آیا بردارها مبنایی را تشکیل می دهند؟ اساس. تجزیه یک بردار به بردار

مثال 8

بردارها داده شده است. نشان دهید که بردارها در فضای سه بعدی یک پایه تشکیل می دهند و مختصات بردار را در این مبنا پیدا کنید.

راه حل:ابتدا بیایید به شرایط بپردازیم. بر اساس شرط، چهار بردار داده شده است، و همانطور که می بینید، آنها قبلاً مختصاتی دارند. اینکه این مبنا چیست برای ما جالب نیست. و نکته زیر جالب است: سه بردار ممکن است پایه جدیدی را تشکیل دهند. و مرحله اول کاملاً با حل مثال 6 منطبق است؛ باید بررسی شود که آیا بردارها واقعاً مستقل هستند یا خیر:

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:

یعنی بردارها به صورت خطی مستقل هستند و اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

! مهم: مختصات برداری لزومابنویس به ستون هاتعیین کننده، نه در رشته ها. در غیر این صورت، در الگوریتم حل بعدی سردرگمی وجود خواهد داشت.

حال بیایید بخش نظری را به یاد بیاوریم: اگر بردارها یک پایه را تشکیل دهند، آنگاه هر بردار را می توان به روشی منحصر به فرد به یک مبنای معین گسترش داد: , مختصات بردار در پایه کجا هستند.

از آنجایی که بردارهای ما اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند (این قبلاً ثابت شده است)، بردار را می توان به روشی منحصر به فرد بر این اساس گسترش داد:
، مختصات بردار در پایه کجاست.

با توجه به شرایط و لازم است مختصات پیدا شود.

برای سهولت توضیح، قطعات را عوض می کنم: . برای پیدا کردن آن، باید این برابری را مختصات به مختصات بنویسید:

ضرایب بر چه اساسی تعیین می شود؟ تمام ضرایب سمت چپ دقیقاً از تعیین کننده منتقل می شوند ، مختصات بردار در سمت راست نوشته شده است.

نتیجه یک سیستم سه است معادلات خطیبا سه مجهول معمولاً توسط حل می شود فرمول های کرامر، اغلب حتی در بیان مسئله نیز چنین الزامی وجود دارد.

تعیین کننده اصلی سیستم قبلاً پیدا شده است:
، به این معنی که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

آنچه در زیر می آید یک موضوع تکنیکی است:

بدین ترتیب:
– تجزیه بردار بر اساس مبنا.

پاسخ:

همانطور که قبلاً اشاره کردم، مشکل ماهیت جبری دارد. بردارهایی که در نظر گرفته شدند لزوماً آن دسته از بردارهایی نیستند که بتوان در فضا رسم کرد، بلکه اول از همه، بردارهای انتزاعی دوره جبر خطی هستند. در مورد بردارهای دو بعدی، می توان یک مسئله مشابه را فرموله و حل کرد؛ راه حل بسیار ساده تر خواهد بود. با این حال، در عمل هرگز با چنین کاری مواجه نشده ام، به همین دلیل در قسمت قبل از آن صرف نظر کردم.

همین مشکل با بردارهای سه بعدی برای تصمیم مستقل:

مثال 9

بردارها داده شده است. نشان دهید که بردارها یک مبنا را تشکیل می دهند و مختصات بردار را در این مبنا پیدا کنید. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر.

راه حل کاملو نمونه تقریبی طرح نهایی در پایان درس.

به همین ترتیب می توان چهار بعدی، پنج بعدی و ... را در نظر گرفت. فضاهای برداری که بردارها به ترتیب دارای 4، 5 یا بیشتر مختصات هستند. برای این فضاهای برداری، مفهوم وابستگی خطی، استقلال خطی بردارها، مبنایی از جمله مبنای متعارف، بسط بردار نسبت به یک مبنا وجود دارد. بله، چنین فضاهایی را نمی توان به صورت هندسی ترسیم کرد، اما تمام قوانین، خواص و قضایای موارد دو بعدی و سه بعدی در آنها کار می کند - جبر خالص. در واقع، من قبلاً وسوسه شده بودم که در مورد مسائل فلسفی در مقاله صحبت کنم مشتقات جزئی تابعی از سه متغیر، که زودتر از این درس ظاهر شد.

بردارها را دوست داشته باشید و بردارها شما را دوست خواهند داشت!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل: بیایید از مختصات مربوطه بردارها نسبتی درست کنیم:

پاسخ: در

مثال 4: اثبات: ذوزنقهچهارضلعی به چهارضلعی گفته می شود که دو ضلع آن موازی و دو ضلع دیگر موازی نباشند.
1) موازی بودن اضلاع مقابل را بررسی می کنیم و .
بیایید بردارها را پیدا کنیم:


یعنی این بردارها خطی نیستند و اضلاع موازی نیستند.
2) موازی بودن اضلاع مقابل را بررسی کنید و .
بیایید بردارها را پیدا کنیم:

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:
، به این معنی که این بردارها خطی هستند و .
نتیجه: دو ضلع یک چهار ضلعی موازی هستند، اما دو ضلع دیگر موازی نیستند، به این معنی که طبق تعریف، ذوزنقه است. Q.E.D.

مثال 5: راه حل:
ب) بررسی کنیم که آیا ضریب تناسب برای مختصات مربوط به بردارها وجود دارد یا خیر:

سیستم هیچ راه حلی ندارد، به این معنی که بردارها خطی نیستند.
طراحی ساده تر:
– مختصات دوم و سوم متناسب نیستند، یعنی بردارها هم خط نیستند.
پاسخ: بردارها خطی نیستند.
ج) بردارها را از نظر همخطی بودن بررسی می کنیم . بیایید یک سیستم ایجاد کنیم:

مختصات متناظر بردارها متناسب هستند که به این معنی است
این جایی است که روش طراحی "foppish" شکست می خورد.
پاسخ:

مثال 6: راه حل: ب) دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه می کنیم (تعیین کننده در خط اول نشان داده می شود):

، به این معنی که بردارها به صورت خطی وابسته هستند و اساس فضای سه بعدی را تشکیل نمی دهند.
پاسخ : این بردارها مبنایی را تشکیل نمی دهند

مثال 9: راه حل:بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:


بنابراین، بردارها به صورت خطی مستقل هستند و یک پایه را تشکیل می دهند.
بیایید بردار را به صورت ترکیبی خطی از بردارهای پایه نشان دهیم:

به طور هماهنگ:

بیایید سیستم را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنیم:
، به این معنی که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

پاسخ:بردارها مبنایی را تشکیل می دهند،

ریاضیات عالی برای دانشجویان مکاتبه ای و بیشتر >>>

(به صفحه اصلی بروید)

اثر هنری وکتوربردارها
حاصلضرب مخلوط بردارها

در این درس به دو عمل دیگر با بردارها نگاه خواهیم کرد: حاصلضرب برداری بردارهاو کار مختلطبردارها. اشکالی ندارد، گاهی اوقات اتفاق می افتد که برای خوشبختی کامل، علاوه بر حاصل ضرب اسکالر بردارها، بیشتر و بیشتر مورد نیاز است. این اعتیاد بردار است. ممکن است به نظر برسد که ما در حال ورود به جنگل هندسه تحلیلی هستیم. این اشتباه است. در این بخش ریاضیات بالاتربه طور کلی هیزم کافی وجود ندارد، شاید برای پینوکیو کافی باشد. در واقع، مواد بسیار رایج و ساده است - به سختی پیچیده تر از همان حاصلضرب عددی، حتی وظایف معمولی کمتری وجود خواهد داشت. نکته اصلی در هندسه تحلیلی، همانطور که بسیاری متقاعد شده اند یا قبلاً متقاعد شده اند، اشتباه نکردن در محاسبات است. مثل یک طلسم تکرار کنید و خوشحال خواهید شد =)

اگر بردارها در جایی دور می درخشند، مانند رعد و برق در افق، مهم نیست، با درس شروع کنید وکتور برای آدمکبرای بازیابی یا کسب مجدد دانش اولیه در مورد بردارها. خوانندگان آماده تر می توانند به طور انتخابی با اطلاعات آشنا شوند؛ من سعی کردم کامل ترین مجموعه نمونه هایی را که اغلب در کار عملی

چه چیزی شما را بلافاصله خوشحال می کند؟ وقتی کوچک بودم، می‌توانستم با دو یا حتی سه توپ دستکاری کنم. خوب کار کرد. اکنون دیگر نیازی به دستکاری نخواهید داشت، زیرا ما در نظر خواهیم گرفت فقط بردارهای فضایی، و بردارهای مسطح با دو مختصات کنار گذاشته می شوند. چرا؟ به این ترتیب این کنش ها متولد شدند - بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها تعریف شده و در فضای سه بعدی کار می کنند. در حال حاضر آسان تر است!

1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

راه حل. اجازه دهید نشان دهیم که بردارهای 1 (1، 2، 0، 1)، 2 (0، 1، 2، 3)، 3 (1، 3، 2، 2)، 4 (0، 1، 3، 1) تشکیل می شوند. یک پایه بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها را پیدا کنیم.

ما تحولات ابتدایی را انجام می دهیم:

از خط 3 خط 1 ضرب در (-1) کم کنید

خط 2 را از خط 3 کم کنید، خط 2 را از خط 4 کم کنید

بیایید خطوط 3 و 4 را با هم عوض کنیم.

در این حالت، تعیین کننده علامت خود را به عکس تغییر می دهد:

زیرا واجد شرایط نیست برابر با صفربنابراین، بردارها به صورت خطی مستقل هستند و یک پایه را تشکیل می دهند.

بیایید بردار را به بردارهای یک مبنای معین بسط دهیم: , در اینجا, ? مختصات مورد نظر بردار در پایه، . به صورت مختصات، این معادله (1، 2، 0، 1) + (0، 1، 2، 3) + (1، 3، 2، 2) + (0، 1، 3، 1) = (1، 0، 1، 5) به شکل زیر است:

ما سیستم را با استفاده از روش گاوسی حل می کنیم:

اجازه دهید سیستم را به شکل یک ماتریس توسعه یافته بنویسیم

برای سهولت محاسبه، بیایید خطوط را با هم عوض کنیم:

خط سوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به 2 اضافه کنیم. خط 3 را در 2 ضرب کنید. خط 4 را به 3 اضافه کنید:

خط اول را در 3 ضرب کنید. خط دوم را در (2-) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

خط دوم را در 5 ضرب کنید. خط سوم را در 3 ضرب کنید. خط سوم را به خط دوم اضافه کنید:

خط دوم را در (2-) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

از خط 1 بیان می کنیم؟4

از خط 2 بیان می کنیم؟ 3

از خط 3 بیان می کنیم؟ 2

وابستگی خطیو استقلال خطیبردارها
اساس بردارها. سیستم مختصات افین

یک گاری با شکلات در سالن وجود دارد و هر بازدید کننده امروز یک زوج شیرین دریافت می کند - هندسه تحلیلی با جبر خطی. این مقاله به طور همزمان به دو بخش از ریاضیات عالی می پردازد و خواهیم دید که چگونه آنها در یک بسته بندی وجود دارند. استراحت کن، توئیکس بخور! ... لعنتی، چه چیز مزخرفی. هر چند باشه، گل نمیزنم، اما در نهایت، شما باید نگرش مثبتی نسبت به مطالعه داشته باشید.

وابستگی خطی بردارها, استقلال بردار خطی, اساس بردارهاو اصطلاحات دیگر نه تنها تفسیر هندسی دارند، بلکه بیش از همه معنای جبری دارند. خود مفهوم "بردار" از دیدگاه جبر خطی همیشه بردار "معمولی" نیست که بتوانیم آن را در یک صفحه یا در فضا به تصویر بکشیم. برای اثبات نیازی به جستجوی دور ندارید، سعی کنید بردار فضای پنج بعدی را ترسیم کنید . یا بردار آب و هوا که من فقط برای آن به Gismeteo رفتم: – دما و فشار اتمسفربه ترتیب. مثال، البته، از نقطه نظر ویژگی های فضای برداری نادرست است، اما، با این وجود، هیچ کس رسمی کردن این پارامترها را به عنوان یک بردار ممنوع نمی کند. نفس پاییزی...

نه، من شما را با تئوری خسته نمی کنم، فضاهای برداری خطی، وظیفه این است که فهمیدنتعاریف و قضایا اصطلاحات جدید (وابستگی خطی، استقلال، ترکیب خطی، مبنا و ...) برای همه بردارها از نظر جبری اعمال می شود، اما مثال های هندسی آورده می شود. بنابراین، همه چیز ساده، در دسترس و روشن است. علاوه بر مسائل هندسه تحلیلی، برخی از مسائل جبر معمولی را نیز در نظر خواهیم گرفت. برای تسلط بر مطالب، توصیه می شود با درس ها آشنا شوید وکتور برای آدمکو چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

وابستگی و استقلال خطی بردارهای صفحه.
سیستم مختصات پایه و افین

بیایید صفحه میز کامپیوتر شما را در نظر بگیریم (فقط یک میز، میز کنار تخت، کف، سقف، هر چیزی که دوست دارید). وظیفه شامل اقدامات زیر خواهد بود:

1) پایه هواپیما را انتخاب کنید. به طور کلی، یک میز دارای طول و عرض است، بنابراین شهودی است که دو بردار برای ساختن پایه مورد نیاز است. واضح است که یک بردار کافی نیست، سه بردار زیاد است.

2) بر اساس مبنای انتخاب شده تنظیم سیستم مختصات(شبکه مختصات) برای اختصاص مختصات به تمام اشیاء روی جدول.

تعجب نکنید، در ابتدا توضیحات روی انگشتان خواهد بود. علاوه بر این، در مال شما. لطفا قرار دهید انگشت اشارهدست چپروی لبه میز به طوری که به مانیتور نگاه کند. این یک بردار خواهد بود. اکنون قرار دهید انگشت کوچک دست راست روی لبه میز به همین ترتیب - به طوری که به صفحه نمایشگر هدایت شود. این یک بردار خواهد بود. لبخند بزنید، عالی به نظر می رسید! در مورد بردارها چه می توانیم بگوییم؟ بردارهای داده خطی، که به معنی خطیاز طریق یکدیگر بیان می شود:
، خوب یا برعکس: ، جایی که عددی با صفر متفاوت است.

می توانید تصویری از این عمل را در کلاس مشاهده کنید. وکتور برای آدمک، جایی که قانون ضرب بردار در عدد را توضیح دادم.

آیا انگشتان شما اساس میز کامپیوتر را تعیین می کنند؟ بدیهی است که نه. بردارهای خطی به سمت جلو و عقب حرکت می کنند تنهاجهت، و یک هواپیما طول و عرض دارد.

چنین بردارهایی نامیده می شوند وابسته به خط.

ارجاع: کلمات "خطی"، "خطی" بیانگر این واقعیت است که در معادلات و عبارات ریاضی مربع، مکعب، توان های دیگر، لگاریتم، سینوس و غیره وجود ندارد. فقط عبارات و وابستگی های خطی (درجه 1) وجود دارد.

دو بردار صفحه وابسته به خطاگر و فقط در صورتی که هم خط باشند.

انگشتان خود را روی میز ضربدری کنید تا هر زاویه ای بین آنها به جز 0 یا 180 درجه وجود داشته باشد. دو بردار صفحهخطی نهاگر و فقط اگر هم خطی نباشند وابسته هستند. بنابراین، اساس به دست می آید. نیازی به خجالت نیست که مبنا با بردارهای غیر عمود با طول های مختلف "کج" شده است. به زودی خواهیم دید که نه تنها زاویه 90 درجه برای ساخت آن مناسب است و نه تنها بردارهای واحد با طول مساوی.

هروکتور هواپیما تنها راهبر اساس این اساس گسترش می یابد:
، اعداد واقعی کجا هستند. اعداد نامیده می شوند مختصات برداریدر این مبنا

همچنین گفته می شود که برداربه عنوان ارائه شده است ترکیب خطیبردارهای پایه. یعنی بیان نامیده می شود تجزیه برداریبر اساسیا ترکیب خطیبردارهای پایه

به عنوان مثال، می توان گفت که بردار در امتداد یک پایه متعامد از صفحه تجزیه می شود، یا می توانیم بگوییم که به صورت ترکیب خطی از بردارها نشان داده می شود.

فرمول بندی کنیم تعریف پایهبه طور رسمی: اساس هواپیمابه یک جفت بردار مستقل خطی (غیر خطی) می گویند، ، که در آن هربردار صفحه ترکیبی خطی از بردارهای پایه است.

نکته اساسی در تعریف این واقعیت است که بردارها گرفته شده اند به ترتیب خاصی. پایه ها - این دو پایه کاملا متفاوت هستند! همانطور که می گویند، شما نمی توانید انگشت کوچک دست چپ خود را به جای انگشت کوچک دست راست خود قرار دهید.

ما اساس را مشخص کرده‌ایم، اما تنظیم یک شبکه مختصات و اختصاص مختصات به هر آیتم روی میز کامپیوتر شما کافی نیست. چرا کافی نیست؟ بردارها آزاد هستند و در کل صفحه سرگردان هستند. پس چگونه مختصات را به آن نقاط کوچک کثیف روی میز به جا مانده از یک آخر هفته وحشی اختصاص دهید؟ یک نقطه شروع مورد نیاز است. و چنین نقطه عطفی یک نقطه آشنا برای همه است - منشاء مختصات. بیایید سیستم مختصات را درک کنیم:

من با سیستم "مدرسه" شروع می کنم. در حال حاضر در درس مقدماتی وکتور برای آدمکمن برخی از تفاوت‌ها را بین سیستم مختصات مستطیلی و پایه متعارف برجسته کردم. این هم تصویر استاندارد:

وقتی صحبت می کنند سیستم مختصات مستطیلی، سپس اغلب آنها به معنای مبدا، محورهای مختصات و مقیاس در امتداد محورها هستند. سعی کنید «سیستم مختصات مستطیلی» را در یک موتور جستجو تایپ کنید، و خواهید دید که بسیاری از منابع به شما در مورد محورهای مختصات آشنا از کلاس پنجم تا ششم و نحوه رسم نقاط در هواپیما به شما می گویند.

از سوی دیگر، به نظر می رسد که یک سیستم مختصات مستطیلی را می توان به طور کامل بر اساس یک پایه متعارف تعریف کرد. و این تقریباً درست است. جمله بندی به شرح زیر است:

اصل و نسب، و متعارفاساس تعیین شده است سیستم مختصات صفحه مستطیلی دکارتی . یعنی سیستم مختصات مستطیلی قطعابا یک نقطه و دو بردار متعامد واحد تعریف می شود. به همین دلیل است که نقاشی را که در بالا ارائه کردم - در می بینید مسائل هندسیاغلب (اما نه همیشه) هم بردارها و هم محورهای مختصات ترسیم می شوند.

من فکر می کنم همه می دانند که استفاده از یک نقطه (منشا) و یک مبنای متعارف هر نقطه در هواپیما و هر بردار در هواپیمامختصات را می توان اختصاص داد. به بیان تصویری، "همه چیز در یک هواپیما را می توان شماره گذاری کرد."

آیا باید بردارهای مختصات واحد باشند؟ نه، آنها می توانند یک طول غیر صفر دلخواه داشته باشند. یک نقطه و دو بردار متعامد با طول غیر صفر دلخواه را در نظر بگیرید:

چنین مبنایی نامیده می شود قائم. مبدأ مختصات با بردارها توسط یک شبکه مختصات تعریف می شود و هر نقطه از صفحه، هر بردار مختصات خود را بر اساس یک مبنای مشخص دارد. به عنوان مثال، یا. ناراحتی آشکار این است که بردارهای مختصات به طور کلیطول های متفاوتی غیر از وحدت دارند. اگر طول ها برابر با واحد باشند، مبنای متعارف معمولی به دست می آید.

! توجه داشته باشید : در پایه متعامد، و همچنین در زیر در پایه های افینواحدهای صفحه و فضایی در امتداد محورها در نظر گرفته شده است مشروط. به عنوان مثال، یک واحد در امتداد محور x شامل 4 سانتی‌متر و یک واحد در امتداد محور مختصات حاوی 2 سانتی‌متر است. این اطلاعات برای تبدیل مختصات «غیر استاندارد» به «سانتی‌مترهای معمول» در صورت لزوم کافی است.

و سوال دوم که در واقع قبلا پاسخ داده شده این است که آیا زاویه بین بردارهای پایه باید برابر با 90 درجه باشد؟ نه! همانطور که در تعریف آمده است، بردارهای پایه باید باشند فقط غیر خطی. بر این اساس، زاویه می تواند هر چیزی به جز 0 و 180 درجه باشد.

یک نقطه در هواپیما به نام اصل و نسب، و غیر خطیبردارها، ، تنظیم سیستم مختصات هواپیمای وابسته :

گاهی اوقات چنین سیستم مختصاتی نامیده می شود مایلسیستم. به عنوان مثال، نقاشی نقاط و بردارها را نشان می دهد:

همانطور که می دانید، سیستم مختصات افین حتی راحت تر است؛ فرمول های طول بردارها و بخش ها که در قسمت دوم درس مورد بحث قرار گرفتیم، در آن کار نمی کنند. وکتور برای آدمک، بسیاری از فرمول های خوشمزه مربوط به حاصل ضرب اسکالر بردارها. اما قوانین جمع بردارها و ضرب یک بردار در یک عدد، فرمول های تقسیم یک قطعه در این رابطه و همچنین برخی از انواع دیگر مسائل که به زودی در نظر خواهیم گرفت معتبر هستند.

و نتیجه این است که راحت ترین مورد خاص سیستم افینمختصات یک سیستم مستطیلی دکارتی است. به همین دلیل است که شما اغلب باید او را ببینید، عزیز من. با این حال، همه چیز در این زندگی نسبی است - موقعیت های زیادی وجود دارد که در آنها یک زاویه مایل (یا یک زاویه دیگر، برای مثال، قطبی) دستگاه مختصات. و انسان نماها ممکن است چنین سیستم هایی را دوست داشته باشند =)

بیایید به بخش عملی آن برویم. تمام اشکالات این درس هم برای سیستم مختصات مستطیلی و هم برای حالت افین کلی معتبر است. در اینجا هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد؛ همه مطالب حتی برای یک دانش آموز در دسترس است.

چگونه می توان هم خطی بردارهای صفحه را تعیین کرد؟

چیز معمولی به منظور دو بردار صفحه خطی بودند، لازم و کافی است که مختصات متناظر آنها متناسب باشداساساً، این یک تفصیل مختص به مختصات از رابطه آشکار است.

مثال 1

الف) بررسی کنید که آیا بردارها خطی هستند یا خیر .
ب) آیا بردارها مبنایی را تشکیل می دهند؟ ?

راه حل:
الف) اجازه دهید دریابیم که آیا برای بردارها وجود دارد یا خیر ضریب تناسب، به طوری که برابری ها برآورده شوند:

من مطمئناً در مورد نسخه "foppish" اعمال این قانون به شما خواهم گفت که در عمل بسیار خوب عمل می کند. ایده این است که فوراً نسبت را بسازید و ببینید درست است یا خیر:

بیایید نسبتی از نسبت مختصات مربوط به بردارها ایجاد کنیم:

کوتاه کنیم:
بنابراین، مختصات مربوطه متناسب هستند، بنابراین،

رابطه را می توان برعکس ایجاد کرد؛ این یک گزینه معادل است:

برای خودآزمایی، می توانید از این واقعیت استفاده کنید که بردارهای خطی به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان می شوند. در این صورت برابری ها صورت می گیرد . اعتبار آنها را می توان به راحتی از طریق عملیات ابتدایی با بردارها تأیید کرد:

ب) دو بردار مسطح اگر خطی نباشند (مستقل خطی) پایه را تشکیل می دهند. ما بردارها را برای همخطی بودن بررسی می کنیم . بیایید یک سیستم ایجاد کنیم:

از معادله اول نتیجه می شود که , از معادله دوم نتیجه می شود که یعنی سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، مختصات متناظر بردارها متناسب نیستند.

نتیجه: بردارها به صورت خطی مستقل هستند و پایه را تشکیل می دهند.

نسخه ساده شده راه حل به این صورت است:

بیایید از مختصات مربوطه بردارها نسبتی درست کنیم :
، به این معنی که این بردارها به صورت خطی مستقل هستند و یک پایه را تشکیل می دهند.

معمولاً این گزینه توسط داوران رد نمی شود، اما در مواردی که برخی مختصات برابر با صفر هستند مشکل ایجاد می شود. مثل این: . یا مثل این: . یا مثل این: . چگونه می توان از طریق نسبت در اینجا کار کرد؟ (در واقع، شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید). به همین دلیل است که من راه حل ساده شده را "فروغ" نامیدم.

پاسخ:الف) ، ب) فرم.

یک مثال خلاقانه کوچک برای راه حل خودتان:

مثال 2

بردارها در چه مقدار پارامتر هستند آیا آنها خطی خواهند بود؟

در حل نمونه، پارامتر از طریق نسبت پیدا می شود.

یک روش جبری ظریف برای بررسی بردارها برای همخطی بودن وجود دارد. بیایید دانش خود را نظام‌مند کنیم و آن را به عنوان نقطه پنجم اضافه کنیم:

برای دو بردار صفحه عبارات زیر معادل هستند:

2) بردارها اساس را تشکیل می دهند.
3) بردارها خطی نیستند.

+ 5) تعیین کننده متشکل از مختصات این بردارها غیر صفر است.

به ترتیب، عبارات مقابل زیر معادل هستند:
1) بردارها به صورت خطی وابسته هستند.
2) بردارها مبنایی را تشکیل نمی دهند.
3) بردارها خطی هستند.
4) بردارها را می توان به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان کرد.
+ 5) دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها برابر با صفر است.

من واقعاً، واقعاً به آن امیدوارم این لحظهشما قبلاً تمام اصطلاحات و عباراتی را که با آنها برخورد می کنید درک کرده اید.

بیایید نگاهی دقیق تر به نکته جدید، پنجم بیندازیم: دو بردار صفحه خطی هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده متشکل از مختصات بردارهای داده شده برابر با صفر باشد.: البته برای اعمال این ویژگی باید بتوانید تعیین کننده ها را پیدا کنید.

بیا تصمیم بگیریممثال 1 به روش دوم:

الف) دترمینان تشکیل شده از مختصات بردارها را محاسبه کنیم :
یعنی این بردارها هم خط هستند.

ب) دو بردار مسطح اگر خطی نباشند (مستقل خطی) پایه را تشکیل می دهند. بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم :
، به این معنی که بردارها به صورت خطی مستقل هستند و یک پایه را تشکیل می دهند.

پاسخ:الف) ، ب) فرم.

این بسیار فشرده تر و زیباتر از یک راه حل با نسبت به نظر می رسد.

با کمک مواد در نظر گرفته شده، می توان نه تنها همخطی بردارها را تعیین کرد، بلکه موازی بودن قطعات و خطوط مستقیم را نیز اثبات کرد. بیایید چند مشکل با اشکال هندسی خاص را در نظر بگیریم.

مثال 3

رئوس یک چهارضلعی آورده شده است. ثابت کنید که چهارضلعی متوازی الاضلاع است.

اثبات: نیازی به ایجاد نقشه در مسئله نیست، زیرا راه حل صرفاً تحلیلی خواهد بود. بیایید تعریف متوازی الاضلاع را به خاطر بسپاریم:
متوازی الاضلاع چهار ضلعی که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند نامیده می شود.

بنابراین لازم است ثابت شود:
1) موازی بودن اضلاع مقابل و;
2) موازی بودن اضلاع مقابل و.

ما ثابت می کنیم:

1) بردارها را بیابید:

2) بردارها را بیابید:

نتیجه همان بردار است ("بر اساس مدرسه" - بردارهای برابر). خطی بودن کاملاً واضح است، اما بهتر است تصمیم را به وضوح و با ترتیب رسمی رسمی کنیم. بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:
، به این معنی که این بردارها خطی هستند و .

نتیجه: اضلاع مقابل یک چهار ضلعی به صورت جفت موازی هستند، یعنی طبق تعریف متوازی الاضلاع است. Q.E.D.

ارقام خوب و متفاوت تر:

مثال 4

رئوس یک چهارضلعی آورده شده است. ثابت کنید که چهارضلعی ذوزنقه است.

برای فرمول دقیق تر اثبات، البته بهتر است تعریف ذوزنقه را بدست آوریم، اما کافی است به سادگی به یاد بیاوریم که چگونه به نظر می رسد.

این وظیفه ای است که شما باید خودتان آن را حل کنید. راه حل کامل در پایان درس.

و اکنون زمان آن است که به آرامی از هواپیما به فضا حرکت کنیم:

چگونه می توان همخطی بردارهای فضایی را تعیین کرد؟

قانون بسیار شبیه است. برای اینکه دو بردار فضایی به صورت هم خط باشند، کافی و ضروری است که مختصات متناظر آنها متناسب باشد..

مثال 5

دریابید که آیا بردارهای فضایی زیر هم خط هستند:

آ) ؛
ب)
V)

راه حل:
الف) بررسی کنیم که آیا ضریب تناسب برای مختصات مربوط به بردارها وجود دارد یا خیر:

سیستم هیچ راه حلی ندارد، به این معنی که بردارها خطی نیستند.

"ساده شده" با بررسی نسبت رسمی می شود. در این مورد:
- مختصات مربوطه متناسب نیستند، به این معنی که بردارها هم خط نیستند.

پاسخ:بردارها خطی نیستند.

ب-ج) اینها نکاتی برای تصمیم گیری مستقل هستند. از دو طریق آن را امتحان کنید.

روشی برای بررسی بردارهای فضایی برای همخطی بودن از طریق یک تعیین کننده مرتبه سوم وجود دارد؛ این روش در مقاله پوشش داده شده است. حاصلضرب برداری بردارها.

همانند حالت صفحه، از ابزارهای در نظر گرفته شده می توان برای مطالعه موازی قطعات فضایی و خطوط مستقیم استفاده کرد.

به بخش دوم خوش آمدید:

وابستگی و استقلال خطی بردارها در فضای سه بعدی.
مبانی فضایی و سیستم مختصات وابسته

بسیاری از الگوهایی که در هواپیما بررسی کردیم برای فضا معتبر خواهند بود. من سعی کردم نکات تئوری را به حداقل برسانم زیرا سهم شیراطلاعات قبلاً جویده شده است. با این حال، توصیه می کنم که قسمت مقدمه را با دقت مطالعه کنید، زیرا اصطلاحات و مفاهیم جدیدی ظاهر می شوند.

اکنون به جای صفحه میز کامپیوتر، فضای سه بعدی را بررسی می کنیم. ابتدا بیایید پایه آن را ایجاد کنیم. یک نفر الان در داخل خانه است، یک نفر بیرون است، اما به هر حال ما نمی توانیم از سه بعد: عرض، طول و ارتفاع فرار کنیم. بنابراین، برای ساخت یک پایه، سه بردار فضایی مورد نیاز خواهد بود. یک یا دو بردار کافی نیست، چهارمی اضافی است.

و دوباره روی انگشتانمان گرم می شویم. لطفا دست خود را بالا ببرید و در جهات مختلف باز کنید انگشت شست، اشاره و وسط. این ها بردار خواهند بود، در جهت های مختلف نگاه می کنند، طول های متفاوتی دارند و زوایای متفاوتی بین خود دارند. تبریک می گوییم، اساس فضای سه بعدی آماده است! به هر حال، نیازی به نشان دادن این به معلمان نیست، هر چقدر هم که انگشتان خود را بچرخانید، اما از تعاریف فراری نیست =)

در ادامه یک سوال مهم را مطرح می کنیم: آیا هر سه بردار اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند؟? لطفا سه انگشت خود را محکم روی میز کامپیوتر فشار دهید. چی شد؟ سه بردار در یک صفحه قرار دارند و تقریباً یکی از ابعاد - ارتفاع را از دست داده ایم. چنین بردارهایی هستند هم صفحهو کاملاً بدیهی است که اساس فضای سه بعدی ایجاد نشده است.

لازم به ذکر است که بردارهای همسطح مجبور نیستند در یک صفحه قرار بگیرند، آنها می توانند در صفحات موازی(فقط این کار را با انگشتان خود انجام ندهید، فقط سالوادور دالی این راه را کشید =)).

تعریف: بردارها نامیده می شوند هم صفحه، اگر صفحه ای وجود داشته باشد که با آن موازی باشند. منطقی است که در اینجا اضافه کنیم که اگر چنین صفحه ای وجود نداشته باشد، بردارها همسطح نخواهند بود.

سه بردار همسطح همیشه به صورت خطی وابسته هستند، یعنی به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان می شوند. برای سادگی، اجازه دهید دوباره تصور کنیم که آنها در یک صفحه قرار دارند. اولا، بردارها نه تنها همسطح هستند، بلکه می توانند هم خط باشند، سپس هر بردار را می توان از طریق هر بردار بیان کرد. در حالت دوم، اگر برای مثال، بردارها هم خط نباشند، بردار سوم از طریق آنها به روشی منحصر به فرد بیان می شود: (و چرا به راحتی می توان از مطالب بخش قبل حدس زد).

عکس آن نیز صادق است: سه بردار غیرهمسطح همیشه به صورت خطی مستقل هستند، یعنی به هیچ وجه از طریق یکدیگر بیان نمی شوند. و بدیهی است که تنها چنین بردارهایی می توانند اساس فضای سه بعدی را تشکیل دهند.

تعریف: اساس فضای سه بعدیسه بردار مستقل خطی (غیر همسطح) نامیده می شود، به ترتیب خاصی گرفته شده استو هر بردار فضا تنها راهبر اساس یک مبنای معین تجزیه می شود، جایی که مختصات بردار در این پایه است

به شما یادآوری می کنم که می توانیم بگوییم که بردار به صورت نمایش داده می شود ترکیب خطیبردارهای پایه

مفهوم یک سیستم مختصات دقیقاً به همان شکلی که برای حالت صفحه معرفی شده است، یک نقطه و هر سه بردار مستقل خطی کافی است:

اصل و نسب، و غیر همسطحبردارها، به ترتیب خاصی گرفته شده است، تنظیم سیستم مختصات وابسته فضای سه بعدی :

البته، شبکه مختصات "مورب" و ناخوشایند است، اما، با این وجود، سیستم مختصات ساخته شده به ما اجازه می دهد قطعامختصات هر بردار و مختصات هر نقطه در فضا را تعیین کنید. مانند یک هواپیما، برخی از فرمول هایی که قبلاً ذکر کردم در سیستم مختصات نزدیک فضا کار نمی کنند.

همانطور که همه حدس می زنند، آشناترین و راحت ترین مورد خاص یک سیستم مختصات افین است سیستم مختصات فضایی مستطیلی:

نقطه ای در فضا به نام اصل و نسب، و متعارفاساس تعیین شده است سیستم مختصات فضایی مستطیلی دکارتی . عکس آشنا:

قبل از حرکت به سمت کارهای عملی، اجازه دهید دوباره اطلاعات را سیستماتیک کنیم:

برای سه بردار فضایی عبارات زیر معادل هستند:
1) بردارها به صورت خطی مستقل هستند.
2) بردارها اساس را تشکیل می دهند.
3) بردارها همسطح نیستند.
4) بردارها را نمی توان به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان کرد.
5) تعیین کننده، متشکل از مختصات این بردارها، با صفر متفاوت است.

به نظر من جملات مخالف قابل درک است.

وابستگی/استقلال خطی بردارهای فضا به طور سنتی با استفاده از یک تعیین کننده بررسی می شود (نقطه 5). کارهای عملی باقیمانده ماهیت جبری مشخصی خواهند داشت. وقت آن است که چوب هندسه را آویزان کنید و چوب بیسبال جبر خطی را به کار بگیرید:

سه بردار فضاهمسطح هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده متشکل از مختصات بردارهای داده شده برابر با صفر باشد: .

من می خواهم توجه شما را به یک نکته ظریف فنی جلب کنم: مختصات بردارها را می توان نه تنها در ستون ها، بلکه در ردیف ها نیز نوشت (مقدار تعیین کننده به این دلیل تغییر نمی کند - به ویژگی های تعیین کننده ها مراجعه کنید). اما در ستون ها بسیار بهتر است، زیرا برای حل برخی از مشکلات عملی مفیدتر است.

برای آن دسته از خوانندگانی که روش‌های محاسبه عوامل تعیین‌کننده را کمی فراموش کرده‌اند، یا شاید اصلاً درک کمی از آنها دارند، یکی از قدیمی‌ترین درس‌های خود را توصیه می‌کنم: چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

مثال 6

بررسی کنید که آیا بردارهای زیر اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند:

راه حل: در واقع کل راه حل به محاسبه دترمینان می رسد.

الف) بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم (تعیین کننده در خط اول نشان داده شده است):

، به این معنی که بردارها مستقل خطی هستند (همسطح نیستند) و اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

پاسخ: این بردارها اساس را تشکیل می دهند

ب) این نقطه ای برای تصمیم گیری مستقل است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

همچنین وظایف خلاقانه وجود دارد:

مثال 7

در چه مقدار از پارامتر بردارها همسطح خواهند بود؟

راه حل: بردارها همسطح هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده تشکیل شده از مختصات این بردارها برابر با صفر باشد:

در اصل، شما باید یک معادله را با یک تعیین کننده حل کنید. ما مانند بادبادک‌ها روی ژربواها روی صفرها می‌چرخیم - بهتر است تعیین‌کننده را در خط دوم باز کنیم و فوراً از شر معایب خلاص شویم:

ما ساده سازی های بیشتری انجام می دهیم و ماده را به ساده ترین معادله خطی کاهش می دهیم:

پاسخ: در

بررسی اینجا آسان است؛ برای انجام این کار، باید مقدار حاصل را با تعیین کننده اصلی جایگزین کنید و مطمئن شوید که ، دوباره آن را باز می کند.

در پایان، یک مسئله معمولی دیگر را در نظر خواهیم گرفت که بیشتر ماهیت جبری دارد و به طور سنتی در یک دوره جبر خطی گنجانده شده است. آنقدر رایج است که سزاوار موضوع خاص خود است:

ثابت کنید که 3 بردار اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند
و مختصات بردار 4 را در این مبنا پیدا کنید

مثال 8

بردارها داده شده است. نشان دهید که بردارها در فضای سه بعدی یک پایه تشکیل می دهند و مختصات بردار را در این مبنا پیدا کنید.

راه حل: ابتدا به شرط بپردازیم. بر اساس شرط، چهار بردار داده شده است، و همانطور که می بینید، آنها قبلاً مختصاتی دارند. اینکه این مبنا چیست برای ما جالب نیست. و نکته زیر جالب است: سه بردار ممکن است پایه جدیدی را تشکیل دهند. و مرحله اول کاملاً با حل مثال 6 منطبق است؛ باید بررسی شود که آیا بردارها واقعاً مستقل هستند یا خیر:

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:

یعنی بردارها به صورت خطی مستقل هستند و اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

! مهم : مختصات برداری لزومابنویس به ستون هاتعیین کننده، نه در رشته ها. در غیر این صورت، در الگوریتم حل بعدی سردرگمی وجود خواهد داشت.

اساس فضاآنها چنین سیستمی از بردارها را می نامند که در آن همه بردارهای دیگر در فضا می توانند به صورت ترکیبی خطی از بردارهای موجود در پایه نمایش داده شوند.
در عمل، این همه به سادگی اجرا می شود. اساس، به عنوان یک قاعده، در یک صفحه یا در فضا بررسی می شود، و برای این شما باید تعیین کننده یک ماتریس مرتبه دوم و سوم متشکل از مختصات برداری را پیدا کنید. در زیر به صورت شماتیک نوشته شده است شرایطی که بردارها اساس را تشکیل می دهند

به بردار b را به بردارهای پایه گسترش دهید
e,e...,e[n] لازم است ضرایب x, ..., x[n] را پیدا کنیم که ترکیب خطی بردارهای e,e...,e[n] برابر است. بردار ب:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = ب.
برای این کار باید معادله برداری را به سیستم معادلات خطی تبدیل کرد و جواب ها را پیدا کرد. اجرای این نیز بسیار ساده است.
ضرایب یافت شده x، ...، x[n] نامیده می شوند مختصات بردار b در پایه e، e...، e[n].
بیایید به جنبه عملی موضوع برویم.

تجزیه یک بردار به بردارهای پایه

وظیفه 1. بررسی کنید که آیا بردارهای a1، a2 مبنایی را در صفحه تشکیل می دهند یا خیر

1) a1 (3؛ 5)، a2 (4؛ 2)
راه حل: از مختصات بردارها یک دترمین ساخته و محاسبه می کنیم

تعیین کننده صفر نیست، از این رو بردارها به صورت خطی مستقل هستند، به این معنی که آنها یک پایه را تشکیل می دهند.

2) a1 (2;-3)، a2 (5;-1)
راه حل: ما تعیین کننده را محاسبه می کنیم که از بردارها تشکیل شده است

تعیین کننده برابر با 13 است (نه برابر با صفر) - از این نتیجه می شود که بردارهای a1، a2 مبنایی در صفحه هستند.

---=================---

بیایید به نمونه های معمولی از برنامه MAUP در رشته "ریاضیات عالی" نگاه کنیم.

وظیفه 2. نشان دهید که بردارهای a1، a2، a3 اساس یک فضای برداری سه بعدی را تشکیل می دهند و بردار b را بر اساس این مبنا گسترش دهید (هنگام حل یک سیستم خطی معادلات جبریاز روش کرامر استفاده کنید).
1) a1 (3؛ 1؛ 5)، a2 (3؛ 2؛ 8)، a3 (0؛ 1؛ 2)، b (-3؛ 1؛ 2).
راه حل: ابتدا سیستم بردارهای a1، a2، a3 را در نظر بگیرید و تعیین کننده ماتریس A را بررسی کنید.

بر روی بردارهای غیر صفر ساخته شده است. ماتریس حاوی یک عنصر صفر است، بنابراین بهتر است که تعیین کننده را به عنوان جدول زمانی در ستون اول یا ردیف سوم محاسبه کنیم.

در نتیجه محاسبات، متوجه شدیم که تعیین کننده با صفر متفاوت است، بنابراین بردارهای a1، a2، a3 به صورت خطی مستقل هستند.
طبق تعریف، بردارها پایه ای را در R3 تشکیل می دهند. بیایید برنامه زمانبندی بردار b را بر اساس آن بنویسیم

بردارها زمانی مساوی هستند که مختصات متناظر آنها برابر باشد.
بنابراین، از معادله برداری، سیستمی از معادلات خطی را به دست می آوریم

بیایید SLAE را حل کنیم روش کرامر. برای این کار سیستم معادلات را به شکل می نویسیم

تعیین کننده اصلی یک SLAE همیشه با تعیین کننده تشکیل شده از بردارهای پایه برابر است.

بنابراین، در عمل دو بار محاسبه نمی شود. برای یافتن تعیین کننده های کمکی، به جای هر ستون از تعیین کننده اصلی، یک ستون از عبارت های آزاد قرار می دهیم. تعیین کننده ها با استفاده از قانون مثلث محاسبه می شوند



بیایید تعیین کننده های یافت شده را با فرمول کرامر جایگزین کنیم



پس بسط بردار b از نظر مبنا به صورت b=-4a1+3a2-a3 است. مختصات بردار b در پایه a1، a2، a3 (-4،3، 1) خواهد بود.

2)a1 (1؛ -5؛ 2)، a2 (2؛ 3؛ 0)، a3 (1؛ -1؛ 1)، b (3؛ 5؛ 1).
راه حل: ما بردارها را برای یک پایه بررسی می کنیم - یک تعیین کننده از مختصات بردارها می سازیم و آن را محاسبه می کنیم.

بنابراین، تعیین کننده برابر با صفر نیست بردارها پایه ای را در فضا تشکیل می دهند. باقی مانده است که زمانبندی بردار b را از طریق این مبنا پیدا کنیم. برای این کار معادله برداری را می نویسیم

و به سیستم معادلات خطی تبدیل می شود

معادله ماتریس را می نویسیم

در مرحله بعد، برای فرمول های کرامر، تعیین کننده های کمکی را پیدا می کنیم



ما از فرمول های کرامر استفاده می کنیم



بنابراین یک بردار داده شده b دارای یک زمانبندی از طریق دو بردار پایه b=-2a1+5a3 است و مختصات آن در پایه برابر با b(-2,0, 5) است.