Heimat / Krätze/ „Die Entstehungsgeschichte quadratischer Gleichungen. Entwicklungsgeschichte quadratischer Gleichungen

„Die Entstehungsgeschichte quadratischer Gleichungen. Entwicklungsgeschichte quadratischer Gleichungen

Startseite > Bericht

MOU-Sekundarschule nach Heroes benannt Sovietunion
Sotnikova A.T. und Shepeleva N. G. s. Uritskoe

Bericht zum Thema:

„Die Entstehungsgeschichte

quadratische Gleichungen»

Hergestellt von:Izotova Julia,
Ampleeva Elena,
Shepelev Nikolay,

Djatschenko Juri.

Ach Mathematik. Seit Jahrhunderten bist du mit Ruhm bedeckt,

Leuchte aller irdischen Leuchten.

Du majestätische Königin

Kein Wunder, dass Gauß getauft wurde.

Streng, logisch, majestätisch,

Schlank im Flug, wie ein Pfeil,

Deine ewige Herrlichkeit

Im Laufe der Jahrhunderte erlangte sie Unsterblichkeit.

Wir preisen den menschlichen Verstand

seine Taten magische Hände,

Die Hoffnung dieses Zeitalters

Königin aller irdischen Wissenschaften.

Das wollen wir Ihnen heute sagen

Geschichte des Auftretens

Was jeder Schüler wissen sollte

Geschichte der quadratischen Gleichungen.

Euklid, im 3. Jahrhundert v. e. widmet der geometrischen Algebra in seinen „Prinzipien“ das gesamte zweite Buch, in dem die gesamte notwendiges Material quadratische Gleichungen zu lösen.

Euklid (Eνκλειδηζ), altgriechischer Mathematiker, Autor der ersten theoretischen Abhandlung über Mathematik, die uns überliefert ist

Informationen über Euklid sind äußerst spärlich. Das einzige, was als zuverlässig angesehen werden kann, ist das wissenschaftliche Tätigkeit floss im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria. e. Euklid ist der erste Mathematiker der alexandrinischen Schule. Sein Hauptwerk „Anfänge“ (in latinisierter Form – „Elemente“) enthält eine Darstellung der Planimetrie, Stereometrie und eine Reihe von Fragen der Zahlentheorie; darin fasste er die bisherige Entwicklung der griechischen Mathematik zusammen und schuf die Grundlage weitere Entwicklung Mathematik. Reiher - Griechischer Mathematiker und Ingenieur zum ersten Mal in Griechenland im 1. Jahrhundert n. Chr. gibt sauber algebraischer Weg Lösung einer quadratischen Gleichung.

Reiher von Alexandria; Reiher, ich c. n. e., griechischer Mechaniker und Mathematiker. Die Zeit seines Lebens ist ungewiss, es ist nur bekannt, dass er Archimedes (der 212 v. Chr. starb) zitierte, er selbst wurde von Pappus (ca. 300 n. Chr.) Zitiert. Heute herrscht die Meinung vor, dass er im 1. Jahrhundert lebte. n. e. Er studierte Geometrie, Mechanik, Hydrostatik, Optik; einen Prototyp erfunden Dampfmaschine und Präzisionsnivellierinstrumente. Die beliebtesten Automaten waren automatische Theater, Springbrunnen usw. G. beschrieb den Theodoliten, indem er sich auf die Gesetze der Statik und Kinetik stützte, und gab eine Beschreibung des Hebels, des Blocks, des Propellers und der Militärfahrzeuge. In der Optik formulierte er die Gesetze der Lichtreflexion, in der Mathematik - Methoden zur Messung der wichtigsten geometrische Formen. Die Hauptwerke von G. sind Ietrica, Pneumatik, Autopoietik, Mechanik (französisch; das Werk ist vollständig in arabischer Sprache erhalten), Katoptik (die Wissenschaft der Spiegel; es ist nur in lateinischer Übersetzung erhalten) usw. G. verwendete die Errungenschaften seiner Vorgänger: Euklid, Archimedes, Strato von Lampsacus. Sein Stil ist einfach und klar, wenn auch manchmal zu lakonisch oder unstrukturiert. Das Interesse an den Schriften von G. entstand im 3. Jahrhundert. n. e. Griechische und dann byzantinische und arabische Studenten kommentierten und übersetzten seine Werke.

Diophant- Ein griechischer Wissenschaftler im 3. Jahrhundert n. Chr. löste einige quadratische Gleichungen auf rein algebraische Weise, ohne auf Geometrie zurückzugreifen, und die Gleichung selbst und ihre Lösung wurden in symbolischer Form geschrieben

„Ich werde Ihnen erzählen, wie der griechische Mathematiker Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste. Hier ist zum Beispiel eine seiner Aufgaben:"Finde zwei Zahlen in dem Wissen, dass ihre Summe 20 und ihr Produkt 96 ist."

1. Aus der Problemstellung folgt, dass die gesuchten Zahlen nicht gleich sind, weil wenn sie gleich wären, dann wäre ihr Produkt nicht 96, sondern 100.

2. So. einer von ihnen wird mehr als die Hälfte ihrer Summe ausmachen, d.h. 10 + x, das andere ist kleiner, d.h. 10 - x.

3. Der Unterschied zwischen ihnen ist 2x.

4. Daraus ergibt sich die Gleichung (10 + x) * (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96 x 2 - 4 = 0

5. Antwort x = 2. Eine der gewünschten Zahlen ist 12,
andere - 8. Lösung x = - 2 für Diophantus existiert nicht, weil Die griechische Mathematik kannte nur positive Zahlen.“ Diophantus verstand es sehr zu lösen komplexe Gleichungen, verwendete Buchstabenbezeichnungen für Unbekannte, führte ein spezielles Symbol für die Berechnung ein, verwendete Abkürzungen von Wörtern. Bhaskare - Akaria- Indischer Mathematiker im 12. Jahrhundert n. Chr. entdeckte eine allgemeine Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Analysieren wir eines der Probleme indischer Mathematiker, zum Beispiel das Problem von Bhaskara:

„Ein Affenschwarm vergnügt sich: Ein Achtel der Gesamtzahl von ihnen in einem Quadrat tollt im Wald herum, die restlichen zwölf schreien auf der Spitze des Hügels. Sag mir, wie viele Affen gibt es?"

Zum Problem kommentierend möchte ich sagen, dass die Gleichung (x/8) 2 + 12 = x dem Problem entspricht. Bhaskara schreibt als x 2 - 64x \u003d - 768. Wenn man beiden Teilen Quadrat 32 hinzufügt, nimmt die Gleichung die Form an:

x 2 - 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x - 32) 2 = 256

Nach der Extraktion Quadratwurzel wir bekommen: x - 32 \u003d 16.

„In diesem Fall, sagt Bhaskara, sind die negativen Einheiten des ersten Teils so, dass die Einheiten des zweiten Teils kleiner sind als sie, und daher kann letzterer sowohl als positiv als auch als negativ betrachtet werden, und wir erhalten den doppelten Wert des Unbekannten : 48 und 16.“

Daraus muss geschlossen werden, dass Bhaskaras Lösung anzeigt, dass er um die Zweiwertigkeit der Wurzeln quadratischer Gleichungen wusste.

Es wird vorgeschlagen, das altindische Bhaskara-Problem zu lösen:

„Das Quadrat von einem Fünftel der Affen, reduziert um drei, versteckt in der Grotte, ein Affe kletterte auf einen Baum, war sichtbar. Wie viele Affen waren es? Es sei darauf hingewiesen, dass dieses Problem elementar gelöst wird, indem es auf eine quadratische Gleichung reduziert wird.

Al-Khorezmi - ein arabischer Gelehrter, der 825 das Buch "The Book of Restoration and Opposition" schrieb. Es war das erste Algebra-Lehrbuch der Welt. Er gab auch sechs Arten von quadratischen Gleichungen an und formulierte für jede der sechs Gleichungen in verbaler Form eine spezielle Regel zu ihrer Lösung. In der Abhandlung listet Khorezmi 6 Arten von Gleichungen auf und drückt sie wie folgt aus:

1. "Quadrate sind gleich Wurzeln", d.h. Axt 2 = Zoll.

2. „Quadrate sind gleich Zahl“, d.h. Axt 2 = s.

3. "Die Wurzeln sind gleich der Zahl", d.h. ah = s.

4. "Quadrate und Zahlen sind gleich den Wurzeln", d.h. Axt 2 + c \u003d in.

5. "Quadrate und Wurzeln sind gleich der Zahl", d.h. Axt 2 + in = s.

6. "Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten", d.h. in + c \u003d ah 2.

Lassen Sie uns das Problem von al-Khwarizmi analysieren, das auf die Lösung einer quadratischen Gleichung reduziert wird. "Ein Quadrat und eine Zahl sind gleich den Wurzeln." Zum Beispiel sind ein Quadrat und die Zahl 21 gleich 10 Wurzeln desselben Quadrats, d.h. Die Frage ist, woraus wird ein Quadrat gebildet, das nach dem Hinzufügen von 21 gleich 10 Wurzeln desselben Quadrats wird?

Und Unter Verwendung der 4. Formel von al-Khwarizmi müssen die Schüler aufschreiben: x 2 + 21 = 10x

Francois Viet - Französischer Mathematiker, formulierte und bewies den Satz über die Summe und das Produkt der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung.

Die Kunst, die ich präsentiere, ist neu oder wurde zumindest durch den Einfluss der Barbaren so verdorben, dass ich es für angebracht hielt, ihr ein völlig neues Aussehen zu geben.

Francois Viet

Doch François (1540-13.12.1603) wurde in der Stadt Fontenay-le-Comte in der Provinz Poitou, unweit der berühmten Festung La Rochelle, geboren. Nach seinem Jurastudium praktizierte er ab seinem 19. Lebensjahr erfolgreich als Rechtsanwalt in seiner Geburtsstadt. Als Anwalt genoss Viet Ansehen und Respekt in der Bevölkerung. Er war ein breit gebildeter Mensch. Kannte Astronomie und Mathematik und alles Freizeit diesen Wissenschaften gegeben.

Vietas größte Leidenschaft war Mathematik. Er studierte eingehend die Werke der Klassiker Archimedes und Diophantus, den unmittelbaren Vorgängern von Cardano, Bombelli, Stevin und anderen. Vieta bewunderte sie nicht nur, er sah einen großen Fehler in ihnen, nämlich die Schwierigkeit, sie aufgrund der verbalen Symbolik zu verstehen: Fast alle Handlungen und Zeichen wurden in Worten festgehalten, es gab keinen Hinweis auf diese bequemen, fast automatischen Regeln, die wir jetzt verwenden . Es war unmöglich aufzuzeichnen und daher zu starten Gesamtansicht algebraische Vergleiche oder einige andere algebraische Ausdrücke. Jeder Gleichungstyp mit numerischen Koeffizienten wurde nach einer speziellen Regel gelöst. Daher musste nachgewiesen werden, dass es solche allgemeinen Wirkungen auf alle Zahlen gibt, die nicht von diesen Zahlen selbst abhängen. Viet und seine Anhänger stellten fest, dass es keine Rolle spielt, ob es sich bei der fraglichen Zahl um die Anzahl der Objekte oder um die Länge des Segments handelt. Hauptsache man kann mit diesen Zahlen algebraische Operationen durchführen und erhält im Ergebnis wieder gleichartige Zahlen. Daher können sie durch einige abstrakte Zeichen bezeichnet werden. Viet hat genau das getan. Er führte nicht nur seinen wörtlichen Kalkül ein, sondern machte eine grundlegend neue Entdeckung, indem er sich zum Ziel setzte, nicht Zahlen zu untersuchen, sondern Aktionen auf ihnen. Diese Schreibweise ermöglichte es Vieta, wichtige Entdeckungen beim Studium der allgemeinen Eigenschaften algebraischer Gleichungen zu machen. Nicht umsonst wird Vieta der „Vater“ der Algebra genannt, der Begründer der Buchstabensymbole.

Informationsquellen:

http :// so M. fio. en/ Ressourcen/ Karpuhina/2003/12/ Abgeschlossen%20 Arbeit/ Konzert/ Index1. htm

http :// Seiten. Marsu. en/ jac/ Schule/ s4/ Seite74. html

1.1. Aus der Entstehungsgeschichte quadratischer Gleichungen

Algebra entstand im Zusammenhang mit der Lösung verschiedener Probleme mit Hilfe von Gleichungen. Normalerweise ist es bei Problemen erforderlich, eine oder mehrere Unbekannte zu finden, während die Ergebnisse einiger Aktionen bekannt sind, die an den gewünschten und gegebenen Größen durchgeführt wurden. Solche Probleme reduzieren sich auf das Lösen einer oder mehrerer Gleichungen, auf das Finden der gewünschten Gleichungen mit Hilfe algebraischer Operationen auf gegebenen Größen. Algebra-Studien allgemeine Eigenschaften Aktionen auf Mengen.

Einige algebraische Techniken zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen waren bereits vor 4000 Jahren bekannt Das alte Babylon.

Quadratische Gleichungen im alten Babylon

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur des ersten, sondern auch des zweiten Grades in der Antike zu lösen, wurde durch die Notwendigkeit verursacht, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Land- und Erdarbeiten militärischer Natur sowie der Entwicklung der Astronomie und zu lösen Mathematik selbst. Die Babylonier wussten um 2000 v. Chr., wie man quadratische Gleichungen löst. Unter Anwendung der modernen algebraischen Notation können wir sagen, dass es in ihren Keilschrifttexten neben unvollständigen auch vollständige quadratische Gleichungen gibt:

Die Regel zur Lösung dieser Gleichungen, die in den babylonischen Texten angegeben ist, stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, aber es ist nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel kamen. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte geben nur Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten an, ohne Hinweis darauf, wie sie gefunden wurden. Trotz hohes Niveau Entwicklung der Algebra in Babylon, in Keilschrifttexten gibt es kein Konzept einer negativen Zahl und gängige Methoden Lösungen quadratischer Gleichungen.

Die Arithmetik von Diophantus enthält keine systematische Darstellung der Algebra, aber sie enthält eine systematische Reihe von Problemen, die von Erklärungen begleitet und durch das Aufstellen von Gleichungen verschiedener Grade gelöst werden.

Beim Zusammenstellen von Gleichungen wählt Diophantus geschickt Unbekannte aus, um die Lösung zu vereinfachen.

Hier ist zum Beispiel eine seiner Aufgaben.

Aufgabe 2. "Finde zwei Zahlen, wobei du weißt, dass ihre Summe 20 und ihr Produkt 96 ist."

Diophantus argumentiert wie folgt: Aus der Bedingung des Problems folgt, dass die gewünschten Zahlen nicht gleich sind, denn wenn sie gleich wären, wäre ihr Produkt nicht gleich 96, sondern gleich 100. Eine von ihnen wäre also größer als die Hälfte ihrer Summe, also .10 + x. Der andere ist kleiner, also 10 - x. Der Unterschied zwischen ihnen ist 2x. Daher die Gleichung:

(10+x)(10-x)=96,

Also x = 2. Eine der gesuchten Zahlen ist 12, die andere 8. Die Lösung x = - 2 für Diophantus gibt es nicht, da die griechische Mathematik nur positive Zahlen kannte.

Wenn wir dieses Problem lösen, indem wir eine der unbekannten Zahlen als Unbekannte wählen, können wir zur Lösung der Gleichung kommen:

Es ist klar, dass Diophantus die Lösung vereinfacht, indem er die halbe Differenz der gesuchten Zahlen als Unbekannte wählt; er schafft es, das Problem auf die Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung zu reduzieren.

Quadratische Gleichungen in Indien

Probleme für quadratische Gleichungen finden sich bereits in der astronomischen Abhandlung Aryabhattam, zusammengestellt 499 von dem indischen Mathematiker und Astronomen Aryabhatta. Ein anderer indischer Gelehrter, Brahmagupta (7. Jahrhundert), erläuterte dies allgemeine Regel Lösungen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form:

ax 2 + bx \u003d c, a> 0. (1)

In Gleichung (1) können Koeffizienten negativ sein. Brahmaguptas Regel stimmt im Wesentlichen mit unserer überein.

In Indien waren öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme üblich. In einem der alten indischen Bücher wird über solche Wettbewerbe Folgendes gesagt: „Wie die Sonne die Sterne mit ihrem Glanz überstrahlt, so wird eine gelehrte Person den Ruhm in öffentlichen Versammlungen überstrahlen, indem sie algebraische Probleme vorschlägt und löst.“ Aufgaben wurden oft eingepackt poetische Form.

Hier ist eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskara.

Bhaskaras Lösung zeigt, dass der Autor sich der Zweiwertigkeit der Wurzeln quadratischer Gleichungen bewusst war.

Die Gleichung zu Aufgabe 3 lautet:

Bhaskara schreibt unter dem Deckmantel von:

x 2 - 64x = - 768

und um die linke Seite dieser Gleichung zum Quadrat zu vervollständigen, addieren Sie 32 2 zu beiden Seiten und erhalten dann:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Al-Khwarizmis quadratische Gleichungen

Die algebraische Abhandlung von Al-Khwarizmi gibt eine Klassifizierung von linearen und quadratischen Gleichungen. Der Autor listet 6 Arten von Gleichungen auf und drückt sie wie folgt aus:

1) „Quadrate sind gleich Wurzeln“, d.h. ax 2 = bx.

2) „Quadrate sind gleich Zahl“, d. h. Axt 2 = c.

3) "Die Wurzeln sind gleich der Zahl", d. H. Axt \u003d c.

4) „Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln“, d.h. ax 2 + c = bx.

5) "Quadrate und Wurzeln sind gleich der Zahl", d.h. ax 2 + bx \u003d c.

6) „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, d.h. bx + c == ax 2.

Für Al-Khwarizmi, der den Einsatz vermied negative Zahlen, sind die Terme jeder dieser Gleichungen Terme, keine Subtraktionen. In diesem Fall werden Gleichungen, die keine positiven Lösungen haben, offensichtlich nicht berücksichtigt. Der Autor skizziert die Methoden zur Lösung dieser Gleichungen unter Verwendung der Methoden von al-jabr und al-muqabala. Seine Entscheidung stimmt natürlich nicht ganz mit unserer überein. Ganz zu schweigen davon, dass es rein rhetorisch ist, sei beispielsweise angemerkt, dass Al-Khwarizmi beim Lösen einer unvollständigen quadratischen Gleichung erster Art wie alle Mathematiker vor dem 17. Jahrhundert die Null nicht berücksichtigt Lösung, wahrscheinlich weil es bei konkreten praktischen Aufgaben keine Rolle spielt. Beim Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen legt Al-Khwarizmi die Regeln für ihre Lösung anhand bestimmter numerischer Beispiele und dann ihrer geometrischen Beweise fest.

Nehmen wir ein Beispiel.

Aufgabe 4. „Das Quadrat und die Zahl 21 sind gleich 10 Wurzeln. Finden Sie die Wurzel "(bedeutet die Wurzel der Gleichung x 2 + 21 \u003d 10x).

Lösung: Teilen Sie die Anzahl der Wurzeln in zwei Hälften, Sie erhalten 5, multiplizieren Sie 5 mit sich selbst, subtrahieren Sie 21 vom Produkt, es bleibt 4. Ziehen Sie die Wurzel aus 4, Sie erhalten 2. Subtrahieren Sie 2 von 5, Sie erhalten 3, das wird sein die gewünschte Wurzel. Oder addiere 2 zu 5, was 7 ergibt, das ist auch eine Wurzel.

Die Abhandlung von Al-Khwarizmi ist das erste uns überlieferte Buch, in dem die Klassifikation quadratischer Gleichungen systematisch dargestellt und Formeln zu ihrer Lösung angegeben werden.

Quadratische Gleichungen in Europa XII-XVII Jahrhundert.

Formen zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von Al-Khwarizmi in Europa wurden erstmals im „Buch des Abakus“, geschrieben 1202, beschrieben. Der italienische Mathematiker Leonard Fibonacci. Der Autor hat eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Problemlösung entwickelt und sich als erster in Europa der Einführung negativer Zahlen genähert.

Dieses Buch trug zur Verbreitung des algebraischen Wissens nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Aufgaben aus diesem Buch wurden in fast alle europäischen Lehrbücher des 14.-17. Jahrhunderts übernommen. Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf eine einzige kanonische Form x 2 + bx \u003d c mit allen möglichen Kombinationen von Zeichen und Koeffizienten b, c reduziert wurden, wurde 1544 in Europa von M. Stiefel formuliert.

Vieta hat eine allgemeine Ableitung der Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung, aber Vieta erkannte nur positive Wurzeln. Die italienischen Mathematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli gehörten zu den ersten im 16. Jahrhundert. Berücksichtigen Sie zusätzlich zu positiven und negativen Wurzeln. Erst im 17. Jahrhundert. Dank der Arbeiten von Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern dauert die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen moderner Look..

Die Ursprünge algebraischer Methoden zur Lösung praktischer Probleme liegen in der Wissenschaft antike Welt. Wie aus der Geschichte der Mathematik bekannt ist, hatte ein erheblicher Teil der Probleme mathematischer Natur, die von ägyptischen, sumerischen und babylonischen Schreibcomputern (XX-VI Jahrhunderte v. Chr.) gelöst wurden, rechnerischen Charakter. Allerdings traten schon damals immer wieder Probleme auf, bei denen der gewünschte Wert einer Größe durch indirekte Bedingungen vorgegeben wurde, was aus heutiger Sicht die Formulierung einer Gleichung oder eines Gleichungssystems erforderte. Zur Lösung solcher Probleme wurden zunächst arithmetische Methoden eingesetzt. Später begannen sich die Anfänge algebraischer Darstellungen zu bilden. Zum Beispiel konnten babylonische Taschenrechner Probleme lösen, die in Bezug auf reduziert werden können moderne Klassifikation auf Gleichungen zweiten Grades. Es wurde eine Methode zur Lösung von Textproblemen geschaffen, die später als Grundlage für die Hervorhebung der algebraischen Komponente und ihr unabhängiges Studium diente.

Diese Studie wurde bereits in einer anderen Zeit durchgeführt, zuerst von arabischen Mathematikern (VI-X Jahrhunderte n. Chr.), die die charakteristischen Aktionen auswählten, durch die die Gleichungen reduziert wurden Standard Ansicht Reduktion ähnlicher Terme, Übertragung von Termen von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit Vorzeichenwechsel. Und dann schufen die europäischen Mathematiker der Renaissance als Ergebnis einer langen Suche die Sprache der modernen Algebra, die Verwendung von Buchstaben, die Einführung von Symbolen für arithmetische Operationen, Klammern usw. Um die Wende des 16. 17. Jahrhundert. Algebra als spezifischer Teil der Mathematik, der sein eigenes Fach, seine eigene Methode und seine eigenen Anwendungsbereiche hat, hat sich bereits herausgebildet. Ihre Weiterentwicklung bis in unsere Zeit bestand darin, die Methoden zu verbessern, den Anwendungsbereich zu erweitern, die Begriffe und ihre Zusammenhänge mit den Begriffen anderer Bereiche der Mathematik zu verdeutlichen.

Angesichts der Bedeutung und des Umfangs des Materials, das mit dem Begriff einer Gleichung verbunden ist, ist sein Studium in der modernen Methodik der Mathematik mit drei Hauptbereichen seines Auftretens und seiner Funktionsweise verbunden.

Aus der Geschichte der quadratischen Gleichungen Autor: Schüler der Klasse 9 "A" Radchenko Svetlana Betreuer: Alabugina I.A. Lehrer für Mathematik MBOU „Sekundarschule Nr. 5 von Guryevsk“ des Gebiets Kemerowo Themenbereich der Präsentation: Mathematik Zur Unterstützung des Lehrers gemacht Insgesamt 20 Folien Inhalt Einführung ……………………………………………… ……………… ……………3 Aus der Entstehungsgeschichte quadratischer Gleichungen Quadratische Gleichungen im alten Babylon………………………………….4 Quadratische Gleichungen in Indien…………… …………………………… ………...5 Al-Khwarizmis quadratische Gleichungen……………………………………………6 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste…… ………………..... 7 Quadratische Gleichungen in Europa Xll - XVll Jahrhunderte………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… Gleichungen ………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………..10 10 Wege zum Lösen quadratischer Gleichungen………………………………….12 Algorithmus zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen………… …… …………13 Algorithmus zur Lösung der vollständigen quadratischen Gleichung…………………………..14 Lösung angewandter Probleme………………………………………………………… …………………………….16 5. Fazit. …………………………………………………………………………… 18 1. 2. 6. Verzeichnis der verwendeten Literatur………………………… ……… …………….19 2 Einleitung Diesen Tag oder diese Stunde, in der Sie nichts Neues gelernt haben, als unglücklich zu betrachten, hat Ihrer Bildung nichts hinzugefügt. Jan Amos Comenius 3 Quadratische Gleichungen sind die Grundlage, auf der das majestätische Gebäude der Algebra ruht. Sie werden häufig zur Lösung trigonometrischer, exponentieller, logarithmischer, irrationaler und transzendentaler Gleichungen und Ungleichungen verwendet. Quadratische Gleichungen nehmen im Schulunterricht der Algebra einen führenden Platz ein. Ein Großteil der Schulzeit in Mathematik wird darauf verwendet, sie zu studieren. Grundsätzlich dienen quadratische Gleichungen bestimmten praktischen Zwecken. Die meisten Probleme über räumliche Formen und quantitative Beziehungen der realen Welt müssen gelöst werden verschiedene Sorten Gleichungen, auch quadratische. Durch die Beherrschung der Lösungswege finden Menschen Antworten auf verschiedene Fragen aus Wissenschaft und Technik. Aus der Entstehungsgeschichte quadratischer Gleichungen Altes Babylon: Bereits etwa 2000 Jahre v. Chr. wussten die Babylonier, wie man quadratische Gleichungen löst. Verfahren zum Lösen sowohl vollständiger als auch unvollständiger quadratischer Gleichungen waren bekannt. Im alten Babylon wurden beispielsweise die folgenden quadratischen Gleichungen gelöst: 4 Indien Probleme, die mit Hilfe quadratischer Gleichungen gelöst werden, finden sich in der astronomischen Abhandlung „Aryabhattiam“, die der indische Astronom und Mathematiker Aryabhata im Jahr 499 n. Chr. verfasste. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta, skizzierte eine universelle Regel zum Lösen einer quadratischen Gleichung, die auf die kanonische Form reduziert wurde: ax2+bx=c; außerdem wurde angenommen, dass alle darin enthaltenen Koeffizienten außer "a" negativ sein können. Die vom Wissenschaftler formulierte Regel stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein. 5 Al-Khwarizmis quadratische Gleichungen: Al-Khwarizmis algebraische Abhandlung gibt eine Klassifizierung von linearen und quadratischen Gleichungen. Der Autor listet 6 Arten von Gleichungen auf und drückt sie wie folgt aus: „Quadrate sind gleich Wurzeln“, d.h. ax2 = bx.; "Quadrate sind gleich Zahl", dh ax2 = c; "Die Wurzeln sind gleich der Zahl", d. H. Axt \u003d c; "Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln", d.h. ax2 + c = bx; "Quadrate und Wurzeln sind gleich Zahl", dh ax2 + bx = c; „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, also bx + c = ax2. 6 Wie Diophantus quadratische Gleichungen aufstellte und löste: Einer der merkwürdigsten antiken griechischen Mathematiker war Diophantus von Alexandria. Bisher sind weder das Geburtsjahr noch das Todesdatum des Diophantus geklärt; Er soll im 3. Jahrhundert gelebt haben. ANZEIGE Von den Werken des Diophantus ist die Arithmetik die wichtigste, von der 13 Bücher bis heute nur 6 erhalten sind. Die "Arithmetik" von Diophantus enthält keine systematische Darstellung der Algebra, aber sie enthält eine Reihe von Problemen, die von Erklärungen begleitet und durch das Zusammenstellen von Gleichungen unterschiedlichen Grades gelöst werden. Beim Zusammenstellen von Gleichungen wählt Diophantus geschickt Unbekannte aus, um die Lösung zu vereinfachen. 7 Quadratische Gleichungen in Europa XII-XVII Jahrhundert: Der italienische Mathematiker Leonard Fibonacci entwickelte unabhängig voneinander einige neue algebraische Beispiele zur Problemlösung und war der erste in Europa, der sich der Einführung negativer Zahlen näherte. Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form x2 + bx = c mit allen möglichen Kombinationen von Vorzeichen und Koeffizienten b, c, wurde 1544 in Europa von Michael Stiefel formuliert. 8 François Viet Der französische Mathematiker F. Viet (1540-1603) führte ein System algebraischer Symbole ein und entwickelte die Grundlagen der elementaren Algebra. Er war einer der ersten, der damit begann, Zahlen mit Buchstaben zu bezeichnen, was die Gleichungstheorie maßgeblich weiterentwickelte. Vieta hat eine allgemeine Ableitung der Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung, aber Vieta erkannte nur positive Wurzeln. 9 Quadratische Gleichungen heute Die Fähigkeit, quadratische Gleichungen zu lösen, dient als Grundlage für die Lösung anderer Gleichungen und ihrer Systeme. Das Lösen von Gleichungen beginnt mit ihren einfachsten Typen, und das Programm bewirkt die allmähliche Anhäufung beider Typen und den „Fonds“ identischer und äquivalenter Transformationen, mit denen Sie eine beliebige Gleichung auf die einfachste bringen können. Auch der Prozess der Bildung verallgemeinerter Methoden zur Lösung von Gleichungen im Schulkurs Algebra sollte in dieser Richtung aufgebaut sein. Im Gymnasium Mathematik werden die Schüler mit neuen Klassen von Gleichungen, Systemen oder mit einem vertieften Studium bereits bekannter Gleichungen konfrontiert. Dieses Thema ist gekennzeichnet große Tiefe Präsentation und der Reichtum der mit ihrer Hilfe hergestellten Zusammenhänge beim Lernen, die logische Gültigkeit der Präsentation. Daher nimmt es eine Ausnahmestellung in der Reihe der Gleichungen und Ungleichungen ein. Ein wichtiger Punkt beim Studium quadratischer Gleichungen ist die Betrachtung des Vieta-Theorems, das die Existenz einer Beziehung zwischen den Wurzeln und Koeffizienten der reduzierten quadratischen Gleichung besagt. Die Komplexität der Beherrschung des Vieta-Theorems ist mit mehreren Umständen verbunden. Zunächst muss der Unterschied zwischen direkten und inversen Sätzen berücksichtigt werden. 11 10 Wege zum Lösen quadratischer Gleichungen: Faktorisieren der linken Seite der Gleichung. Vollquadrat-Auswahlmethode. Lösung quadratischer Gleichungen nach Formel. Lösung von Gleichungen mit dem Satz von Vieta. Lösen von Gleichungen nach der Methode der "Übertragung" Eigenschaften der Koeffizienten einer quadratischen Gleichung. Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung. Lösen quadratischer Gleichungen mit Zirkel und Lineal. 12 Lösen quadratischer Gleichungen mit einem Nomogramm. Geometrische Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen. Algorithmus zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen 1) wenn die Gleichung die Form ax2 = 0 hat, dann hat sie eine Wurzel x = 0; 2) wenn die Gleichung die Form ax2 + bx = 0 hat, dann wird die Faktorisierungsmethode verwendet: x (ax + b) = 0; also entweder x = 0 oder ax + b = 0. Als Ergebnis erhält man zwei Wurzeln: x1 = 0; x2 \u003d 3) Wenn die Gleichung die Form ax2 + c \u003d 0 hat, wird sie in die Form ax2 \u003d - c und dann x2 umgewandelt. = In dem Fall, wenn -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, d.h. - \u003d m, wobei m>0 ist, hat die Gleichung x2 \u003d m zwei Wurzeln. Daher kann eine unvollständige quadratische Gleichung zwei Wurzeln haben, eine Wurzel, keine Wurzel. 13 Algorithmus zur Lösung der vollständigen quadratischen Gleichung. Dies sind Gleichungen der Form ax2 + bx + c = 0, wobei a, b, c gegebene Zahlen sind und ≠ 0, x die Unbekannte ist. Jede vollständige quadratische Gleichung kann in die Form umgewandelt werden, um die Anzahl der Wurzeln der quadratischen Gleichung zu bestimmen und diese Wurzeln zu finden. Die folgenden Fälle der Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen werden betrachtet: D< 0, D = 0, D >0. 1. Wenn D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, dann hat die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 zwei Wurzeln, die durch die Formeln gefunden werden: ; 14 Lösung der reduzierten quadratischen Gleichungen Satz von F. Vieta: Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Mit anderen Worten, wenn x1 und x2 die Wurzeln der Gleichung x2 +px + q = 0 sind, dann ist x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Umkehrsatz zum Satz von Vieta: Wenn die Formeln (*) für die Zahlen x1, x2, p, q gelten, dann sind x1 und x2 die Wurzeln der Gleichung x2 + px + q = 0. 15 Praktische Anwendungen von quadratische Gleichungen zur Lösung angewandter Bhaskar-Probleme ( 1114-1185) - der größte indische Mathematiker und Astronom des 12. Jahrhunderts. Er leitete das astronomische Observatorium in Ujjain. Bhaskara schrieb die Abhandlung „Siddhanta-shiromani“ („Die Krone der Lehre“), bestehend aus vier Teilen: „Lilavati“ ist der Arithmetik gewidmet, „Bizhdaganita“ – der Algebra, „Goladhaya“ – der Sphäre, „Granhaganita“ – zur Theorie der Planetenbewegungen. Bhaskara erhielt negative Wurzeln von Gleichungen, obwohl er ihre Bedeutung bezweifelte. Er besitzt eines der frühesten Perpetuum-Motion-Projekte. 16 Eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskara: Bhaskaras Lösung zeigt, dass der Autor sich der Zweiwertigkeit der Wurzeln quadratischer Gleichungen bewusst war. 17 Schlussfolgerung Die Entwicklung der Wissenschaft zum Lösen quadratischer Gleichungen hat einen langen und dornigen Weg zurückgelegt. Erst nach den Arbeiten von Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Descartes, Newton nahm die Wissenschaft der Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form an. Der Wert quadratischer Gleichungen liegt nicht nur in der Eleganz und Kürze der Problemlösung, obwohl dies sehr wichtig ist. Nicht weniger wichtig ist die Tatsache, dass durch die Verwendung quadratischer Gleichungen bei der Lösung von Problemen oft neue Details entdeckt, interessante Verallgemeinerungen vorgenommen und Verfeinerungen vorgenommen werden können, die durch eine Analyse der erhaltenen Formeln und Beziehungen angeregt werden. Beim Studium der Literatur und Internetquellen zur Entwicklungsgeschichte quadratischer Gleichungen fragte ich mich: „Was motivierte Wissenschaftler, die in einer so schwierigen Zeit lebten, selbst unter Todesdrohung Wissenschaft zu betreiben?“ Wahrscheinlich ist es vor allem die Neugier des menschlichen Geistes, die der Schlüssel zur Entwicklung der Wissenschaft ist. Fragen nach dem Wesen der Welt, nach dem Platz des Menschen in dieser Welt verfolgen zu allen Zeiten denkende, neugierige, vernünftige Menschen. Die Menschen haben zu allen Zeiten danach gestrebt, sich selbst und ihren Platz in der Welt zu verstehen. Schauen Sie auch in sich hinein, vielleicht leidet Ihre natürliche Neugier, weil Sie der Alltagsfaulheit erlegen sind? Das Schicksal vieler Wissenschaftler - 18 Beispiele folgen. Nicht alle Namen sind bekannt und beliebt. Denken Sie: Was bin ich für die Menschen um mich herum? Aber das Wichtigste ist, wie ich mich fühle, verdiene ich Respekt? Denken Sie darüber nach... Referenzen 1. Zvavich L.I. „Algebra Klasse 8“, M., 2002. 2. Savin Yu.P. „ Enzyklopädisches Wörterbuch junger Mathematiker“, M., 1985. 3. Yu.N. Makarychev „Algebra Grade 8“, M, 2012. /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/ index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 20

Aus der Entstehungsgeschichte quadratischer Gleichungen

Algebra entstand im Zusammenhang mit der Lösung verschiedener Probleme mit Hilfe von Gleichungen. Normalerweise ist es bei Problemen erforderlich, eine oder mehrere Unbekannte zu finden, während die Ergebnisse einiger Aktionen bekannt sind, die an den gewünschten und gegebenen Größen durchgeführt wurden. Solche Probleme reduzieren sich auf das Lösen einer oder mehrerer Gleichungen, auf das Finden der gewünschten Gleichungen mit Hilfe algebraischer Operationen auf gegebenen Größen. Algebra untersucht die allgemeinen Eigenschaften von Wirkungen auf Größen.

Einige algebraische Techniken zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen waren bereits vor 4000 Jahren im alten Babylon bekannt.

Quadratische Gleichungen im alten Babylon

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Die Regel zur Lösung dieser Gleichungen, die in den babylonischen Texten angegeben ist, stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, aber es ist nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel kamen. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte geben nur Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten an, ohne Hinweis darauf, wie sie gefunden wurden. Trotz des hohen Entwicklungsstandes der Algebra in Babylon fehlen den Keilschrifttexten das Konzept einer negativen Zahl und allgemeine Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Beim Zusammenstellen von Gleichungen wählt Diophantus geschickt Unbekannte aus, um die Lösung zu vereinfachen.

Hier ist zum Beispiel eine seiner Aufgaben.

Aufgabe 2. "Finde zwei Zahlen, wobei du weißt, dass ihre Summe 20 und ihr Produkt 96 ist."

(10+x)(10-x)=96,

Also x = 2. Eine der gesuchten Zahlen ist 12, die andere 8. Die Lösung x = - 2 für Diophantus gibt es nicht, da die griechische Mathematik nur positive Zahlen kannte.

Wenn wir dieses Problem lösen, indem wir eine der unbekannten Zahlen als Unbekannte wählen, können wir zur Lösung der Gleichung kommen:

Quadratische Gleichungen in Indien

Probleme für quadratische Gleichungen finden sich bereits in der astronomischen Abhandlung Aryabhattam, zusammengestellt 499 von dem indischen Mathematiker und Astronomen Aryabhatta. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta (7. Jahrhundert), skizzierte die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf eine einzige kanonische Form reduziert wurden:

ax2 + bx = c, a>

In Gleichung (1) können Koeffizienten negativ sein. Brahmaguptas Regel stimmt im Wesentlichen mit unserer überein.

Hier ist eines der Probleme des berühmten indischen Mathematikers des 12. Jahrhunderts. Bhaskara.

Bhaskaras Lösung zeigt, dass der Autor sich der Zweiwertigkeit der Wurzeln quadratischer Gleichungen bewusst war.

Die Gleichung zu Aufgabe 3 lautet:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

und um die linke Seite dieser Gleichung zum Quadrat zu vervollständigen, addiert er 322 zu beiden Seiten und erhält dann:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Al-Khwarizmis quadratische Gleichungen

Die algebraische Abhandlung von Al-Khwarizmi gibt eine Klassifizierung von linearen und quadratischen Gleichungen. Der Autor listet 6 Arten von Gleichungen auf und drückt sie wie folgt aus:

1) „Quadrate sind gleich Wurzeln“, d.h. ax2 = bx.

2) „Quadrate sind gleich Zahl“, d.h. ax2 = c.

3) "Die Wurzeln sind gleich der Zahl", d. H. Axt \u003d c.

4) „Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln“, d.h. ax2 + c = bx.

5) „Quadrate und Wurzeln sind gleich Zahl“, d.h. ax2 + bx = c.

6) „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, d.h. bx + c == ax2.

Für Al-Khwarizmi, der die Verwendung negativer Zahlen vermied, sind die Terme jeder dieser Gleichungen Additionen, keine Subtraktionen. In diesem Fall werden Gleichungen, die keine positiven Lösungen haben, offensichtlich nicht berücksichtigt. Der Autor skizziert die Methoden zur Lösung dieser Gleichungen unter Verwendung der Methoden von al-jabr und al-muqabala. Seine Entscheidung stimmt natürlich nicht ganz mit unserer überein. Ganz zu schweigen davon, dass es rein rhetorisch ist, sei beispielsweise angemerkt, dass Al-Khwarizmi beim Lösen einer unvollständigen quadratischen Gleichung erster Art wie alle Mathematiker vor dem 17. Jahrhundert die Null nicht berücksichtigt Lösung, wahrscheinlich weil es bei konkreten praktischen Aufgaben keine Rolle spielt. Beim Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen legt Al-Khwarizmi die Regeln für ihre Lösung anhand bestimmter numerischer Beispiele und dann ihrer geometrischen Beweise fest.

Nehmen wir ein Beispiel.

Aufgabe 4. „Das Quadrat und die Zahl 21 sind gleich 10 Wurzeln. Finden Sie die Wurzel “(die Wurzel der Gleichung x2 + 21 \u003d 10x ist impliziert).

Die Abhandlung von Al-Khwarizmi ist das erste uns überlieferte Buch, in dem die Klassifikation quadratischer Gleichungen systematisch dargestellt und Formeln zu ihrer Lösung angegeben werden.

Quadratische Gleichungen in EuropaXII- XVIIIin.

Dieses Buch trug zur Verbreitung des algebraischen Wissens nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Aufgaben aus diesem Buch wurden in fast alle europäischen Lehrbücher des 14.-17. Jahrhunderts übernommen. Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form x2 + bx = c mit allen möglichen Kombinationen von Vorzeichen und Koeffizienten b, c, wurde 1544 in Europa von M. Stiefel formuliert.

Vieta hat eine allgemeine Ableitung der Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung, aber Vieta erkannte nur positive Wurzeln. Die italienischen Mathematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli gehörten zu den ersten im 16. Jahrhundert. Berücksichtigen Sie zusätzlich zu positiven und negativen Wurzeln. Erst im 17. Jahrhundert. Dank der Arbeiten von Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern nimmt die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form an.

Die Ursprünge algebraischer Methoden zur Lösung praktischer Probleme sind mit der Wissenschaft der Antike verbunden. Wie aus der Geschichte der Mathematik bekannt ist, hatte ein erheblicher Teil der Probleme mathematischer Natur, die von ägyptischen, sumerischen und babylonischen Schreibcomputern (XX-VI Jahrhunderte v. Chr.) gelöst wurden, rechnerischen Charakter. Allerdings traten schon damals immer wieder Probleme auf, bei denen der gewünschte Wert einer Größe durch indirekte Bedingungen vorgegeben wurde, was aus heutiger Sicht die Formulierung einer Gleichung oder eines Gleichungssystems erforderte. Zur Lösung solcher Probleme wurden zunächst arithmetische Methoden eingesetzt. Später begannen sich die Anfänge algebraischer Darstellungen zu bilden. Beispielsweise konnten babylonische Taschenrechner Probleme lösen, die aus Sicht der modernen Klassifikation auf Gleichungen zweiten Grades reduziert werden. Es wurde eine Methode zur Lösung von Textproblemen geschaffen, die später als Grundlage für die Hervorhebung der algebraischen Komponente und ihr unabhängiges Studium diente.

Diese Studie wurde bereits in einer anderen Zeit durchgeführt, zuerst von arabischen Mathematikern (VI-X Jahrhunderte n. Chr.), die charakteristische Aktionen herausstellten, durch die Gleichungen auf eine Standardform reduziert wurden, Reduzierung ähnlicher Terme, Übertragung von Termen aus einem Teil der Gleichung in eine andere mit Vorzeichenwechsel. Und dann schufen die europäischen Mathematiker der Renaissance als Ergebnis einer langen Suche die Sprache der modernen Algebra, die Verwendung von Buchstaben, die Einführung von Symbolen für arithmetische Operationen, Klammern usw. Um die Wende des 16. 17. Jahrhundert. Algebra als spezifischer Teil der Mathematik, der sein eigenes Fach, seine eigene Methode und seine eigenen Anwendungsbereiche hat, hat sich bereits herausgebildet. Ihre Weiterentwicklung bis in unsere Zeit bestand darin, die Methoden zu verbessern, den Anwendungsbereich zu erweitern, die Begriffe und ihre Zusammenhänge mit den Begriffen anderer Bereiche der Mathematik zu verdeutlichen.

Um eine quadratische Gleichung zu lösen, müssen Sie wissen:

die Formel zum Finden der Diskriminante;

die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung;

· Algorithmen zum Lösen von Gleichungen dieses Typs.

unvollständige quadratische Gleichungen lösen;

vollständige quadratische Gleichungen lösen;

die gegebenen quadratischen Gleichungen lösen;

finde Fehler in den gelösten Gleichungen und korrigiere sie;

Machen Sie einen Check.

Die Lösung jeder Gleichung besteht aus zwei Hauptteilen:

Transformation dieser Gleichung auf die einfachsten;

Lösen von Gleichungen nach bekannten Regeln, Formeln oder Algorithmen.

Die Verallgemeinerung der Methoden der Schülertätigkeit bei der Lösung quadratischer Gleichungen erfolgt schrittweise. Beim Studium des Themas "Quadratische Gleichungen" lassen sich folgende Stufen unterscheiden:

Stufe I - "Unvollständige quadratische Gleichungen lösen."

Stufe II - "Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen."

Stufe III - "Lösung der reduzierten quadratischen Gleichungen."

In der ersten Stufe werden unvollständige quadratische Gleichungen betrachtet. Denn die Mathematiker lernten zunächst, unvollständige quadratische Gleichungen zu lösen, da sie dafür, wie man so schön sagt, nichts erfinden mussten. Dies sind Gleichungen der Form: ax2 = 0, ax2 + c = 0, wobei c≠ 0, ax2 + bx = 0, wobei b ≠ 0. Betrachten Sie die Lösung mehrerer dieser Gleichungen:

1. Wenn ax2 = 0. Gleichungen dieser Art werden nach dem Algorithmus gelöst:

1) finde x2;

2) finde x.

Zum Beispiel 5x2 = 0 . Dividiert man beide Seiten der Gleichung durch 5, ergibt sich: x2 = 0, also x = 0.

2. Wenn ax2 + c = 0, c≠ 0 Gleichungen dieser Art werden nach dem Algorithmus gelöst:

1) verschieben Sie die Begriffe auf die rechte Seite;

2) Finden Sie alle Zahlen, deren Quadrate gleich der Zahl c sind.

Beispiel: x2 - 5 = 0. Diese Gleichung entspricht der Gleichung x2 = 5. Daher müssen Sie alle Zahlen finden, deren Quadrate gleich der Zahl 5 sind..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> und hat keine anderen Wurzeln.

3. Wenn ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Gleichungen dieser Art werden nach dem Algorithmus gelöst:

1) Bewege den gemeinsamen Faktor aus Klammern;

2) finde x1, x2.

Zum Beispiel x2 - 3x \u003d 0. Schreiben wir die Gleichung x2 - 3x \u003d 0 in der Form x (x - 3) \u003d 0 um. Diese Gleichung hat offensichtlich Wurzeln x1 \u003d 0, x2 \u003d 3. Es hat keine anderen Wurzeln, denn wenn anstelle von x eine andere Zahl als Null und 3 verwendet wird, erhalten Sie auf der linken Seite der Gleichung x (x - 3) \u003d 0 eine Zahl, die nicht gleich Null ist.

Diese Beispiele zeigen also, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden:

1) wenn die Gleichung die Form ax2 = 0 hat, dann hat sie eine Wurzel x = 0;

2) wenn die Gleichung die Form ax2 + bx = 0 hat, dann wird die Faktorisierungsmethode verwendet: x (ax + b) = 0; also entweder x = 0 oder ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> Falls -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, d. h. - = m, wobei m > 0 ist, hat die Gleichung x2 = m zwei Wurzeln

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (in diesem Fall ist eine kürzere Notation = erlaubt.

Eine unvollständige quadratische Gleichung kann also zwei Wurzeln haben, eine Wurzel, keine Wurzeln.

In der zweiten Stufe erfolgt der Übergang zur Lösung der vollständigen quadratischen Gleichung. Dies sind Gleichungen der Form ax2 + bx + c = 0, wobei a, b, c gegebene Zahlen sind, a ≠ 0, x die Unbekannte ist.

Jede vollständige quadratische Gleichung kann in die Form umgewandelt werden , um die Anzahl der Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu bestimmen und diese Wurzeln zu finden. Die folgenden Fälle der Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen werden betrachtet: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Wenn D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Zum Beispiel 2x2 + 4x + 7 = 0. Lösung: hier a = 2, b = 4, c = 7.

D \u003d b2 - 4ac \u003d 42 - 4 * 2 * 7 \u003d 16 - 56 \u003d - 40.

Seit D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Wenn D \u003d 0, dann hat die quadratische Gleichung ax2 + bx + c \u003d 0 eine Wurzel, die durch die Formel gefunden wird.

Zum Beispiel 4x - 20x + 25 = 0. Lösung: a = 4, b = - 20, c = 25.

D \u003d b2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4 * 4 * 25 \u003d 400 - 400 \u003d 0.

Da D = 0 ist, hat diese Gleichung eine Wurzel. Diese Wurzel wird mit der Formel ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src="> gefunden.

Ein Algorithmus zum Lösen einer Gleichung der Form ax2 + bx + c = 0 wird kompiliert.

1. Berechnen Sie die Diskriminante D mit der Formel D = b2 - 4ac.

2. Wenn D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Wenn D = 0, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel, die durch die Formel gefunden wird

4..gif" width="101" height="45">.

Dieser Algorithmus ist universell, er ist sowohl auf unvollständige als auch auf vollständige quadratische Gleichungen anwendbar. Unvollständige quadratische Gleichungen werden jedoch normalerweise nicht von diesem Algorithmus gelöst.

Mathematiker sind praktische, sparsame Menschen, also verwenden sie die Formel: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src="> mit dem gleichen Vorzeichen wie D..gif" width="89" height="49"> dann hat Gleichung (3) zwei Wurzeln ;

2) wenn dann hat die Gleichung zwei übereinstimmende Wurzeln;

3) wenn dann hat die Gleichung keine Wurzeln.

Ein wichtiger Punkt beim Studium quadratischer Gleichungen ist die Betrachtung des Vieta-Theorems, das die Existenz einer Beziehung zwischen den Wurzeln und Koeffizienten der reduzierten quadratischen Gleichung besagt.

Satz von Vieta. Die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.

Mit anderen Worten, wenn x1 und x2 die Wurzeln der Gleichung x2 + px + q = 0 sind, dann

Diese Formeln heißen Vieta-Formeln zu Ehren des französischen Mathematikers F. Vieta (), der ein System algebraischer Symbole einführte und die Grundlagen der elementaren Algebra entwickelte. Er war einer der ersten, der damit begann, Zahlen mit Buchstaben zu bezeichnen, was die Gleichungstheorie maßgeblich weiterentwickelte.

Zum Beispiel hat die obige Gleichung x2 - 7x +10 \u003d 0 die Wurzeln 2 und 5. Die Summe der Wurzeln ist 7 und das Produkt ist 10. Es ist ersichtlich, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist , mit dem entgegengesetzten Vorzeichen genommen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.

Es gibt auch einen Satz, der dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist.

Satz invers zum Satz von Vieta. Wenn Formeln (5) für die Zahlen x1, x2, p, q gelten, dann sind x1 und x2 die Wurzeln der Gleichung x2 + px + q = 0.

Der Satz von Vieta und sein umgekehrter Satz werden häufig zur Lösung verschiedener Probleme verwendet.

Zum Beispiel. Lassen Sie uns die gegebene quadratische Gleichung schreiben, deren Wurzeln die Zahlen 1 und -3 sind.

Nach Vietas Formeln

– p = x1 + x2 = - 2,

Daher hat die gesuchte Gleichung die Form x2 + 2x - 3 = 0.

Die Komplexität der Beherrschung des Vieta-Theorems ist mit mehreren Umständen verbunden. Zunächst muss der Unterschied zwischen direkten und inversen Sätzen berücksichtigt werden. In Vietas direktem Satz sind eine quadratische Gleichung und ihre Wurzeln gegeben; im Gegenteil gibt es nur zwei Zahlen, und die quadratische Gleichung erscheint am Ende des Theorems. Schüler machen oft den Fehler, ihre Argumentation mit einem falschen Verweis auf das direkte oder inverse Vieta-Theorem zu untermauern.

Wenn Sie beispielsweise die Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch Auswahl finden, müssen Sie sich auf den inversen Vieta-Satz beziehen und nicht auf den direkten, wie es die Schüler oft tun. Um die Vieta-Theoreme auf den Fall der Null-Diskriminante zu erweitern, müssen wir zustimmen, dass in diesem Fall die quadratische Gleichung zwei hat gleiche Wurzel. Die Bequemlichkeit einer solchen Vereinbarung zeigt sich in der Zerlegung quadratisches Trinom für Multiplikatoren.

Kowaltschuk Kirill

Das Projekt „Quadratische Gleichungen durch Jahrhunderte und Länder“ stellt Schülern Mathematiker vor, deren Entdeckungen die Grundlage bilden wissenschaftlicher und technologischer Fortschritt, entwickelt das Interesse an Mathematik als Fach auf der Grundlage der Bekanntschaft mit historischem Material, erweitert den Horizont der Schüler, stimuliert ihre kognitive Aktivität und Kreativität.

Herunterladen:

Vorschau:

Um die Vorschau von Präsentationen zu verwenden, erstellen Sie ein Konto für sich selbst ( Konto) Google und melden Sie sich an: https://accounts.google.com

Beschriftungen der Folien:

Entwurfsarbeit eines Schülers der 8. Klasse der MOU-Sekundarschule Nr. 17 des Dorfes Borisovka Kovalchuk Kirill Head Mulyukova G.V.

Quadratische Gleichungen durch Jahrhunderte und Länder

Der Zweck des Projekts: Schüler mit Wissenschaftlern der Mathematik bekannt zu machen, deren Entdeckungen die Grundlage des wissenschaftlichen und technologischen Fortschritts sind. Zeigen Sie die Bedeutung der Arbeit von Wissenschaftlern für die Entwicklung von Geometrie und Physik.???????????? Anwendung deutlich demonstrieren wissenschaftliche Entdeckungen im Leben. Entwickeln Sie Interesse an Mathematik als Fach, basierend auf der Vertrautheit mit historischem Material. Um den Horizont der Schüler zu erweitern, ihre kognitive Aktivität und Kreativität anzuregen

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur ersten, sondern auch zweiten Grades zu lösen, wurde in der Antike durch die Notwendigkeit verursacht, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Landflächen mit der Entwicklung der Astronomie und Mathematik selbst zu lösen. Quadratische Gleichungen konnten etwa 2000 v. Chr. gelöst werden. e. Babylonier. Die in den babylonischen Texten dargelegten Regeln zum Lösen dieser Gleichungen stimmen im Wesentlichen mit den modernen überein, aber diesen Texten fehlt das Konzept einer negativen Zahl und allgemeine Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen.

. (ca. 365 - 300 v. Chr.) - altgriechischer Mathematiker, Autor der ersten theoretischen Abhandlungen über Mathematik, die uns überliefert sind. Euklid oder Euklid

Euklids Anfang Wo der Nil in das Meer übergeht, lebte im alten heißen Land der Pyramiden der griechische Mathematiker – der Wissende, Weise Euklid. Geometrie studierte er, Geometrie lehrte er. Er hat ein großartiges Werk geschrieben. Dieses Buch heißt "Anfänge".

Euklid 3. Jahrhundert v Euklid löste quadratische Gleichungen mit der geometrischen Methode. Hier ist eine der Aufgaben aus der altgriechischen Abhandlung: „Es gibt eine Stadt mit einer Grenze in Form eines Quadrats mit einer Seite unbekannter Größe, in der Mitte jeder Seite befindet sich ein Tor. In einer Entfernung von 20 bu (1 bu = 1,6 m) vom Nordtor befindet sich eine Säule. Wenn Sie vorbeikommen Süd Tor 14bu geradeaus, dann nach Westen abbiegen und an einer weiteren 1775bu vorbeifahren, dann sieht man den Pfeiler. Die Frage ist: Auf welcher Seite der Stadtgrenze? »

Um die unbekannte Seite des Quadrats zu bestimmen, erhalten wir die quadratische Gleichung x ² +(k+l)x-2kd =0 . In diesem Fall sieht die Gleichung wie folgt aus: x ² +34x-71000=0 , also x=250bu l x d k

Quadratische Gleichungen in Indien Probleme mit quadratischen Gleichungen finden sich auch in der astronomischen Abhandlung "Aryabhattam", die 499 von dem indischen Mathematiker und Astronomen Aryabhatta zusammengestellt wurde. Ein anderer indischer Wissenschaftler, Brahmagupta, skizzierte die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form: ax² + bx=c, a>0 V altes indienÖffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme waren üblich. In einem der alten indischen Bücher wird über solche Wettbewerbe Folgendes gesagt: „Wie die Sonne die Sterne mit ihrem Glanz überstrahlt, so wird eine gelehrte Person den Ruhm einer anderen in öffentlichen Versammlungen überstrahlen, indem sie algebraische Probleme vorschlägt und löst.“

Eine der Aufgaben des berühmten indischen Mathematikers aus dem 12. Jahrhundert Bhaskara Die muntere Affenschar Nach Herzenslust gegessen, Spaß gehabt. Teil acht von ihnen in einem Quadrat Ich hatte Spaß auf der Lichtung. Und zwölf entlang der Lianen ... Sie begannen hängend zu springen ... Wie viele Affen waren Sie mir sagen, in dieser Herde?.

Lösung. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, dann D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 \u003d, x 1 \u003d 48, x 2 \u003d 16. Antwort: Es gab 16 oder 48 Affen. Lösen wir es.

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung wurde immer wieder "wiederentdeckt". Eine der ersten Ableitungen dieser Formel, die bis heute erhalten ist, gehört dem indischen Mathematiker Brahmagupta. Der zentralasiatische Wissenschaftler al-Khwarizmi erhielt diese Formel in der Abhandlung „Kitab al-dzherb wal-muqabala“, indem er ein volles Quadrat auswählte.

Wie hat al-Khwarizmi diese Gleichung gelöst? Er schrieb: „Die Regel ist folgende: Verdoppeln Sie die Anzahl der Wurzeln, x = 2x 5, Sie erhalten fünf in dieser Aufgabe, 5 multiplizieren Sie mit diesem Gleichen, es wird fünfundzwanzig sein, 5 5 = 25 addieren Sie dies zu dreißig -neun, 25 + 39 wird vierundsechzig , 64 ziehe die Wurzel daraus, es wird acht, 8 und subtrahiere davon die Hälfte der Wurzeln, d.h. fünf, 8-5 bleiben drei - dies und 3 werden sein die Wurzel des gesuchten Quadrats. Was ist mit der zweiten Wurzel? Die zweite Wurzel wurde nicht gefunden, da negative Zahlen nicht bekannt waren. x 2 +10 x = 39

Quadratische Gleichungen in Europa 13.-17. Jahrhundert. Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von al-Khorezmi in Europa wurden erstmals im „Buch des Abakus“ niedergelegt, das 1202 vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci verfasst wurde. Dieses umfangreiche Werk, das den Einfluss der Mathematik sowohl aus den Ländern des Islam als auch widerspiegelt Antikes Griechenland, unterscheidet sich sowohl in der Vollständigkeit als auch in der Klarheit der Darstellung. Der Autor hat eigenständig einige neue algebraische Problemlösungen entwickelt und sich als erster in Europa der Einführung negativer Zahlen genähert. Sein Buch trug zur Verbreitung des algebraischen Wissens nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Probleme aus dem "Buch des Abakus" gingen in fast alle europäischen Lehrbücher des 16.-17. Jahrhunderts über. und teilweise 18.

François Viet - der größte Mathematiker des 16. Jahrhunderts

Vor F. Vieta wurde die Lösung einer quadratischen Gleichung nach ihren eigenen Regeln in Form von sehr langen verbalen Überlegungen und Beschreibungen durchgeführt, ziemlich umständlichen Handlungen. Sogar die Gleichung selbst konnte nicht aufgeschrieben werden, dies erforderte eine ziemlich lange und komplexe verbale Beschreibung. Er prägte den Begriff „Koeffizient“. Er schlug vor, die erforderlichen Werte durch Vokale und die Daten durch Konsonanten zu bezeichnen. Dank der Symbolik von Vieta können Sie eine quadratische Gleichung in der Form schreiben: ax 2 + bx + c \u003d 0. Satz: Die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Trotz der Tatsache, dass dieser Satz "Satz von Vieta" genannt wird, war er vor ihm bekannt und er hat ihn nur in eine moderne Form gebracht. Vieta wird der „Vater der Algebra“ genannt

Die Menschheit ist einen langen Weg von der Unwissenheit zum Wissen gegangen und hat auf diesem Weg ständig unvollständiges und unvollkommenes Wissen durch immer vollständigeres und perfekteres Wissen ersetzt. Letztes Wort

Wir leben in frühes XXI Jahrhunderts lockt die Antike. An unseren Vorfahren merken wir zunächst, was ihnen aus heutiger Sicht fehlt, und meist nicht, was uns selbst im Vergleich zu ihnen fehlt.

Vergessen wir sie nicht...

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

„Die Entstehungsgeschichte quadratischer Gleichungen. Entwicklungsgeschichte quadratischer Gleichungen

Herunterladen:

Vorschau:

Beschriftungen der Folien:

Passwort Wiederherstellung