Heimat / Krätze/ Mathematiker Perelman Yakov: Beitrag zur Wissenschaft. Der berühmte russische Mathematiker Grigory Perelman. Der russische Mathematiker Perelman Grigory Yakovlevich, der die Poincaré-Vermutung bewies: Biografie, persönliches Leben, interessante Fakten

Mathematiker Perelman Yakov: Beitrag zur Wissenschaft. Der berühmte russische Mathematiker Grigory Perelman. Der russische Mathematiker Perelman Grigory Yakovlevich, der die Poincaré-Vermutung bewies: Biografie, persönliches Leben, interessante Fakten

Satz von Poincaré - mathematische Formel"Universum". Grigori Perelmann. Teil 1 (aus der Reihe "Real Man in Science")

Henri Poincaré (1854-1912), einer von die größten Mathematiker, formulierte 1904 die berühmte Idee einer deformierten dreidimensionalen Kugel und kritzelte in Form einer kleinen Randnotiz am Ende eines 65-seitigen Artikels zu einem ganz anderen Thema einige Zeilen einer ziemlich seltsamen Hypothese mit die Worte: "Nun, diese Frage kann uns zu weit führen "...

Marcus Du Sotoy von der University of Oxford glaubt, dass Poincarés Theorem „dies ist das zentrale Problem der Mathematik und Physik, versucht zu verstehen welche Form kann sein Universum Es ist sehr schwer, ihr nahe zu kommen."

Grigory Perelman reiste einmal wöchentlich nach Princeton, um an einem Seminar des Institute for Advanced Study teilzunehmen. Auf dem Seminar beantwortet einer der Mathematiker der Harvard University Perelmans Frage: „Die Theorie von William Thurston (1946-2012, Mathematiker, arbeitet auf dem Gebiet der „Dreidimensionalen Geometrie und Topologie“), genannt Geometrisierungshypothese, beschreibt alles möglichen dreidimensionalen Oberflächen und ist ein Fortschritt gegenüber der Poincaré-Hypothese. Wenn Sie die Vermutung von William Thurston beweisen, dann wird Ihnen die Poincare-Vermutung alle Türen und mehr öffnen seine Lösung wird die gesamte topologische Landschaft der modernen Wissenschaft verändern».

Sechs führende amerikanische Universitäten laden Perelman im März 2003 zu einer Vortragsreihe ein, in der er seine Arbeit erklärt. Im April 2003 unternimmt Perelman eine wissenschaftliche Tour. Seine Vorlesungen werden zu einem herausragenden wissenschaftlichen Ereignis. John Ball (Vorsitzender der International Mathematical Union), Andrew Wiles (Mathematiker, arbeitet auf dem Gebiet der Arithmetik elliptischer Kurven, bewies 1994 den Satz von Fermat) kommen nach Princeton, um ihm zuzuhören, John Nash(Mathematiker im Bereich Spieltheorie und Differentialgeometrie).

Grigory Perelman hat es geschafft, eine der sieben Aufgaben des Jahrtausends zu lösen und mathematisch beschreiben die sogenannte die Formel des Universums, um die Poincaré-Vermutung zu beweisen. Die klügsten Köpfe haben mehr als 100 Jahre um diese Hypothese gekämpft, für deren Beweis die weltweite mathematische Gemeinschaft (das Clay Mathematical Institute) 1 Million US-Dollar versprach. Sie wurde am 8. Juni 2010 vorgestellt. Grigory Perelman erschien nicht darauf , und die weltweite mathematische Gemeinschaft ließ die Kinnlade herunterfallen.

2006 erhielt der Mathematiker für die Lösung der Poincaré-Vermutung die höchste mathematische Auszeichnung – den Fields-Preis (Fields-Medaille). John Ball besuchte St. Petersburg persönlich, um ihn zu überzeugen, den Preis anzunehmen. Er lehnte es mit den Worten ab: "Die Gesellschaft ist kaum in der Lage, meine Arbeit ernsthaft zu bewerten."

„Der Fields-Preis (und die Medaille) wird alle 4 Jahre auf jedem internationalen Mathematikkongress an junge Wissenschaftler (unter 40 Jahren) verliehen, die einen bedeutenden Beitrag zur Entwicklung der Mathematik geleistet haben. Zusätzlich zur Medaille erhalten die Preisträger 15.000 kanadische Dollar (13.000 US-Dollar).

In ihrer ursprünglichen Formulierung lautet die Poincaré-Vermutung wie folgt: „Jede einfach zusammenhängende kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand ist homöomorph zu einer dreidimensionalen Sphäre.“ In die Umgangssprache übersetzt bedeutet dies, dass jedes dreidimensionale Objekt, beispielsweise ein Glas, allein durch Verformung in eine Kugel verwandelt werden kann, also nicht geschnitten oder geklebt werden muss. Mit anderen Worten, Poincaré schlug das vor Raum ist nicht dreidimensional, sondern enthält signifikant mehr Messungen, und Perelman 100 Jahre später bewies es mathematisch.

Grigory Perelmans Ausdruck des Satzes von Poincaré über die Umwandlung der Materie in einen anderen Zustand, Form, ähnelt dem Wissen, das in Anastasia Novykhs Buch "Sensei IV: Nadeln" dargelegt ist. Sowie die Fähigkeit, das materielle Universum durch Transformationen zu kontrollieren, die vom Beobachter aus Kontrolldimensionen über der sechsten (von 7 bis einschließlich 72) eingeführt wurden (Bericht „PRIMARY ALLATRA PHYSICS“ Thema „Ezoosmic Grid“).

Grigory Perelman zeichnete sich durch die Strenge des Lebens aus, die Strenge der ethischen Anforderungen sowohl für sich selbst als auch für andere. Wenn man ihn ansieht, hat man das Gefühl, dass er nur ist körperlich wohnt gemeinsam mit allen anderen Zeitgenossen Platz, a Spirituell in einem anderen, wo sogar für 1 Million Dollar gehen Sie nicht der "unschuldigste" Kompromisse mit Gewissen. Und was ist das für ein Raum, und kann man ihn überhaupt aus dem Augenwinkel betrachten? ..

Die außergewöhnliche Bedeutung der Hypothese, die vor etwa einem Jahrhundert vom Mathematiker Poincaré aufgestellt wurde, betrifft dreidimensionale Strukturen und ist Schlüsselelement Zeitgenössische Forschung Grundlagen des Universums. Dieses Rätsel ist laut Experten des Clay Institute eines der sieben grundlegend wichtigen für die Entwicklung der Mathematik der Zukunft.

Perelman lehnt Medaillen und Preise ab und fragt: „Warum brauche ich sie? Sie sind für mich absolut nutzlos. Jeder versteht, dass, wenn der Beweis korrekt ist, keine weitere Anerkennung erforderlich ist. Bis ich Verdacht entwickelte, hatte ich die Wahl, entweder laut über den Zerfall der mathematischen Gemeinschaft als Ganzes aufgrund ihres niedrigen moralischen Niveaus zu sprechen oder nichts zu sagen und mich wie Vieh behandeln zu lassen. Jetzt, wo ich mehr als misstrauisch geworden bin, kann ich kein Vieh bleiben und weiter schweigen, also kann ich nur gehen.

Um moderne Mathematik zu betreiben, muss man einen völlig reinen Geist haben, ohne die geringste Beimischung, die ihn auflöst, desorientiert, Werte ersetzt, und diese Auszeichnung anzunehmen bedeutet, Schwäche zu demonstrieren. Der ideale Wissenschaftler beschäftigt sich nur mit Wissenschaft, kümmert sich um nichts anderes (Macht und Kapital), er muss einen reinen Geist haben, und für Perelman gibt es nichts Wichtigeres, als in Übereinstimmung mit diesem Ideal zu leben. Ist diese ganze Idee mit Millionen für die Mathematik brauchbar und braucht ein echter Wissenschaftler einen solchen Anreiz? Und dieser Wunsch des Kapitals, alles auf dieser Welt zu kaufen und zu unterjochen, ist nicht beleidigend? Oder Sie können verkaufen seine Reinheit für eine Million? Geld, egal wie viel es gibt, ist gleichwertig die Wahrheit der Seele? Schließlich haben wir es mit einer a priori Bewertung von Problemen zu tun, mit denen Geld einfach nichts zu tun haben sollte, oder?! Aus all dem so etwas wie eine Lotto-Million oder einen Tote zu machen, bedeutet, dem Zerfall des Wissenschaftlichen nachzugeben, und zwar die menschliche Gemeinschaft als Ganzes(Siehe den Bericht "PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS" und im Buch "AllatRa" die letzten 50 Seiten über den Weg zum Aufbau einer kreativen Gesellschaft). Und Geldmittel(Energie), die Geschäftsleute bereit sind, der Wissenschaft zu spenden, wenn es notwendig ist, sie zu nutzen, dann ist es richtig oder so, ohne zu demütigen Der Geist des wahren Dienens, was immer man sagen mag, ein unschätzbares monetäres Äquivalent: „ Was ist eine Million im Vergleich, mit Reinheit oder Majestät diese Sphären (über die Dimensionen des globalen Universums und über Spirituelle Welt siehe Buch"AllatRa" und berichten"PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS"), in dem nicht durchdringen können sogar menschlich Vorstellung (Verstand)?! Was ist eine Million Sternenhimmel für Zeit?!“.

Lassen Sie uns eine Interpretation der verbleibenden Begriffe geben, die in der Formulierung der Hypothese vorkommen:

Topologie - (aus dem Griechischen topos - Ort und Logos - Lehre) - ein Zweig der Mathematik, der die topologischen Eigenschaften von Figuren untersucht, d.h. Eigenschaften, die sich unter keinen Verformungen ändern, die ohne Diskontinuitäten und Verklebungen hergestellt werden (genauer gesagt unter Eins-zu-eins- und kontinuierlichen Abbildungen). Beispiele für topologische Eigenschaften von Figuren sind die Dimension, die Anzahl der Kurven, die eine bestimmte Fläche begrenzen, und so weiter. Ein Kreis, eine Ellipse, eine quadratische Kontur haben also dieselben topologischen Eigenschaften, da diese Linien können in der oben beschriebenen Weise ineinander verformt werden; Gleichzeitig haben der Ring und der Kreis unterschiedliche topologische Eigenschaften: Der Kreis wird durch eine Kontur begrenzt, der Ring durch zwei.

Homöomorphismus (griechisch ομοιο - ähnlich, μορφη - Form) ist eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen zwei topologischen Räumen, unter der beide durch diese Entsprechung definierten wechselseitig inversen Abbildungen kontinuierlich sind. Diese Abbildungen werden homöomorphe oder topologische Abbildungen sowie Homöomorphismen genannt, und Räume, von denen gesagt wird, dass sie zum selben topologischen Typ gehören, werden homöomorph oder topologisch äquivalent genannt.

Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung. Dies ist ein solches geometrisches Objekt, bei dem jeder Punkt eine Nachbarschaft in Form einer dreidimensionalen Kugel hat. Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten sind zum einen der gesamte dreidimensionale Raum, bezeichnet mit R3 , sowie beliebige offene Punktmengen in R3 , beispielsweise das Innere eines festen Torus (Donut). Betrachten wir einen geschlossenen festen Torus, d.h. Wenn wir seine Randpunkte (die Oberfläche eines Torus) hinzufügen, erhalten wir eine Mannigfaltigkeit mit einer Grenze - die Randpunkte haben keine Umgebung in Form einer Kugel, sondern nur in Form einer Hälfte der Kugel.

Ein fester Torus (fester Torus) ist ein geometrischer Körper, der homöomorph zum Produkt einer zweidimensionalen Scheibe und eines Kreises D2 * S1 ist. Informell ist ein fester Torus ein Donut, während ein Torus nur seine Oberfläche ist (eine Hohlkammer eines Rades).

Einfach verbunden. Das bedeutet, dass jede kontinuierliche geschlossene Kurve, die sich vollständig innerhalb einer gegebenen Mannigfaltigkeit befindet, glatt zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, ohne diese Mannigfaltigkeit zu verlassen. Beispielsweise wird eine gewöhnliche zweidimensionale Kugel in R3 einfach verbunden (ein elastisches Band, das willkürlich auf die Oberfläche eines Apfels aufgebracht wird, kann durch eine sanfte Verformung an einem Punkt zusammengezogen werden, ohne dass das elastische Band vom Apfel reißt). Andererseits sind der Kreis und der Torus nicht einfach verbunden.

Kompakt. Eine Mannigfaltigkeit ist kompakt, wenn eines ihrer homöomorphen Bilder beschränkte Dimensionen hat. Beispielsweise ist ein offenes Intervall auf einer Linie (alle Punkte eines Segments außer seinen Enden) nicht kompakt, da es kontinuierlich zu einer unendlichen Linie erweitert werden kann. Aber ein geschlossenes Segment (mit Enden) ist eine kompakte Mannigfaltigkeit mit einer Grenze: Bei jeder kontinuierlichen Verformung gehen die Enden zu bestimmten Punkten, und das gesamte Segment muss in eine begrenzte Kurve gehen, die diese Punkte verbindet.

Fortsetzung folgt...

Ilnaz Bascharow

Literatur:

– Bericht „PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS“ der internationalen Gruppe von Wissenschaftlern der Internationalen soziale Bewegung ALLATRA, Hrsg. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Neue. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013 http://schambala.com.ua/book/a... .

- Neue. A., „Sensei-IV“, K.: LOTOS, 2013, 632 S. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, Doktor der Physik und Mathematik Sci., Senior Researcher, Zweigstelle St. Petersburg des Mathematischen Instituts der Russischen Akademie der Wissenschaften

GEDANKENSPIEL

Bis vor kurzem versprach die Mathematik ihren "Priestern" weder Ruhm noch Reichtum. Sie haben nicht einmal einen Nobelpreis bekommen. Es gibt keine solche Nominierung. Einer sehr populären Legende zufolge soll Nobels Frau ihn einmal mit einem Mathematiker betrogen haben. Und als Vergeltung entzog der reiche Mann all seinen Schikanenbrüdern seinen Respekt und sein Preisgeld.

Im Jahr 2000 änderte sich die Situation. Das Clay Mathematics Institute, ein privates mathematisches Institut, hat sieben der schwierigsten Probleme ausgewählt. Und er versprach, für jede Entscheidung eine Million Dollar zu zahlen. Mathematiker wurden mit Respekt behandelt. 2001 brachten die Bildschirme sogar den Film "A Beautiful Mind" heraus, dessen Hauptfigur ein Mathematiker war.

Jetzt wissen nur noch Zivilisationsferne nichts: Eine der versprochenen Millionen – die allererste – wurde bereits vergeben. Der Preis wurde einem russischen Staatsbürger, einem Einwohner von St. Petersburg, Grigory Perelman, für die Lösung der Poincare-Vermutung verliehen, die durch seine Bemühungen zu einem Theorem wurde. Der 44-jährige bärtige Mann wischte sich um die Welt die Nase. Und hält sie – die Welt – nun weiter in Atem. Da ist nicht bekannt, ob der Mathematiker ehrlich eine Million Dollar verdienen oder ablehnen wird. Die progressive Öffentlichkeit in vielen Ländern ist natürlich aufgeregt. Zumindest berichten die Zeitungen aller Kontinente von finanziellen und mathematischen Intrigen.

Und vor dem Hintergrund dieser faszinierenden Aktivitäten – Wahrsagerei und das Teilen des Geldes anderer Menschen – ging die Bedeutung von Perelmans Leistung irgendwie verloren. Der Präsident des Clay Institute, Jim Carlson, sagte natürlich einmal, dass der Zweck des Preisfonds nicht so sehr darin bestehe, Antworten zu finden, sondern zu versuchen, das Ansehen der mathematischen Wissenschaft zu steigern und junge Menschen dafür zu interessieren. Aber trotzdem, was ist der Sinn?

POINCARE-HYPOTHESE – WAS IST DAS?

Das vom russischen Genie gelöste Rätsel betrifft die Grundlagen des Teils der Mathematik namens Topologie. Sie – Topologie – wird oft als „Geometrie auf einer Gummiplatte“ bezeichnet. Es befasst sich mit den Eigenschaften geometrischer Formen, die erhalten bleiben, wenn die Form gedehnt, verdreht oder gebogen wird. Mit anderen Worten, es wird ohne Brüche, Schnitte und Klebstoffe verformt.

Die Topologie ist wichtig für die mathematische Physik, weil sie es uns ermöglicht, die Eigenschaften des Raums zu verstehen. Oder bewerten, ohne die Form dieses Raumes von außen betrachten zu können. Zum Beispiel unser Universum.

Bei der Erklärung der Poincare-Vermutung fangen sie so an: Stellen Sie sich eine zweidimensionale Kugel vor - nehmen Sie eine Gummischeibe und ziehen Sie sie über die Kugel. Damit wird der Umfang der Scheibe an einem Punkt erfasst. Ebenso können Sie beispielsweise einen Sportrucksack mit einer Kordel abziehen. Das Ergebnis ist eine Kugel: für uns - dreidimensional, aber aus mathematischer Sicht - nur zweidimensional.

Dann bieten sie an, dieselbe Scheibe auf einen Donut zu ziehen. Es scheint zu funktionieren. Aber die Ränder der Scheibe laufen zu einem Kreis zusammen, der nicht mehr zu einem Punkt gezogen werden kann - er schneidet den Donut.

Wie ein anderer russischer Mathematiker, Vladimir Uspensky, in seinem populären Buch schrieb: „Im Gegensatz zu zweidimensionalen Sphären sind dreidimensionale Sphären für unsere direkte Beobachtung unzugänglich, und es ist für uns genauso schwierig, sie uns vorzustellen, wie für Wassili Iwanowitsch von der bekannte Anekdote das quadratische Trinom."

Nach der Poincaré-Hypothese ist also eine dreidimensionale Kugel das einzige dreidimensionale Ding, dessen Oberfläche durch eine Art hypothetisches "Hypercord" in einen Punkt gezogen werden kann.

Jules Henri Poincare schlug dies 1904 vor. Jetzt hat Perelman alle, die es verstehen, davon überzeugt, dass der französische Topologe Recht hatte. Und verwandelte seine Hypothese in ein Theorem.

Der Beweis hilft zu verstehen, welche Form unser Universum hat. Und es erlaubt uns, vernünftigerweise davon auszugehen, dass es sich um dieselbe dreidimensionale Kugel handelt. Aber wenn das Universum die einzige "Figur" ist, die bis zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, dann kann es wahrscheinlich auch von einem Punkt aus gestreckt werden. Was als indirekte Bestätigung der Theorie dient Urknall, die besagt: nur von dem Punkt an, an dem das Universum entstand.

Es stellt sich heraus, dass Perelman zusammen mit Poincaré die sogenannten Kreationisten – Anhänger des göttlichen Prinzips des Universums – verärgert hat. Und sie haben Wasser auf die Mühle der materialistischen Physiker geschüttet.

UND ZU DIESER ZEIT

Das Genie hat noch keine Million Dollar aufgegeben

Der Mathematiker weigert sich hartnäckig, mit Journalisten zu kommunizieren. Unsere - überhaupt: Er gibt nicht einmal eine Stimme. Western - wirft Bemerkungen durch eine geschlossene Tür. Bleib weg. Das Genie kommuniziert anscheinend nur mit dem Präsidenten des Clay Institute, Jim Carlson.

Unmittelbar nachdem die Millionen von Grigory Perelman bekannt wurden, antwortete Carlson auf die Frage "Was hat das Genie entschieden?" erwiderte: "Er wird es mir rechtzeitig mitteilen." Das heißt, er deutete an, dass er mit Grigory in Kontakt stand.

Neulich kam eine neue Nachricht vom Präsidenten. Er wurde von der britischen Zeitung The Telegraph der Öffentlichkeit gemeldet: „Er sagte, dass er mich irgendwann über seine Entscheidung informieren würde. Aber er sagte nicht, zumindest ungefähr, wann es sein wird. Ich glaube nicht, dass es morgen richtig sein wird."

Laut dem Präsidenten sprach das Genie trocken, aber höflich. War kurz. Zur Verteidigung von Perelman bemerkte Carlson: „Es kommt nicht jeden Tag vor, dass eine Person auch nur scherzhaft über die Möglichkeit nachdenkt, eine Million Dollar aufzugeben.“

ÜBRIGENS

Was sonst werden sie eine Million Dollar geben

1. Cooks Problem

Es muss festgestellt werden, ob die Überprüfung der Richtigkeit der Lösung eines Problems länger dauern kann als das Erhalten der Lösung selbst. Diese logische Aufgabe ist wichtig für Spezialisten in der Kryptographie - Datenverschlüsselung.

2. Riemann-Hypothese

Es gibt sogenannte Primzahlen, wie 2, 3, 5, 7 usw., die nur durch sich selbst teilbar sind. Wie viele es sind, ist unbekannt. Riemann glaubte, dies feststellen und die Regelmäßigkeit ihrer Verteilung feststellen zu können. Wer es findet, erbringt auch Kryptografiedienste.

3. Birch- und Swinnerton-Dyer-Hypothese

Das Problem bezieht sich auf das Lösen von Gleichungen mit drei potenzierten Unbekannten. Wir müssen herausfinden, wie wir sie lösen können, egal wie schwierig sie sind.

4. Hodge-Hypothese

Im zwanzigsten Jahrhundert entdeckten Mathematiker eine Methode zur Untersuchung der Form komplexer Objekte. Die Idee ist, anstelle des Objekts selbst einfache „Bausteine“ zu verwenden, die zusammengeklebt werden und sein Ebenbild bilden. Wir müssen beweisen, dass dies immer zulässig ist.

5. Navier-Stokes-Gleichungen

Es lohnt sich, sich im Flugzeug an sie zu erinnern. Die Gleichungen beschreiben die Luftströmungen, die es in der Luft halten. Nun werden die Gleichungen näherungsweise nach Näherungsformeln gelöst. Es ist notwendig, exakte zu finden und zu beweisen, dass es im dreidimensionalen Raum eine Lösung der Gleichungen gibt, die immer wahr ist.

6. Yang-Mills-Gleichungen

In der Welt der Physik gibt es eine Hypothese: Wenn ein Elementarteilchen eine Masse hat, dann existiert auch seine untere Grenze. Aber welcher ist nicht klar. Du musst zu ihm kommen. Dies ist vielleicht die schwierigste Aufgabe. Um es zu lösen, ist es notwendig, eine "Theorie von allem" zu erstellen - Gleichungen, die alle Kräfte und Wechselwirkungen in der Natur kombinieren. Wem das gelingt, dem wird mit Sicherheit der Nobelpreis zuteil.

Foto von N. Chetverikova Die letzte große Errungenschaft der reinen Mathematik wird als Beweis der Poincare-Vermutung von Grigory Perelman in den Jahren 2002-2003 bezeichnet, die 1904 zum Ausdruck gebracht wurde und besagt: „Jede zusammenhängende, einfach zusammenhängende, kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung ist homöomorph zur Kugel S 3 ”.

Es gibt mehrere Begriffe in diesem Satz, die ich versuchen werde, so zu erklären, dass ihre allgemeine Bedeutung für Nicht-Mathematiker klar wird (ich gehe davon aus, dass der Leser fertig ist weiterführende Schule und erinnert sich noch an etwas aus der Schulmathematik).

Beginnen wir mit dem Konzept der Homöomorphie, das in der Topologie zentral ist. Im Allgemeinen wird Topologie oft als "Gummigeometrie" definiert, d. h. als die Wissenschaft von den Eigenschaften geometrischer Bilder, die sich bei glatten Verformungen ohne Lücken und Kleben nicht ändern, oder besser gesagt, wenn es möglich ist, eine Eins-zu- Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen zwei Objekten .

Die Grundidee lässt sich am einfachsten am klassischen Beispiel eines Bechers und eines Bagels erklären. Der erste kann durch eine kontinuierliche Verformung in den zweiten umgewandelt werden: Diese Figuren zeigen deutlich, dass ein Becher homöomorph zu einem Donut ist, und diese Tatsache gilt sowohl für ihre Oberflächen (zweidimensionale Mannigfaltigkeiten, Torus genannt) als auch für gefüllte Körper ( dreidimensionale Mannigfaltigkeiten mit Rand).

Lassen Sie uns eine Interpretation der restlichen Begriffe geben, die in der Formulierung der Hypothese vorkommen.

1. Dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung. Dies ist ein solches geometrisches Objekt, bei dem jeder Punkt eine Nachbarschaft in Form einer dreidimensionalen Kugel hat. Beispiele für 3-Mannigfaltigkeiten sind zum einen der gesamte dreidimensionale Raum, bezeichnet mit R 3 , sowie beliebige offene Punktmengen in R 3 , beispielsweise das Innere eines festen Torus (Donut). Betrachten wir einen geschlossenen festen Torus, d. h. addieren seine Randpunkte (die Oberfläche des Torus), dann erhalten wir bereits eine Mannigfaltigkeit mit Rand – die Randpunkte haben keine Nachbarschaften in Form einer Kugel, sondern nur in der Form einer Hälfte des Balls.

2. Verbunden. Das Konzept der Konnektivität ist hier das einfachste. Eine Mannigfaltigkeit ist zusammenhängend, wenn sie aus einem Stück besteht, oder etwas Ähnliches, je zwei ihrer Punkte können durch eine durchgehende Linie verbunden werden, die nicht über ihre Grenzen hinausgeht.

3. Einfach verbunden. Der Begriff der Einzelverbundenheit ist komplizierter. Das bedeutet, dass jede kontinuierliche geschlossene Kurve, die sich vollständig innerhalb einer gegebenen Mannigfaltigkeit befindet, glatt zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, ohne diese Mannigfaltigkeit zu verlassen. Beispielsweise wird eine gewöhnliche zweidimensionale Kugel im R 3 einfach verbunden (ein elastisches Band, das willkürlich an der Oberfläche eines Apfels befestigt ist, kann durch eine sanfte Verformung zu einem Punkt zusammengezogen werden, ohne das elastische Band vom Apfel zu reißen). Andererseits sind der Kreis und der Torus nicht einfach verbunden.

4. Kompakt. Eine Mannigfaltigkeit ist kompakt, wenn eines ihrer homöomorphen Bilder beschränkte Dimensionen hat. Beispielsweise ist ein offenes Intervall auf einer Linie (alle Punkte eines Segments außer seinen Enden) nicht kompakt, da es kontinuierlich zu einer unendlichen Linie erweitert werden kann. Aber ein geschlossenes Segment (mit Enden) ist eine kompakte Mannigfaltigkeit mit einer Grenze: Bei jeder kontinuierlichen Verformung gehen die Enden zu bestimmten Punkten, und das gesamte Segment muss in eine begrenzte Kurve gehen, die diese Punkte verbindet.

Abmessungen mannigfaltig ist die Zahl der Freiheitsgrade an dem Punkt, der auf ihm "lebt". Jeder Punkt hat eine Nachbarschaft in Form einer Scheibe der entsprechenden Dimension, d. h. ein Intervall einer Linie im eindimensionalen Fall, eines Kreises in der Ebene im zweidimensionalen Fall, einer Kugel im dreidimensionalen Fall usw. Topologisch gesehen gibt es nur zwei eindimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeiten ohne Rand: das ist die Linie und der Kreis. Von diesen ist nur der Kreis kompakt.

Ein Beispiel für einen Raum, der keine Mannigfaltigkeit ist, ist zum Beispiel ein Paar sich schneidender Linien – schließlich hat jede Nachbarschaft am Schnittpunkt zweier Linien die Form eines Kreuzes, es gibt keine Nachbarschaft, die dies tun würde selbst nur ein Intervall sein (und alle anderen Punkte haben solche Nachbarschaften). Mathematiker sagen in solchen Fällen, dass wir es mit einer singulären Mannigfaltigkeit zu tun haben, die einen singulären Punkt hat.

Zweidimensionale kompakte Verteiler sind gut bekannt. Wenn wir nur überlegen orientiert 1 Mannigfaltigkeiten ohne Rand, dann bilden sie aus topologischer Sicht eine einfache, wenn auch unendliche Liste: und so weiter. Jede solche Mannigfaltigkeit wird aus einer Kugel durch Kleben mehrerer Griffe erhalten, deren Anzahl als Gattung der Oberfläche bezeichnet wird.

1 Aus Platzgründen werde ich nicht über nicht orientierbare Mannigfaltigkeiten sprechen, ein Beispiel dafür ist die berühmte Klein-Flasche - eine Oberfläche, die nicht in einen Raum ohne Selbstüberschneidungen eingebettet werden kann.

Die Abbildung zeigt Oberflächen der Gattung 0, 1, 2 und 3. Wie hebt sich eine Kugel von allen Oberflächen in dieser Liste ab? Es stellt sich heraus, dass es einfach verbunden ist: Auf einer Kugel kann jede geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammengezogen werden, und auf jeder anderen Oberfläche ist es immer möglich, eine Kurve anzugeben, die nicht zu einem Punkt entlang der Oberfläche zusammengezogen werden kann.

Es ist merkwürdig, dass dreidimensionale kompakte Mannigfaltigkeiten ohne Rand auch in einem bestimmten Sinne klassifiziert werden können, dh in einer bestimmten Liste angeordnet sind, obwohl sie nicht so einfach sind wie im zweidimensionalen Fall, aber eine ziemlich komplexe Struktur haben. Die 3D-Kugel S 3 sticht in dieser Liste jedoch genauso heraus wie die 2D-Kugel in der obigen Liste. Dass sich jede Kurve auf S 3 zu einem Punkt zusammenzieht, lässt sich genauso einfach beweisen wie im zweidimensionalen Fall. Aber die umgekehrte Behauptung, dass diese Eigenschaft gerade für die Kugel einzigartig ist, d. h. dass es auf jeder anderen dreidimensionalen Mannigfaltigkeit nicht kontrahierbare Kurven gibt, ist sehr schwierig und bildet genau den Inhalt der Poincaré-Vermutung, von der wir sprechen .

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Mannigfaltigkeit für sich allein leben kann, sie kann als unabhängiges Objekt betrachtet werden, das nirgendwo verschachtelt ist. (Stellen Sie sich lebende zweidimensionale Wesen auf der Oberfläche einer gewöhnlichen Kugel vor, die sich der Existenz einer dritten Dimension nicht bewusst sind.) Glücklicherweise können alle zweidimensionalen Oberflächen aus der obigen Liste in den üblichen R 3 -Raum eingebettet werden, was sie einfacher macht visualisieren. Für die 3-Sphären S 3 (und im Allgemeinen für jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung) ist dies nicht mehr der Fall, so dass einige Anstrengungen erforderlich sind, um ihre Struktur zu verstehen.

Offenbar einfachste Weg Der topologische Aufbau der dreidimensionalen Kugel S 3 lässt sich mit Hilfe der Einpunktkompaktifizierung erklären. Die dreidimensionale Kugel S 3 ist nämlich eine Ein-Punkt-Verdichtung des gewöhnlichen dreidimensionalen (unbegrenzten) Raums R 3 .

Lassen Sie uns diese Konstruktion zunächst an einfachen Beispielen erläutern. Nehmen wir eine gewöhnliche unendliche gerade Linie (ein eindimensionales Analogon des Raums) und fügen ihr einen „unendlich entfernten“ Punkt hinzu, wobei wir davon ausgehen, dass wir schließlich an diesen Punkt gelangen, wenn wir uns entlang einer geraden Linie nach rechts oder links bewegen. Aus topologischer Sicht gibt es keinen Unterschied zwischen einer unendlichen Linie und einem begrenzten offenen Segment (ohne Endpunkte). Ein solches Segment kann kontinuierlich in Form eines Bogens gebogen werden, die Enden näher zusammenbringen und die fehlende Stelle in die Verbindungsstelle kleben. Wir erhalten offensichtlich einen Kreis - ein eindimensionales Analogon einer Kugel.

Wenn ich in ähnlicher Weise eine unendliche Ebene nehme und einen Punkt im Unendlichen hinzufüge, zu dem alle Linien der ursprünglichen Ebene, die in eine beliebige Richtung verlaufen, tendieren, dann erhalten wir eine zweidimensionale (gewöhnliche) Kugel S 2 . Dieser Vorgang lässt sich anhand einer stereographischen Projektion beobachten, die jedem Punkt P der Kugel, mit Ausnahme des Nordpols von N, einen bestimmten Punkt der Ebene P" zuordnet:

Somit ist eine Kugel ohne einen Punkt topologisch dasselbe wie eine Ebene, und das Hinzufügen eines Punktes verwandelt die Ebene in eine Kugel.

Im Prinzip ist genau die gleiche Konstruktion auf eine dreidimensionale Kugel und einen dreidimensionalen Raum anwendbar, nur ist für ihre Umsetzung der Eintritt in die vierte Dimension erforderlich, was auf der Zeichnung nicht so einfach darzustellen ist. Daher beschränke ich mich auf eine verbale Beschreibung der Ein-Punkt-Kompaktifizierung des Raumes R 3 .

Stellen Sie sich vor, dass unser physischer Raum (den wir nach Newton als unbegrenzten euklidischen Raum mit drei Koordinaten x, y, z betrachten) einen Punkt „im Unendlichen“ hinzugefügt hat, so dass er sich auf einer geraden Linie in jede Richtung bewegt , du fällst (d.h. jede räumliche Linie schließt sich zu einem Kreis). Dann erhalten wir eine kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit, die per Definition die Kugel S 3 ist.

Es ist leicht zu sehen, dass die Kugel S 3 einfach zusammenhängend ist. Tatsächlich kann jede geschlossene Kurve auf dieser Kugel leicht verschoben werden, sodass sie nicht durch den hinzugefügten Punkt verläuft. Dann erhalten wir eine Kurve im üblichen Raum R 3 , die durch Homothetie, also stetige Kontraktion in alle drei Richtungen, leicht auf einen Punkt zusammengezogen werden kann.

Um zu verstehen, wie die Mannigfaltigkeit S 3 aufgebaut ist, ist es sehr aufschlussreich, ihre Aufteilung in zwei feste Tori zu betrachten. Wenn der massive Torus aus dem Raum R 3 weggelassen wird, dann bleibt etwas nicht sehr Deutliches übrig. Und wenn der Raum zu einer Kugel verdichtet wird, dann wird auch diese Ergänzung zu einem festen Torus. Das heißt, die Sphäre S 3 ist in zwei massive Tori unterteilt, die aufweisen gemeinsame Grenze- Wulst.

Hier ist, wie es verstanden werden kann. Lassen Sie uns den Torus wie gewohnt in Form eines runden Donuts in R 3 einbetten und eine vertikale Linie zeichnen - die Rotationsachse dieses Donuts. Wir zeichnen eine beliebige Ebene durch die Achse, die unseren festen Torus in zwei in der Abbildung gezeigten Kreisen schneidet in grün, und der zusätzliche Teil der Ebene ist in eine fortlaufende Familie roter Kreise unterteilt. Darunter ist die Mittelachse fetter hervorgehoben, weil sich in der Sphäre S 3 die Linie zu einem Kreis schließt. Aus diesem zweidimensionalen wird durch Drehung um eine Achse ein dreidimensionales Bild. Ein vollständiger Satz gedrehter Kreise füllt dann einen dreidimensionalen Körper, der homöomorph zu einem festen Torus ist und nur ungewöhnlich aussieht.

Tatsächlich wird die Mittelachse darin ein axialer Kreis sein, und der Rest wird die Rolle von Parallelen spielen - Kreisen, die den üblichen festen Torus bilden.

Um etwas Vergleichbares für die 3er-Kugel zu haben, gebe ich ein weiteres Beispiel einer kompakten 3er-Mannigfaltigkeit, nämlich einen dreidimensionalen Torus. Ein dreidimensionaler Torus kann wie folgt konstruiert werden. Nehmen wir als Ausgangsmaterial einen gewöhnlichen dreidimensionalen Würfel:

Es hat drei Seitenpaare: links und rechts, oben und unten, vorne und hinten. In jedem Paar paralleler Flächen identifizieren wir paarweise die Punkte, die wir voneinander erhalten haben, indem wir entlang der Kante des Würfels übertragen. Das heißt, wir nehmen an (rein abstrakt, ohne physikalische Verformungen anzuwenden), dass zum Beispiel A und A "derselbe Punkt sind und B und B" ebenfalls ein Punkt sind, aber von Punkt A verschieden sind. Alle internen Punkte des Würfel werden wir wie gewohnt betrachten. Der Würfel selbst ist ein Verteiler mit einer Kante, aber nach dem Kleben schließt sich die Kante und verschwindet. Tatsächlich sind die Nachbarschaften der Punkte A und A" im Würfel (sie liegen auf den linken und rechten schattierten Flächen) die Hälften der Kugeln, die nach dem Zusammenkleben der Flächen zu einer ganzen Kugel verschmelzen, die als dient Nachbarschaft des entsprechenden Punktes des dreidimensionalen Torus.

Um die Struktur eines 3-Torus zu spüren, der auf gewöhnlichen Vorstellungen über den physischen Raum basiert, müssen Sie drei zueinander senkrechte Richtungen wählen: vorwärts, links und oben - und wie in Science-Fiction-Geschichten geistig überlegen, ob Sie sich in einer der Richtungen bewegen diese Richtungen, eine ziemlich lange, aber endliche Zeit, kehren wir zum Ausgangspunkt zurück, aber aus der entgegengesetzten Richtung Dies ist auch eine „Verdichtung des Raums“, aber keine Einpunkt-, die früher verwendet wurde, um eine Kugel zu konstruieren, aber komplexer.

Es gibt nicht kontrahierbare Pfade auf dem 3-Torus; Dies ist beispielsweise das Segment AA" in der Abbildung (auf dem Torus stellt es einen geschlossenen Pfad dar). Es kann nicht zusammengezogen werden, da sich die Punkte A und A" für eine kontinuierliche Verformung entlang ihrer Flächen bewegen müssen und sich genau gegenüberstehen andere (andernfalls öffnet sich die Kurve).

Wir sehen also, dass es einfach zusammenhängende und nicht einfach zusammenhängende kompakte 3er-Mannigfaltigkeiten gibt. Perelman bewies, dass eine einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit genau eine ist.

Die Ausgangsidee des Beweises besteht darin, den sogenannten "Ricci-Fluss" zu verwenden: Wir nehmen eine einfach zusammenhängende kompakte 3-Mannigfaltigkeit, statten sie mit einer beliebigen Geometrie aus (d. h. führen eine Metrik mit Abständen und Winkeln ein) und dann Betrachten Sie seine Entwicklung entlang des Ricci-Flusses. Richard Hamilton, der diese Idee 1981 vorschlug, hoffte, dass sich unsere Mannigfaltigkeit mit dieser Evolution in eine Kugel verwandeln würde. Es stellte sich heraus, dass dies nicht stimmt - im dreidimensionalen Fall ist der Ricci-Fluss in der Lage, die Mannigfaltigkeit zu verderben, dh sie zu einer kleinen Mannigfaltigkeit zu machen (etwas mit singulären Punkten, wie im obigen Beispiel von sich schneidenden Linien). Perelman gelang es unter Überwindung unglaublicher technischer Schwierigkeiten mit dem schweren Apparat partieller Differentialgleichungen, den Ricci-Fluss in der Nähe singulärer Punkte so zu ändern, dass sich während der Evolution die Topologie der Mannigfaltigkeit nicht ändert, es keine singulären Punkte gibt und so weiter Am Ende wird es zu einer runden Kugel. Aber wir müssen endlich erklären, was dieser Fluss von Ricci ist. Die von Hamilton und Perelman verwendeten Flüsse beziehen sich auf eine Änderung der intrinsischen Metrik auf einer abstrakten Mannigfaltigkeit, und dies ist ziemlich schwierig zu erklären, daher beschränke ich mich darauf, den "externen" Ricci-Fluss auf eindimensionalen Mannigfaltigkeiten zu beschreiben, die in eine Ebene eingebettet sind .

Stellen Sie sich eine glatte geschlossene Kurve auf der euklidischen Ebene vor, wählen Sie eine Richtung darauf und betrachten Sie an jedem Punkt einen Tangentenvektor der Einheitslänge. Wenn Sie dann in der gewählten Richtung um die Kurve gehen, dreht sich dieser Vektor mit einer gewissen Winkelgeschwindigkeit, die als Krümmung bezeichnet wird. Wo die Kurve steiler ist, wird die Krümmung (im absoluten Wert) größer sein, und wo sie glatter ist, wird die Krümmung geringer sein.

Die Krümmung wird als positiv angesehen, wenn sich der Geschwindigkeitsvektor zum inneren Teil der durch unsere Kurve in zwei Teile geteilten Ebene dreht, und als negativ, wenn er sich nach außen dreht. Diese Konvention ist unabhängig von der Richtung, in der die Kurve durchlaufen wird. An Wendepunkten, an denen die Drehung die Richtung ändert, ist die Krümmung 0. Beispielsweise hat ein Kreis mit Radius 1 eine konstante positive Krümmung von 1 (gemessen im Bogenmaß).

Vergessen wir jetzt die Tangentenvektoren und befestigen wir im Gegenteil an jedem Punkt der Kurve einen Vektor senkrecht dazu, dessen Länge der Krümmung an einem bestimmten Punkt entspricht und bei positiver Krümmung nach innen und bei negativer Krümmung nach außen gerichtet ist , und dann zwingen wir jeden Punkt, sich in Richtung des entsprechenden Vektors mit einer Geschwindigkeit proportional zu seiner Länge zu bewegen. Hier ist ein Beispiel:

Es stellt sich heraus, dass sich jede geschlossene Kurve in der Ebene während einer solchen Entwicklung ähnlich verhält, d.h. sie verwandelt sich schließlich in einen Kreis. Dies ist der Beweis des eindimensionalen Analogons der Poincare-Vermutung unter Verwendung des Ricci-Flusses (die Aussage selbst ist in diesem Fall jedoch bereits offensichtlich, nur die Beweismethode veranschaulicht, was in Dimension 3 passiert).

Abschließend stellen wir fest, dass Perelmans Argument nicht nur die Poincare-Vermutung beweist, sondern auch die viel allgemeinere Thurston-Geometrisierungsvermutung, die in gewissem Sinne die Struktur aller allgemein kompakten dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten beschreibt. Aber dieses Thema liegt außerhalb des Rahmens dieses elementaren Artikels.

Sergej Duzhin,
Doktor der Physik und Mathematik Wissenschaften,
Erfahrener Wissenschaftler
Filiale St. Petersburg
Mathematisches Institut der Russischen Akademie der Wissenschaften

Im Jahr 1904 schlug Henri Poincare vor, dass jedes dreidimensionale Objekt, das bestimmte Eigenschaften einer dreidimensionalen Kugel hat, in eine 3-Kugel umgewandelt werden kann. Es dauerte 99 Jahre, um diese Hypothese zu beweisen. (Achtung! Eine dreidimensionale Kugel ist nicht das, was Sie denken.) Der russische Mathematiker bewies die vor hundert Jahren geäußerte Poincaré-Vermutung und vollendete die Erstellung eines Katalogs von Formen dreidimensionaler Räume. Er kann einen Bonus von 1 Million Dollar erhalten.

Sieh dich um. Die Objekte um Sie herum sind wie Sie selbst eine Gruppe von Partikeln, die sich im dreidimensionalen Raum (3-Mannigfaltigkeit) bewegen, der sich über viele Milliarden Lichtjahre in alle Richtungen erstreckt.

Sorten sind mathematische Konstruktionen. Seit den Tagen von Galileo und Kepler haben Wissenschaftler die Realität erfolgreich mit Begriffen des einen oder anderen Zweigs der Mathematik beschrieben. Physiker glauben, dass sich alles auf der Welt im dreidimensionalen Raum abspielt und die Position jedes Teilchens durch drei Zahlen angegeben werden kann, zum Beispiel Breitengrad, Längengrad und Höhe (abgesehen von der in der Stringtheorie gemachten Annahme, dass zusätzlich zu den drei Dimensionen, die wir beobachten, gibt es mehrere zusätzliche ).

Nach der klassischen und traditionellen Quantenphysik ist der Raum fest und unveränderlich. Gleichzeitig betrachtet ihn die Allgemeine Relativitätstheorie als aktiven Teilnehmer am Geschehen: Die Entfernung zwischen zwei Punkten hängt von den vorbeiziehenden Gravitationswellen ab und davon, wie viel Materie und Energie sich in der Nähe befindet. Aber sowohl in der Newtonschen als auch in der Einsteinschen Physik ist der Raum, ob unendlich oder endlich, in jedem Fall eine 3-Mannigfaltigkeit. Um die Grundlagen, auf denen fast alle basieren, vollständig zu verstehen moderne Wissenschaft, ist es notwendig, die Eigenschaften von 3-Mannigfaltigkeiten zu verstehen (nicht weniger interessant sind 4-Mannigfaltigkeiten, da Raum und Zeit zusammen eine davon bilden).

Der Zweig der Mathematik, der sich mit Mannigfaltigkeiten befasst, heißt Topologie. Topologen stellten zunächst grundlegende Fragen: Was ist der einfachste (d. h. durch die am wenigsten komplexe Struktur gekennzeichnete) Typ einer 3-Mannigfaltigkeit? Hat es ähnlich einfache Gegenstücke oder ist es einzigartig? Was sind 3-Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen?

Die Antwort auf die erste Frage ist schon lange bekannt: Die einfachste kompakte 3er-Mannigfaltigkeit ist der Raum namens 3er-Kugel (Nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten sind unendlich oder haben Kanten. Im Folgenden werden nur kompakte Mannigfaltigkeiten betrachtet). Zwei weitere Fragen blieben ein Jahrhundert lang offen. Erst 2002 beantwortete sie der russische Mathematiker Grigory Perelman, dem es offenbar gelang, die Poincaré-Vermutung zu beweisen.

Vor genau hundert Jahren schlug der französische Mathematiker Henri Poincaré vor, dass die 3er-Kugel einzigartig ist und dass keine andere kompakte 3er-Mannigfaltigkeit die Eigenschaften hat, die sie so einfach machen. Komplexere 3-Mannigfaltigkeiten haben Grenzen, die wie eine Ziegelmauer aufstehen, oder mehrere Verbindungen zwischen einigen Bereichen, wie ein Waldweg, der sich gabelt und wieder verbindet. Jedes dreidimensionale Objekt mit den Eigenschaften einer 3-Sphäre kann in die 3-Sphäre selbst umgewandelt werden, also ist es für Topologen einfach eine Kopie davon. Perelmans Beweis erlaubt uns auch, die dritte Frage zu beantworten und alle existierenden 3-Mannigfaltigkeiten zu klassifizieren.

Um sich eine 3-Sphäre vorzustellen, braucht man ziemlich viel Vorstellungskraft (siehe MEHRDIMENSIONALE SPHÄRENMUSIK). Glücklicherweise hat es viel mit einer 2-Kugel gemeinsam, für die das Gummi eines runden Ballons ein typisches Beispiel ist: Es ist zweidimensional, da jeder Punkt darauf nur durch zwei Koordinaten gegeben ist - Breitengrad und Längengrad. Wenn wir einen ausreichend kleinen Ausschnitt davon unter einer starken Lupe betrachten, erscheint es wie ein Stück eines flachen Blattes. Für ein winziges Insekt, das auf einem Ballon krabbelt, erscheint es wie eine flache Oberfläche. Aber wenn sich der Popel lange genug in einer geraden Linie bewegt, wird er schließlich zu seinem Ausgangspunkt zurückkehren. Genauso würden wir eine 3-Sphäre von der Größe unseres Universums als „normalen“ dreidimensionalen Raum wahrnehmen. Wenn wir weit genug in jede Richtung fliegen, würden wir schließlich damit "die Welt umrunden" und wieder an unserem Ausgangspunkt sein.

Wie Sie vielleicht erraten haben, wird eine n-dimensionale Sphäre als n-Sphäre bezeichnet. Zum Beispiel ist die 1-Sphäre jedem bekannt: Es ist nur ein Kreis.

Grigory Perelman präsentiert seinen Beweis der Poincaré-Vermutung und den Abschluss von Thurstons Geometrisierungsprogramm auf einem Seminar an der Princeton University im April 2003

Hypothesentest

Ein halbes Jahrhundert verging, bevor die Poincare-Vermutung in Gang kam. In den 60er Jahren. 20. Jahrhundert Mathematiker haben ähnliche Aussagen für Sphären von fünf oder mehr Dimensionen bewiesen. In jedem Fall ist die n-Sphäre tatsächlich die einzige und einfachste n-Mannigfaltigkeit. Seltsamerweise stellte sich heraus, dass es einfacher war, ein Ergebnis für mehrdimensionale Sphären zu erhalten als für 3- und 4-Sphären. Der Beweis für vier Dimensionen erschien 1982. Und nur die ursprüngliche Poincaré-Vermutung über die 3-Sphäre blieb unbestätigt.

Der entscheidende Schritt wurde im November 2002 getan, als Grigory Perelman, ein Mathematiker von der St. Petersburger Abteilung des Mathematischen Instituts. Steklov, schickte einen Artikel an die Website www.arxiv.org, wo Physiker und Mathematiker aus aller Welt die Ergebnisse ihrer Arbeit diskutieren wissenschaftliche Tätigkeit. Topologen erkannten sofort die Verbindung zwischen der Arbeit des russischen Wissenschaftlers und der Poincaré-Hypothese, obwohl der Autor sie nicht direkt erwähnte. Im März 2003 veröffentlichte Perelman einen zweiten Artikel und besuchte im Frühjahr desselben Jahres die Vereinigten Staaten und hielt mehrere Seminare am Massachusetts Institute of Technology und an der State University of New York in Stony Brook ab. Mehrere Gruppen von Mathematikern an führenden Institutionen begannen sofort, die eingereichten Arbeiten im Detail zu studieren und nach Fehlern zu suchen.

ÜBERPRÜFUNG: BEWEIS DER POINCARE-HYPOTHESE

Ein ganzes Jahrhundert lang haben Mathematiker versucht, Henri Poincares Annahme über die außergewöhnliche Einfachheit und Einzigartigkeit der 3-Sphäre unter allen dreidimensionalen Objekten zu beweisen.
Die Begründung für die Poincare-Vermutung erschien schließlich in der Arbeit des jungen russischen Mathematikers Grigory Perelman. Er absolvierte auch ein umfangreiches Klassifizierungsprogramm für 3-Mannigfaltigkeiten.
Vielleicht hat unser Universum die Form einer 3-Sphäre. Es gibt noch andere faszinierende Verbindungen zwischen Mathematik und Teilchenphysik und der allgemeinen Relativitätstheorie.

In Stony Brook hielt Perelman im Laufe von zwei Wochen mehrere Vorträge, wobei er drei bis sechs Stunden am Tag sprach. Er präsentierte den Stoff sehr anschaulich und beantwortete alle aufkommenden Fragen. Bis zum endgültigen Ergebnis bleibt noch ein kleiner Schritt, aber es besteht kein Zweifel, dass er kurz vor dem Abschluss steht. Der erste Artikel führt den Leser in die grundlegenden Ideen ein und gilt als vollständig verifiziert. Der zweite Artikel beleuchtet angewandte Probleme und technische Nuancen; es erweckt noch nicht das gleiche volle Vertrauen wie sein Vorgänger.

Im Jahr 2000 wurde das Institut für Mathematik. Clay in Cambridge, Massachusetts, setzte einen Preis von 1 Million US-Dollar für den Beweis jedes der sieben Millenniumsprobleme ein, von denen eines die Poincaré-Vermutung ist. Bevor ein Wissenschaftler den Preis beanspruchen kann, muss sein Beweis innerhalb von zwei Jahren veröffentlicht und geprüft werden.

Perelmans Arbeit erweitert und vervollständigt das in den 90er Jahren durchgeführte Forschungsprogramm. des letzten Jahrhunderts von Richard S. Hamilton von der Columbia University. Ende 2003 die Arbeiten US-amerikanischer Mathematiker erhielt den Clay Institute Award. Perelman gelang es, eine Reihe von Hindernissen, die Hamilton nicht bewältigen konnte, brillant zu überwinden.

Tatsächlich löst Perelmans Beweis, dessen Richtigkeit noch niemand in Frage stellen konnte, eine viel breitere Palette von Fragen als die eigentliche Poincare-Vermutung. Das von William P. Thurston von der Cornell University vorgeschlagene Geometrisierungsverfahren ermöglicht eine vollständige Klassifizierung von 3-Mannigfaltigkeiten auf der Grundlage der 3-Sphäre, die in ihrer erhabenen Einfachheit einzigartig ist. Wenn die Poincare-Vermutung falsch wäre, d.h. Wenn es viele Räume gäbe, die so einfach wie eine Kugel sind, dann würde die Klassifizierung von 3-Mannigfaltigkeiten etwas unendlich Komplexeres werden. Dank Perelman und Thurston verfügen wir über einen vollständigen Katalog aller Formen des dreidimensionalen Raums, die die Mathematik erlaubt und die unser Universum annehmen könnte (wenn wir nur den Raum ohne Zeit betrachten).

Gummibagels

Um die Poincaré-Vermutung und den Beweis von Perelman besser zu verstehen, sollte man sich die Topologie genauer ansehen. In diesem Zweig der Mathematik spielt die Form eines Objekts keine Rolle, als wäre es aus Teig, der beliebig gedehnt, gestaucht und gebogen werden kann. Warum sollten wir über Dinge oder Räume aus einem imaginären Test nachdenken? Tatsache ist, dass sich die genaue Form eines Objekts – der Abstand zwischen all seinen Punkten – auf eine Strukturebene bezieht, die Geometrie genannt wird. Durch die Untersuchung eines Objekts aus dem Test zeigen Topologen seine grundlegenden Eigenschaften auf, die nicht von der geometrischen Struktur abhängen. Das Studium der Topologie ist wie die Suche nach den häufigsten Merkmalen, die Menschen haben, indem man sich einen „Knetmann“ ansieht, der sich in ein beliebiges Individuum verwandeln lässt.

In der Populärliteratur findet sich oft die abgedroschene Behauptung, dass sich eine Tasse topologisch nicht von einem Donut unterscheide. Tatsache ist, dass eine Tasse Teig durch einfaches Zerkleinern des Materials in einen Donut verwandelt werden kann, d.h. ohne zu blenden oder Löcher zu machen (siehe OBERFLÄCHENTOPOLOGIE). Andererseits muss man, um aus einem Ball einen Donut zu machen, auf jeden Fall ein Loch hineinbohren oder ihn zu einem Zylinder rollen und die Enden blenden, damit der Ball überhaupt kein Donut ist.

Topologen interessieren sich am meisten für die Oberflächen einer Kugel und eines Donuts. Daher sollte man sich statt fester Körper Luftballons vorstellen. Ihre Topologie ist noch unterschiedlich, da ein kugelförmiger Ballon nicht in einen ringförmigen Ballon umgewandelt werden kann, der als Torus bezeichnet wird. Zunächst beschlossen die Wissenschaftler herauszufinden, wie viele Objekte mit unterschiedlichen Topologien existieren und wie sie charakterisiert werden können. Für 2-Mannigfaltigkeiten, die wir gewöhnlich Flächen nennen, ist die Antwort elegant und einfach: Alles wird durch die Anzahl der "Löcher" oder, was dasselbe ist, die Anzahl der Griffe bestimmt (siehe TOPOLOGIE DER FLÄCHEN). Ende des 19. Jahrhunderts. Mathematiker fanden heraus, wie man Oberflächen klassifiziert, und stellten fest, dass die einfachste von allen eine Kugel war. Natürlich fingen Topologen an, über 3-Mannigfaltigkeiten nachzudenken: Ist die 3-Sphäre einzigartig in ihrer Einfachheit? Die uralte Geschichte der Suche nach einer Antwort ist voller Fehltritte und irriger Beweise.

Henri Poincaré hat sich dieser Frage ernsthaft angenommen. Er war einer der beiden mächtigsten Mathematiker des frühen 20. Jahrhunderts. (der andere war David Hilbert). Er wurde der letzte Generalist genannt - er arbeitete erfolgreich in allen Bereichen sowohl der reinen als auch der angewandten Mathematik. Darüber hinaus leistete Poincare einen großen Beitrag zur Entwicklung der Himmelsmechanik, der Theorie des Elektromagnetismus sowie der Wissenschaftsphilosophie, über die er mehrere populäre Bücher schrieb.

Poincaré wurde zum Begründer der algebraischen Topologie und formulierte 1900 mit ihren Methoden eine topologische Eigenschaft eines Objekts, die Homotopie genannt wurde. Um die Homotopie einer Mannigfaltigkeit zu bestimmen, muss man gedanklich eine geschlossene Schleife in sie eintauchen (siehe TOPOLOGIE VON OBERFLÄCHEN). Dann sollten wir herausfinden, ob es immer möglich ist, die Schleife zu einem Punkt zusammenzuziehen, indem wir sie innerhalb der Mannigfaltigkeit verschieben. Bei einem Torus ist die Antwort negativ: Wenn Sie eine Schleife um den Umfang des Torus legen, ist es nicht möglich, ihn zu einem Punkt zusammenzuziehen, weil das „Loch“ des Donuts stört. Homotopie ist die Anzahl verschiedener Pfade, die verhindern können, dass sich die Schleife zusammenzieht.

MULTIDIMENSIONALE MUSIK DER SPHÄREN

Es ist nicht einfach, sich eine 3-Sphäre vorzustellen. Mathematiker, die Theoreme über höherdimensionale Räume beweisen, müssen sich den Untersuchungsgegenstand nicht vorstellen: Sie beschäftigen sich mit abstrakten Eigenschaften, geleitet von Intuitionen, die auf Analogien mit weniger Dimensionen beruhen (solche Analogien sollten mit Vorsicht behandelt und nicht wörtlich genommen werden). Wir werden auch die 3-Sphäre basierend auf den Eigenschaften von Objekten mit einer kleineren Anzahl von Dimensionen betrachten.

1. Beginnen wir mit der Betrachtung eines Kreises und seines Begrenzungskreises. Für Mathematiker ist ein Kreis eine zweidimensionale Kugel und ein Kreis eine eindimensionale Kugel. Außerdem ist ein Ball jeder Größe ein gefülltes Objekt, das einer Wassermelone ähnelt, und eine Kugel ist seine Oberfläche, eher wie ein Ballon. Der Kreis ist eindimensional, weil die Position eines Punktes auf ihm durch eine einzige Zahl angegeben werden kann.

2. Aus zwei Kreisen können wir eine zweidimensionale Sphäre bauen, indem wir einen von ihnen in die nördliche Hemisphäre und den anderen in die südliche verwandeln. Es bleibt, sie zu kleben, und die 2-Kugel ist fertig.

3. Stellen wir uns eine Ameise vor, die vom Nordpol entlang eines großen Kreises kriecht, der durch den Null- und den 180. Meridian (links) gebildet wird. Wenn wir seinen Weg auf zwei ursprüngliche Kreise (rechts) abbilden, sehen wir, dass sich das Insekt in einer geraden Linie (1) zum Rand des nördlichen Kreises (a) bewegt, dann die Grenze überschreitet und auf den entsprechenden Punkt trifft südlichen Kreis und folgt weiterhin einer geraden Linie (2 und 3). Dann erreicht die Ameise wieder den Rand (b), überquert ihn und befindet sich wieder auf dem Nordkreis und eilt zum Ausgangspunkt - dem Nordpol (4). Beachten Sie das während Weltreise entlang der 2-Sphäre ändert sich die Bewegungsrichtung in die entgegengesetzte Richtung, wenn man sich von einem Kreis zum anderen bewegt.

4. Betrachten Sie nun unsere 2-Kugel und ihr darin enthaltenes Volumen (eine dreidimensionale Kugel) und machen Sie damit dasselbe wie mit dem Kreis und dem Kreis: Nehmen Sie zwei Kopien der Kugel und kleben Sie ihre Grenzen zusammen. Es ist unmöglich und nicht notwendig, klar zu zeigen, wie die Kugeln in vier Dimensionen verzerrt werden und sich in ein Analogon der Halbkugeln verwandeln. Es genügt zu wissen, dass die entsprechenden Punkte auf den Flächen, d.h. 2-Kugeln sind wie Kreise miteinander verbunden. Das Ergebnis der Verbindung zweier Kugeln ist eine 3-Kugel - die Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel. (In vier Dimensionen, wo es eine 3-Kugel und eine 4-Kugel gibt, ist die Oberfläche des Objekts dreidimensional.) Nennen wir eine Kugel die nördliche Hemisphäre und die andere die südliche Hemisphäre. Analog zu Kreisen befinden sich die Pole nun in den Mittelpunkten der Kugeln.

5. Stellen Sie sich vor, dass die fraglichen Kugeln große leere Regionen des Weltraums sind. Nehmen wir an, ein Astronaut verlässt den Nordpol mit einer Rakete. Mit der Zeit erreicht es den Äquator (1), der jetzt die Sphäre ist, die den nördlichen Globus umgibt. Beim Überqueren tritt die Rakete in die südliche Hemisphäre ein und bewegt sich in einer geraden Linie durch ihr Zentrum - den Südpol - auf die gegenüberliegende Seite des Äquators (2 und 3). Dort findet wieder der Übergang auf die Nordhalbkugel statt und der Reisende kehrt zum Nordpol zurück, d.h. zum Ausgangspunkt (4). Dies ist das Szenario für eine Reise um die Welt auf der Oberfläche einer 4-dimensionalen Kugel! Die betrachtete dreidimensionale Sphäre ist der Raum, auf den sich die Poincare-Vermutung bezieht. Vielleicht ist unser Universum nur eine 3-Sphäre.
Das Denken kann auf fünf Dimensionen erweitert werden und eine 4-Sphäre bilden, aber es ist äußerst schwer vorstellbar. Wenn wir zwei n-Kugeln entlang der sie umgebenden (n–1)-Kugeln kleben, erhalten wir eine n-Kugel, die die (n+1)-Kugel begrenzt.

Auf einer n-Sphäre kann jede, selbst kompliziert verdrehte Schleife immer entwirrt und zu einem Punkt gezogen werden. (Eine Schleife darf sich selbst durchqueren.) Poincaré nahm an, dass die 3-Sphäre die einzige 3-Mannigfaltigkeit ist, auf der jede Schleife zu einem Punkt zusammengezogen werden kann. Leider konnte er seine Vermutung, die später als Poincaré-Vermutung bekannt wurde, nie beweisen. In den letzten hundert Jahren haben viele ihre eigene Version des Beweises angeboten, aber nur, um sich von seinem Irrtum zu überzeugen. (Der Einfachheit halber vernachlässige ich zwei Sonderfälle: die sogenannten nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten und Mannigfaltigkeiten mit Begrenzungen. Zum Beispiel hat eine Kugel mit einem ausgeschnittenen Segment eine Begrenzung, und eine Möbius-Schleife hat nicht nur Begrenzungen, sondern ist es auch auch nicht orientierbar.)

Geometrisierung

Perelmans Analyse von 3-Mannigfaltigkeiten ist eng mit dem Geometrisierungsverfahren verbunden. Die Geometrie befasst sich mit der eigentlichen Form von Gegenständen und Verteilern, die nicht mehr aus Teig, sondern aus Keramik bestehen. Beispielsweise sind eine Tasse und ein Bagel geometrisch unterschiedlich, weil ihre Oberflächen unterschiedlich gekrümmt sind. Die Tasse und der Donut sollen zwei Beispiele für einen topologischen Torus mit unterschiedlichen geometrischen Formen sein.

Um zu verstehen, warum Perelman die Geometrisierung verwendete, betrachten Sie die Klassifizierung von 2-Mannigfaltigkeiten. Jeder topologischen Oberfläche wird eine eindeutige Geometrie zugeordnet, deren Krümmung gleichmäßig über die Mannigfaltigkeit verteilt ist. Bei einer Kugel ist dies beispielsweise eine perfekt sphärische Oberfläche. Eine andere mögliche Geometrie für eine topologische Kugel ist ein Ei, dessen Krümmung jedoch nicht überall gleichmäßig verteilt ist: Das scharfe Ende ist stärker gekrümmt als das stumpfe.

2-Mannigfaltigkeiten bilden drei geometrische Typen (siehe GEOMETRISIERUNG). Die Kugel ist durch eine positive Krümmung gekennzeichnet. Ein geometrisierter Torus ist flach und hat keine Krümmung. Alle anderen 2-Mannigfaltigkeiten mit zwei oder mehr "Löchern" haben eine negative Krümmung. Sie entsprechen einer sattelähnlichen Fläche, die sich vorne und hinten nach oben und links und rechts nach unten krümmt. Diese geometrische Klassifikation (Geometrisierung) von 2-Mannigfaltigkeiten wurde von Poincare zusammen mit Paul Koebe und Felix Klein entwickelt, nach denen die Klein-Flasche benannt ist.

Es besteht ein natürlicher Wunsch, ein ähnliches Verfahren auf 3-Mannigfaltigkeiten anzuwenden. Ist es möglich, für jeden von ihnen eine so einzigartige Konfiguration zu finden, bei der die Krümmung gleichmäßig über die gesamte Mannigfaltigkeit verteilt wäre?

Es stellte sich heraus, dass 3-Mannigfaltigkeiten viel komplizierter sind als ihre zweidimensionalen Gegenstücke, und die meisten von ihnen können keiner homogenen Geometrie zugeordnet werden. Sie sollten in Teile unterteilt werden, die einer der acht kanonischen Geometrien entsprechen. Dieses Verfahren ähnelt der Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren.

OBERFLÄCHENTOPOLOGIE

In der TOPOLOGIE ist die genaue Form, d.h. Geometrie spielt keine Rolle: Objekte werden wie aus Teig behandelt und können gedehnt, gestaucht und verdreht werden. Es kann jedoch nichts geschnitten und geklebt werden. Somit entspricht jedes Objekt mit einem einzigen Loch, wie z. B. eine Kaffeetasse (links), einem Donut oder Torus (rechts).

JEDE 2D-Mannigfaltigkeit oder -Oberfläche (beschränkt auf kompakte orientierbare Objekte) kann durch Hinzufügen von Griffen zur Kugel (a) erstellt werden. Lassen Sie uns eine kleben - wir werden eine Oberfläche der 1. Art erstellen, d.h. Torus oder Donut (oben rechts), fügen Sie den zweiten hinzu - wir erhalten eine Oberfläche der 2. Art (b) usw.

Die EINZIGARTIGKEIT einer 2-Sphäre unter den Oberflächen besteht darin, dass jede darin eingebettete geschlossene Schleife zu einem Punkt (a) zusammengezogen werden kann. Bei einem Torus kann dies durch das mittlere Loch (b) verhindert werden. Jede Oberfläche, mit Ausnahme der 2-Kugel, hat Griffe, die verhindern, dass sich die Schleife zusammenzieht. Poincaré schlug vor, dass die 3-Sphäre unter den 3-Mannigfaltigkeiten einzigartig ist: Nur auf ihr kann jede Schleife zu einem Punkt zusammengezogen werden.

Dieses Klassifizierungsverfahren wurde erstmals Ende der 1970er Jahre von Thurston vorgeschlagen. letztes Jahrhundert. Zusammen mit Kollegen begründete er das meiste, einiges aber auch den Beweis Schlüsselpunkte(einschließlich der Poincare-Vermutung) sich als außerhalb ihrer Macht herausstellte. Ist die 3-Sphäre einzigartig? Eine zuverlässige Antwort auf diese Frage erschien zuerst in Perelmans Artikeln.

Wie kann man eine Mannigfaltigkeit geometrisieren und ihr überall eine gleichmäßige Krümmung geben? Sie müssen eine beliebige Geometrie mit verschiedenen Vorsprüngen und Vertiefungen nehmen und dann alle Unebenheiten glätten. In den frühen 90er Jahren. 20. Jahrhundert Hamilton begann mit der Analyse von 3-Mannigfaltigkeiten unter Verwendung der Ricci-Strömungsgleichung, benannt nach dem Mathematiker Gregorio Ricci-Curbastro. Sie ähnelt in gewisser Weise der Wärmegleichung, die Wärmeströme beschreibt, die in einem ungleichmäßig erhitzten Körper fließen, bis seine Temperatur überall gleich ist. Ebenso definiert die Ricci-Strömungsgleichung eine Änderung der Krümmung des Krümmers, die zur Ausrichtung aller Leisten und Vertiefungen führt. Wenn Sie beispielsweise mit einem Ei beginnen, wird es allmählich kugelförmig.

GEOMETRISIERUNG

UM 2-Mannigfaltigkeiten zu KLASSIFIZIEREN, kann man Uniformisierung oder Geometrisierung verwenden: Setzen Sie sie in Übereinstimmung mit einer bestimmten Geometrie, einer starren Form. Insbesondere kann jede Mannigfaltigkeit so transformiert werden, dass ihre Krümmung gleichmäßig verteilt ist. Die Kugel (a) ist eine einzigartige Form mit einer konstanten positiven Krümmung: Sie ist überall wie eine Hügelkuppe gekrümmt. Der Torus (b) kann flach gemacht werden, d. h. überall eine Krümmung von null haben. Dazu muss es geschnitten und begradigt werden. Der resultierende Zylinder sollte der Länge nach geschnitten und entfaltet werden, um eine rechteckige Ebene zu bilden. Mit anderen Worten kann der Torus auf eine Ebene abgebildet werden. Oberflächen der Gattung 2 und höher (c) können eine konstante negative Krümmung erhalten, während ihre Geometrie von der Anzahl der Griffe abhängt. Darunter befindet sich eine sattelförmige Fläche mit konstanter negativer Krümmung.

Die KLASSIFIZIERUNG VON 3-SORTEN ist viel schwieriger. Die 3er-Mannigfaltigkeit muss in Teile geteilt werden, von denen jeder in eine der acht kanonischen dreidimensionalen Geometrien transformiert werden kann. Das folgende Beispiel (der Einfachheit halber als 2-Mannigfaltigkeit gezeichnet von blauer Farbe) besteht aus 3-Geometrien mit konstanter positiver (a), Null- (b) und konstanter negativer (c) Krümmung, sowie den "Produkten" einer 2-Kugel und einem Kreis (d) und einer Fläche mit negativer Krümmung und Kreis (e).

Allerdings stieß Hamilton dabei auf gewisse Schwierigkeiten: In manchen Fällen führt die Ricci-Strömung zur Stauchung des Krümmers und zur Bildung eines unendlich dünnen Halses. (Hier unterscheidet es sich vom Wärmefluss: An Pinch Points wäre die Temperatur unendlich groß.) Ein Beispiel ist ein hantelförmiger Verteiler. Die Kugeln wachsen, indem sie Material aus dem Netz einziehen, das sich in der Mitte zu einem Punkt verjüngt (siehe KAMPF MIT SINGULARITÄTEN). In einem anderen Fall, wenn ein dünner Stab aus dem Verteiler herausragt, verursacht der Ricci-Fluss das Auftreten der sogenannten zigarrenförmigen Singularität. In einer regulären 3-Mannigfaltigkeit ist die Nachbarschaft eines beliebigen Punktes ein Stück gewöhnlichen dreidimensionalen Raums, was von singulären Pinch-Punkten nicht gesagt werden kann. Die Arbeit des russischen Mathematikers half, diese Schwierigkeit zu überwinden.

Nach der Verteidigung seiner Doktorarbeit kam Perelman 1992 in die Vereinigten Staaten und verbrachte mehrere Semester an der State University of New York in Stony Brook und dann zwei Jahre an der University of California in Berkeley. Er erwarb sich schnell einen Ruf als aufgehender Stern, nachdem er mehrere wichtige und tiefgreifende Ergebnisse in einem der Zweige der Geometrie erhalten hatte. Perelman erhielt den Preis der European Mathematical Society (den er ablehnte) und erhielt eine prestigeträchtige Einladung, auf dem International Congress of Mathematicians zu sprechen (die er annahm).

Im Frühjahr 1995 wurden ihm Stellen an mehreren prominenten mathematischen Institutionen angeboten, aber er entschied sich dafür, in seine Heimatstadt St. Petersburg zurückzukehren, und verschwand praktisch aus dem Blickfeld. Viele Jahre lang waren das einzige Zeichen seiner Tätigkeit Briefe an ehemalige Kollegen, die auf die Fehler in den von ihnen veröffentlichten Artikeln hinwiesen. Anfragen zum Stand der eigenen Arbeit blieben unbeantwortet. Und so erhielten Ende 2002 mehrere Personen eine E-Mail von Perelman, in der er einen Artikel ankündigte, den er beim Mathematikserver eingereicht hatte. So begann sein Angriff auf die Poincare-Vermutung.

KAMPFFUNKTIONEN

VERSUCHEN ZU VERWENDEN der Ricci-Strömungsgleichung zum Beweis der Poincaré-Hypothese und der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten stießen Wissenschaftler auf Schwierigkeiten, die Grigory Perelman überwinden konnte. Die Anwendung eines Ricci-Flusses zur allmählichen Änderung der Form einer 3-Mannigfaltigkeit führt manchmal zu Singularitäten. Wenn beispielsweise ein Teil des Objekts die Form einer Hantel hat (a), kann das Rohr zwischen den Kugeln zu einem Spitzenabschnitt gequetscht werden, der die Eigenschaften der Mannigfaltigkeit verletzt (b). Auch das Auftreten des sogenannten zigarrenförmigen Merkmals ist nicht ausgeschlossen.

PERELMAN GEZEIGT dass „chirurgische Operationen“ an Merkmalen durchgeführt werden können. Wenn der Verteiler zu komprimieren beginnt, sollte man kleine Abschnitte auf beiden Seiten der Verengungsstelle ausschneiden (c), die Schnittpunkte mit kleinen Kugeln schließen und dann den Ricci-Fluss erneut verwenden (d). Tritt die Klemmung erneut auf, muss der Vorgang wiederholt werden. Perelman hat auch bewiesen, dass das zigarrenförmige Merkmal nie erscheint.

Perelman fügte der Ricci-Strömungsgleichung einen neuen Term hinzu. Diese Änderung beseitigte das Singularitätsproblem nicht, ermöglichte jedoch eine viel tiefere Analyse. Der russische Wissenschaftler zeigte, dass an einem hantelförmigen Verteiler ein „chirurgischer“ Eingriff durchgeführt werden kann: Schneiden Sie ein dünnes Röhrchen auf beiden Seiten der entstehenden Quetschung ab und verschließen Sie die offenen Röhrchen, die aus den Kugeln herausragen, mit Kugelkappen. Dann sollten Sie den „betriebenen“ Verteiler gemäß der Ricci-Strömungsgleichung weiter ändern und das obige Verfahren auf alle auftretenden Quetschungen anwenden. Perelman zeigte auch, dass zigarrenförmige Merkmale nicht auftreten können. Somit kann jeder 3er-Verteiler auf einen Satz von Teilen mit einheitlicher Geometrie reduziert werden.

Wenn Ricci fließen und ' chirurgischer Eingriff' gelten für alle möglichen 3-Mannigfaltigkeiten, jede von ihnen, wenn sie so einfach wie eine 3-Sphäre ist (mit anderen Worten dieselbe Homotopie hat), reduziert sich notwendigerweise auf dieselbe homogene Geometrie wie die 3-Sphäre. Aus topologischer Sicht ist die betrachtete Mannigfaltigkeit also die 3-Sphäre. Somit ist die 3-Sphäre einzigartig.

Der Wert von Perelmans Artikeln liegt nicht nur im Beweis der Poincare-Vermutung, sondern auch in neuen Analysemethoden. Wissenschaftler auf der ganzen Welt nutzen bereits die Ergebnisse des russischen Mathematikers für ihre Arbeit und wenden die von ihm entwickelten Methoden auf anderen Gebieten an. Es stellte sich heraus, dass der Ricci-Fluss der sogenannten Renormierungsgruppe zugeordnet ist, die bestimmt, wie sich die Stärke von Wechselwirkungen in Abhängigkeit von der Kollisionsenergie von Teilchen ändert. Beispielsweise wird bei niedrigen Energien die Stärke der elektromagnetischen Wechselwirkung durch die Zahl 0,0073 (etwa 1/137) gekennzeichnet. Wenn jedoch zwei Elektronen mit nahezu Lichtgeschwindigkeit frontal aufeinanderprallen, nähert sich diese Kraft 0,0078. Die Mathematik, die die Änderung physikalischer Kräfte beschreibt, ist der Mathematik sehr ähnlich, die die Geometrisierung einer Mannigfaltigkeit beschreibt.

Die Erhöhung der Kollisionsenergie ist gleichbedeutend mit der Lernkraft auf kürzere Distanzen. Daher ist die Renormierungsgruppe wie ein Mikroskop mit einem variablen Vergrößerungsfaktor, mit dem Sie den Prozess weiter studieren können verschiedene Level Detail. In ähnlicher Weise ist der Ricci-Fluss ein Mikroskop zum Betrachten von Mannigfaltigkeiten. Die bei einer Vergrößerung sichtbaren Vorsprünge und Vertiefungen verschwinden bei einer anderen. Es ist wahrscheinlich, dass der Raum, in dem wir leben, auf der Skala der Planck-Länge (ca Welt der Wissenschaft“, Nr. 4, 2004). Darüber hinaus sind die Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie, die die Eigenschaften der Schwerkraft und die großräumige Struktur des Universums beschreiben, eng mit der Ricci-Strömungsgleichung verwandt. Paradoxerweise taucht der Begriff Perelman, der dem von Hamilton verwendeten Ausdruck hinzugefügt wurde, in der Stringtheorie auf, die den Anspruch erhebt, die Quantentheorie der Gravitation zu sein. Es ist möglich, dass Wissenschaftler in den Artikeln des russischen Mathematikers viel mehr nützliche Informationen nicht nur über abstrakte 3-Mannigfaltigkeiten finden, sondern auch über den Raum, in dem wir leben.

Graham P. Collins, PhD, ist Herausgeber von Scientific American. Weitere Informationen zum Theorem von Poincaré finden Sie unter www.sciam.com/ontheweb.

WEITERE LITERATUR:

Die Poincare-Vermutung 99 Jahre später: Ein Fortschrittsbericht. John W. Milnor. Februar 2003. Verfügbar unter www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf
Jules Henri Poincare' (Biografie). Oktober 2003. Verfügbar unter www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html
Jahrtausendprobleme. Das Clay Mathematics Institute: www.claymath.org/millennium/
Anmerkungen und Kommentare zu Perelmans Ricci-Flow-Papieren. Zusammengestellt von Bruce Kleiner und John Lott. Verfügbar unter www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html
Topologie. Eric W. Weisstein in Mathworld-A Wolfram Web Resource. verfügbar um

Die Poincaré-Hypothese und Merkmale der russischen Mentalität.

Kurzum: Ein arbeitsloser Professor, der erst 40 Jahre alt ist, eines der 7 schwierigsten Probleme der Menschheit gelöst hat, mit seiner Mutter in einer Steckdose am Rande der Stadt lebt und statt dessen den Preis bekommt, den alle Mathematiker auszeichnen Die Welt träumte davon, naja, und einer Million Dollar obendrein ließ er Pilze pflücken und bat ihn, nicht zu stören.

Und jetzt noch ausführlicher:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

Grigory Perelman, der die Poincaré-Vermutung bewiesen hat, lehnt zahlreiche Auszeichnungen und Geldpreise ab, die ihm für diese Leistung verliehen werden, berichtet die Zeitung Guardian. Nach einer weitreichenden Überprüfung der Beweise, die fast vier Jahre dauerte, kam die wissenschaftliche Gemeinschaft zu dem Schluss, dass Perelmans Lösung richtig war.

Die Poincare-Vermutung ist eines der sieben wichtigsten mathematischen "Millennium-Probleme", für deren Lösung das Clay Mathematics Institute jeweils einen Preis von einer Million Dollar ausgeschrieben hat. Damit soll Perelman eine Belohnung erhalten. Der Wissenschaftler kommuniziert nicht mit Der Presse, aber der Zeitung wurde bekannt, dass Perelman dieses Geld nicht nehmen will. Nach Angaben des Mathematikers ist das Gremium, das den Preis vergibt, nicht qualifiziert genug, um seine Arbeit zu bewerten.

Eine Million Dollar in St. Petersburg zu besitzen, ist nicht sicher, - die Fachwelt vermutet scherzhaft einen weiteren Grund für Perelmans ungewöhnliches Verhalten. Dies teilte Nigel Hitchin, Mathematikprofessor an der Universität Oxford, der Zeitung mit.

Gerüchten zufolge wird nächste Woche bekannt gegeben, dass Perelman die prestigeträchtigste internationale Fields-Medaille in diesem Bereich verliehen wurde, bestehend aus einer kostbaren Medaille und monetärer Preis. Der Fields-Preis gilt als mathematisches Analogon zum Nobelpreis. Er wird alle vier Jahre auf dem International Mathematical Congress verliehen, und die Preisträger sollten nicht älter als 40 Jahre sein. Perelman, der 2006 den vierzigjährigen Meilenstein überschreiten und die Chance verlieren wird, diesen Preis jemals zu erhalten, will auch diese Auszeichnung nicht annehmen.

Über Perelman ist seit langem bekannt, dass er feierliche Anlässe meidet und nicht gerne bewundert wird. Aber in der aktuellen Situation geht das Verhalten eines Wissenschaftlers über die Exzentrik eines Sesseltheoretikers hinaus. Perelman hat seine akademische Arbeit bereits aufgegeben und lehnt es ab, Professorenfunktionen wahrzunehmen. Jetzt will er sich vor der Anerkennung seiner Verdienste um die Mathematik verstecken – seinem Lebenswerk.

Grigory Perelman arbeitete acht Jahre lang am Beweis des Satzes von Poincaré. 2002 veröffentlichte er eine Lösung für das Problem auf der Preprint-Site des Los Alamos Science Laboratory. Bisher hat er seine Arbeit nicht in einem Peer-Review-Journal veröffentlicht, was eine Voraussetzung für die meisten Auszeichnungen ist.

Perelman kann als Referenzmuster der Produkte der sowjetischen Bildung angesehen werden. Er wurde 1966 in Leningrad geboren. Er lebt immer noch in dieser Stadt. Perelman studierte an der Fachschule Nr. 239 mit vertieftem Studium der Mathematik. Er gewann unzählige Olympiaden. Er war ohne Examen in Mathematik an der Staatlichen Universität Leningrad eingeschrieben. Erhielt ein Lenin-Stipendium. Nach der Universität trat er in die Graduiertenschule an der Leningrader Abteilung des V.A.Steklov Mathematical Institute ein, wo er blieb, um zu arbeiten. Ende der achtziger Jahre zog Perelman in die Vereinigten Staaten, lehrte an mehreren Universitäten und kehrte dann an seine alte Wirkungsstätte zurück.

Der Zustand des St. Petersburger Herrenhauses des Grafen Muravyov an der Fontanka, in dem sich das Mathematische Institut befindet, macht Perelmans Silbermangel besonders unzureichend. Das Gebäude kann laut der Zeitung „Iswestija“ jeden Moment einstürzen und in den Fluss stürzen.Der Kauf von Computerausrüstung (die einzige Ausrüstung, die Mathematiker benötigen) kann noch mit Hilfe verschiedener Zuschüsse finanziert werden, aber Wohltätigkeitsorganisationen sind dazu nicht bereit Kosten für die Restaurierung des historischen Gebäudes.

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http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

Ein einsiedlerischer Mathematiker, der eine der schwierigsten wissenschaftlichen Hypothesen, das Poincaré-Theorem, bewiesen hat, ist nicht weniger mysteriös als das Problem selbst.

Über ihn ist wenig bekannt. Er trat auf der Grundlage der Ergebnisse von Schulolympiaden in das Institut ein und erhielt ein Lenin-Stipendium. In der St. Petersburger Sonderschule Nr. 239 erinnert man sich an ihn - den Sohn von Yakov Perelman, dem Autor des berühmten Lehrbuchs "Unterhaltende Physik". Foto von Grisha Perelman - im Vorstand der Großen zusammen mit Lobachy und Leibniz.

„Er war so ein ausgezeichneter Schüler, nur im Sportunterricht … Sonst hätte es eine Medaille gegeben“, erinnert sich seine Lehrerin Tamara Efimova, Direktorin des Physik- und Mathematik-Lyzeums 239, im Interview mit Channel One.

Er war immer für die reine Wissenschaft, gegen Formalitäten – das sind die Worte seines ehemaligen Schullehrers, einer der wenigen, mit denen Perelman während der acht Jahre der Suche in Kontakt blieb. Wie er sagt, musste der Mathematiker seinen Job aufgeben, weil er dort Artikel-Berichte schreiben musste, und Poincaré nahm seine ganze Zeit in Anspruch. Mathematik steht über allem.

Perelman investierte acht Jahre seines Lebens in die Lösung eines der sieben unlösbaren mathematischen Probleme. Er arbeitete allein, irgendwo auf dem Dachboden, heimlich. Er hielt Vorträge in Amerika, um sich zu Hause zu ernähren. Verlassene Arbeit, die vom Hauptziel abgelenkt ist, Anrufe nicht entgegennimmt und nicht mit der Presse kommuniziert.

Für die Lösung eines der sieben unlösbaren mathematischen Probleme wird eine Million Dollar vergeben, das ist der Fields-Preis, der Nobelpreis für Mathematiker. Grigory Perelman wurde der Hauptkandidat dafür.

Der Wissenschaftler weiß das, aber offensichtlich geht es ihm nicht um monetäre Anerkennung. Wie Kollegen versichern, hat er nicht einmal Unterlagen für die Auszeichnung eingereicht.

„Grigori Jakowlewitsch selbst kümmert sich meines Wissens überhaupt nicht um eine Million“, sagt Ildar Ibragimov, Akademiker der Russischen Akademie der Wissenschaften, „Tatsächlich sind Menschen, die diese Probleme lösen können, hauptsächlich Menschen, die nicht arbeiten werden wegen dieses Geldes wird es etwas ganz anderes sein.“

Perelman veröffentlichte vor drei Jahren zum einzigen Mal eine Arbeit zur Poincare-Vermutung im Internet. Eher nicht einmal ein Job, sondern eine Skizze von 39 Seiten. Schreiben Sie einen detaillierteren Bericht - er ist mit den detaillierten Beweisen nicht einverstanden. Selbst der Vizepräsident der World Mathematical Society, der extra nach St. Petersburg kam, um Perelman zu finden, tat dies nicht.

In den letzten drei Jahren konnte niemand einen Fehler in Perelmans Berechnungen finden, wie es die Regeln des Fields-Preises vorschreiben. Q.E.D.

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http://elementy.ru/news/430288

Der Beweisprozess der Poincaré-Vermutung scheint nun in die Endphase einzutreten. Drei Gruppen von Mathematikern haben schließlich die Ideen von Grigory Perelman herausgefunden und in den letzten Monaten ihre Versionen des vollständigen Beweises dieser Vermutung präsentiert.

Eine 1904 von Poincaré formulierte Vermutung besagt, dass alle dreidimensionalen Flächen im vierdimensionalen Raum, die einer Kugel homotopisch äquivalent sind, zu ihr homöomorph sind. reden in einfachen Worten, wenn eine dreidimensionale Fläche einer Kugel ähnlich ist, dann kann sie, wenn sie begradigt wird, nur eine Kugel werden und nichts anderes. Einzelheiten zu dieser Vermutung und der Geschichte ihres Beweises finden Sie in dem beliebten Artikel Year 2000 Problems: The Poincaré Conjecture in Computerra.

Zum Beweis der Poincaré-Vermutung Clay vergab einen Preis von einer Million Dollar, was überraschend erscheinen mag, schließlich sprechen wir über eine sehr private, uninteressante Tatsache. Tatsächlich sind für Mathematiker nicht so sehr die Eigenschaften der dreidimensionalen Oberfläche wichtig, sondern die Tatsache, dass der Beweis selbst schwierig ist. In diesem Problem wird in konzentrierter Form formuliert, was mit Hilfe bisher verfügbarer Ideen und Methoden der Geometrie und Topologie nicht bewiesen werden konnte. Es erlaubt Ihnen, auf eine tiefere Ebene zu blicken, in jene Schicht von Aufgaben, die nur mit Hilfe der Ideen der „neuen Generation“ gelöst werden können.

Wie schon beim Satz von Fermat stellte sich heraus, dass die Poincaré-Vermutung ein Spezialfall einer viel allgemeineren Aussage über die geometrischen Eigenschaften beliebiger dreidimensionaler Flächen ist – die Thurstonsche Geometrisierungsvermutung –, weshalb die Bemühungen der Mathematiker nicht darauf abzielten Lösung dieses speziellen Falls, sondern auf der Konstruktion eines neuen mathematischen Ansatzes, der in der Lage ist, mit solchen Problemen fertig zu werden.

Ein Durchbruch in den Jahren 2002-2003 gelang dem russischen Mathematiker Grigory Perelman. In seinen drei Artikeln math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245 entwickelte und vervollständigte er die in den 1980er Jahren von Richard Hamilton vorgeschlagene Methode mit einer Reihe neuer Ideen. In seinen Arbeiten argumentiert Perelman, dass die von ihm konstruierte Theorie es ermöglicht, nicht nur die Poincare-Vermutung, sondern auch die Geometrisierungsvermutung zu beweisen.

Die Essenz der Methode besteht darin, dass es möglich ist, für geometrische Objekte eine bestimmte Gleichung der "glatten Evolution" zu definieren, ähnlich der Gleichung der Renormierungsgruppe in der theoretischen Physik. Die anfängliche Oberfläche während dieser Entwicklung wird deformiert und geht, wie Perelman gezeigt hat, am Ende glatt in eine Kugel über. Die Stärke dieses Ansatzes liegt darin, dass man unter Umgehung aller Zwischenmomente sofort „in die Unendlichkeit“, ganz am Ende der Evolution, blicken und dort eine Kugel finden kann.

Perelmans Arbeit legte den Grundstein für Intrigen. In seinen Artikeln entwickelte er Allgemeine Theorie und skizzierte die Kernpunkte des Beweises nicht nur der Poincaré-Vermutung, sondern auch der Geometrisierungsvermutung. Perelman lieferte keinen vollständigen Beweis in allen Details, obwohl er behauptete, beide Hypothesen bewiesen zu haben. Im selben Jahr tourte Perelman mit einer Reihe von Vorträgen durch die Vereinigten Staaten, in denen er alle technischen Fragen des Publikums klar und detailliert beantwortete.

Unmittelbar nach der Veröffentlichung von Perelmans Preprints begannen Experten, die Kernpunkte seiner Theorie zu überprüfen, und es wurde noch kein einziger Fehler gefunden. Darüber hinaus konnten im Laufe der Jahre mehrere Teams von Mathematikern die von Perelman vorgeschlagenen Ideen so weit aufnehmen, dass sie beginnen, den vollständigen Beweis „sauber“ aufzuschreiben.

Im Mai 2006 erschien B. Kleiner, J. Lott, math.DG/0605667, in der eine detaillierte Herleitung der ausgelassenen Punkte in Perelmans Beweis gegeben wurde. (Übrigens unterhalten diese Autoren eine Webseite, die Perelmans Artikeln und verwandten Arbeiten gewidmet ist.)

Dann, im Juni 2006, veröffentlichte das Asian Journal of Mathematics einen 327-seitigen Artikel der chinesischen Mathematiker Huai-Dong Cao und Xi-Ping Zhu mit dem Titel „Ein vollständiger Beweis der Poincaré- und Geometrisierungsvermutungen – eine Anwendung der Hamilton-Perelman-Theorie von Ricci fließt." Die Autoren selbst erheben keinen Anspruch auf einen völlig neuen Beweis, sondern behaupten nur, dass Perelmans Ansatz wirklich funktioniert.

Schließlich ist neulich ein 473-seitiger Artikel (oder ist es schon ein Buch?) von J. W. Morgan, G. Tian, math.DG/0607607 erschienen, in dem die Autoren, auf den Spuren von Perelman, zitieren ihr Beweis der Poincaré-Vermutung (und nicht der allgemeineren Geometrisierungsvermutung). John Morgan gilt als einer der Hauptexperten für dieses Problem, und nach der Veröffentlichung seiner Arbeit kann man offenbar davon ausgehen, dass die Poincaré-Vermutung endgültig bewiesen ist.

Interessant ist übrigens, dass der Artikel chinesischer Mathematiker zunächst nur in Papierform zum Preis von 69 Dollar vertrieben wurde, sodass nicht jeder, der wollte, die Möglichkeit hatte, ihn sich anzusehen. Aber schon am nächsten Tag, nachdem das Morgan-Tyan-Papier im Archiv der Vorabdrucke erschienen war, auch die Website des Asian Journal of Mathematics elektronische Version Artikel.

Wessen Verfeinerung von Perelmans Beweis genauer und transparenter ist - die Zeit wird es zeigen. Es ist möglich, dass es in den kommenden Jahren vereinfacht wird, wie es beim Satz von Fermat geschehen ist. Bisher ist nur eine Zunahme des Publikationsvolumens erkennbar: von 30-seitigen Artikeln von Perelman zu einem dicken Buch von Morgan und Tyan, aber das liegt nicht an der Komplikation des Beweises, sondern an einer detaillierteren Herleitung aller Zwischenschritte.

In der Zwischenzeit soll der Internationale Mathematikerkongress, der diesen August in Madrid stattfindet, den endgültigen Beweis der Vermutung „offiziell“ bekannt geben und möglicherweise den Preis des Clay Institute erhalten. Darüber hinaus gibt es Gerüchte, dass Grigory Perelman einer der vier Fields-Medaillengewinner werden wird das höchste Zeichen Unterschiede für junge Mathematiker.