خانه / زخم بستر/ چگونه بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را پیدا کنیم. افراط در عملکرد

چگونه بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنیم. افراط در عملکرد

با این سرویس می توانید پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین ارزشکارکردیک متغیر f(x) با طراحی راه حل در Word. بنابراین، اگر تابع f(x,y) داده شود، لازم است حداکثر تابع دو متغیر را پیدا کنیم. همچنین می توانید فواصل افزایش و کاهش تابع را پیدا کنید.

قوانین ورود توابع:

یک شرط ضروری برای یک تابع یک متغیر

معادله f" 0 (x *) = 0 است شرط لازمحداکثر یک تابع از یک متغیر، به عنوان مثال. در نقطه x * اولین مشتق تابع باید ناپدید شود. نقاط ثابت x c را انتخاب می کند که در آن تابع افزایش یا کاهش نمی یابد.

یک شرط کافی برای یک تابع یک متغیر

فرض کنید f 0 (x) با توجه به x متعلق به مجموعه D دو بار متمایز شود. اگر در نقطه x * شرط برقرار باشد:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

سپس نقطه x * نقطه حداقل محلی (جهانی) تابع است.

اگر در نقطه x * شرط برقرار باشد:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

آن نقطه x * حداکثر محلی (جهانی) است.

مثال شماره 1. بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع را پیدا کنید: در بخش.
تصمیم گیری

نقطه بحرانی یک x 1 = 2 است (f'(x)=0). این نقطه متعلق به بخش است. (نقطه x=0 بحرانی نیست، زیرا 0∉).
ما مقادیر تابع را در انتهای بخش و در نقطه بحرانی محاسبه می کنیم.
f(1)=9، f(2)= 5/2، f(3)=3 8/81
پاسخ: f min = 5/2 برای x=2; f max =9 در x=1

مثال شماره 2. با استفاده از مشتقات مرتبه بالاتر، حد فاصل تابع y=x-2sin(x) را پیدا کنید.
تصمیم گیری
مشتق تابع را بیابید: y’=1-2cos(x) . اجازه دهید نقاط بحرانی را پیدا کنیم: 1-cos(x)=2، cos(x)=1، x=± π / 3 +2πk، k∈Z. ما y''=2sin(x) را پیدا می کنیم، محاسبه می کنیم، بنابراین x= π / 3 +2πk، k∈Z حداقل نقاط تابع هستند. بنابراین x=- π / 3 +2πk، k∈Z حداکثر نقاط تابع هستند.

مثال شماره 3. تابع اکستروم را در همسایگی نقطه x=0 بررسی کنید.
تصمیم گیری در اینجا لازم است حداکثر تابع را پیدا کنید. اگر اکستروم x=0 باشد، نوع آن (حداقل یا حداکثر) را دریابید. اگر در بین نقاط یافت شده x=0 وجود نداشته باشد، مقدار تابع f(x=0) را محاسبه کنید.
باید توجه داشت که وقتی مشتق در هر طرف یک نقطه معین علامت خود را تغییر نمی‌دهد، موقعیت‌های ممکن حتی برای توابع قابل تمایز نیز تمام نمی‌شوند: ممکن است برای یک محله کوچک دلخواه در یک طرف نقطه x 0 یا در هر دو طرف، مشتق تغییر علامت می دهد. در این نقاط، فرد باید روش‌های دیگری را برای مطالعه توابع در یک اکسترموم به کار گیرد.

چگونه بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را در یک قطعه پیدا کنیم؟

برای این ما از الگوریتم معروف پیروی می کنیم:

1 . ما پیدا می کنیم توابع odz.

2 . یافتن مشتق تابع

3 . مشتق را با صفر برابر کنید

4 . بازه هایی را پیدا می کنیم که مشتق علامت خود را در آنها حفظ می کند و از آنها فواصل افزایش و کاهش تابع را تعیین می کنیم:

اگر در بازه I مشتق تابع 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} در این فاصله افزایش می یابد.

اگر در بازه I مشتق تابع باشد، تابع در این بازه زمانی کاهش می یابد.

5 . ما پیدا می کنیم حداکثر و حداقل امتیاز تابع.

AT تابع حداکثر نقطه، مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد..

AT حداقل نقطه تابعمشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد.

6 . مقدار تابع را در انتهای بخش پیدا می کنیم،

سپس مقدار تابع را در انتهای بخش و در حداکثر نقاط مقایسه می کنیم و در صورت نیاز به یافتن بزرگترین مقدار تابع، بزرگترین آنها را انتخاب کنید
یا مقدار تابع را در انتهای قطعه و در حداقل نقاط مقایسه می کنیم و در صورت نیاز به یافتن کوچکترین مقدار تابع، کوچکترین آنها را انتخاب کنید

با این حال، بسته به نحوه رفتار تابع در بازه، این الگوریتم را می توان به طور قابل توجهی کاهش داد.

تابع را در نظر بگیرید . نمودار این تابع به شکل زیر است:

بیایید چندین نمونه از حل مسائل را از بانک وظیفه باز در نظر بگیریم

یکی . وظیفه B15 (#26695)

روی برش.

1. تابع برای تمام مقادیر واقعی x تعریف شده است

بدیهی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد و مشتق برای تمام مقادیر x مثبت است. بنابراین، تابع افزایش می یابد و در انتهای سمت راست بازه، یعنی در x=0، بیشترین مقدار را به خود می گیرد.

جواب: 5.

2 . وظیفه B15 (شماره 26702)

بزرگترین مقدار یک تابع را پیدا کنید در بخش

1. تابع ODZ title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

مشتق در صفر است، اما در این نقاط علامت تغییر نمی کند:

بنابراین، title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} افزایش می یابد و بیشترین مقدار را در انتهای سمت راست بازه، در .

برای روشن شدن اینکه چرا مشتق علامت را تغییر نمی دهد، عبارت مشتق را به صورت زیر تبدیل می کنیم:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

جواب: 5.

3 . وظیفه B15 (#26708)

کوچکترین مقدار تابع را در بازه پیدا کنید.

1. توابع ODZ: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

بیایید ریشه های این معادله را روی یک دایره مثلثاتی قرار دهیم.

فاصله شامل دو عدد است: و

بیایید علائم را نصب کنیم. برای انجام این کار، علامت مشتق را در نقطه x=0 تعیین می کنیم: . هنگام عبور از نقاط و مشتق تغییر علامت.

بیایید تغییر علائم مشتق تابع را در خط مختصات به تصویر بکشیم:

بدیهی است که نقطه یک نقطه حداقل است (که در آن مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد) و برای یافتن کوچکترین مقدار تابع در بخش، باید مقادیر تابع را در قسمت مقایسه کنید. حداقل نقطه و در انتهای سمت چپ بخش، .

از نقطه نظر عملی، جالب ترین استفاده از مشتق برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع است. به چی ربط داره؟ به حداکثر رساندن سود، به حداقل رساندن هزینه ها، تعیین بار بهینه تجهیزات... به عبارت دیگر در بسیاری از حوزه های زندگی باید مشکل بهینه سازی برخی پارامترها را حل کرد. و این مشکل یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع است.

لازم به ذکر است که بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع معمولاً در بازه X جستجو می شود که یا کل دامنه تابع یا بخشی از دامنه است. خود بازه X می تواند یک پاره خط، یک بازه باز باشد ، یک فاصله بی نهایت.

در این مقاله در مورد یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر به طور واضح صحبت خواهیم کرد. عملکرد داده شدهیک متغیر y=f(x).

پیمایش صفحه.

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع - تعاریف، تصاویر.

اجازه دهید به طور خلاصه به تعاریف اصلی بپردازیم.

بزرگترین مقدار تابع ، که برای هر نابرابری درست است

کوچکترین مقدار تابع y=f(x) در بازه X چنین مقداری نامیده می شود ، که برای هر نابرابری درست است

این تعاریف بصری هستند: بزرگترین (کوچکترین) مقدار یک تابع بزرگترین (کوچکترین) مقدار پذیرفته شده در بازه مورد بررسی با ابسیسا است.

نقاط ثابتمقادیر آرگومان هایی هستند که در آن مشتق تابع ناپدید می شود.

چرا هنگام یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر به نقاط ثابت نیاز داریم؟ پاسخ این سوال را قضیه فرما می دهد. از این قضیه برمی‌آید که اگر یک تابع متمایز در نقطه‌ای دارای یک اکسترموم (حداقل محلی یا حداکثر محلی) باشد، آن نقطه ثابت است. بنابراین، تابع اغلب حداکثر (کوچکترین) مقدار خود را در بازه X در یکی از نقاط ثابت از این بازه می گیرد.

همچنین، یک تابع اغلب در نقاطی که اولین مشتق این تابع وجود ندارد و خود تابع تعریف شده است، می تواند بزرگترین و کوچکترین مقادیر را به خود بگیرد.

بیایید بلافاصله به یکی از رایج ترین سؤالات در مورد این موضوع پاسخ دهیم: "آیا همیشه می توان بزرگترین (کوچکترین) مقدار یک تابع را تعیین کرد؟ نه همیشه نه گاهی اوقات مرزهای بازه X با مرزهای دامنه تابع منطبق است یا بازه X بی نهایت است. و برخی از توابع در بی نهایت و در مرزهای دامنه تعریف می توانند مقادیر بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک داشته باشند. در این موارد نمی توان در مورد بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع چیزی گفت.

برای وضوح، یک تصویر گرافیکی ارائه می دهیم. به تصاویر نگاه کنید - و خیلی چیزها روشن خواهد شد.

در بخش

در شکل اول، تابع بزرگترین (max y) و کوچکترین (min y) مقادیر را در نقاط ثابت داخل قطعه می گیرد [-6;6].

مورد نشان داده شده در شکل دوم را در نظر بگیرید. بخش را به تغییر دهید. در این مثال، کوچکترین مقدار تابع در یک نقطه ثابت، و بزرگترین - در نقطه ای با آبسیسا مربوط به مرز سمت راست بازه به دست می آید.

در شکل شماره 3، نقاط مرزی بخش [-3؛ 2] ابسیساهای نقاط مربوط به بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع هستند.

در محدوده باز

در شکل چهارم، تابع بزرگترین (max y) و کوچکترین (min y) مقادیر را در نقاط ثابت در بازه باز (6;-6) می گیرد.

در بازه زمانی، هیچ نتیجه ای در مورد بزرگترین مقدار نمی توان گرفت.

در بی نهایت

در مثال نشان داده شده در شکل هفتم، تابع بیشترین مقدار (max y) را در یک نقطه ثابت با ابسیسا x=1 می گیرد و به کوچکترین مقدار (min y) در مرز سمت راست بازه می رسد. در منهای بی نهایت، مقادیر تابع به طور مجانبی به y=3 نزدیک می شوند.

در بازه، تابع به کوچکترین یا بزرگترین مقدار نمی رسد. از آنجایی که x=2 به سمت راست میل می کند، مقادیر تابع به منهای بی نهایت تمایل دارند (خط مستقیم x=2 مجانبی عمودی است)، و از آنجایی که آبسیسا به اضافه بی نهایت تمایل دارد، مقادیر تابع به طور مجانبی به y=3 نزدیک می شوند. . یک تصویر گرافیکی از این مثال در شکل 8 نشان داده شده است.

الگوریتم یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع پیوسته در قطعه.

ما الگوریتمی می نویسیم که به ما امکان می دهد بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را در یک قطعه پیدا کنیم.

دامنه تابع را پیدا می کنیم و بررسی می کنیم که آیا کل بخش را شامل می شود.
ما تمام نقاطی را می یابیم که اولین مشتق در آنها وجود ندارد و در قسمت موجود است (معمولاً چنین نقاطی در توابعی با آرگومان زیر علامت ماژول و در توابع قدرتبا توان گویا کسری). اگر چنین نکاتی وجود ندارد، به نقطه بعدی بروید.
ما تمام نقاط ثابتی را که در بخش قرار می گیرند تعیین می کنیم. برای این کار، آن را با صفر برابر می کنیم، معادله حاصل را حل کرده و ریشه های مناسب را انتخاب می کنیم. اگر هیچ نقطه ثابتی وجود ندارد یا هیچ یک از آنها در بخش قرار نمی گیرند، به مرحله بعدی بروید.
ما مقادیر تابع را در نقاط ثابت انتخاب شده (در صورت وجود)، در نقاطی که اولین مشتق وجود ندارد (در صورت وجود) و همچنین در x=a و x=b محاسبه می کنیم.
از مقادیر به دست آمده تابع، بزرگترین و کوچکترین را انتخاب می کنیم - آنها به ترتیب حداکثر و کوچکترین مقادیر مورد نظر تابع خواهند بود.

بیایید الگوریتم را هنگام حل مثالی برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک بخش تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنید

در بخش؛
در بازه [-4;-1].

تصمیم گیری

دامنه تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است، به جز صفر، یعنی . هر دو بخش در محدوده تعریف قرار می گیرند.

مشتق تابع را با توجه به:

بدیهی است که مشتق تابع در تمام نقاط قطعه وجود دارد و [-4;-1] .

نقاط ثابت از معادله تعیین می شوند. تنها ریشه واقعی x=2 است. این نقطه ثابت در بخش اول قرار می گیرد.

برای حالت اول، مقادیر تابع را در انتهای قطعه و در یک نقطه ثابت محاسبه می کنیم، یعنی برای x=1، x=2 و x=4:

بنابراین، بزرگترین مقدار تابع در x=1 و کوچکترین مقدار به دست می آید – در x=2 .

برای مورد دوم، مقادیر تابع را فقط در انتهای بخش [-4;-1] محاسبه می کنیم (زیرا حاوی یک نقطه ثابت نیست):

فرآیند یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش، یادآور یک پرواز جذاب حول یک جسم (نمودار یک تابع) در هلیکوپتر با شلیک از یک توپ دوربرد در نقاط خاص و انتخاب از بین است. این نقاط نقاط بسیار ویژه ای برای ضربات کنترلی هستند. امتیازها به روشی خاص و طبق قوانین خاصی انتخاب می شوند. با چه قوانینی؟ در ادامه در این مورد صحبت خواهیم کرد.

اگر تابع y = f(ایکس) پیوسته در بخش [ آ, ب]، سپس به این بخش می رسد کمترین و بالاترین ارزش ها . این می تواند در هر دو اتفاق بیفتد نقاط افراطییا در انتهای بخش بنابراین، برای پیدا کردن کمترین و بزرگترین مقادیر تابع ، پیوسته در بخش [ آ, ب]، باید مقادیر آن را در کل محاسبه کنید نقاط بحرانیو در انتهای بخش، و سپس کوچکترین و بزرگترین آنها را انتخاب کنید.

اجازه دهید، برای مثال، برای تعیین حداکثر مقدار تابع مورد نیاز است f(ایکس) در بخش [ آ, ب] . برای انجام این کار، تمام نقاط مهم آن را در [ آ, ب] .

نقطه بحرانی نقطه ای نامیده می شود که در آن تابع تعریف شده است، و او مشتقیا صفر است یا وجود ندارد. سپس مقادیر تابع در نقاط بحرانی باید محاسبه شود. و در نهایت، باید مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و در انتهای بخش مقایسه کرد ( f(آ) و f(ب) ). بزرگترین این اعداد خواهد بود بزرگترین مقدار تابع در بخش [آ, ب] .

مشکل پیدا کردن کوچکترین مقادیر تابع .

ما با هم به دنبال کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع هستیم

مثال 1. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش [-1, 2] .

تصمیم گیری مشتق این تابع را پیدا می کنیم. مشتق را با صفر () برابر کنید و دو نقطه بحرانی بدست آورید: و. برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش داده شده، کافی است مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقطه محاسبه کنید، زیرا نقطه به بخش تعلق ندارد [-1، 2]. این مقادیر تابع به شرح زیر است: , , . نتیجه می شود که کوچکترین مقدار تابع(در نمودار زیر با رنگ قرمز مشخص شده است)، برابر با -7، در انتهای سمت راست بخش - در نقطه، و بزرگترین(همچنین روی نمودار قرمز است)، برابر با 9 است - در نقطه بحرانی.

اگر تابع در یک بازه معین پیوسته باشد و این بازه یک قطعه نباشد (اما مثلاً یک بازه باشد؛ تفاوت بین بازه و پاره: نقاط مرزی بازه در بازه گنجانده نشده است، اما نقاط مرزی بخش در بخش گنجانده شده است)، سپس در بین مقادیر تابع ممکن است کوچکترین و بزرگترین وجود نداشته باشد. بنابراین، برای مثال، تابع نشان داده شده در شکل زیر در ]-∞، +∞[ پیوسته است و بزرگترین مقدار را ندارد.

با این حال، برای هر بازه ای (بسته، باز یا بی نهایت)، ویژگی زیر از توابع پیوسته برقرار است.

مثال 4. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش [-1, 3] .

تصمیم گیری مشتق این تابع را به عنوان مشتق ضریب می یابیم:

مشتق را با صفر برابر می کنیم که یک نقطه بحرانی به ما می دهد: . به بازه [-1، 3] تعلق دارد. برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش داده شده، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقطه بحرانی پیدا می کنیم:

بیایید این مقادیر را با هم مقایسه کنیم. نتیجه گیری: برابر با -5/13، در نقطه و بزرگترین ارزشبرابر 1 در نقطه .

ما به جستجوی کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع با هم ادامه می دهیم

معلمانی هستند که در مبحث یافتن کوچکترین و بزرگ ترین مقادیر یک تابع، مثال هایی پیچیده تر از نمونه هایی که اکنون در نظر گرفته شده است، به دانش آموزان نمی گویند، یعنی نمونه هایی که در آنها تابع چند جمله ای یا کسری است، شمارنده. و مخرج آن چند جمله ای هستند. اما ما خود را به چنین نمونه هایی محدود نمی کنیم، زیرا در بین معلمان معلمانی وجود دارند که دوست دارند دانش آموزان را به طور کامل به تفکر وادار کنند (جدول مشتقات). بنابراین از لگاریتم و تابع مثلثاتی استفاده خواهد شد.

مثال 6. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش .

تصمیم گیری مشتق این تابع را به صورت می یابیم مشتق محصول :

مشتق را با صفر برابر می کنیم که یک نقطه بحرانی به دست می دهد: . متعلق به بخش است. برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش داده شده، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقطه بحرانی پیدا می کنیم:

نتیجه همه اقدامات: تابع به حداقل مقدار خود می رسد، برابر 0، در یک نقطه و در یک نقطه و بزرگترین ارزشمساوی با ه² , در نقطه .

مثال 7. کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش .

تصمیم گیری مشتق این تابع را پیدا می کنیم:

مشتق را با صفر برابر کنید:

تنها نقطه بحرانی متعلق به بخش است. برای یافتن کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک تابع در یک بخش داده شده، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقطه بحرانی پیدا می کنیم:

نتیجه: تابع به حداقل مقدار خود می رسد، برابر با ، در نقطه و بزرگترین ارزش, برابر با , در نقطه .

در مسائل Extremal کاربردی، یافتن کوچکترین (بزرگترین) مقادیر یک تابع، معمولاً به یافتن حداقل (حداکثر) ختم می شود. اما این حداقلها یا حداکثرها نیستند که مورد توجه عملی بیشتری هستند، بلکه ارزشهای استدلالی هستند که در آنها به دست می آیند. هنگام حل مشکلات کاربردی، یک مشکل اضافی ایجاد می شود - تلفیقی توابعی که پدیده یا فرآیند مورد بررسی را توصیف می کند.

مثال 8مخزن با ظرفیت 4 عدد که به شکل موازی با پایه مربع و در قسمت بالایی باز است باید قلع بندی شود. ابعاد مخزن چقدر باید باشد تا با کمترین مواد پوشش داده شود؟

تصمیم گیری بگذار باشد ایکس- سمت پایه ساعت- ارتفاع مخزن، اس- سطح آن بدون پوشش، V- حجم آن مساحت سطح مخزن با فرمول بیان می شود. تابعی از دو متغیر است. عنوان کردن اسبه عنوان تابعی از یک متغیر، از این واقعیت استفاده می کنیم که , Wherece . جایگزینی عبارت یافت شده ساعتبه فرمول برای اس:

اجازه دهید این تابع را برای یک اکستروم بررسی کنیم. در همه جا در ]0، +∞[ و قابل تمایز است

مشتق را با صفر () برابر می کنیم و نقطه بحرانی را پیدا می کنیم. به علاوه، زمانی که مشتق وجود نداشته باشد، اما این مقدار در محدوده تعریف قرار نگیرد و بنابراین نمی تواند یک نقطه افراطی باشد. بنابراین، - تنها نقطه بحرانی. بیایید آن را برای وجود یک اکستروم با استفاده از دوم بررسی کنیم علامت کافی. بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم. وقتی مشتق دوم بزرگتر از صفر باشد (). این بدان معنی است که وقتی تابع به حداقل می رسد . چون این حداقل - تنها منتهی این تابع، کوچکترین مقدار آن است. بنابراین، ضلع پایه مخزن باید برابر با 2 متر و ارتفاع آن باشد.

مثال 9از پاراگراف آ، واقع در خط راه آهن، به نقطه با، در فاصله ای از آن ل، کالا باید حمل شود. هزینه حمل یک واحد وزن در واحد مسافت با راه آهن برابر است و از طریق بزرگراه برابر است با . به چه نقطه ای مخطوط راه آهنبزرگراه باید ساخته شود تا حمل و نقل کالا از ولیکه در بابه صرفه ترین بود ABخط آهن مستقیم فرض می شود)؟

اجازه دهید تابع y=f(ایکس)پیوسته در بخش [ الف، ب]. همانطور که مشخص است، چنین تابعی به حداکثر و حداقل مقادیر خود در این بخش می رسد. تابع می تواند این مقادیر را در یک نقطه داخلی از بخش [ الف، ب] یا در مرز بخش.

برای پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در بخش [ الف، ب] لازم:

1) نقاط بحرانی تابع را در بازه ( الف، ب);

2) مقادیر تابع را در نقاط بحرانی یافت شده محاسبه کنید.

3) مقادیر تابع را در انتهای بخش، یعنی برای محاسبه کنید ایکس=آو x = ب;

4) از بین تمام مقادیر محاسبه شده تابع، بزرگترین و کوچکترین را انتخاب کنید.

مثال.بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را پیدا کنید

در بخش

یافتن نقاط بحرانی:

این نقاط در داخل بخش قرار دارند. y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

در نقطه ایکس= 3 و در نقطه ایکس= 0.

بررسی یک تابع برای تحدب و یک نقطه عطف.

عملکرد y = f (ایکس) تماس گرفت محدبدر بین (آ, ب) ، اگر نمودار آن زیر مماس رسم شده در هر نقطه از این بازه قرار گیرد و فراخوانی شود محدب به پایین (مقعر)اگر نمودار آن بالاتر از مماس باشد.

نقطه ای در گذار که از طریق آن تحدب با تقعر جایگزین می شود یا برعکس، نامیده می شود. نقطه عطف.

الگوریتم بررسی تحدب و نقطه عطف:

1. نقاط بحرانی نوع دوم را بیابید، یعنی نقاطی که مشتق دوم برابر با صفر است یا وجود ندارد.

2. نقاط بحرانی را روی خط اعداد قرار دهید و آن را به فواصل تقسیم کنید. علامت مشتق دوم را در هر بازه پیدا کنید. اگر، تابع به سمت بالا محدب است، اگر، پس تابع به سمت پایین محدب است.

3. اگر هنگام عبور از نقطه بحرانی نوع دوم تغییر علامت دهد و در این نقطه مشتق دوم برابر با صفر باشد، این نقطه آبسیس نقطه عطف است. ترتیب آن را پیدا کنید.

مجانبی از نمودار یک تابع. بررسی یک تابع در مجانب.

تعریف.مجانب نمودار یک تابع نامیده می شود سر راست، که این ویژگی را دارد که فاصله هر نقطه از نمودار تا این خط با حذف نامحدود نقطه نمودار از مبدا به صفر می رسد.