Die Formel zum Finden der Wurzel, wenn die Diskriminante 0 ist. Lösen quadratischer Gleichungen mit der Diskriminante

Diskriminanz ist ein mehrdeutiger Begriff. Dieser Artikel konzentriert sich auf die Diskriminante eines Polynoms, mit der Sie feststellen können, ob ein bestimmtes Polynom reelle Lösungen hat. Die Formel für ein quadratisches Polynom findet man im Schulkurs Algebra und Analysis. Wie finde ich die Diskriminante? Was wird benötigt, um die Gleichung zu lösen?

Ein quadratisches Polynom oder eine Gleichung zweiten Grades wird aufgerufen i * w ^ 2 + j * w + k gleich 0, wobei "i" und "j" der erste bzw. zweite Koeffizient sind, "k" eine Konstante ist, die manchmal "Abschnitt" genannt wird, und "w" ist eine Variable. Seine Wurzeln sind alle Werte der Variablen, bei denen es sich in eine Identität verwandelt. Eine solche Gleichheit kann als Produkt von i, (w - w1) und (w - w2) gleich 0 umgeschrieben werden. In diesem Fall ist es offensichtlich, dass, wenn der Koeffizient "i" nicht verschwindet, die Funktion auf der Die linke Seite wird nur dann Null, wenn x den Wert w1 oder w2 annimmt. Diese Werte sind das Ergebnis des Setzens des Polynoms auf Null.

Um den Wert einer Variablen zu finden, bei dem das quadratische Polynom verschwindet, wird eine Hilfskonstruktion verwendet, die auf ihren Koeffizienten aufbaut und Diskriminante genannt wird. Diese Konstruktion wird nach der Formel D gleich j * j - 4 * i * k berechnet. Warum wird es verwendet?

1. Sie sagt, ob es gültige Ergebnisse gibt.
2. Sie hilft bei der Berechnung.

Wie dieser Wert das Vorhandensein echter Wurzeln zeigt:

• Wenn es positiv ist, dann kannst du zwei Wurzeln im Bereich der reellen Zahlen finden.
• Wenn die Diskriminante Null, dann sind beide Lösungen gleich. Wir können sagen, dass es nur eine Lösung gibt, und zwar aus dem Bereich der reellen Zahlen.
• Wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann hat das Polynom keine reellen Wurzeln.

Berechnungsmöglichkeiten zur Fixierung des Materials

Für sum (7 * w^2; 3 * w; 1) gleich 0 Wir berechnen D mit der Formel 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 und erhalten -19. Ein Diskriminanzwert unter Null zeigt an, dass auf der realen Linie keine Ergebnisse vorhanden sind.

Betrachten wir 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 gleich 0, dann wird D berechnet als (-3) zum Quadrat minus dem Produkt der Zahlen (4; 2; 1) und gleich 9 - 8, also 1. Positiver Wert spricht über zwei Ergebnisse auf der realen Linie.

Wenn wir die Summe (w^2; 2 * w; 1) nehmen und 0 gleichsetzen, D wird als Zwei zum Quadrat minus dem Produkt der Zahlen (4; 1; 1) berechnet. Dieser Ausdruck vereinfacht sich zu 4 - 4 und wird zu Null. Es stellt sich heraus, dass die Ergebnisse die gleichen sind. Wenn Sie sich diese Formel genau ansehen, wird deutlich, dass es sich um ein „volles Quadrat“ handelt. Das bedeutet, dass die Gleichheit in die Form (w + 1) ^ 2 = 0 umgeschrieben werden kann. Es wurde offensichtlich, dass das Ergebnis bei dieser Aufgabe „-1“ ist. In einer Situation, in der D gleich 0 ist, kann die linke Seite der Gleichheit immer nach der Formel „Quadrat der Summe“ kollabiert werden.

Verwenden der Diskriminante zum Berechnen von Wurzeln

Diese Hilfskonstruktion zeigt nicht nur die Anzahl der echten Lösungen, sondern hilft auch, sie zu finden. Die allgemeine Formel zur Berechnung der Gleichung zweiten Grades lautet wie folgt:

w = (-j +/- d) / (2 * i), wobei d die Diskriminante hoch 1/2 ist.

Angenommen, die Diskriminante ist unter Null, dann ist d imaginär und die Ergebnisse sind imaginär.

D ist Null, dann ist d gleich D hoch 1/2 ebenfalls Null. Lösung: -j / (2 * i). Wenn wir 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0 erneut betrachten, finden wir Ergebnisse, die -2 / (2 * 1) = -1 entsprechen.

Angenommen, D > 0, also ist d eine reelle Zahl, und die Antwort teilt sich hier in zwei Teile auf: w1 = (-j + d) / (2 * i) und w2 = (-j - d) / (2 * i) . Beide Ergebnisse sind gültig. Betrachten wir 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Hier sind die Diskriminante und d Einsen. Also ist w1 (3 + 1) geteilt durch (2 * 2) oder 1, und w2 ist (3 - 1) geteilt durch 2 * 2 oder 1/2.

Gleichungsergebnis quadratischer Ausdruck auf Null wird nach dem Algorithmus berechnet:

1. Bestimmung der Anzahl gültiger Lösungen.
2. Berechnung d = D^(1/2).
3. Finden Sie das Ergebnis nach der Formel (-j +/- d) / (2 * i).
4. Die Substitution des bekommenen Ergebnisses in die Ausgangsgleichheit für die Prüfung.

Einige Sonderfälle

Abhängig von den Koeffizienten kann die Lösung etwas vereinfacht werden. Wenn der Koeffizient vor der Variablen zur zweiten Potenz Null ist, wird offensichtlich eine lineare Gleichheit erhalten. Wenn der Koeffizient vor der Variablen null hoch ist, dann sind zwei Optionen möglich:

1. das Polynom erweitert sich in die Differenz von Quadraten mit einem negativen freien Term;
2. für eine positive Konstante können keine echten Lösungen gefunden werden.

Wenn der freie Term Null ist, dann sind die Wurzeln (0; -j)

Aber es gibt noch andere Spezialfälle, die die Lösungsfindung vereinfachen.

Reduzierte Gleichung zweiten Grades

Das Gegebene wird gerufen solch quadratisches Trinom, wobei der Koeffizient vor dem führenden Term eins ist. Für diese Situation gilt das Vieta-Theorem, das besagt, dass die Summe der Wurzeln gleich dem Koeffizienten der Variablen zur ersten Potenz multipliziert mit -1 ist und das Produkt der Konstanten "k" entspricht.

Daher ist w1 + w2 gleich –j und w1 * w2 ist gleich k, wenn der erste Koeffizient eins ist. Um die Richtigkeit einer solchen Darstellung zu überprüfen, können wir w2 = -j - w1 aus der ersten Formel ausdrücken und in die zweite Gleichung w1 * (-j - w1) = k einsetzen. Das Ergebnis ist die ursprüngliche Gleichheit w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Es ist wichtig zu beachten dass i * w ^ 2 + j * w + k = 0 durch Division durch "i" reduziert werden kann. Das Ergebnis ist: w^2 + j1 * w + k1 = 0 wobei j1 gleich j/i und k1 gleich k/i ist.

Betrachten wir die bereits gelöste 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 mit den Ergebnissen w1 = 1 und w2 = 1/2. Es ist notwendig, es in zwei Hälften zu teilen, als Ergebnis w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Prüfen wir, ob die Bedingungen des Theorems für die gefundenen Ergebnisse wahr sind: 1 + 1/2 = 3/2 und 1 * 1/2 = 1/2.

Sogar zweiter Faktor

Wenn der Faktor der Variablen zur ersten Potenz (j) durch 2 teilbar ist, dann ist es möglich, die Formel zu vereinfachen und nach einer Lösung durch ein Viertel der Diskriminante D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k zu suchen. es stellt sich heraus w = (-j +/- d/2) / i, wobei d/2 = D/4 hoch 1/2.

Wenn i = 1 und Koeffizient j gerade ist, dann ist die Lösung das Produkt aus -1 und der Hälfte des Koeffizienten in der Variablen w, plus/minus der Wurzel des Quadrats dieser Hälfte, minus der Konstante "k". Formel: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Diskriminante höherer Ordnung

Die oben betrachtete Diskriminante zweiten Grades ist der am häufigsten verwendete Spezialfall. Im allgemeinen Fall ist die Diskriminante eines Polynoms die multiplizierten Quadrate der Differenzen der Wurzeln dieses Polynoms. Daher zeigt eine Diskriminante gleich Null das Vorhandensein von mindestens zwei Mehrfachlösungen an.

Betrachten Sie i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * ich * k ^ 3 - 4 * ich ^ 3 * k - 27 * ich ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Nehmen wir an, die Diskriminante ist größer als Null. Das bedeutet, dass es im Bereich der reellen Zahlen drei Wurzeln gibt. Bei Null gibt es mehrere Lösungen. Wenn d< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Unser Video erklärt Ihnen ausführlich die Berechnung der Diskriminante.

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Die Diskriminante sowie quadratische Gleichungen beginnen im Algebrakurs in der 8. Klasse zu lernen. Sie können eine quadratische Gleichung durch die Diskriminante und mithilfe des Vieta-Theorems lösen. Studienmethodik quadratische Gleichungen, sowie die Diskriminanzformeln, werden den Schulkindern eher erfolglos beigebracht, wie vieles in der wirklichen Bildung. Daher pass Schuljahre, Ausbildung in den Klassen 9-11 ersetzt " Hochschulbildung"und alle gucken wieder - "Wie löst man eine quadratische Gleichung?", "Wie findet man die Wurzeln einer Gleichung?", "Wie findet man die Diskriminante?" und...

Diskriminante Formel

Die Diskriminante D der quadratischen Gleichung a*x^2+bx+c=0 ist D=b^2–4*a*c.
Die Wurzeln (Lösungen) der quadratischen Gleichung hängen vom Vorzeichen der Diskriminante (D) ab:
D>0 - die Gleichung hat 2 verschiedene reelle Wurzeln;
D=0 - die Gleichung hat 1 Wurzel (2 übereinstimmende Wurzeln):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Die Formel zur Berechnung der Diskriminante ist recht einfach, daher bieten viele Websites einen Online-Diskriminanzrechner an. Wir haben diese Art von Skripten noch nicht herausgefunden, also wer weiß, wie man das umsetzt, bitte an die Mail schreiben Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt. Zur Anzeige muss JavaScript aktiviert sein. .

Allgemeine Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung:

Die Wurzeln der Gleichung werden durch die Formel gefunden
Wenn der Koeffizient der Variablen im Quadrat gepaart ist, ist es ratsam, nicht die Diskriminante, sondern ihren vierten Teil zu berechnen
In solchen Fällen werden die Wurzeln der Gleichung durch die Formel gefunden

Der zweite Weg, Wurzeln zu finden, ist der Satz von Vieta.

Der Satz ist nicht nur für quadratische Gleichungen, sondern auch für Polynome formuliert. Sie können dies auf Wikipedia oder anderen elektronischen Ressourcen nachlesen. Betrachten Sie jedoch zur Vereinfachung den Teil davon, der die reduzierten quadratischen Gleichungen betrifft, dh Gleichungen der Form (a = 1)
Die Essenz der Vieta-Formeln besteht darin, dass die Summe der Wurzeln der Gleichung gleich dem Koeffizienten der Variablen ist, der mit dem entgegengesetzten Vorzeichen genommen wird. Das Produkt der Wurzeln der Gleichung ist gleich dem freien Term. Die Formeln des Satzes von Vieta haben eine Notation.
Die Herleitung der Vieta-Formel ist recht einfach. Lassen Sie uns die quadratische Gleichung in Form von Primfaktoren schreiben
Wie Sie sehen, ist alles Geniale gleichzeitig einfach. Es ist effektiv, die Vieta-Formel zu verwenden, wenn die Differenz im Modul der Wurzeln oder die Differenz im Modul der Wurzeln 1, 2 beträgt. Beispielsweise haben die folgenden Gleichungen gemäß dem Vieta-Theorem Wurzeln




Bis zu 4 Gleichungsanalysen sollten so aussehen. Das Produkt der Wurzeln der Gleichung ist 6, also können die Wurzeln die Werte (1, 6) und (2, 3) oder Paare mit entgegengesetztem Vorzeichen sein. Die Summe der Wurzeln ist 7 (der Koeffizient der Variablen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen). Daraus schließen wir, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung gleich x=2 sind; x=3.
Es ist einfacher, die Wurzeln der Gleichung unter den Teilern des freien Terms auszuwählen und ihr Vorzeichen zu korrigieren, um die Vieta-Formeln zu erfüllen. Am Anfang erscheint dies schwierig, aber mit Übung an einer Reihe quadratischer Gleichungen wird diese Technik effizienter sein, als die Diskriminante zu berechnen und die Wurzeln der quadratischen Gleichung auf klassische Weise zu finden.
Wie Sie sehen können, ist die Schultheorie des Studiums der Diskriminanten und Wege, Lösungen für die Gleichung zu finden, ohne praktische Bedeutung - "Warum brauchen Schulkinder eine quadratische Gleichung?", "Was ist die physikalische Bedeutung der Diskriminante?".

Versuchen wir es herauszufinden Was beschreibt die Diskriminante?

Im Kurs Algebra studieren sie Funktionen, Schemata zum Studieren von Funktionen und Plotten von Funktionen. Von allen Funktionen nimmt eine Parabel einen wichtigen Platz ein, deren Gleichung in Form geschrieben werden kann
Die physikalische Bedeutung der quadratischen Gleichung sind also die Nullstellen der Parabel, also die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Abszissenachse Ox
Ich bitte Sie, sich die Eigenschaften von Parabeln zu merken, die unten beschrieben werden. Es wird Zeit, Prüfungen, Tests oder Aufnahmeprüfungen zu absolvieren, und Sie werden für das Referenzmaterial dankbar sein. Das Vorzeichen der Variablen im Quadrat entspricht, ob die Zweige der Parabel im Diagramm nach oben gehen (a > 0),

oder eine Parabel mit Ästen nach unten (a<0) .

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt in der Mitte zwischen den Wurzeln

Die physikalische Bedeutung der Diskriminante:

Wenn die Diskriminante größer als Null ist (D>0), hat die Parabel zwei Schnittpunkte mit der Ox-Achse.
Ist die Diskriminante gleich Null (D=0), dann berührt die Parabel oben die x-Achse.
Und der letzte Fall, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Unvollständige quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen werden in der 8. Klasse studiert, also gibt es hier nichts Kompliziertes. Die Fähigkeit, sie zu lösen, ist unerlässlich.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei die Koeffizienten a , b und c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.

Bevor wir spezifische Lösungsmethoden untersuchen, stellen wir fest, dass alle quadratischen Gleichungen in drei Klassen unterteilt werden können:

1. Keine Wurzeln haben;
2. Sie haben genau eine Wurzel;
3. Sie haben zwei unterschiedliche Wurzeln.

Dies ist ein wichtiger Unterschied zwischen quadratischen und linearen Gleichungen, bei denen die Wurzel immer existiert und eindeutig ist. Wie bestimmt man, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat? Dafür gibt es eine wunderbare Sache - diskriminierend.

Diskriminant

Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Dann ist die Diskriminante einfach die Zahl D = b 2 − 4ac .

Diese Formel muss man auswendig kennen. Woher es kommt, ist jetzt nicht wichtig. Wichtig ist noch etwas: Am Vorzeichen der Diskriminante kann man erkennen, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Nämlich:

1. Wenn d< 0, корней нет;
2. Wenn D = 0, gibt es genau eine Wurzel;
3. Wenn D > 0, gibt es zwei Nullstellen.

Bitte beachten Sie: Die Diskriminante gibt die Anzahl der Wurzeln an und keineswegs ihre Vorzeichen, wie viele Leute aus irgendeinem Grund denken. Schauen Sie sich die Beispiele an und Sie werden alles selbst verstehen:

Aufgabe. Wie viele Wurzeln haben quadratische Gleichungen:

1. x2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Wir schreiben die Koeffizienten für die erste Gleichung und finden die Diskriminante:
a = 1, b = –8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Die Diskriminante ist also positiv, also hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Wir analysieren die zweite Gleichung auf die gleiche Weise:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Als letzte Gleichung bleibt:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Die Diskriminante ist gleich Null - die Wurzel wird eins sein.

Beachten Sie, dass die Koeffizienten für jede Gleichung ausgeschrieben wurden. Ja, es ist lang, ja, es ist mühsam - aber Sie werden die Quoten nicht verwechseln und keine dummen Fehler machen. Wählen Sie selbst: Geschwindigkeit oder Qualität.

Übrigens, wenn Sie Ihre Hand „füllen“, müssen Sie nach einer Weile nicht mehr alle Koeffizienten ausschreiben. Sie werden solche Operationen in Ihrem Kopf durchführen. Die meisten Leute fangen irgendwo nach 50-70 gelösten Gleichungen damit an - im Allgemeinen nicht so viele.

Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Kommen wir nun zur Lösung. Wenn die Diskriminante D > 0 ist, können die Wurzeln mit den Formeln gefunden werden:

Die Grundformel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wenn D = 0 ist, können Sie jede dieser Formeln verwenden - Sie erhalten dieselbe Zahl, die die Antwort sein wird. Schließlich, wenn D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Erste Gleichung:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat zwei Wurzeln. Finden wir sie:

Zweite Gleichung:
15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat wieder zwei Wurzeln. Lass sie uns finden

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Schließlich die dritte Gleichung:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ die Gleichung hat eine Wurzel. Jede Formel kann verwendet werden. Zum Beispiel das erste:

Wie Sie an den Beispielen sehen können, ist alles sehr einfach. Wenn Sie die Formeln kennen und zählen können, gibt es keine Probleme. Am häufigsten treten Fehler auf, wenn negative Koeffizienten in die Formel eingesetzt werden. Auch hier hilft wieder die oben beschriebene Technik: Formel buchstäblich anschauen, Schritt für Schritt malen – und Fehler ganz schnell wieder ausmerzen.

Unvollständige quadratische Gleichungen

Es kommt vor, dass die quadratische Gleichung etwas anders ist als in der Definition angegeben. Zum Beispiel:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Es ist leicht zu erkennen, dass einer der Terme in diesen Gleichungen fehlt. Solche quadratischen Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als Standardgleichungen: Sie müssen nicht einmal die Diskriminante berechnen. Lassen Sie uns also ein neues Konzept einführen:

Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 heißt unvollständige quadratische Gleichung, wenn b = 0 oder c = 0, d.h. der Koeffizient der Variablen x oder des freien Elements ist gleich Null.

Natürlich ist ein sehr schwieriger Fall möglich, wenn beide Koeffizienten gleich Null sind: b \u003d c \u003d 0. In diesem Fall hat die Gleichung die Form ax 2 \u003d 0. Offensichtlich hat eine solche Gleichung eine einzige Wurzel: x \u003d 0.

Betrachten wir andere Fälle. Sei b \u003d 0, dann erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c \u003d 0. Transformieren wir sie leicht:

Weil Rechnen Quadratwurzel besteht nur aus negative Zahl, die letzte Gleichheit macht nur Sinn für (−c /a ) ≥ 0. Fazit:

1. Wenn eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0 die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 erfüllt, gibt es zwei Wurzeln. Die Formel ist oben angegeben;
2. Wenn (−c / a )< 0, корней нет.

Wie Sie sehen können, war die Diskriminante nicht erforderlich - es gibt überhaupt keine komplexen Berechnungen in unvollständigen quadratischen Gleichungen. Tatsächlich ist es nicht einmal notwendig, sich an die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 zu erinnern. Es reicht aus, den Wert von x 2 auszudrücken und zu sehen, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht. Wenn es eine positive Zahl gibt, gibt es zwei Wurzeln. Wenn negativ, gibt es überhaupt keine Wurzeln.

Betrachten wir nun Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0, bei denen das freie Element gleich Null ist. Hier ist alles einfach: Es wird immer zwei Wurzeln geben. Es genügt, das Polynom zu faktorisieren:

Herausnehmen des gemeinsamen Teilers aus der Klammer

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Hier kommen die Wurzeln her. Abschließend werden wir einige dieser Gleichungen analysieren:

Aufgabe. Lösen Sie quadratische Gleichungen:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Es gibt keine Wurzeln, weil das Quadrat kann nicht gleich einer negativen Zahl sein.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Quadratische Gleichung - einfach zu lösen! *Weiter im Text "KU". Freunde, es scheint, dass es in der Mathematik einfacher sein kann, als eine solche Gleichung zu lösen. Aber etwas sagte mir, dass viele Leute Probleme mit ihm haben. Ich habe mich entschieden zu sehen, wie viele Impressionen Yandex pro Anfrage und Monat liefert. Folgendes ist passiert, schau mal:

Was bedeutet das? Das bedeutet, dass etwa 70.000 Menschen im Monat suchen diese Information, was hat dieser Sommer damit zu tun und was wird dazwischen passieren Schuljahr- Anfragen werden doppelt so groß sein. Dies ist nicht verwunderlich, da die Jungen und Mädchen, die die Schule längst abgeschlossen haben und sich auf die Prüfung vorbereiten, nach diesen Informationen suchen, und auch die Schulkinder versuchen, ihr Gedächtnis aufzufrischen.

Trotz der Tatsache, dass es viele Websites gibt, die erklären, wie man diese Gleichung löst, habe ich mich entschlossen, auch das Material beizutragen und zu veröffentlichen. Erstens möchte ich, dass Besucher auf diese Anfrage auf meine Website kommen; Zweitens werde ich in anderen Artikeln, wenn die Rede „KU“ auftaucht, einen Link zu diesem Artikel geben; Drittens werde ich Ihnen etwas mehr über seine Lösung erzählen, als normalerweise auf anderen Websites angegeben ist. Lass uns anfangen! Der Inhalt des Artikels:

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form:

wo Koeffizienten a,bund mit beliebigen Zahlen, mit a≠0.

Im Schulkurs wird das Material in folgender Form gegeben - die Aufteilung der Gleichungen in drei Klassen erfolgt bedingt:

1. Habe zwei Wurzeln.

2. * Nur eine Wurzel haben.

3. Keine Wurzeln haben. Es ist hier erwähnenswert, dass sie keine wirklichen Wurzeln haben

Wie werden Wurzeln berechnet? Gerade!

Wir berechnen die Diskriminante. Unter diesem „schrecklichen“ Wort verbirgt sich eine ganz einfache Formel:

Die Wurzelformeln lauten wie folgt:

*Diese Formeln müssen auswendig gelernt werden.

Sie können sofort aufschreiben und lösen:

Beispiel:

1. Wenn D > 0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

2. Wenn D = 0, dann hat die Gleichung eine Wurzel.

3. Wenn D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Schauen wir uns die Gleichung an:

Bei dieser Gelegenheit, wenn die Diskriminante Null ist, sagt der Schulkurs, dass eine Wurzel erhalten wird, hier ist sie gleich neun. Das stimmt, ist es, aber...

Diese Darstellung ist etwas falsch. Tatsächlich gibt es zwei Wurzeln. Ja, ja, seien Sie nicht überrascht, es stellt sich heraus, zwei gleiche Wurzel, und um mathematisch genau zu sein, sollten zwei Wurzeln in die Antwort geschrieben werden:

x 1 = 3 x 2 = 3

Aber das ist so - ein kleiner Exkurs. In der Schule kannst du aufschreiben und sagen, dass es nur eine Wurzel gibt.

Nun folgendes Beispiel:

Wie wir wissen, wird die Wurzel einer negativen Zahl nicht gezogen, daher gibt es in diesem Fall keine Lösung.

Das ist der ganze Entscheidungsprozess.

Quadratische Funktion.

So sieht die Lösung geometrisch aus. Dies ist äußerst wichtig zu verstehen (in Zukunft werden wir in einem der Artikel die Lösung einer quadratischen Ungleichung im Detail analysieren).

Dies ist eine Funktion des Formulars:

wobei x und y Variablen sind

a, b, c sind gegebene Zahlen, wobei a ≠ 0 ist

Der Graph ist eine Parabel:

Das heißt, es stellt sich heraus, dass wir durch Lösen einer quadratischen Gleichung mit "y" gleich Null die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse finden. Es kann zwei dieser Punkte geben (die Diskriminante ist positiv), einer (die Diskriminante ist Null) oder keiner (die Diskriminante ist negativ). Einzelheiten zu quadratische Funktion Sie können anzeigen Artikel von Inna Feldmann.

Betrachten Sie Beispiele:

Beispiel 1: Entscheiden 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Antwort: x 1 = 8 x 2 = -12

* Sie könnten die linke und rechte Seite der Gleichung sofort durch 2 teilen, also vereinfachen. Die Berechnungen werden einfacher.

Beispiel 2: Entscheiden x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Wir haben das x 1 \u003d 11 und x 2 \u003d 11

In der Antwort darf x = 11 geschrieben werden.

Antwort: x = 11

Beispiel 3: Entscheiden x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Lösung in reellen Zahlen.

Antwort: keine Lösung

Die Diskriminante ist negativ. Es gibt eine Lösung!

Hier sprechen wir über das Lösen der Gleichung für den Fall, dass eine negative Diskriminante erhalten wird. Kennst du dich mit komplexen Zahlen aus? Ich werde hier nicht im Detail darauf eingehen, warum und wo sie entstanden sind und was ihre spezifische Rolle und Notwendigkeit in der Mathematik ist, dies ist ein Thema für einen großen separaten Artikel.

Das Konzept einer komplexen Zahl.

Ein bisschen Theorie.

Eine komplexe Zahl z ist eine Zahl der Form

z = a + bi

wo a und b reelle Zahlen sind, ist i die sogenannte imaginäre Einheit.

a+bi ist eine EINZELNE ZAHL, keine Addition.

Die imaginäre Einheit ist gleich der Wurzel aus minus eins:

Betrachten Sie nun die Gleichung:

Erhalten Sie zwei konjugierte Wurzeln.

Unvollständige quadratische Gleichung.

Betrachten Sie Sonderfälle, dies ist der Fall, wenn der Koeffizient "b" oder "c" gleich Null ist (oder beide gleich Null sind). Sie werden leicht ohne Diskriminanten gelöst.

Fall 1. Koeffizient b = 0.

Die Gleichung nimmt die Form an:

Lassen Sie uns transformieren:

Beispiel:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Fall 2. Koeffizient c = 0.

Die Gleichung nimmt die Form an:

Transformieren, faktorisieren:

*Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

Beispiel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 oder x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Fall 3. Koeffizienten b = 0 und c = 0.

Hier ist klar, dass die Lösung der Gleichung immer x = 0 sein wird.

Nützliche Eigenschaften und Muster von Koeffizienten.

Es gibt Eigenschaften, die das Lösen von Gleichungen mit großen Koeffizienten ermöglichen.

ax 2 + bx+ c=0 Gleichberechtigung

a + b+ c = 0, dann

— if für die Koeffizienten der Gleichung ax 2 + bx+ c=0 Gleichberechtigung

a+ mit =b, dann

Diese Eigenschaften helfen beim Lösen einer bestimmten Art von Gleichung.

Beispiel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Die Summe der Koeffizienten ist 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, also

Beispiel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Gleichberechtigung a+ mit =b, meint

Regelmäßigkeiten von Koeffizienten.

1. Wenn in der Gleichung ax 2 + bx + c = 0 der Koeffizient "b" gleich (a 2 + 1) ist und der Koeffizient "c" numerisch ist gleich dem Koeffizienten"a", dann sind seine Wurzeln gleich

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Wenn in der Gleichung ax 2 - bx + c \u003d 0 der Koeffizient "b" (a 2 +1) ist und der Koeffizient "c" numerisch gleich dem Koeffizienten "a" ist, dann sind seine Wurzeln

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Wenn in der Gleichung ax 2 + bx - c = 0 Koeffizient "b" gleich (eine 2 – 1), und der Koeffizient „c“ numerisch gleich dem Koeffizienten "a", dann sind seine Wurzeln gleich

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Wenn in der Gleichung ax 2 - bx - c \u003d 0 der Koeffizient "b" gleich (a 2 - 1) ist und der Koeffizient c numerisch gleich dem Koeffizienten "a" ist, dann sind seine Wurzeln

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Satz von Vieta.

Der Satz von Vieta ist nach dem berühmten französischen Mathematiker Francois Vieta benannt. Unter Verwendung des Vieta-Theorems kann man die Summe und das Produkt der Wurzeln einer beliebigen KU durch ihre Koeffizienten ausdrücken.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

In Summe ergibt die Zahl 14 nur 5 und 9. Das sind die Wurzeln. Mit einer gewissen Geschicklichkeit kann man mit dem vorgestellten Theorem viele quadratische Gleichungen sofort mündlich lösen.

Außerdem der Satz von Vieta. bequem, weil nach dem Lösen der quadratischen Gleichung auf die übliche Weise(durch die Diskriminante) können die erhaltenen Wurzeln überprüft werden. Ich empfehle, dies die ganze Zeit zu tun.

ÜBERTRAGUNGSMETHODE

Bei dieser Methode wird der Koeffizient "a" mit dem freien Term multipliziert, als ob er ihm "übertragen" würde, weshalb es heißt Übertragungsmethode. Diese Methode wird verwendet, wenn es einfach ist, die Wurzeln einer Gleichung mit dem Satz von Vieta zu finden, und vor allem, wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.

Wenn ein a± b+c≠ 0, dann wird die Übertragungstechnik verwendet, zum Beispiel:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Nach dem Vieta-Theorem in Gleichung (2) lässt sich leicht bestimmen, dass x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Die erhaltenen Wurzeln der Gleichung müssen durch 2 geteilt werden (da die beiden von x 2 „geworfen“ wurden), erhalten wir

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Was ist die Begründung? Sehen Sie, was passiert.

Die Diskriminanten der Gleichungen (1) und (2) sind:

Schaut man sich die Wurzeln der Gleichungen an, so erhält man nur unterschiedliche Nenner, und das Ergebnis hängt genau vom Koeffizienten bei x 2 ab:

Die zweiten (modifizierten) Wurzeln sind 2 mal größer.

Deshalb teilen wir das Ergebnis durch 2.

*Wenn wir einen Drilling würfeln, teilen wir das Ergebnis durch 3 und so weiter.

Antwort: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq. ur-ie und die Prüfung.

Ich werde kurz auf seine Bedeutung eingehen - SIE SOLLTEN SICH schnell und ohne nachzudenken entscheiden können, Sie müssen die Formeln der Wurzeln und der Diskriminante auswendig kennen. Viele der Aufgaben, die Teil der USE-Aufgaben sind, laufen darauf hinaus, eine quadratische Gleichung (einschließlich geometrischer) zu lösen.

Was ist erwähnenswert!

1. Die Form der Gleichung kann "implizit" sein. Beispielsweise ist folgender Eintrag möglich:

15+ 9x 2 - 45x = 0 oder 15x+42+9x 2 - 45x=0 oder 15 -5x+10x 2 = 0.

Sie müssen ihn zu sich bringen Standardform(um bei der Entscheidung nicht verwirrt zu werden).

2. Denken Sie daran, dass x ein unbekannter Wert ist und mit jedem anderen Buchstaben bezeichnet werden kann - t, q, p, h und andere.

Quadratische Gleichungen. Diskriminant. Lösung, Beispiele.

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Arten quadratischer Gleichungen

Was ist eine quadratische Gleichung? Wie sieht es aus? In der Bezeichnung quadratische Gleichung Stichwort ist "Quadrat". Es bedeutet das in der Gleichung Notwendig Es muss ein x zum Quadrat geben. Darüber hinaus kann es in der Gleichung nur x (bis zum ersten Grad) und nur eine Zahl geben (oder auch nicht!). (Freies Mitglied). Und es sollte kein x in einem Grad größer als zwei geben.

Mathematisch gesehen ist eine quadratische Gleichung eine Gleichung der Form:

Hier a, b und c- einige Zahlen. b und c- absolut jeder, aber a- alles andere als null. Zum Beispiel:

Hier a =1; b = 3; c = -4

Hier a =2; b = -0,5; c = 2,2

Hier a =-3; b = 6; c = -18

Nun, Sie haben die Idee ...

In diesen quadratischen Gleichungen auf der linken Seite gibt es vollständiger Satz Mitglieder. x quadriert mit Koeffizient a, x hoch 1 mit Koeffizient b und freies Mitglied bei

Solche quadratischen Gleichungen werden aufgerufen Komplett.

Und wenn b= 0, was bekommen wir? Wir haben X wird im ersten Grad verschwinden. Dies geschieht durch Multiplizieren mit Null.) Es stellt sich heraus, zum Beispiel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Usw. Und wenn beide Koeffizienten b und c gleich Null sind, dann ist es noch einfacher:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Solche Gleichungen, wo etwas fehlt, nennt man Unvollständige quadratische Gleichungen. Was ziemlich logisch ist.) Bitte beachten Sie, dass x zum Quadrat in allen Gleichungen vorhanden ist.

Übrigens warum a kann nicht null sein? Und Sie ersetzen stattdessen a Null.) Das X im Quadrat verschwindet! Die Gleichung wird linear. Und es geht anders...

Das sind alle Haupttypen quadratischer Gleichungen. Vollständig und unvollständig.

Lösung quadratischer Gleichungen.

Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen.

Quadratische Gleichungen sind einfach zu lösen. Nach Formeln und klaren einfachen Regeln. In der ersten Phase benötigen Sie gegebene Gleichung in die Standardform bringen, d.h. zur Ansicht:

Wenn Ihnen die Gleichung in dieser Form bereits gegeben ist, müssen Sie die erste Stufe nicht ausführen.) Die Hauptsache ist, alle Koeffizienten korrekt zu bestimmen. a, b und c.

Die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird aufgerufen diskriminierend. Aber mehr über ihn weiter unten. Wie Sie sehen können, verwenden wir, um x zu finden nur a, b und c. Jene. Koeffizienten aus der quadratischen Gleichung. Ersetzen Sie die Werte einfach sorgfältig a, b und c in diese Formel und zähle. Ersatz mit deinen Zeichen! Zum Beispiel in der Gleichung:

a =1; b = 3; c= -4. Hier schreiben wir:

Beispiel fast gelöst:

Das ist die Antwort.

Alles ist sehr einfach. Und was denkst du, du kannst nichts falsch machen? Nun ja, wie...

Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit den Vorzeichen von Werten a, b und c. Oder besser gesagt, nicht mit ihren Vorzeichen (wo soll da was verwechselt werden?), sondern bei der Substitution negative Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln ein. Hier wird eine detaillierte Aufzeichnung der Formel mit konkreten Nummern gespeichert. Bei Rechenproblemen also mach es!

Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:

Hier a = -6; b = -5; c = -1

Nehmen wir an, Sie wissen, dass Sie beim ersten Mal selten Antworten erhalten.

Nun, sei nicht faul. Es dauert 30 Sekunden, um eine zusätzliche Zeile zu schreiben, und die Anzahl der Fehler wird stark abfallen. Also schreiben wir ausführlich, mit allen Klammern und Zeichen:

Es scheint unglaublich schwierig, so sorgfältig zu malen. Aber es scheint nur. Versuch es. Nun, oder wählen Sie. Was ist besser, schnell oder richtig? Außerdem werde ich dich glücklich machen. Nach einer Weile müssen Sie nicht mehr alles so sorgfältig streichen. Es wird sich einfach als richtig herausstellen. Vor allem, wenn Sie praktische Techniken anwenden, die unten beschrieben werden. Das böses Beispiel Mit ein paar Minuspunkten wird es einfach und fehlerfrei gelöst!

Aber oft sehen quadratische Gleichungen etwas anders aus. Zum Beispiel so:

Wussten Sie schon?) Ja! Das Unvollständige quadratische Gleichungen.

Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen.

Sie können auch durch die allgemeine Formel gelöst werden. Sie müssen nur richtig herausfinden, was hier gleich ist a, b und c.

Erkannte? Im ersten Beispiel a = 1; b = -4; a c? Es existiert überhaupt nicht! Nun ja, das stimmt. In der Mathematik bedeutet dies das c = 0 ! Das ist alles. Setzen Sie stattdessen Null in die Formel ein c, und alles wird für uns klappen. Ähnlich beim zweiten Beispiel. Nur Null haben wir hier nicht mit, a b !

Aber unvollständige quadratische Gleichungen lassen sich viel einfacher lösen. Ohne irgendwelche Formeln. Betrachten Sie die erste unvollständige Gleichung. Was kann man auf der linken Seite tun? Du kannst das X aus Klammern nehmen! Nehmen wir es heraus.

Und was daraus? Und die Tatsache, dass das Produkt genau dann gleich Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist! Glauben Sie nicht? Nun, dann denken Sie sich zwei Zahlen ungleich Null aus, die, wenn sie multipliziert werden, Null ergeben!
Klappt nicht? Etwas...
Daher können wir getrost schreiben: x 1 = 0, x 2 = 4.

Alles. Dies werden die Wurzeln unserer Gleichung sein. Beide passen. Wenn wir eine davon in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir die korrekte Identität 0 = 0. Wie Sie sehen können, ist die Lösung viel einfacher als die allgemeine Formel. Ich stelle übrigens fest, welches X das erste und welches das zweite sein wird - es ist absolut gleichgültig. Einfach in Ordnung zu schreiben x 1- was auch immer weniger ist x 2- das was mehr ist.

Auch die zweite Gleichung lässt sich leicht lösen. Wir verschieben 9 auf die rechte Seite. Wir bekommen:

Es bleibt, die Wurzel aus 9 zu ziehen, und das war's. Werden:

auch zwei Wurzeln . x 1 = -3, x 2 = 3.

So werden alle unvollständigen quadratischen Gleichungen gelöst. Entweder durch Entfernen von X aus Klammern oder durch einfaches Übertragen der Zahl nach rechts und anschließendem Wurzelziehen.
Es ist äußerst schwierig, diese Methoden zu verwechseln. Einfach, weil Sie im ersten Fall die Wurzel aus X ziehen müssen, was irgendwie unverständlich ist, und im zweiten Fall gibt es nichts aus Klammern zu nehmen ...

Diskriminant. Diskriminante Formel.

magisches Wort diskriminierend ! Ein seltener Gymnasiast hat dieses Wort noch nicht gehört! Der Satz „durch die Diskriminante entscheiden“ ist beruhigend und beruhigend. Denn auf Tricks der Diskriminanten muss nicht gewartet werden! Es ist einfach und problemlos in der Handhabung.) Ich erinnere Sie an die meisten allgemeine Formel für Lösungen irgendein quadratische Gleichungen:

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen heißt Diskriminante. Die Diskriminante wird normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet D. Diskriminanzformel:

D = b2 - 4ac

Und was ist so besonders an diesem Ausdruck? Warum verdient es einen besonderen Namen? Worin Bedeutung der Diskriminante? Letztendlich -b, oder 2a In dieser Formel nennen sie nicht speziell ... Buchstaben und Buchstaben.

Der Punkt ist folgender. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel ist es möglich nur drei Fälle.

1. Die Diskriminante ist positiv. Dies bedeutet, dass Sie die Wurzel daraus extrahieren können. Ob die Wurzel gut oder schlecht gezogen wird, ist eine andere Frage. Es ist wichtig, was im Prinzip extrahiert wird. Dann hat deine quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Zwei verschiedene Lösungen.

2. Die Diskriminante ist Null. Dann haben Sie eine Lösung. Da das Addieren oder Subtrahieren von Null im Zähler nichts ändert. Genau genommen ist dies keine einzelne Wurzel, sondern zwei identisch. Aber in einer vereinfachten Version ist es üblich, darüber zu sprechen eine Lösung.

3. Die Diskriminante ist negativ. Eine negative Zahl zieht nicht die Quadratwurzel. Na ja, okay. Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Um ehrlich zu sein, bei einfache Lösung Bei quadratischen Gleichungen ist das Konzept der Diskriminante nicht besonders erforderlich. Wir ersetzen die Werte der Koeffizienten in der Formel und betrachten. Da stellt sich alles von selbst heraus und zwei Wurzeln und eine und keine einzige. Allerdings beim Lösen komplexerer Aufgaben, ohne Wissen Bedeutung und Diskriminanzformel nicht genug. Besonders - in Gleichungen mit Parametern. Solche Gleichungen sind Kunstflug für das GIA und die Einheitliche Staatsprüfung!)

So, wie man quadratische gleichungen löst durch die Diskriminante, an die Sie sich erinnerten. Oder gelernt, was auch nicht schlimm ist.) Du weißt, wie man richtig erkennt a, b und c. Weißt du wie aufmerksam Ersetzen Sie sie in die Wurzelformel und aufmerksam zählen das Ergebnis. Hast du verstanden, dass das Schlüsselwort hier ist - aufmerksam?

Beachten Sie nun die praktischen Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren. Gerade die, die auf Unaufmerksamkeit zurückzuführen sind ... Für die es dann schmerzhaft und beleidigend ist ...

Erster Empfang . Seien Sie nicht faul, bevor Sie eine quadratische Gleichung lösen, um sie in eine Standardform zu bringen. Was bedeutet das?
Angenommen, Sie erhalten nach allen Transformationen die folgende Gleichung:

Beeilen Sie sich nicht, die Formel der Wurzeln zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen verwechseln a, b und c. Baue das Beispiel richtig auf. Zuerst x im Quadrat, dann ohne Quadrat, dann ein freies Mitglied. So:

Und noch einmal: keine Eile! Das Minus vor dem x zum Quadrat kann Sie sehr verärgern. Es zu vergessen ist leicht ... Werde das Minus los. Wie? Ja, wie im vorherigen Thema gelehrt! Wir müssen die ganze Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:

Und jetzt können Sie die Formel für die Wurzeln sicher aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel vervollständigen. Entscheiden Sie selbst. Sie sollten mit den Wurzeln 2 und -1 enden.

Zweiter Empfang. Überprüfen Sie Ihre Wurzeln! Nach dem Satz von Vieta. Keine Sorge, ich erkläre dir alles! Überprüfung letztes Ding Die gleichung. Jene. diejenige, mit der wir die Formel der Wurzeln niedergeschrieben haben. Wenn (wie in diesem Beispiel) der Koeffizient a = 1, überprüfen Sie die Wurzeln leicht. Es reicht aus, sie zu multiplizieren. Sie sollten eine freie Amtszeit bekommen, d.h. in unserem Fall -2. Achtung, nicht 2, sondern -2! Freies Mitglied mit deinem Zeichen . Wenn es nicht geklappt hat, bedeutet das, dass sie bereits irgendwo Mist gebaut haben. Suchen Sie nach einem Fehler.

Wenn es geklappt hat, müssen Sie die Wurzeln falten. Letzte und letzte Kontrolle. Sollte ein Verhältnis sein b mit Gegenteil Schild. In unserem Fall -1+2 = +1. Ein Koeffizient b, das vor dem x steht, ist gleich -1. Also alles richtig!
Schade, dass es nur für Beispiele so einfach ist, wo x zum Quadrat rein ist, mit einem Koeffizienten a = 1. Aber überprüfen Sie wenigstens solche Gleichungen! Es werden weniger Fehler passieren.

Rezeption dritte . Wenn Ihre Gleichung Bruchkoeffizienten hat, werden Sie die Brüche los! Multiplizieren Sie die Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner, wie in der Lektion "Gleichungen lösen? Identitätstransformationen" beschrieben. Bei der Arbeit mit Brüchen steigen Fehler aus irgendeinem Grund ...

Übrigens habe ich zur Vereinfachung ein böses Beispiel mit ein paar Minuspunkten versprochen. Gern geschehen! Da ist er.

Um bei den Minuszeichen nicht durcheinander zu kommen, multiplizieren wir die Gleichung mit -1. Wir bekommen:

Das ist alles! Entscheiden macht Spaß!

Fassen wir das Thema also nochmal zusammen.

Praktische Tipps:

1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.

2. Wenn vor dem x im Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren.

3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren.

4. Wenn x im Quadrat sauber ist, der Koeffizient dabei gleich eins, kann die Lösung leicht durch den Satz von Vieta verifiziert werden. Tu es!

Jetzt können Sie entscheiden.)

Gleichungen lösen:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Antworten (durcheinander):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - eine beliebige Zahl

x 1 = -3
x 2 = 3

keine Lösungen

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Passt alles? Bußgeld! Quadratische Gleichungen sind nicht Ihre Kopfschmerzen. Die ersten drei fielen aus, aber der Rest nicht? Dann liegt das Problem nicht in quadratischen Gleichungen. Das Problem liegt in identischen Transformationen von Gleichungen. Schau dir mal den Link an, ist hilfreich.

Funktioniert nicht ganz? Oder geht das gar nicht? Dann hilft Ihnen Abschnitt 555. Dort sind alle diese Beispiele nach Knochen sortiert. Anzeigen hauptsächlich Fehler in der Lösung. Natürlich wird auch über die Verwendung gesprochen identische Transformationen beim Lösen verschiedener Gleichungen. Hilft sehr!

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.