ورودپیدا کردن فواصل یکنواختی یک تابع به چه معناست؟ حدود توابع یکنواخت
افزایش، کاهش و افراطی یک تابع
یافتن فواصل افزایش، کاهش و افراط یک تابع هم وظیفه ای مستقل و هم بخشی ضروری از وظایف دیگر است، به ویژه مطالعه عملکرد کامل. اطلاعات اولیه در مورد افزایش، کاهش و حداکثر عملکرد در اینجا آورده شده است فصل نظری مشتقکه من به شدت توصیه می کنم مطالعه مقدماتی (یا تکرار)- همچنین به این دلیل که مطالب زیر بر اساس بسیار است اساسا مشتق،ادامه هماهنگ این مقاله است. اگر چه، اگر زمان کوتاه باشد، تمرین صرفاً رسمی از نمونه های درس امروز نیز امکان پذیر است.
و امروز روحیه وحدت نادری در هوا موج می زند و من مستقیماً می توانم احساس کنم که همه حاضران از اشتیاق می سوزند. یاد بگیرید که یک تابع را با استفاده از مشتق آن کشف کنید. بنابراین، اصطلاحات معقول، خوب و ابدی بلافاصله بر روی صفحه نمایش مانیتور شما ظاهر می شود.
برای چی؟ یکی از دلایل کاربردی ترین آن است: به طوری که مشخص شود در یک کار خاص چه چیزی به طور کلی از شما خواسته می شود!
یکنواختی تابع. نقاط افراطی و منتهی الیه یک تابع
بیایید برخی از عملکردها را در نظر بگیریم. به بیان ساده، ما فرض می کنیم که او مداومدر کل خط شماره:
در هر صورت، بیایید فوراً از توهمات احتمالی خلاص شویم، به ویژه برای آن دسته از خوانندگانی که اخیراً با آن آشنا شده اند. فواصل علامت ثابت تابع. حالا ما علاقه مند نیستنحوه قرارگیری نمودار تابع نسبت به محور (بالا، پایین، محل تقاطع محور). برای قانع شدن، محورها را به صورت ذهنی پاک کنید و یک نمودار بگذارید. زیرا علاقه در اینجاست.
تابع افزایشدر یک بازه، اگر برای هر دو نقطه از این فاصله، با رابطه مرتبط است، نابرابری درست است. یعنی مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتری تابع مطابقت دارد و نمودار آن از پایین به بالا می رود. تابع نمایش در بازه زمانی رشد می کند.
به همین ترتیب، تابع کاهش می دهددر یک بازه اگر برای هر دو نقطه از یک بازه معین به طوری که، نابرابری درست باشد. یعنی مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچک‌تری از تابع مطابقت دارد و نمودار آن «از بالا به پایین» می‌رود. عملکرد ما در فواصل زمانی کاهش می یابد 
.
اگر تابعی در یک بازه زمانی کم یا زیاد شود، آن را فراخوانی می‌کنیم کاملا یکنواختدر این فاصله یکنواختی چیست؟ آن را به معنای واقعی کلمه بگیرید - یکنواختی.
شما هم می توانید تعریف کنید بدون کاهشتابع (شرایط آرام در تعریف اول) و غیر افزایشیتابع (شرایط نرم شده در تعریف دوم). یک تابع غیر کاهشی یا غیرافزاینده در یک بازه، تابع یکنواخت در یک بازه معین نامیده می شود. (یکنواختی دقیق یک مورد خاص از یکنواختی "به سادگی" است).
این تئوری همچنین رویکردهای دیگری را برای تعیین افزایش/کاهش یک تابع در نظر می‌گیرد، از جمله در نیم‌بازه‌ها، بخش‌ها، اما برای اینکه روغن-روغن-روغن روی سر شما نریزیم، موافقت می‌کنیم که با فواصل باز با تعاریف طبقه‌بندی شده عمل کنیم. - این واضح تر است و برای حل بسیاری از مشکلات عملی کاملاً کافی است.
بدین ترتیب، در مقالات من عبارت "یکنواختی یک تابع" تقریبا همیشه پنهان خواهد بود فواصلیکنواختی شدید(عملکرد به شدت افزایش یا کاهش شدید).
همسایگی یک نقطه کلماتی که پس از آن دانش آموزان هر کجا که می توانند فرار می کنند و با وحشت در گوشه و کنار پنهان می شوند. ... هر چند بعد از پست محدودیت های کوشیآنها احتمالاً دیگر پنهان نمی شوند، اما فقط اندکی می لرزند =) نگران نباشید، اکنون هیچ اثباتی برای قضایا وجود نخواهد داشت تجزیه و تحلیل ریاضی- من به محیط اطراف نیاز داشتم تا تعاریف را دقیق تر بیان کنم نقاط افراطی. به یاد داشته باشیم:
همسایگی یک نقطهبازه‌ای که حاوی یک نقطه معین است نامیده می‌شود و برای راحتی، این فاصله معمولاً متقارن فرض می‌شود. به عنوان مثال، یک نقطه و همسایگی استاندارد آن:
در واقع تعاریف:
نقطه نامیده می شود حداکثر نقطه دقیق، اگر وجود داردمحله او، برای همهمقادیری که به جز خود نقطه، نابرابری . در ما مثال خاصاین نکته است.
نقطه نامیده می شود حداقل امتیاز دقیق، اگر وجود داردمحله او، برای همهمقادیری که به جز خود نقطه، نابرابری . در نقاشی نقطه "الف" وجود دارد.
توجه داشته باشید : الزام تقارن همسایگی اصلا ضروری نیست. علاوه بر این، مهم است حقیقت وجودهمسایگی (چه کوچک یا میکروسکوپی) که شرایط مشخص شده را برآورده کند
نقاط نامیده می شود نقاط کاملاً افراطییا به سادگی نقاط افراطیکارکرد. یعنی یک اصطلاح تعمیم یافته برای حداکثر امتیاز و حداقل امتیاز است.
چگونه کلمه "افراطی" را درک کنیم؟ بله، دقیقاً به اندازه یکنواختی. نقاط افراطی ترن هوایی.
همانطور که در مورد یکنواختی، فرضیه های سست وجود دارند و حتی در تئوری رایج تر هستند (که البته موارد سختگیرانه در نظر گرفته شده در آن قرار می گیرند!):
نقطه نامیده می شود حداکثر امتیاز، اگر وجود دارداطراف آن به گونه ای است که برای همه
نقطه نامیده می شود حداقل امتیاز، اگر وجود دارداطراف آن به گونه ای است که برای همهارزش های این محله، نابرابری را حفظ می کند.
توجه داشته باشید که طبق دو تعریف آخر، هر نقطه از یک تابع ثابت (یا یک "قطع مسطح" یک تابع) هم نقطه حداکثر و هم یک نقطه حداقل در نظر گرفته می شود! به هر حال، تابع هم غیر افزایشی و هم غیر کاهشی است، یعنی یکنواخت است. با این حال، ما این ملاحظات را به نظریه پردازان واگذار می کنیم، زیرا در عمل ما تقریباً همیشه "تپه ها" و "حفره ها" سنتی (نگاه کنید به نقاشی) با یک "پادشاه تپه" یا "شاهزاده باتلاق" منحصر به فرد در نظر می گیریم. به عنوان یک تنوع، رخ می دهد نکته، به سمت بالا یا پایین هدایت می شود، برای مثال، حداقل تابع در نقطه.
بله، اتفاقا، اوه حق امتیاز:
- معنی نامیده می شود بیشترینکارکرد؛
- معنی نامیده می شود کمترینکارکرد.
نام متداول - افراطکارکرد.
لطفا مواظب حرفاتون باش!
نقاط افراطی- این مقادیر "X" هستند.
افراط- معانی "بازی".
! توجه داشته باشید : گاهی اوقات عبارات فهرست شده به نقاط "X-Y" اشاره می کنند که مستقیماً بر روی نمودار خود تابع قرار دارند.
یک تابع می تواند چند عدد افراطی داشته باشد؟
هیچ، 1، 2، 3، ... و غیره تا بی نهایت. به عنوان مثال، سینوس دارای حداقل و حداکثر بی نهایت است.
مهم!اصطلاح "حداکثر عملکرد" یکسان نیستعبارت " حداکثر مقدارکارکرد". به راحتی می توان متوجه شد که این مقدار فقط در یک محله محلی حداکثر است و در سمت چپ بالا "رفقای خنک تر" وجود دارد. به همین ترتیب، "حداقل تابع" با "حداقل مقدار یک تابع" یکی نیست و در نقاشی می بینیم که مقدار فقط در یک منطقه خاص حداقل است. در این راستا نقاط اکسترموم نیز نامیده می شود نقاط افراطی محلیو افراطی - افراط های محلی. آنها راه می روند و در این نزدیکی پرسه می زنند و جهانیبرادران بنابراین، هر سهمی در راس خود قرار دارد حداقل جهانییا حداکثر جهانی. علاوه بر این، من بین انواع افراط ها تمایز قائل نمی شوم و توضیح بیشتر برای اهداف آموزشی عمومی بیان می شود - صفت های اضافی "محلی"/"جهانی" نباید شما را غافلگیر کنند.
بیایید خودمان را خلاصه کنیم گشت و گذار کوچکبه تئوری با یک عکس آزمایشی: وظیفه "یافتن فواصل یکنواختی و نقاط انتهایی تابع" به چه معناست؟
عبارت شما را تشویق می کند که پیدا کنید:
- فواصل عملکرد افزایش/کاهش (غیر کاهشی، غیر افزایشی خیلی کمتر ظاهر می شود)؛
- حداکثر و/یا حداقل امتیاز (در صورت وجود). خوب، برای جلوگیری از شکست، بهتر است حداقل ها/حداکثرها را خودشان پیدا کنید ;-)
چگونه می توان همه اینها را تعیین کرد؟با استفاده از تابع مشتق!
چگونه فواصل افزایش، کاهش،
نقاط افراطی و منتهی الیه تابع؟
بسیاری از قوانین، در واقع، از قبل شناخته شده و درک شده اند درس در مورد معنای مشتق.
مشتق مماس 
این خبر خوشحال کننده را به ارمغان می آورد که عملکرد در سراسر جهان در حال افزایش است حوزه تعریف.
با کوتانژانت و مشتق آن 
وضعیت دقیقا برعکس است
آرکسین در طول بازه افزایش می یابد - مشتق در اینجا مثبت است: 
.
زمانی که تابع تعریف شده است، اما قابل تمایز نیست. با این حال، در نقطه بحرانی یک مشتق راست و یک مماس راست وجود دارد و در لبه دیگر همتایان چپ دست آنها وجود دارد.
من فکر می کنم انجام استدلال مشابه برای کسینوس قوس و مشتق آن برای شما چندان دشوار نخواهد بود.
همه موارد فوق که بسیاری از آنها هستند مشتقات جدولی، یادآوری می کنم، مستقیماً از تعاریف مشتق.
چرا یک تابع را با استفاده از مشتق آن بررسی کنید؟
برای درک بهتر نمودار این تابع چگونه است: جایی که "پایین به بالا" می رود، جایی که "بالا به پایین"، جایی که به حداقل ها و حداکثرها می رسد (اگر اصلاً برسد). همه توابع به این سادگی نیستند - در بیشتر موارد ما اصلاً در مورد نمودار یک تابع خاص ایده ای نداریم.
وقت آن است که به سراغ مثال های معنادارتر برویم و در نظر بگیریم الگوریتمی برای یافتن فواصل یکنواختی و اکسترنال یک تابع:
مثال 1
فواصل افزایش/کاهش و حداکثر تابع را بیابید
راه حل:
1) اولین قدم پیدا کردن است دامنه یک تابع، و همچنین به نقاط شکست (در صورت وجود) توجه داشته باشید. در این حالت تابع در کل خط اعداد پیوسته است و این عمل تا حدی رسمی است. اما در تعدادی از موارد، احساسات جدی در اینجا شعله ور می شود، بنابراین بیایید با این پاراگراف بدون تحقیر رفتار کنیم.
2) نکته دوم الگوریتم به دلیل است
شرط لازم برای افراط:
اگر در نقطه‌ای یک اکستروم وجود داشته باشد، یا مقدار آن وجود ندارد.
با پایان گیج شده اید؟ حداکثر تابع "مدول x". .
شرط لازم است اما کافی نیست، و عکس آن همیشه صادق نیست. بنابراین، هنوز از تساوی نتیجه نمی شود که تابع در نقطه به حداکثر یا حداقل می رسد. یک مثال کلاسیک قبلاً در بالا برجسته شده است - این یک سهمی مکعبی و نقطه بحرانی آن است.
اما هر طور که باشد، شرط لازم extremum نیاز به یافتن نقاط مشکوک را دیکته می کند. برای انجام این کار، مشتق را پیدا کنید و معادله را حل کنید:
در ابتدای مقاله اول در مورد نمودارهای تابعمن به شما گفتم که چگونه با استفاده از یک مثال به سرعت یک سهمی بسازید 
: «... مشتق اول را می گیریم و آن را با صفر برابر می کنیم: ... پس جواب معادله ما: - در این نقطه است که راس سهمی قرار می گیرد...». حالا فکر می کنم همه متوجه شده اند که چرا راس سهمی دقیقاً در این نقطه قرار دارد =) به طور کلی در اینجا باید با یک مثال مشابه شروع کنیم اما خیلی ساده است (حتی برای یک قوری). علاوه بر این، یک آنالوگ در انتهای درس در مورد وجود دارد مشتق از یک تابع. بنابراین، بیایید درجه را افزایش دهیم:
مثال 2
فواصل یکنواختی و حداکثری تابع را بیابید
این یک مثال برای تصمیم مستقل. راه حل کاملو نمونه نهایی تقریبی کار در پایان درس.
لحظه انتظار طولانی ملاقات با توابع کسری - عقلی فرا رسیده است:
مثال 3
یک تابع را با استفاده از مشتق اول کاوش کنید
توجه داشته باشید که چگونه می توان یک کار واحد را به طور متغیر فرموله کرد.
راه حل:
1) تابع در نقاطی از ناپیوستگی های بی نهایت رنج می برد.
2) ما نقاط بحرانی را تشخیص می دهیم. بیایید اولین مشتق را پیدا کنیم و آن را با صفر برابر کنیم: 
بیایید معادله را حل کنیم. کسری وقتی که صورتش باشد برابر با صفر است برابر با صفر:
بنابراین، ما سه نقطه بحرانی را دریافت می کنیم: 
3) تمام نقاط شناسایی شده را روی خط عدد رسم می کنیم و روش فاصلهما نشانه های DERIVATIV را تعریف می کنیم:
به شما یادآوری می کنم که باید مقداری از فاصله را بگیرید و مقدار مشتق را در آن محاسبه کنید 
و علامت آن را مشخص کنید. حتی شمارش نکردن، بلکه "برآورد" شفاهی سودآورتر است. به عنوان مثال، یک نقطه متعلق به بازه را در نظر می گیریم و جایگزینی را انجام می دهیم: 
. 
دو "معلوم" و یک "منهای" یک "منهای" می دهند، بنابراین، به این معنی که مشتق در کل بازه منفی است.
عمل، همانطور که می دانید، باید برای هر یک از شش بازه زمانی انجام شود. به هر حال، توجه داشته باشید که فاکتور صورت و مخرج برای هر نقطه در هر بازه ای کاملاً مثبت است، که کار را بسیار ساده می کند.
بنابراین، مشتق به ما گفت که خود تابع افزایش می یابد 
و کاهش می یابد. اتصال فواصل از همان نوع با نماد پیوستن راحت است.
در نقطه ای که تابع به حداکثر خود می رسد:
در نقطه ای که تابع به حداقل می رسد: 
به این فکر کنید که چرا مجبور نیستید مقدار دوم را دوباره محاسبه کنید ;-)
هنگام عبور از یک نقطه، مشتق علامت تغییر نمی کند، بنابراین تابع در آنجا EXTREMUM ندارد - هم کاهش می یابد و هم کاهش می یابد.
! بیایید تکرار کنیم نکته مهم : نقاط بحرانی در نظر گرفته نمی شوند - آنها حاوی یک تابع هستند مشخص نشده. بر این اساس، در اینجا در اصل هیچ افراطی نمی تواند وجود داشته باشد(حتی اگر مشتق تغییر علامت دهد).
پاسخ: تابع افزایش می یابد 
و در نقطه ای که به حداکثر تابع می رسد کاهش می یابد: 
و در نقطه – حداقل: .
آگاهی از فواصل یکنواختی و افراط، همراه با ثابت مجانبیدر حال حاضر ایده بسیار خوبی از ظاهرگرافیک تابع یک فرد با تمرین متوسط می تواند به صورت شفاهی تشخیص دهد که نمودار یک تابع دارای دو مجانب عمودی و یک مجانب مایل است. قهرمان ما اینجاست: 
یک بار دیگر سعی کنید نتایج مطالعه را با نمودار این تابع مرتبط کنید.
هیچ افراطی در نقطه بحرانی وجود ندارد، اما وجود دارد عطف نمودار(که قاعدتاً در موارد مشابه اتفاق می افتد).
مثال 4
منتهی الیه تابع را پیدا کنید
مثال 5
فواصل یکنواختی، حداکثر و مینیمم تابع را بیابید
... امروز تقریباً شبیه نوعی تعطیلات "X در مکعب" است ....
سوو، چه کسی در گالری پیشنهاد نوشیدن برای این؟ =)
هر کار دارای تفاوت های ظریف و ظرافت های فنی خاص خود است که در پایان درس در مورد آنها توضیح داده می شود.
که تغییر علامت نمی دهد، یعنی یا همیشه غیر منفی یا همیشه غیر مثبت. اگر علاوه بر این افزایش صفر نباشد، تابع فراخوانی می شود کاملا یکنواخت. تابع یکنواخت تابعی است که در یک جهت تغییر می کند.
تابع افزایش می یابد اگر ارزش بالاترآرگومان مربوط به مقدار بزرگتر تابع است. یک تابع کاهش می یابد اگر مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت داشته باشد.
تعاریف
اجازه دهید تابع داده شود
. . . .تابع افزایش یا کاهش (به شدت) یکنواخت (به شدت) یکنواخت نامیده می شود.
اصطلاحات دیگر
گاهی اوقات توابع افزایشی نامیده می شود بدون کاهشو کاهش توابع غیر افزایشی. توابع شدیداً افزایشی به سادگی افزایش و توابع اکیدا کاهشی به سادگی کاهش نامیده می شوند.
خواص توابع یکنواخت
شرایط یکنواخت بودن یک تابع
برعکس، به طور کلی، درست نیست. مشتق یک تابع کاملاً یکنواخت می تواند ناپدید شود. با این حال، مجموعه نقاطی که مشتق برابر با صفر نیست، باید در بازه چگال باشد.
به طور مشابه، در یک بازه زمانی کاهش می یابد اگر و تنها در صورتی که دو شرط زیر برآورده شوند:
مثال ها
همچنین ببینید
بنیاد ویکی مدیا 2010.
- بزاق
- راه آهن گورکی
ببینید «تابع یکنواخت» در فرهنگ‌های دیگر چیست:
عملکرد یکنواخت- یک تابع f(x) است که می تواند در یک بازه معین افزایش یابد (یعنی هر چه مقدار آرگومان در این بازه بیشتر باشد، مقدار تابع بیشتر است) یا کاهش یابد (در حالت مخالف) .....
تابع یکنواخت- تابعی که وقتی آرگومان افزایش می یابد، یا همیشه افزایش می یابد (یا حداقل کاهش نمی یابد)، یا همیشه کاهش می یابد (افزایش نمی یابد) ... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ
تابع یکنواخت- (تابع یکنواخت) تابعی که در آن با افزایش مقدار آرگومان، مقدار تابع همیشه در یک جهت تغییر می کند. بنابراین، اگر y=f(x)، برای تمام مقادیر x یا dy/dx 0، در این صورت y در حال افزایش است... ... فرهنگ لغت اقتصادی
عملکرد یکنواخت- (از یونانی monotonos monochromatic) تابعی که افزایش آن Δf(x) = f(x') f(x) برای Δx = x' x > 0 علامت تغییر نمی کند، یعنی همیشه یا همیشه غیر منفی هستند یا همیشه غیر مثبت برای بیان آن نه کاملاً دقیق، M.f. اینها توابعی هستند که در... ... دایره المعارف بزرگ شوروی
عملکرد یکنواخت- تابعی که وقتی آرگومان افزایش می یابد، یا همیشه افزایش می یابد (یا حداقل کاهش نمی یابد)، یا همیشه کاهش می یابد (افزایش نمی یابد). * * * تابع یکنواخت تابع یکنواخت، تابعی که با افزایش آرگومان، یا همیشه افزایش می یابد (یا... ... فرهنگ لغت دایره المعارفی
تابع یکنواخت- تابعی از یک متغیر که بر روی زیرمجموعه خاصی از اعداد واقعی تعریف شده است؛ افزایش عدد علامت را تغییر نمی دهد، یعنی همیشه یا همیشه غیر منفی است یا همیشه غیرمثبت. اگر به شدت بزرگتر (کمتر از) صفر باشد، M. f. به نام...... دایره المعارف ریاضی
تابع یکنواخت- تابعی که وقتی آرگومان افزایش می یابد، یا همیشه افزایش می یابد (یا حداقل کاهش نمی یابد)، یا همیشه کاهش می یابد (افزایش نمی یابد) ... علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی
دنباله یکنواختدنباله ای است که با افزایش تعداد عناصر آن کاهش نمی یابد یا برعکس افزایش نمی یابد. چنین توالی هایی اغلب در تحقیقات با آنها مواجه می شوند و تعدادی از آنها وجود دارد ویژگی های متمایز کنندهو خواص اضافی..... ... ویکی پدیا
تابع- تیم یا گروهی از افراد و ابزارها یا منابع دیگری که برای انجام یک یا چند فرآیند یا فعالیت استفاده می کنند. به عنوان مثال، پشتیبانی مشتری. این اصطلاح معنای دیگری نیز دارد: .... راهنمای مترجم فنی
تابع- 1. متغیر وابسته; 2. تناظر y=f(x) بین کمیت های متغیر که به دلیل آن هر مقدار در نظر گرفته شده مقداری x (استدلال یا متغیر مستقل) با مقدار معینی مطابقت دارد... ... فرهنگ لغت اقتصادی و ریاضی
تابع y=f(x)تماس گرفت افزایش می یابددر فاصله (الف؛ ب)، در صورت وجود x 1و x 2 x 1
نمودار یک تابع افزایشی
· تابع y = f(x)تماس گرفت در حال کاهشدر فاصله (a;b)، در صورت وجود x 1و x 2از این فاصله به گونه ای که x 1
نمودار یک تابع کاهشی
کاهش و افزایش توابع با هم یک کلاس را تشکیل می دهند یکنواختکارکرد. توابع یکنواخت تعدادی ویژگی خاص دارند.
تابع f(x)یکنواخت در بازه [ الف، ب], محدود در این بخش؛
· مجموع توابع افزایشی (کاهشی) تابع افزایشی (کاهشی) است.
· اگر تابع fافزایش (کاهش) و n- یک عدد فرد، همچنین افزایش می یابد (کاهش می یابد).
· اگر f"(x)>0برای همه xO(a,b)سپس تابع y=f(x)در بازه زمانی افزایش می یابد (الف، ب)؛
· اگر f"(x)<0 برای همه xO(a,b)سپس تابع y=f(x)در بازه زمانی کاهش می یابد (الف، ب)؛
· اگر f(x) -عملکرد پیوسته و یکنواخت روی مجموعه ایکس، سپس معادله f(x)=C، جایی که با- این ثابت ممکن است داشته باشد ایکسبیش از یک راه حل نیست؛
· اگر در حوزه تعریف معادله باشد f(x)=g(x)تابع f(x)افزایش می یابد و عملکرد g(x)کاهش می یابد، سپس معادله نمی تواند بیش از یک راه حل داشته باشد.
قضیه. (شرط کافی برای یکنواختی یک تابع). اگر پیوسته روی قطعه [ الف، ب] تابع y = f(ایکس) در هر نقطه از بازه ( الف، ب) دارای مشتق مثبت (منفی) است، سپس این تابع در بازه [ افزایش (کاهش) می یابد. الف، ب].
اثبات اجازه دهید > 0 برای همه xО(الف، ب). دو مقدار دلخواه x 2 را در نظر بگیرید > x 1،متعلق به [ الف، ب]. طبق فرمول لاگرانژ x 1<с < х 2 . (با) > 0 و x 2 - x 1 > 0, بنابراین > 0, از آنجا >، یعنی تابع f(x) در بازه [ افزایش می یابد الف، ب]. قسمت دوم قضیه نیز به روشی مشابه اثبات می شود.
قضیه 3. (نشان ضروری وجود یک تابع). اگر تابع قابل تمایز در نقطه c در=f(ایکس) در این مرحله یک اکسترموم دارد، سپس .
اثبات اجازه دهید، برای مثال، تابع در= f(ایکس) در نقطه c دارای حداکثر است. این بدان معنی است که یک همسایگی سوراخ شده از نقطه c وجود دارد که برای همه نقاط ایکساین محله راضی است f(ایکس) < f (ج), به این معنا که f(ج) بزرگترین مقدار تابع در این محله است. سپس با قضیه فرما.
مورد حداقل در نقطه c نیز به روشی مشابه اثبات می شود.
اظهار نظر. یک تابع ممکن است در نقطه‌ای که مشتق آن وجود نداشته باشد، اکستروم داشته باشد. به عنوان مثال، یک تابع در نقطه x یک حداقل دارد = 0، اگرچه وجود ندارد. نقاطی که مشتق یک تابع در آنها صفر است یا وجود ندارد، نقاط بحرانی تابع نامیده می شوند. با این حال، تابع در تمام نقاط بحرانی یک اکسترموم ندارد. به عنوان مثال، تابع y = x 3هیچ افراطی ندارد، اگرچه مشتق آن است =0.
قضیه 4. ( شواهد کافیوجود یک افراطی). اگر تابع پیوسته باشد y = f(ایکس) در تمام نقاط یک بازه معین حاوی نقطه بحرانی C (به جز، شاید برای خود نقطه) مشتق است، و اگر مشتق، هنگامی که آرگومان از چپ به راست از نقطه بحرانی C عبور می کند، علامت مثبت را تغییر می دهد. به منهای، تابع در نقطه C دارای حداکثر است، و زمانی که علامت از منفی به مثبت تغییر می کند، حداقل است.
اثبات فرض کنید c یک نقطه بحرانی باشد و مثلاً وقتی آرگومان از نقطه c می گذرد علامت مثبت به منفی را تغییر دهد. این بدان معنی است که در برخی از فاصله (ج-ه؛ ج)تابع افزایش می یابد، و در فاصله (ج؛ ج+ه)- کاهش می یابد (در ه> 0). بنابراین، در نقطه c تابع دارای حداکثر است. مورد حداقل نیز به روشی مشابه اثبات می شود.
اظهار نظر. اگر هنگام عبور آرگومان از نقطه بحرانی، مشتق علامت تغییر ندهد، تابع در این نقطه اکسترموم ندارد.
از آنجایی که تعاریف حد و پیوستگی برای تابعی از چندین متغیر عملاً با تعاریف مربوطه برای تابعی از یک متغیر منطبق است، پس برای توابع چند متغیر، تمام خصوصیات حدود و توابع پیوسته حفظ می‌شود.
©2015-2019 سایت
تمامی حقوق متعلق به نویسندگان آنها می باشد. این سایت ادعای نویسندگی ندارد، اما استفاده رایگان را فراهم می کند.
تاریخ ایجاد صفحه: 2016-02-12
اولین بار در یک دوره جبر کلاس هفتم با هم آشنا شدیم. با نگاهی به نمودار تابع، اطلاعات مربوطه را حذف کردیم: اگر با حرکت در امتداد نمودار از چپ به راست، همزمان از پایین به بالا حرکت کنیم (مثل اینکه از یک تپه بالا برویم)، سپس تابع را به در حال افزایش باشد (شکل 124). اگر از بالا به پایین حرکت کنیم (از یک تپه پایین برویم)، آنگاه تابع را کاهش می دهیم (شکل 125).
با این حال، ریاضیدانان علاقه چندانی به این روش برای مطالعه خواص یک تابع ندارند. آنها معتقدند که تعاریف مفاهیم نباید بر اساس یک طراحی باشد - نقاشی فقط باید یک یا ویژگی دیگری از یک تابع را در آن نشان دهد. گرافیک. اجازه دهید تعاریف دقیقی از مفاهیم توابع افزایش و کاهش ارائه دهیم.
تعریف 1.
تابع y = f(x) گفته می شود که در بازه X افزایش می یابد اگر از نابرابری x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
تعریف 2. تابع y = f(x) در بازه X کاهش می یابد اگر نابرابری x 1 باشد.< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует نابرابری f(x 1) > f(x 2).
در عمل، استفاده از فرمول های زیر راحت تر است:
اگر مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر تابع مطابقت داشته باشد، یک تابع افزایش می یابد.
اگر مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت داشته باشد، یک تابع کاهش می یابد.
با استفاده از این تعاریف و ویژگی های تعیین شده در § 33 نابرابری های عددی، ما قادر خواهیم بود نتیجه گیری در مورد افزایش یا کاهش توابع مطالعه شده قبلی را توجیه کنیم.
1. تابع خطی y = kx +m
اگر k > 0 باشد، تابع در کل افزایش می یابد (شکل 126). اگر ک< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
اثبات فرض کنید f(x) = kx +m. اگر x 1< х 2 и k >اوه، پس با توجه به خاصیت 3 نابرابری عددی (نگاه کنید به § 33)، kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
بنابراین، از نابرابری x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. خطیتوابع y = kx+ m.
اگر x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2، و با توجه به ویژگی 2، از kx 1 > kx 2 نتیجه می شود که kx 1 + m> kx 2 + i.e.
بنابراین، از نابرابری x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2). این به معنای کاهش تابع y = f(x) است. تابع خطی y = kx + m.
اگر یک تابع در کل دامنه تعریف خود افزایش (کاهش) داشته باشد، می توان آن را افزایش (کاهش) بدون نشان دادن بازه نامید. به عنوان مثال، در مورد تابع y = 2x - 3 می توان گفت که در طول کل خط اعداد در حال افزایش است، اما می توان آن را به طور خلاصه تر گفت: y = 2x - 3 - افزایش می یابد.
تابع.
2. تابع y = x2
1. تابع y = x 2 را روی پرتو در نظر بگیرید. بیایید دو عدد غیر مثبت x 1 و x 2 را طوری در نظر بگیریم که x 1 باشد< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. از آنجایی که اعداد - x 1 و - x 2 غیر منفی هستند، با مجذور کردن دو طرف آخرین نامساوی، نامعادلی به همان معنی به دست می‌آوریم (-x 1) 2 > (-x 2) 2، یعنی. این بدان معنی است که f(x 1) >f(x 2).
بنابراین، از نابرابری x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2).
بنابراین، تابع y = x 2 در پرتو کاهش می یابد (- 00، 0] (شکل 128).
1. تابعی را در بازه (0، + 00) در نظر بگیرید.
اجازه دهید x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f (x 2).
بنابراین، از نابرابری x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f (x 2). این بدان معنی است که عملکرد در پرتو باز (0، + 00) کاهش می یابد (شکل 129).
2. تابعی را در بازه (-oo، 0) در نظر بگیرید. اجازه دهید x 1< х 2 , х 1 и х 2 - اعداد منفی. سپس - x 1 > - x 2، و هر دو طرف آخرین نامساوی اعداد مثبت هستند، و بنابراین (ما دوباره از نابرابری ثابت شده در مثال 1 از § 33 استفاده کردیم). بعد داریم، از کجا می‌رسیم.
بنابراین، از نابرابری x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) یعنی عملکرد در پرتو باز کاهش می یابد (- 00 , 0)
معمولاً اصطلاحات "عملکرد افزایشی" و "عملکرد کاهشی" با هم ترکیب می شوند نام متداولتابع یکنواخت و مطالعه تابع افزایش و کاهش را مطالعه تابع برای یکنواختی می نامند.
راه حل.
1) تابع y = 2x2 را رسم می کنیم و شاخه این سهمی را در x می گیریم< 0 (рис. 130).
2) قسمت آن را روی قطعه ساخته و انتخاب کنید (شکل 131).
3) بیایید یک هذلولی بسازیم و قسمت آن را روی پرتو باز (4، + 00) انتخاب کنیم (شکل 132).
4) اجازه دهید هر سه "قطعه" را در یک سیستم مختصات به تصویر بکشیم - این نمودار تابع y = f(x) است (شکل 133).
بیایید نمودار تابع y = f(x) را بخوانیم.
1. دامنه تعریف تابع کل خط اعداد است.
2. y = 0 در x = 0; y > 0 برای x > 0.
3. تابع روی پرتو کاهش می‌یابد (-oo، 0]، روی قطعه افزایش می‌یابد، در پرتو کاهش می‌یابد، روی قطعه به سمت بالا محدب است، روی پرتو به سمت پایین محدب است)