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Exponentialgleichungen lösen. Beispiele. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen

Der menschliche Intellekt braucht ebenso wie der Körper ständiges Training. physische Aktivität. Der beste Weg Entwickeln und erweitern Sie die Fähigkeiten dieser geistigen Qualität - Kreuzworträtsel zu lösen und Rätsel zu lösen, von denen das berühmteste natürlich der Zauberwürfel ist. Allerdings schafft es nicht jeder, es einzusammeln. Die Kenntnis von Diagrammen und Formeln zur Lösung des Zusammenbaus dieses komplizierten Spielzeugs wird Ihnen bei der Bewältigung dieser Aufgabe helfen.

Was ist ein Puzzlespielzeug?

Ein mechanischer Würfel aus Kunststoff, dessen Außenkanten aus kleinen Würfeln bestehen. Die Größe des Spielzeugs wird durch die Anzahl der kleinen Elemente bestimmt:

  • 2 x 2;
  • 3 x 3 (die ursprüngliche Version des Zauberwürfels war genau 3 x 3);
  • 4 x 4;
  • 5 x 5;
  • 6 x 6;
  • 7 x 7;
  • 8 x 8;
  • 9 x 9;
  • 10 x 10;
  • 11 x 11;
  • 13 x 13;
  • 17 x 17.

Jeder der kleinen Würfel kann sich in drei Richtungen entlang von Achsen drehen, die in Form von Vorsprüngen eines Fragments eines der drei Zylinder des großen Würfels dargestellt sind. Auf diese Weise kann sich die Struktur frei drehen, kleine Teile fallen jedoch nicht heraus, sondern halten sich aneinander fest.

Jede Seite des Spielzeugs besteht aus 9 Elementen, die in einer von sechs Farben bemalt sind und paarweise einander gegenüber angeordnet sind. Die klassische Farbkombination ist:

  • Rot gegenüber Orange;
  • weiß gegenüber gelb;
  • Blau steht im Gegensatz zu Grün.

Moderne Versionen können jedoch in anderen Kombinationen lackiert werden.

Heute finden Sie Zauberwürfel in verschiedenen Farben und Formen.

Das ist interessant. Den Zauberwürfel gibt es sogar in einer Version für Blinde. Dort gibt es anstelle von Farbquadraten eine Relieffläche.

Ziel des Puzzles ist es, die kleinen Quadrate so anzuordnen, dass sie die Kante eines großen Würfels derselben Farbe bilden.

Geschichte des Aussehens

Die Idee der Kreation stammt von der ungarischen Architektin Erna Rubik, die tatsächlich kein Spielzeug, sondern eine Anschauungshilfe für seine Schüler geschaffen hat. Also auf interessante Weise Der einfallsreiche Lehrer hatte vor, die Theorie zu erklären mathematische Gruppen(algebraische Strukturen). Dies geschah im Jahr 1974, und ein Jahr später wurde die Erfindung als Puzzle-Spielzeug patentiert – zukünftige Architekten (und nicht nur sie) waren so an das komplizierte und farbenfrohe Handbuch gebunden.

Die Veröffentlichung der ersten Serie des Puzzles fiel zeitlich auf das neue Jahr 1978, doch das Spielzeug kam dank der Unternehmer Tibor Lakzi und Tom Kremer auf die Welt.

Das ist interessant. Seit seiner Einführung wurden vom Zauberwürfel („Zauberwürfel“, „Zauberwürfel“) weltweit rund 350 Millionen Exemplare verkauft, was das Puzzle zum beliebtesten Spielzeug Nummer eins macht. Ganz zu schweigen von Dutzenden Computerspiele, basierend auf diesem Montageprinzip.

Der Zauberwürfel ist seit vielen Generationen ein ikonisches Spielzeug

In den 80er Jahren lernten die Bewohner der UdSSR den Zauberwürfel kennen, und 1982 wurde in Ungarn die erste Weltmeisterschaft im Zusammensetzen von Schnellrätseln – Speedcubing – organisiert. Dann bestes Ergebnis betrug 22,95 Sekunden (zum Vergleich: 2017 wurde ein neuer Weltrekord aufgestellt: 4,69 Sekunden).

Das ist interessant. Fans, die mehrfarbige Rätsel lösen, sind so an dem Spielzeug hängen, dass ihnen schnelle Montagewettbewerbe allein nicht ausreichen. Deshalb in letzten Jahren Puzzle-Meisterschaften erschienen mit Augen geschlossen, eine Hand, Beine.

Welche Formeln gibt es für den Zauberwürfel?

Um einen Zauberwürfel zusammenzusetzen, müssen alle kleinen Teile so angeordnet werden, dass ein ganzes Gesicht derselben Farbe entsteht. Sie müssen Gottes Algorithmus verwenden. Dieser Begriff bezieht sich auf eine Reihe von Mindestaktionen, die ein Rätsel lösen, das eine begrenzte Anzahl von Zügen und Kombinationen aufweist.

Das ist interessant. Zusätzlich zum Zauberwürfel wird Gottes Algorithmus auf Rätsel wie Mefferts Pyramide, Taken, Turm von Hanoi usw. angewendet.

Da der magische Zauberwürfel als mathematisches Werkzeug geschaffen wurde, ist sein Zusammenbau nach Formeln aufgebaut.

Das Lösen eines Zauberwürfels basiert auf der Verwendung spezieller Formeln

Wichtige Definitionen

Um die Schemata zum Lösen eines Rätsels verstehen zu lernen, müssen Sie sich mit den Namen seiner Teile vertraut machen.

  1. Ein Winkel ist eine Kombination aus drei Farben. Im 3 x 3-Würfel sind es 3 davon, in der 4 x 4-Version sind es 4 usw. Das Spielzeug hat 12 Ecken.
  2. Eine Kante repräsentiert zwei Farben. Es gibt 8 davon in einem Würfel.
  3. Die Mitte enthält eine Farbe. Insgesamt gibt es 6 davon.
  4. Die Gesichter sind, wie bereits erwähnt, gleichzeitig rotierende Puzzleelemente. Sie werden auch „Layer“ oder „Slices“ genannt.

Werte in Formeln

Es ist zu beachten, dass die Montageformeln in lateinischer Sprache verfasst sind – dies sind die Diagramme, die in verschiedenen Handbüchern für die Arbeit mit dem Puzzle weit verbreitet sind. Es gibt aber auch russifizierte Versionen. Die folgende Liste enthält beide Optionen.

  1. Die Vorderkante (Vorderkante oder Fassade) ist die Vorderkante, die die Farbe hat, die uns zugewandt ist [F] (oder F – Vorderseite).
  2. Die Rückseite ist die von uns wegzentrierte Seite [B] (oder B – Rückseite).
  3. Rechtes Gesicht – das Gesicht, das sich rechts befindet [P] (oder R – rechts).
  4. Linkes Gesicht – das Gesicht links [L] (oder L – links).
  5. Untere Fläche – die Fläche unten [H] (oder D – unten).
  6. Obere Fläche – die Fläche, die oben [B] (oder U – oben) liegt.

Fotogalerie: Teile des Zauberwürfels und ihre Definitionen

Um die Notationen in den Formeln zu erklären, verwenden wir die russische Version – sie ist für Anfänger klarer, aber für diejenigen, die ohne das internationale Notationssystem auf die professionelle Ebene des Speedcubing gelangen möchten Englische Sprache nicht genug.

Das ist interessant. Internationales System Bezeichnung, die von der World Cube Association (WCA) übernommen wurde.

  1. Die zentralen Würfel sind in den Formeln von eins angegeben Kleinbuchstabe- f, t, p, l, v, n.
  2. Eckig – drei Buchstaben entsprechend dem Namen der Kanten, zum Beispiel fpv, flni usw.
  3. Die Großbuchstaben F, T, P, L, V, N geben die elementaren Operationen an, bei denen die entsprechende Fläche (Schicht, Scheibe) eines Würfels um 90° im Uhrzeigersinn gedreht wird.
  4. Die Bezeichnungen F“, T“, P“, L“, V“, N“ entsprechen der Drehung der Flächen um 90° gegen den Uhrzeigersinn.
  5. Die Bezeichnungen Ф 2, П 2 usw. weisen auf eine doppelte Drehung der entsprechenden Fläche hin (Ф 2 = ФФ).
  6. Der Buchstabe C gibt die Drehung der mittleren Schicht an. Der Index gibt an, von welchem ​​Gesicht aus man diese Wendung machen muss. Zum Beispiel C P – von der rechten Seite, C N – von der Unterseite, C „L – von der linken Seite, gegen den Uhrzeigersinn usw. Es ist klar, dass C N = C „ B, C P = C „ L usw.
  7. Der Buchstabe O ist eine Drehung (Drehung) des gesamten Würfels um seine Achse. O F – von der Seite der Vorderkante im Uhrzeigersinn usw.

Den Vorgang aufzeichnen (Ф „П“) Н 2 (ПФ) bedeutet: Drehen Sie die Vorderseite um 90° gegen den Uhrzeigersinn, das Gleiche – die rechte Kante, drehen Sie die untere Kante zweimal (also um 180°), drehen Sie die rechte Kante um 90° ° im Uhrzeigersinn entlang, drehen Sie die Vorderkante um 90° im Uhrzeigersinn.

Unbekannt

http://dedfoma.ru/kubikrubika/kak-sobrat-kubik-rubika-3x3x3.htm

Für Anfänger ist es wichtig, Formeln verstehen zu lernen

In der Anleitung zum Zusammensetzen eines Puzzles in klassischen Farben wird in der Regel empfohlen, das Puzzle mit der gelben Mitte nach oben zu halten. Dieser Rat ist besonders wichtig für Anfänger.

Das ist interessant. Es gibt Websites, die Formeln visualisieren. Darüber hinaus kann die Geschwindigkeit des Montagevorgangs unabhängig eingestellt werden. Zum Beispiel alg.cubing.net

So lösen Sie ein Zauberpuzzle

Es gibt zwei Arten von Schemata:

  • für Neulinge;
  • für Profis.

Ihr Unterschied liegt in der Komplexität der Formeln sowie der Geschwindigkeit der Zusammenstellung. Für Anfänger sind natürlich Anleitungen sinnvoller, die ihrem Puzzle-Kenntnisniveau entsprechen. Aber mit etwas Übung können auch sie das Spielzeug in 2–3 Minuten zusammenfalten.

So lösen Sie einen Standard-3x3-Würfel

Beginnen wir mit der Lösung des klassischen 3 x 3 Zauberwürfels anhand eines 7-Schritte-Diagramms.

Die klassische Version des Puzzles ist der 3 x 3 Zauberwürfel

Das ist interessant. Der umgekehrte Prozess, der zum Lösen bestimmter falsch platzierter Würfel verwendet wird, ist die umgekehrte Reihenfolge der in der Formel beschriebenen Aktion. Das heißt, die Formel muss von rechts nach links gelesen werden und die Ebenen müssen gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden, wenn eine direkte Bewegung angegeben wurde, und umgekehrt: direkt, wenn das Gegenteil beschrieben wird.

Schritt-für-Schritt-Montageanleitung

  1. Wir beginnen mit der Montage des Kreuzes an der Oberkante. Wir senken den gewünschten Würfel ab, indem wir die entsprechende Seitenfläche (P, T, L) drehen und bringen ihn mit der Operation H, N" oder H 2 zur Vorderfläche. Wir beenden die Entfernungsphase mit einer Spiegeldrehung (umgekehrt) von die gleiche Seitenfläche, wodurch die ursprüngliche Position des betroffenen Rippenwürfels der oberen Schicht wiederhergestellt wird. Danach führen wir die Operation a) oder b) der ersten Stufe aus. Im Fall a) hat der Würfel die Vorderseite erreicht Die Farbe seiner Vorderseite stimmt mit der Farbe der Vorderseite überein. Im Fall b) muss der Würfel nicht nur nach oben bewegt, sondern auch gedreht werden, damit er richtig ausgerichtet ist.

    Einsammeln des Oberlinienkreuzes

  2. Der benötigte Eckwürfel wird gefunden (mit den Farben der Flächen F, B, L) und mit der gleichen Technik wie im ersten Schritt beschrieben in die linke Ecke der ausgewählten Vorderfläche (oder Gelb) gebracht. Es gibt drei mögliche Ausrichtungen für diesen Würfel. Wir vergleichen unseren Fall mit der Abbildung und wenden eine der Operationen der zweiten Stufe a, beat c an. Die Punkte im Diagramm markieren die Stelle, an der der gewünschte Würfel platziert werden soll. Wir finden die verbleibenden drei Eckwürfel auf dem Würfel und wiederholen die beschriebene Technik, um sie an ihre Plätze auf der Oberseite zu verschieben. Ergebnis: Die oberste Ebene wurde ausgewählt. Die ersten beiden Phasen bereiten fast niemandem Schwierigkeiten: Sie können Ihre Aktionen ganz einfach überwachen, da die ganze Aufmerksamkeit auf eine Ebene gerichtet ist und es überhaupt nicht wichtig ist, was in den verbleibenden beiden getan wird.

    Auswahl der obersten Ebene

  3. Unser Ziel: Den gewünschten Würfel finden und ihn zunächst auf die Vorderseite bringen. Wenn er unten ist - mit einer einfachen Wendung an der Unterkante, bis sie der Farbe der Fassade entspricht, und wenn sie sich in der Mittelschicht befindet, muss sie zunächst durch einen der Vorgänge a) oder b) abgesenkt und dann farblich an die Farbe der Fassade angepasst werden Kante und führen Sie den Vorgang der dritten Stufe a) oder b) durch. Ergebnis: Es werden zwei Schichten gesammelt. Die hier angegebenen Formeln sind im wahrsten Sinne des Wortes Spiegelformeln. Sie können dies deutlich sehen, wenn Sie einen Spiegel rechts oder links vom Würfel platzieren (Kante zeigt zu Ihnen) und eine der Formeln im Spiegel ausführen: Wir werden die zweite Formel sehen. Das heißt, Operationen mit der vorderen, unteren, oberen (hier nicht beteiligt) und hinteren (ebenfalls nicht beteiligt) Fläche ändern ihr Vorzeichen in das Gegenteil: Es war im Uhrzeigersinn, es wurde gegen den Uhrzeigersinn und umgekehrt. Und die linke Seite ändert sich von der rechten Seite und ändert dementsprechend die Drehrichtung in die entgegengesetzte Richtung.

    Wir finden den gewünschten Würfel und bringen ihn auf die Vorderseite

  4. Operationen, die die Seitenwürfel einer Fläche verschieben, ohne letztendlich die Ordnung in den zusammengesetzten Schichten zu stören, führen zum Ziel. Einer der Prozesse, mit denen Sie alle Seitenflächen auswählen können, ist in der Abbildung dargestellt. Es zeigt auch, was mit den anderen Würfeln des Gesichts passiert. Indem Sie den Vorgang wiederholen und eine andere Vorderseite wählen, können Sie alle vier Würfel an Ort und Stelle platzieren. Ergebnis: Die Rippenstücke sind vorhanden, aber zwei davon oder sogar alle vier sind möglicherweise falsch ausgerichtet. Wichtig: Bevor Sie mit der Ausführung dieser Formel beginnen, prüfen Sie, welche Würfel bereits vorhanden sind – sie sind möglicherweise falsch ausgerichtet. Wenn keine oder eine vorhanden ist, versuchen wir, die obere Fläche so zu drehen, dass die beiden auf zwei benachbarten Seitenflächen (fv+pv, pv+tv, tv+lv, lv+fv) liegenden Flächen an ihren Platz fallen, woraufhin wir uns orientieren Erstellen Sie einen Würfel wie folgt, wie in der Abbildung gezeigt, und führen Sie die in dieser Phase angegebene Formel aus. Wenn es nicht möglich ist, die zu benachbarten Flächen gehörenden Teile durch Drehen der oberen Fläche zu kombinieren, führen wir die Formel für jede beliebige Position der Würfel der oberen Fläche einmal durch und versuchen erneut, durch Drehen der oberen Fläche zwei lokalisierte Teile an ihren Platz zu bringen auf zwei benachbarten Seitenflächen.

    In dieser Phase ist es wichtig, die Ausrichtung der Würfel zu überprüfen

  5. Wir berücksichtigen, dass sich der aufgeklappte Würfel auf der rechten Seite befinden muss; in der Abbildung ist er mit Pfeilen markiert (PV-Würfel). Die Abbildungen a, b und c zeigen mögliche Fälle der Anordnung falsch ausgerichteter Würfel (markiert mit Punkten). Unter Verwendung der Formel im Fall a) führen wir eine Zwischendrehung B" durch, um den zweiten Würfel auf die rechte Seite zu bringen, und eine Enddrehung B, die die obere Fläche zurückbringt Ausgangsposition, im Fall b) eine Zwischendrehung B 2 und die Schlussdrehung ebenfalls B 2, und im Fall c) muss eine Zwischendrehung B dreimal durchgeführt werden, nachdem jeder Würfel umgedreht und auch mit einer Drehung B abgeschlossen wurde. Viele sind verwirrt die Tatsache, dass sich nach dem ersten Teil des Prozesses (PS N ) 4 der gewünschte Würfel so entfaltet, wie er sollte, die Reihenfolge in den zusammengesetzten Schichten jedoch gestört ist. Das ist verwirrend und führt dazu, dass manche den fast fertigen Würfel mittendrin aufgeben. Nachdem wir eine Zwischendrehung durchgeführt haben, ohne auf den „Bruch“ der unteren Schichten zu achten, führen wir die Operationen (PS N) 4 mit dem zweiten Würfel (dem zweiten Teil des Prozesses) durch, und alles passt zusammen. Ergebnis: Das Kreuz ist montiert.

    Das Ergebnis dieser Phase wird ein zusammengesetztes Kreuz sein

  6. Wir platzieren die Ecken der letzten Fläche mithilfe eines leicht zu merkenden 8-Schritte-Prozesses: Vorwärts, indem wir die drei Eckstücke im Uhrzeigersinn neu anordnen, und umgekehrt, indem wir die drei Würfel gegen den Uhrzeigersinn neu anordnen. Nach der fünften Stufe sitzt in der Regel mindestens ein Würfel an seinem Platz, allerdings in der falschen Richtung. (Wenn nach der fünften Stufe keiner der Eckwürfel an seinem Platz ist, dann wenden wir einen der beiden Prozesse für drei beliebige Würfel an, wonach genau ein Würfel an seinem Platz sein wird.) Ergebnis: Alle Eckwürfel sind vorhanden, aber zwei (oder vielleicht vier) davon sind möglicherweise falsch ausgerichtet.

    Eckwürfel sitzen an Ort und Stelle

  7. Wir wiederholen die Abfolge der Kurven PF"P"F viele Male. Wir drehen den Würfel so, dass sich der Würfel, den wir erweitern möchten, in der oberen rechten Ecke der Fassade befindet. Bei einem Vorgang mit 8 Umdrehungen (2 x 4 Umdrehungen) wird es um eine 1/3 Umdrehung im Uhrzeigersinn gedreht. Wenn sich der Würfel noch nicht ausgerichtet hat, wiederholen wir den 8-Züge-Zug noch einmal (in der Formel wird dies durch den Index „N“ widergespiegelt). Wir achten nicht darauf, dass die unteren Schichten ungeordnet werden. Die Abbildung zeigt vier Fälle falsch ausgerichteter Würfel (sie sind mit Punkten markiert). Im Fall a) sind eine Zwischendrehung B und eine Enddrehung B erforderlich, im Fall b) eine Zwischen- und Enddrehung B 2, im Fall c) wird die Drehung B nach dem Drehen jedes Würfels in die richtige Ausrichtung und die Enddrehung durchgeführt Drehung B 2, im Fall d) – Zwischendrehung B wird ebenfalls durchgeführt, nachdem jeder Würfel in die richtige Ausrichtung gedreht wurde, und die letzte Drehung ist in diesem Fall ebenfalls Drehung B. Ergebnis: Die letzte Seite ist montiert.

    Mögliche Fehler werden durch Punkte angezeigt

Formeln zur Korrektur der Platzierung von Würfeln können wie folgt angezeigt werden.

Formeln zur Korrektur falsch ausgerichteter Würfel im letzten Schritt

Die Essenz der Jessica-Friedrich-Methode

Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Puzzle zusammenzusetzen, aber eine der denkwürdigsten ist die von Jessica Friedrich, Professorin an der University of Binghamton (New York), die Techniken zum Verbergen von Daten in digitalen Bildern entwickelt. Schon als Teenager interessierte sich Jessica so sehr für den Würfel, dass sie 1982 Weltmeisterin im Speedcubing wurde und ihr Hobby, nämlich die Entwicklung von Formeln für den schnellen Zusammenbau eines „Zauberwürfels“, nicht aufgab. Eine der beliebtesten Möglichkeiten, einen Würfel zu falten, heißt CFOP – nach den Anfangsbuchstaben der vier Montageschritte.

Anweisungen:

  1. Auf der Oberseite montieren wir ein Kreuz, das an den Kanten der Unterseite aus Würfeln besteht. Diese Etappe wird Kreuz genannt.
  2. Wir montieren die untere und mittlere Schicht, also die Fläche, auf der sich das Kreuz befindet, und die Zwischenschicht, bestehend aus vier Seitenteilen. Der Name dieses Schritts ist F2L (Erste zwei Schichten).
  3. Wir montieren die verbleibende Kante und achten dabei nicht darauf, dass nicht alle Teile vorhanden sind. Die Stufe heißt OLL (Orient the last Layer), was übersetzt „Ausrichtung der letzten Schicht“ bedeutet.
  4. Die letzte Ebene – PLL (Permute the last Layer) – besteht aus der korrekten Platzierung der Würfel der obersten Ebene.

Videoanleitung zur Friedrich-Methode

Die von Jessica Friedrich vorgeschlagene Methode gefiel den Speedcubers so gut, dass die fortgeschrittensten Amateure ihre eigenen Methoden entwickeln, um den Zusammenbau der einzelnen vom Autor vorgeschlagenen Stufen zu beschleunigen.

Video: Beschleunigung der Montage des Kreuzes

Video: Zusammenbau der ersten beiden Schichten

Video: Arbeiten mit der letzten Ebene

Video: Letzte Montageebene von Friedrich

2 x 2

Der 2 x 2 Zauberwürfel oder Mini-Zauberwürfel wird ebenfalls in Schichten gefaltet, beginnend mit der unteren Ebene.

Mini Cube ist eine leichte Version des klassischen Puzzles

Anleitung für Anfänger zur einfachen Montage

  1. Wir bauen die untere Schicht so zusammen, dass die Farben der letzten vier Würfel übereinstimmen und die restlichen zwei Farben mit den Farben der angrenzenden Teile übereinstimmen.
  2. Beginnen wir mit der Organisation der obersten Ebene. Bitte beachten Sie, dass das Ziel in dieser Phase nicht darin besteht, die Farben aufeinander abzustimmen, sondern die Würfel an ihren Platz zu bringen. Wir beginnen damit, die Farbe der Oberseite zu bestimmen. Hier ist alles einfach: Dies wird die Farbe sein, die nicht enthalten ist unterste Schicht. Drehen Sie einen der oberen Würfel so, dass er die Position erreicht, an der sich die drei Farben des Elements schneiden. Nachdem wir den Winkel festgelegt haben, ordnen wir die restlichen Elemente an. Dazu verwenden wir zwei Formeln: eine für sich verändernde Diagonalwürfel, die andere für benachbarte.
  3. Wir vervollständigen die oberste Schicht. Wir führen alle Operationen paarweise durch: Wir drehen eine Ecke und dann die andere, aber in die entgegengesetzte Richtung (z. B. die erste im Uhrzeigersinn, die zweite gegen den Uhrzeigersinn). Sie können mit drei Winkeln gleichzeitig arbeiten, in diesem Fall gibt es jedoch nur eine Kombination: entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn. Drehen Sie zwischen den Drehungen der Ecken die Oberkante so, dass sich die zu bearbeitende Ecke in der oberen rechten Ecke befindet. Wenn wir mit drei Ecken arbeiten, platzieren Sie die korrekt ausgerichtete Ecke hinten links.

Formeln für Drehwinkel:

  • (VFPV · P"V"F")² (5);
  • V²F·V²F"·V"F·V"F"(6);
  • VVF² · LFL² · VLV² (7).

So drehen Sie drei Ecken gleichzeitig:

  • (FVPV"P"F"V")² (8);
  • FV·F"V·FV²·F"V² (9);
  • V²L"V"L²F"L"F²V"F" (10).

Fotogalerie: 2 x 2 Würfelbaugruppe

Video: Friedrich-Methode für 2 x 2 Würfel

Sammeln Sie die schwierigsten Versionen des Würfels

Dazu gehören Spielzeuge mit einer Teileanzahl von 4 x 4 bis 17 x 17.

Würfelmodelle mit vielen Elementen haben normalerweise abgerundete Ecken, um die Handhabung des Spielzeugs zu erleichtern

Das ist interessant. IN momentan Die 19 x 19-Version ist in Entwicklung.

Es sollte daran erinnert werden, dass sie auf der Grundlage eines 3 x 3-Würfels erstellt wurden, daher ist die Baugruppe in zwei Richtungen aufgebaut.

  1. Wir bauen die Mitte so zusammen, dass die Elemente des 3 x 3 Würfels übrig bleiben.
  2. Wir arbeiten nach den Diagrammen zum Zusammenbau der ersten Version des Spielzeugs (am häufigsten verwenden Cuber die Methode von Jessica Friedrich).

4 x 4

Diese Version heißt „Rubik's Revenge“.

Anweisungen:

Der Zusammenbau der Modelle 5 x 5, 6 x 6 und 7 x 7 ähnelt dem vorherigen, nur dass wir eine größere Anzahl von Würfeln als Basis für die Mitte nehmen.

Video: Lösen eines Zauberwürfels 5 x 5

Ich arbeite an der Lösung eines 6 x 6-Rätsels

Dieser Würfel ist ziemlich unpraktisch zu verwenden: große Menge benötigt Kleinteile besondere Aufmerksamkeit. Daher unterteilen wir die Videoanleitung in vier Teile: für jede Montagephase.

Video: Wie man die Mitte eines 6 x 6 Würfels zusammensetzt, Teil 1

Video: Paarung von Kantenelementen in einem 6 x 6 Würfel, Teil 2

Video: Paarung von vier Elementen in einem 6 x 6-Puzzle, Teil 3

Video: Endgültige Lösung des Zauberwürfels 6 x 6, Teil 4

Video: Zusammensetzen eines 7 x 7-Puzzles

So lösen Sie das Pyramidenrätsel

Dieses Rätsel wird fälschlicherweise als eine Art Zauberwürfel angesehen. Tatsächlich erschien Mefferts Spielzeug, das auch „japanisches Tetraeder“ oder „moldauische Pyramide“ genannt wird, mehrere Jahre früher als die Anschauungshilfe des Lehrer-Architekten.

Mefferts Pyramide wird fälschlicherweise als Zauberpuzzle bezeichnet

Um mit diesem Puzzle arbeiten zu können, ist es wichtig, seine Struktur zu kennen, da der Funktionsmechanismus eine Rolle spielt Schlüsselrolle zur Montage. Das japanische Tetraeder besteht aus:

  • vier Achsenelemente;
  • sechs Rippen;
  • vier Ecken.

Jeder Achsenteil hat kleine Dreiecke, die drei benachbarten Flächen zugewandt sind. Das heißt, jedes Element kann gedreht werden, ohne dass die Gefahr besteht, dass es aus der Struktur fällt.

Das ist interessant. Für die Anordnung der Pyramidenelemente gibt es 75.582.720 Möglichkeiten. Im Gegensatz zum Zauberwürfel ist das keine so große Sache. Die klassische Version des Puzzles hat 43.252.003.489.856.000 Möglichkeiten Konfigurationen.

Anleitung und Diagramm

Video: eine einfache Methode zum Zusammenbau einer kompletten Pyramide

Methode für Kinder

Die Verwendung von Formeln und Methoden zur Beschleunigung des Zusammenbaus wird für Kinder, die gerade erst mit dem Puzzle beginnen, zu schwierig sein. Daher besteht die Aufgabe von Erwachsenen darin, die Erklärung so weit wie möglich zu vereinfachen.

Der Zauberwürfel ist nicht nur eine Gelegenheit, Ihr Kind mit nützlichen und nützlichen Dingen zu beschäftigen interessante Aktivität, sondern auch eine Möglichkeit, Geduld und Ausdauer zu entwickeln

Das ist interessant. Es ist besser, mit dem 3 x 3-Modell zu beginnen, Kinder zu unterrichten.

Anleitung (3 x 3 Würfel):

  1. Wir entscheiden uns für die Farbe der Oberkante und nehmen das Spielzeug so, dass der zentrale Würfel der gewünschten Farbe oben liegt.
  2. Wir montieren das obere Kreuz, aber die zweite Farbe der mittleren Schicht war dieselbe wie die Farbe der Seitenkanten.
  3. Wir legen die Ecken der Oberkante fest. Kommen wir zur zweiten Ebene.
  4. Wir bauen die letzte Schicht zusammen, stellen aber zunächst die Reihenfolge der ersten wieder her. Dann legen wir die Ecken so fest, dass sie mit den zentralen Details der Kanten übereinstimmen.
  5. Wir überprüfen die Lage der mittleren Teile der letzten Fläche und ändern bei Bedarf ihre Lage.

Das Lösen eines Zauberwürfels in einer seiner Variationen ist ein großartiges Training für den Geist, eine Möglichkeit, Stress abzubauen und sich abzulenken. Sogar ein Kind kann mit altersgerechten Erklärungen lernen, ein Rätsel zu lösen. Nach und nach beherrschen Sie komplexere Montagemethoden, verbessern Ihre eigenen Zeitindikatoren und schon sind Sie nicht mehr weit von Speedcubing-Wettbewerben entfernt. Die Hauptsache ist Beharrlichkeit und Geduld.

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Anweisungen

Substitutionsmethode: Drücken Sie eine Variable aus und ersetzen Sie sie in eine andere Gleichung. Sie können jede Variable nach Ihrem Ermessen ausdrücken. Drücken Sie beispielsweise y aus der zweiten Gleichung aus:
x-y=2 => y=x-2Dann setze alles in die erste Gleichung ein:
2x+(x-2)=10 Verschieben Sie alles ohne das „x“ auf die rechte Seite und berechnen Sie:
2x+x=10+2
3x=12 Als nächstes teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 3, um x zu erhalten:
x=4. Sie haben also „x. Finden Sie „y. Setzen Sie dazu „x“ in die Gleichung ein, aus der Sie „y“ ausgedrückt haben:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Führen Sie eine Überprüfung durch. Setzen Sie dazu die resultierenden Werte in die Gleichungen ein:
2*4+2=10
4-2=2
Die Unbekannten wurden korrekt gefunden!

Eine Möglichkeit, Gleichungen zu addieren oder zu subtrahieren. Entfernen Sie alle Variablen sofort. In unserem Fall geht das einfacher mit „y“.
Da in „y“ ein „+“-Zeichen und im zweiten ein „-“ steht, können Sie die Additionsoperation durchführen, d.h. Falten Sie die linke Seite mit der linken und die rechte mit der rechten Seite:
2x+y+(x-y)=10+2Umrechnen:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Setzen Sie „x“ in eine beliebige Gleichung ein und finden Sie „y“:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Mit der 1. Methode können Sie sehen, dass sie korrekt gefunden wurden.

Liegen keine klar definierten Variablen vor, ist eine geringfügige Umformung der Gleichungen erforderlich.
In der ersten Gleichung haben wir „2x“ und in der zweiten einfach „x“. Damit x bei der Addition reduziert wird, multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit 2:
x-y=2
2x-2y=4Dann subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Beachten Sie, dass wenn vor der Klammer ein Minus steht, dieses nach dem Öffnen in das Gegenteil geändert wird:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
Finden Sie y=2x, indem Sie es aus einer beliebigen Gleichung ausdrücken, d. h.
x=4

Video zum Thema

Tipp 2: So lösen Sie eine lineare Gleichung in zwei Variablen

Die gleichung, geschrieben in der allgemeinen Form ax+bó+c=0, heißt eine lineare Gleichung mit zwei Variablen. Eine solche Gleichung selbst enthält unendlich viele Lösungen, daher wird sie bei Problemen immer durch etwas ergänzt – eine andere Gleichung oder Randbedingungen. Lösen Sie abhängig von den Bedingungen des Problems eine lineare Gleichung mit zwei Variablen sollen verschiedene Wege.

Du wirst brauchen

  • - lineare Gleichung mit zwei Variablen;
  • - zweite Gleichung oder zusätzliche Bedingungen.

Anweisungen

Wenn ein System von zwei gegeben ist lineare Gleichungen, löse es wie folgt. Wählen Sie eine der Gleichungen aus, in der die Koeffizienten enthalten sind Variablen kleiner und drücken Sie eine der Variablen aus, zum Beispiel x. Setzen Sie dann diesen Wert, der y enthält, in die zweite Gleichung ein. In der resultierenden Gleichung gibt es nur eine Variable y. Verschieben Sie alle Teile mit y nach links und die freien Teile nach rechts. Finden Sie y und setzen Sie es in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um x zu finden.

Es gibt eine andere Möglichkeit, ein System aus zwei Gleichungen zu lösen. Multiplizieren Sie eine der Gleichungen mit einer Zahl, sodass der Koeffizient einer der Variablen, beispielsweise x, in beiden Gleichungen gleich ist. Subtrahieren Sie dann eine der Gleichungen von der anderen (wenn die rechte Seite nicht 0 ist, denken Sie daran, die rechten Seiten auf die gleiche Weise zu subtrahieren). Sie werden sehen, dass die x-Variable verschwunden ist und nur noch eine y-Variable übrig ist. Lösen Sie die resultierende Gleichung und setzen Sie den gefundenen Wert von y in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Finden Sie x.

Die dritte Möglichkeit, ein System aus zwei linearen Gleichungen zu lösen, ist grafisch. Zeichnen Sie ein Koordinatensystem und stellen Sie zwei Linien grafisch dar, deren Gleichungen in Ihrem System angegeben sind. Setzen Sie dazu zwei beliebige x-Werte in die Gleichung ein und ermitteln Sie das entsprechende y – dies sind die Koordinaten der zur Geraden gehörenden Punkte. Der bequemste Weg, den Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen zu finden, besteht darin, einfach die Werte x=0 und y=0 zu ersetzen. Die Koordinaten des Schnittpunkts dieser beiden Linien werden die Aufgaben sein.

Wenn es in den Problembedingungen nur eine lineare Gleichung gibt, dann wurden Ihnen zusätzliche Bedingungen gegeben, durch die Sie eine Lösung finden können. Lesen Sie das Problem sorgfältig durch, um diese Bedingungen zu finden. Wenn Variablen x und y geben Distanz, Geschwindigkeit, Gewicht an – Sie können den Grenzwert gerne x≥0 und y≥0 festlegen. Es ist durchaus möglich, dass x oder y die Anzahl der Äpfel usw. verbirgt. – dann können die Werte nur sein. Wenn x das Alter des Sohnes ist, ist es klar, dass er nicht älter als sein Vater sein kann, also geben Sie dies in den Bedingungen der Aufgabe an.

Quellen:

  • wie man eine Gleichung mit einer Variablen löst

Von selbst Die gleichung mit drei Unbekannt hat viele Lösungen, daher wird es meistens durch zwei weitere Gleichungen oder Bedingungen ergänzt. Abhängig von den Ausgangsdaten wird der weitere Verlauf der Entscheidung maßgeblich abhängen.

Du wirst brauchen

  • - ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Anweisungen

Wenn zwei der drei Systeme nur zwei der drei Unbekannten haben, versuchen Sie, einige Variablen durch die anderen auszudrücken und sie durch diese zu ersetzen Die gleichung mit drei Unbekannt. Ihr Ziel ist es in diesem Fall, es wieder in den Normalzustand zu versetzen Die gleichung mit einer unbekannten Person. Wenn dies der Fall ist, ist die weitere Lösung ganz einfach: Setzen Sie den gefundenen Wert in andere Gleichungen ein und finden Sie alle anderen Unbekannten.

Einige Gleichungssysteme können von einer Gleichung durch eine andere subtrahiert werden. Prüfen Sie, ob es möglich ist, eine Variable oder eine Variable so zu multiplizieren, dass zwei Unbekannte gleichzeitig gelöscht werden. Wenn es eine solche Gelegenheit gibt, nutzen Sie sie höchstwahrscheinlich; die spätere Lösung wird nicht schwierig sein. Denken Sie daran, dass Sie beim Multiplizieren mit einer Zahl sowohl die linke als auch die rechte Seite multiplizieren müssen. Ebenso müssen Sie beim Subtrahieren von Gleichungen bedenken, dass auch die rechte Seite subtrahiert werden muss.

Wenn die vorherigen Methoden nicht geholfen haben, verwenden Sie im Allgemeinen Lösungen für beliebige Gleichungen mit drei Unbekannt. Schreiben Sie dazu die Gleichungen in der Form a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 um. Erstellen Sie nun eine Matrix aus Koeffizienten für x (A), eine Matrix aus Unbekannten (X) und eine Matrix aus freien Einsen (B). Bitte beachten Sie, dass Sie durch Multiplikation der Koeffizientenmatrix mit der Unbekanntenmatrix eine Matrix freier Terme erhalten, d. h. A*X=B.

Finden Sie die Matrix A hoch (-1), indem Sie zunächst finden. Beachten Sie, dass dies nicht der Fall sein sollte gleich Null. Anschließend multiplizieren Sie die resultierende Matrix mit der Matrix B. Als Ergebnis erhalten Sie die gewünschte Matrix X mit Angabe aller Werte.

Mit der Cramer-Methode können Sie auch eine Lösung für ein System aus drei Gleichungen finden. Finden Sie dazu die Determinante ∆ dritter Ordnung, die der Systemmatrix entspricht. Finden Sie dann nacheinander drei weitere Determinanten ∆1, ∆2 und ∆3 und ersetzen Sie die Werte der freien Terme anstelle der Werte der entsprechenden Spalten. Finden Sie nun x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Quellen:

  • Lösungen für Gleichungen mit drei Unbekannten

Ein Gleichungssystem zu lösen ist herausfordernd und spannend. Je komplexer das System, desto interessanter ist seine Lösung. Am häufigsten in Mathematik weiterführende Schule Es gibt Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten, aber in höhere Mathematik Möglicherweise gibt es weitere Variablen. Systeme können mit mehreren Methoden gelöst werden.

Anweisungen

Die gebräuchlichste Methode zur Lösung eines Gleichungssystems ist die Substitution. Dazu müssen Sie eine Variable durch eine andere ausdrücken und sie durch die zweite ersetzen Die gleichung Systeme, also führend Die gleichung auf eine Variable. Zum Beispiel anhand der folgenden Gleichungen: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Ausgehend vom zweiten Ausdruck ist es praktisch, eine der Variablen auszudrücken, alles andere auf die rechte Seite des Ausdrucks zu verschieben und nicht zu vergessen, das Vorzeichen des Koeffizienten zu ändern: x = 3-y.

Öffnen Sie die Klammern: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Wir setzen den resultierenden Wert y in den Ausdruck ein: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Im ersten Ausdruck sind alle Terme 2, Sie können 2 aus der Klammer zur Verteilungseigenschaft der Multiplikation nehmen: 2*(2x-y-3)=0. Nun können beide Teile des Ausdrucks um diese Zahl reduziert und dann als y ausgedrückt werden, da der Modulkoeffizient dafür gleich eins ist: -y = 3-2x oder y = 2x-3.

Genau wie im ersten Fall ersetzen wir diesen Ausdruck im zweiten Die gleichung und wir erhalten: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Setzen Sie den resultierenden Wert in den Ausdruck ein: y=2x -3;y=4-3=1.

Wir sehen, dass der Koeffizient für y den gleichen Wert, aber ein unterschiedliches Vorzeichen hat. Wenn wir also diese Gleichungen hinzufügen, werden wir y vollständig los: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2. Setzen Sie den Wert von x in eine der beiden Gleichungen des Systems ein und erhalten Sie y=1.

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Biquadratisch Die gleichung repräsentiert Die gleichung vierten Grades, dessen allgemeine Form durch den Ausdruck ax^4 + bx^2 + c = 0 dargestellt wird. Seine Lösung basiert auf der Verwendung der Methode der Substitution von Unbekannten. IN in diesem Fall x^2 wird durch eine andere Variable ersetzt. Das Ergebnis ist also ein gewöhnliches Quadrat Die gleichung, das gelöst werden muss.

Anweisungen

Lösen Sie die quadratische Gleichung Die gleichung, resultierend aus der Ersetzung. Berechnen Sie dazu zunächst den Wert nach der Formel: D = b^2? 4ac. In diesem Fall sind die Variablen a, b, c die Koeffizienten unserer Gleichung.

Finden Sie die Wurzeln der biquadratischen Gleichung. Ziehen Sie dazu die Quadratwurzel aus den erhaltenen Lösungen. Wenn es eine Lösung gab, dann wird es zwei geben – positiv und negative Bedeutung Quadratwurzel. Gäbe es zwei Lösungen, hätte die biquadratische Gleichung vier Wurzeln.

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Einer von klassische Methoden Das Lösen linearer Gleichungssysteme ist die Gauß-Methode. Es besteht in der sequentiellen Eliminierung von Variablen, wenn ein Gleichungssystem mithilfe einfacher Transformationen in ein schrittweises System umgewandelt wird, aus dem alle Variablen nacheinander gefunden werden, beginnend mit den letzten.

Anweisungen

Bringen Sie zunächst das Gleichungssystem in eine Form, in der alle Unbekannten in einer genau definierten Reihenfolge vorliegen. Beispielsweise erscheinen alle unbekannten X-Zeichen zuerst in jeder Zeile, alle Y-Zeichen folgen nach den X-Zeichen, alle Z-Zeichen folgen nach den Y-Zeichen und so weiter. Auf der rechten Seite jeder Gleichung sollten keine Unbekannten vorhanden sein. Bestimmen Sie im Geiste die Koeffizienten vor jeder Unbekannten sowie die Koeffizienten auf der rechten Seite jeder Gleichung.

Gleichungen und Ungleichungen mit Modul lösen bereitet oft Schwierigkeiten. Wenn Sie jedoch gut verstehen, was es ist der absolute Wert einer Zahl, Und wie man Ausdrücke, die ein Modulzeichen enthalten, korrekt erweitert, dann die Präsenz in der Gleichung Ausdruck unter dem Modulzeichen, stellt kein Hindernis mehr für seine Lösung dar.

Eine kleine Theorie. Jede Zahl hat zwei Eigenschaften: Absolutwert Zahl und ihr Vorzeichen.

Beispielsweise hat die Zahl +5, oder einfach 5, ein „+“-Zeichen und einen absoluten Wert von 5.

Die Zahl -5 hat ein „-“-Zeichen und einen absoluten Wert von 5.

Die absoluten Werte der Zahlen 5 und -5 sind 5.

Der Absolutwert einer Zahl x wird Modul der Zahl genannt und mit |x| bezeichnet.

Wie wir sehen, ist der Modul einer Zahl gleich der Zahl selbst, wenn diese Zahl größer oder gleich Null ist, und dieser Zahl mit dem umgekehrten Vorzeichen, wenn diese Zahl negativ ist.

Das Gleiche gilt für alle Ausdrücke, die unter dem Modulzeichen stehen.

Die Modulerweiterungsregel sieht folgendermaßen aus:

|f(x)|= f(x) wenn f(x) ≥ 0, und

|f(x)|= - f(x), wenn f(x)< 0

Zum Beispiel |x-3|=x-3, wenn x-3≥0 und |x-3|=-(x-3)=3-x, wenn x-3<0.

Um eine Gleichung zu lösen, die einen Ausdruck unter dem Modulzeichen enthält, müssen Sie zuerst Erweitern Sie ein Modul gemäß der Modulerweiterungsregel.

Dann wird unsere Gleichung oder Ungleichung in zwei verschiedene Gleichungen, die auf zwei verschiedenen numerischen Intervallen existieren.

Eine Gleichung existiert in einem numerischen Intervall, in dem der Ausdruck unter dem Modulzeichen nicht negativ ist.

Und die zweite Gleichung existiert in dem Intervall, in dem der Ausdruck unter dem Modulzeichen negativ ist.

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an.

Lösen wir die Gleichung:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Öffnen wir das Modul.

|x-3|=x-3, wenn x-3≥0, d.h. wenn x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x wenn x-3<0, т.е. если х<3

2. Wir haben zwei numerische Intervalle erhalten: x≥3 und x<3.

Betrachten wir, in welche Gleichungen die ursprüngliche Gleichung in jedem Intervall umgewandelt wird:

A) Für x≥3 |x-3|=x-3 und unsere Verwundung hat die Form:

Aufmerksamkeit! Diese Gleichung existiert nur auf dem Intervall x≥3!

Öffnen wir die Klammern und präsentieren wir ähnliche Begriffe:

und löse diese Gleichung.

Diese Gleichung hat Wurzeln:

x 1 =0, x 2 =3

Aufmerksamkeit! Da die Gleichung x-3=-x 2 +4x-3 nur auf dem Intervall x≥3 existiert, interessieren uns nur die Wurzeln, die zu diesem Intervall gehören. Diese Bedingung wird nur von x 2 =3 erfüllt.

B) Bei x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Aufmerksamkeit! Diese Gleichung existiert nur auf dem Intervall x<3!

Öffnen wir die Klammern und präsentieren wir ähnliche Begriffe. Wir erhalten die Gleichung:

x 1 =2, x 2 =3

Aufmerksamkeit! da die Gleichung 3-x=-x 2 +4x-3 nur auf dem Intervall x existiert<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Also: Aus dem ersten Intervall nehmen wir nur die Wurzel x=3, aus dem zweiten - die Wurzel x=2.

Anwendung

Online-Lösung aller Arten von Gleichungen auf der Website für Schüler und Schüler zur Festigung des gelernten Materials. Online-Lösung von Gleichungen. Gleichungen online. Es gibt algebraische, parametrische, transzendente, funktionale, Differentialgleichungen und andere Arten von Gleichungen. Einige Gleichungsklassen verfügen über analytische Lösungen, die praktisch sind, da sie nicht nur den genauen Wert der Wurzel angeben, sondern es Ihnen auch ermöglichen, die Lösung in die Gleichung einzutragen Form einer Formel, die Parameter enthalten kann. Analytische Ausdrücke ermöglichen nicht nur die Berechnung der Wurzeln, sondern auch die Analyse ihrer Existenz und ihrer Menge in Abhängigkeit von den Parameterwerten, was für die praktische Anwendung oft sogar wichtiger ist als die spezifischen Werte der Wurzeln. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Beim Lösen einer Gleichung besteht die Aufgabe darin, solche Werte der Argumente zu finden, bei denen diese Gleichheit erreicht wird. Den möglichen Werten der Argumente können zusätzliche Bedingungen (ganzzahlig, reell usw.) auferlegt werden. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Sie können die Gleichung sofort online und mit hoher Genauigkeit des Ergebnisses lösen. Die Argumente für bestimmte Funktionen (manchmal auch „Variablen“ genannt) werden im Fall einer Gleichung als „Unbekannte“ bezeichnet. Die Werte der Unbekannten, bei denen diese Gleichheit erreicht wird, werden Lösungen oder Wurzeln dieser Gleichung genannt. Man sagt, dass die Wurzeln diese Gleichung erfüllen. Eine Gleichung online zu lösen bedeutet, die Menge aller ihrer Lösungen (Wurzeln) zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Gleichungen, deren Wurzelsätze übereinstimmen, werden als äquivalent oder gleich bezeichnet. Gleichungen, die keine Wurzeln haben, gelten ebenfalls als äquivalent. Die Äquivalenz von Gleichungen hat die Eigenschaft der Symmetrie: Wenn eine Gleichung einer anderen äquivalent ist, dann ist die zweite Gleichung äquivalent zur ersten. Die Äquivalenz von Gleichungen hat die Eigenschaft der Transitivität: Wenn eine Gleichung einer anderen entspricht und die zweite einer dritten entspricht, dann ist die erste Gleichung äquivalent zur dritten. Die Äquivalenzeigenschaft von Gleichungen ermöglicht es uns, mit ihnen Transformationen durchzuführen, auf denen Methoden zu ihrer Lösung basieren. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Auf der Website können Sie die Gleichung online lösen. Zu den Gleichungen, für die analytische Lösungen bekannt sind, gehören algebraische Gleichungen nicht höher als vierten Grades: lineare Gleichung, quadratische Gleichung, kubische Gleichung und Gleichung vierten Grades. Algebraische Gleichungen höheren Grades haben im allgemeinen Fall keine analytische Lösung, obwohl einige von ihnen auf Gleichungen niedrigeren Grades reduziert werden können. Gleichungen, die transzendente Funktionen beinhalten, werden transzendental genannt. Darunter sind für einige trigonometrische Gleichungen analytische Lösungen bekannt, da die Nullstellen trigonometrischer Funktionen bekannt sind. Im allgemeinen Fall, wenn keine analytische Lösung gefunden werden kann, werden numerische Methoden verwendet. Numerische Methoden liefern keine exakte Lösung, sondern ermöglichen nur die Eingrenzung des Intervalls, in dem die Wurzel liegt, auf einen bestimmten vorgegebenen Wert. Gleichungen online lösen. Gleichungen online. Anstelle einer Gleichung online stellen wir uns vor, wie derselbe Ausdruck eine lineare Beziehung bildet, nicht nur entlang einer geraden Tangente, sondern auch genau am Wendepunkt des Diagramms. Diese Methode ist für das Studium des Themas jederzeit unverzichtbar. Es kommt häufig vor, dass sich das Lösen von Gleichungen dem Endwert nähert, indem man unendliche Zahlen verwendet und Vektoren schreibt. Es ist notwendig, die Ausgangsdaten zu überprüfen, und das ist der Kern der Aufgabe. Andernfalls wird die lokale Bedingung in eine Formel umgewandelt. Bei der Umkehrung einer Geraden aus einer gegebenen Funktion, die der Gleichungsrechner ohne große Verzögerung bei der Ausführung berechnet, dient der Offset als Raumprivileg. Wir werden über den Erfolg der Studierenden im wissenschaftlichen Umfeld sprechen. Wie alle oben genannten Punkte hilft es uns jedoch beim Finden. Wenn Sie die Gleichung vollständig gelöst haben, speichern Sie die resultierende Antwort an den Enden des geraden Liniensegments. Linien im Raum schneiden sich in einem Punkt und dieser Punkt wird als Schnittpunkt der Linien bezeichnet. Das Intervall auf der Linie wird wie zuvor angegeben angezeigt. Die höchste Stelle für das Studium der Mathematik wird ausgeschrieben. Durch Zuweisen eines Argumentwerts aus einer parametrisch spezifizierten Oberfläche und Online-Lösen der Gleichung können die Prinzipien des produktiven Zugriffs auf eine Funktion skizziert werden. Der Möbius-Streifen oder die Unendlichkeit, wie er genannt wird, sieht aus wie eine Acht. Dies ist eine einseitige Oberfläche, nicht zweiseitig. Nach dem allgemein bekannten Prinzip werden wir lineare Gleichungen objektiv als Grundbezeichnung akzeptieren, wie sie in der Forschung üblich sind. Nur zwei Werte nacheinander gegebener Argumente können die Richtung des Vektors offenbaren. Wenn man davon ausgeht, dass eine andere Lösung für Online-Gleichungen viel mehr ist als nur das Lösen, bedeutet das, dass man als Ergebnis eine vollständige Version der Invariante erhält. Ohne einen integrierten Ansatz ist es für Studierende schwierig, dieses Material zu erlernen. Wie bisher hilft für jeden Spezialfall unser komfortabler und smarter Online-Gleichungsrechner in schwierigen Zeiten jedem weiter, denn Sie müssen nur die Eingabeparameter angeben und das System berechnet die Antwort selbst. Bevor wir mit der Dateneingabe beginnen, benötigen wir ein Eingabetool, was ohne große Schwierigkeiten möglich ist. Die Anzahl der Schätzungen jeder Antwort führt zu einer quadratischen Gleichung zu unseren Schlussfolgerungen, aber das ist nicht so einfach, weil es einfach ist, das Gegenteil zu beweisen. Die Theorie wird aufgrund ihrer Eigenschaften nicht durch praktisches Wissen gestützt. Einen Bruchrechner in der Phase der Veröffentlichung der Antwort zu sehen, ist in der Mathematik keine leichte Aufgabe, da die Alternative, eine Zahl auf eine Menge zu schreiben, dazu beiträgt, das Wachstum der Funktion zu steigern. Es wäre jedoch falsch, nicht über die Ausbildung der Studierenden zu sprechen, daher wird jeder von uns so viel sagen, wie getan werden muss. Die zuvor gefundene kubische Gleichung gehört zu Recht zum Definitionsbereich und enthält den Raum numerischer Werte sowie symbolischer Variablen. Wenn unsere Schüler den Satz gelernt oder auswendig gelernt haben, werden sie sich von ihrer besten Seite zeigen und wir werden uns für sie freuen. Im Gegensatz zu mehreren Feldschnittpunkten werden unsere Online-Gleichungen durch eine Bewegungsebene durch Multiplikation von zwei und drei numerischen kombinierten Linien beschrieben. Eine Menge ist in der Mathematik nicht eindeutig definiert. Die beste Lösung ist laut Studierenden eine vollständige Aufzeichnung des Ausdrucks. Wie in der wissenschaftlichen Sprache gesagt wurde, kommt es nicht auf die Abstraktion symbolischer Ausdrücke an, sondern die Lösung von Gleichungen liefert in allen bekannten Fällen ein eindeutiges Ergebnis. Die Dauer des Lehrerunterrichts hängt von den Bedürfnissen dieses Vorschlags ab. Die Analyse zeigte die Notwendigkeit aller Rechentechniken in vielen Bereichen und es ist absolut klar, dass ein Gleichungsrechner in den begabten Händen eines Studenten ein unverzichtbares Werkzeug ist. Eine loyale Herangehensweise an das Studium der Mathematik bestimmt die Bedeutung von Ansichten aus verschiedenen Richtungen. Sie möchten einen der Schlüsselsätze identifizieren und die Gleichung so lösen, dass abhängig von der Antwort ein weiterer Anwendungsbedarf besteht. Die Analytik in diesem Bereich gewinnt zunehmend an Bedeutung. Beginnen wir von vorne und leiten wir die Formel ab. Nach dem Durchbrechen des Anstiegsniveaus der Funktion wird die Linie entlang der Tangente am Wendepunkt sicherlich dazu führen, dass die Online-Lösung der Gleichung einer der Hauptaspekte bei der Konstruktion desselben Diagramms aus dem Argument der Funktion sein wird. Ein Amateuransatz hat das Recht, angewendet zu werden, wenn diese Bedingung den Schlussfolgerungen der Studierenden nicht widerspricht. Es ist die Teilaufgabe, die die Analyse mathematischer Verhältnisse als lineare Gleichungen im bestehenden Definitionsbereich des Gegenstandes in den Hintergrund rückt. Durch die Verrechnung in Richtung der Orthogonalität wird der Vorteil eines einzelnen Absolutwerts zunichte gemacht. Die Modulo-Lösung von Gleichungen online ergibt die gleiche Anzahl an Lösungen, wenn Sie die Klammern zuerst mit einem Pluszeichen und dann mit einem Minuszeichen öffnen. In diesem Fall gibt es doppelt so viele Lösungen und das Ergebnis ist genauer. Ein stabiler und korrekter Online-Gleichungsrechner ist der Erfolg beim Erreichen des angestrebten Ziels in der vom Lehrer gestellten Aufgabe. Aufgrund der erheblichen Unterschiede in den Ansichten großer Wissenschaftler scheint es möglich, die richtige Methode zu wählen. Die resultierende quadratische Gleichung beschreibt die Kurve der Linien, die sogenannte Parabel, und das Vorzeichen bestimmt ihre Konvexität im quadratischen Koordinatensystem. Aus der Gleichung erhalten wir nach dem Satz von Vieta sowohl die Diskriminante als auch die Wurzeln selbst. Der erste Schritt besteht darin, den Ausdruck als echten oder unechten Bruch darzustellen und einen Bruchrechner zu verwenden. Abhängig davon wird der Plan für unsere weiteren Berechnungen erstellt. Mathematik mit einem theoretischen Ansatz wird in jeder Phase nützlich sein. Wir werden das Ergebnis auf jeden Fall als kubische Gleichung darstellen, da wir seine Wurzeln in diesem Ausdruck verbergen, um die Aufgabe für einen Studenten an einer Universität zu vereinfachen. Alle Methoden sind gut, wenn sie für eine oberflächliche Analyse geeignet sind. Zusätzliche Rechenoperationen führen nicht zu Rechenfehlern. Bestimmt die Antwort mit einer bestimmten Genauigkeit. Seien wir ehrlich: Bei der Lösung von Gleichungen ist es nicht so einfach, die unabhängige Variable einer gegebenen Funktion zu finden, insbesondere während der Untersuchung paralleler Linien im Unendlichen. Angesichts der Ausnahme liegt die Notwendigkeit auf der Hand. Der Polaritätsunterschied ist deutlich. Aus der Erfahrung des Lehrens an Instituten lernte unser Lehrer die Hauptlektion, in der Online-Gleichungen im vollen mathematischen Sinne untersucht wurden. Hier ging es um höhere Anstrengungen und besondere Fähigkeiten bei der Anwendung der Theorie. Für unsere Schlussfolgerungen sollte man nicht durch ein Prisma schauen. Bis vor kurzem glaubte man, dass eine geschlossene Menge über die Region, so wie sie ist, schnell zunimmt und die Lösung der Gleichungen lediglich untersucht werden muss. In der ersten Phase haben wir nicht alle möglichen Optionen in Betracht gezogen, aber dieser Ansatz ist gerechtfertigter denn je. Zusätzliche Aktionen mit Klammern rechtfertigen einige Fortschritte entlang der Ordinaten- und Abszissenachse, die mit bloßem Auge nicht zu übersehen sind. Im Sinne eines weitgehenden proportionalen Anstiegs der Funktion liegt ein Wendepunkt vor. Wir werden noch einmal beweisen, wie die notwendige Bedingung während des gesamten Intervalls der Abnahme der einen oder anderen absteigenden Position des Vektors angewendet wird. Auf engstem Raum wählen wir eine Variable aus dem ersten Block unseres Skripts aus. Für das Fehlen des Hauptkraftmoments ist ein auf drei Vektoren basierendes System verantwortlich. Der Gleichungsrechner generierte jedoch alle Terme der konstruierten Gleichung und half dabei, sie zu finden, sowohl über der Oberfläche als auch entlang paralleler Linien. Zeichnen wir einen Kreis um den Startpunkt. Wir beginnen also, uns entlang der Schnittlinien nach oben zu bewegen, und die Tangente beschreibt den Kreis über seine gesamte Länge, was zu einer Kurve führt, die als Evolvente bezeichnet wird. Lassen Sie uns übrigens ein wenig Geschichte über diese Kurve erzählen. Tatsache ist, dass es in der Mathematik historisch gesehen kein Konzept der Mathematik selbst in ihrem reinen Verständnis gab, wie es heute der Fall ist. Zuvor waren alle Wissenschaftler mit einer gemeinsamen Aufgabe beschäftigt, nämlich der Wissenschaft. Später, einige Jahrhunderte später, als die wissenschaftliche Welt mit einer kolossalen Menge an Informationen gefüllt war, identifizierte die Menschheit dennoch viele Disziplinen. Sie bleiben weiterhin unverändert. Und doch versuchen Wissenschaftler auf der ganzen Welt jedes Jahr zu beweisen, dass die Wissenschaft grenzenlos ist, und dass man die Gleichung nicht lösen kann, wenn man nicht über Kenntnisse in den Naturwissenschaften verfügt. Möglicherweise wird es nicht möglich sein, dem endgültig ein Ende zu setzen. Darüber nachzudenken ist genauso sinnlos, wie die Luft draußen zu erwärmen. Finden wir das Intervall, in dem das Argument, wenn sein Wert positiv ist, den Modul des Werts in stark ansteigender Richtung bestimmt. Die Reaktion wird Ihnen dabei helfen, mindestens drei Lösungen zu finden, die Sie jedoch überprüfen müssen. Beginnen wir mit der Tatsache, dass wir die Gleichung online mithilfe des einzigartigen Dienstes unserer Website lösen müssen. Geben wir beide Seiten der gegebenen Gleichung ein, klicken Sie auf die Schaltfläche „LÖSEN“ und erhalten Sie innerhalb weniger Sekunden die genaue Antwort. Nehmen wir in besonderen Fällen ein Buch über Mathematik und überprüfen wir unsere Antwort noch einmal, nämlich nur auf die Antwort zu schauen, und alles wird klar. Das gleiche Projekt für ein künstliches redundantes Parallelepiped wird in die Tat umgesetzt. Es gibt ein Parallelogramm mit seinen parallelen Seiten, und es erklärt viele Prinzipien und Ansätze zur Untersuchung der räumlichen Beziehung des aufsteigenden Prozesses der Ansammlung von Hohlräumen in natürlichen Formformeln. Mehrdeutige lineare Gleichungen zeigen die Abhängigkeit der gewünschten Variablen von unserer allgemeinen Lösung zu einem bestimmten Zeitpunkt, und wir müssen den unechten Bruch irgendwie ableiten und in einen nichttrivialen Fall bringen. Markieren Sie zehn Punkte auf der Geraden und zeichnen Sie durch jeden Punkt eine Kurve in der angegebenen Richtung, mit dem konvexen Punkt nach oben. Ohne besondere Schwierigkeiten stellt unser Gleichungsrechner einen Ausdruck so dar, dass seine Prüfung auf die Gültigkeit der Regeln bereits zu Beginn der Aufzeichnung offensichtlich ist. Das System der speziellen Darstellungen der Stabilität steht für Mathematiker an erster Stelle, sofern die Formel nichts anderes vorsieht. Wir werden darauf mit einer ausführlichen Präsentation eines Berichts zum Thema des isomorphen Zustands eines plastischen Körpersystems antworten und durch die Online-Lösung von Gleichungen die Bewegung jedes materiellen Punktes in diesem System beschreiben. Auf der Ebene der vertieften Forschung wird es notwendig sein, die Frage der Inversionen zumindest der unteren Raumschicht im Detail zu klären. Wenn wir in den Abschnitt aufsteigen, in dem die Funktion diskontinuierlich ist, werden wir die allgemeine Methode eines hervorragenden Forschers, übrigens unseres Landsmanns, anwenden und im Folgenden über das Verhalten des Flugzeugs berichten. Aufgrund der starken Eigenschaften einer analytisch definierten Funktion verwenden wir den Online-Gleichungsrechner nur für den vorgesehenen Zweck im Rahmen der abgeleiteten Befugnisse. Ausgehend von der weiteren Überlegung werden wir uns in unserer Betrachtung auf die Homogenität der Gleichung selbst konzentrieren, das heißt, dass ihre rechte Seite gleich Null ist. Stellen wir noch einmal sicher, dass unsere Entscheidung in Mathematik richtig ist. Um eine triviale Lösung zu vermeiden, werden wir einige Anpassungen an den Anfangsbedingungen für das Problem der bedingten Stabilität des Systems vornehmen. Erstellen wir eine quadratische Gleichung, für die wir mithilfe einer bekannten Formel zwei Einträge aufschreiben und die negativen Wurzeln ermitteln. Wenn eine Wurzel fünf Einheiten größer ist als die zweite und dritte Wurzel, verzerren wir durch Änderungen am Hauptargument die Anfangsbedingungen der Unteraufgabe. Naturgemäß kann etwas Ungewöhnliches in der Mathematik immer auf das nächste Hundertstel einer positiven Zahl beschrieben werden. Der Bruchrechner ist seinen Gegenstücken auf ähnlichen Ressourcen im besten Moment der Serverauslastung um ein Vielfaches überlegen. Auf der Oberfläche des entlang der Ordinatenachse wachsenden Geschwindigkeitsvektors zeichnen wir sieben Linien, die in entgegengesetzte Richtungen gebogen sind. Die Angemessenheit des zugewiesenen Funktionsarguments liegt vor den Messwerten des Wiederherstellungssaldozählers. In der Mathematik können wir dieses Phänomen durch eine kubische Gleichung mit imaginären Koeffizienten sowie durch den bipolaren Verlauf abnehmender Geraden darstellen. Kritische Punkte der Temperaturdifferenz beschreiben in ihrer Bedeutung und ihrem Verlauf den Prozess der Zerlegung einer komplexen Bruchfunktion in Faktoren. Wenn Sie aufgefordert werden, eine Gleichung zu lösen, beeilen Sie sich nicht, dies sofort zu tun. Bewerten Sie auf jeden Fall zunächst den gesamten Aktionsplan und gehen Sie erst dann richtig vor. Es wird sicherlich Vorteile geben. Die Arbeitserleichterung liegt auf der Hand, das Gleiche gilt auch für die Mathematik. Lösen Sie die Gleichung online. Alle Online-Gleichungen stellen eine bestimmte Art von Datensatz aus Zahlen oder Parametern und einer Variablen dar, die bestimmt werden muss. Berechnen Sie genau diese Variable, das heißt, finden Sie bestimmte Werte oder Intervalle einer Wertemenge, bei denen die Identität gilt. Die Anfangs- und Endbedingungen hängen direkt davon ab. Die allgemeine Lösung von Gleichungen umfasst normalerweise einige Variablen und Konstanten, durch deren Festlegung wir ganze Lösungsfamilien für eine bestimmte Problemstellung erhalten. Im Allgemeinen rechtfertigt dies die Anstrengungen, die unternommen werden, um die Funktionalität eines räumlichen Würfels mit einer Seitenlänge von 100 Zentimetern zu erhöhen. Sie können einen Satz oder ein Lemma in jeder Phase der Antwortkonstruktion anwenden. Die Site erstellt nach und nach einen Gleichungsrechner, wenn es erforderlich ist, den kleinsten Wert in einem beliebigen Summierungsintervall der Produkte anzuzeigen. In der Hälfte der Fälle erfüllt eine solche Kugel aufgrund ihrer Hohlheit nicht mehr die Voraussetzungen für die Festlegung einer Zwischenantwort. Zumindest auf der Ordinatenachse in Richtung abnehmender Vektordarstellung wird dieses Verhältnis zweifellos optimaler sein als der vorherige Ausdruck. In der Stunde, in der eine vollständige Punktanalyse linearer Funktionen durchgeführt wird, werden wir tatsächlich alle unsere komplexen Zahlen und bipolaren planaren Räume zusammenführen. Indem Sie eine Variable in den resultierenden Ausdruck einsetzen, lösen Sie die Gleichung Schritt für Schritt und geben die detaillierteste Antwort mit hoher Genauigkeit. Es gehört zum guten Ton eines Schülers, sein Handeln in Mathematik noch einmal zu überprüfen. Der Anteil im Bruchverhältnis erfasst die Integrität des Ergebnisses in allen wichtigen Tätigkeitsbereichen des Nullvektors. Die Trivialität wird am Ende der abgeschlossenen Aktionen bestätigt. Bei einer einfachen Aufgabe dürften die Schüler keine Schwierigkeiten haben, wenn sie die Gleichung online in kürzester Zeit lösen, aber vergessen Sie nicht die vielen unterschiedlichen Regeln. Eine Menge von Teilmengen schneidet sich in einem Bereich konvergenter Notation. In verschiedenen Fällen wird das Produkt nicht fälschlicherweise faktorisiert. In unserem ersten Abschnitt, der den Grundlagen mathematischer Techniken für wichtige Abschnitte für Studierende an Universitäten und Fachhochschulen gewidmet ist, wird Ihnen bei der Online-Lösung der Gleichung geholfen. Wir müssen nicht ein paar Tage auf Antworten warten, da das Verfahren des besten Zusammenspiels von Vektoranalyse und sequentieller Lösungsfindung bereits zu Beginn des letzten Jahrhunderts patentiert wurde. Es stellte sich heraus, dass die Bemühungen, Beziehungen zum umliegenden Team aufzubauen, nicht umsonst waren; offensichtlich war zunächst etwas anderes nötig. Mehrere Generationen später ließen Wissenschaftler auf der ganzen Welt die Menschen glauben, dass die Mathematik die Königin der Wissenschaften sei. Unabhängig davon, ob es sich um die linke oder die richtige Antwort handelt, müssen die erschöpfenden Begriffe in drei Zeilen geschrieben werden, da es sich in unserem Fall definitiv nur um die Vektoranalyse der Eigenschaften der Matrix handelt. Nichtlineare und lineare Gleichungen sowie biquadratische Gleichungen nahmen in unserem Buch über die besten Methoden zur Berechnung der Bewegungsbahn im Raum aller materiellen Punkte eines geschlossenen Systems einen besonderen Platz ein. Eine lineare Analyse des Skalarprodukts dreier aufeinanderfolgender Vektoren wird uns helfen, die Idee zum Leben zu erwecken. Am Ende jeder Anweisung wird die Aufgabe durch die Implementierung optimierter numerischer Ausnahmen in den durchgeführten Zahlenraumüberlagerungen erleichtert. Ein anderes Urteil wird die gefundene Antwort in der willkürlichen Form eines Dreiecks in einem Kreis nicht kontrastieren. Der Winkel zwischen zwei Vektoren enthält den erforderlichen Prozentsatz der Marge, und die Online-Lösung von Gleichungen zeigt im Gegensatz zu den Anfangsbedingungen häufig eine bestimmte gemeinsame Wurzel der Gleichung. Die Ausnahme spielt die Rolle eines Katalysators im gesamten unvermeidlichen Prozess der Suche nach einer positiven Lösung im Bereich der Funktionsdefinition. Wenn nicht gesagt wird, dass Sie keinen Computer benutzen können, dann ist ein Online-Gleichungsrechner genau das Richtige für Ihre schwierigen Probleme. Sie müssen nur Ihre bedingten Daten im richtigen Format eingeben und unser Server wird in kürzester Zeit eine vollständige Antwort ausgeben. Eine Exponentialfunktion wächst viel schneller als eine lineare. Davon zeugen die Talmuds der Smart-Library-Literatur. Führt eine Berechnung im allgemeinen Sinne durch, wie es eine gegebene quadratische Gleichung mit drei komplexen Koeffizienten tun würde. Die Parabel im oberen Teil der Halbebene charakterisiert eine geradlinige Parallelbewegung entlang der Punktachsen. Erwähnenswert ist hier der Potentialunterschied im Arbeitsraum des Körpers. Im Gegenzug zu einem suboptimalen Ergebnis belegt unser Bruchrechner zu Recht den ersten Platz in der mathematischen Wertung der Überprüfung funktionsfähiger Programme auf der Serverseite. Die Benutzerfreundlichkeit dieses Dienstes wird von Millionen Internetnutzern geschätzt. Wenn Sie nicht wissen, wie man es benutzt, helfen wir Ihnen gerne weiter. Besonders hervorheben und hervorheben möchten wir auch die kubische Gleichung aus einer Reihe von Grundschulaufgaben, bei denen es darum geht, schnell ihre Wurzeln zu finden und einen Graphen der Funktion in einer Ebene zu erstellen. Höhere Reproduktionsgrade gehören zu den komplexen mathematischen Problemen am Institut, für deren Erforschung eine ausreichende Stundenzahl vorgesehen ist. Wie alle linearen Gleichungen sind auch unsere nach vielen objektiven Regeln keine Ausnahme; sie werden aus unterschiedlichen Blickwinkeln betrachtet und es erweist sich als einfach und ausreichend, die Anfangsbedingungen festzulegen. Das Anstiegsintervall stimmt mit dem Konvexitätsintervall der Funktion überein. Gleichungen online lösen. Das Studium der Theorie basiert auf Online-Gleichungen aus zahlreichen Abschnitten zum Studium der Hauptdisziplin. Bei diesem Ansatz ist es bei unsicheren Problemen sehr einfach, die Lösung von Gleichungen in einer vorgegebenen Form darzustellen und nicht nur Schlussfolgerungen zu ziehen, sondern auch das Ergebnis einer solchen positiven Lösung vorherzusagen. Ein Gottesdienst in bester Mathematiktradition hilft uns, das Fachgebiet so zu erlernen, wie es im Osten üblich ist. In den besten Momenten des Zeitintervalls wurden ähnliche Aufgaben mit dem gemeinsamen Faktor zehn multipliziert. Die Fülle an Multiplikationen mehrerer Variablen im Gleichungsrechner begann sich eher mit der Qualität als mit quantitativen Variablen wie Masse oder Körpergewicht zu multiplizieren. Um Fälle von Ungleichgewicht des materiellen Systems zu vermeiden, ist die Ableitung eines dreidimensionalen Transformators auf der trivialen Konvergenz nicht entarteter mathematischer Matrizen für uns ganz offensichtlich. Vervollständigen Sie die Aufgabe und lösen Sie die Gleichung in den angegebenen Koordinaten, da die Schlussfolgerung im Voraus unbekannt ist, ebenso wie alle in der Nachraumzeit enthaltenen Variablen. Schieben Sie den gemeinsamen Teiler kurzzeitig aus den Klammern heraus und dividieren Sie beide Seiten vorab durch den größten gemeinsamen Teiler. Extrahieren Sie aus der resultierenden abgedeckten Teilmenge der Zahlen in kurzer Zeit detailliert dreiunddreißig Punkte hintereinander. Soweit es für jeden Schüler möglich ist, eine Gleichung online bestmöglich zu lösen, sagen wir mit Blick auf die Zukunft eine wichtige, aber zentrale Sache, ohne die es in Zukunft schwierig sein wird, zu leben. Im letzten Jahrhundert bemerkte der große Wissenschaftler eine Reihe von Mustern in der Theorie der Mathematik. In der Praxis entsprach das Ergebnis nicht ganz dem erwarteten Eindruck der Ereignisse. Grundsätzlich trägt jedoch gerade diese Online-Lösung von Gleichungen dazu bei, das Verständnis und die Wahrnehmung einer ganzheitlichen Herangehensweise an das Studium und die praktische Vertiefung des theoretischen Materials der Studierenden zu verbessern. Dies ist während der Studienzeit viel einfacher.

=

Quadratische Gleichungen.

Quadratische Gleichung- algebraische Gleichung Gesamtansicht

wobei x eine freie Variable ist,

a, b, c sind Koeffizienten und

Ausdruck wird als quadratisches Trinom bezeichnet.

Lösungen quadratische Gleichungen.

1. METHODE : Faktorisierung der linken Seite der Gleichung.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 + 10x - 24 = 0. Lassen Sie uns die linke Seite faktorisieren:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Daher kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

(x + 12)(x - 2) = 0

Da das Produkt Null ist, ist mindestens einer seiner Faktoren Null. Daher wird die linke Seite der Gleichung bei null x = 2, und auch wann x = - 12. Dies bedeutet, dass die Zahl 2 Und - 12 sind die Wurzeln der Gleichung x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METHODE : Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 + 6x - 7 = 0. Wählen Sie auf der linken Seite ein vollständiges Quadrat aus.

Dazu schreiben wir den Ausdruck x 2 + 6x in folgender Form:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Im resultierenden Ausdruck ist der erste Term das Quadrat der Zahl x und der zweite das Doppelprodukt von x mit 3. Um ein vollständiges Quadrat zu erhalten, müssen Sie daher 3 2 addieren, da

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Lassen Sie uns nun die linke Seite der Gleichung transformieren

x 2 + 6x - 7 = 0,

addieren und subtrahieren 3 2. Wir haben:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Somit kann diese Gleichung wie folgt geschrieben werden:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Somit, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 oder x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METHODE :Quadratische Gleichungen mit der Formel lösen.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung multiplizieren

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

auf 4a und nacheinander haben wir:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Beispiele.

A) Lösen wir die Gleichung: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, zwei verschiedene Wurzeln;

Im Falle einer positiven Diskriminante, d.h. bei

b 2 - 4ac >0, Die gleichung Axt 2 + bx + c = 0 hat zwei verschiedene Wurzeln.

B) Lösen wir die Gleichung: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, eine Wurzel;

Wenn also die Diskriminante Null ist, d. h. b 2 - 4ac = 0, dann die Gleichung

Axt 2 + bx + c = 0 hat eine einzelne Wurzel

V) Lösen wir die Gleichung: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Diese Gleichung hat keine Wurzeln.


Wenn also die Diskriminante negativ ist, d. h. b 2 - 4ac< 0 , Die gleichung

Axt 2 + bx + c = 0 hat keine Wurzeln.

Formel (1) der Wurzeln einer quadratischen Gleichung Axt 2 + bx + c = 0 ermöglicht es Ihnen, Wurzeln zu finden beliebig quadratische Gleichung (falls vorhanden), einschließlich reduzierter und unvollständiger. Formel (1) wird verbal wie folgt ausgedrückt: die Wurzeln einer quadratischen Gleichung sind gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen plus minus der Quadratwurzel des Quadrats dieses Koeffizienten ist, ohne das Produkt des ersten Koeffizienten mit dem freien Term zu vervierfachen, und Der Nenner ist das Doppelte des ersten Koeffizienten.

4. METHODE: Lösen von Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

Bekanntlich hat die reduzierte quadratische Gleichung die Form

x 2 + px + c = 0.(1)

Seine Wurzeln erfüllen den Satz von Vieta, der, wann a =1 sieht aus wie

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Daraus können wir folgende Schlussfolgerungen ziehen (aus den Koeffizienten p und q können wir die Vorzeichen der Wurzeln vorhersagen).

a) Wenn das Halbmitglied Q gegebene Gleichung (1) ist positiv ( q > 0), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit gleichem Vorzeichen und dies hängt vom zweiten Koeffizienten ab P. Wenn R< 0 , dann sind beide Wurzeln negativ, wenn R< 0 , dann sind beide Wurzeln positiv.

Zum Beispiel,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 Und x 2 = 1, als q = 2 > 0 Und p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 Und x 2 = - 1, als q = 7 > 0 Und p= 8 > 0.

b) Wenn Sie ein kostenloses Mitglied sind Q gegebene Gleichung (1) ist negativ ( Q< 0 ), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln mit unterschiedlichem Vorzeichen und die größere Wurzel ist positiv, wenn P< 0 , oder negativ wenn p > 0 .

Zum Beispiel,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 Und x 2 = 1, als q= - 5< 0 Und p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 Und x 2 = - 1, als q = - 9< 0 Und p = - 8< 0.

Beispiele.

1) Lassen Sie uns die Gleichung lösen 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Lösung. Als a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Das

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Antwort 1; -208/345.

2) Lösen Sie die Gleichung 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Lösung. Als a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Das

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Antwort 1; 115/132.

B. Wenn der zweite Koeffizient b = 2k– gerade Zahl, dann die Wurzelformel

Beispiel.

Lassen Sie uns die Gleichung lösen 3x2 - 14x + 16 = 0.

Lösung. Wir haben: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, zwei verschiedene Wurzeln;

Antwort: 2; 8/3

IN. Reduzierte Gleichung

x 2 + px + q= 0

stimmt mit einer allgemeinen Gleichung überein, in der a = 1, b = p Und c = q. Daher lautet die Wurzelformel für die reduzierte quadratische Gleichung

Nimmt die Form an:

Formel (3) ist besonders praktisch, wenn R- gerade Zahl.

Beispiel. Lassen Sie uns die Gleichung lösen x 2 – 14x – 15 = 0.

Lösung. Wir haben: x 1,2 =7±

Antwort: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. METHODE: Gleichungen grafisch lösen.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung x2 - 2x - 3 = 0.

Zeichnen wir die Funktion y = x2 - 2x - 3

1) Wir haben: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Das bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel der Punkt (1; -4) und die Achse der Parabel die Gerade x = 1 ist.

2) Nehmen Sie zwei Punkte auf der x-Achse, die symmetrisch zur Achse der Parabel sind, zum Beispiel die Punkte x = -1 und x = 3.

Wir haben f(-1) = f(3) = 0. Konstruieren wir die Punkte (-1; 0) und (3; 0) auf der Koordinatenebene.

3) Durch die Punkte (-1; 0), (1; -4), (3; 0) zeichnen wir eine Parabel (Abb. 68).

Die Wurzeln der Gleichung x2 - 2x - 3 = 0 sind die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse; Das bedeutet, dass die Wurzeln der Gleichung sind: x1 = - 1, x2 - 3.