Logarithmische Gleichungen mit Modullösungsbeispielen. Logarithmische Gleichungen. Von einfach bis komplex

Logarithmische Gleichungen. Von einfach bis komplex.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Was ist eine logarithmische Gleichung?

Dies ist eine Gleichung mit Logarithmen. Ich war überrascht, oder?) Dann werde ich klarstellen. Dies ist eine Gleichung, in der die Unbekannten (x) und Ausdrücke mit ihnen sind innere Logarithmen. Und nur dort! Es ist wichtig.

Hier sind einige Beispiele logarithmische Gleichungen :

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Nun, Sie haben die Idee ... )

Beachten Sie! Die unterschiedlichsten Ausdrücke mit x's sind lokalisiert nur innere Logarithmen. Wenn plötzlich irgendwo ein x in der Gleichung zu finden ist außen, zum Beispiel:

log 2 x = 3+x,

Dies wird die Gleichung sein gemischter Typ. Solche Gleichungen haben keine klaren Regeln zum Lösen. Wir werden sie vorerst nicht berücksichtigen. Übrigens gibt es Gleichungen, wo innerhalb der Logarithmen nur Zahlen. Zum Beispiel:

Was kann ich sagen? Sie haben Glück, wenn Sie darauf stoßen! Der Logarithmus mit Zahlen ist irgendeine Zahl. Und alle. Es reicht aus, die Eigenschaften von Logarithmen zu kennen, um eine solche Gleichung zu lösen. Kenntnis spezieller Regeln, speziell zum Lösen angepasster Techniken logarithmische Gleichungen, hier nicht erforderlich.

So, was ist eine logarithmische gleichung- herausgefunden.

Wie löst man logarithmische Gleichungen?

Lösung logarithmische Gleichungen- eine Sache ist im Allgemeinen nicht sehr einfach. Der Abschnitt, den wir haben, ist also für vier ... Eine anständige Versorgung mit Wissen zu allen möglichen verwandten Themen ist erforderlich. Außerdem gibt es bei diesen Gleichungen eine Besonderheit. Und dieses Merkmal ist so wichtig, dass es sicher als das Hauptproblem beim Lösen logarithmischer Gleichungen bezeichnet werden kann. Wir werden uns in der nächsten Lektion ausführlich mit diesem Problem befassen.

Keine Sorge. Wir gehen den richtigen Weg von einfach bis komplex. Auf der konkrete Beispiele. Die Hauptsache ist, sich in einfache Dinge zu vertiefen und nicht faul zu sein, den Links zu folgen, ich habe sie aus einem bestimmten Grund gesetzt ... Und Sie werden Erfolg haben. Notwendig.

Beginnen wir mit den elementarsten, einfachsten Gleichungen. Um sie zu lösen, ist es wünschenswert, eine Vorstellung vom Logarithmus zu haben, aber nicht mehr. Nur keine Ahnung Logarithmus eine Entscheidung treffen logarithmisch Gleichungen - irgendwie sogar peinlich ... Sehr dreist, würde ich sagen).

Die einfachsten logarithmischen Gleichungen.

Dies sind Gleichungen der Form:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Lösungsprozess jede logarithmische Gleichung besteht im Übergang von einer Gleichung mit Logarithmen zu einer Gleichung ohne sie. In den einfachsten Gleichungen wird dieser Übergang in einem Schritt durchgeführt. Deshalb ist es einfach.)

Und solche logarithmischen Gleichungen werden überraschend einfach gelöst. Überzeugen Sie sich selbst.

Lösen wir das erste Beispiel:

log 3 x = log 3 9

Um dieses Beispiel zu lösen, müssen Sie fast nichts wissen, ja ... Reine Intuition!) Was machen wir besonders Gefällt Ihnen dieses Beispiel nicht? Irgendwas... Ich mag keine Logarithmen! Korrekt. Hier werden wir sie los. Wir schauen uns das Beispiel genau an, und ein natürliches Verlangen steigt in uns auf ... Geradezu unwiderstehlich! Logarithmen allgemein nehmen und wegwerfen. Und was gefällt ist kann tun! Mathematik erlaubt. Die Logarithmen verschwinden die Antwort ist:

Es ist großartig, oder? Dies kann (und sollte) immer getan werden. Das Eliminieren von Logarithmen auf diese Weise ist eine der Hauptmethoden zum Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen. In der Mathematik heißt diese Operation Potenzierung. Es gibt natürlich ihre eigenen Regeln für eine solche Liquidation, aber es gibt nur wenige. Denken Sie daran:

Sie können Logarithmen ohne Angst eliminieren, wenn sie Folgendes haben:

a) die gleichen Zahlengrundlagen

c) die Links-Rechts-Logarithmen sind sauber (ohne Koeffizienten) und in hervorragender Isolation.

Lassen Sie mich den letzten Punkt erläutern. Sagen wir in der Gleichung

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logarithmen können nicht entfernt werden. Die Zwei auf der rechten Seite erlaubt es nicht. Koeffizient, wissen Sie ... Im Beispiel

log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)

die Gleichung kann auch nicht potenziert werden. Es gibt keinen einsamen Logarithmus auf der linken Seite. Es gibt zwei davon.

Kurz gesagt, Sie können Logarithmen entfernen, wenn die Gleichung so und nur so aussieht:

log a (.....) = log a (.....)

In Klammern, wo die Auslassungspunkte sein können jede Art von Ausdruck. Einfach, superkomplex, was auch immer. Wie auch immer. Wichtig ist, dass wir nach dem Eliminieren der Logarithmen übrig bleiben eine einfachere Gleichung. Es wird natürlich vorausgesetzt, dass Sie bereits wissen, wie man lineare, quadratische, gebrochene, exponentielle und andere Gleichungen ohne Logarithmen löst.)

Jetzt können Sie das zweite Beispiel leicht lösen:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Eigentlich ist es im Kopf. Wir potenzieren, wir erhalten:

Nun, ist es sehr schwierig?) Wie Sie sehen können, logarithmisch Teil der Lösung der Gleichung ist nur bei der Eliminierung von Logarithmen ... Und dann kommt die Lösung der Restgleichung schon ohne sie. Abfallgeschäft.

Wir lösen das dritte Beispiel:

log 7 (50x-1) = 2

Wir sehen, dass der Logarithmus auf der linken Seite steht:

Wir erinnern daran, dass dieser Logarithmus eine Zahl ist, zu der die Basis (d. h. sieben) erhoben werden muss, um einen sublogarithmischen Ausdruck zu erhalten, d. h. (50x-1).

Aber diese Zahl ist zwei! Nach der Gleichung. Das ist:

Das ist im Wesentlichen alles. Logarithmus verschwunden bleibt die harmlose Gleichung:

Wir haben diese logarithmische Gleichung nur aufgrund der Bedeutung des Logarithmus gelöst. Ist es einfacher, Logarithmen zu eliminieren?) Ich stimme zu. Übrigens, wenn Sie aus zwei einen Logarithmus machen, können Sie dieses Beispiel durch Liquidation lösen. Du kannst jede Zahl logarithmieren. Und genau so, wie wir es brauchen. Eine sehr nützliche Technik zum Lösen von logarithmischen Gleichungen und (besonders!) Ungleichungen.

Weißt du, wie man aus einer Zahl einen Logarithmus macht!? Macht nichts. Abschnitt 555 beschreibt diese Technik im Detail. Sie können es in vollen Zügen beherrschen und anwenden! Es reduziert die Anzahl der Fehler erheblich.

Die vierte Gleichung wird (per Definition) genauso gelöst:

Das ist alles dazu.

Fassen wir diese Lektion zusammen. Wir haben die Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen anhand von Beispielen betrachtet. Es ist sehr wichtig. Und das nicht nur, weil solche Gleichungen auf Kontrollprüfungen stehen. Tatsache ist, dass selbst die bösesten und verworrensten Gleichungen notwendigerweise auf die einfachsten reduziert werden!

Tatsächlich sind die einfachsten Gleichungen der letzte Teil der Lösung irgendein Gleichungen. Und dieser abschließende Teil ist ironisch zu verstehen! Und weiter. Lesen Sie diese Seite unbedingt bis zum Ende. Es gibt eine Überraschung...

Entscheiden wir selbst. Wir füllen sozusagen die Hand ...)

Finden Sie die Wurzel (oder die Summe der Wurzeln, falls es mehrere gibt) der Gleichungen:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5 x -1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

In (e 2 + 2x-3) \u003d 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Antworten (natürlich in Unordnung): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Was geht nicht? Es passiert. Trauere nicht! In Abschnitt 555 wird die Lösung all dieser Beispiele klar und detailliert beschrieben. Dort erfährst du es bestimmt. Darüber hinaus lernen Sie nützliche praktische Techniken kennen.

Es hat alles geklappt!? Alle Beispiele für "eins links"?) Herzlichen Glückwunsch!

Es ist an der Zeit, Ihnen die bittere Wahrheit zu offenbaren. Die erfolgreiche Lösung dieser Beispiele garantiert keineswegs den Erfolg bei der Lösung aller anderen logarithmischen Gleichungen. Sogar einfache wie diese. Ach.

Der Punkt ist, dass die Lösung jeder logarithmischen Gleichung (auch der elementarsten!) besteht aus zwei gleiche Teile. Lösung der Gleichung und Arbeit mit ODZ. Einen Teil – die Lösung der Gleichung selbst – haben wir gemeistert. Es ist nicht so schwer Rechts?

Für diese Lektion habe ich speziell solche Beispiele ausgewählt, bei denen die ODZ die Antwort in keiner Weise beeinflusst. Aber nicht jeder ist so nett wie ich, oder?...)

Daher ist es notwendig, auch den anderen Teil zu beherrschen. ODZ. Dies ist das Hauptproblem beim Lösen von logarithmischen Gleichungen. Und das nicht, weil es schwierig ist – dieser Teil ist sogar noch einfacher als der erste. Sondern weil sie ODZ einfach vergessen. Oder sie wissen es nicht. Oder beides). Und sie fallen flach...

In der nächsten Lektion werden wir uns mit diesem Problem befassen. Dann kann man sich sicher entscheiden irgendein einfache logarithmische Gleichungen und nähern sich ziemlich soliden Aufgaben.

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Grundeigenschaften.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

gleiche Gründe

log6 4 + log6 9.

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x >

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Übergang in eine neue Stiftung

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Siehe auch:

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

2.

3.

4. wo .

Beispiel 2 Finde x wenn

Beispiel 3. Gegeben sei der Wert von Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kein einziger Ernst Logarithmisches Problem. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Beachten Sie: Schlüsselmoment hier - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen bei der Berechnung logarithmischer Ausdruck auch wenn seine Einzelteile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Basierend auf dieser Tatsache, viele Prüfungsunterlagen. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Das ist leicht zu sehen letzte Regel folgt den ersten beiden. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner.

Formeln von Logarithmen. Logarithmen sind Beispiele für Lösungen.

Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass die Basis und das Argument des Logarithmus vertauscht werden können, aber der gesamte Ausdruck „umgedreht“ wird, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen zu finden numerische Ausdrücke. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist - der Logarithmus Null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Siehe auch:

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a bezeichnet den Ausdruck. Den Logarithmus zu berechnen bedeutet, eine solche Potenz x () zu finden, bei der die Gleichheit wahr ist

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

Die obigen Eigenschaften müssen bekannt sein, da auf ihrer Grundlage fast alle Probleme und Beispiele mit Logarithmen gelöst werden. Die restlichen exotischen Eigenschaften können durch mathematische Manipulationen mit diesen Formeln abgeleitet werden

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Bei der Berechnung der Formeln für die Summe und Differenz von Logarithmen (3.4) begegnet man recht häufig. Der Rest ist etwas komplex, aber bei einer Reihe von Aufgaben sind sie unverzichtbar, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und ihre Werte zu berechnen.

Häufige Fälle von Logarithmen

Einige der gewöhnlichen Logarithmen sind solche, bei denen die Basis sogar zehn, exponentiell oder zwei ist.
Der Logarithmus zur Basis zehn wird normalerweise als Logarithmus zur Basis zehn bezeichnet und einfach mit lg(x) bezeichnet.

Aus dem Protokoll ist ersichtlich, dass die Grundlagen nicht im Protokoll festgehalten sind. Beispielsweise

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus, dessen Basis der Exponent ist (als ln(x) bezeichnet).

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi. Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Und ein weiterer wichtiger Logarithmus zur Basis zwei ist

Die Ableitung des Logarithmus der Funktion ist gleich Eins dividiert durch die Variable

Der Integral- oder Stammlogarithmus wird durch die Abhängigkeit bestimmt

Das obige Material reicht aus, um eine breite Klasse von Problemen im Zusammenhang mit Logarithmen und Logarithmen zu lösen. Um das Material zu assimilieren, werde ich nur einige gängige Beispiele aus dem Schullehrplan und den Universitäten geben.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

2.
Durch die Differenzeneigenschaft von Logarithmen haben wir

3.
Unter Verwendung der Eigenschaften 3.5 finden wir

4. wo .

Ein scheinbar komplexer Ausdruck, der eine Reihe von Regeln verwendet, wird zur Form vereinfacht

Logarithmuswerte finden

Beispiel 2 Finde x wenn

Lösung. Für die Berechnung wenden wir die Eigenschaften 5 und 13 bis zum letzten Term an

Ersatz in der Aufzeichnung und trauern

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Ausdrücke gleich

Logarithmen. Erste Ebene.

Gegeben seien die Werte der Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Lösung: Nimm den Logarithmus der Variablen, um den Logarithmus durch die Summe der Terme zu schreiben

Dies ist nur der Anfang der Bekanntschaft mit Logarithmen und ihren Eigenschaften. Üben Sie Rechnen, bereichern Sie Ihre praktischen Fähigkeiten – das erworbene Wissen werden Sie schon bald zum Lösen logarithmischer Gleichungen benötigen. Nachdem wir die grundlegenden Methoden zum Lösen solcher Gleichungen studiert haben, erweitern wir Ihr Wissen um ein weiteres ebenso wichtiges Thema - logarithmische Ungleichungen ...

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie kennen - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log6 4 + log6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben.

Logarithmen lösen

Das wird am häufigsten verlangt.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass die Basis und das Argument des Logarithmus vertauscht werden können, aber der gesamte Ausdruck „umgedreht“ wird, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Einführung

Logarithmen wurden erfunden, um Berechnungen zu beschleunigen und zu vereinfachen. Die Idee des Logarithmus, also die Idee, Zahlen als Potenz derselben Basis auszudrücken, gehört Michail Stiefel. Aber zur Zeit von Stiefel war die Mathematik noch nicht so weit entwickelt und die Idee des Logarithmus fand keine Entfaltung. Logarithmen wurden später gleichzeitig und unabhängig voneinander von dem schottischen Wissenschaftler John Napier (1550-1617) und dem Schweizer Jobst Burgi (1552-1632) erfunden, der das Werk 1614 als erster veröffentlichte. mit dem Titel „Beschreibung erstaunlicher Tisch Logarithmen" wurde Napiers Theorie der Logarithmen in einem ziemlich vollständigen Band gegeben, die Methode zur Berechnung von Logarithmen wurde auf einfachste Weise gegeben, daher sind Napiers Verdienste um die Erfindung von Logarithmen größer als die von Burgi. Bürgi arbeitete zeitgleich mit Napier an den Tischen, aber lange Zeit hielt sie geheim und veröffentlichte sie erst 1620. Napier beherrschte die Idee des Logarithmus um 1594. obwohl die Tabellen 20 Jahre später veröffentlicht wurden. Zuerst nannte er seine Logarithmen "künstliche Zahlen" und schlug erst dann vor, diese "künstlichen Zahlen" in einem Wort "Logarithmus" zu nennen, was auf Griechisch "korrelierte Zahlen" bedeutet, die eine von einer arithmetischen Folge und die andere von a speziell dafür ausgewählte geometrische Progression. Die ersten Tabellen in russischer Sprache wurden 1703 veröffentlicht. unter Beteiligung eines bemerkenswerten Lehrers des 18. Jahrhunderts. L. F. Magnitsky. In der Entwicklung der Theorie der Logarithmen sehr wichtig hatte die Arbeit des St. Petersburger Akademikers Leonard Euler. Er war der erste, der den Logarithmus als Umkehrung der Potenzierung betrachtete, er führte die Begriffe "Basis des Logarithmus" und "Mantisse" ein. Briggs stellte Logarithmentafeln mit der Basis 10 zusammen. Dezimaltafeln sind für den praktischen Gebrauch bequemer, ihre Theorie ist einfacher als die von Napiers Logarithmen . Deshalb Dezimallogarithmen manchmal Briggs genannt. Der Begriff „Merkmal“ wurde von Briggs eingeführt.

In jenen fernen Zeiten, als die Weisen anfingen, über Gleichheiten mit unbekannten Mengen nachzudenken, gab es wahrscheinlich noch keine Münzen oder Brieftaschen. Aber auf der anderen Seite gab es Haufen, sowie Töpfe, Körbe, die perfekt für die Rolle von Caches geeignet waren – Speicher, die eine unbekannte Anzahl von Gegenständen enthielten. In den alten mathematischen Problemen Mesopotamiens, Indiens, Chinas, Griechenlands drückten unbekannte Größen die Anzahl der Pfauen im Garten, die Anzahl der Stiere in der Herde, die Gesamtheit der Dinge aus, die bei der Aufteilung des Eigentums berücksichtigt wurden. Gut ausgebildete Schreiber, Beamte und Eingeweihte in der Wissenschaft des Zählens geheimes Wissen Die Priester haben solche Aufgaben recht erfolgreich gemeistert.

Quellen, die uns überliefert sind, weisen darauf hin, dass antike Wissenschaftler einige besaßen gängige Tricks Lösen von Problemen mit unbekannten Größen. Doch kein einziger Papyrus, keine einzige Tontafel beschreibt diese Techniken. Nur gelegentlich versahen die Autoren ihre Zahlenkalkulationen mit fiesen Kommentaren wie: „Schau mal!“, „Mach es!“, „Du hast es richtig gefunden.“ Eine Ausnahme bildet in diesem Sinne die "Arithmetik" des griechischen Mathematikers Diophantus von Alexandria (III. Jahrhundert) - eine Sammlung von Problemen zum Erstellen von Gleichungen mit einer systematischen Darstellung ihrer Lösungen.

Die Arbeit des Bagdad-Gelehrten des 9. Jahrhunderts wurde jedoch zum ersten Handbuch zur Lösung von Problemen, das weithin bekannt wurde. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Das Wort "al-jabr" aus dem arabischen Titel dieser Abhandlung - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Das Buch der Wiederherstellung und Kontrastierung") - wurde im Laufe der Zeit zu dem Wort "Algebra", das allen bekannt ist, und die Arbeit von al-Khwarizmi selbst diente als Ausgangspunkt für die Entwicklung der Wissenschaft des Lösens von Gleichungen.

Logarithmische Gleichungen und Ungleichungen

1. Logarithmische Gleichungen

Eine Gleichung, die eine Unbekannte unter dem Vorzeichen des Logarithmus oder an seiner Basis enthält, heißt logarithmische Gleichung.

Die einfachste logarithmische Gleichung ist die Formgleichung

Protokoll a x = b . (1)

Aussage 1. Wenn a > 0, a≠ 1, Gleichung (1) für jede reelle Zahl b hat die einzige Lösung x = ein b .

Beispiel 1. Gleichungen lösen:

a) Protokoll 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Lösung. Mit Aussage 1 erhalten wir a) x= 2 3 oder x= 8; b) x= 3 -1 bzw x= 1/3; c)

oder x = 1.

Wir stellen die wichtigsten Eigenschaften des Logarithmus vor.

P1. Logarithmische Grundidentität:

wo a > 0, a≠ 1 und b > 0.

P2. Logarithmus des Produkts positiver Faktoren ist gleich der Summe Logarithmen dieser Faktoren:

Protokoll a N eines · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Kommentar. Wenn ein N eines · N 2 > 0, dann nimmt die Eigenschaft P2 die Form an

Protokoll a N eines · N 2 = log a |N 1 | +log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N eines · N 2 > 0).

P3. Der Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Kommentar. Wenn ein

, (was äquivalent ist zu N 1 N 2 > 0) dann nimmt die Eigenschaft P3 die Form an (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Der Logarithmus der Potenz einer positiven Zahl ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus dieser Zahl:

Protokoll a N k = k Protokoll a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Kommentar. Wenn ein k - gerade Zahl (k = 2s), dann

Protokoll a N 2s = 2s Protokoll a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Die Formel für den Wechsel zu einer anderen Basis lautet:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

insbesondere wenn N = b, wir bekommen

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Unter Verwendung der Eigenschaften P4 und P5 ist es einfach, die folgenden Eigenschaften zu erhalten

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

und wenn in (5) c- gerade Zahl ( c = 2n), tritt ein

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Wir listen die wichtigsten Eigenschaften auf Logarithmische Funktion f (x) = Protokoll a x :

1. Der Definitionsbereich der logarithmischen Funktion ist die Menge positiver Zahlen.

2. Der Wertebereich der logarithmischen Funktion ist die Menge der reellen Zahlen.

3. Wann a> 1 ist die logarithmische Funktion streng steigend (0< x 1 < x 2 anmelden a x 1 < loga x 2) und bei 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 anmelden a x 1 > protokollieren a x 2).

4 Protokoll a 1 = 0 und log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Wenn a> 1, dann ist die logarithmische Funktion negativ für x(0;1) und ist positiv für x(1;+∞), und wenn 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) und ist negativ für x (1;+∞).

6. Wenn a> 1, dann ist die logarithmische Funktion nach oben konvex, und wenn a(0;1) - konvex nach unten.

Die folgenden Anweisungen (siehe zum Beispiel ) werden beim Lösen von logarithmischen Gleichungen verwendet.

Lösung logarithmischer Gleichungen. Teil 1.

Logarithmische Gleichung wird eine Gleichung genannt, in der die Unbekannte unter dem Vorzeichen des Logarithmus (insbesondere in der Basis des Logarithmus) enthalten ist.

Protozoen logarithmische Gleichung sieht aus wie:

Lösen einer beliebigen logarithmischen Gleichung beinhaltet den Übergang von Logarithmen zu Ausdrücken unter dem Vorzeichen von Logarithmen. Diese Aktion erweitert jedoch den Anwendungsbereich zulässige Werte Gleichungen und kann zum Auftreten von Fremdwurzeln führen. Um das Auftreten von Fremdwurzeln zu vermeiden Sie können dies auf drei Arten tun:

1. Machen Sie einen äquivalenten Übergang von der ursprünglichen Gleichung zu einem System einschließlich

je nachdem, welche Ungleichheit oder einfacher.

Wenn die Gleichung eine Unbekannte an der Basis des Logarithmus enthält:

Dann gehen wir zum System:

2. Finden Sie separat den Bereich der zulässigen Werte der Gleichung, lösen Sie dann die Gleichung und prüfen Sie, ob die gefundenen Lösungen die Gleichung erfüllen.

3. Lösen Sie die Gleichung, und dann einen Check machen: Setzen Sie die gefundenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein und überprüfen Sie, ob wir die richtige Gleichheit erhalten.

Eine logarithmische Gleichung beliebiger Komplexität reduziert sich schließlich immer auf die einfachste logarithmische Gleichung.

Alle logarithmischen Gleichungen können in vier Typen unterteilt werden:

1 . Gleichungen, die nur Logarithmen zur ersten Potenz enthalten. Mit Hilfe von Transformationen und Gebrauch werden sie auf die Form reduziert

Beispiel. Lösen wir die Gleichung:

Setzen Sie die Ausdrücke unter dem Vorzeichen des Logarithmus gleich:

Lassen Sie uns prüfen, ob unsere Wurzel der Gleichung erfüllt:

Ja, es befriedigt.

Antwort: x=5

2 . Gleichungen, die Logarithmen mit einer anderen Potenz als 1 enthalten (insbesondere im Nenner eines Bruchs). Diese Gleichungen werden mit gelöst Einführung einer Variablenänderung.

Beispiel. Lösen wir die Gleichung:

Lassen Sie uns die ODZ-Gleichung finden:

Die Gleichung enthält Logarithmen zum Quadrat, also wird sie mit einer Variablenänderung gelöst.

Wichtig! Bevor Sie einen Ersatz einführen, müssen Sie die Logarithmen, die Teil der Gleichung sind, mithilfe der Eigenschaften von Logarithmen in „Ziegel“ „ziehen“.

Beim "Ziehen" von Logarithmen ist es wichtig, die Eigenschaften von Logarithmen sehr sorgfältig anzuwenden:

Außerdem gibt es hier noch eine subtilere Stelle, und um einen häufigen Fehler zu vermeiden, verwenden wir eine Zwischengleichung: Wir schreiben den Grad des Logarithmus in dieser Form:

Ebenfalls,

Wir setzen die erhaltenen Ausdrücke in die ursprüngliche Gleichung ein. Wir bekommen:

Nun sehen wir, dass die Unbekannte in der Gleichung als Teil von enthalten ist. Wir stellen den Ersatz vor: . Da sie jeden realen Wert annehmen kann, legen wir der Variablen keine Beschränkungen auf.

In dieser Lektion wiederholen wir die grundlegenden theoretischen Fakten über Logarithmen und betrachten die Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen.

Erinnern Sie sich an die zentrale Definition - die Definition des Logarithmus. Es hängt mit der Entscheidung zusammen Exponentialgleichung. Diese Gleichung hat eine einzelne Wurzel, sie heißt Logarithmus von b zur Basis a:

Definition:

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist der Exponent, mit dem die Basis a erhöht werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Abrufen grundlegende logarithmische Identität.

Der Ausdruck (Ausdruck 1) ist die Wurzel der Gleichung (Ausdruck 2). Wir ersetzen den Wert von x aus Ausdruck 1 anstelle von x in Ausdruck 2 und erhalten die grundlegende logarithmische Identität:

Wir sehen also, dass jedem Wert ein Wert zugewiesen wird. Wir bezeichnen b für x (), c für y und erhalten so die logarithmische Funktion:

Zum Beispiel:

Erinnere dich an die grundlegenden Eigenschaften der logarithmischen Funktion.

Lassen Sie uns hier noch einmal aufpassen, denn unter dem Logarithmus kann ein streng positiver Ausdruck als Basis des Logarithmus stehen.

Reis. 1. Graph der logarithmischen Funktion für verschiedene Basen

Der Graph der Funktion at ist schwarz dargestellt. Reis. 1. Wenn das Argument von null auf unendlich anwächst, steigt die Funktion von minus auf plus unendlich an.

Der Graph der Funktion at ist rot dargestellt. Reis. eines.

Eigenschaften dieser Funktion:

Domäne: ;

Wertebereich: ;

Die Funktion ist in ihrem gesamten Definitionsbereich monoton. Für monotone (strenge) Zunahmen gilt: Größerer Wert Argument entspricht dem größeren Wert der Funktion. Bei monotoner (strenger) Abnahme entspricht der größere Wert des Arguments dem kleineren Wert der Funktion.

Die Eigenschaften der logarithmischen Funktion sind der Schlüssel zum Lösen verschiedener logarithmischer Gleichungen.

Betrachten Sie die einfachste logarithmische Gleichung, alle anderen logarithmischen Gleichungen werden in der Regel auf diese Form reduziert.

Da die Basen der Logarithmen und die Logarithmen selbst gleich sind, sind auch die Funktionen unter dem Logarithmus gleich, aber wir dürfen den Definitionsbereich nicht verlieren. Unter dem Logarithmus kann nur stehen positive Zahl, wir haben:

Wir haben herausgefunden, dass die Funktionen f und g gleich sind, also genügt es, eine beliebige Ungleichung zu wählen, um der ODZ zu entsprechen.

Wir haben also ein gemischtes System, in dem es eine Gleichung und eine Ungleichung gibt:

Die Ungleichung muss in der Regel nicht gelöst werden, es reicht aus, die Gleichung zu lösen und die gefundenen Wurzeln in die Ungleichung einzusetzen, wodurch eine Überprüfung durchgeführt wird.

Lassen Sie uns eine Methode zur Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen formulieren:

Gleiche die Basen von Logarithmen aus;

Sublogarithmische Funktionen gleichsetzen;

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Betrachten wir konkrete Beispiele.

Beispiel 1 - lösen Sie die Gleichung:

Die Basen der Logarithmen sind zunächst gleich;

Beispiel 2 - lösen Sie die Gleichung:

Diese Gleichung unterscheidet sich von der vorherigen darin, dass die Basen der Logarithmen Weniger als eins, aber dies beeinflusst die Lösung in keiner Weise:

Lassen Sie uns die Wurzel finden und sie in die Ungleichung einsetzen:

Wir haben eine falsche Ungleichung erhalten, was bedeutet, dass die gefundene Wurzel die ODZ nicht erfüllt.

Beispiel 3 - lösen Sie die Gleichung:

Die Basen der Logarithmen sind zunächst gleich;

Lassen Sie uns die Wurzel finden und sie in die Ungleichung einsetzen:

Offensichtlich erfüllt nur die erste Wurzel die ODZ.