فواصل توابع افزایش و کاهش را به صورت آنلاین پیدا کنید. علائم کافی برای افزایش و کاهش عملکرد

برای تعیین ماهیت یک تابع و صحبت در مورد رفتار آن، باید فواصل افزایش و کاهش را پیدا کرد. به این فرآیند تحقیق تابع و نمودارسازی می گویند. نقطه افراطی هنگام یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع استفاده می شود، زیرا در آنها تابع از بازه افزایش یا کاهش می یابد.

این مقاله با بیان تعاریف، نشانه کافی از افزایش و کاهش فاصله و شرط وجود افراط را بیان می کند. این برای حل مثال ها و مشکلات صدق می کند. بخش تمایز توابع باید تکرار شود، زیرا راه حل باید از یافتن مشتق استفاده کند.

Yandex.RTB R-A-339285-1 تعریف 1

تابع y = f (x) در بازه x زمانی افزایش می‌یابد که برای هر x 1 ∈ X و x 2 ∈ X، x 2 > x 1، نابرابری f (x 2) > f (x 1) ارضا شود. به عبارت دیگر، ارزش بالاترآرگومان مربوط به مقدار بزرگتر تابع است.

تعریف 2

تابع y = f (x) زمانی که برای هر x 1 ∈ X، x 2 ∈ X، x 2 > x 1، برابری f (x 2) > f (x 1) در بازه x کاهش می یابد در نظر گرفته می شود. درست در نظر گرفته می شود. به عبارت دیگر، یک مقدار تابع بزرگتر با مقدار آرگومان کوچکتر مطابقت دارد. شکل زیر را در نظر بگیرید.

اظهار نظر: هنگامی که تابع در انتهای بازه افزایش و کاهش، یعنی (a; b)، مشخص و پیوسته باشد، جایی که x = a، x = b، نقاط در بازه افزایش و کاهش گنجانده می شوند. این با تعریف منافات ندارد، به این معنی است که در بازه x رخ می دهد.

ویژگی های اصلی توابع ابتدایی از نوع y = sin x قطعیت و تداوم برای مقادیر واقعی آرگومان ها است. از اینجا دریافتیم که سینوس در بازه - π 2 افزایش می یابد. π 2، سپس افزایش در بخش به شکل - π 2 است. π 2.

تعریف 3

نقطه x 0 نامیده می شود حداکثر امتیازبرای تابع y = f (x)، وقتی برای همه مقادیر x نابرابری f (x 0) ≥ f (x) معتبر است. حداکثر عملکردمقدار تابع در یک نقطه است و با y m a x نشان داده می شود.

نقطه x 0 حداقل نقطه برای تابع y = f (x) نامیده می شود، زمانی که برای همه مقادیر x نابرابری f (x 0) ≤ f (x) معتبر است. حداقل توابعمقدار تابع در یک نقطه است و دارای شکل y m i n است.

همسایگی نقطه x 0 در نظر گرفته می شود نقاط افراطی،و مقدار تابعی که مربوط به نقاط انتهایی است. شکل زیر را در نظر بگیرید.

حداکثر تابع با بزرگترین و با کمترین مقدارکارکرد. شکل زیر را در نظر بگیرید.

تصویر اول آنچه را که باید پیدا کنید نشان می دهد بالاترین ارزشتوابع از بخش [a; ب ] . با استفاده از حداکثر امتیاز و مساوی پیدا می شود حداکثر مقدارتابع، و شکل دوم بیشتر شبیه یافتن نقطه حداکثر در x = b است.

شرایط کافی برای افزایش و کاهش یک تابع

برای یافتن ماکزیمم و مینیمم یک تابع، لازم است در مواردی که تابع این شرایط را برآورده می‌کند، نشانه‌های افراطی اعمال شود. اولین علامت رایج ترین مورد استفاده در نظر گرفته می شود.

اولین شرط کافی برای افراط

تعریف 4

اجازه دهید یک تابع y = f (x) داده شود که در یک همسایگی ε نقطه x 0 قابل تفکیک است و در نقطه داده شده x 0 پیوستگی دارد. از اینجا به آن می رسیم

• وقتی f "(x) > 0 با x ∈ (x 0 - ε ; x 0) و f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• وقتی f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 برای x ∈ (x 0 ؛ x 0 + ε)، سپس x 0 حداقل نقطه است.

به عبارت دیگر، شرایط آنها را برای تنظیم علامت به دست می آوریم:

• وقتی تابع در نقطه x 0 پیوسته است، آنگاه مشتقی با علامت متغیر دارد، یعنی از + به -، به این معنی که نقطه حداکثر نامیده می شود.
• هنگامی که تابع در نقطه x 0 پیوسته است، آنگاه مشتقی با علامت متغیر از - به + دارد، که به این معنی است که نقطه حداقل نامیده می شود.

برای تعیین صحیح حداکثر و حداقل نقاط یک تابع، باید الگوریتم پیدا کردن آنها را دنبال کنید:

• دامنه تعریف را پیدا کنید.
• مشتق تابع در این ناحیه را پیدا کنید.
• شناسایی صفرها و نقاطی که تابع وجود ندارد.
• تعیین علامت مشتق در فواصل.
• نقاطی را انتخاب کنید که تابع علامت آن را تغییر می دهد.

بیایید الگوریتم را با حل چند مثال از یافتن مادون های یک تابع در نظر بگیریم.

مثال 1

حداکثر و حداقل نقاط تابع داده شده y = 2 (x + 1) 2 x - 2 را بیابید.

راه حل

دامنه تعریف این تابع همه اعداد حقیقی به جز x = 2 است. ابتدا مشتق تابع را پیدا می کنیم و می گیریم:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

از اینجا می بینیم که صفرهای تابع x = - 1، x = 5، x = 2 هستند، یعنی هر براکت باید برابر با صفر باشد. بیایید آن را روی محور اعداد علامت گذاری کنیم و دریافت کنیم:

حال از هر بازه نشانه های مشتق را مشخص می کنیم. لازم است یک نقطه موجود در بازه را انتخاب کنید و آن را به عبارت جایگزین کنید. به عنوان مثال، نقاط x = - 2، x = 0، x = 3، x = 6.

ما آن را دریافت می کنیم

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0، به این معنی که بازه - ∞ ؛ - 1 دارای مشتق مثبت است. به همین ترتیب، متوجه می شویم که

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

از آنجایی که فاصله دوم کمتر از صفر است، به این معنی است که مشتق روی بازه منفی خواهد بود. سومی با منفی، چهارمی با مثبت. برای تعیین تداوم، باید به علامت مشتق توجه کنید، اگر تغییر کند، این یک نقطه افراطی است.

دریافتیم که در نقطه x = - 1 تابع پیوسته خواهد بود، به این معنی که مشتق علامت + به - را تغییر می دهد. با توجه به علامت اول، ما داریم که x = - 1 یک نقطه ماکزیمم است، یعنی به دست می آوریم

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

نقطه x = 5 نشان می دهد که تابع پیوسته است و مشتق علامت - به + را تغییر می دهد. این بدان معنی است که x = -1 حداقل نقطه است و تعیین آن شکل دارد

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

تصویر گرافیکی

پاسخ: y m a x = y (- 1) = 0، y m i n = y (5) = 24.

شایان توجه به این واقعیت است که استفاده از اولین معیار کافی برای یک اکسترموم نیازی به تمایز تابع در نقطه x 0 ندارد، این محاسبه را ساده می کند.

مثال 2

حداکثر و حداقل نقاط تابع y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 را بیابید.

راه حل.

دامنه یک تابع همه اعداد حقیقی است. این را می توان به عنوان یک سیستم معادلات به شکل زیر نوشت:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

سپس باید مشتق را پیدا کنید:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

نقطه x = 0 مشتق ندارد، زیرا مقادیر حدود یک طرفه متفاوت است. دریافتیم که:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

نتیجه این است که تابع در نقطه x = 0 پیوسته است، سپس محاسبه می کنیم

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 سال (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

لازم است محاسباتی برای یافتن مقدار آرگومان در زمان تبدیل شدن مشتق انجام شود برابر با صفر:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3، x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

تمام نقاط به دست آمده باید روی یک خط مستقیم علامت گذاری شوند تا علامت هر بازه مشخص شود. بنابراین، محاسبه مشتق در نقاط دلخواه برای هر بازه ضروری است. به عنوان مثال، می توانیم نقاطی را با مقادیر x = - 6، x = - 4، x = - 1، x = 1، x = 4، x = 6 بگیریم. ما آن را دریافت می کنیم

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

تصویر روی خط مستقیم به نظر می رسد

یعنی به این نتیجه می رسیم که باید به اولین علامت افراط متوسل شد. بیایید محاسبه کنیم و آن را پیدا کنیم

x = - 4 - 2 3 3، x = 0، x = 4 + 2 3 3، سپس از اینجا حداکثر نقاط دارای مقادیر x = - 4 + 2 3 3، x = 4 - 2 3 3 هستند.

بیایید به محاسبه حداقل ها برویم:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

بیایید ماکزیمم تابع را محاسبه کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

تصویر گرافیکی

پاسخ:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 m 27 x3 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

اگر تابع f " (x 0) = 0 داده شود، اگر f "" (x 0) > 0 باشد، به دست می آوریم که x 0 یک حداقل نقطه است اگر f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

مثال 3

حداکثر و مینیمم تابع y = 8 x x + 1 را بیابید.

راه حل

ابتدا دامنه تعریف را پیدا می کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

لازم است تابع را متمایز کنیم، پس از آن به دست می آوریم

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

در x = 1، مشتق صفر می شود، به این معنی که نقطه یک انتها ممکن است. برای روشن شدن، لازم است مشتق دوم را پیدا کرده و مقدار آن را در x = 1 محاسبه کنید. ما گرفتیم:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 "x + (x + 1) 2 x" (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) "x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

این بدان معنی است که با استفاده از شرط کافی 2 برای یک اکسترموم، به دست می آوریم که x = 1 یک نقطه حداکثر است. در غیر این صورت، ورودی مانند y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 به نظر می رسد.

تصویر گرافیکی

پاسخ: y m a x = y (1) = 4 ..

تعریف 5

تابع y = f (x) مشتق خود را تا مرتبه n در همسایگی ε دارد نقطه داده شده x 0 و مشتق تا n + مرتبه اول در نقطه x 0 . سپس f " (x 0) = f "" (x 0) = f "" " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

نتیجه این است که وقتی n یک عدد زوج باشد، x 0 نقطه عطف در نظر گرفته می شود، زمانی که n یک عدد فرد باشد، x 0 یک نقطه منتهی است، و f (n + 1) (x 0) > 0، سپس x 0 یک نقطه حداقل است، f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

مثال 4

حداکثر و حداقل نقاط تابع y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 را بیابید.

راه حل

تابع اصلی یک تابع کل گویا است، به این معنی که دامنه تعریف همه اعداد واقعی است. لازم است که عملکرد را متمایز کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

این مشتق در x 1 = - 1، x 2 = 5 7، x 3 = 3 به صفر می رسد. یعنی نقاط می توانند نقاط افراطی احتمالی باشند. لازم است که شرط سوم کافی برای اکستروم اعمال شود. یافتن مشتق دوم به شما امکان می دهد تا حضور حداکثر و حداقل یک تابع را به دقت تعیین کنید. مشتق دوم در نقاط انتهایی احتمالی آن محاسبه می شود. ما آن را دریافت می کنیم

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

این به این معنی است که x 2 = 5 7 حداکثر نقطه است. با اعمال سومین معیار کافی، به دست می آوریم که برای n = 1 و f (n + 1) 5 7< 0 .

تعیین ماهیت نقاط x 1 = - 1، x 3 = 3 ضروری است. برای انجام این کار، باید مشتق سوم را پیدا کنید و مقادیر را در این نقاط محاسبه کنید. ما آن را دریافت می کنیم

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y "" " (- 1) = 96 ≠ 0 y " "" (3) = 0

این بدان معنی است که x 1 = - 1 نقطه عطف تابع است، زیرا برای n = 2 و f (n + 1) (- 1) ≠ 0. بررسی نقطه x 3 = 3 ضروری است. برای انجام این کار، مشتق چهارم را پیدا کرده و در این مرحله محاسبات را انجام می دهیم:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

از آنچه در بالا تصمیم گرفتیم نتیجه می گیریم که x 3 = 3 حداقل نقطه تابع است.

تصویر گرافیکی

پاسخ: x 2 = 5 7 حداکثر نقطه است، x 3 = 3 حداقل نقطه تابع داده شده است.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

خیلی اطلاعات مهمدر مورد رفتار تابع فواصل افزایش و کاهش را ارائه می دهد. یافتن آنها بخشی از فرآیند بررسی تابع و رسم نمودار است. علاوه بر این، نقاط افراطی که در آنها تغییر از افزایش به کاهش یا از کاهش به افزایش وجود دارد داده شده است. توجه ویژههنگام پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع در یک بازه زمانی خاص.

در این مقاله تعاریف لازم را ارائه می کنیم، معیار کافی برای افزایش و کاهش یک تابع در بازه و شرایط کافی برای وجود یک اکستروم را تدوین می کنیم و کل این نظریه را برای حل مثال ها و مسائل به کار می بریم.

پیمایش صفحه.

افزایش و کاهش عملکرد در یک بازه.

تعریف تابع افزایشی

تابع y=f(x) در بازه X در صورت وجود و افزایش می یابد نابرابری برقرار است به عبارت دیگر، یک مقدار آرگومان بزرگتر با یک مقدار تابع بزرگتر مطابقت دارد.

تعریف تابع کاهشی

تابع y=f(x) در بازه X در صورت وجود و کاهش می یابد نابرابری برقرار است . به عبارت دیگر، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت دارد.

توجه: اگر تابع در انتهای بازه افزایش یا کاهش (a;b) یعنی در x=a و x=b تعریف و پیوسته باشد، آنگاه این نقاط در بازه افزایش یا کاهش گنجانده می شوند. این با تعاریف تابع افزایش و کاهش در بازه X در تضاد نیست.

به عنوان مثال، از ویژگی های توابع ابتدایی پایه می دانیم که y=sinx برای همه مقادیر واقعی آرگومان تعریف شده و پیوسته است. بنابراین، از افزایش تابع سینوس در بازه، می توان ادعا کرد که در بازه افزایش می یابد.

نقاط افراطی، منتهی الیه یک تابع.

نقطه نامیده می شود حداکثر امتیازتابع y=f(x) اگر نابرابری برای تمام x در همسایگی آن صادق باشد. مقدار تابع در نقطه حداکثر نامیده می شود حداکثر تابعو دلالت کنند .

نقطه نامیده می شود حداقل امتیازتابع y=f(x) اگر نابرابری برای تمام x در همسایگی آن صادق باشد. مقدار تابع در نقطه حداقل نامیده می شود حداقل عملکردو دلالت کنند .

همسایگی یک نقطه به عنوان فاصله درک می شود ، جایی که یک عدد مثبت به اندازه کافی کوچک است.

حداقل و حداکثر امتیاز نامیده می شود نقاط افراطی، و مقادیر تابع مربوط به نقاط انتهایی فراخوانی می شوند حداکثر عملکرد.

حداکثر یک تابع را با بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع اشتباه نگیرید.

در شکل اول بیشترین مقدار تابع روی پاره در نقطه ماکزیمم و برابر با حداکثر تابع است و در شکل دوم بیشترین مقدار تابع در نقطه x=b به دست آمده است. ، که حداکثر امتیاز نیست.

شرایط کافی برای افزایش و کاهش توابع.

بر اساس شرایط (علائم) کافی برای افزایش و کاهش یک تابع، فواصل افزایش و کاهش تابع پیدا می شود.

در اینجا فرمولاسیون علائم افزایش و کاهش توابع در یک بازه وجود دارد:

• اگر مشتق تابع y=f(x) برای هر x از بازه X مثبت باشد، آنگاه تابع X افزایش می یابد.
• اگر مشتق تابع y=f(x) برای هر x از بازه X منفی باشد، آنگاه تابع روی X کاهش می یابد.

بنابراین، برای تعیین فواصل افزایش و کاهش یک تابع، لازم است:

برای توضیح الگوریتم مثالی از یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش را در نظر می گیریم.

مثال.

فواصل توابع افزایش و کاهش را بیابید.

راه حل.

اولین قدم یافتن دامنه تعریف تابع است. در مثال ما، عبارت در مخرج نباید به صفر برود، بنابراین، .

بیایید به یافتن مشتق تابع برویم:

برای تعیین فواصل افزایش و کاهش یک تابع بر اساس یک معیار کافی، نابرابری‌ها را در حوزه تعریف حل می‌کنیم. بیایید از تعمیم روش فاصله استفاده کنیم. تنها ریشه واقعی صورت‌گر x=2 است و مخرج در x=0 به صفر می‌رسد. این نقاط دامنه تعریف را به فواصل زمانی تقسیم می کنند که در آن مشتق تابع علامت خود را حفظ می کند. بیایید این نقاط را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم. ما معمولاً فواصلی را که مشتق مثبت یا منفی است، با مثبت و منفی نشان می دهیم. فلش های زیر به صورت شماتیک افزایش یا کاهش تابع را در بازه مربوطه نشان می دهد.

بدین ترتیب، و .

در نقطه تابع x=2 تعریف شده و پیوسته است، بنابراین باید به هر دو بازه افزایش و کاهش اضافه شود. در نقطه x=0 تابع تعریف نشده است، بنابراین این نقطه را در فواصل مورد نیاز قرار نمی دهیم.

ما نموداری از تابع ارائه می کنیم تا نتایج به دست آمده را با آن مقایسه کنیم.

پاسخ:

عملکرد به عنوان افزایش می یابد ، در بازه (0;2] کاهش می یابد.

شرایط کافی برای حداکثر یک تابع.

برای یافتن ماکزیمم و مینیمم یک تابع، می‌توانید از هر یک از سه علامت اکسترموم استفاده کنید، البته اگر تابع شرایط آنها را برآورده کند. رایج ترین و راحت ترین اولین آنها است.

اولین شرط کافی برای افراط.

اجازه دهید تابع y=f(x) در همسایگی - نقطه متمایز و در خود نقطه ممتد باشد.

به عبارت دیگر:

الگوریتم یافتن نقاط انتهایی بر اساس اولین علامت اکستروم یک تابع.

• دامنه تعریف تابع را پیدا می کنیم.
• مشتق تابع را در حوزه تعریف پیدا می کنیم.
• صفرهای صورت، صفرهای مخرج مشتق و نقاط حوزه تعریفی که مشتق در آنها وجود ندارد را تعیین می کنیم (همه نقاط فهرست شده نامیده می شوند. نقاط افراطی احتمالی، با عبور از این نقاط، مشتق فقط می تواند علامت خود را تغییر دهد).
• این نقاط دامنه تعریف تابع را به فواصل زمانی تقسیم می کنند که مشتق علامت خود را حفظ می کند. نشانه های مشتق را در هر یک از بازه ها تعیین می کنیم (مثلاً با محاسبه مقدار مشتق یک تابع در هر نقطه از یک بازه خاص).
• ما نقاطی را انتخاب می کنیم که در آنها تابع پیوسته است و با عبور از آن، مشتق علامت تغییر می کند - اینها نقاط انتها هستند.

تعداد کلمات بسیار زیاد است، بهتر است به چند نمونه از یافتن نقاط اضطراری و اکسترم یک تابع با استفاده از اولین شرط کافی برای اکستروم یک تابع نگاه کنیم.

مثال.

منتهی الیه تابع را پیدا کنید.

راه حل.

دامنه یک تابع کل مجموعه اعداد حقیقی به جز x=2 است.

پیدا کردن مشتق:

صفرهای صورتگر نقاط x=-1 و x=5 هستند، مخرج در x=2 به صفر می رسد. این نقاط را روی محور اعداد علامت بزنید

نشانه های مشتق را در هر بازه تعیین می کنیم، برای این کار مقدار مشتق را در هر یک از نقاط هر بازه محاسبه می کنیم، مثلاً در نقاط x=-2، x=0، x=3 و x=6.

بنابراین، در بازه مشتق مثبت است (در شکل یک علامت مثبت روی این بازه قرار می دهیم). به همین ترتیب

بنابراین، ما یک منهای بالاتر از فاصله دوم، یک منفی بالاتر از سوم، و یک مثبت بالاتر از چهارم قرار می دهیم.

باقی می ماند که نقاطی را انتخاب کنیم که در آنها تابع پیوسته است و مشتق آن علامت تغییر می دهد. اینها نقاط افراطی هستند.

در نقطه x=-1 تابع پیوسته است و مشتق علامت مثبت به منفی را تغییر می دهد، بنابراین با توجه به اولین علامت اکستروم، x=-1 حداکثر نقطه است، حداکثر تابع با آن مطابقت دارد. .

در نقطه x=5 تابع پیوسته است و مشتق علامت منفی به مثبت را تغییر می دهد، بنابراین، x=-1 حداقل نقطه است، حداقل تابع مربوط به آن است. .

تصویر گرافیکی.

پاسخ:

لطفاً توجه داشته باشید: اولین معیار کافی برای یک اکسترموم نیازی به تمایز تابع در خود نقطه ندارد.

مثال.

نقاط انتهایی و انتهای تابع را پیدا کنید .

راه حل.

دامنه یک تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است. خود تابع را می توان به صورت زیر نوشت:

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

در نقطه x=0 مشتق وجود ندارد، زیرا زمانی که آرگومان به سمت صفر می‌رود، مقادیر محدودیت‌های یک طرفه منطبق نمی‌شوند:

در عین حال، تابع اصلی در نقطه x=0 پیوسته است (به بخش مطالعه تابع برای تداوم مراجعه کنید):

بیایید مقدار آرگومانی را پیدا کنیم که در آن مشتق به صفر می رسد:

بیایید تمام نقاط به دست آمده را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم و علامت مشتق را در هر یک از بازه ها مشخص کنیم. برای انجام این کار، مقادیر مشتق را در نقاط دلخواه هر بازه محاسبه می کنیم، به عنوان مثال، در x=-6، x=-4، x=-1، x=1، x=4، x=6.

به این معنا که،

بنابراین، با توجه به اولین علامت یک افراط، حداقل امتیاز است ، حداکثر امتیاز هستند .

ما حداقل های مربوط به تابع را محاسبه می کنیم

ماکزیمم مربوط به تابع را محاسبه می کنیم

تصویر گرافیکی.

پاسخ:

.

دومین علامت افراطی یک تابع.

همانطور که می بینید، این علامت یک تابع مستلزم وجود یک مشتق حداقل به مرتبه دوم در نقطه است.

افراطی عملکرد

تعریف 2

یک نقطه $x_0$ را حداکثر نقطه یک تابع $f(x)$ می نامند اگر همسایگی این نقطه وجود داشته باشد به طوری که برای همه $x$ در این همسایگی نابرابری $f(x)\le f(x_0) باشد. $ نگه می دارد.

تعریف 3

یک نقطه $x_0$ را حداکثر نقطه یک تابع $f(x)$ می نامند اگر همسایگی این نقطه وجود داشته باشد به طوری که برای تمام $x$های این همسایگی نابرابری $f(x)\ge f(x_0) باشد. $ نگه می دارد.

مفهوم حداکثر یک تابع ارتباط نزدیکی با مفهوم نقطه بحرانی یک تابع دارد. اجازه دهید تعریف آن را معرفی کنیم.

تعریف 4

$x_0$ نقطه بحرانی تابع $f(x)$ نامیده می شود اگر:

1) $x_0$ - نقطه داخلی دامنه تعریف.

2) $f"\left(x_0\right)=0$ یا وجود ندارد.

برای مفهوم افراط می توان قضایایی را بر روی کافی و شرایط لازموجود او

قضیه 2

شرط کافی برای یک افراطی

بگذارید نقطه $x_0$ برای تابع $y=f(x)$ حیاتی باشد و در بازه $(a,b)$ قرار گیرد. اجازه دهید در هر بازه $\left(a,x_0\right)\ and\ (x_0,b)$ مشتق $f"(x)$ وجود داشته باشد و یک علامت ثابت را حفظ کند. سپس:

1) اگر در بازه $(a,x_0)$ مشتق $f"\left(x\right)>0$ باشد و در بازه $(x_0,b)$ مشتق $f"\left( x\راست)

2) اگر در بازه $(a,x_0)$ مشتق $f"\left(x\right)0$ باشد، نقطه $x_0$ حداقل نقطه برای این تابع است.

3) اگر هم در بازه $(a,x_0)$ و هم در بازه $(x_0,b)$ مشتق $f"\left(x\right) >0$ یا مشتق $f"\left(x \درست)

این قضیه در شکل 1 نشان داده شده است.

شکل 1. شرط کافی برای وجود اکسترم

نمونه هایی از افراط (شکل 2).

شکل 2. نمونه هایی از نقاط افراطی

قانون مطالعه تابع برای اکسترم

2) مشتق $f"(x)$ را بیابید.

7) با استفاده از قضیه 2 در مورد حضور ماکزیمم و حداقل در هر بازه نتیجه گیری کنید.

افزایش و کاهش توابع

اجازه دهید ابتدا تعاریف توابع افزایش و کاهش را معرفی کنیم.

تعریف 5

تابع $y=f(x)$ تعریف شده در بازه $X$ گفته می شود که اگر برای هر نقطه $x_1,x_2\در X$ در $x_1 باشد، در حال افزایش است.

تعریف 6

تابع $y=f(x)$ تعریف شده در بازه $X$ گفته می شود که اگر برای هر نقطه $x_1,x_2\in X$ برای $x_1f(x_2)$ کاهش می یابد.

مطالعه تابعی برای افزایش و کاهش

شما می توانید توابع افزایش و کاهش را با استفاده از مشتق مطالعه کنید.

برای بررسی یک تابع برای بازه های افزایش و کاهش، باید موارد زیر را انجام دهید:

1) دامنه تعریف تابع $f(x)$ را بیابید.

2) مشتق $f"(x)$ را بیابید.

3) نقاطی را پیدا کنید که برابری $f"\left(x\right)=0$ در آنها برقرار است.

4) نقاطی را پیدا کنید که در آنها $f"(x)$ وجود ندارد.

5) تمام نقاط یافت شده و دامنه تعریف این تابع را روی خط مختصات علامت بزنید.

6) علامت مشتق $f"(x)$ را در هر بازه حاصل مشخص کنید.

7) نتیجه گیری کنید: در فواصل زمانی که $f"\left(x\right)0$ تابع افزایش می یابد.

نمونه هایی از مسائل برای مطالعه توابع افزایش، کاهش و وجود نقاط انتهایی

مثال 1

تابع افزایش و کاهش و وجود حداکثر و حداقل نقاط را بررسی کنید: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

از آنجایی که 6 نقطه اول یکسان است، بیایید ابتدا آنها را اجرا کنیم.

1) دامنه تعریف - همه اعداد واقعی.

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ در تمام نقاط دامنه تعریف وجود دارد.

5) خط مختصات:

شکل 3.

6) علامت مشتق $f"(x)$ را در هر بازه تعیین کنید:

\ \ .

اطلاعات مربوطه.

تعریف تابع افزایشی

تابع y=f(x)در طول بازه زمانی افزایش می یابد ایکس، اگر برای هر و نابرابری برقرار است به عبارت دیگر، یک مقدار آرگومان بزرگتر با یک مقدار تابع بزرگتر مطابقت دارد.

تعریف تابع کاهشی

تابع y=f(x)در فاصله زمانی کاهش می یابد ایکس، اگر برای هر و نابرابری برقرار است . به عبارت دیگر، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت دارد.

توجه: اگر تابع در انتهای بازه افزایش یا کاهش، تعریف شده و پیوسته باشد (الف؛ ب)، آن موقع است که x=aو x=b، سپس این نقاط در بازه افزایش یا کاهش قرار می گیرند. این با تعاریف یک تابع افزایش و کاهش در بازه مغایرتی ندارد ایکس.

به عنوان مثال، از ویژگی های توابع ابتدایی اولیه می دانیم که y=sinxتعریف شده و پیوسته برای تمام مقادیر واقعی آرگومان. بنابراین، از افزایش تابع سینوس در بازه، می توان ادعا کرد که در بازه افزایش می یابد.

نقاط افراطی، منتهی الیه یک تابع.

نقطه نامیده می شود حداکثر امتیازکارکرد y=f(x)، اگر برای همه ایکساز همسایگی آن نابرابری معتبر است. مقدار تابع در نقطه حداکثر نامیده می شود حداکثر تابعو دلالت کنند .

نقطه نامیده می شود حداقل امتیازکارکرد y=f(x)، اگر برای همه ایکساز همسایگی آن نابرابری معتبر است. مقدار تابع در نقطه حداقل نامیده می شود حداقل عملکردو دلالت کنند .

همسایگی یک نقطه به عنوان فاصله درک می شود ، جایی که یک عدد مثبت به اندازه کافی کوچک است.

حداقل و حداکثر امتیاز نامیده می شود نقاط افراطی، و مقادیر تابع مربوط به نقاط انتهایی فراخوانی می شوند حداکثر عملکرد.

حداکثر یک تابع را با بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع اشتباه نگیرید.

در شکل اول، بزرگترین مقدار تابع در بخش در حداکثر نقطه به دست می آید و برابر با حداکثر تابع است و در شکل دوم - بالاترین مقدار تابع در نقطه به دست می آید. x=b، که حداکثر امتیاز نیست.

شرایط کافی برای افزایش و کاهش توابع.

بر اساس شرایط (علائم) کافی برای افزایش و کاهش یک تابع، فواصل افزایش و کاهش تابع پیدا می شود.

در اینجا فرمولاسیون علائم افزایش و کاهش توابع در یک بازه وجود دارد:

اگر مشتق تابع y=f(x)مثبت برای هر کسی ایکساز فاصله ایکس، سپس تابع افزایش می یابد ایکس;

اگر مشتق تابع y=f(x)منفی برای هر کسی ایکساز فاصله ایکس، سپس تابع کاهش می یابد ایکس.

بنابراین، برای تعیین فواصل افزایش و کاهش یک تابع، لازم است:

برای توضیح الگوریتم مثالی از یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش را در نظر می گیریم.

مثال.

فواصل توابع افزایش و کاهش را بیابید.

راه حل.

اولین قدم یافتن تعریف تابع است. در مثال ما، عبارت در مخرج نباید به صفر برود، بنابراین، .

بیایید به یافتن مشتق تابع برویم:

برای تعیین فواصل افزایش و کاهش یک تابع بر اساس یک معیار کافی، نابرابری‌ها را در حوزه تعریف حل می‌کنیم. بیایید از تعمیم روش فاصله استفاده کنیم. تنها ریشه واقعی صورتگر است x = 2، و مخرج به صفر می رسد x=0. این نقاط دامنه تعریف را به فواصل زمانی تقسیم می کنند که در آن مشتق تابع علامت خود را حفظ می کند. بیایید این نقاط را روی خط اعداد علامت گذاری کنیم. ما معمولاً فواصلی را که مشتق مثبت یا منفی است، با مثبت و منفی نشان می دهیم. فلش های زیر به صورت شماتیک افزایش یا کاهش تابع را در بازه مربوطه نشان می دهد.