لی نمایی نیست. مجموع یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت و پارادوکس زنو

درس در مورد موضوع "پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش" (جبر، کلاس دهم)

هدف از درس:معرفی دانش آموزان با نوع جدیدی از توالی - یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش.

تجهیزات:پروژکتور، صفحه نمایش

نوع درس:درس - یادگیری موضوع جدید.

در طول کلاس ها

من . سازمان لحظه موضوع و هدف درس را بیان کنید.

II . به روز رسانی دانش دانش آموزان.

در کلاس نهم شما پیشرفت های حسابی و هندسی را مطالعه کردید.

سوالات

1. تعریف پیشرفت حسابی. (پیشرفت حسابی دنباله ای است که در آن هر عضو، با شروع از دوم، برابر با عضو قبلی است که به همان عدد اضافه شده است).

2. فرمول nترم ترم حسابی (
)

3. فرمول مجموع اولی nشرایط یک پیشرفت حسابی

(
یا
)

4. تعریف پیشرفت هندسی. (پیشرفت هندسی دنباله ای از اعداد غیرصفر است که هر جمله آن با شروع از دومی برابر است با جمله قبلی ضرب در همان عدد).

5. فرمول nترم ترم هندسی (

)

6. فرمول مجموع اولی nاعضای یک پیشرفت هندسی (
)

7. چه فرمول های دیگری را می شناسید؟

(
، جایی که
;
;
;
,
)

5. برای پیشرفت هندسی
ترم پنجم را پیدا کنید

6. برای پیشرفت هندسی
پیدا کردن nعضو ام

7. به صورت تصاعدی ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . پیدا کردن ب 4 . (4)

8. به صورت تصاعدی ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . پیدا کردن ب 1 و q .

9. به صورت تصاعدی ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . پیدا کردن اس 5 . (62)

III . یادگیری یک موضوع جدید(نمایش ارائه).

مربعی را در نظر بگیرید که ضلع آن برابر با 1 باشد. مربع دیگری را که ضلع آن نصف مربع اول است، سپس مربعی که ضلع آن نصف دوم است، سپس مربع بعدی و غیره ترسیم می کنیم. هر بار ضلع مربع جدید برابر با نصف مربع قبلی است.

در نتیجه، دنباله ای از اضلاع مربع ها را دریافت کردیم تشکیل یک تصاعد هندسی با مخرج .

و آنچه بسیار مهم است، هر چه بیشتر چنین مربع هایی بسازیم، ضلع مربع کوچکتر می شود. مثلا,

آن ها با افزایش عدد n، شرایط پیشروی به صفر می رسد.

با استفاده از این شکل می توانید دنباله دیگری را در نظر بگیرید.

به عنوان مثال، دنباله مساحت مربع ها:

. و باز هم اگر nبه طور نامحدود افزایش می یابد، سپس منطقه هر چقدر که دوست دارید به صفر نزدیک می شود.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. مثلث متساوی الاضلاعبا ضلعی برابر با 1 سانتی متر. بیایید طبق قضیه در مورد خط وسط مثلث با رئوس در وسط اضلاع مثلث اول، مثلث زیر را بسازیم - ضلع دوم برابر با نصف ضلع اول، ضلع سوم است. برابر است با نصف ضلع دوم و غیره. دوباره دنباله ای از طول اضلاع مثلث ها را به دست می آوریم.

در
.

اگر یک تصاعد هندسی با مخرج منفی در نظر بگیریم.

سپس، دوباره، با افزایش تعداد nشرایط رویکرد پیشرفت صفر است.

بیایید به مخرج این دنباله ها توجه کنیم. همه جا مخرج ها در مقدار مطلق کمتر از 1 بودند.

می‌توان نتیجه گرفت: اگر مدول مخرج آن کمتر از 1 باشد، یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش خواهد بود.

تعریف:

یک پیشروی هندسی به طور نامحدود در حال کاهش است اگر مدول مخرج آن باشد. کمتر از یک.
.

با استفاده از تعریف، می توانید تصمیم بگیرید که آیا یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش است یا خیر.

وظیفه

آیا دنباله یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش است اگر با فرمول داده شود:

;
.

راه حل:

. پیدا خواهیم کرد q .

;
;
;
.

این پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش است.

ب)این دنباله یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش نیست.

مربعی را در نظر بگیرید که ضلع آن برابر با 1 است. آن را به نصف، یکی از نصف ها را از وسط و غیره تقسیم کنید. مساحت تمام مستطیل های به دست آمده یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش را تشکیل می دهند:

مجموع مساحت تمام مستطیل های به دست آمده از این طریق برابر با مساحت مربع 1 و برابر با 1 خواهد بود.

درس و ارائه با موضوع: "توالی اعداد. پیشرفت هندسی"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس نهم
قدرت ها و ریشه ها توابع و نمودارها

بچه ها امروز با نوع دیگری از پیشرفت آشنا می شویم.
موضوع درس امروز پیشرفت هندسی است.

پیشرفت هندسی

تعریف. دنباله‌ای عددی که در آن هر جمله، که از دومی شروع می‌شود، برابر حاصل ضرب عدد قبلی و مقداری ثابت است، تصاعد هندسی نامیده می‌شود.
بیایید دنباله خود را به صورت بازگشتی تعریف کنیم: $b_(1)=b$، $b_(n)=b_(n-1)*q$،
که در آن b و q اعداد معینی هستند. عدد q را مخرج پیشروی می گویند.

مثال. 1,2,4,8,16 ... پیشروی هندسی که عبارت اول برابر با یکو $q=2$.

مثال. 8،8،8،8... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با هشت است،
و $q=1$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... پیشرفت هندسی که جمله اول برابر با سه است.
و $q=-1$.

پیشروی هندسی دارای خاصیت یکنواختی است.
اگر $b_(1)>0$، $q>1$،
سپس توالی در حال افزایش است.
اگر $b_(1)>0$، $0 دنباله معمولاً به این شکل نشان داده می شود: $b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n)، ...$.

درست مانند یک تصاعد حسابی، اگر در یک تصاعد هندسی تعداد عناصر متناهی باشد، آن پیشرفت را یک تصاعد هندسی محدود می نامند.

$b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n-2)، b_(n-1)، b_(n)$.
توجه داشته باشید که اگر دنباله ای یک تصاعد هندسی باشد، دنباله مربع های عبارت نیز یک تصاعد هندسی است. در دنباله دوم، جمله اول برابر با $b_(1)^2$ و مخرج برابر با $q^2$ است.

فرمول برای ترم n یک پیشرفت هندسی

پیشرفت هندسی را می توان به صورت تحلیلی نیز مشخص کرد. بیایید ببینیم چگونه این کار را انجام دهیم:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
ما به راحتی متوجه این الگو می شویم: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
فرمول ما «فرمول نهمین ترم یک پیشروی هندسی» نام دارد.

بیایید به مثال های خود بازگردیم.

مثال. 1،2،4،8،16 ... پیشرفت هندسی که در آن جمله اول برابر با یک است،
و $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

مثال. 16،8،4،2،1،1/2... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با شانزده و $q=\frac(1)(2)$ است.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

مثال. 8,8,8,8... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با هشت و $q=1$ است.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... یک تصاعد هندسی که در آن جمله اول برابر با سه و $q=-1$ است.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

مثال. با توجه به یک پیشرفت هندسی $b_(1)، b_(2)، …، b_(n)، … $.
الف) معلوم است که $b_(1)=6، q=3$. $b_(5)$ را پیدا کنید.
ب) معلوم است که $b_(1)=6، q=2، b_(n)=768$. n را پیدا کنید.
ج) معلوم است که $q=-2، b_(6)=96$. $b_(1)$ را پیدا کنید.
د) معلوم است که $b_(1)=-2، b_(12)=4096$. q را پیدا کنید.

راه حل.
الف) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ب) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$، زیرا $2^7=128 => n-1=7; n=8 دلار
ج) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
د) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

مثال. تفاوت جمله هفتم و پنجم پیشرفت هندسی 192 است، مجموع جمله های پنجم و ششم پیشروی 192 است. جمله دهم این پیشروی را بیابید.

راه حل.
می دانیم که: $b_(7)-b_(5)=192$ و $b_(5)+b_(6)=192$.
ما همچنین می دانیم: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
سپس:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
ما یک سیستم معادلات دریافت کردیم:
$\begin(موارد)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(موارد)$.
با معادل سازی معادلات به دست می آوریم:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
ما دو راه حل q دریافت کردیم: $q_(1)=2، q_(2)=-1$.
به ترتیب در معادله دوم جایگزین کنید:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ هیچ راه حلی وجود ندارد.
دریافتیم که: $b_(1)=4، q=2$.
بیایید عبارت دهم را پیدا کنیم: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

مجموع یک پیشرفت هندسی محدود

اجازه دهید یک پیشرفت هندسی محدود داشته باشیم. بیایید، درست مانند یک پیشروی حسابی، مجموع عبارت های آن را محاسبه کنیم.

اجازه دهید یک پیشرفت هندسی محدود داده شود: $b_(1)،b_(2)،…،b_(n-1)،b_(n)$.
اجازه دهید نام را برای مجموع عبارت‌های آن معرفی کنیم: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
در صورتی که $q=1$. تمام عبارات پیشروی هندسی برابر با جمله اول هستند، پس واضح است که $S_(n)=n*b_(1)$.
حال اجازه دهید مورد $q≠1$ را در نظر بگیریم.
مقدار فوق را در q ضرب می کنیم.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
توجه داشته باشید:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

ما فرمول مجموع یک پیشرفت هندسی محدود را به دست آورده ایم.

مثال.
مجموع هفت جمله اول یک تصاعد هندسی که جمله اول آن 4 و مخرج آن 3 است را بیابید.

راه حل.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

مثال.
جمله پنجم پیشرفت هندسی را که مشخص است بیابید: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

راه حل.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
4095-$(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341 دلار = 1364 دلار.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

ویژگی مشخصه پیشرفت هندسی

بچه ها، یک پیشرفت هندسی داده شده است. بیایید به سه عضو متوالی آن نگاه کنیم: $b_(n-1)،b_(n)،b_(n+1)$.
ما آن را میدانیم:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
سپس:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
اگر پیشرفت متناهی باشد، آنگاه این برابری برای همه ترم ها به جز اولین و آخرین برقرار است.
اگر از قبل معلوم نباشد که دنباله چه شکلی دارد، اما معلوم است که: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
پس با اطمینان می توان گفت که این یک پیشرفت هندسی است.

یک دنباله اعداد فقط زمانی یک تصاعد هندسی است که مجذور هر عضو برابر با حاصلضرب دو عضو مجاور پیشرفت باشد. فراموش نکنید که برای یک پیشرفت محدود این شرط برای ترم های اول و آخر برآورده نمی شود.

بیایید به این هویت نگاه کنیم: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ میانگین هندسی اعداد a و b نامیده می شود.

مدول هر جمله یک پیشروی هندسی برابر است با میانگین هندسی دو جمله همسایه آن.

مثال.
x را طوری پیدا کنید که $x+2; 2x+2; 3x+3$ سه عبارت متوالی از یک پیشرفت هندسی بودند.

راه حل.
بیایید از ویژگی مشخصه استفاده کنیم:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ و $x_(2)=-1$.
اجازه دهید راه حل های خود را به صورت متوالی با عبارت اصلی جایگزین کنیم:
با $x=2$، دنباله را دریافت کردیم: 4;6;9 - یک پیشرفت هندسی با $q=1.5$.
برای $x=-1$، دنباله را دریافت می کنیم: 1;0;0.
پاسخ: $x=2.$

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

1. هشتمین جمله اول پیشروی هندسی 16;-8;4;-2… را بیابید.
2. جمله دهم پیشروی هندسی 11،22،44 را بیابید.
3. معلوم است که $b_(1)=5، q=3$. $b_(7)$ را پیدا کنید.
4. معلوم است که $b_(1)=8، q=-2، b_(n)=512$. n را پیدا کنید.
5. مجموع 11 جمله اول پیشروی هندسی 3;12;48... را بیابید.
6. x را طوری پیدا کنید که $3x+4; 2x+4; x+5$ سه جمله متوالی یک پیشرفت هندسی هستند.

بیایید یک سری خاص را در نظر بگیریم.

7 28 112 448 1792...

کاملاً واضح است که ارزش هر یک از عناصر آن دقیقاً چهار برابر بیشتر از عنصر قبلی است. یعنی این سریال یک پیشرفت است.

پیشروی هندسی یک دنباله بی نهایت از اعداد است. ویژگی اصلییعنی عدد بعدی با ضرب در عددی خاص از عدد قبلی بدست می آید. این با فرمول زیر بیان می شود.

a z +1 =a z ·q، که z تعداد عنصر انتخاب شده است.

بر این اساس، z ∈ N.

دوره ای که پیشرفت هندسی در مدرسه مطالعه می شود کلاس نهم است. مثال ها به شما در درک مفهوم کمک می کنند:

0.25 0.125 0.0625...

بر اساس این فرمول، مخرج پیشرفت را می توان به صورت زیر یافت:

نه q و نه b z نمی توانند صفر باشند. همچنین هر یک از عناصر پیشرفت نباید برابر با صفر باشد.

بر این اساس، برای پیدا کردن عدد بعدی در یک سری، باید عدد آخر را در q ضرب کنید.

برای تنظیم این پیشرفت، باید اولین عنصر و مخرج آن را مشخص کنید. پس از این امکان یافتن هر یک از عبارت های بعدی و مجموع آنها وجود دارد.

انواع

بسته به q و a 1، این پیشرفت به چند نوع تقسیم می شود:

• اگر هر دو a 1 و q بزرگتر از یک باشند، چنین دنباله ای یک پیشرفت هندسی است که با هر عنصر بعدی افزایش می یابد. نمونه ای از آن در زیر ارائه شده است.

مثال: a 1 =3، q=2 - هر دو پارامتر بزرگتر از یک هستند.

سپس دنباله اعداد را می توان به صورت زیر نوشت:

3 6 12 24 48 ...

• اگر |q| کوچکتر از یک است، یعنی ضرب در آن معادل تقسیم است، سپس یک پیشروی با شرایط مشابه یک پیشرفت هندسی کاهشی است. نمونه ای از آن در زیر ارائه شده است.

مثال: a 1 =6، q=1/3 - a 1 بزرگتر از یک است، q کمتر است.

سپس دنباله اعداد را می توان به صورت زیر نوشت:

6 2 2/3 ... - هر عنصری 3 برابر بزرگتر از عنصر بعدی است.

• علامت متناوب. اگر q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

مثال: a 1 = -3، q = -2 - هر دو پارامتر کمتر از صفر هستند.

سپس دنباله اعداد را می توان به صورت زیر نوشت:

3, 6, -12, 24,...

فرمول ها

فرمول های زیادی برای استفاده راحت از پیشرفت های هندسی وجود دارد:

• فرمول ترم Z. به شما امکان می دهد یک عنصر را تحت یک عدد خاص بدون محاسبه اعداد قبلی محاسبه کنید.

مثال:q = 3, آ 1 = 4. شمارش عنصر چهارم پیشرفت الزامی است.

راه حل:آ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• مجموع اولین عناصری که مقدار آنها برابر است z. به شما امکان می دهد مجموع تمام عناصر یک دنباله را تا سقف محاسبه کنیدیک zشامل.

از آنجایی که (1-q) در مخرج است، سپس (1 - q)≠ 0، بنابراین q برابر با 1 نیست.

توجه: اگر q=1 باشد، آنگاه پیشرفت یک سری اعداد بی نهایت تکرار خواهد بود.

مجموع پیشرفت هندسی، مثال:آ 1 = 2, q= -2. S5 را محاسبه کنید.

راه حل:اس 5 = 22 - محاسبه با استفاده از فرمول.

• مقدار اگر |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

مثال:آ 1 = 2 , q= 0.5. مقدار را پیدا کنید.

راه حل:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

برخی از خواص:

• خاصیت مشخصه. اگر شرط زیر باشد برای هر کدام کار می کندz، سپس سری اعداد داده شده یک پیشرفت هندسی است:

یک z 2 = یک z -1 · آz+1

• همچنین، مربع هر عددی در یک تصاعد هندسی با جمع کردن مربع های هر دو عدد دیگر در یک سری داده شده، در صورتی که از این عنصر مساوی فاصله داشته باشند، به دست می آید.

یک z 2 = یک z - تی 2 + یک z + تی 2 ، جایی کهتی- فاصله بین این اعداد

• عناصردر q متفاوت استیک بار.
• لگاریتم های عناصر یک پیشروی نیز یک پیشروی را تشکیل می دهند، اما حسابی، یعنی هر یک از آنها به تعداد معینی از قبلی بزرگتر هستند.

نمونه هایی از برخی مشکلات کلاسیک

برای درک بهتر پیشرفت هندسی، مثال هایی با راه حل های کلاس 9 می تواند کمک کند.

• شرایط:آ 1 = 3, آ 3 = 48. پیدا کنیدq.

راه حل: هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی استq یک بار.بیان برخی از عناصر بر حسب برخی دیگر با استفاده از مخرج ضروری است.

از این رو،آ 3 = q 2 · آ 1

هنگام تعویضq= 4

• شرایط:آ 2 = 6, آ 3 = 12. S 6 را محاسبه کنید.

راه حل:برای انجام این کار، فقط q، عنصر اول را پیدا کنید و آن را در فرمول جایگزین کنید.

آ 3 = q· آ 2 از این رو،q= 2

a 2 = q · یک 1،از همین رو a 1 = 3

S 6 = 189

• · آ 1 = 10, q= -2. عنصر چهارم پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل: برای این کار کافی است عنصر چهارم را از طریق اولی و از طریق مخرج بیان کنیم.

a 4 = q 3· a 1 = -80

مثال کاربردی:

• یک مشتری بانک به مبلغ 10000 روبل سپرده گذاری کرد که تحت شرایط آن هر سال مشتری 6٪ از آن را به مبلغ اصلی اضافه می کند. بعد از 4 سال چقدر پول در حساب شما خواهد بود؟

راه حل: مبلغ اولیه 10 هزار روبل است. یعنی یک سال بعد از سرمایه گذاری حساب مبلغی معادل 10000 + 10000 خواهد داشت. · 0.06 = 10000 1.06

بر این اساس مبلغ در حساب پس از یک سال دیگر به شرح زیر بیان می شود:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

یعنی هر سال این مقدار 1.06 برابر افزایش می یابد. یعنی برای یافتن مقدار وجوه موجود در حساب پس از 4 سال کافی است عنصر چهارم پیشرفت را پیدا کنید که با عنصر اول برابر با 10 هزار و مخرج برابر با 1.06 داده می شود.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

نمونه هایی از مسائل محاسبه مجموع:

از پیشرفت هندسی در مسائل مختلف استفاده می شود. مثالی برای یافتن مجموع می توان به صورت زیر ارائه کرد:

آ 1 = 4, q= 2، محاسبه کنیدS 5.

راه حل: تمام داده های لازم برای محاسبه مشخص است، فقط باید آنها را در فرمول جایگزین کنید.

اس 5 = 124

• آ 2 = 6, آ 3 = 18. مجموع شش عنصر اول را محاسبه کنید.

راه حل:

در ژئوم. پیشرفت، هر عنصر بعدی q برابر بیشتر از قبلی است، یعنی برای محاسبه مجموع باید عنصر را بدانیدآ 1 و مخرجq.

آ 2 · q = آ 3

q = 3

به طور مشابه، شما باید پیدا کنیدآ 1 ، دانستنآ 2 وq.

آ 1 · q = آ 2

a 1 =2

اس 6 = 728.

ریاضیات چیستمردم طبیعت و خودشان را کنترل می کنند.

ریاضیدان شوروی، آکادمیک A.N. کولموگروف

پیشرفت هندسی

در کنار مسائل مربوط به پیشرفت های حسابی، مسائل مربوط به مفهوم پیشرفت هندسی نیز در کنکور ریاضی رایج است. برای حل موفقیت آمیز چنین مسائلی، باید ویژگی های پیشروی های هندسی را بدانید و مهارت های خوبی در استفاده از آنها داشته باشید.

این مقاله به ارائه خصوصیات اساسی پیشروی هندسی اختصاص دارد. نمونه هایی از حل مسائل معمولی نیز در اینجا ارائه شده است., وام گرفته شده از تکالیف کنکور ریاضی.

اجازه دهید ابتدا ویژگی های اساسی پیشرفت هندسی را یادداشت کنیم و مهم ترین فرمول ها و عبارات را به خاطر بیاوریم., با این مفهوم مرتبط است.

تعریف.دنباله اعدادی را پیشروی هندسی می نامند که هر عددی که از عدد دوم شروع می شود با عدد قبلی برابر باشد و در همان عدد ضرب شود. عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می گویند.

برای پیشرفت هندسیفرمول ها معتبر هستند

, (1)

جایی که . فرمول (1) فرمول عبارت کلی یک پیشروی هندسی نامیده می شود و فرمول (2) نشان دهنده ویژگی اصلی یک پیشرفت هندسی است: هر جمله از پیشرفت با میانگین هندسی اصطلاحات همسایه خود منطبق است.

توجه داشته باشید، که دقیقاً به دلیل همین ویژگی است که پیشرفت مورد بحث "هندسی" نامیده می شود.

فرمول های (1) و (2) فوق به صورت زیر تعمیم داده می شوند:

, (3)

برای محاسبه مقداراولین اعضای یک پیشرفت هندسیفرمول اعمال می شود

اگر نشان دهیم، پس

جایی که . از آنجایی که فرمول (6) تعمیم فرمول (5) است.

در صورتی که و پیشرفت هندسیبی نهایت در حال کاهش است برای محاسبه مقداراز تمام عبارات یک پیشرفت هندسی بی نهایت نزولی، از فرمول استفاده می شود

. (7)

مثلا ، با استفاده از فرمول (7) می توانیم نشان دهیم، چی

جایی که . این برابری ها از فرمول (7) به دست می آیند که، (برابری اول) و، (برابری دوم).

قضیه.اگر پس از آن

اثبات اگر پس از آن

قضیه ثابت شده است.

بیایید به بررسی نمونه هایی از حل مسائل در موضوع "پیشرفت هندسی" بپردازیم.

مثال 1.با توجه به:، و. پیدا کردن .

راه حل.اگر فرمول (5) را اعمال کنیم، پس

پاسخ: .

مثال 2.بگذار باشد. پیدا کردن .

راه حل.از آنجایی که و از فرمول های (5)، (6) استفاده می کنیم و یک سیستم معادلات به دست می آوریم

اگر معادله دوم سیستم (9) بر معادله اول تقسیم شود، سپس یا . از این نتیجه بر می آید که . بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

1. اگر، سپس از معادله اول سیستم (9) داریم.

2. اگر، پس.

مثال 3.اجازه دهید، و. پیدا کردن .

راه حل.از فرمول (2) نتیجه می شود که یا . از آن پس یا .

با شرط. با این حال، بنابراین. از آنجایی که و سپس در اینجا ما یک سیستم معادلات داریم

اگر معادله دوم سیستم بر معادله اول تقسیم شود، یا .

از آنجایی که معادله یک ریشه مناسب منحصر به فرد دارد. در این حالت از معادله اول سیستم بر می آید.

با در نظر گرفتن فرمول (7) بدست می آوریم.

پاسخ: .

مثال 4.داده شده: و . پیدا کردن .

راه حل.از آن به بعد.

از آن پس یا

طبق فرمول (2) داریم . در این راستا از برابری (10) یا .

با این حال، به شرط، بنابراین.

مثال 5.مشخص است که . پیدا کردن .

راه حل. طبق قضیه دو برابری داریم

از آن پس یا . چون پس .

پاسخ: .

مثال 6.داده شده: و . پیدا کردن .

راه حل.با در نظر گرفتن فرمول (5) بدست می آوریم

از آن به بعد. از آن زمان و پس از آن .

مثال 7.بگذار باشد. پیدا کردن .

راه حل.با توجه به فرمول (1) می توانیم بنویسیم

بنابراین، داریم یا . معلوم است که و , بنابراین و .

پاسخ: .

مثال 8.مخرج یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را پیدا کنید اگر

و .

راه حل. از فرمول (7) به دست می آیدو . از اینجا و از شرایط مسئله یک سیستم معادلات به دست می آوریم

اگر معادله اول سیستم مربع باشد, و سپس معادله به دست آمده را بر معادله دوم تقسیم کنید، سپس دریافت می کنیم

یا .

پاسخ: .

مثال 9.تمام مقادیری را که دنباله , , یک پیشرفت هندسی است را بیابید.

راه حل.اجازه دهید، و. با توجه به فرمول (2) که ویژگی اصلی یک پیشرفت هندسی را تعریف می کند، می توانیم یا .

از اینجا معادله درجه دوم را بدست می آوریم, که ریشه آن استو .

بیایید بررسی کنیم: اگرو سپس و اگر، پس، و .

در مورد اول داریمو , و در دوم – و .

پاسخ: ، .

مثال 10.معادله را حل کنید

, (11)

کجا و .

راه حل. سمت چپ معادله (11) مجموع یک پیشروی هندسی نزولی نامتناهی است که در آن و با توجه به: و .

از فرمول (7) به دست می آید، چی . در این رابطه معادله (11) شکل می گیردیا . ریشه مناسب معادله درجه دوم است

پاسخ: .

مثال 11.پ دنباله ای از اعداد مثبتیک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهد، آ - پیشرفت هندسی، چه ربطی داره . پیدا کردن .

راه حل.زیرا توالی محاسباتی، آن (ویژگی اصلی پیشرفت حسابی). از آنجا که، سپس یا . این دلالت می کنه که ، که پیشروی هندسی فرم دارد. طبق فرمول (2)، سپس آن را یادداشت می کنیم.

از آن زمان و سپس . در این مورد، بیانشکل یا . به شرط، بنابراین از معادلهما یک راه حل منحصر به فرد برای مشکل مورد بررسی به دست می آوریم، یعنی .

پاسخ: .

مثال 12.مجموع را محاسبه کنید

. (12)

راه حل. دو طرف مساوی (12) را در 5 ضرب کنید و بدست آورید

اگر (12) را از عبارت بدست آمده کم کنیم، آن

یا .

برای محاسبه، مقادیر را با فرمول (7) جایگزین می کنیم و بدست می آوریم. از آن به بعد.

پاسخ: .

نمونه هایی از حل مسئله که در اینجا آورده شده است برای متقاضیان در هنگام آمادگی برای کنکور مفید خواهد بود. برای مطالعه عمیق تر روش های حل مسئله, مربوط به پیشرفت هندسی, شما می توانید از آموزش های فهرست ادبیات توصیه شده استفاده کنید.

1. مجموعه مسائل در ریاضیات برای متقاضیان کالج / ویرایش. M.I. اسکانوی. – م.: میر و آموزش، 1392. – 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه درسی مدرسه. - M.: Lenand / URSS، 2014. – 216 ص.

3. Medynsky M.M. دوره کامل ریاضیات ابتدایی در مسائل و تمرینات. کتاب 2: توالی اعداد و پیشرفت ها. - M.: Editus، 2015. – 208 ص.

هنوز سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

پیشروی هندسی همراه با پیشروی حسابی از سری اعداد مهمی است که در درس جبر مدرسه در پایه نهم مطالعه می شود. در این مقاله به مخرج یک پیشروی هندسی و چگونگی تأثیر ارزش آن بر خواص آن خواهیم پرداخت.

تعریف پیشرفت هندسی

ابتدا اجازه دهید این را تعریف کنیم سری اعداد. به چنین سری، پیشرفت هندسی می گویند اعداد گویا، که از ضرب متوالی اولین عنصر آن در عددی ثابت به نام مخرج تشکیل می شود.

برای مثال اعداد سری 3، 6، 12، 24، ... یک تصاعد هندسی هستند، زیرا اگر 3 (اول عنصر) را در 2 ضرب کنید، 6 می شود. اگر 6 را در 2 ضرب کنید، به دست می آید. 12 و غیره.

اعضای دنباله مورد بررسی معمولا با نماد ai نشان داده می شوند، جایی که i یک عدد صحیح است که نشان دهنده تعداد عنصر در سری است.

تعریف فوق از پیشرفت را می توان به زبان ریاضی به صورت زیر نوشت: an = bn-1 * a1، که در آن b مخرج است. بررسی این فرمول آسان است: اگر n = 1، سپس b1-1 = 1، و ما a1 = a1 را دریافت می کنیم. اگر n = 2 باشد، an = b * a1، و دوباره به تعریف سری اعداد مورد نظر می رسیم. استدلال مشابه را می توان برای مقادیر بزرگ n ادامه داد.

مخرج پیشرفت هندسی

عدد b به طور کامل مشخص می کند که کل سری اعداد چه کاراکتری خواهد داشت. مخرج b می تواند مثبت، منفی یا بزرگتر یا کمتر از یک باشد. همه گزینه های بالا به دنباله های مختلفی منجر می شوند:

• b > 1. یک سری اعداد گویا در حال افزایش است. به عنوان مثال، 1، 2، 4، 8، ... اگر عنصر a1 منفی باشد، کل دنباله فقط در مقدار مطلق افزایش می یابد، اما بسته به علامت اعداد کاهش می یابد.
• b = 1. غالباً به این حالت پیشرفت نمی گویند، زیرا یک سری معمولی از اعداد گویا یکسان وجود دارد. به عنوان مثال، -4، -4، -4.

فرمول برای مقدار

قبل از اینکه به بررسی مسائل خاص با استفاده از مخرج نوع پیشرفت مورد بررسی بپردازیم، یک فرمول مهم برای مجموع n عنصر اول آن باید ارائه شود. فرمول به نظر می رسد: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

اگر دنباله بازگشتی عبارات پیشرفت را در نظر بگیرید، می توانید این عبارت را خودتان بدست آورید. همچنین توجه داشته باشید که در فرمول بالا فقط کافی است عنصر اول و مخرج را بدانید تا مجموع تعداد دلخواه عبارت را بیابید.

توالی بی نهایت در حال کاهش

در بالا توضیح داده شد که چیست. حالا با دانستن فرمول Sn، بیایید آن را روی این سری اعداد اعمال کنیم. از آنجایی که هر عددی که مدول آن از 1 تجاوز نمی کند، وقتی به توان های بزرگ افزایش می یابد، به صفر میل می کند، یعنی b∞ => 0 اگر -1 باشد.

از آنجایی که تفاوت (1 - b) بدون توجه به مقدار مخرج همیشه مثبت خواهد بود، علامت مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش S∞ به‌طور منحصربه‌فردی با علامت اولین عنصر آن a1 تعیین می‌شود.

اکنون بیایید به چندین مشکل نگاه کنیم که در آن نحوه اعمال دانش به دست آمده را در اعداد خاص نشان خواهیم داد.

کار شماره 1. محاسبه عناصر مجهول پیشرفت و جمع

با توجه به یک تصاعد هندسی، مخرج پیشروی 2 و عنصر اول آن 3 است. جمله های هفتم و دهم آن برابر با چه چیزی خواهد بود و مجموع هفت عنصر اولیه آن چقدر است؟

شرایط مشکل کاملاً ساده است و فرض می شود استفاده مستقیمفرمول های بالا بنابراین، برای محاسبه عنصر شماره n از عبارت an = bn-1 * a1 استفاده می کنیم. برای عنصر هفتم داریم: a7 = b6 * a1، با جایگزینی داده های شناخته شده، به دست می آوریم: a7 = 26 * 3 = 192. ما همین کار را برای ترم دهم انجام می دهیم: a10 = 29 * 3 = 1536.

بیایید از فرمول معروف برای جمع استفاده کنیم و این مقدار را برای 7 عنصر اول سری تعیین کنیم. ما داریم: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

مسئله شماره 2. تعیین مجموع عناصر دلخواه یک پیشروی

فرض کنید -2 برابر با مخرج پیشرفت هندسی bn-1 * 4 باشد که n یک عدد صحیح است. باید مجموع عنصر 5 تا 10 این مجموعه را شامل شود.

مشکل مطرح شده را نمی توان مستقیماً با استفاده از فرمول های شناخته شده حل کرد. با استفاده از 2 روش مختلف قابل حل است. برای تکمیل ارائه موضوع، هر دو را ارائه می کنیم.

روش 1. ایده ساده است: شما باید دو مجموع مربوط به عبارت اول را محاسبه کنید و سپس دیگری را از یکی کم کنید. مقدار کوچکتر را محاسبه می کنیم: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. اکنون مجموع بزرگتر را محاسبه می کنیم: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. توجه داشته باشید که در آخرین عبارت فقط 4 عبارت جمع شده است، زیرا 5 در حال حاضر در مقداری است که باید با توجه به شرایط مسئله محاسبه شود. در نهایت تفاوت را می گیریم: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

روش 2. قبل از جایگزینی اعداد و شمارش، می توانید فرمولی برای جمع بین m و n جمله سری مورد نظر بدست آورید. ما دقیقاً مانند روش 1 عمل می کنیم، فقط ابتدا با نمایش نمادین مقدار کار می کنیم. داریم: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . می توانید اعداد شناخته شده را در عبارت حاصل جایگزین کنید و نتیجه نهایی را محاسبه کنید: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

مسئله شماره 3. مخرج چیست؟

فرض کنید a1 = 2، مخرج پیشروی هندسی را پیدا کنید، مشروط بر اینکه مجموع نامتناهی آن 3 باشد، و معلوم است که این یک سری اعداد کاهشی است.

بر اساس شرایط مسئله، حدس زدن از کدام فرمول برای حل آن دشوار نیست. البته، برای مجموع پیشرفت بی نهایت کاهش می یابد. داریم: S∞ = a1 / (1 - b). از جایی که مخرج را بیان می کنیم: b = 1 - a1 / S∞. تنها چیزی که باقی می ماند جایگزین کردن است ارزش های شناخته شدهو عدد مورد نیاز را بدست آورید: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 یا -0.333(3). اگر به یاد داشته باشیم که برای این نوع دنباله مدول b نباید از 1 فراتر رود، می توانیم این نتیجه را به صورت کیفی بررسی کنیم. همانطور که مشاهده می شود، |-1 / 3|

کار شماره 4. بازیابی یک سری اعداد

اجازه دهید 2 عنصر از یک سری اعداد داده شود، به عنوان مثال، 5 برابر با 30 و 10 برابر با 60 است. لازم است کل سری را از این داده ها بازسازی کنیم، زیرا بدانیم که ویژگی های یک پیشرفت هندسی را برآورده می کند.

برای حل مشکل، ابتدا باید عبارت مربوط به هر عبارت شناخته شده را یادداشت کنید. داریم: a5 = b4 * a1 و a10 = b9 * a1. حالا عبارت دوم را بر اولی تقسیم کنید، به دست می آید: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. از اینجا، مخرج را با گرفتن ریشه پنجم از نسبت عبارات شناخته شده از بیان مسئله، b = 1.148698 تعیین می کنیم. عدد حاصل را در یکی از عبارات عنصر شناخته شده جایگزین می کنیم، به دست می آوریم: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

بنابراین، مخرج پیشرفت bn و پیشرفت هندسی bn-1 * 17.2304966 = an را پیدا کردیم که در آن b = 1.148698.

از پیشرفت های هندسی در کجا استفاده می شود؟

اگر کاربرد عملی این سری اعداد وجود نداشت، مطالعه آن به یک علاقه صرفاً نظری کاهش می یافت. اما چنین برنامه ای وجود دارد.

در زیر 3 نمونه معروف را مشاهده می کنید:

• پارادوکس زنو، که در آن آشیل زیرک نمی تواند به لاک پشت کند برسد، با استفاده از مفهوم دنباله ای از اعداد بی نهایت در حال کاهش حل می شود.
• اگر برای هر سلول صفحه شطرنجدانه های گندم را طوری قرار دهید که در سلول اول یک دانه، در سلول دوم - 2، در سوم - 3 و غیره قرار دهید، سپس برای پر کردن تمام سلول های تخته به 18446744073709551615 دانه نیاز دارید!
• در بازی "برج هانوی"، برای جابجایی دیسک ها از یک میله به میله دیگر، باید 2n - 1 عملیات انجام داد، یعنی تعداد آنها به صورت تصاعدی با تعداد n دیسک استفاده شده افزایش می یابد.