الگوریتم حل سیستم تعاریف، مفاهیم، ​​تعاریف. درس و ارائه با موضوع: "سیستم معادلات. روش جایگزینی، روش جمع، روش معرفی یک متغیر جدید"

درس و ارائه با موضوع: "سیستم معادلات. روش جایگزینی، روش جمع، روش معرفی یک متغیر جدید"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس نهم
شبیه ساز کتاب های درسی توسط Atanasyan L.S. شبیه ساز برای کتاب های درسی Pogorelova A.V.

روش های حل سیستم های نابرابری

بچه ها، ما سیستم های معادلات را مطالعه کرده ایم و یاد گرفته ایم که چگونه آنها را با استفاده از نمودار حل کنیم. حال بیایید ببینیم چه راه های دیگری برای حل سیستم ها وجود دارد؟
تقریباً تمام روش های حل آنها با روش هایی که در کلاس هفتم مطالعه کردیم تفاوتی ندارد. اکنون باید با توجه به معادلاتی که حل آنها را آموخته ایم، تنظیماتی را انجام دهیم.
ماهیت تمام روش های توضیح داده شده در این درس، جایگزینی سیستم با یک سیستم معادل با شکل و راه حل ساده تر است. بچه ها یادتون باشه سیستم معادل چیه.

روش تعویض

اولین روش برای حل سیستم های معادلات با دو متغیر برای ما به خوبی شناخته شده است - این روش جایگزینی است. ما از این روش برای حل معادلات خطی استفاده کردیم. حال بیایید ببینیم چگونه معادلات را در حالت کلی حل کنیم؟

هنگام تصمیم گیری چگونه باید اقدام کرد؟
1. یکی از متغیرها را بر حسب متغیر دیگر بیان کنید. متغیرهایی که اغلب در معادلات استفاده می شوند x و y هستند. در یکی از معادلات یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر بیان می کنیم. نکته: قبل از شروع به حل هر دو معادله را با دقت نگاه کنید و معادله ای را انتخاب کنید که بیان متغیر راحت تر باشد.
2. به جای متغیری که بیان شد، عبارت حاصل را در معادله دوم جایگزین کنید.
3. معادله ای را که به دست آوردیم حل کنید.
4. حل به دست آمده را جایگزین معادله دوم کنید. اگر چندین راه حل وجود دارد، باید آنها را به ترتیب جایگزین کنید تا چند راه حل را از دست ندهید.
5. در نتیجه یک جفت اعداد $(x;y)$ دریافت خواهید کرد که باید به عنوان پاسخ یادداشت شوند.

مثال.
یک سیستم با دو متغیر را با استفاده از روش جایگزینی حل کنید: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

راه حل.
بیایید نگاهی دقیق تر به معادلات خود بیندازیم. بدیهی است که بیان y بر حسب x در معادله اول بسیار ساده تر است.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
بیایید عبارت اول را جایگزین معادله دوم $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$ کنیم.
بیایید معادله دوم را جداگانه حل کنیم:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
دو راه حل برای معادله دوم $x_1=2$ و $x_2=3$ بدست آوردیم.
به ترتیب در معادله دوم جایگزین کنید.
اگر $x=2$، آنگاه $y=3$. اگر $x=3$، آنگاه $y=2$.
جواب دو جفت عدد خواهد بود.
پاسخ: $(2;3)$ و $(3;2)$.

روش جمع جبری

این روش را در کلاس هفتم نیز مطالعه کردیم.
می دانیم که می توانیم یک معادله گویا را در دو متغیر در هر عددی ضرب کنیم و فراموش نکنیم که هر دو طرف معادله را ضرب کنیم. یکی از معادلات را در عدد معینی ضرب کردیم به طوری که هنگام جمع کردن معادله به معادله دوم سیستم، یکی از متغیرها از بین رفت. سپس معادله برای متغیر باقیمانده حل شد.
این روش همچنان کار می کند، اگرچه همیشه نمی توان یکی از متغیرها را از بین برد. اما به شما امکان می دهد تا شکل یکی از معادلات را به طور قابل توجهی ساده کنید.

مثال.
سیستم را حل کنید: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

راه حل.
بیایید معادله اول را در 2 ضرب کنیم.
$\begin(موارد)4x+2xy-2=0، \\4y+2xy+6=0\end(موارد)$.
بیایید دومی را از معادله اول کم کنیم.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
همانطور که می بینید، شکل معادله به دست آمده بسیار ساده تر از معادله اصلی است. اکنون می توانیم از روش جایگزینی استفاده کنیم.
$\begin(موارد)4x-4y-8=0، \\4y+2xy+6=0\end(موارد)$.
بیایید x را بر حسب y در معادله حاصل بیان کنیم.
$\begin(موارد)4x=4y+8، \\4y+2xy+6=0\end(موارد)$.
$\begin(موارد)x=y+2، \\4y+2(y+2)y+6=0\end(موارد)$.
$\begin(موارد)x=y+2، \\4y+2y^2+4y+6=0\end(موارد)$.
$\begin(موارد)x=y+2، \\2y^2+8y+6=0\end(موارد)$.
$\begin(موارد)x=y+2، \\y^2+4y+3=0\end(موارد)$.
$\begin(موارد)x=y+2، \\(y+3)(y+1)=0\end (موارد)$.
ما $y=-1$ و $y=-3$ گرفتیم.
بیایید این مقادیر را به ترتیب در معادله اول جایگزین کنیم. دو جفت عدد بدست می آوریم: $(1;-1)$ و $(-1;-3)$.
پاسخ: $(1;-1)$ و $(-1;-3)$.

روشی برای معرفی متغیر جدید

ما نیز این روش را مطالعه کردیم، اما اجازه دهید دوباره به آن نگاه کنیم.

مثال.
سیستم را حل کنید: $\begin(موارد)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3، \\2x^2-y^2=1\end(موارد)$.

راه حل.
اجازه دهید جایگزین $t=\frac(x)(y)$ را معرفی کنیم.
بیایید اولین معادله را با یک متغیر جدید بازنویسی کنیم: $t+\frac(2)(t)=3$.
بیایید معادله حاصل را حل کنیم:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
ما $t=2$ یا $t=1$ گرفتیم. اجازه دهید تغییر معکوس $t=\frac(x)(y)$ را معرفی کنیم.
دریافت کردیم: $x=2y$ و $x=y$.

برای هر یک از عبارات، سیستم اصلی باید به طور جداگانه حل شود:
$\begin(موارد)x=2y، \\2x^2-y^2=1\end(موارد)$. $\begin(موارد)x=y، \\2x^2-y^2=1\end(موارد)$.
$\begin(موارد)x=2y، \\8y^2-y^2=1\end(موارد)$. $\begin(موارد)x=y، \\2y^2-y^2=1\end(موارد)$.
$\begin(موارد)x=2y، \\7y^2=1\end(موارد)$. $\begin(موارد)x=2y، \\y^2=1\end(موارد)$.
$\begin(موارد)x=2y، \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(موارد)$. $\begin(موارد)x=y، \\y=±1\end(موارد)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7))، \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(موارد)x=±1، \\y=±1\end(موارد)$.
ما چهار جفت راه حل دریافت کردیم.
پاسخ: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

مثال.
سیستم را حل کنید: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\پایان(موارد)$.

راه حل.
اجازه دهید جایگزین را معرفی کنیم: $z=\frac(2)(x-3y)$ و $t=\frac(3)(2x+y)$.
بیایید معادلات اصلی را با متغیرهای جدید بازنویسی کنیم:
$\begin(موارد)z+t=2، \\4z-3t=1\end(موارد)$.
بیایید از روش جمع جبری استفاده کنیم:
$\begin(موارد)3z+3t=6، \\4z-3t=1\end(موارد)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(موارد)7z=7، \\4z-3t=1\end(موارد)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(موارد)z=1، \\t=1\end(موارد)$.
بیایید جایگزینی معکوس را معرفی کنیم:
$\begin(موارد)\frac(2)(x-3y)=1، \\\frac(3)(2x+y)=1\end(موارد)$.
$\begin(موارد)x-3y=2، \\2x+y=3\end(موارد)$.
بیایید از روش جایگزینی استفاده کنیم:
$\begin(موارد)x=2+3y، \\4+6y+y=3\end(موارد)$.
$\begin(موارد)x=2+3y، \\7y=-1\end(موارد)$.
$\begin(موارد)x=2+3(\frac(-1)(7))، \\y=\frac(-1)(7)\end(موارد)$.
$\begin(موارد)x=\frac(11)(7)، \\x=-\frac(11)(7)\end(موارد)$.
پاسخ: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

مسائل مربوط به سیستم های معادلات برای حل مستقل

حل سیستم ها:
1. $\begin(cases)2x-2y=6,\\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(موارد)x+y^2=3، \\xy^2=4\end(موارد)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4، \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ پایان (موارد)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6)، \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(موارد)$.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

دستورالعمل ها

روش جمع.
شما باید دو مورد را کاملاً زیر یکدیگر بنویسید:

549+45y+4y=-7، 45y+4y=549-7، 49y=542، y=542:49، y≈11.
در معادله ای که به طور دلخواه (از سیستم) انتخاب شده است، به جای «بازی» از قبل پیدا شده، عدد 11 را وارد کنید و مجهول دوم را محاسبه کنید:

X=61+5*11، x=61+55، x=116.
جواب این سیستم معادلات x=116، y=11 است.

روش گرافیکی
این شامل یافتن عملی مختصات نقطه ای است که در آن خطوط به صورت ریاضی در یک سیستم معادلات نوشته می شوند. نمودارهای هر دو خط باید به طور جداگانه در یک سیستم مختصات ترسیم شوند. نمای کلی: – y=khx+b. برای ساخت یک خط مستقیم کافی است مختصات دو نقطه را پیدا کنید و x به دلخواه انتخاب می شود.
اجازه دهید سیستم داده شود: 2x – y=4

Y=-3x+1.
یک خط مستقیم با استفاده از خط اول ساخته می شود، برای راحتی باید آن را یادداشت کرد: y=2x-4. مقادیر (آسان تری) برای x پیدا کنید، آن را در معادله جایگزین کنید، آن را حل کنید و y را پیدا کنید. دو نقطه به دست می آوریم که در امتداد آنها یک خط مستقیم ساخته شده است. (تصویر را ببینید)
x 0 1

y -4 -2
یک خط مستقیم با استفاده از معادله دوم ساخته می شود: y=-3x+1.
همچنین یک خط مستقیم بسازید. (تصویر را ببینید)

y 1 -5
مختصات نقطه تقاطع دو خط ساخته شده را در نمودار بیابید (اگر خطوط همدیگر را قطع نکنند، سیستم معادلات ندارد - بنابراین).

ویدیو در مورد موضوع

مشاوره مفید

اگر همان سیستم معادلات با سه حل شود راه های مختلف، پاسخ یکسان خواهد بود (در صورت صحیح بودن راه حل).

منابع:

• جبر پایه هشتم
• معادله ای را با دو مجهول به صورت آنلاین حل کنید
• نمونه هایی از راه حل های سیستم معادلات خطیبا دو

سیستم معادلاتمجموعه ای از رکوردهای ریاضی است که هر کدام شامل تعدادی متغیر است. راه های مختلفی برای حل آنها وجود دارد.

شما نیاز خواهید داشت

• خط کش و مداد؛
• -ماشین حساب.

دستورالعمل ها

بیایید دنباله حل سیستم را در نظر بگیریم که از معادلات خطی به شکل a1x + b1y = c1 و a2x + b2y = c2 تشکیل شده است. جایی که x و y متغیرهای ناشناخته هستند و b,c عبارت‌های آزاد هستند. هنگام اعمال این روش، هر سیستم مختصات نقاط مربوط به هر معادله را نشان می دهد. برای شروع، در هر مورد، یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر بیان کنید. سپس متغیر x را به هر تعداد از مقادیر تنظیم کنید. دوتا کافیه معادله را جایگزین کنید و y را پیدا کنید. یک سیستم مختصات بسازید، نقاط به دست آمده را روی آن علامت بزنید و از میان آنها خط بکشید. محاسبات مشابهی باید برای سایر قسمت های سیستم انجام شود.

اگر خطوط ساخته شده با هم قطع شوند و یک نقطه مشترک داشته باشند، سیستم راه حل منحصر به فردی دارد. اگر موازی با یکدیگر باشند ناسازگار است. و هنگامی که خطوط با یکدیگر ادغام می شوند، راه حل های بی نهایت زیادی دارد.

این روش بسیار بصری در نظر گرفته می شود. عیب اصلی این است که مجهولات محاسبه شده مقادیر تقریبی دارند. نتایج دقیق تری با روش های به اصطلاح جبری ارائه می شود.

هر راه حلی برای یک سیستم معادلات ارزش بررسی دارد. برای انجام این کار، مقادیر حاصل را به جای متغیرها جایگزین کنید. همچنین می توانید با استفاده از چندین روش راه حل آن را پیدا کنید. اگر راه حل سیستم درست است، پس همه باید یکسان باشند.

اغلب معادلاتی وجود دارد که در آنها یکی از اصطلاحات ناشناخته است. برای حل یک معادله، باید مجموعه ای از اقدامات را با این اعداد به خاطر بسپارید و انجام دهید.

شما نیاز خواهید داشت

• - کاغذ؛
• - خودکار یا مداد.

دستورالعمل ها

تصور کنید که 8 خرگوش در مقابل شما وجود دارد و شما فقط 5 هویج دارید. در مورد آن فکر کنید، هنوز باید هویج بیشتری بخرید تا هر خرگوش یک عدد هویج بگیرد.

بیایید این مسئله را به شکل یک معادله ارائه کنیم: 5 + x = 8. بیایید عدد 3 را به جای x جایگزین کنیم. در واقع، 5 + 3 = 8.

وقتی عددی را به جای x جایگزین کردید، همان کاری را انجام دادید که 5 را از 8 کم کردید. بنابراین، برای پیدا کردن ناشناختهمدت، عبارت شناخته شده را از جمع کم کنید.

فرض کنید 20 خرگوش و فقط 5 هویج دارید. بیا جبران کنیم معادله برابری است که فقط برای مقادیر معینی از حروف موجود در آن برقرار است. حروفی که باید معانی آنها را پیدا کرد نامیده می شوند. معادله ای با یک مجهول بنویسید و آن را x بنامید. هنگام حل مسئله خرگوش، معادله زیر را بدست می آوریم: 5 + x = 20.

بیایید تفاوت بین 20 و 5 را پیدا کنیم. هنگام تفریق، عددی که از آن کم می شود، عددی است که کاهش می یابد. به عددی که تفریق می شود و نتیجه نهایی را تفاضل می گویند. بنابراین، x = 20 - 5; x = 15. برای خرگوش ها باید 15 هویج بخرید.

بررسی کنید: 5 + 15 = 20. معادله به درستی حل شده است. البته وقتی ما در مورددر مورد چنین موارد ساده ای، بررسی لازم نیست. با این حال، وقتی معادلاتی با اعداد سه رقمی، چهار رقمی و ... دارید، حتما باید بررسی کنید تا از نتیجه کار خود کاملا مطمئن شوید.

ویدیو در مورد موضوع

مشاوره مفید

برای پیدا کردن نتیجه ناشناخته، باید subtrahend را به تفاوت اضافه کنید.

برای پیدا کردن زیرتره ناشناخته، باید تفاوت را از minuend کم کنید.

نکته 4: چگونه یک سیستم را حل کنیم سه معادلهبا سه مجهول

یک سیستم سه معادله با سه مجهول ممکن است با وجود تعداد کافی معادله، راه حل نداشته باشد. می توانید با استفاده از روش جایگزینی یا با استفاده از روش کرامر سعی کنید آن را حل کنید. روش کرامر، علاوه بر حل سیستم، به شما امکان می دهد قبل از یافتن مقادیر مجهولات، ارزیابی کنید که آیا سیستم قابل حل است یا خیر.

دستورالعمل ها

روش جایگزینی متشکل از متوالی یک مجهول از طریق دو مجهول دیگر و جایگزینی نتیجه حاصل در معادلات سیستم است. اجازه دهید یک سیستم از سه معادله داده شود نمای کلی:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

x را از معادله اول بیان کنید: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - و در معادله دوم و سوم جایگزین کنید، سپس y را از معادله دوم بیان کنید و به معادله سوم جایگزین کنید. از طریق ضرایب معادلات سیستم یک عبارت خطی برای z بدست خواهید آورد. حالا به عقب بروید: z را جایگزین معادله دوم کنید و y را پیدا کنید و سپس z و y را جایگزین معادله اول کنید و x را حل کنید. این فرآیند به طور کلی در شکل قبل از یافتن z نشان داده شده است. نوشتن بیشتر به شکل کلی بسیار دست و پا گیر خواهد بود؛ در عمل، با جایگزینی، می توانید به راحتی هر سه مجهول را پیدا کنید.

روش کرامر شامل ساخت ماتریس سیستم و محاسبه تعیین کننده این ماتریس و همچنین سه ماتریس کمکی دیگر است. ماتریس سیستم از ضرایبی برای عبارات مجهول معادلات تشکیل شده است. ستونی حاوی اعداد در سمت راست معادلات، ستونی از سمت راست. در سیستم استفاده نمی شود، اما هنگام حل سیستم استفاده می شود.

ویدیو در مورد موضوع

توجه داشته باشید

تمام معادلات در سیستم باید اطلاعات اضافی را مستقل از سایر معادلات ارائه دهند. در غیر این صورت، سیستم نامشخص خواهد بود و نمی‌توان راه‌حلی بدون ابهام پیدا کرد.

مشاوره مفید

پس از حل سیستم معادلات، مقادیر یافت شده را جایگزین سیستم اصلی کنید و بررسی کنید که تمام معادلات را برآورده کنند.

به خودی خود معادلهبا سه ناشناختهراه حل های زیادی دارد، بنابراین اغلب با دو معادله یا شرط دیگر تکمیل می شود. بسته به اینکه داده های اولیه چه هستند، روند تصمیم گیری تا حد زیادی بستگی دارد.

شما نیاز خواهید داشت

• - سیستمی از سه معادله با سه مجهول.

دستورالعمل ها

اگر دو تا از سه سیستم فقط دو تا از سه مجهول را دارند، سعی کنید برخی از متغیرها را بر حسب بقیه بیان کنید و آنها را جایگزین کنید. معادلهبا سه ناشناخته. هدف شما در این مورد تبدیل آن به حالت عادی است معادلهبا شخص ناشناس اگر چنین است، راه حل بعدی کاملاً ساده است - مقدار یافت شده را جایگزین معادلات دیگر کنید و همه مجهولات دیگر را بیابید.

برخی از سیستم های معادلات را می توان از یک معادله با معادله دیگر کم کرد. ببینید آیا می توان یکی از یا یک متغیر را ضرب کرد تا دو مجهول در آن واحد لغو شوند. اگر چنین فرصتی وجود دارد، از آن استفاده کنید؛ به احتمال زیاد، راه حل بعدی دشوار نخواهد بود. به یاد داشته باشید که هنگام ضرب در یک عدد، باید هم سمت چپ و هم سمت راست را ضرب کنید. به همین ترتیب، هنگام تفریق معادلات، باید به یاد داشته باشید که سمت راست نیز باید کم شود.

اگر روش های قبلی کمکی نکرد، استفاده کنید به صورت کلیحل هر معادله ای با سه ناشناخته. برای این کار معادلات را به شکل a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 بازنویسی کنید. اکنون ماتریسی از ضرایب برای x (A)، ماتریسی از مجهولات (X) و ماتریسی از متغیرهای آزاد (B) ایجاد کنید. لطفا توجه داشته باشید که با ضرب ماتریس ضرایب در ماتریس مجهولات، ماتریسی از جمله های آزاد به دست می آید، یعنی A*X=B.

ماتریس A را به توان (-1) با ابتدا پیدا کنید، توجه داشته باشید که نباید باشد برابر با صفر. پس از این، ماتریس حاصل را در ماتریس B ضرب کنید، در نتیجه ماتریس X مورد نظر را دریافت خواهید کرد که تمام مقادیر را نشان می دهد.

همچنین می توانید با استفاده از روش کرامر برای یک سیستم سه معادله راه حل پیدا کنید. برای انجام این کار، دترمینان مرتبه سوم Δ مربوط به ماتریس سیستم را پیدا کنید. سپس به‌طور متوالی سه تعیین‌کننده دیگر Δ1، ∆2 و ∆3 را پیدا کنید و مقادیر عبارت‌های آزاد را به جای مقادیر ستون‌های مربوطه جایگزین کنید. حالا x را پیدا کنید: x1=∆1/∆، x2=∆2/∆، x3=∆3/∆.

منابع:

• حل معادلات با سه مجهول

هنگام شروع به حل یک سیستم معادلات، نوع معادلات را دریابید. روش های حل معادلات خطی به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته است. معادلات غیر خطی اغلب حل نمی شوند. فقط یک مورد خاص وجود دارد که هر کدام عملاً فردی هستند. بنابراین، مطالعه تکنیک های حل باید با معادلات خطی آغاز شود. چنین معادلاتی را حتی می توان به صورت الگوریتمی حل کرد.

مخرج مجهولات یافت شده دقیقاً یکسان است. بله، و شمارنده ها الگوهایی را در ساخت خود نشان می دهند. اگر بعد سیستم معادلات بیشتر از دو بود، روش حذف منجر به محاسبات بسیار دست و پا گیر می شد. برای اجتناب از آنها، راه حل های صرفا الگوریتمی توسعه داده شده است. ساده ترین آنها الگوریتم کرامر (فرمول های کرامر) است. چون باید بفهمی سیستم عمومیمعادلات از n معادله.

سیستم n خطی معادلات جبریبا n مجهول شکل دارد (شکل 1a را ببینید). در آن، aij ضرایب سیستم هستند،
xj – مجهولات، bi – اصطلاحات آزاد (i=1، 2، ...، n؛ j=1، 2، ...، n). چنین سیستمی را می توان به صورت فشرده به شکل ماتریسی AX=B نوشت. در اینجا A ماتریس ضرایب سیستم، X ماتریس ستون مجهولات، B ماتریس ستون عبارات آزاد است (شکل 1b را ببینید). طبق روش کرامر، هر مجهول xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). تعیین ∆ ماتریس ضریب اصلی و ∆i کمکی نامیده می شود. برای هر مجهول، تعیین کننده کمکی با جایگزینی ستون i-ام تعیین کننده اصلی با ستونی از عبارات آزاد پیدا می شود. روش کرامر برای سیستم های مرتبه دوم و سوم به تفصیل در شکل 1 ارائه شده است. 2.

این سیستم ترکیبی از دو یا چند برابری است که هر کدام شامل دو یا چند مجهول است. دو راه اصلی برای حل سیستم معادلات خطی وجود دارد که در برنامه درسی مدرسه استفاده می شود. یکی از آنها روش نامیده می شود، دیگری - روش جمع.

فرم استاندارد یک سیستم دو معادله

در فرم استانداردمعادله اول به شکل a1*x+b1*y=c1، معادله دوم به شکل a2*x+b2*y=c2 و غیره است. به عنوان مثال، در مورد دو بخش از سیستم، هر دو a1، a2، b1، b2، c1، c2 برخی از ضرایب عددی هستند که در معادلات خاص نشان داده شده‌اند. به نوبه خود، x و y مجهولاتی را نشان می دهند که مقادیر آنها باید تعیین شود. مقادیر مورد نیاز هر دو معادله را به طور همزمان به برابری های واقعی تبدیل می کنند.

حل سیستم با استفاده از روش جمع

برای حل سیستم، یعنی یافتن مقادیر x و y که آنها را به برابری های واقعی تبدیل می کند، باید چندین مرحله ساده را انجام دهید. اولین مورد این است که هر یک از معادله ها را به گونه ای تبدیل کنیم که ضرایب عددی برای متغیر x یا y در هر دو معادله از نظر بزرگی یکسان، اما از نظر علامت متفاوت باشند.

به عنوان مثال، فرض کنید یک سیستم متشکل از دو معادله داده شده است. اولی به شکل 2x+4y=8، دومی به شکل 6x+2y=6 است. یکی از گزینه های تکمیل کار، ضرب معادله دوم در ضریب 2- است که به شکل -12x-4y=-12 می رسد. انتخاب درستضریب یکی از وظایف کلیدی در فرآیند حل یک سیستم با جمع است، زیرا کل دوره بعدی روش برای یافتن مجهولات را تعیین می کند.

حال باید دو معادله سیستم را جمع کرد. بدیهی است که تخریب متقابل متغیرهایی با ضرایب مساوی اما در علامت مخالف به شکل -10x=-4 منجر خواهد شد. پس از این، حل این معادله ساده ضروری است که از آن به وضوح نتیجه می شود که x = 0.4.

آخرین مرحله در فرآیند حل این است که مقدار پیدا شده یکی از متغیرها را با هر یک از برابری های اصلی موجود در سیستم جایگزین کنید. به عنوان مثال، با جایگزینی x=0.4 به معادله اول، می توانید عبارت 2*0.4+4y=8 را بدست آورید که از آن y=1.8 است. بنابراین، x=0.4 و y=1.8 ریشه های سیستم مثال هستند.

برای اطمینان از اینکه ریشه ها به درستی پیدا شده اند، مفید است که با جایگزین کردن مقادیر یافت شده در معادله دوم سیستم بررسی کنید. مثلاً در این حالت برابری به شکل 0.4*6+1.8*2=6 می گیریم که درست است.

ویدیو در مورد موضوع

اجازه دهید دو نوع راه حل برای سیستم های معادلات را تجزیه و تحلیل کنیم:

1. حل سیستم با استفاده از روش جایگزینی.
2. حل سیستم با جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات سیستم.

به منظور حل سیستم معادلات با روش جایگزینیشما باید یک الگوریتم ساده را دنبال کنید:
1. بیان کنید. از هر معادله ای یک متغیر را بیان می کنیم.
2. جایگزین. مقدار حاصل را به جای متغیر بیان شده در معادله دیگری جایگزین می کنیم.
3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل کنید. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.

برطرف كردن سیستم با روش جمع (تفریق) ترم به ترمنیاز به:
1. متغیری را انتخاب کنید که برای آن ضرایب یکسان ایجاد کنیم.
2. معادلات را جمع یا تفریق می کنیم و در نتیجه معادله ای با یک متغیر به دست می آید.
3. معادله خطی حاصل را حل کنید. ما راه حلی برای سیستم پیدا می کنیم.

راه حل سیستم، نقاط تقاطع نمودارهای تابع است.

اجازه دهید راه حل سیستم ها را با استفاده از مثال ها با جزئیات در نظر بگیریم.

مثال شماره 1:

بیایید با روش جایگزینی حل کنیم

حل یک سیستم معادلات با استفاده از روش جایگزینی

2x+5y=1 (1 معادله)
x-10y=3 (معادله دوم)

1. بیان کنید
مشاهده می شود که در معادله دوم یک متغیر x با ضریب 1 وجود دارد که به این معنی است که بیان متغیر x از معادله دوم ساده ترین است.
x=3+10y

2. پس از بیان آن، 3+10y را به جای متغیر x در معادله اول جایگزین می کنیم.
2(3+10y)+5y=1

3. معادله به دست آمده را با یک متغیر حل کنید.
2(3+10y)+5y=1 (پرانتزها را باز کنید)
6 + 20 سال + 5 سال = 1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

راه حل سیستم معادله، نقاط تقاطع نمودارها است، بنابراین باید x و y را پیدا کنیم، زیرا نقطه تقاطع از x و y تشکیل شده است، بیایید x را پیدا کنیم، در اولین نقطه ای که آن را بیان کردیم، y را جایگزین می کنیم.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

مرسوم است که نقطه ها را در وهله اول متغیر x می نویسیم و در مرحله دوم متغیر y.
پاسخ: (1؛ -0.2)

مثال شماره 2:

بیایید با استفاده از روش جمع (تفریق) ترم به ترم حل کنیم.

حل یک سیستم معادلات با استفاده از روش جمع

3x-2y=1 (1 معادله)
2x-3y=-10 (معادله دوم)

1. یک متغیر را انتخاب می کنیم، فرض کنید x را انتخاب می کنیم. در معادله اول، متغیر x دارای ضریب 3 است، در دومی - 2. ما باید ضرایب را یکسان کنیم، برای این ما حق داریم معادلات را ضرب کنیم یا بر هر عددی تقسیم کنیم. معادله اول را در 2 و دومی را در 3 ضرب می کنیم و ضریب کل 6 به دست می آید.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. دومی را از معادله اول کم کنید تا از شر متغیر x خلاص شوید. معادله خطی را حل کنید.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x را پیدا کنید. y یافت شده را با هر یک از معادلات جایگزین می کنیم، فرض کنید در معادله اول.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

نقطه تقاطع x=4.6 خواهد بود. y=6.4
پاسخ: (4.6؛ 6.4)

آیا می خواهید برای امتحانات به صورت رایگان آماده شوید؟ معلم آنلاین رایگان. شوخی نکن.

قابل اعتمادتر از روش گرافیکی مورد بحث در پاراگراف قبلی.

روش تعویض

ما از این روش در کلاس هفتم برای حل سیستم معادلات خطی استفاده کردیم. الگوریتمی که در کلاس هفتم ایجاد شد برای حل سیستم های هر دو معادله (نه لزوما خطی) با دو متغیر x و y کاملاً مناسب است (البته متغیرها را می توان با حروف دیگری تعیین کرد که مهم نیست). در واقع، ما از این الگوریتم در پاراگراف قبل، زمانی که مشکل از عدد دو رقمیمنجر به یک مدل ریاضی شد که یک سیستم معادلات است. ما این سیستم معادلات بالا را با استفاده از روش جایگزینی حل کردیم (به مثال 1 از § 4 مراجعه کنید).

الگوریتمی برای استفاده از روش جایگزینی هنگام حل یک سیستم دو معادله با دو متغیر x, y.

1. y را بر حسب x از یک معادله سیستم بیان کنید.
2. عبارت حاصل را به جای y در معادله دیگری از سیستم جایگزین کنید.
3. معادله بدست آمده را برای x حل کنید.
4. هر یک از ریشه های معادله موجود در مرحله سوم را به جای x در عبارت y تا x به دست آمده در مرحله اول جایگزین کنید.
5. پاسخ را به صورت جفت مقادیر (x; y) که به ترتیب در مرحله سوم و چهارم یافت شد، بنویسید.

4) هر یک از مقادیر یافت شده y را یکی یکی در فرمول x = 5 - 3 جایگزین کنید. اگر پس از آن
5) جفت (2؛ 1) و راه حل برای یک سیستم معین از معادلات.

پاسخ: (2؛ 1);

روش جمع جبری

این روش مانند روش جایگزینی از درس جبر پایه هفتم که برای حل سیستم معادلات خطی استفاده می شد برای شما آشناست. اجازه دهید ماهیت روش را با استفاده از مثال زیر یادآوری کنیم.

مثال 2.حل سیستم معادلات

بیایید همه عبارت های معادله اول سیستم را در 3 ضرب کنیم و معادله دوم را بدون تغییر رها کنیم:
معادله دوم سیستم را از معادله اول کم کنید:

در نتیجه جمع جبری دو معادله سیستم اصلی، معادله ای به دست آمد که از معادله اول و دوم سیستم داده شده ساده تر بود. با این معادله ساده تر، ما حق داریم هر معادله ای از یک سیستم معین را جایگزین کنیم، مثلاً معادله دوم. سپس سیستم معادلات داده شده با یک سیستم ساده تر جایگزین می شود:

این سیستم با استفاده از روش جایگزینی قابل حل است. از معادله دوم که پیدا می کنیم، با جایگزینی این عبارت به جای y در معادله اول سیستم، به دست می آوریم.

باقی مانده است که مقادیر یافت شده x را در فرمول جایگزین کنیم

اگر x = 2 پس

بنابراین، ما دو راه حل برای سیستم پیدا کردیم:

روشی برای معرفی متغیرهای جدید

با روش معرفی متغیر جدید در حل معادلات گویا با یک متغیر در درس جبر پایه هشتم آشنا شدید. ماهیت این روش برای حل سیستم معادلات یکسان است، اما از نظر فنی ویژگی هایی دارد که در مثال های زیر به آنها خواهیم پرداخت.

مثال 3.حل سیستم معادلات

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم سپس اولین معادله سیستم را می توان در یک عدد بیشتر بازنویسی کرد به شکل ساده: بیایید این معادله را برای متغیر t حل کنیم:

هر دوی این مقادیر شرط را برآورده می کنند و بنابراین ریشه هستند معادله منطقیبا متغیر t. اما این بدان معناست که یا در کجا پیدا کنیم که x = 2y، یا
بنابراین، با استفاده از روش معرفی یک متغیر جدید، ما موفق شدیم اولین معادله سیستم را که از نظر ظاهری کاملاً پیچیده بود، به دو معادله ساده‌تر «طبقه‌بندی» کنیم:

x = 2 y; y - 2x.

بعدش چی؟ و سپس هر دو دریافت کردند معادلات سادهباید یک به یک در سیستمی با معادله x 2 - y 2 = 3 در نظر گرفته شود که هنوز آن را به خاطر نیاورده ایم. به عبارت دیگر، مسئله به حل دو سیستم معادله خلاصه می شود:

ما باید راه حل هایی برای سیستم اول، سیستم دوم پیدا کنیم و تمام جفت مقادیر حاصل را در پاسخ قرار دهیم. بیایید اولین سیستم معادلات را حل کنیم:

بیایید از روش جایگزینی استفاده کنیم، به خصوص که در اینجا همه چیز برای آن آماده است: بیایید عبارت 2y را به جای x در معادله دوم سیستم جایگزین کنیم. ما گرفتیم

از آنجایی که x = 2y، به ترتیب x 1 = 2، x 2 = 2 را می یابیم. بنابراین، دو راه حل از سیستم داده شده به دست می آید: (2؛ 1) و (-2؛ -1). بیایید سیستم معادلات دوم را حل کنیم:

بیایید دوباره از روش جایگزینی استفاده کنیم: عبارت 2x را به جای y در معادله دوم سیستم جایگزین کنید. ما گرفتیم

این معادله ریشه ندارد، یعنی سیستم معادلات هیچ راه حلی ندارد. بنابراین، تنها راه حل های سیستم اول باید در پاسخ گنجانده شود.

پاسخ: (2؛ 1); (-2;-1).

روش معرفی متغیرهای جدید هنگام حل سیستم های دو معادله با دو متغیر در دو نسخه استفاده می شود. گزینه اول: یک متغیر جدید تنها در یک معادله سیستم معرفی و استفاده می شود. این دقیقا همان چیزی است که در مثال 3 رخ داد. گزینه دوم: دو متغیر جدید به طور همزمان در هر دو معادله سیستم معرفی و استفاده می شود. این مورد در مثال 4 خواهد بود.

مثال 4.حل سیستم معادلات

بیایید دو متغیر جدید را معرفی کنیم:

بیایید آن را در نظر بگیریم

این به شما امکان می دهد تا سیستم داده شده را به شکلی بسیار ساده تر بازنویسی کنید، اما با توجه به متغیرهای جدید a و b:

از آنجایی که a = 1، پس از معادله a + 6 = 2 می یابیم: 1 + 6 = 2; 6=1. بنابراین، در مورد متغیرهای a و b، یک راه حل به دست آوردیم:

با بازگشت به متغیرهای x و y، سیستمی از معادلات را به دست می آوریم

اجازه دهید برای حل این سیستم از روش جمع جبری استفاده کنیم:

از آن زمان از معادله 2x + y = 3 به دست می آوریم:
بنابراین، در مورد متغیرهای x و y، یک راه حل به دست آوردیم:

اجازه دهید این پاراگراف را با یک بحث نظری کوتاه اما نسبتاً جدی به پایان برسانیم. شما قبلاً در حل معادلات مختلف تجربه کسب کرده اید: خطی، درجه دوم، منطقی، غیر منطقی. می دانید که ایده اصلی حل یک معادله این است که به تدریج از یک معادله به معادله دیگر، ساده تر، اما معادل معادله داده شده، حرکت کنید. در پاراگراف قبل مفهوم هم ارزی معادلات با دو متغیر را معرفی کردیم. این مفهوم همچنین برای سیستم های معادلات استفاده می شود.

تعریف.

دو سیستم معادله با متغیرهای x و y اگر جوابهای یکسانی داشته باشند یا هر دو سیستم هیچ جوابی نداشته باشند معادل نامیده می شوند.

هر سه روش (جایگزینی، جمع جبری و معرفی متغیرهای جدید) که در این قسمت به آن پرداختیم، از نظر هم ارزی کاملاً صحیح هستند. به عبارت دیگر، با استفاده از این روش ها، یک سیستم معادلات را با سیستم دیگری، ساده تر، اما معادل سیستم اصلی جایگزین می کنیم.

روش گرافیکی برای حل سیستم معادلات

ما قبلاً یاد گرفته‌ایم که چگونه سیستم‌های معادلات را به روش‌های متداول و قابل اعتمادی مانند روش جایگزینی، جمع جبری و معرفی متغیرهای جدید حل کنیم. حالا بیایید روشی را که قبلاً در درس قبلی مطالعه کرده اید به یاد بیاوریم. یعنی بیایید آنچه را که می دانید تکرار کنیم روش گرافیکیراه حل ها

روش حل سیستم معادلات به صورت گرافیکینشان دهنده ساخت یک نمودار برای هر یک از معادلات خاص است که در یک سیستم معین گنجانده شده اند و در همان صفحه مختصات قرار دارند و همچنین جایی که لازم است نقاط تلاقی این نمودارها را پیدا کنید. برای حل این سیستم معادلات مختصات این نقطه (x; y) است.

باید به خاطر داشت که برای یک سیستم گرافیکی معادلات معمول است که یا یک جواب صحیح داشته باشد یا تعداد بی نهایت جواب یا اصلاً جواب نداشته باشد.

حال اجازه دهید هر یک از این راه حل ها را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم. و بنابراین، اگر خطوطی که نمودار معادلات سیستم هستند، یک سیستم معادلات یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد. اگر این خطوط موازی باشند، چنین سیستم معادلاتی مطلقاً هیچ راه حلی ندارد. اگر نمودارهای مستقیم معادلات سیستم منطبق باشند، چنین سیستمی به فرد اجازه می دهد تا راه حل های زیادی پیدا کند.

خوب، حالا بیایید به الگوریتم حل یک سیستم دو معادله با 2 مجهول با استفاده از روش گرافیکی نگاه کنیم:

ابتدا، ابتدا نمودار معادله 1 را می سازیم.
مرحله دوم ساخت نموداری است که به معادله دوم مربوط می شود.
ثالثاً باید نقاط تقاطع نمودارها را پیدا کنیم.
و در نتیجه مختصات هر نقطه تقاطع را بدست می آوریم که جواب سیستم معادلات خواهد بود.

بیایید با استفاده از یک مثال به این روش با جزئیات بیشتری نگاه کنیم. سیستمی از معادلات به ما داده می شود که باید حل شود:

حل معادلات

1. ابتدا نموداری از این معادله می سازیم: x2+y2=9.

اما لازم به ذکر است که این نمودار معادلات دایره ای خواهد بود که مرکز آن در مبدا قرار دارد و شعاع آن برابر با سه خواهد بود.

2. مرحله بعدی ما ترسیم معادله ای مانند: y = x – 3 خواهد بود.

در این حالت باید یک خط مستقیم بسازیم و نقاط (0;−3) و (3;0) را پیدا کنیم.

3. بیایید ببینیم چه چیزی به دست آوردیم. می بینیم که خط مستقیم دایره را در دو نقطه A و B قطع می کند.

حال به دنبال مختصات این نقاط هستیم. می بینیم که مختصات (3;0) با نقطه A و مختصات (0;-3) با نقطه B مطابقت دارند.

و در نتیجه چه چیزی بدست می آوریم؟

اعداد (3;0) و (0;-3) که وقتی خط دایره را قطع می کند به دست می آیند دقیقاً راه حل های هر دو معادله سیستم هستند. و از اینجا نتیجه می شود که این اعداد نیز راه حل های این سیستم معادلات هستند.

یعنی جواب این جواب اعداد: (3;0) و (0;-3) است.