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Volles Quadrat aus einem quadratischen Trinom

Definition

Ausdrücke wie 2 x 2 + 3 x + 5 werden als quadratisches Trinom bezeichnet. Im allgemeinen Fall ist ein quadratisches Trinom ein Ausdruck der Form a x 2 + b x + c, wobei a, b, c a, b, c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.

Betrachten Sie das quadratische Trinom x 2 - 4 x + 5 . Schreiben wir es in dieser Form: x 2 - 2 2 x + 5. Addieren wir 2 2 zu diesem Ausdruck und subtrahieren 2 2 , erhalten wir: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Beachten Sie, dass x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, also x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Die Transformation, die wir vorgenommen haben, heißt "Zuweisung volles Quadrat aus einem quadratischen Trinom".

Wähle das perfekte Quadrat aus dem quadratischen Trinom 9 x 2 + 3 x + 1 .

Beachte, dass 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Dann `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Addieren und subtrahieren Sie zum resultierenden Ausdruck `(1/2)^2`, wir erhalten

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Lassen Sie uns zeigen, wie die Methode zum Extrahieren eines vollen Quadrats aus einem quadratischen Trinom verwendet wird, um ein quadratisches Trinom zu faktorisieren.

Faktorisiere das quadratische Trinom 4 x 2 - 12 x + 5 .

Wir wählen das volle Quadrat aus dem quadratischen Trinom: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Wenden Sie nun die Formel a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) an, erhalten wir: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x -1).

Faktorisiere das quadratische Trinom heraus - 9 x 2 + 12 x + 5 .

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Beachten Sie nun, dass 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 3 x 2 .

Wir addieren den Term 2 2 zum Ausdruck 9 x 2 - 12 x, wir erhalten:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Wir wenden die Formel für die Differenz von Quadraten an, wir haben:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Faktorisiere das quadratische Trinom 3 x 2 - 14 x - 5 .

Wir können den Ausdruck 3 x 2 nicht als Quadrat eines Ausdrucks darstellen, weil wir das in der Schule noch nicht gelernt haben. Sie werden dies später durchgehen, und bereits in Aufgabe Nr. 4 werden wir studieren Quadratwurzeln. Lassen Sie uns zeigen, wie wir ein gegebenes quadratisches Trinom faktorisieren können:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Wir werden zeigen, wie die Methode der vollständigen Quadrate verwendet wird, um die größten oder kleinsten Werte eines quadratischen Trinoms zu finden.
Betrachten Sie das quadratische Trinom x 2 - x + 3 . Auswahl eines ganzen Quadrats:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Beachten Sie, dass bei „x=1/2“ der Wert des quadratischen Trinoms „11/4“ ist und bei „x!=1/2“ der Wert von „11/4“ hinzugefügt wird positive Zahl, also erhalten wir eine Zahl größer als `11/4`. Auf diese Weise, kleinster Wert Quadratisches Trinom ist '11/4' und wird mit 'x=1/2' erhalten.

Finden Sie den größten Wert des quadratischen Trinoms - 16 2 + 8 x + 6 .

Wir wählen das volle Quadrat aus dem quadratischen Trinom: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Bei `x=1/4` ist der Wert des quadratischen Trinoms 7 , und bei `x!=1/4` wird von der Zahl 7 eine positive Zahl subtrahiert, dh wir erhalten eine Zahl kleiner als 7 . Also die Zahl 7 ist Höchster Wert quadratisches Trinom, und es wird mit `x=1/4` erhalten.

Faktorisiere Zähler und Nenner von `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` und kürze den Bruch.

Beachten Sie, dass der Nenner des Bruchs x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 ist. Wir zerlegen den Zähler des Bruchs in Faktoren, indem wir die Methode verwenden, das volle Quadrat aus dem quadratischen Trinom zu extrahieren. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Dieser Bruch wurde auf die Form `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` reduziert, nach Reduktion um (x - 3) erhalten wir `(x+5)/(x-3 )`.

Faktorisiere das Polynom x 4 - 13 x 2 + 36.

Wenden wir die Methode der vollen Quadrate auf dieses Polynom an. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

x Name-

1.2.3. Verwendung abgekürzter Multiplikationsidentitäten

Beispiel. Faktor x 4 16.

x 4 16 x 2 2 42 x 2 4 x 2 4 x 2 x 2 x 2 4 .

1.2.4. Faktorisieren eines Polynoms mit seinen Wurzeln

Satz. Das Polynom P x habe eine Wurzel x 1 . Dann kann dieses Polynom wie folgt faktorisiert werden: P x x x 1 S x , wobei S x ein Polynom ist, dessen Grad eins kleiner ist als

Werte abwechselnd in den Ausdruck für P x. Das bekommen wir für x 2 du-

der Ausdruck wird zu 0, d. h. P 2 0, was bedeutet, dass x 2 die Wurzel des Multi-

Mitglied. Teilen Sie das Polynom P x durch x 2 .

X 3 3x 2 10x 24
x 32 x 2	24 10x	x2 x12
	24 10x

12x2412x24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x 2 x 3 x 4

1.3. Vollständige quadratische Auswahl

Die Methode der vollständigen Quadratauswahl basiert auf den folgenden Formeln: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Die Auswahl des vollen Quadrats ist eine solche identische Transformation, bei der das gegebene Trinom als a b 2 die Summe oder Differenz des Quadrats des Binoms und eines numerischen oder wörtlichen Ausdrucks dargestellt wird.

Ein quadratisches Trinom in Bezug auf eine Variable ist ein Ausdruck der Form

ax 2 bx c , wobei a , b und c Zahlen sind, und a 0 .

Wir transformieren das quadratische Trinom ax 2 bx c wie folgt.

x2 :

Koeffizient

Dann stellen wir den Ausdruck b x als 2b x (Doppelprodukt

x): ein x

Addieren und subtrahieren Sie zum Ausdruck in Klammern die Zahl

was das Quadrat einer Zahl ist

Als Ergebnis erhalten wir:

Das merkt man jetzt

Werden

4a 2

Beispiel. Wählen Sie ein ganzes Quadrat aus.

2 x 12

2x2 4x5 2x2 2x5

2x2 2x1 15

2 x 12 7.

4 ein 2,

1.4. Polynome in mehreren Variablen

Polynome in mehreren Variablen können wie Polynome in einer Variablen addiert, multipliziert und in eine natürliche Potenz erhoben werden.

Wichtig Identitätstransformation Polynom in mehreren Variablen ist eine Faktorisierung. Hier werden solche Faktorisierungstechniken wie Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Gruppieren, Verwenden abgekürzter Multiplikationsidentitäten, Hervorheben des vollständigen Quadrats, Einführen von Hilfsvariablen verwendet.

1. Faktorisiere das Polynom P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2 Jahre 32 x 2 x 364 Jahre 32 x 2 x 4 Jahre x 24 Jahre x 16 Jahre 2.

2. Faktorisiere P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Wenden Sie die Gruppierungsmethode an

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4x3y5xz.

3. Faktorisiere P x ,y x 4 4y 4 . Wählen wir ein ganzes Quadrat aus:

x 4j 4x 44 x 2j 24 j 24 x 2j 2x 22 j 2 2 4 x 2j 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Gradeigenschaften mit einem beliebigen rationalen Exponenten

Ein Grad mit einem beliebigen rationalen Exponenten hat die folgenden Eigenschaften:

1. ein r 1 ein r 2 ein r 1r 2,

	ein r 1 ein r 2 ein r 1r 2,
3. ein r 1r 2 ein r 1r 2,
4. abr 1 ar 1 br 1,
	ein r 1	ar 1


		br 1

wobei a 0;b 0;r 1 ;r 2 beliebige rationale Zahlen sind.

1. Multipliziere 8

x3 12x7.

24x23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. Faktorisieren

a2x3

1.6. Übungen zur Selbstverwirklichung

1. Führen Sie Aktionen mit abgekürzten Multiplikationsformeln durch. ein) a 52 ;

2) 3 a 72;

3) ein nb n2 .

4) 1 x 3;

	3 und 3 ;

7) 8a 2 8a 2 ;

8) ein nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) ein 3a 2 3a 9 ;

11) ein 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Berechnen Sie mit den abgekürzten Multiplikationsidentitäten:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Beweisen Sie die Identitäten:

ein). x 2 13 3 x 2 x 12 6 x x 1 11 x 3 32 2;

2) ein 2b 2 2 2 ab 2 ein 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Faktorisieren Sie die folgenden Polynome:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63m 4n 327m 3n 445m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24x38bx12a19b;

7) 25 ein 21 b 2q 2;

8) 9 5 ein 4b 2 64a 2 ;

9) 121n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20 tn 25 n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 S. 3 q 8 72 S. 4 q 7 81 S. 5 q 6 ;

13) 6x3 36x 2 72x 48;

14) 15ax 3 45ax 2 45ax 15a;

15) 9 ein 3 n 1 4,5 ein 2 n 1;

16) 5 p 2 n q n 15 p 5 n q 2 n ;

17) 4 ein 7b 232 ein 4b 5;

18) 7 x 24 Jahre 2 2 3 x 28 Jahre 2 2;

19) 1000 t 3 27 t 6 .

5. Am einfachsten rechnen:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Finden Sie den Quotienten und den Rest der Division eines Polynoms P x durch Polynom Q x : 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Qxx4 4x2 .

7. Beweisen Sie, dass das Polynom x 2 2x 2 hat keine wirklichen Wurzeln.

8. Finden Sie die Wurzeln eines Polynoms:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3 x 2 5 x 15.

9. Faktorisieren:

1) 6 ein 2 ein 5 5 ein 3;

2) x 2 x 3 2 x 32 4 x 3 3 x 2 ;

3) x 3 6 x 2 11 x 6.

10. Lösen Sie Gleichungen, indem Sie ein volles Quadrat auswählen:

1) x 2 2 x 3 0;

2) x 2 13 x 30 0 .

11. Ausdruckswerte finden:

		4 3 85

		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Berechnen:

16 0,25

Online-Rechner.
Auswahl des Quadrats des Binoms und Faktorisierung des quadratischen Trinoms.

Dieses Matheprogramm extrahiert das Quadrat des Binoms aus dem quadratischen Trinom, d.h. macht eine Transformation der Form:
$ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $ und faktorisiert das quadratische Trinom: $ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $

Jene. die Probleme reduzieren sich darauf, die Zahlen $p, q $ und $n, m $ zu finden

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Lösungsprozess.

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Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Trinoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Regeln für die Eingabe eines quadratischen Polynoms

Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: $x, y, z, a, b, c, o, p, q $ usw.

Zahlen können als Ganzzahlen oder Brüche eingegeben werden.
Darüber hinaus, Bruchzahlen kann nicht nur als Dezimalzahl, sondern auch als gewöhnlicher Bruch eingegeben werden.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil von der ganzen Zahl entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können zum Beispiel eingeben Dezimalstellen also: 2,5x - 3,5x^2

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.

Der Nenner darf nicht negativ sein.

Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Ergebnis: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 $

Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Beispiel ausführliche Lösung

Auswahl des Quadrats des Binoms.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Antworten:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorisierung.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\links(x^2+x-2 \rechts) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Antworten:$$2x^2+2x-4 = 2 \links(x -1 \rechts) \links(x +2 \rechts) $$

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Ein bisschen Theorie.

Extraktion eines quadratischen Binoms aus einem quadratischen Trinom

Wenn das quadratische Trinom ax 2 + bx + c als a (x + p) 2 + q dargestellt wird, wobei p und q reelle Zahlen sind, dann sagt man das aus quadratisches Trinom, das Quadrat des Binoms ist hervorgehoben.

Lassen Sie uns das Quadrat des Binoms aus dem Trinom 2x 2 +12x+14 extrahieren.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

Dazu stellen wir 6x als Produkt von 2 * 3 * x dar und addieren und subtrahieren dann 3 2 . Wir bekommen:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Dass. wir das Quadrat des Binoms aus dem quadratischen Trinom ausgewählt, und zeigte, dass:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktorisierung eines quadratischen Trinoms

Wenn das quadratische Trinom ax 2 + bx + c als a(x+n)(x+m) dargestellt wird, wobei n und m reelle Zahlen sind, wird die Operation als ausgeführt bezeichnet Faktorisierungen eines quadratischen Trinoms.

Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie diese Transformation durchgeführt wird.

Lassen Sie uns das quadratische Trinom 2x 2 +4x-6 faktorisieren.

Nehmen wir den Koeffizienten a aus der Klammer, d.h. 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

Lassen Sie uns den Ausdruck in Klammern umwandeln.
Dazu stellen wir 2x als die Differenz 3x-1x und -3 als -1*3 dar. Wir bekommen:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Dass. wir Zerlege das quadratische Trinom, und zeigte, dass:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Beachten Sie, dass die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms nur möglich ist, wenn quadratische Gleichung entsprechend diesem Trinom hat Wurzeln.
Jene. in unserem Fall ist die Faktorisierung des Trinoms 2x 2 +4x-6 möglich, wenn die quadratische Gleichung 2x 2 +4x-6 =0 Wurzeln hat. Beim Faktorisieren haben wir festgestellt, dass die Gleichung 2x 2 +4x-6 =0 zwei Wurzeln hat, 1 und -3, weil mit diesen Werten wird die Gleichung 2(x-1)(x+3)=0 zu einer wahren Gleichheit.

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