So finden Sie die Null in einer quadratischen Funktion. Graph einer quadratischen Funktion

Präsentation und Lektion zum Thema:
"Graph der Funktion $y=ax^2+bx+c$. Eigenschaften"

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Jungs, weiter letzten Unterricht wir bauen große Menge Graphen, darunter viele Parabeln. Heute werden wir die gewonnenen Erkenntnisse zusammenfassen und lernen, wie man Graphen dieser Funktion in allgemeinster Form erstellt.
Betrachten wir das quadratische Trinom $a*x^2+b*x+c$. $a, b, c$ heißen Koeffizienten. Sie können eine beliebige Zahl sein, aber $a≠0$. $a*x^2$ heißt führender Term, $a$ heißt führender Koeffizient. Es ist erwähnenswert, dass die Koeffizienten $b$ und $c$ sein können Null, das heißt, das Trinom besteht aus zwei Termen, und der dritte ist gleich Null.

Betrachten wir die Funktion $y=a*x^2+b*x+c$. Diese Funktion wird "quadratisch" genannt, weil die höchste Potenz die Sekunde ist, also ein Quadrat. Die Koeffizienten sind die gleichen wie oben definiert.

In der letzten Lektion im letzten Beispiel haben wir die Konstruktion eines Graphen einer ähnlichen Funktion analysiert.
Lassen Sie uns beweisen, dass jede solche quadratische Funktion auf die folgende Form reduziert werden kann: $y=a(x+l)^2+m$.

Der Graph einer solchen Funktion wird mit konstruiert Zusatzsystem Koordinaten. In der großen Mathematik sind Zahlen ziemlich selten. Fast jedes Problem muss im allgemeinsten Fall bewiesen werden. Heute werden wir einen solchen Beweis analysieren. Leute, ihr könnt die volle Kraft des mathematischen Apparats sehen, aber auch seine Komplexität.

Lassen Sie uns herausgreifen volles Quadrat aus dem quadratischen Trinom:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Wir haben bekommen, was wir wollten.
Jede quadratische Funktion kann dargestellt werden als:
$y=a(x+l)^2+m$, wobei $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.

Um $y=a(x+l)^2+m$ zu plotten, müssen Sie die Funktion $y=ax^2$ plotten. Außerdem befindet sich die Spitze der Parabel am Punkt mit den Koordinaten $(-l;m)$.
Unsere Funktion $y=a*x^2+b*x+c$ ist also eine Parabel.
Die Achse der Parabel wird die gerade Linie $x=-\frac(b)(2a)$ sein, und die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel entlang der Abszisse werden, wie wir sehen können, nach folgender Formel berechnet: $x_ (c)=-\frac(b)(2a) $.
Um die Koordinate des Scheitelpunkts einer Parabel entlang der y-Achse zu berechnen, können Sie:

• verwende die Formel: $y_(c)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
• Setzen Sie die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts direkt in die ursprüngliche Funktion ein: $y_(c)=ax_(c)^2+b*x_(c)+c$.

Wie berechnet man die Ordinate eines Scheitelpunkts? Auch hier haben Sie die Wahl, aber normalerweise ist der zweite Weg einfacher zu berechnen.
Wenn Sie einige Eigenschaften beschreiben oder bestimmte Fragen beantworten möchten, ist es nicht immer notwendig, eine Funktion zu zeichnen. Die wichtigsten Fragen, die ohne Konstruktion beantwortet werden können, werden im folgenden Beispiel betrachtet.

Beispiel 1
Ohne die Antwort der Funktion $y=4x^2-6x-3$ zu plotten nächste Fragen:

Lösung.
a) Die Achse der Parabel ist die Gerade $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3). )(4)$ .
b) Wir haben die Abszisse des Scheitelpunkts über $x_(c)=\frac(3)(4)$ gefunden.
Wir finden die Ordinate des Scheitelpunkts durch direktes Einsetzen in die ursprüngliche Funktion:
$y_(v)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
c) Den Graphen der gesuchten Funktion erhält man durch paralleles Übertragen des Graphen $y=4x^2$. Ihre Äste blicken nach oben, was bedeutet, dass auch die Äste der Parabel der ursprünglichen Funktion nach oben blicken.
Im Allgemeinen, wenn der Koeffizient $a>0$, dann schauen die Zweige nach oben, wenn der Koeffizient $a
Beispiel 2
Stellen Sie die Funktion graphisch dar: $y=2x^2+4x-6$.

Lösung.
Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel:
$x_(b)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(v)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Beachten Sie die Koordinate des Scheitelpunkts auf der Koordinatenachse. An dieser Stelle, als ob neues System Koordinaten konstruieren wir eine Parabel $y=2x^2$.

Es gibt viele Möglichkeiten, die Konstruktion von Parabeldiagrammen zu vereinfachen.

• Wir können zwei symmetrische Punkte finden, den Wert der Funktion an diesen Punkten berechnen, sie auf der Koordinatenebene markieren und sie mit dem Scheitelpunkt der Kurve verbinden, die die Parabel beschreibt.
• Wir können rechts oder links von der Spitze einen Parabelast bauen und ihn dann spiegeln.
• Wir können nach Punkten bauen.

Beispiel 3
Finden Sie die größten und kleinster Wert Funktionen: $y=-x^2+6x+4$ auf dem Segment $[-1;6]$.

Lösung.
Lassen Sie uns ein Diagramm dieser Funktion erstellen, das erforderliche Intervall auswählen und die niedrigsten und höchsten Punkte unseres Diagramms finden.
Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel:
$x_(b)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(v)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
An der Stelle mit den Koordinaten $(3;13)$ konstruieren wir eine Parabel $y=-x^2$. Wählen Sie das gewünschte Intervall aus. Der tiefste Punkt hat eine Koordinate von -3, der höchste Hochpunkt- koordinieren 13.
$y_(name)=-3$; $y_(naib)=13$.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

1. Beantworten Sie die folgenden Fragen, ohne die Funktion $y=-3x^2+12x-4$ zu zeichnen:
a) Geben Sie die Gerade an, die als Achse der Parabel dient.
b) Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts.
c) Wohin zeigt die Parabel (nach oben oder unten)?
2. Stellen Sie die Funktion graphisch dar: $y=2x^2-6x+2$.
3. Stellen Sie die Funktion graphisch dar: $y=-x^2+8x-4$.
4. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion: $y=x^2+4x-3$ auf dem Segment $[-5;2]$.

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form:
y=a*(x^2)+b*x+c,
wobei a der Koeffizient am höchsten Grad der Unbekannten x ist,
b - Koeffizient bei unbekanntem x,
und c ist ein freies Mitglied.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Kurve, die Parabel genannt wird. Die allgemeine Ansicht der Parabel ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Abb.1 Gesamtansicht der Parabel.

Es gibt ein paar verschiedene Wege Zeichnen einer quadratischen Funktion. Wir werden die wichtigsten und allgemeinsten von ihnen betrachten.

Algorithmus zum Zeichnen eines Graphen einer quadratischen Funktion y=a*(x^2)+b*x+c

1. Bauen Sie ein Koordinatensystem auf, markieren Sie ein einzelnes Segment und beschriften Sie die Koordinatenachsen.

2. Bestimmen Sie die Richtung der Äste der Parabel (nach oben oder nach unten).
Dazu müssen Sie sich das Vorzeichen des Koeffizienten a ansehen. Wenn Plus - dann sind die Äste nach oben gerichtet, wenn Minus - dann sind die Äste nach unten gerichtet.

3. Bestimmen Sie die x-Koordinate der Spitze der Parabel.
Dazu müssen Sie die Formel Tops = -b / 2 * a verwenden.

4. Bestimme die Koordinate an der Spitze der Parabel.
Ersetzen Sie dazu in der Gleichung von Top = a * (x ^ 2) + b * x + c anstelle von x den Wert von Top, der im vorherigen Schritt gefunden wurde.

5. Setzen Sie den erhaltenen Punkt in den Graphen und ziehen Sie eine Symmetrieachse durch ihn, parallel zur Koordinatenachse Oy.

6. Suchen Sie die Schnittpunkte des Diagramms mit der x-Achse.
Dazu muss die quadratische Gleichung a*(x^2)+b*x+c = 0 mit einer der bekannten Methoden gelöst werden. Wenn die Gleichung keine reellen Wurzeln hat, schneidet der Graph der Funktion die x-Achse nicht.

7. Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen mit der Oy-Achse.
Dazu setzen wir den Wert x = 0 in die Gleichung ein und berechnen den Wert von y. Diesen und den dazu symmetrischen Punkt markieren wir in der Grafik.

8. Finden Sie die Koordinaten eines beliebigen Punktes A (x, y)
Dazu wählen wir einen beliebigen Wert der x-Koordinate und setzen ihn in unsere Gleichung ein. Wir erhalten den Wert von y an dieser Stelle. Setzen Sie einen Punkt in den Graphen. Und markieren Sie auch einen Punkt auf dem Diagramm, der symmetrisch zum Punkt A (x, y) ist.

9. Verbinden Sie die erhaltenen Punkte auf dem Diagramm mit einer glatten Linie und setzen Sie das Diagramm fort Extrempunkte, bis zum Ende der Koordinatenachse. Unterzeichnen Sie die Grafik entweder auf dem Callout oder, wenn es der Platz zulässt, entlang der Grafik selbst.

Ein Beispiel für das Zeichnen eines Diagramms

Lassen Sie uns als Beispiel eine quadratische Funktion zeichnen durch die Gleichung gegeben y=x^2+4*x-1
1. Zeichnen Sie Koordinatenachsen, signieren Sie sie und markieren Sie ein einzelnes Segment.
2. Die Werte der Koeffizienten a=1, b=4, c= -1. Da a \u003d 1 ist, was größer als Null ist, sind die Zweige der Parabel nach oben gerichtet.
3. Bestimme die X-Koordinate der Spitze der Parabel Tops = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Bestimmen Sie die Koordinate Oben auf der Parabel
Spitzen = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Markieren Sie den Scheitelpunkt und zeichnen Sie eine Symmetrieachse.
6. Wir finden die Schnittpunkte des Graphen einer quadratischen Funktion mit der Ox-Achse. Wir lösen die quadratische Gleichung x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Wir markieren die erhaltenen Werte in der Grafik.
7. Finde die Schnittpunkte des Graphen mit der Oy-Achse.
x=0; y=-1
8. Wähle einen beliebigen Punkt B. Er habe eine Koordinate x=1.
Dann ist y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Wir verbinden die erhaltenen Punkte und unterschreiben das Diagramm.

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Aufgaben zu den Eigenschaften und Graphen einer quadratischen Funktion verursachen, wie die Praxis zeigt, ernsthafte Schwierigkeiten. Das ist ziemlich seltsam, denn die quadratische Funktion wird in der 8. Klasse bestanden, und dann wird das gesamte erste Viertel der 9. Klasse durch die Eigenschaften der Parabel "erpresst" und ihre Graphen für verschiedene Parameter gebaut.

Dies liegt daran, dass die Schüler, die gezwungen sind, Parabeln zu bauen, praktisch keine Zeit für das "Lesen" von Diagrammen aufwenden, dh sie üben nicht, die aus dem Bild erhaltenen Informationen zu verstehen. Anscheinend wird angenommen, dass ein kluger Student, nachdem er ein Dutzend oder zwei Diagramme erstellt hat, selbst die Beziehung zwischen den Koeffizienten in der Formel und entdecken und formulieren wird Aussehen Grafik. In der Praxis funktioniert dies nicht. Für eine solche Verallgemeinerung ist ernsthafte Erfahrung in mathematischer Mini-Forschung erforderlich, die die meisten Neuntklässler natürlich nicht haben. In der Zwischenzeit schlagen sie in der GIA vor, die Vorzeichen der Koeffizienten genau nach dem Zeitplan zu bestimmen.

Wir werden Schülern nicht das Unmögliche abverlangen und einfach einen der Algorithmen zur Lösung solcher Probleme anbieten.

Also eine Funktion der Form y=ax2+bx+c heißt quadratisch, ihr Graph ist eine Parabel. Wie der Name schon sagt, ist die Hauptkomponente Axt 2. Also a nicht gleich Null sein sollen, die restlichen Koeffizienten ( b und Mit) kann gleich Null sein.

Mal sehen, wie die Vorzeichen ihrer Koeffizienten das Aussehen der Parabel beeinflussen.

Die einfachste Abhängigkeit für den Koeffizienten a. Die meisten Schüler antworten selbstbewusst: "Wenn a> 0, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet, und wenn a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

In diesem Fall a = 0,5

Und jetzt für a < 0:

y = - 0,5 x 2 - 3 x + 1

In diesem Fall a = - 0,5

Einfluss des Koeffizienten Mit auch leicht genug zu folgen. Stellen Sie sich vor, wir wollen den Wert einer Funktion an einem Punkt finden X= 0. Setzen Sie Null in die Formel ein:

j = a 0 2 + b 0 + c = c. Es stellt sich heraus, dass y = c. Also Mit ist die Ordinate des Schnittpunktes der Parabel mit der y-Achse. In der Regel ist dieser Punkt auf der Karte leicht zu finden. Und bestimmen Sie, ob es über Null oder unter Null liegt. Also Mit> 0 bzw Mit < 0.

Mit > 0:

y=x2+4x+3

Mit < 0

y = x 2 + 4x - 3

Dementsprechend, wenn Mit= 0, dann geht die Parabel zwangsläufig durch den Ursprung:

y=x2+4x

Schwieriger mit dem Parameter b. Der Punkt, an dem wir es finden, hängt nicht nur davon ab b sondern auch von a. Dies ist die Spitze der Parabel. Seine Abszisse (Achsenkoordinate X) wird durch die Formel gefunden x in \u003d - b / (2a). Auf diese Weise, b = - 2x Zoll. Das heißt, wir gehen wie folgt vor: Auf dem Diagramm finden wir die Spitze der Parabel, bestimmen das Vorzeichen ihrer Abszisse, das heißt, wir schauen rechts von Null ( x ein> 0) oder nach links ( x ein < 0) она лежит.

Dies ist jedoch noch nicht alles. Wir müssen auch auf das Vorzeichen des Koeffizienten achten a. Das heißt, um zu sehen, wohin die Zweige der Parabel gerichtet sind. Und erst danach, laut Formel b = - 2x Zoll Vorzeichen bestimmen b.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Äste nach oben gerichtet a> 0, die Parabel schneidet die Achse bei unter Null bedeutet Mit < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x ein> 0. Also b = - 2x Zoll = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, Mit < 0.