آیا بردارها به صورت آنلاین مبنایی را تشکیل می دهند؟ وابستگی خطی و استقلال خطی بردارها. اساس بردارها. سیستم مختصات افین

مثال 8

بردارها داده شده است. نشان دهید که بردارها در فضای سه بعدی یک پایه تشکیل می دهند و مختصات بردار را در این مبنا پیدا کنید.

راه حل:ابتدا بیایید به شرایط بپردازیم. بر اساس شرط، چهار بردار داده شده است، و همانطور که می بینید، آنها قبلاً مختصاتی دارند. اینکه این مبنا چیست برای ما جالب نیست. و نکته زیر جالب است: سه بردار ممکن است پایه جدیدی را تشکیل دهند. و مرحله اول کاملاً با حل مثال 6 منطبق است؛ باید بررسی شود که آیا بردارها واقعاً مستقل هستند یا خیر:

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:

یعنی بردارها به صورت خطی مستقل هستند و اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

! مهم: مختصات برداری لزومابنویس به ستون هاتعیین کننده، نه در رشته ها. در غیر این صورت، در الگوریتم حل بعدی سردرگمی وجود خواهد داشت.

حال بیایید بخش نظری را به یاد بیاوریم: اگر بردارها یک مبنا را تشکیل دهند، آنگاه هر بردار را می توان به روشی منحصر به فرد به یک مبنای معین گسترش داد: , مختصات بردار در پایه کجا هستند.

از آنجایی که بردارهای ما اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند (این قبلاً ثابت شده است)، بردار را می توان به روشی منحصر به فرد بر این اساس گسترش داد:
، مختصات بردار در پایه کجاست.

با توجه به شرایط و لازم است مختصات پیدا شود.

برای سهولت توضیح، قطعات را عوض می کنم: . برای پیدا کردن آن، باید این برابری را مختصات به مختصات بنویسید:

ضرایب بر چه اساسی تعیین می شود؟ تمام ضرایب سمت چپ دقیقاً از تعیین کننده منتقل می شوند ، مختصات بردار در سمت راست نوشته شده است.

نتیجه یک سیستم سه است معادلات خطیبا سه مجهول معمولاً توسط حل می شود فرمول های کرامر، اغلب حتی در بیان مسئله نیز چنین الزامی وجود دارد.

تعیین کننده اصلی سیستم قبلاً پیدا شده است:
، به این معنی که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

آنچه در زیر می آید یک موضوع تکنیکی است:

بدین ترتیب:
– تجزیه بردار بر اساس مبنا.

پاسخ:

همانطور که قبلاً اشاره کردم، مشکل ماهیت جبری دارد. بردارهایی که در نظر گرفته شدند لزوماً آن دسته از بردارهایی نیستند که بتوان در فضا رسم کرد، بلکه اول از همه، بردارهای انتزاعی دوره جبر خطی هستند. در مورد بردارهای دو بعدی، می توان یک مسئله مشابه را فرموله و حل کرد؛ راه حل بسیار ساده تر خواهد بود. با این حال، در عمل هرگز با چنین کاری مواجه نشده ام، به همین دلیل در قسمت قبل از آن صرف نظر کردم.

همین مشکل با بردارهای سه بعدی برای تصمیم مستقل:

مثال 9

بردارها داده شده است. نشان دهید که بردارها یک مبنا را تشکیل می دهند و مختصات بردار را در این مبنا پیدا کنید. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر.

راه حل کاملو نمونه تقریبی طرح نهایی در پایان درس.

به همین ترتیب می توان چهار بعدی، پنج بعدی و ... را در نظر گرفت. فضاهای برداری که بردارها به ترتیب دارای 4، 5 یا بیشتر مختصات هستند. برای این فضاهای برداری، مفهوم وابستگی خطی، استقلال خطی بردارها، مبنایی از جمله مبنای متعارف، بسط بردار نسبت به یک مبنا وجود دارد. بله، چنین فضاهایی را نمی توان به صورت هندسی ترسیم کرد، اما تمام قوانین، خواص و قضایای موارد دو بعدی و سه بعدی در آنها کار می کند - جبر خالص. در واقع، من قبلاً وسوسه شده بودم که در مورد مسائل فلسفی در مقاله صحبت کنم مشتقات جزئی تابعی از سه متغیر، که زودتر از این درس ظاهر شد.

بردارها را دوست داشته باشید و بردارها شما را دوست خواهند داشت!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل: بیایید از مختصات مربوطه بردارها نسبتی درست کنیم:

پاسخ: در

مثال 4: اثبات: ذوزنقهچهارضلعی به چهارضلعی گفته می شود که دو ضلع آن موازی و دو ضلع دیگر موازی نباشند.
1) موازی بودن اضلاع مقابل را بررسی می کنیم و .
بیایید بردارها را پیدا کنیم:


یعنی این بردارها خطی نیستند و اضلاع موازی نیستند.
2) موازی بودن اضلاع مقابل را بررسی کنید و .
بیایید بردارها را پیدا کنیم:

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:
، به این معنی که این بردارها خطی هستند و .
نتیجه: دو ضلع یک چهار ضلعی موازی هستند، اما دو ضلع دیگر موازی نیستند، به این معنی که طبق تعریف، ذوزنقه است. Q.E.D.

مثال 5: راه حل:
ب) بررسی کنیم که آیا ضریب تناسب برای مختصات مربوط به بردارها وجود دارد یا خیر:

سیستم هیچ راه حلی ندارد، به این معنی که بردارها خطی نیستند.
طراحی ساده تر:
– مختصات دوم و سوم متناسب نیستند، یعنی بردارها هم خط نیستند.
پاسخ: بردارها خطی نیستند.
ج) بردارها را از نظر همخطی بودن بررسی می کنیم . بیایید یک سیستم ایجاد کنیم:

مختصات متناظر بردارها متناسب هستند که به این معنی است
این جایی است که روش طراحی "foppish" شکست می خورد.
پاسخ:

مثال 6: راه حل: ب) دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه می کنیم (تعیین کننده در خط اول نشان داده می شود):

، به این معنی که بردارها به صورت خطی وابسته هستند و اساس فضای سه بعدی را تشکیل نمی دهند.
پاسخ : این بردارها مبنایی را تشکیل نمی دهند

مثال 9: راه حل:بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:


بنابراین، بردارها به صورت خطی مستقل هستند و یک پایه را تشکیل می دهند.
بیایید بردار را به صورت ترکیبی خطی از بردارهای پایه نشان دهیم:

به طور هماهنگ:

بیایید سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنیم:
، به این معنی که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

پاسخ:بردارها مبنایی را تشکیل می دهند،

ریاضیات عالی برای دانشجویان مکاتبه ای و بیشتر >>>

(به صفحه اصلی بروید)

ضرب ضربدری بردارها.
حاصلضرب مخلوط بردارها

در این درس به دو عمل دیگر با بردارها نگاه خواهیم کرد: محصول برداریبردارهاو کار مختلطبردارها. اشکالی ندارد، گاهی اوقات اتفاق می افتد که برای خوشبختی کامل، علاوه بر حاصل ضرب اسکالر بردارها، بیشتر و بیشتر مورد نیاز است. این اعتیاد بردار است. ممکن است به نظر برسد که ما در حال ورود به جنگل هندسه تحلیلی هستیم. این اشتباه است. در این بخش ریاضیات بالاتربه طور کلی هیزم کافی وجود ندارد، شاید برای پینوکیو کافی باشد. در واقع، مواد بسیار رایج و ساده است - به سختی پیچیده تر از همان حاصلضرب عددی، حتی وظایف معمولی کمتری وجود خواهد داشت. نکته اصلی در هندسه تحلیلی، همانطور که بسیاری متقاعد شده اند یا قبلاً متقاعد شده اند، اشتباه نکردن در محاسبات است. مثل یک طلسم تکرار کنید و خوشحال خواهید شد =)

اگر بردارها در جایی دور می درخشند، مانند رعد و برق در افق، مهم نیست، با درس شروع کنید وکتور برای آدمکبرای بازیابی یا کسب مجدد دانش اولیه در مورد بردارها. خوانندگان آماده تر می توانند به طور انتخابی با اطلاعات آشنا شوند؛ من سعی کردم کامل ترین مجموعه نمونه هایی را که اغلب در کار عملی

چه چیزی شما را بلافاصله خوشحال می کند؟ وقتی کوچک بودم، می‌توانستم با دو و حتی سه توپ دستکاری کنم. خوب کار کرد. اکنون دیگر نیازی به دستکاری نخواهید داشت، زیرا ما در نظر خواهیم گرفت فقط بردارهای فضایی، و بردارهای مسطح با دو مختصات کنار گذاشته می شوند. چرا؟ به این ترتیب این کنش ها متولد شدند - بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها تعریف شده و در فضای سه بعدی کار می کنند. در حال حاضر آسان تر است!

تکالیف تستی

وظیفه 1 - 10. بردارها داده شده است. نشان دهید که بردارها اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند و مختصات بردار را در این مبنا پیدا کنید:

بردارهای ε1 (3;1;6)، ε2 (-2;2;-3)، ε3 (-4;5;-1)، X(3;0;1) داده شده است. نشان دهید که بردارها اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند و مختصات بردار X را در این مبنا پیدا کنید.

این کار از دو بخش تشکیل شده است. ابتدا باید بررسی کنید که آیا بردارها مبنایی را تشکیل می دهند یا خیر. اگر تعیین کننده متشکل از مختصات این بردارها غیر صفر باشد، بردارها مبنایی را تشکیل می دهند، در غیر این صورت بردارها پایه نیستند و بردار X را نمی توان بر این مبنا بسط داد.

بیایید تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنیم:

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

تعیین کننده ماتریس 37 = ∆ است

از آنجایی که تعیین کننده غیر صفر است، بردارها یک پایه را تشکیل می دهند، بنابراین، بردار X را می توان بر روی این مبنا گسترش داد. آن ها اعداد α 1، α 2، α 3 وجود دارند که تساوی برقرار است:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

اجازه دهید این برابری را به صورت مختصات بنویسیم:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

با استفاده از خواص بردارها برابری زیر را بدست می آوریم:

(3;0;1) = (3α 1 ؛ 1α 1 ؛ 6α 1 ؛) + (-2α 2 ؛ 2α 2 ;-3α 2 ؛) + (4α 3 ؛ 5α 3 ؛ -1α 3 ؛)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ؛ 1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ؛ 6α 1 -3α 2 -1α 3)

با خاصیت برابری بردارها داریم:

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

دریافتی را حل می کنیم سیستم معادلات روش گاوسییا روش کرامر.

X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3

راه حل با استفاده از سرویس دریافت و پردازش شد:

مختصات برداری در پایه

در کنار این مشکل آنها را نیز حل می کنند:

حل معادلات ماتریسی

روش کرامر

روش گاوس

ماتریس معکوس با استفاده از روش جردنو گاوس

ماتریس معکوس از طریق مکمل های جبری

ضرب ماتریس آنلاین

اساس فضاآنها چنین سیستمی از بردارها را می نامند که در آن همه بردارهای دیگر در فضا می توانند به صورت ترکیبی خطی از بردارهای موجود در پایه نمایش داده شوند.
در عمل، این همه به سادگی اجرا می شود. اساس، به عنوان یک قاعده، در یک صفحه یا در فضا بررسی می شود، و برای این شما باید تعیین کننده یک ماتریس مرتبه دوم و سوم متشکل از مختصات برداری را پیدا کنید. در زیر به صورت شماتیک نوشته شده است شرایطی که بردارها اساس را تشکیل می دهند

به بردار b را به بردارهای پایه گسترش دهید
e,e...,e[n] لازم است ضرایب x, ..., x[n] را پیدا کنیم که ترکیب خطی بردارهای e,e...,e[n] برابر است. بردار ب:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = ب.
برای این کار باید معادله برداری را به سیستم معادلات خطی تبدیل کرد و جواب ها را پیدا کرد. اجرای این نیز بسیار ساده است.
ضرایب یافت شده x، ...، x[n] نامیده می شوند مختصات بردار b در پایه e، e...، e[n].
بیایید به جنبه عملی موضوع برویم.

تجزیه یک بردار به بردارهای پایه

وظیفه 1. بررسی کنید که آیا بردارهای a1، a2 مبنایی را در صفحه تشکیل می دهند یا خیر

1) a1 (3؛ 5)، a2 (4؛ 2)
راه حل: از مختصات بردارها یک دترمین ساخته و محاسبه می کنیم

تعیین کننده نیست برابر با صفر ، از این رو بردارها به صورت خطی مستقل هستند، به این معنی که آنها یک پایه را تشکیل می دهند.

2) a1 (2;-3)، a2 (5;-1)
راه حل: ما تعیین کننده را محاسبه می کنیم که از بردارها تشکیل شده است

تعیین کننده برابر با 13 است (نه برابر با صفر) - از این نتیجه می شود که بردارهای a1، a2 مبنایی در صفحه هستند.

---=================---

بیایید به نمونه های معمولی از برنامه MAUP در رشته "ریاضیات عالی" نگاه کنیم.

وظیفه 2. نشان دهید که بردارهای a1، a2، a3 اساس یک فضای برداری سه بعدی را تشکیل می دهند و بردار b را بر اساس این مبنا گسترش دهید (هنگام حل یک سیستم خطی معادلات جبریاز روش کرامر استفاده کنید).
1) a1 (3؛ 1؛ 5)، a2 (3؛ 2؛ 8)، a3 (0؛ 1؛ 2)، b (-3؛ 1؛ 2).
راه حل: ابتدا سیستم بردارهای a1، a2، a3 را در نظر بگیرید و تعیین کننده ماتریس A را بررسی کنید.

بر روی بردارهای غیر صفر ساخته شده است. ماتریس حاوی یک عنصر صفر است، بنابراین بهتر است که تعیین کننده را به عنوان جدول زمانی در ستون اول یا ردیف سوم محاسبه کنیم.

در نتیجه محاسبات، متوجه شدیم که تعیین کننده با صفر متفاوت است، بنابراین بردارهای a1، a2، a3 به صورت خطی مستقل هستند.
طبق تعریف، بردارها پایه ای را در R3 تشکیل می دهند. بیایید برنامه زمانبندی بردار b را بر اساس آن بنویسیم

بردارها زمانی مساوی هستند که مختصات متناظر آنها برابر باشد.
بنابراین، از معادله برداری، سیستمی از معادلات خطی را به دست می آوریم

بیایید SLAE را حل کنیم روش کرامر. برای این کار سیستم معادلات را به شکل می نویسیم

تعیین کننده اصلی یک SLAE همیشه با تعیین کننده تشکیل شده از بردارهای پایه برابر است.

بنابراین، در عمل دو بار محاسبه نمی شود. برای یافتن تعیین کننده های کمکی، به جای هر ستون از تعیین کننده اصلی، یک ستون از عبارت های آزاد قرار می دهیم. تعیین کننده ها با استفاده از قانون مثلث محاسبه می شوند



بیایید تعیین کننده های یافت شده را با فرمول کرامر جایگزین کنیم



پس بسط بردار b از نظر مبنا به صورت b=-4a1+3a2-a3 است. مختصات بردار b در پایه a1، a2، a3 (-4،3، 1) خواهد بود.

2)a1 (1؛ -5؛ 2)، a2 (2؛ 3؛ 0)، a3 (1؛ -1؛ 1)، b (3؛ 5؛ 1).
راه حل: ما بردارها را برای یک پایه بررسی می کنیم - یک تعیین کننده از مختصات بردارها می سازیم و آن را محاسبه می کنیم.

بنابراین، تعیین کننده برابر با صفر نیست بردارها پایه ای را در فضا تشکیل می دهند. باقی مانده است که زمانبندی بردار b را از طریق این مبنا پیدا کنیم. برای این کار معادله برداری را می نویسیم

و به سیستم معادلات خطی تبدیل می شود

معادله ماتریس را می نویسیم

در مرحله بعد، برای فرمول های کرامر، تعیین کننده های کمکی را پیدا می کنیم



ما از فرمول های کرامر استفاده می کنیم



بنابراین یک بردار داده شده b دارای یک زمانبندی از طریق دو بردار پایه b=-2a1+5a3 است و مختصات آن در پایه برابر با b(-2,0, 5) است.