مثلث حاد چه شکلی است؟ مثلث. دروس کامل - هایپر مارکت دانش

امروز به کشور هندسه می رویم که در آنجا با آن آشنا می شویم انواع مختلفمثلثها.

در نظر گرفتن اشکال هندسیو "اضافی" را در میان آنها بیابید (شکل 1).

برنج. 1. برای مثال تصویر

می بینیم که شکل های شماره 1، 2، 3، 5 چهار ضلعی هستند. هر یک از آنها نام خود را دارند (شکل 2).

برنج. 2. چهارضلعی

این بدان معنی است که شکل "اضافی" یک مثلث است (شکل 3).

برنج. 3. برای مثال تصویرسازی

مثلث شکلی است که از سه نقطه تشکیل شده است که روی یک خط قرار نمی گیرند و سه قسمت که این نقاط را به صورت جفت به هم متصل می کنند.

نقاط نامیده می شود رئوس مثلث، بخش - او مهمانی. اضلاع مثلث تشکیل می شود در رأس یک مثلث سه زاویه وجود دارد.

ویژگی های اصلی مثلث عبارتند از سه ضلع و سه گوشهبا توجه به اندازه زاویه، مثلث ها هستند حاد، مستطیل و منفرد.

اگر هر سه زاویه آن تند، یعنی کمتر از 90 درجه باشد، یک مثلث حاد-زاویه نامیده می شود (شکل 4).

برنج. 4. مثلث حاد

یک مثلث مستطیل نامیده می شود که یکی از زوایای آن 90 درجه باشد (شکل 5).

برنج. 5. مثلث راست

اگر مثلثی منفرد نامیده می شود که یکی از زوایای آن منفرد باشد، یعنی بیش از 90 درجه باشد (شکل 6).

برنج. 6. مثلث مات

بر اساس تعداد اضلاع مساوی، مثلث ها متساوی الاضلاع، متساوی الساقین، مقیاسی هستند.

مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو ضلع آن برابر باشد (شکل 7).

برنج. 7. مثلث متساوی الساقین

این طرف ها نامیده می شوند جانبی، سمت سوم - اساس. در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده با هم برابرند.

مثلث های متساوی الساقین وجود دارد حاد و مبهم(شکل 8) .

برنج. 8. مثلث متساوی الساقین حاد و منفرد

مثلث متساوی الاضلاع مثلثی است که هر سه ضلع آن برابر باشند (شکل 9).

برنج. 9. مثلث متساوی الاضلاع

در مثلث متساوی الاضلاع همه زوایا برابرند. مثلث های متساوی الاضلاعهمیشه حاد زاویه دار

اسکلن مثلثی است که هر سه ضلع آن دارای طول های متفاوتی هستند (شکل 10).

برنج. 10. مثلث Scalene

کار را کامل کنید. این مثلث ها را به سه گروه تقسیم کنید (شکل 11).

برنج. 11. تصویر برای کار

ابتدا بیایید با توجه به اندازه زوایا توزیع کنیم.

مثلث های حاد: شماره 1، شماره 3.

مثلث قائم الزاویه: شماره 2، شماره 6.

مثلث های منفرد: شماره 4، شماره 5.

ما مثلث های مشابه را با توجه به تعداد اضلاع مساوی به گروه ها تقسیم می کنیم.

مثلث های مقیاس: شماره 4، شماره 6.

مثلث های متساوی الساقین: شماره 2، شماره 3، شماره 5.

مثلث متساوی الاضلاع: شماره 1.

به تصاویر نگاه کنید.

به این فکر کنید که هر مثلث از چه تکه ای سیم ساخته شده است (شکل 12).

برنج. 12. تصویر برای کار

شما می توانید اینگونه فکر کنید.

اولین تکه سیم به سه قسمت مساوی تقسیم می شود، بنابراین می توانید از آن یک مثلث متساوی الاضلاع بسازید. او در تصویر سوم نشان داده شده است.

قطعه دوم سیم به سه قسمت مختلف تقسیم می شود، بنابراین می توان از آن برای ساخت استفاده کرد مثلث اسکالن. ابتدا در تصویر نشان داده شده است.

قطعه سوم سیم به سه قسمت تقسیم می شود که دو قسمت آن دارای طول یکسان هستند، یعنی می توان از آن یک مثلث متساوی الساقین ساخت. در تصویر او دوم نشان داده شده است.

امروز در کلاس با انواع مثلث آشنا شدیم.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. M.I. موریو، M.A. بانتووا و دیگران.ریاضیات: کتاب درسی. کلاس سوم: در 2 قسمت، قسمت 1. - م.: "روشنگری"، 2012.
2. M.I. موریو، M.A. بانتووا و دیگران.ریاضیات: کتاب درسی. کلاس سوم: در 2 قسمت، قسمت 2. - م.: "روشنگری"، 2012.
3. M.I. مورو. دروس ریاضی: رهنمودهابرای معلم کلاس سوم. - م.: آموزش و پرورش، 2012.
4. سند تنظیمی نظارت و ارزیابی نتایج یادگیری. - م.: "روشنگری"، 2011.
5. "مدرسه روسیه": برنامه هایی برای دبستان. - م.: "روشنگری"، 2011.
6. S.I. ولکووا ریاضی: کار تستی. کلاس سوم. - م.: آموزش و پرورش، 2012.
7. V.N. رودنیتسکایا. تست ها - م.: "امتحان"، 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

مشق شب

1. عبارات را کامل کنید.

الف) مثلث شکلی است که از ... تشکیل شده است که روی یک خط قرار ندارند و ... که این نقاط را به صورت جفت به هم متصل می کنند.

ب) نقاط نامیده می شوند … ، بخش - او … . اضلاع مثلث در رأس مثلث تشکیل می شوند ….

ج) با توجه به اندازه زاویه، مثلث ها ...، ...، ... هستند.

د) بر اساس تعداد اضلاع مساوی، مثلث ها عبارتند از ... , ... , ... .

2. رسم کنید

آ) راست گوشه;

ب) مثلث حاد;

ج) مثلث منفرد؛

د) مثلث متساوی الاضلاع؛

ه) مثلث اسکلن;

ه) مثلث متساوی الساقین.

3. یک تکلیف در مورد موضوع درس برای دوستان خود ایجاد کنید.

هنگام مطالعه ریاضی، دانش آموزان شروع به آشنایی با انواع اشکال هندسی می کنند. امروز در مورد انواع مثلث صحبت خواهیم کرد.

تعریف

به اشکال هندسی که از سه نقطه تشکیل شده اند که در یک خط قرار ندارند مثلث می گویند.

قطعاتی که نقاط را به هم متصل می کنند ضلع و نقاط را رئوس می نامند. رئوس با بزرگ نشان داده می شوند با حروف لاتینبه عنوان مثال: A, B, C.

طرفین با نام دو نقطه ای که از آن تشکیل شده اند - AB، BC، AC مشخص می شوند. متقاطع، اضلاع زاویه تشکیل می دهند. سمت پایین پایه شکل در نظر گرفته می شود.

برنج. 1. مثلث ABC.

انواع مثلث

مثلث ها بر اساس زاویه و ضلع طبقه بندی می شوند. هر نوع مثلث ویژگی های خاص خود را دارد.

سه نوع مثلث در گوشه ها وجود دارد:

• حاد زاویه دار؛
• مستطیل شکل؛
• کج زاویه دار

همه زوایا حاد زاویه دارمثلث ها حاد هستند، یعنی درجه هر یک از 90 0 بیشتر نیست.

مستطیل شکلیک مثلث شامل یک زاویه قائمه است. دو زاویه دیگر همیشه حاد خواهند بود، زیرا در غیر این صورت مجموع زوایای مثلث از 180 درجه تجاوز می کند و این غیرممکن است. طرفی که مقابل است زاویه راست، هیپوتنوز نامیده می شود و دو پای دیگر. هیپوتونوس همیشه بزرگتر از ساق است.

دیر فهممثلث شامل یک زاویه منفرد است. یعنی زاویه ای بیشتر از 90 درجه. دو زاویه دیگر در چنین مثلثی تند خواهند بود.

برنج. 2. انواع مثلث در گوشه ها.

مثلث فیثاغورثی مستطیلی است که اضلاع آن 3، 4، 5 باشد.

علاوه بر این، ضلع بزرگتر هیپوتنوز است.

از چنین مثلث هایی اغلب برای ساختن استفاده می شود کارهای سادهدر هندسه بنابراین، به یاد داشته باشید: اگر دو ضلع یک مثلث برابر با 3 باشد، ضلع سوم قطعاً 5 خواهد بود. این محاسبات را ساده می کند.

انواع مثلث در اضلاع:

• متساوی الاضلاع؛
• متساوی الساقین;
• همه کاره.

متساوی الاضلاعمثلث مثلثی است که همه اضلاع آن برابر باشند. تمام زوایای چنین مثلثی برابر با 60 0 است، یعنی همیشه حاد است.

متساوی الساقینمثلث - مثلثی که فقط دو ضلع آن برابر است. این اضلاع را جانبی و سومی را پایه می نامند. علاوه بر این، زوایای قاعده یک مثلث متساوی الساقین برابر و همیشه تیز هستند.

همه کارهیا مثلث دلخواه مثلثی است که تمام طول ها و تمام زوایا با هم برابر نیستند.

اگر هیچ توضیحی در مورد شکل در مسئله وجود نداشته باشد، به طور کلی پذیرفته شده است که ما در مورددر مورد یک مثلث دلخواه

برنج. 3. انواع مثلث در اضلاع.

مجموع تمام زوایای یک مثلث، صرف نظر از نوع آن، 1800 است.

در مقابل زاویه بزرگتر، ضلع بزرگتر قرار دارد. و همچنین طول هر طرف همیشه است کمتر از مقداردو طرف دیگر آن این ویژگی ها با قضیه نابرابری مثلث تایید می شوند.

مفهومی از مثلث طلایی وجود دارد. این یک مثلث متساوی الساقین است که دو ضلع آن با قاعده متناسب و برابر با عدد معینی است. در چنین شکلی، زاویه ها با نسبت 2:2:1 متناسب هستند.

وظیفه:

آیا مثلثی وجود دارد که اضلاع آن 6 سانتی متر، 3 سانتی متر، 4 سانتی متر باشد؟

راه حل:

برای راه حل ها از این تکلیفباید از نابرابری a استفاده کنید

ما چه آموخته ایم؟

از این مطالب درس ریاضی پنجم دبستان فهمیدیم که مثلث ها بر اساس اضلاع و اندازه زوایایشان طبقه بندی می شوند. مثلث ها دارای ویژگی های خاصی هستند که می توان از آنها برای حل مسائل استفاده کرد.

نامگذاری های استاندارد

مثلث با رئوس آ, بو سیبه عنوان تعیین شده است (شکل را ببینید). مثلث سه ضلع دارد:

طول اضلاع یک مثلث با حروف کوچک لاتین (a, b, c) نشان داده می شود:

یک مثلث دارای زوایای زیر است:

مقادیر زاویه در رئوس مربوطه به طور سنتی با حروف یونانی (α، β، γ) نشان داده می شود.

نشانه های تساوی مثلث ها

یک مثلث در صفحه اقلیدسی را می توان به طور منحصر به فرد (تا همخوانی) توسط سه گانه عناصر اساسی زیر تعیین کرد:

1. a، b، γ (برابری در دو طرف و زاویه قرار گرفته بین آنها).
2. a، β، γ (برابری در ضلع و دو زاویه مجاور)؛
3. الف، ب، ج (برابری در سه طرف).

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه:

1. در امتداد ساق و هیپوتانوز؛
2. روی دو پا؛
3. در امتداد ساق و زاویه حاد؛
4. در امتداد هیپوتنوز و زاویه حاد.

برخی از نقاط مثلث "جفت" هستند. به عنوان مثال، دو نقطه وجود دارد که همه اضلاع آن با زاویه 60 درجه یا زاویه 120 درجه قابل مشاهده است. آنها نامیده می شوند نقاط توریچلی. همچنین دو نقطه وجود دارد که برآمدگی آنها روی اضلاع در رأس یک مثلث منظم قرار دارد. این - نقاط آپولونیوس. امتیاز و مانند آن نامیده می شود نقاط بروکارد.

مستقیم

در هر مثلثی، مرکز ثقل، مرکز قائم و مرکز دایره بر روی یک خط مستقیم قرار دارند که به نام خط اویلر.

خط مستقیمی که از مرکز دایره و نقطه لموئین می گذرد نامیده می شود محور بروکارت. نقاط آپولونیوس روی آن قرار دارد. نقطه Torricelli و نقطه Lemoine نیز در یک خط قرار دارند. قاعده نیمسازهای خارجی زوایای مثلث روی یک خط مستقیم قرار دارند که به نام محور نیمسازهای خارجی. نقاط تلاقی خطوط حاوی اضلاع یک مثلث با خطوط حاوی اضلاع مثلث نیز روی همان خط قرار دارند. این خط نامیده می شود محور متعامد، بر خط مستقیم اویلر عمود است.

اگر نقطه ای از دایره دایره مثلث بگیریم، برآمدگی های آن روی اضلاع مثلث روی همان خط مستقیم قرار می گیرد که به نام سیمسون مستقیم استاین نقطه خطوط سیمسون از نقاط کاملاً متضاد عمود هستند.

مثلثها

• مثلثی با رئوس در قاعده های کشیده شده از یک نقطه معین نامیده می شود مثلث سئویناین نقطه
• مثلثی با رئوس در برآمدگی یک نقطه معین روی اضلاع نامیده می شود چمنیا مثلث پدالاین نقطه
• مثلثی که رئوس آن در دومین نقطه تلاقی خطوط کشیده شده از رئوس و نقطه داده شده با دایره محصور شده نامیده می شود. مثلث محیطی. مثلث محیطی شبیه مثلث چمنی است.

حلقه ها

• دایره حکاکی شده- دایره ای که هر سه ضلع مثلث را لمس می کند. او تنها است. مرکز دایره محاطی نامیده می شود در مرکز.
• حول دایره- دایره ای که از هر سه رأس مثلث می گذرد. دایره محدود نیز منحصر به فرد است.
• حلقه بزنید- دایره ای که یک طرف مثلث و ادامه دو ضلع دیگر را لمس می کند. سه دایره از این قبیل در یک مثلث وجود دارد. مرکز رادیکال آنها مرکز دایره محاطی مثلث میانی است که به آن می گویند نکته اسپایکر.

نقاط وسط سه ضلع یک مثلث، پایه های سه ارتفاع آن و وسط سه قسمتی که راس آن را به مرکز قائم متصل می کنند، روی یک دایره قرار دارند که به آن می گویند. دایره نه نقطه اییا دایره اویلر. مرکز دایره نه نقطه ای روی خط اویلر قرار دارد. یک دایره نه نقطه ای یک دایره محاطی و سه دایره دور را لمس می کند. نقطه مماس بین دایره محاط شده و دایره نه نقطه نامیده می شود نقطه فویرباخ. اگر از هر رأس به سمت بیرون مثلث روی خطوط مستقیمی که اضلاع را شامل می شود، ارتزهایی مساوی با اضلاع مقابل قرار دهیم، شش نقطه به دست آمده روی همان دایره قرار می گیرند - دایره کانوی. سه دایره را می توان در هر مثلث به گونه ای حک کرد که هر یک از آنها دو ضلع مثلث و دو دایره دیگر را لمس کنند. چنین حلقه هایی نامیده می شوند دایره های مالفاتی. مرکز دایره های محصور شش مثلثی که مثلث به وسط آنها تقسیم می شود روی یک دایره قرار دارد که به آن می گویند. دور لامون.

یک مثلث دارای سه دایره است که دو ضلع مثلث و دایره دایره را لمس می کنند. چنین حلقه هایی نامیده می شوند نیمه کتیبه اییا دایره های Verrier. قطعاتی که نقاط مماس دایره های وریر را به دایره دایره ای متصل می کنند در یک نقطه به نام نکته وریر. به عنوان مرکز یک همگنی عمل می کند که یک دایره را به یک دایره محاط تبدیل می کند. نقاط تماس دایره های Verrier با اضلاع روی یک خط مستقیم قرار دارند که از مرکز دایره محاطی می گذرد.

قطعاتی که نقاط مماس دایره محاطی را به رئوس متصل می کنند در یک نقطه به نام نقطه گرگونو بخش هایی که رئوس را با نقاط تماس متصل می کنند حلقه می زند- V نقطه ناگل.

بیضی ها، سهمی ها و هذلولی ها

مخروطی کتیبه (بیضی) و پرسپکتیو آن

تعداد نامتناهی مخروط (بیضی، سهمی یا هذلولی) را می توان در یک مثلث حک کرد. اگر یک مخروط دلخواه را در یک مثلث حک کنیم و نقاط مماس را با رئوس مخالف به هم وصل کنیم، آنگاه خطوط مستقیم حاصل در یک نقطه قطع می شوند که به آن می گویند. چشم اندازتختخواب برای هر نقطه ای از هواپیما که در یک طرف یا در امتداد آن قرار ندارد، یک مخروط حکاکی شده با یک چشم انداز در این نقطه وجود دارد.

بیضی اشتاینر توصیف شده و سئوین ها از کانون های آن عبور می کنند

شما می توانید یک بیضی را در یک مثلث حک کنید که اضلاع را در وسط لمس می کند. چنین بیضی نامیده می شود بیضی اشتاینر حکاکی شده است(پرسپکتیو آن مرکز مثلث خواهد بود). بیضی محصور که خطوطی را که از رئوس موازی با اضلاع عبور می کنند لمس می کند، نامیده می شود. توسط بیضی اشتاینر توصیف شده است. اگر یک مثلث را با استفاده از تبدیل افین ("کول") به یک مثلث منتظم تبدیل کنیم، بیضی اشتاینر محاط شده و محاط شده آن به یک دایره محاط شده و محصور تبدیل می شود. خطوط Chevian که از طریق کانون های بیضی اشتاینر توصیف شده (نقاط اسکوتین) کشیده شده اند برابر هستند (قضیه اسکوتین). از بین تمام بیضی های توصیف شده، بیضی اشتاینر توصیف شده دارای کمترین مساحت است بزرگترین منطقهدارای یک بیضی اشتاینر است.

بیضی بروکارد و تماشاگر آن - نقطه لموئین

بیضی با کانون در نقاط بروکارد نامیده می شود بیضی بروکارد. چشم انداز آن نقطه Lemoine است.

ویژگی های سهمی محاطی

سهمی کیپرت

چشم انداز سهمی های محاط شده بر روی بیضی توصیف شده اشتاینر نهفته است. کانون یک سهمی محاطی شده روی دایره دایره قرار دارد و جهاز از مرکز متعامد عبور می کند. سهمی که در یک مثلث حک شده و جهت اویلر به عنوان خط مستقیم آن وجود دارد، نامیده می شود. سهمی کیپرت. چشم انداز آن چهارمین نقطه تلاقی دایره محصور و بیضی استاینر محدود است که به نام نقطه اشتاینر.

هذلولی کیپرت

اگر هذلولی توصیف شده از نقطه تقاطع ارتفاعات عبور کند، متساوی الاضلاع است (یعنی مجانب آن عمود هستند). نقطه تلاقی مجانب هذلولی متساوی الاضلاع روی دایره نه نقطه قرار دارد.

تحولات

اگر خطوطی که از رئوس عبور می کنند و نقطه ای که در طرفین قرار ندارد و امتداد آنها نسبت به نیمسازهای مربوطه منعکس می شود، تصاویر آنها نیز در یک نقطه قطع می شود که به آن می گویند. مزدوج همساناصلی (اگر نقطه روی دایره محدود قرار داشته باشد، خطوط حاصل موازی خواهند بود). بسیاری از جفت نقاط قابل توجه به صورت متقابل مزدوج هستند: مرکز و مرکز متعامد، مرکز و نقطه Lemoine، نقاط Brocard. نقاط آپولونیوس به صورت همسان با نقاط توریچلی مزدوج هستند و مرکز دایره محاطی به صورت همسان با خود مزدوج است. تحت عمل صرف همگونی، خطوط مستقیم به مخروط های محدود تبدیل می شوند و مخروط های محدود به خطوط مستقیم. بنابراین، هذلولی کیپرت و محور بروکارد، هذلولی جنزابک و خط مستقیم اویلر، هذلولی فویرباخ و خط مراکز دایره های محاط شده و محاط شده به صورت هم ضلعی مزدوج هستند. دایره های مثلث نقاط مزدوج همسان بر هم منطبق هستند. کانون های بیضی های محاط شده به صورت هم ضلعی مزدوج هستند.

اگر به جای یک سئوین متقارن، یک سون را انتخاب کنیم که قاعده آن از وسط ضلع به اندازه قاعده ی اصلی فاصله داشته باشد، آنگاه این گونه ها نیز در یک نقطه قطع می شوند. تبدیل حاصل نامیده می شود کونژوگاسیون ایزوتومی. همچنین خطوط مستقیم را به مخروط های توصیف شده تبدیل می کند. نقاط Gergonne و Nagel از نظر ایزوتومی مزدوج هستند. تحت تبدیل های آفین، نقاط مزدوج ایزوتومی به نقاط مزدوج ایزوتومی تبدیل می شوند. با صرف ایزوتومی، بیضی اشتاینر توصیف شده به خط مستقیم بی نهایت دور می رود.

اگر در قسمت‌هایی که اضلاع مثلث از دایره بریده شده‌اند، دایره‌هایی را که اضلاع آن‌ها را لمس می‌کنند، در پایه‌های سیون‌ها که از نقطه‌ای معین کشیده شده‌اند، می‌نویسیم و سپس نقاط مماس این دایره‌ها را با راس مخالف به دایره مدور متصل می‌کنیم. سپس چنین خطوط مستقیمی در یک نقطه قطع می شوند. تبدیل صفحه ای که نقطه اصلی را با نقطه حاصل مطابقت دهد نامیده می شود تبدیل همدوره ای. ترکیب مزدوج های ایزوگونال و ایزوتومی ترکیب یک تبدیل همسان دایره ای با خود است. این ترکیب یک تبدیل تصویری است که اضلاع مثلث را در جای خود رها می کند و محور نیمسازهای خارجی را به یک خط مستقیم در بی نهایت تبدیل می کند.

اگر اضلاع یک مثلث شوین را در یک نقطه مشخص ادامه دهیم و نقاط تقاطع آنها را با اضلاع مربوطه در نظر بگیریم، آنگاه نقاط تقاطع حاصل روی یک خط مستقیم قرار می گیرند که به نام قطبی سه خطینقطه شروع. محور ارتوسنتریک قطب سه خطی مرکز متعامد است. قطب سه خطی مرکز دایره محاطی، محور نیمسازهای خارجی است. قطب‌های سه‌خطی نقاطی که روی یک مخروط محدود قرار دارند در یک نقطه قطع می‌شوند (برای یک دایره محصور این نقطه لموئین است و برای یک بیضی اشتاینر محصور شده مرکز است). ترکیب یک مزدوج هم ضلعی (یا ایزوتومی) و یک قطب سه خطی یک تبدیل دوگانه است (اگر یک نقطه به صورت ایزوگونال (ایزوتومی) به یک نقطه مزدوج روی قطب سه خطی یک نقطه قرار گیرد، پس قطب سه خطی یک نقطه به صورت همسان (ایزوتومی) مزدوج به نقطه ای که روی قطب سه خطی یک نقطه قرار دارد).

مکعبها

نسبت ها در یک مثلث

توجه داشته باشید:در این بخش، طول سه ضلع مثلث، و زوایایی هستند که به ترتیب در مقابل این سه ضلع قرار دارند (زوایای مخالف).

نابرابری مثلثی

در یک مثلث غیر منحط، مجموع طول دو ضلع آن است طولانی تراز طرف سوم، در منحط - برابر. به عبارت دیگر، طول اضلاع یک مثلث با نابرابری های زیر مرتبط است:

نابرابری مثلث یکی از بدیهیات متریک است.

قضیه مجموع زاویه مثلث

قضیه سینوس ها

,

که در آن R شعاع دایره ای است که به دور مثلث محصور شده است. از این قضیه برمی آید که اگر الف< b < c, то α < β < γ.

قضیه کسینوس

قضیه مماس

نسبت های دیگر

نسبت های متریک در یک مثلث برای:

حل مثلث

محاسبه اضلاع و زوایای مجهول مثلث بر اساس اضلاع شناخته شده در طول تاریخ "حل مثلث" نامیده می شود. از قضایای مثلثاتی کلی فوق استفاده می شود.

مساحت یک مثلث

موارد خاص علامت گذاری

برای منطقه نابرابری های زیر معتبر است:

محاسبه مساحت مثلث در فضا با استفاده از بردارها

رئوس مثلث در نقاط , , .

بیایید بردار مساحت را معرفی کنیم. طول این بردار برابر با مساحت مثلث است و نسبت به صفحه مثلث عادی است:

اجازه دهید ما را تنظیم کنیم، که در آن،، پیش بینی های مثلث بر روی هواپیماهای مختصات هستند. که در آن

و به همین ترتیب

مساحت مثلث است.

یک جایگزین این است که طول اضلاع را محاسبه کنید (با استفاده از قضیه فیثاغورث) و سپس با استفاده از فرمول هرون.

قضایای مثلث

قضیه دزارگ: اگر دو مثلث پرسپکتیو باشند (خطوطی که از رئوس متناظر مثلث ها می گذرند در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند)، اضلاع متناظر آنها در همان خط قطع می شوند.

قضیه سوندا: اگر دو مثلث پرسپکتیو و متعامد باشند (عمودهایی که از رئوس یک مثلث به اضلاع مقابل رئوس متناظر مثلث کشیده شده اند و بالعکس) هر دو مرکز ارثولوژی (نقاط تلاقی این عمودها) و مرکز پرسپکتیو روی یک خط مستقیم، عمود بر محور پرسپکتیو قرار دارد (خط مستقیم از قضیه دزارگ).

امروز به کشور هندسه می رویم که در آنجا با انواع مثلث ها آشنا می شویم.

اشکال هندسی را در نظر بگیرید و شکل "اضافی" را در میان آنها بیابید (شکل 1).

برنج. 1. برای مثال تصویر

می بینیم که شکل های شماره 1، 2، 3، 5 چهار ضلعی هستند. هر یک از آنها نام خود را دارند (شکل 2).

برنج. 2. چهارضلعی

این بدان معنی است که شکل "اضافی" یک مثلث است (شکل 3).

برنج. 3. برای مثال تصویرسازی

مثلث شکلی است که از سه نقطه تشکیل شده است که روی یک خط قرار نمی گیرند و سه قسمت که این نقاط را به صورت جفت به هم متصل می کنند.

نقاط نامیده می شود رئوس مثلث، بخش - او مهمانی. اضلاع مثلث تشکیل می شود در رأس یک مثلث سه زاویه وجود دارد.

ویژگی های اصلی مثلث عبارتند از سه ضلع و سه گوشهبا توجه به اندازه زاویه، مثلث ها هستند حاد، مستطیل و منفرد.

اگر هر سه زاویه آن تند، یعنی کمتر از 90 درجه باشد، یک مثلث حاد-زاویه نامیده می شود (شکل 4).

برنج. 4. مثلث حاد

یک مثلث مستطیل نامیده می شود که یکی از زوایای آن 90 درجه باشد (شکل 5).

برنج. 5. مثلث راست

اگر مثلثی منفرد نامیده می شود که یکی از زوایای آن منفرد باشد، یعنی بیش از 90 درجه باشد (شکل 6).

برنج. 6. مثلث مات

بر اساس تعداد اضلاع مساوی، مثلث ها متساوی الاضلاع، متساوی الساقین، مقیاسی هستند.

مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو ضلع آن برابر باشد (شکل 7).

برنج. 7. مثلث متساوی الساقین

این طرف ها نامیده می شوند جانبی، سمت سوم - اساس. در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده با هم برابرند.

مثلث های متساوی الساقین وجود دارد حاد و مبهم(شکل 8) .

برنج. 8. مثلث متساوی الساقین حاد و منفرد

مثلث متساوی الاضلاع مثلثی است که هر سه ضلع آن برابر باشند (شکل 9).

برنج. 9. مثلث متساوی الاضلاع

در مثلث متساوی الاضلاع همه زوایا برابرند. مثلث های متساوی الاضلاعهمیشه حاد زاویه دار

اسکلن مثلثی است که هر سه ضلع آن دارای طول های متفاوتی هستند (شکل 10).

برنج. 10. مثلث Scalene

کار را کامل کنید. این مثلث ها را به سه گروه تقسیم کنید (شکل 11).

برنج. 11. تصویر برای کار

ابتدا بیایید با توجه به اندازه زوایا توزیع کنیم.

مثلث های حاد: شماره 1، شماره 3.

مثلث قائم الزاویه: شماره 2، شماره 6.

مثلث های منفرد: شماره 4، شماره 5.

ما مثلث های مشابه را با توجه به تعداد اضلاع مساوی به گروه ها تقسیم می کنیم.

مثلث های مقیاس: شماره 4، شماره 6.

مثلث های متساوی الساقین: شماره 2، شماره 3، شماره 5.

مثلث متساوی الاضلاع: شماره 1.

به تصاویر نگاه کنید.

به این فکر کنید که هر مثلث از چه تکه ای سیم ساخته شده است (شکل 12).

برنج. 12. تصویر برای کار

شما می توانید اینگونه فکر کنید.

اولین تکه سیم به سه قسمت مساوی تقسیم می شود، بنابراین می توانید از آن یک مثلث متساوی الاضلاع بسازید. او در تصویر سوم نشان داده شده است.

قطعه دوم سیم به سه قسمت مختلف تقسیم می شود، بنابراین می توان از آن برای ساختن مثلث اسکلن استفاده کرد. ابتدا در تصویر نشان داده شده است.

قطعه سوم سیم به سه قسمت تقسیم می شود که دو قسمت آن دارای طول یکسان هستند، یعنی می توان از آن یک مثلث متساوی الساقین ساخت. در تصویر او دوم نشان داده شده است.

امروز در کلاس با انواع مثلث آشنا شدیم.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. M.I. موریو، M.A. بانتووا و دیگران.ریاضیات: کتاب درسی. کلاس سوم: در 2 قسمت، قسمت 1. - م.: "روشنگری"، 2012.
2. M.I. موریو، M.A. بانتووا و دیگران.ریاضیات: کتاب درسی. کلاس سوم: در 2 قسمت، قسمت 2. - م.: "روشنگری"، 2012.
3. M.I. مورو. دروس ریاضی: توصیه های روش شناختی برای معلمان. کلاس سوم. - م.: آموزش و پرورش، 2012.
4. سند تنظیمی نظارت و ارزیابی نتایج یادگیری. - م.: "روشنگری"، 2011.
5. "مدرسه روسیه": برنامه های مدرسه ابتدایی. - م.: "روشنگری"، 2011.
6. S.I. ولکووا ریاضی: کار تستی. کلاس سوم. - م.: آموزش و پرورش، 2012.
7. V.N. رودنیتسکایا. تست ها - م.: "امتحان"، 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

مشق شب

1. عبارات را کامل کنید.

الف) مثلث شکلی است که از ... تشکیل شده است که روی یک خط قرار ندارند و ... که این نقاط را به صورت جفت به هم متصل می کنند.

ب) نقاط نامیده می شوند … ، بخش - او … . اضلاع مثلث در رأس مثلث تشکیل می شوند ….

ج) با توجه به اندازه زاویه، مثلث ها ...، ...، ... هستند.

د) بر اساس تعداد اضلاع مساوی، مثلث ها عبارتند از ... , ... , ... .

2. رسم کنید

الف) مثلث قائم الزاویه؛

ب) مثلث حاد؛

ج) مثلث منفرد؛

د) مثلث متساوی الاضلاع؛

ه) مثلث اسکلن;

ه) مثلث متساوی الساقین.

3. یک تکلیف در مورد موضوع درس برای دوستان خود ایجاد کنید.

علم هندسه به ما می گوید که مثلث، مربع و مکعب چیست. که در دنیای مدرنهمه بدون استثنا در مدارس مطالعه می کنند. همچنین علمی که مستقیماً بررسی می کند که مثلث چیست و چه ویژگی هایی دارد مثلثات است. او با جزئیات تمام پدیده های مربوط به داده ها را بررسی می کند.ما در مقاله خود در مورد اینکه مثلث امروز چیست صحبت خواهیم کرد. انواع آنها و همچنین برخی از قضایای مرتبط با آنها در زیر توضیح داده خواهد شد.

مثلث چیست؟ تعریف

این یک چند ضلعی تخت است. همانطور که از نامش مشخص است دارای سه گوشه است. همچنین دارای سه ضلع و سه رأس است که اولی آنها پاره و دومی نقطه هستند. با دانستن اینکه دو زاویه برابر است، می توانید سومی را با کم کردن مجموع دو زاویه اول از عدد 180 پیدا کنید.

چه نوع مثلث هایی وجود دارد؟

آنها را می توان بر اساس معیارهای مختلف طبقه بندی کرد.

اول از همه، آنها به زاویه حاد، زاویه باز و مستطیل تقسیم می شوند. اولین ها دارند گوشه های تیزیعنی آنهایی که مساوی کمتر از 90 درجه هستند. در زوایای منفرد یکی از زوایای منفرد است یعنی یکی که مساوی بیش از 90 درجه باشد دو زاویه دیگر حاد است. مثلث های حاد شامل مثلث های متساوی الاضلاع نیز می شوند. این مثلث ها همه ضلع ها و زوایا مساوی هستند. همه آنها برابر با 60 درجه هستند، این را می توان به راحتی با تقسیم مجموع تمام زوایا (180) بر سه محاسبه کرد.

راست گوشه

نمی توان در مورد اینکه مثلث قائم الزاویه چیست صحبت نکرد.

چنین شکلی یک زاویه برابر با 90 درجه (مستقیم) دارد، یعنی دو ضلع آن عمود هستند. دو زاویه باقی مانده حاد هستند. آنها می توانند برابر باشند، سپس متساوی الساقین خواهد بود. قضیه فیثاغورث مربوط به مثلث قائم الزاویه است. با استفاده از آن، می توانید طرف سوم را با دانستن دو مورد اول پیدا کنید. با توجه به این قضیه، اگر مربع یک پا را به مربع پای دیگر اضافه کنید، می توانید مربع فرضیه را بدست آورید. مربع پا را می توان با کم کردن مربع پای شناخته شده از مربع هیپوتانوس محاسبه کرد. در مورد اینکه مثلث چیست، می توانیم مثلث متساوی الساقین را نیز به یاد بیاوریم. این یکی است که در آن دو ضلع برابر و دو زاویه نیز برابر هستند.

پا و هیپوتانوز چیست؟

ساق یکی از اضلاع مثلثی است که زاویه 90 درجه را تشکیل می دهد. هیپوتنوز ضلع باقیمانده ای است که در مقابل زاویه راست قرار دارد. می توانید یک عمود از آن روی پا پایین بیاورید. نگرش پای مجاوربه هیپوتنوس چیزی کمتر از کسینوس نمی‌گویند و عکس آن را سینوس می‌گویند.

- چه ویژگی هایی دارد؟

مستطیل شکل است. پاهایش سه و چهار و هیپوتونوس آن پنج است. اگر دیدید که پایه های یک مثلث معین برابر با سه و چهار هستند، می توانید مطمئن باشید که هیپوتانوس برابر با پنج خواهد بود. همچنین با استفاده از این اصل می توانید به راحتی تعیین کنید که اگر دومی برابر با چهار و هپوتنوس برابر با پنج باشد، پا برابر با سه خواهد بود. برای اثبات این جمله می توانید قضیه فیثاغورث را اعمال کنید. اگر دو پایه برابر با 3 و 4 باشند، 9 + 16 = 25، ریشه 25 برابر با 5 است، یعنی ضخامت برابر با 5 است. مثلث مصری نیز مثلث قائم الزاویه ای است که اضلاع آن برابر با 6، 8 است. و 10; 9، 12 و 15 و اعداد دیگر با نسبت 3:4:5.

مثلث دیگر چه می تواند باشد؟

مثلث ها همچنین می توانند محاطی یا محدود شوند. شکلی که دور آن دایره توصیف می شود، محاط نامیده می شود؛ تمام رئوس آن نقاطی هستند که روی دایره قرار دارند. مثلث محصور مثلثی است که دایره ای در آن حک شده باشد. همه طرف های آن در نقاط خاصی با آن تماس پیدا می کنند.

چگونه قرار دارد؟

مساحت هر رقم بر حسب واحد مربع (متر مربع، میلی متر مربع، سانتی متر مربع، دسی متر مربع و غیره) اندازه گیری می شود. این مقدار بسته به نوع مثلث به روش های مختلفی قابل محاسبه است. مساحت هر شکل با زاویه را می توان با ضرب ضلع آن در عمود بر روی آن از گوشه مقابل و تقسیم این رقم بر دو یافت. همچنین می توانید این مقدار را با ضرب دو طرف بدست آورید. سپس این عدد را در سینوس زاویه ای که بین این ضلع ها قرار دارد ضرب کنید و این نتیجه را بر دو تقسیم کنید. با دانستن تمام اضلاع یک مثلث، اما عدم دانستن زوایای آن، می توانید مساحت را به روش دیگری پیدا کنید. برای انجام این کار باید نیمی از محیط را پیدا کنید. سپس به طور متناوب اضلاع مختلف را از این عدد کم کنید و چهار مقدار حاصل را ضرب کنید. بعد، از شماره ای که بیرون آمد پیدا کنید. مساحت یک مثلث محاطی را می توان با ضرب همه اضلاع و تقسیم عدد حاصل بر عددی که در اطراف آن محصور شده است، ضرب در چهار پیدا کرد.

مساحت یک مثلث محصور شده به این ترتیب پیدا می شود: نیمی از محیط را در شعاع دایره ای که در آن محاط شده است ضرب می کنیم. اگر مساحت آن را می توان به صورت زیر یافت: ضلع را مربع کنید، شکل حاصل را در ریشه سه ضرب کنید، سپس این عدد را بر چهار تقسیم کنید. به همین ترتیب می توانید ارتفاع مثلثی را که همه اضلاع آن برابر هستند محاسبه کنید؛ برای این کار باید یکی از آنها را در ریشه سه ضرب کنید و سپس این عدد را بر دو تقسیم کنید.

قضایای مربوط به مثلث

قضایای اصلی که با این شکل همراه است، قضیه فیثاغورث که در بالا توضیح داده شد و کسینوس ها هستند. دوم (از سینوس ها) این است که اگر هر ضلعی را بر سینوس زاویه مقابل آن تقسیم کنید، می توانید شعاع دایره ای را که در اطراف آن توصیف شده ضرب در دو بدست آورید. سوم (کسینوس) این است که اگر از مجموع مربع های دو ضلع حاصل ضرب آنها در دو و کسینوس زاویه بین آنها را کم کنیم، مربع ضلع سوم به دست می آید.

مثلث دالی - چیست؟

خیلی ها وقتی با این مفهوم مواجه می شوند، در ابتدا فکر می کنند که این نوعی تعریف در هندسه است، اما اصلاً اینطور نیست. مثلث دالی است نام متداولسه مکان که ارتباط نزدیکی با زندگی این هنرمند مشهور دارد. قله های آن خانه ای است که سالوادور دالی در آن زندگی می کرد، قلعه ای که او به همسرش داد و همچنین موزه نقاشی های سوررئالیستی. در طی گشت و گذار در این مکان ها می توانید چیزهای زیادی یاد بگیرید. حقایق جالبدر مورد این هنرمند خلاق منحصر به فرد که در سراسر جهان شناخته شده است.