Was ist ein monom. Das Konzept eines Monoms und seine Standardform

In dieser Lektion geben wir eine strenge Definition eines Monoms und betrachten verschiedene Beispiele aus dem Lehrbuch. Erinnere dich an die Regeln zum Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis. Lassen Sie uns eine Definition der Standardform eines Monoms, des Koeffizienten eines Monoms und seines wörtlichen Teils geben. Betrachten wir zwei grundlegende typische Operationen an Monomen, nämlich die Reduktion auf Standardform und Berechnung eines bestimmten numerischen Werts des Monoms für gegebene Werte der darin enthaltenen Literalvariablen. Lassen Sie uns die Regel für die Reduktion des Monoms auf die Standardform formulieren. Lassen Sie uns lernen, wie man typische Probleme mit beliebigen Monomen löst.

Thema:Monome. Arithmetische Operationen auf Monomen

Lektion:Das Konzept eines Monoms. Standardform eines Monoms

Betrachten Sie einige Beispiele:

3. ;

Lass uns finden Gemeinsamkeiten für die angegebenen Ausdrücke. In allen drei Fällen ist der Ausdruck das Produkt aus Zahlen und potenzierten Variablen. Auf dieser Grundlage geben wir Definition eines Monoms : Ein Monom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus einem Produkt von Potenzen und Zahlen besteht.

Nun geben wir Beispiele für Ausdrücke, die keine Monome sind:

Lassen Sie uns den Unterschied zwischen diesen Ausdrücken und den vorherigen finden. Es besteht darin, dass in den Beispielen 4-7 Additions-, Subtraktions- oder Divisionsoperationen vorkommen, während dies in den Beispielen 1-3, die Monome sind, nicht der Fall ist.

Hier noch ein paar Beispiele:

Ausdruck Nummer 8 ist ein Monom, da er das Produkt einer Potenz und einer Zahl ist, während Beispiel 9 kein Monom ist.

Finden wir es jetzt heraus Aktionen auf Monome .

1. Vereinfachung. Betrachten Sie Beispiel #3 ;und Beispiel #2 /

Im zweiten Beispiel sehen wir nur einen Koeffizienten - , jede Variable kommt nur einmal vor, also die Variable " a„“ wird nur einmal dargestellt, als „“, ebenso kommen die Variablen „“ und „“ nur einmal vor.

Im Beispiel Nr. 3 dagegen gibt es zwei verschiedene Koeffizienten - und wir sehen die Variable "" zweimal - als "" und als "", ebenso kommt die Variable "" zweimal vor. Das heißt, dieser Ausdruck sollte vereinfacht werden, also kommen wir zu Die erste Aktion, die an Monomen durchgeführt wird, besteht darin, das Monom in die Standardform zu bringen . Dazu bringen wir den Ausdruck aus Beispiel 3 in die Standardform, dann definieren wir diese Operation und lernen, wie man ein beliebiges Monom in die Standardform bringt.

Betrachten Sie also ein Beispiel:

Der erste Schritt bei der Normierung besteht immer darin, alle Zahlenfaktoren zu multiplizieren:

;

Das Ergebnis dieser Aktion wird aufgerufen Monomkoeffizient .

Als nächstes müssen Sie die Grade multiplizieren. Wir multiplizieren die Grade der Variablen " X„nach der Regel zum Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis, die besagt, dass sich die Exponenten beim Multiplizieren addieren:

Lassen Sie uns nun die Potenzen multiplizieren bei»:

;

Hier also ein vereinfachter Ausdruck:

;

Jedes Monom kann auf die Standardform reduziert werden. Lassen Sie uns formulieren Standardisierungsregel :

Multiplizieren Sie alle numerischen Faktoren;

Setzen Sie den resultierenden Koeffizienten an die erste Stelle;

Multiplizieren Sie alle Grade, dh erhalten Sie den Buchstabenteil.

Das heißt, jedes Monom ist durch einen Koeffizienten und einen Buchstabenteil gekennzeichnet. Mit Blick auf die Zukunft stellen wir fest, dass Monome mit demselben Buchstabenteil ähnlich genannt werden.

Jetzt müssen Sie verdienen Technik zum Reduzieren von Monomen auf die Standardform . Betrachten Sie Beispiele aus dem Lehrbuch:

Aufgabe: Bringe das Monom in die Standardform, nenne den Koeffizienten und den Buchstabenteil.

Um die Aufgabe abzuschließen, verwenden wir die Regel, das Monom in die Standardform und die Eigenschaften der Grade zu bringen.

1. ;

3. ;

Anmerkungen zum ersten Beispiel: Lassen Sie uns zunächst feststellen, ob dieser Ausdruck wirklich ein Monom ist, dazu prüfen wir, ob er Operationen zur Multiplikation von Zahlen und Potenzen enthält und ob er Additions-, Subtraktions- oder Divisionsoperationen enthält. Wir können sagen, dass dieser Ausdruck ein Monom ist, da die obige Bedingung erfüllt ist. Außerdem multiplizieren wir gemäß der Regel, das Monom in die Standardform zu bringen, die numerischen Faktoren:

- wir haben den Koeffizienten des gegebenen Monoms gefunden;

; ; ; das heißt, der wörtliche Teil des Ausdrucks wird empfangen:;

schreibe die Antwort auf: ;

Anmerkungen zum zweiten Beispiel: Nach der Regel führen wir aus:

1) Numerische Faktoren multiplizieren:

2) Potenzen multiplizieren:

Variablen und werden in einer einzigen Kopie dargestellt, dh sie können mit nichts multipliziert werden, sie werden ohne Änderungen neu geschrieben, der Grad wird multipliziert:

schreibe die Antwort auf:

;

In diesem Beispiel der Monomkoeffizient gleich eins, und der wörtliche Teil .

Anmerkungen zum dritten Beispiel: aÄhnlich wie in den vorherigen Beispielen führen wir die folgenden Aktionen aus:

1) Numerische Faktoren multiplizieren:

;

2) Potenzen multiplizieren:

;

schreibe die Antwort auf: ;

In diesem Fall ist der Koeffizient des Monoms gleich "", und der wörtliche Teil .

Jetzt bedenke zweite Standardoperation auf Monomen . Da ein Monom ein algebraischer Ausdruck ist, der aus wörtlichen Variablen besteht, die bestimmte numerische Werte annehmen können, haben wir eine Arithmetik numerischer Ausdruck, was berechnet werden soll. Das heißt, die folgende Operation an Polynomen ist Berechnung ihres spezifischen Zahlenwertes .

Betrachten Sie ein Beispiel. Das Monom ist gegeben:

Dieses Monom wurde bereits auf die Standardform reduziert, sein Koeffizient ist gleich eins und der wörtliche Teil

Wir haben bereits gesagt, dass ein algebraischer Ausdruck nicht immer berechnet werden kann, das heißt, die Variablen, die in ihn eingehen, dürfen keinen Wert annehmen. Im Fall eines Monoms können die darin enthaltenen Variablen beliebig sein, dies ist ein Merkmal des Monoms.

In dem gegebenen Beispiel ist es also erforderlich, den Wert des Monoms für , , , zu berechnen.

Lektion zum Thema: "Standardform eines Monoms. Definition. Beispiele"

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Monom. Definition

Monom ist ein mathematischer Ausdruck, der das Produkt eines Primfaktors und einer oder mehrerer Variablen ist.

Monome umfassen alle Zahlen, Variablen, ihre Potenzen mit einem natürlichen Exponenten:
42; 3; 0; 62; 2 3 ; b3; ax4; 4x3; 5a2; 12xyz 3 .

Oft ist es schwierig festzustellen, ob sich ein gegebener mathematischer Ausdruck auf ein Monom bezieht oder nicht. Beispiel: $\frac(4a^3)(5)$. Ist es monomisch oder nicht? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir den Ausdruck vereinfachen, d.h. darstellen in der Form: $\frac(4)(5)*à^3$.
Wir können mit Sicherheit sagen, dass dieser Ausdruck ein Monom ist.

Standardform eines Monoms

Bei der Berechnung ist es wünschenswert, das Monom auf die Standardform zu bringen. Dies ist die kürzeste und verständlichste Schreibweise des Monoms.

Die Reihenfolge, in der das Monom in die Standardform gebracht wird, ist wie folgt:
1. Multiplizieren Sie die Koeffizienten des Monoms (oder numerische Faktoren) und setzen Sie das Ergebnis an die erste Stelle.
2. Wählen Sie alle Grade mit der gleichen Buchstabenbasis aus und multiplizieren Sie sie.
3. Wiederholen Sie Punkt 2 für alle Variablen.

Beispiele.
I. Reduziere das gegebene Monom $3x^2zy^3*5y^2z^4$ auf die Standardform.

Lösung.
1. Multipliziere die Koeffizienten des Monoms $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Lassen Sie uns nun ähnliche Begriffe $15х^2y^5z^5$ vorstellen.

II. Wandle das gegebene Monom $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ in die Standardform um.

Lösung.
1. Multipliziere die Koeffizienten des Monoms $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Stellen wir nun ähnliche Terme $\frac(10)(7)a^5b^5c$ vor.

Wir haben festgestellt, dass jedes Monom sein kann in Standardform bringen. In diesem Artikel werden wir verstehen, was die Reduktion eines Monoms auf eine Standardform genannt wird, welche Aktionen diesen Prozess ermöglichen, und die Lösungen von Beispielen mit detaillierten Erklärungen betrachten.

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Was bedeutet es, ein Monom in die Standardform zu bringen?

Es ist praktisch, mit Monomen zu arbeiten, wenn sie in Standardform geschrieben sind. Monome werden jedoch häufig in einer anderen Form als der Standardform angegeben. In diesen Fällen ist es immer möglich, durch identische Transformationen vom ursprünglichen Monom zum Standardformmonom überzugehen. Der Prozess der Durchführung solcher Transformationen wird als das Bringen des Monoms in die Standardform bezeichnet.

Lassen Sie uns die obige Argumentation verallgemeinern. Monom in Normalform bringen- das bedeutet, mit ihm solche durchzuführen identische Transformationen um es standardmäßig aussehen zu lassen.

Wie bringt man ein Monom in die Normalform?

Es ist Zeit herauszufinden, wie man Monome in die Standardform bringt.

Wie aus der Definition bekannt ist, sind Monome einer Nichtstandardform Produkte von Zahlen, Variablen und ihren Potenzen und möglicherweise Wiederholungen. Und das Monom der Standardform kann in seinem Datensatz nur eine Zahl und sich nicht wiederholende Variablen oder deren Grade enthalten. Nun bleibt zu verstehen, wie die Produkte des ersten Typs auf die Form des zweiten reduziert werden können?

Dazu müssen Sie Folgendes verwenden die Regel zum Reduzieren eines Monoms auf die Standardform bestehend aus zwei Schritten:

• Zunächst erfolgt eine Gruppierung numerischer Faktoren sowie identischer Variablen und ihrer Grade;
• Zweitens wird das Zahlenprodukt berechnet und angewendet.

Als Ergebnis der Anwendung der angegebenen Regel wird jedes Monom auf die Standardform reduziert.

Beispiele, Lösungen

Es bleibt zu lernen, wie man die Regel aus dem vorherigen Absatz beim Lösen von Beispielen anwendet.

Beispiel.

Bringe das Monom 3·x·2·x 2 in die Normalform.

Lösung.

Lassen Sie uns die numerischen Faktoren und die Faktoren mit der Variablen x gruppieren. Nach der Gruppierung nimmt das ursprüngliche Monom die Form (3 2) (x x 2) an. Das Produkt der Zahlen in der ersten Klammer ist 6, und die Regel zum Multiplizieren von Potenzen mit denselben Basen erlaubt es, den Ausdruck in der zweiten Klammer als x 1 +2=x 3 darzustellen. Als Ergebnis erhalten wir ein Polynom der Standardform 6·x 3 .

Hier ist eine Zusammenfassung der Lösung: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.

Antworten:

3 x 2 x 2 = 6 x 3 .

Um also ein Monom in eine Standardform zu bringen, muss man Faktoren gruppieren, Zahlen multiplizieren und mit Potenzen arbeiten können.

Um das Material zu konsolidieren, lösen wir ein weiteres Beispiel.

Beispiel.

Drücken Sie das Monom in Standardform aus und geben Sie seinen Koeffizienten an.

Lösung.

Das ursprüngliche Monom hat einen einzigen numerischen Faktor −1 in seiner Notation, verschieben wir ihn an den Anfang. Danach gruppieren wir die Faktoren separat mit der Variablen a , separat - mit der Variablen b , und es gibt nichts, womit die Variable m gruppiert werden könnte, lassen Sie es so, wie wir es haben . Nachdem Sie Operationen mit Grad in Klammern durchgeführt haben, nimmt das Monom die von uns benötigte Standardform an, aus der Sie den Koeffizienten des Monoms sehen können, der gleich −1 ist. Minus Eins kann durch ein Minuszeichen ersetzt werden: .

In dieser Lektion geben wir eine strenge Definition eines Monoms und betrachten verschiedene Beispiele aus dem Lehrbuch. Erinnere dich an die Regeln zum Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis. Lassen Sie uns eine Definition der Standardform eines Monoms, des Koeffizienten eines Monoms und seines wörtlichen Teils geben. Betrachten wir zwei grundlegende typische Operationen an Monomen, nämlich die Reduktion auf eine Standardform und die Berechnung eines bestimmten numerischen Werts eines Monoms für gegebene Werte der darin enthaltenen Literalvariablen. Lassen Sie uns die Regel für die Reduktion des Monoms auf die Standardform formulieren. Lassen Sie uns lernen, wie man typische Probleme mit beliebigen Monomen löst.

Thema:Monome. Arithmetische Operationen auf Monomen

Lektion:Das Konzept eines Monoms. Standardform eines Monoms

Betrachten Sie einige Beispiele:

3. ;

Lassen Sie uns Gemeinsamkeiten für die gegebenen Ausdrücke finden. In allen drei Fällen ist der Ausdruck das Produkt aus Zahlen und potenzierten Variablen. Auf dieser Grundlage geben wir Definition eines Monoms : Ein Monom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus einem Produkt von Potenzen und Zahlen besteht.

Nun geben wir Beispiele für Ausdrücke, die keine Monome sind:

Lassen Sie uns den Unterschied zwischen diesen Ausdrücken und den vorherigen finden. Es besteht darin, dass in den Beispielen 4-7 Additions-, Subtraktions- oder Divisionsoperationen vorkommen, während dies in den Beispielen 1-3, die Monome sind, nicht der Fall ist.

Hier noch ein paar Beispiele:

Ausdruck Nummer 8 ist ein Monom, da er das Produkt einer Potenz und einer Zahl ist, während Beispiel 9 kein Monom ist.

Finden wir es jetzt heraus Aktionen auf Monome .

1. Vereinfachung. Betrachten Sie Beispiel #3 ;und Beispiel #2 /

Im zweiten Beispiel sehen wir nur einen Koeffizienten - , jede Variable kommt nur einmal vor, also die Variable " a„“ wird nur einmal dargestellt, als „“, ebenso kommen die Variablen „“ und „“ nur einmal vor.

Im Beispiel Nr. 3 dagegen gibt es zwei verschiedene Koeffizienten - und wir sehen die Variable "" zweimal - als "" und als "", ebenso kommt die Variable "" zweimal vor. Das heißt, dieser Ausdruck sollte vereinfacht werden, also kommen wir zu Die erste Aktion, die an Monomen durchgeführt wird, besteht darin, das Monom in die Standardform zu bringen . Dazu bringen wir den Ausdruck aus Beispiel 3 in die Standardform, dann definieren wir diese Operation und lernen, wie man ein beliebiges Monom in die Standardform bringt.

Betrachten Sie also ein Beispiel:

Der erste Schritt bei der Normierung besteht immer darin, alle Zahlenfaktoren zu multiplizieren:

;

Das Ergebnis dieser Aktion wird aufgerufen Monomkoeffizient .

Als nächstes müssen Sie die Grade multiplizieren. Wir multiplizieren die Grade der Variablen " X„nach der Regel zum Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis, die besagt, dass sich die Exponenten beim Multiplizieren addieren:

Lassen Sie uns nun die Potenzen multiplizieren bei»:

;

Hier also ein vereinfachter Ausdruck:

;

Jedes Monom kann auf die Standardform reduziert werden. Lassen Sie uns formulieren Standardisierungsregel :

Multiplizieren Sie alle numerischen Faktoren;

Setzen Sie den resultierenden Koeffizienten an die erste Stelle;

Multiplizieren Sie alle Grade, dh erhalten Sie den Buchstabenteil.

Das heißt, jedes Monom ist durch einen Koeffizienten und einen Buchstabenteil gekennzeichnet. Mit Blick auf die Zukunft stellen wir fest, dass Monome mit demselben Buchstabenteil ähnlich genannt werden.

Jetzt müssen Sie verdienen Technik zum Reduzieren von Monomen auf die Standardform . Betrachten Sie Beispiele aus dem Lehrbuch:

Aufgabe: Bringe das Monom in die Standardform, nenne den Koeffizienten und den Buchstabenteil.

Um die Aufgabe abzuschließen, verwenden wir die Regel, das Monom in die Standardform und die Eigenschaften der Grade zu bringen.

1. ;

3. ;

Anmerkungen zum ersten Beispiel: Lassen Sie uns zunächst feststellen, ob dieser Ausdruck wirklich ein Monom ist, dazu prüfen wir, ob er Operationen zur Multiplikation von Zahlen und Potenzen enthält und ob er Additions-, Subtraktions- oder Divisionsoperationen enthält. Wir können sagen, dass dieser Ausdruck ein Monom ist, da die obige Bedingung erfüllt ist. Außerdem multiplizieren wir gemäß der Regel, das Monom in die Standardform zu bringen, die numerischen Faktoren:

- wir haben den Koeffizienten des gegebenen Monoms gefunden;

; ; ; das heißt, der wörtliche Teil des Ausdrucks wird empfangen:;

schreibe die Antwort auf: ;

Anmerkungen zum zweiten Beispiel: Nach der Regel führen wir aus:

1) Numerische Faktoren multiplizieren:

2) Potenzen multiplizieren:

Variablen und werden in einer einzigen Kopie dargestellt, dh sie können mit nichts multipliziert werden, sie werden ohne Änderungen neu geschrieben, der Grad wird multipliziert:

schreibe die Antwort auf:

;

In diesem Beispiel ist der Monomkoeffizient gleich Eins und der Literalteil ist .

Anmerkungen zum dritten Beispiel: aÄhnlich wie in den vorherigen Beispielen führen wir die folgenden Aktionen aus:

1) Numerische Faktoren multiplizieren:

;

2) Potenzen multiplizieren:

;

schreibe die Antwort auf: ;

In diesem Fall ist der Koeffizient des Monoms gleich "", und der wörtliche Teil .

Jetzt bedenke zweite Standardoperation auf Monomen . Da ein Monom ein algebraischer Ausdruck ist, der aus wörtlichen Variablen besteht, die bestimmte numerische Werte annehmen können, haben wir einen arithmetischen numerischen Ausdruck, der ausgewertet werden sollte. Das heißt, die folgende Operation an Polynomen ist Berechnung ihres spezifischen Zahlenwertes .

Betrachten Sie ein Beispiel. Das Monom ist gegeben:

Dieses Monom wurde bereits auf die Standardform reduziert, sein Koeffizient ist gleich eins und der wörtliche Teil

Wir haben bereits gesagt, dass ein algebraischer Ausdruck nicht immer berechnet werden kann, das heißt, die Variablen, die in ihn eingehen, dürfen keinen Wert annehmen. Im Fall eines Monoms können die darin enthaltenen Variablen beliebig sein, dies ist ein Merkmal des Monoms.

In dem gegebenen Beispiel ist es also erforderlich, den Wert des Monoms für , , , zu berechnen.

Monome sind Produkte aus Zahlen, Variablen und ihren Potenzen. Zahlen, Variablen und ihre Grade werden ebenfalls als Monome betrachtet. Zum Beispiel: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Das Monom 5aa2b2b kann auf die Form 20a^2b^2 reduziert werden. Diese Form wird als Standardform des Monoms bezeichnet. Das heißt, die Standardform des Monoms ist das Produkt aus dem Koeffizienten (der zuerst kommt) und den Potenzen von die Variablen. Die Koeffizienten 1 und -1 werden nicht geschrieben, behalten aber ein Minus von -1. Monom und seine Standardform

Die Ausdrücke 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x sind Produkte von Zahlen, Variablen und deren Potenzen. Solche Ausdrücke nennt man Monome. Monome werden auch als Zahlen, Variablen und ihre Potenzen betrachtet.

Beispielsweise sind die Ausdrücke -8, 35, y und y2 Monome.

Die Standardform eines Monoms ist ein Monom in Form eines Produkts numerischer Multiplikator, die an erster Stelle stehen, und Grade verschiedener Variablen. Jedes Monom kann in die Standardform gebracht werden, indem alle darin enthaltenen Variablen und Zahlen multipliziert werden. Hier ist ein Beispiel, wie man ein Monom in die Standardform bringt:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Der numerische Faktor eines in Standardform geschriebenen Monoms wird als Koeffizient eines Monoms bezeichnet. Zum Beispiel ist der Koeffizient des Monoms -7x2y2 -7. Die Koeffizienten der Monome x3 und -xy werden als gleich 1 und -1 betrachtet, da x3 = 1x3 und -xy = -1xy

Der Grad eines Monoms ist die Summe der Exponenten aller darin enthaltenen Variablen. Wenn das Monom keine Variablen enthält, also eine Zahl ist, wird sein Grad als gleich Null betrachtet.

Zum Beispiel ist der Grad des 8x3yz2-Monoms 6, das 6x-Monom ist 1 und das -10-Monom ist 0.

Multiplikation von Monomen. Monome potenzieren

Beim Multiplizieren von Monomen und Potenzieren von Monomen gilt die Regel der Multiplikation von Potenzen mit dieselbe Basis und die Potenzierungsregel. In diesem Fall wird ein Monom erhalten, das normalerweise in Standardform dargestellt wird.

Zum Beispiel

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6