, dann nehmen die Gleichungen des Systems die Form 0*х 1 = 2 und/oder 0*х 1 = 2 an. In diesem Fall wird das System inkonsistent sein.

Für den Fall, dass = 1 = 2 = 0 ist, ist das System konsistent und unbestimmt (es hat eine unendliche Anzahl von Lösungen), da es die Form annimmt:

Satz von Cramer(wir lassen den Beweis weg). Wenn die Determinante der Matrix des Gleichungssystems n  nicht ist Null, dann hat das System eine eindeutige Lösung, die durch die Formeln bestimmt wird:

,

wobei  j die Determinante der Matrix ist, die man aus der Matrix A erhält, indem man die j-te Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzt.

Die obigen Formeln werden aufgerufen Cramers Formeln.

Als Beispiel verwenden wir diese Methode, um ein System zu lösen, das zuvor mit der Methode der inversen Matrix gelöst wurde:

Nachteile der betrachteten Methoden:

1) erhebliche Komplexität (Berechnung von Determinanten und Auffinden der inversen Matrix);

2) eingeschränkter Anwendungsbereich (für Systeme mit quadratischer Matrix).

Realwirtschaftliche Situationen werden oft durch Systeme modelliert, in denen die Anzahl der Gleichungen und Variablen ziemlich groß ist und es mehr Gleichungen als Variablen gibt, daher ist die folgende Methode in der Praxis üblicher.

Gauss-Methode (Methode der sukzessiven Eliminierung von Variablen)

Diese Methode wird verwendet, um das System m zu lösen lineare Gleichungen mit n Variablen in Gesamtansicht. Sein Wesen besteht darin, ein System äquivalenter Transformationen auf die erweiterte Matrix anzuwenden, mit deren Hilfe das Gleichungssystem in die Form transformiert wird, wenn seine Lösungen (falls vorhanden) leicht zu finden sind.

Dies ist die Ansicht, in der die linke Oberer Teil Systemmatrix wird eine Stufenmatrix sein. Dies wird unter Verwendung der gleichen Techniken erreicht, die verwendet wurden, um eine abgestufte Matrix zu erhalten, um den Rang zu bestimmen. In diesem Fall werden auf die erweiterte Matrix elementare Transformationen angewendet, die es ermöglichen, ein äquivalentes Gleichungssystem zu erhalten. Danach nimmt die erweiterte Matrix die Form an:

Das Erhalten einer solchen Matrix wird aufgerufen in einer geraden Linie Gauss-Methode.

Das Finden der Werte von Variablen aus dem entsprechenden Gleichungssystem wird aufgerufen rückwärts Gauss-Methode. Betrachten wir es.

Beachten Sie, dass die letzten (m – r) Gleichungen die Form annehmen:

Wenn mindestens eine der Nummern
nicht gleich Null ist, dann ist die entsprechende Gleichheit falsch und das ganze System wird inkonsistent.

Daher für jedes gemeinsame System
. In diesem Fall sind die letzten (m – r) Gleichungen für beliebige Werte der Variablen Identitäten 0 = 0 und können beim Lösen des Systems ignoriert werden (verwerfen Sie einfach die entsprechenden Zeilen).

Danach sieht das System so aus:

Betrachten Sie zunächst den Fall r=n. Dann nimmt das System die Form an:

Aus der letzten Gleichung des Systems kann man x r eindeutig finden.

Wenn man x r kennt, kann man daraus x r -1 eindeutig ausdrücken. Dann können wir aus der vorherigen Gleichung, wenn wir x r und x r -1 kennen, x r -2 ausdrücken und so weiter. bis x 1 .

In diesem Fall wird das System also kooperativ und definitiv sein.

Betrachten Sie nun den Fall, wenn r Basic(grundlegend) und alles andere - nicht basisch(klein, frei). Die letzte Gleichung des Systems sieht folgendermaßen aus:

Aus dieser Gleichung können wir die Grundvariable x r in Form von Nichtgrundvariablen ausdrücken:

Die vorletzte Gleichung sieht so aus:

Durch Ersetzen des resultierenden Ausdrucks anstelle von x r wird es möglich, die Basisvariable x r -1 durch Nicht-Basisvariable auszudrücken. Usw. zu Variable x 1 . Um eine Lösung für das System zu erhalten, können Sie nicht grundlegende Variablen mit beliebigen Werten gleichsetzen und dann die grundlegenden Variablen mithilfe der erhaltenen Formeln berechnen. In diesem Fall ist das System also konsistent und unbestimmt (es hat eine unendliche Anzahl von Lösungen).

Lassen Sie uns zum Beispiel das Gleichungssystem lösen:

Der Satz von Basisvariablen wird aufgerufen Basis Systeme. Der Satz von Koeffizientenspalten für sie wird ebenfalls aufgerufen Basis(Grundsäulen) oder grundlegendes Moll Systemmatrizen. Es wird diejenige Lösung des Systems aufgerufen, bei der alle Nichtbasisvariablen gleich Null sind grundlegende Lösung.

Im vorherigen Beispiel ist die Basislösung (4/5; -17/5; 0; 0) (Variablen x 3 und x 4 (c 1 und c 2) werden auf Null gesetzt, und die Basisvariablen x 1 und x 2 werden durch sie berechnet) . Um ein Beispiel für eine nicht grundlegende Lösung zu geben, müssen x 3 und x 4 (c 1 und c 2) gleichzeitig mit beliebigen Zahlen ungleich Null gleichgesetzt und die restlichen Variablen durchgerechnet werden Sie. Zum Beispiel erhalten wir mit c 1 = 1 und c 2 = 0 eine nicht-basische Lösung – (4/5; –12/5; 1; 0). Durch Substitution lässt sich leicht überprüfen, ob beide Lösungen richtig sind.

Offensichtlich kann es in einem unbestimmten System nichtbasischer Lösungen unendlich viele Lösungen geben. Wie viele Basislösungen kann es geben? Jede Zeile der transformierten Matrix muss einer Basisvariablen entsprechen. Insgesamt enthält das Problem n Variablen und r einfache Zeilen. Daher kann die Anzahl der möglichen Sätze von Basisvariablen die Anzahl der Kombinationen von n bis 2 nicht überschreiten. Es kann weniger als sein , weil es nicht immer möglich ist, das System so zu transformieren, dass dieser bestimmte Satz von Variablen zugrunde liegt.

Was ist das für eine Art? Dies ist eine solche Form, wenn die Matrix, die aus den Spalten der Koeffizienten für diese Variablen gebildet wird, schrittweise ist und in diesem Fall aus Zeilen besteht. Jene. der Rang der Koeffizientenmatrix für diese Variablen muss gleich r sein. Sie kann nicht größer sein, da die Anzahl der Spalten gleich r ist. Fällt er kleiner als r aus, deutet dies auf eine lineare Abhängigkeit der Spalten mit Variablen hin. Solche Spalten können keine Basis bilden.

Betrachten wir, welche anderen grundlegenden Lösungen in dem obigen Beispiel gefunden werden können. Betrachten Sie dazu alle möglichen Kombinationen von vier Variablen mit zwei grundlegenden. Solche Kombinationen werden
, und einer von ihnen (x 1 und x 2) wurde bereits betrachtet.

Nehmen wir die Variablen x 1 und x 3 . Finden Sie den Rang der Koeffizientenmatrix für sie:

Da es gleich zwei ist, können sie basisch sein. Wir setzen die nicht grundlegenden Variablen x 2 und x 4 mit Null gleich: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Dann folgt aus der Formel x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4, dass x 1 \u003d 4/5, und aus der Formel x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 folgt x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Somit erhalten wir die Grundlösung (4/5; 0; 17/5; 0).

In ähnlicher Weise können Sie grundlegende Lösungen für die grundlegenden Variablen x 1 und x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 und x 4 – (0; –9; 0; 4); x 3 und x 4 - (0; 0; 9; 4).

Die Variablen x 2 und x 3 in diesem Beispiel können nicht als grundlegende angesehen werden, da der Rang der entsprechenden Matrix gleich eins ist, d.h. weniger als zwei:

.

Ein anderer Ansatz ist möglich, um zu bestimmen, ob es möglich ist, eine Basis von einigen Variablen zu bilden oder nicht. Bei der Lösung des Beispiels nahm es als Ergebnis der Transformation der Systemmatrix in eine Stufenform die Form an:

Durch die Wahl von Variablenpaaren konnten die entsprechenden Minoren dieser Matrix berechnet werden. Es ist leicht zu sehen, dass alle Paare außer x 2 und x 3 ungleich Null sind, d.h. die Spalten sind linear unabhängig. Und nur für Spalten mit Variablen x 2 und x 3
, was auf ihre lineare Abhängigkeit hinweist.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Lösen wir das Gleichungssystem

Die Gleichung, die der dritten Zeile der letzten Matrix entspricht, ist also inkonsistent - sie führte zur falschen Gleichheit 0 = -1, daher ist dieses System inkonsistent.

Jordan-Gauß-Verfahren 3 ist eine Weiterentwicklung der Gaußschen Methode. Sein Wesen besteht darin, dass die erweiterte Matrix des Systems in die Form umgewandelt wird, wenn die Koeffizienten der Variablen eine Identitätsmatrix bis zu einer Permutation von Zeilen oder Spalten 4 bilden (wobei der Rang der Systemmatrix ist).

Lassen Sie uns das System mit dieser Methode lösen:

Betrachten Sie die erweiterte Matrix des Systems:

In dieser Matrix wählen wir das Identitätselement aus. Beispielsweise ist der Koeffizient bei x 2 in der dritten Einschränkung 5. Stellen wir sicher, dass in den verbleibenden Zeilen dieser Spalte Nullen stehen, d.h. Machen Sie die Spalte einfach. Im Prozess der Transformationen werden wir dies nennen Säulefreizügig(führend, Schlüssel). Die dritte Einschränkung (die dritte Schnur) wird ebenfalls aufgerufen freizügig. Mich selber Element, die am Schnittpunkt der zulässigen Zeile und Spalte steht (hier ist es eine Einheit), wird auch genannt freizügig.

Die erste Zeile enthält nun den Koeffizienten (-1). Um an ihrer Stelle eine Null zu erhalten, multiplizieren Sie die dritte Zeile mit (-1) und subtrahieren Sie das Ergebnis von der ersten Zeile (d. h. addieren Sie einfach die erste Zeile zur dritten).

Die zweite Zeile enthält einen Koeffizienten von 2. Um an ihrer Stelle Null zu erhalten, multiplizieren Sie die dritte Zeile mit 2 und subtrahieren Sie das Ergebnis von der ersten Zeile.

Das Ergebnis der Transformationen sieht folgendermaßen aus:

Diese Matrix zeigt deutlich, dass eine der ersten beiden Einschränkungen gelöscht werden kann (die entsprechenden Zeilen sind proportional, d. h. diese Gleichungen folgen aufeinander). Streichen wir die zweite:

Es gibt also zwei Gleichungen im neuen System. Eine einzelne Spalte (zweite) wird empfangen, und die Einheit befindet sich hier in der zweiten Zeile. Erinnern wir uns, dass die Basisvariable x 2 der zweiten Gleichung des neuen Systems entspricht.

Wählen wir eine Basisvariable für die erste Zeile. Es kann jede Variable außer x 3 sein (weil bei x 3 die erste Bedingung einen Nullkoeffizienten hat, d. h. die Menge der Variablen x 2 und x 3 kann hier nicht grundlegend sein). Sie können die erste oder vierte Variable nehmen.

Wählen wir x 1. Dann ist das Auflösungselement 5, und beide Teile der Auflösungsgleichung müssen durch fünf geteilt werden, um eins in der ersten Spalte der ersten Zeile zu erhalten.

Stellen wir sicher, dass die restlichen Zeilen (d. h. die zweite Zeile) in der ersten Spalte Nullen enthalten. Da nun die zweite Zeile nicht Null, sondern 3 ist, müssen von der zweiten Zeile die Elemente der konvertierten ersten Zeile, multipliziert mit 3, abgezogen werden:

Eine Basislösung kann direkt aus der resultierenden Matrix extrahiert werden, indem die Nichtbasisvariablen mit Null und die Basisvariablen mit den freien Termen in den entsprechenden Gleichungen gleichgesetzt werden: (0,8; -3,4; 0; 0). Sie können auch allgemeine Formeln ableiten, die grundlegende Variablen durch nicht grundlegende Variablen ausdrücken: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6 x 4. Diese Formeln beschreiben den gesamten unendlichen Satz von Lösungen für das System (indem Sie x 3 und x 4 mit beliebigen Zahlen gleichsetzen, können Sie x 1 und x 2 berechnen).

Beachten Sie, dass das Wesen der Transformationen in jeder Phase der Jordan-Gauß-Methode wie folgt war:

1) die zulässige Zeichenfolge wurde durch das zulässige Element geteilt, um eine Einheit an ihrer Stelle zu erhalten,

2) Von allen anderen Zeilen wurde das transformierte Auflösungsvermögen multipliziert mit dem Element, das sich in der gegebenen Zeile in der Auflösungsspalte befand, subtrahiert, um anstelle dieses Elements Null zu erhalten.

Betrachten Sie noch einmal die transformierte erweiterte Matrix des Systems:

Aus diesem Eintrag ist ersichtlich, dass der Rang der Matrix des Systems A r ist.

Im Zuge der obigen Überlegungen haben wir festgestellt, dass das System genau dann konsistent ist, wenn
. Dies bedeutet, dass die erweiterte Matrix des Systems wie folgt aussehen wird:

Wenn wir Nullzeilen verwerfen, erhalten wir, dass der Rang der erweiterten Matrix des Systems auch gleich r ist.

Satz von Kronecker-Capelli. Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann konsistent, wenn der Rang der Matrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix dieses Systems ist.

Denken Sie daran, dass der Rang einer Matrix gleich der maximalen Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen ist. Daraus folgt, dass, wenn der Rang der erweiterten Matrix kleiner als die Anzahl der Gleichungen ist, die Gleichungen des Systems linear abhängig sind und eine oder mehrere von ihnen aus dem System ausgeschlossen werden können (weil sie linear sind Kombination der anderen). Das Gleichungssystem ist nur dann linear unabhängig, wenn der Rang der erweiterten Matrix gleich der Anzahl der Gleichungen ist.

Darüber hinaus kann für konsistente Systeme linearer Gleichungen argumentiert werden, dass das System eine eindeutige Lösung hat, wenn der Rang der Matrix gleich der Anzahl der Variablen ist, und wenn es weniger als die Anzahl der Variablen ist Das System ist unbestimmt und hat unendlich viele Lösungen.

1Angenommen, die Matrix enthält fünf Zeilen (die anfängliche Zeilenreihenfolge ist 12345). Wir müssen die zweite Zeile und die fünfte ändern. Damit die zweite Zeile an die Stelle der fünften fällt und sich nach unten „bewegt“, ändern wir die benachbarten Zeilen dreimal nacheinander: die zweite und dritte (13245), die zweite und vierte (13425) und die zweite und fünfte (13452). Damit die fünfte Reihe an die Stelle der zweiten in der ursprünglichen Matrix fällt, muss die fünfte Reihe nur um zwei aufeinanderfolgende Änderungen nach oben „verschoben“ werden: die fünfte und vierte Reihe (13542) und die fünfte und dritte (15342).

2Anzahl der Kombinationen von n bis r wird die Anzahl aller unterschiedlichen r-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge genannt (unterschiedliche Mengen sind solche, die eine unterschiedliche Zusammensetzung von Elementen haben, die Auswahlreihenfolge ist nicht wichtig). Es wird nach der Formel berechnet:
. Erinnern Sie sich an die Bedeutung des Zeichens „!“ (Fakultät):
0!=1.)

3Da diese Methode gebräuchlicher ist als die zuvor besprochene Gauß-Methode und im Wesentlichen eine Kombination aus Vorwärts- und Rückwärts-Gauß-Methode ist, wird sie manchmal auch Gauß-Methode genannt, wobei der erste Teil des Namens weggelassen wird.

4Zum Beispiel
.

5Gäbe es keine Einheiten in der Matrix des Systems, dann wäre es zum Beispiel möglich, beide Teile der ersten Gleichung durch zwei zu teilen, und dann würde der erste Koeffizient eins; oder so ähnlich.

Ein System linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten sind zwei oder mehr lineare Gleichungen, für die alle ihre gemeinsamen Lösungen gefunden werden müssen. Wir betrachten Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten. Eine allgemeine Ansicht eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Hier sind x und y unbekannte Variablen, a1, a2, b1, b2, c1, c2 sind einige reelle Zahlen. Eine Lösung für ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten ist ein Zahlenpaar (x, y), so dass, wenn diese Zahlen in die Gleichungen des Systems eingesetzt werden, jede der Gleichungen des Systems zu einer wahren Gleichheit wird. Es gibt mehrere Möglichkeiten, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Betrachten Sie eine der Möglichkeiten, ein System linearer Gleichungen zu lösen, nämlich die Additionsmethode.

Algorithmus zum Lösen durch Additionsverfahren

Ein Algorithmus zum Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei unbekannten Additionsverfahren.

1. Ggf. durch äquivalente Transformationen die Koeffizienten für eine der Unbekannten in beiden Gleichungen angleichen.

2. Addieren oder Subtrahieren der resultierenden Gleichungen, um eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten zu erhalten

3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Unbekannten und finden Sie eine der Variablen.

4. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck in eine der beiden Gleichungen des Systems ein und lösen Sie diese Gleichung, wodurch Sie die zweite Variable erhalten.

5. Überprüfen Sie die Lösung.

Ein Beispiel für eine Lösung nach dem Additionsverfahren

Zur besseren Übersicht lösen wir folgendes lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten nach der Additionsmethode:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Da keine der Variablen die gleichen Koeffizienten hat, gleichen wir die Koeffizienten der Variablen y an. Multiplizieren Sie dazu die erste Gleichung mit drei und die zweite Gleichung mit zwei.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Werden folgendes Gleichungssystem:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Subtrahiere nun die erste von der zweiten Gleichung. Wir präsentieren gleiche Terme und lösen die resultierende lineare Gleichung.

10*x+6*y – (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Wir setzen den resultierenden Wert in die erste Gleichung unseres ursprünglichen Systems ein und lösen die resultierende Gleichung.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Das Ergebnis ist ein Zahlenpaar x=6 und y=14. Wir überprüfen. Wir nehmen Ersatz vor.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Wie Sie sehen können, haben wir zwei wahre Gleichheiten, also haben wir die richtige Lösung gefunden.

Unterricht und Präsentation zum Thema: "Gleichungssysteme. Die Substitutionsmethode, die Additionsmethode, die Methode zur Einführung einer neuen Variablen"

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Wege zur Lösung von Ungleichungssystemen

Leute, wir haben Gleichungssysteme studiert und gelernt, wie man sie mit Graphen löst. Sehen wir uns nun an, welche anderen Möglichkeiten es gibt, Systeme zu lösen.
Fast alle Wege, sie zu lösen, unterscheiden sich nicht von denen, die wir in der 7. Klasse gelernt haben. Jetzt müssen wir einige Anpassungen gemäß den Gleichungen vornehmen, die wir zu lösen gelernt haben.
Die Essenz aller in dieser Lektion beschriebenen Methoden besteht darin, das System durch ein äquivalentes System mit einer einfacheren Form und Lösungsmethode zu ersetzen. Leute, denkt daran, was ein äquivalentes System ist.

Substitutionsmethode

Der erste Weg, Gleichungssysteme mit zwei Variablen zu lösen, ist uns bekannt - das ist die Substitutionsmethode. Wir haben diese Methode verwendet, um lineare Gleichungen zu lösen. Sehen wir uns nun an, wie man Gleichungen im allgemeinen Fall löst.

Wie sollte man bei einer Entscheidung vorgehen?
1. Drücken Sie eine der Variablen durch die andere aus. Die in Gleichungen am häufigsten verwendeten Variablen sind x und y. In einer der Gleichungen drücken wir eine Variable durch eine andere aus. Tipp: Sieh dir beide Gleichungen gut an, bevor du mit dem Lösen beginnst, und wähle diejenige, bei der es einfacher ist, die Variable auszudrücken.
2. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle der ausgedrückten Variablen in die zweite Gleichung ein.
3. Lösen Sie die erhaltene Gleichung.
4. Setze die resultierende Lösung in die zweite Gleichung ein. Wenn es mehrere Lösungen gibt, müssen sie nacheinander ersetzt werden, um nicht ein paar Lösungen zu verlieren.
5. Als Ergebnis erhalten Sie ein Zahlenpaar $(x;y)$, das als Antwort geschrieben werden muss.

Beispiel.
Lösen Sie ein System mit zwei Variablen mit der Substitutionsmethode: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Entscheidung.
Schauen wir uns unsere Gleichungen genauer an. Offensichtlich ist es viel einfacher, y durch x in der ersten Gleichung auszudrücken.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Setzen Sie den ersten Ausdruck in die zweite Gleichung $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$ ein.
Lösen wir die zweite Gleichung separat:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Wir haben zwei Lösungen der zweiten Gleichung $x_1=2$ und $x_2=3$.
Setze sukzessive in die zweite Gleichung ein.
Wenn $x=2$ dann $y=3$. Wenn $x=3$ dann $y=2$.
Die Antwort besteht aus zwei Zahlenpaaren.
Antwort: $(2;3)$ und $(3;2)$.

Algebraische Additionsmethode

Wir haben diese Methode auch in der 7. Klasse studiert.
Es ist bekannt, dass wir eine rationale Gleichung in zwei Variablen mit einer beliebigen Zahl multiplizieren können, wobei wir daran denken, beide Seiten der Gleichung zu multiplizieren. Wir haben eine der Gleichungen mit einer bestimmten Zahl multipliziert, sodass eine der Variablen zerstört wird, wenn die resultierende Gleichung zur zweiten Gleichung des Systems hinzugefügt wird. Dann wurde die Gleichung bezüglich der verbleibenden Variablen gelöst.
Diese Methode funktioniert immer noch, obwohl es nicht immer möglich ist, eine der Variablen zu zerstören. Aber es erlaubt einem, die Form einer der Gleichungen erheblich zu vereinfachen.

Beispiel.
Lösen Sie das System: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Entscheidung.
Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Wie Sie sehen können, ist die Form der resultierenden Gleichung viel einfacher als die ursprüngliche. Jetzt können wir die Substitutionsmethode anwenden.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Lassen Sie uns x bis y in der resultierenden Gleichung ausdrücken.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Habe $y=-1$ und $y=-3$.
Setzen Sie diese Werte nacheinander in die erste Gleichung ein. Wir erhalten zwei Zahlenpaare: $(1;-1)$ und $(-1;-3)$.
Antwort: $(1;-1)$ und $(-1;-3)$.

Methode zur Einführung einer neuen Variablen

Wir haben diese Methode auch studiert, aber schauen wir sie uns noch einmal an.

Beispiel.
Lösen Sie das System: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Entscheidung.
Führen wir die Ersetzung $t=\frac(x)(y)$ ein.
Schreiben wir die erste Gleichung mit einer neuen Variablen um: $t+\frac(2)(t)=3$.
Lösen wir die resultierende Gleichung:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Habe $t=2$ oder $t=1$. Führen wir die umgekehrte Änderung $t=\frac(x)(y)$ ein.
Erhalten: $x=2y$ und $x=y$.

Für jeden der Ausdrücke muss das ursprüngliche System separat gelöst werden:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Wir haben vier Lösungspaare erhalten.
Antwort: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Beispiel.
Lösen Sie das System: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.

Entscheidung.
Wir führen die Ersetzung ein: $z=\frac(2)(x-3y)$ und $t=\frac(3)(2x+y)$.
Schreiben wir die ursprünglichen Gleichungen mit neuen Variablen um:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Wenden wir die Methode der algebraischen Addition an:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Führen wir die umgekehrte Substitution ein:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Lassen Sie uns die Substitutionsmethode verwenden:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Antwort: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Probleme zu Gleichungssystemen zur unabhängigen Lösung

Systeme lösen:
1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ Ende(Fälle)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

1. Substitutionsmethode: Aus jeder Gleichung des Systems drücken wir eine Unbekannte durch eine andere aus und setzen sie in die zweite Gleichung des Systems ein.

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Entscheidung. Aus der ersten Gleichung des Systems drücken wir aus beim durch X und in die zweite Gleichung des Systems einsetzen. Holen wir uns das System entspricht dem Original.

Nach dem Einbringen solcher Bedingungen nimmt das System die Form an:

Aus der zweiten Gleichung finden wir: . Setzen Sie diesen Wert in die Gleichung ein beim = 2 - 2X, wir bekommen beim= 3. Daher ist die Lösung dieses Systems ein Zahlenpaar .

2. Algebraische Additionsmethode: Durch Addition von zwei Gleichungen erhält man eine Gleichung mit einer Variablen.

Aufgabe. Lösen Sie die Systemgleichung:

Entscheidung. Wenn wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit 2 multiplizieren, erhalten wir das System entspricht dem Original. Wenn wir die beiden Gleichungen dieses Systems addieren, erhalten wir das System

Nach der Reduzierung ähnlicher Begriffe nimmt dieses System die Form an: Aus der zweiten Gleichung finden wir . Setzen Sie diesen Wert in Gleichung 3 ein X + 4beim= 5, erhalten wir , wo . Daher ist die Lösung dieses Systems ein Zahlenpaar.

3. Verfahren zur Einführung neuer Variablen: Wir suchen nach einigen wiederholten Ausdrücken im System, die wir durch neue Variablen bezeichnen werden, wodurch die Form des Systems vereinfacht wird.

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Entscheidung. Schreiben wir dieses System anders:

Lassen x + y = du, ha = v. Dann bekommen wir das System

Lösen wir es mit der Substitutionsmethode. Aus der ersten Gleichung des Systems drücken wir aus u durch v und in die zweite Gleichung des Systems einsetzen. Holen wir uns das System jene.

Aus der zweiten Gleichung des Systems finden wir v 1 = 2, v 2 = 3.

Setzen Sie diese Werte in die Gleichung ein u = 5 - v, wir bekommen u 1 = 3,
u 2 = 2. Dann haben wir zwei Systeme

Beim Lösen des ersten Systems erhalten wir zwei Zahlenpaare (1; 2), (2; 1). Das zweite System hat keine Lösungen.

Übungen zum selbstständigen Arbeiten

1. Lösen Sie Gleichungssysteme mit der Substitutionsmethode.

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