شیب مماس برابر با مقدار است. مماس بر نمودار یک تابع

در ریاضیات، یکی از پارامترهای توصیف کننده موقعیت یک خط در صفحه مختصات دکارتی است. شیباین خط مستقیم این پارامتر شیب خط مستقیم به محور آبسیسا را ​​مشخص می کند. برای درک نحوه یافتن شیب، ابتدا شکل کلی معادله یک خط مستقیم در سیستم مختصات XY را به خاطر بیاورید.

که در نمای کلیهر خط مستقیمی را می توان با عبارت ax+by=c نشان داد، که در آن a، b و c اعداد واقعی دلخواه هستند، اما همیشه a 2 + b 2 ≠ 0.

با استفاده از تبدیل های ساده می توان چنین معادله ای را به شکل y=kx+d درآورد که در آن k و d اعداد حقیقی هستند. عدد k شیب است و معادله خطی از این نوع را معادله با شیب می نامند. به نظر می رسد که برای پیدا کردن شیب، به سادگی باید معادله اصلی را به شکل نشان داده شده در بالا کاهش دهید. برای درک کامل تر، یک مثال خاص را در نظر بگیرید:

مشکل: شیب خط را که با معادله 36x - 18y = 108 داده شده است، بیابید.

راه حل: بیایید معادله اصلی را تبدیل کنیم.

پاسخ: شیب مورد نیاز این خط 2 است.

اگر در حین تبدیل معادله، عبارتی مانند x = const دریافت کنیم و در نتیجه نتوانیم y را به عنوان تابعی از x نشان دهیم، در این صورت با یک خط مستقیم موازی با محور X روبرو هستیم. ضریب زاویه ای چنین است. یک خط مستقیم برابر با بی نهایت است.

برای خطوطی که با معادله ای مانند y = const بیان می شوند، شیب صفر است. این برای خطوط مستقیم موازی با محور آبسیسا معمول است. مثلا:

مسئله: شیب خط داده شده با معادله 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 را بیابید.

راه حل: معادله اصلی را به شکل کلی در آوریم

24x + 12y - 12y + 28 = 4

بیان y از عبارت حاصل غیرممکن است، بنابراین ضریب زاویه ای این خط برابر با بی نهایت است و خود خط موازی با محور Y خواهد بود.

معنای هندسی

برای درک بهتر، بیایید به تصویر نگاه کنیم:

در شکل نمودار تابعی مانند y = kx را می بینیم. برای ساده کردن، اجازه دهید ضریب c = 0 را در نظر بگیریم. در مثلث OAB، نسبت ضلع BA به AO برابر با ضریب زاویه ای k خواهد بود. در عین حال، نسبت VA/AO مماس است زاویه حادα در راست گوشه OAV. معلوم می شود که ضریب زاویه ای خط مستقیم برابر است با مماس زاویه ای که این خط مستقیم با محور آبسیسا شبکه مختصات می سازد.

با حل مسئله چگونگی یافتن ضریب زاویه ای یک خط مستقیم، مماس زاویه بین آن و محور X شبکه مختصات را پیدا می کنیم. موارد مرزی، زمانی که خط مورد نظر موازی با محورهای مختصات است، موارد فوق را تأیید کنید. در واقع، برای یک خط مستقیم که با معادله y=const توصیف می شود، زاویه بین آن و محور آبسیسا برابر با صفر. مماس زاویه صفر نیز صفر و شیب نیز صفر است.

برای خطوط مستقیم عمود بر محور x و توصیف شده با معادله x=const، زاویه بین آنها و محور X 90 درجه است. مماس زاویه راستبرابر با بی نهایت است و ضریب زاویه ای خطوط مستقیم مشابه نیز برابر با بی نهایت است که آنچه در بالا نوشته شد را تأیید می کند.

شیب مماس

یک کار رایج که اغلب در عمل با آن مواجه می‌شویم، یافتن شیب مماس بر نمودار یک تابع در یک نقطه خاص است. مماس یک خط مستقیم است، بنابراین مفهوم شیب نیز برای آن قابل استفاده است.

برای فهمیدن چگونگی یافتن شیب مماس، باید مفهوم مشتق را به خاطر بیاوریم. مشتق هر تابع در یک نقطه مشخص، ثابت عددی برابر با مماس زاویه ای است که بین مماس در نقطه مشخص شده به نمودار این تابع و محور آبسیسا تشکیل می شود. معلوم می شود که برای تعیین ضریب زاویه ای مماس در نقطه x 0، باید مقدار مشتق تابع اصلی را در این نقطه محاسبه کنیم k = f"(x 0). بیایید به مثال نگاه کنیم:

مشکل: شیب خط مماس بر تابع y = 12x 2 + 2x x را در x = 0.1 بیابید.

راه حل: مشتق تابع اصلی را به شکل کلی پیدا کنید

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

پاسخ: شیب مورد نیاز در نقطه x = 0.1 برابر 4.831 است

یاد بگیرید که مشتقات توابع را بگیرید.مشتق نرخ تغییر یک تابع را در یک نقطه مشخص در نمودار این تابع مشخص می کند. در این حالت، نمودار می تواند یک خط مستقیم یا منحنی باشد. یعنی مشتق نرخ تغییر یک تابع را در یک نقطه خاص از زمان مشخص می کند. یاد آوردن قوانین عمومی، که توسط آن مشتقات گرفته می شود و تنها پس از آن وارد مرحله بعدی می شوید.

• مقاله را بخوان.
• چگونه ساده ترین مشتقات را مثلاً مشتق بگیریم معادله نمایی، شرح داده شده. محاسبات ارائه شده در مراحل زیر بر اساس روش های شرح داده شده در آن خواهد بود.

یاد بگیرید که مسائلی را که در آنها ضریب شیب باید از طریق مشتق یک تابع محاسبه شود، تشخیص دهید.مشکلات همیشه از شما نمی خواهند شیب یا مشتق یک تابع را پیدا کنید. برای مثال، ممکن است از شما خواسته شود که نرخ تغییر یک تابع را در نقطه A(x,y) بیابید. همچنین ممکن است از شما خواسته شود که شیب مماس را در نقطه A(x,y) بیابید. در هر دو مورد لازم است مشتق تابع را بگیریم.

شما قبلاً با مفهوم مماس بر نمودار یک تابع آشنا هستید. نمودار تابع f قابل تمایز در نقطه x 0 نزدیک x 0 عملاً با پاره مماس تفاوتی ندارد، به این معنی که نزدیک به قطعه مقطع l است که از نقاط عبور می کند (x 0 ؛ f (x 0)) و ( x 0 + Δx؛ f ( x 0 + Δx)). هر یک از این بخش ها از نقطه A (x 0 ؛ f (x 0)) نمودار می گذرد (شکل 1). برای تعریف منحصر به فرد خطی که از نقطه ای A می گذرد، کافی است شیب آن را نشان دهیم. ضریب زاویه ای Δy/Δx مقطع به صورت Δχ→0 به عدد f '(x 0) میل می کند (آن را به عنوان ضریب زاویه ای مماس می گیریم) آنها می گویند که مماس موقعیت محدود کننده سکونت در Δх→0 است.

اگر f'(x 0) وجود نداشته باشد، آنگاه مماس یا وجود ندارد (مانند تابع y = |x| در نقطه (0; 0)، شکل را ببینید) یا عمودی است (مانند نمودار تابع در نقطه (0؛ 0)، شکل 2).

بنابراین، وجود یک مشتق از تابع f در نقطه xo معادل وجود یک مماس (غیر عمودی) در نقطه (x 0, f (x 0)) نمودار است، در حالی که شیب مماسبرابر f" (x 0) است معنی هندسیمشتق

مماس بر نمودار تابع f قابل تمایز در نقطه xo، خط مستقیمی است که از نقطه (x 0 ؛ f (x 0)) می گذرد و دارای ضریب زاویه ای f '(x 0) است.

بیایید مماس های نمودار تابع f را در نقاط x 1، x 2، x 3 رسم کنیم (شکل 3) و زوایایی که با محور آبسیسا تشکیل می دهند را یادداشت کنیم. (این زاویه ای است که در جهت مثبت از جهت مثبت محور به خط مستقیم اندازه گیری می شود.) می بینیم که زاویه α 1 تند، زاویه α 3 مبهم است و زاویه α 2 صفر است، زیرا خط مستقیم l است. موازی با محور Ox مماس یک زاویه تند مثبت است، مماس یک زاویه منفی منفی است، قهوهای مایل به زرد 0 = 0. بنابراین

F"(x 1)>0، f’(x 2)=0، f’(x 3)
ساخت مماس در نقاط جداگانه به شما امکان می دهد نمودارها را با دقت بیشتری ترسیم کنید. بنابراین، برای مثال، برای ساختن طرحی از نمودار تابع سینوس، ابتدا در نقاط 0 پیدا می کنیم. π/2 و π مشتق سینوس برابر با 1 است. به ترتیب 0 و -1. بیایید خطوط مستقیمی بسازیم که از نقاط (0؛ 0)، (π/2،1) و (π، 0) با ضرایب زاویه ای 1، 0 و 1- به ترتیب عبور می کنند (شکل 4). ذوزنقه به دست آمده توسط این خطوط مستقیم و خط مستقیم Ox، نمودار سینوس ایجاد می شود به طوری که برای x برابر با 0، π/2 و π، خطوط مستقیم مربوطه را لمس می کند.

توجه داشته باشید که نمودار سینوس در مجاورت صفر عملاً از خط مستقیم y = x قابل تشخیص نیست. به عنوان مثال، اجازه دهید مقیاس ها در امتداد محورها به گونه ای انتخاب شوند که یک واحد مربوط به یک قطعه 1 سانتی متری باشد. ما sin 0.5 ≈ 0.479425 داریم، یعنی |sin 0.5 - 0.5| ≈ 0.02، و در مقیاس انتخاب شده مربوط به قطعه ای به طول 0.2 میلی متر است. بنابراین، نمودار تابع y = sin x در بازه (0.5-؛ 0.5) (در جهت عمودی) از خط مستقیم y = x بیش از 0.2 میلی متر منحرف می شود که تقریباً با ضخامت آن مطابقت دارد. خط کشیده شده

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

شکل زیر را در نظر بگیرید:

تابع خاصی y = f(x) را نشان می دهد که در نقطه a قابل تمایز است. نقطه M با مختصات (a; f(a)) مشخص شده است. یک MR مقطعی از طریق یک نقطه دلخواه P(a + ∆x؛ f(a + ∆x)) نمودار ترسیم می‌شود.

اگر اکنون نقطه P در طول نمودار به نقطه M منتقل شود، آنگاه خط مستقیم MR حول نقطه M خواهد چرخید. در این حالت ∆x به سمت صفر میل خواهد کرد. از اینجا می توانیم تعریف مماس بر نمودار یک تابع را فرموله کنیم.

مماس بر نمودار یک تابع

مماس بر نمودار یک تابع، موقعیت محدود سکنت است زیرا افزایش آرگومان به سمت صفر می‌رود. باید فهمید که وجود مشتق تابع f در نقطه x0 به این معنی است که در این نقطه از نمودار وجود دارد. مماسبه او.

در این حالت ضریب زاویه ای مماس برابر با مشتق این تابع در این نقطه f’(x0) خواهد بود. این معنای هندسی مشتق است. مماس بر نمودار تابع f قابل تمایز در نقطه x0 یک خط مستقیم مشخص است که از نقطه (x0;f(x0)) می گذرد و دارای ضریب زاویه ای f'(x0) است.

معادله مماس

بیایید سعی کنیم معادله مماس بر نمودار تابع f را در نقطه A(x0؛ f(x0)) بدست آوریم. معادله یک خط مستقیم با شیب k به شکل زیر است:

از آنجایی که ضریب شیب ما با مشتق برابر است f'(x0)، سپس معادله به شکل زیر خواهد بود: y = f'(x0)*x + b.

حالا بیایید مقدار b را محاسبه کنیم. برای این کار از این واقعیت استفاده می کنیم که تابع از نقطه A عبور می کند.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b، از اینجا b را بیان می کنیم و b = f(x0) - f’(x0)*x0 را بدست می آوریم.

مقدار حاصل را با معادله مماس جایگزین می کنیم:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

مثال زیر را در نظر بگیرید: معادله مماس بر نمودار تابع f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 را در نقطه x = 2 بیابید.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. مقادیر به دست آمده را با فرمول مماس جایگزین کنید، دریافت می کنیم: y = 1 + 4 * (x - 2). با باز کردن پرانتزها و آوردن عبارت های مشابه به این نتیجه می رسیم: y = 4*x - 7.

پاسخ: y = 4 * x - 7.

طرح کلی برای ترکیب معادله مماسبه نمودار تابع y = f(x):

1. x0 را تعیین کنید.

2. f(x0) را محاسبه کنید.

3. f’(x) را محاسبه کنید