فرمول معادله هواپیمایی که از سه نقطه عبور می کند. پیدا کردن زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه. تقاطع دو صفحه

سطح اول

مختصات و بردارها. راهنمای جامع (2019)

در این مقاله، ما شروع به بحث در مورد یک "عصای جادویی" خواهیم کرد که به شما امکان می دهد بسیاری از مسائل هندسی را به حساب ساده کاهش دهید. این «چوب» می‌تواند زندگی شما را بسیار آسان‌تر کند، مخصوصاً زمانی که در مورد ساخت و ساز مطمئن نیستید چهره های فضایی، بخش ها و غیره همه اینها به تخیل و مهارت های عملی خاصی نیاز دارد. روشی که در اینجا شروع به بررسی خواهیم کرد به شما امکان می دهد تقریباً به طور کامل از انواع ساختارها و استدلال های هندسی انتزاع کنید. روش نامیده می شود "روش هماهنگی". در این مقاله به سوالات زیر می پردازیم:

1. هواپیمای مختصات
2. نقاط و بردارها در هواپیما
3. ساختن بردار از دو نقطه
4. طول برداری (فاصله بین دو نقطه).
5. مختصات وسط بخش
6. حاصل ضرب نقطه ای بردارها
7. زاویه بین دو بردار

فکر می کنم قبلاً حدس زده اید که چرا روش مختصات به این نام خوانده می شود؟ درست است، این نام را به این دلیل گرفت که نه با اجسام هندسی، بلکه با ویژگی های عددی آنها (مختصات) عمل می کند. و خود تبدیل، که به ما امکان می دهد از هندسه به جبر برویم، شامل معرفی یک سیستم مختصات است. اگر شکل اولیه مسطح بود، مختصات دو بعدی و اگر شکل سه بعدی بود، مختصات سه بعدی هستند. در این مقاله ما فقط مورد دو بعدی را در نظر خواهیم گرفت. و هدف اصلی مقاله آموزش نحوه استفاده از برخی است تکنیک های اساسیروش مختصات (گاهی اوقات هنگام حل مسائل مربوط به پلان سنجی در بخش B آزمون یکپارچه ایالت مفید می باشند). دو بخش بعدی در مورد این موضوع به بحث در مورد روش های حل مسائل C2 (مسئله استریومتری) اختصاص دارد.

منطقی است که بحث روش مختصات را از کجا شروع کنیم؟ احتمالاً از مفهوم یک سیستم مختصات است. به یاد داشته باشید که اولین بار با او روبرو شدید. به نظر من در کلاس هفتم، زمانی که شما از وجود یاد گرفتید تابع خطی، مثلا. بگذارید به شما یادآوری کنم که شما آن را نقطه به نقطه ساختید. یادت میاد؟ شما یک عدد دلخواه را انتخاب کردید، آن را جایگزین فرمول کردید و آن را به این ترتیب محاسبه کردید. مثلا اگر، پس، اگر، آنگاه و ... در نهایت چه چیزی به دست آوردی؟ و امتیاز با مختصات دریافت کردید: و. بعد، یک «صلیب» (سیستم مختصات) رسم کردید، یک مقیاس روی آن انتخاب کردید (چند سلول به عنوان بخش واحد خواهید داشت) و نقاطی را که به دست آوردید روی آن علامت‌گذاری کردید، سپس آنها را با یک خط مستقیم به هم متصل کردید. خط نمودار تابع است.

در اینجا چند نکته وجود دارد که باید با جزئیات بیشتر برای شما توضیح داده شود:

1. شما یک بخش را به دلایل راحتی انتخاب می کنید تا همه چیز به زیبایی و فشرده در نقاشی جا بیفتد.

2. پذیرفته شده است که محور از چپ به راست و محور از پایین به بالا می رود.

3. در زوایای قائمه همدیگر را قطع می کنند و نقطه تلاقی آنها را مبدا می گویند. با یک حرف مشخص می شود.

4. در نوشتن مختصات یک نقطه مثلاً در سمت چپ داخل پرانتز مختصات نقطه در امتداد محور و در سمت راست در امتداد محور وجود دارد. به طور خاص، به سادگی به این معنی است که در نقطه

5. برای تعیین هر نقطه در محور مختصات، باید مختصات آن را مشخص کنید (2 عدد)

6. برای هر نقطه ای که روی محور قرار دارد،

7. برای هر نقطه ای که روی محور قرار دارد،

8. محور را محور x می نامند

9. محور را محور y می نامند

حالا بیایید قدم بعدی را برداریم: دو نقطه را علامت بزنید. بیایید این دو نقطه را با یک قطعه به هم وصل کنیم. و فلش را طوری قرار می‌دهیم که انگار از نقطه‌ای به نقطه می‌کشیم: یعنی قطعه‌مان را جهت‌دار می‌کنیم!

به یاد داشته باشید که بخش جهتی دیگری نامیده می شود؟ درسته بهش میگن بردار!

بنابراین اگر نقطه را به نقطه وصل کنیم، و ابتدا نقطه A و پایان نقطه B خواهد بودسپس یک بردار می گیریم. شما هم این ساخت و ساز را در کلاس هشتم انجام دادید، یادتان هست؟

معلوم می شود که بردارها، مانند نقاط، را می توان با دو عدد نشان داد: این اعداد مختصات برداری نامیده می شوند. سوال: به نظر شما برای یافتن مختصات یک بردار کافی است مختصات ابتدا و انتهای یک بردار را بدانیم؟ معلوم می شود که بله! و این کار بسیار ساده انجام می شود:

بنابراین، از آنجایی که در یک بردار نقطه شروع و پایان آن پایان است، بردار دارای مختصات زیر است:

به عنوان مثال، اگر، سپس مختصات بردار

حالا برعکس عمل می کنیم، مختصات بردار را پیدا می کنیم. برای این چه چیزی را باید تغییر دهیم؟ بله، باید ابتدا و انتها را عوض کنید: اکنون ابتدای بردار در نقطه و انتهای آن در نقطه خواهد بود. سپس:

با دقت نگاه کنید، تفاوت بین بردار و چیست؟ تنها تفاوت آنها در علائم مختصات است. آنها متضاد هستند. این واقعیت معمولاً به این صورت نوشته می شود:

گاهی اوقات، اگر مشخص نشده باشد که کدام نقطه ابتدای بردار و کدام نقطه پایان است، بردارها با بیش از دو نشان داده می شوند. با حروف بزرگو یک حرف کوچک، به عنوان مثال: و غیره.

حالا کمی تمرینخودتان و مختصات بردارهای زیر را بیابید:

معاینه:

حالا یک مشکل کمی دشوارتر را حل کنید:

بردار با شروع در یک نقطه دارای co-or-di-na-you است. نقاط abs-cis-su را پیدا کنید.

همه یکسان کاملاً مبتذل است: بگذارید مختصات نقطه باشد. سپس

من سیستم را بر اساس تعریف مختصات برداری کامپایل کردم. سپس نقطه دارای مختصاتی است. ما به آبسیسا علاقه مندیم. سپس

پاسخ:

چه کارهای دیگری می توانید با بردارها انجام دهید؟ بله، تقریباً همه چیز مانند اعداد معمولی است (به جز این که نمی توانید تقسیم کنید، اما می توانید به دو روش ضرب کنید، که یکی از آنها را در اینجا کمی بعداً بررسی خواهیم کرد)

1. بردارها را می توان به یکدیگر اضافه کرد
2. بردارها را می توان از یکدیگر کم کرد
3. بردارها را می توان با یک عدد غیر صفر دلخواه ضرب (یا تقسیم کرد).
4. بردارها را می توان در یکدیگر ضرب کرد

همه این عملیات ها نمایش هندسی بسیار واضحی دارند. به عنوان مثال، قانون مثلث (یا متوازی الاضلاع) برای جمع و تفریق:

یک بردار با ضرب یا تقسیم بر یک عدد منقبض یا منقبض می شود یا جهتش را تغییر می دهد:

با این حال، در اینجا ما به این سوال علاقه مند خواهیم شد که چه اتفاقی برای مختصات می افتد.

1. هنگام جمع (تفریق) دو بردار، مختصات آنها را عنصر به عنصر اضافه می کنیم (تفریق). به این معنا که:

2. هنگام ضرب (تقسیم) یک بردار در یک عدد، تمام مختصات آن در این عدد ضرب (تقسیم) می شود:

مثلا:

· مقدار کو یا دی نات قرن به را بیابید.

ابتدا مختصات هر یک از بردارها را پیدا می کنیم. هر دوی آنها منشا یکسانی دارند - نقطه مبدا. انتهای آنها متفاوت است. سپس، . حال مختصات بردار را محاسبه می کنیم سپس مجموع مختصات بردار حاصل برابر است.

پاسخ:

حالا خودتان مشکل زیر را حل کنید:

· مجموع مختصات بردار را بیابید

بررسی می کنیم:

بیایید اکنون مشکل زیر را در نظر بگیریم: ما دو نقطه در صفحه مختصات داریم. چگونه فاصله بین آنها را پیدا کنیم؟ بگذارید نکته اول باشد و دومی. اجازه دهید فاصله بین آنها را با علامت گذاری کنیم. بیایید برای وضوح تصویر زیر را انجام دهیم:

من چه کرده ام؟ ابتدا نقاط را به هم وصل کردم و همچنین از نقطه ای که یک خط موازی با محور رسم کردم و از نقطه ای که یک خط موازی با محور رسم کردم. آیا آنها در یک نقطه تقاطع یافتند و شکل قابل توجهی را تشکیل دادند؟ چه چیز خاصی در مورد او وجود دارد؟ بله، من و شما تقریباً همه چیز را می دانیم راست گوشه. خب، قضیه فیثاغورث قطعا. قطعه مورد نیاز هپوتنوز این مثلث است و پاره ها پاها هستند. مختصات نقطه چیست؟ بله، آنها به راحتی از تصویر پیدا می شوند: از آنجایی که بخش ها موازی محورها هستند و به ترتیب، طول آنها به راحتی پیدا می شود: اگر طول پاره ها را به ترتیب با علامت گذاری کنیم، سپس

حال بیایید از قضیه فیثاغورث استفاده کنیم. ما طول پاها را می دانیم، هیپوتانوس را پیدا می کنیم:

بنابراین، فاصله بین دو نقطه، ریشه مجموع اختلاف مجذور از مختصات است. یا - فاصله بین دو نقطه طول قطعه ای است که آنها را به هم متصل می کند. به راحتی می توان فهمید که فاصله بین نقاط به جهت بستگی ندارد. سپس:

از اینجا سه ​​نتیجه می گیریم:

بیایید کمی در مورد محاسبه فاصله بین دو نقطه تمرین کنیم:

به عنوان مثال، اگر، پس فاصله بین و برابر است با

یا به راه دیگری برویم: مختصات بردار را پیدا کنید

و طول بردار را پیدا کنید:

همانطور که می بینید، همان چیزی است!

حالا خودتان کمی تمرین کنید:

وظیفه: فاصله بین نقاط مشخص شده را پیدا کنید:

بررسی می کنیم:

در اینجا چند مشکل دیگر با استفاده از فرمول مشابه وجود دارد، اگرچه آنها کمی متفاوت به نظر می رسند:

1. مربع طول پلک را پیدا کنید.

2. مربع طول پلک را پیدا کنید

فکر می کنم بدون مشکل با آنها برخورد کردید؟ بررسی می کنیم:

1. و این برای توجه است) ما قبلا مختصات بردارها را پیدا کرده ایم: . سپس بردار مختصاتی دارد. مربع طول آن برابر خواهد بود با:

2. مختصات بردار را بیابید

سپس مربع طول آن است

هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟ محاسبات ساده، نه بیشتر.

مشکلات زیر را نمی توان به طور واضح طبقه بندی کرد؛ آنها بیشتر در مورد دانش عمومی و توانایی ترسیم تصاویر ساده هستند.

1. سینوس زاویه را از برش پیدا کنید، نقطه را با محور آبسیسا وصل کنید.

و

چگونه می خواهیم در اینجا پیش برویم؟ ما باید سینوس زاویه بین و محور را پیدا کنیم. کجا دنبال سینوس بگردیم؟ درست است، در یک مثلث قائم الزاویه. پس باید چکار کنیم؟ این مثلث را بسازید!

از آنجایی که مختصات نقطه و، پس پاره برابر است با، و پاره. باید سینوس زاویه را پیدا کنیم. اجازه دهید یادآوری کنم که سینوس یک نسبت است طرف مقابلسپس به هیپوتانوز

چه کاری برای ما باقی می ماند؟ هیپوتانوس را پیدا کنید. شما می توانید این کار را به دو صورت انجام دهید: با استفاده از قضیه فیثاغورث (پاها مشخص است!) یا استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه (در واقع همان روش اول!). من راه دوم را می روم:

پاسخ:

کار بعدی برای شما آسان تر به نظر می رسد. او در مختصات نقطه است.

وظیفه 2.از نقطه ای که per-pen-di-ku-lyar روی محور ab-ciss پایین می آید. نای-دی-ته ابس-سیس-سو او-نو-وا-نیا پر-پن-دی-کو-لا-را.

بیایید یک نقاشی بکشیم:

قاعده یک عمود نقطه ای است که در آن محور x (محور) را قطع می کند، برای من این یک نقطه است. شکل نشان می دهد که دارای مختصات است: . ما به abscissa علاقه مندیم - یعنی جزء "x". او برابر است.

پاسخ: .

وظیفه 3.در شرایط مسئله قبلی مجموع فواصل نقطه تا محورهای مختصات را بیابید.

اگر بدانید فاصله یک نقطه تا محورها چقدر است، کار به طور کلی ابتدایی است. میدونی؟ من امیدوارم، اما هنوز به شما یادآوری می کنم:

بنابراین، در طراحی من دقیقاً در بالا، آیا قبلاً یکی از این عمودها را کشیده ام؟ در کدام محور است؟ به محور. و پس طول آن چقدر است؟ او برابر است. حالا خودتان یک عمود بر محور بکشید و طول آن را پیدا کنید. برابر خواهد بود، درست است؟ سپس مجموع آنها برابر است.

پاسخ: .

وظیفه 4.در شرایط تکلیف 2 ترتیب یک نقطه متقارن به نقطه نسبت به محور آبسیسا را ​​پیدا کنید.

فکر می کنم به طور شهودی برای شما روشن است که تقارن چیست؟ بسیاری از اشیاء آن را دارند: بسیاری از ساختمان ها، میزها، هواپیماها، بسیاری از اشکال هندسی: توپ، استوانه، مربع، لوزی و غیره. به طور کلی، تقارن را می توان به صورت زیر درک کرد: یک شکل از دو (یا بیشتر) نیمه یکسان تشکیل شده است. این تقارن را تقارن محوری می نامند. پس یک محور چیست؟ این دقیقاً همان خطی است که در امتداد آن شکل می تواند، به طور نسبی، به نصف های مساوی بریده شود (در این تصویر، محور تقارن مستقیم است):

حالا بیایید به وظیفه خود برگردیم. می دانیم که به دنبال نقطه ای هستیم که نسبت به محور متقارن باشد. سپس این محور، محور تقارن است. این بدان معناست که باید نقطه ای را علامت گذاری کنیم که محور قطعه را به دو قسمت مساوی برش دهد. سعی کنید خودتان چنین نکته ای را مشخص کنید. حالا با راه حل من مقایسه کنید:

برای شما هم به همین شکل بود؟ خوب! ما به ترتیب نقطه یافت شده علاقه مندیم. برابر است

پاسخ:

حالا به من بگویید، پس از چند ثانیه فکر کردن، ابسیسا یک نقطه متقارن با نقطه A نسبت به مجمل چقدر خواهد بود؟ پاسخ شما چیست؟ پاسخ صحیح: .

به طور کلی، قانون را می توان اینگونه نوشت:

یک نقطه متقارن به یک نقطه نسبت به محور آبسیسا دارای مختصات است:

یک نقطه متقارن به یک نقطه نسبت به محور مختصات:

خب الان کاملا ترسناکه وظیفه: مختصات یک نقطه متقارن به نقطه نسبت به مبدا را پیدا کنید. شما ابتدا خودتان فکر کنید و بعد به نقاشی من نگاه کنید!

پاسخ:

اکنون مسئله متوازی الاضلاع:

وظیفه 5: نقاط ظاهر می شوند ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. or-di-on-آن نقطه را پیدا کنید.

شما می توانید این مشکل را به دو روش حل کنید: منطق و روش مختصات. من ابتدا از روش مختصات استفاده می کنم و سپس به شما می گویم که چگونه می توانید آن را متفاوت حل کنید.

کاملاً واضح است که ابسیسا نقطه برابر است. (روی عمود کشیده شده از نقطه به محور آبسیسا قرار دارد). ما باید منتخب را پیدا کنیم. بیایید از این واقعیت استفاده کنیم که شکل ما متوازی الاضلاع است، این به این معنی است. بیایید طول قطعه را با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه پیدا کنیم:

عمود اتصال نقطه به محور را پایین می آوریم. نقطه تقاطع را با یک حرف نشان می دهم.

طول قطعه برابر است. (مشکل را خودتان در جایی که در مورد این نکته بحث کردیم پیدا کنید)، سپس طول بخش را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا خواهیم کرد:

طول یک قطعه دقیقاً با مختصات آن منطبق است.

پاسخ: .

راه حل دیگر (فقط یک عکس می دهم که آن را نشان می دهد)

پیشرفت راه حل:

1. رفتار

2. مختصات نقطه و طول را بیابید

3. این را ثابت کنید.

یکی دیگه مشکل طول قطعه:

نقاط در بالای مثلث ظاهر می شوند. طول خط وسط آن را موازی پیدا کنید.

آیا یادتان هست خط وسط مثلث چیست؟ سپس این کار برای شما ابتدایی است. اگر یادتان نیست یادآوری می کنم: خط وسط مثلث خطی است که وسط اضلاع مقابل را به هم وصل می کند. موازی با پایه و برابر با نیمی از آن است.

پایه یک بخش است. باید زودتر دنبال طولش می گشتیم، مساوی است. سپس طول خط وسط نصف بزرگ و مساوی است.

پاسخ: .

نظر: این مشکل به روش دیگری قابل حل است که کمی بعد به آن خواهیم پرداخت.

در ضمن چند تا مشکل براتون میزارم روی اونها تمرین کنید خیلی ساده هستن ولی به شما کمک میکنن در استفاده از روش مختصات بهتر بشین!

1. نقاط در بالای ترفندها هستند. طول خط وسط آن را پیدا کنید.

2. نکات و ظواهر ور-شی-نا-می پا-رال-له-لو-گرام-ما. or-di-on-آن نقطه را پیدا کنید.

3. طول را از برش، اتصال نقطه و

4. ناحیه پشت شکل رنگی را در صفحه هماهنگ پیدا کنید.

5. دایره ای با مرکز na-cha-le ko-or-di-nat از نقطه عبور می کند. Ra-di-us او را پیدا کنید.

6. یافت-دی-ته را-دی-وس دایره، توصیف-سان-نوی در مورد زاویه راست-نه-کا، بالای چیزی یک هم یا -دی-نا-تو خیلی مسئولی.

راه حل ها:

1. معلوم است که خط وسط ذوزنقه برابر با نصف مجموع قاعده های آن است. پایه برابر است و پایه. سپس

پاسخ:

2. ساده ترین راه برای حل این مشکل توجه به آن (قانون متوازی الاضلاع) است. محاسبه مختصات بردارها کار سختی نیست: . هنگام اضافه کردن بردارها، مختصات اضافه می شوند. سپس مختصات دارد. نقطه نیز دارای این مختصات است، زیرا مبدأ بردار نقطه با مختصات است. ما به ترتیب علاقه مندیم. او برابر است.

پاسخ:

3. بلافاصله طبق فرمول فاصله بین دو نقطه عمل می کنیم:

پاسخ:

4. به تصویر نگاه کنید و به من بگویید ناحیه سایه دار بین کدام دو شکل "ساندویچ" شده است؟ بین دو مربع قرار گرفته است. سپس مساحت شکل مورد نظر برابر است با مساحت مربع بزرگ منهای مساحت مربع کوچک. ضلع مربع کوچک قطعه ای است که نقاط را به هم متصل می کند و طول آن برابر است

سپس مساحت مربع کوچک است

ما همین کار را با یک مربع بزرگ انجام می دهیم: ضلع آن قطعه ای است که نقاط را به هم متصل می کند و طول آن است

سپس مساحت مربع بزرگ است

مساحت شکل مورد نظر را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

پاسخ:

5. اگر دایره ای مبدأ را به عنوان مرکز خود داشته باشد و از نقطه ای عبور کند، شعاع آن دقیقاً برابر با طول قطعه خواهد بود (یک نقاشی بکشید و خواهید فهمید که چرا این واضح است). بیایید طول این بخش را پیدا کنیم:

پاسخ:

6. معلوم است که شعاع دایره ای که اطراف یک مستطیل است برابر با نصف قطر آن است. بیایید طول هر یک از دو مورب را پیدا کنیم (به هر حال، در یک مستطیل آنها مساوی هستند!)

پاسخ:

خوب با همه چیز کنار آمدی؟ فهمیدنش خیلی سخت نبود، نه؟ در اینجا فقط یک قانون وجود دارد - بتوانید یک تصویر بصری ایجاد کنید و به سادگی تمام داده ها را از آن "خواندن" کنید.

خیلی کم داریم. به معنای واقعی کلمه دو نکته دیگر وجود دارد که می خواهم در مورد آنها صحبت کنم.

بیایید سعی کنیم این مشکل ساده را حل کنیم. بگذارید دو امتیاز و داده شود. مختصات نقطه وسط پاره را پیدا کنید. راه حل این مشکل به شرح زیر است: بگذارید نقطه وسط مورد نظر باشد، سپس مختصات دارد:

به این معنا که: مختصات وسط پاره = میانگین حسابی مختصات متناظر انتهای پاره.

این قانون بسیار ساده است و معمولاً برای دانش آموزان مشکلی ایجاد نمی کند. بیایید ببینیم در چه مشکلاتی و چگونه استفاده می شود:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut، connect-the-point و

2. به نظر می رسد که نقاط در بالای جهان هستند. یافت-دی-ته یا-دی-نا-تو نقاط پر-ری-سه-چه-نیای او دیا-گو-نا-لی.

3. Find-di-te abs-cis-su مرکز دایره، توصیف-san-noy در مورد مستطیل-no-ka، بالای چیزی دارای co-or-di-na-شما خیلی مسئولانه-اما.

راه حل ها:

1. مشکل اول به سادگی یک کلاسیک است. بلافاصله برای تعیین وسط قطعه اقدام می کنیم. مختصات دارد. ترتیب مساوی است.

پاسخ:

2. به راحتی می توان فهمید که این چهار ضلعی متوازی الاضلاع است (حتی یک لوزی!). این را خودتان می توانید با محاسبه طول اضلاع و مقایسه آنها با یکدیگر ثابت کنید. از متوازی الاضلاع چه می دانم؟ قطرهای آن بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند! آره پس نقطه تلاقی قطرها چیست؟ این وسط هر یک از مورب ها است! من به ویژه مورب را انتخاب خواهم کرد. سپس نقطه دارای مختصاتی است که مختصات نقطه برابر است با.

پاسخ:

3. مرکز دایره ای که پیرامون مستطیل محصور شده است با چه منطبق است؟ منطبق با نقطه تقاطع قطرهای آن است. از قطرهای یک مستطیل چه می دانید؟ آنها مساوی هستند و نقطه تقاطع آنها را به نصف تقسیم می کند. وظیفه به کار قبلی کاهش یافت. به عنوان مثال، قطر را در نظر بگیرید. سپس اگر مرکز دایره باشد، آنگاه نقطه وسط است. من به دنبال مختصات هستم: آبسیسا برابر است.

پاسخ:

حالا خودتان کمی تمرین کنید، من فقط پاسخ هر مشکل را می‌دهم تا بتوانید خودتان را امتحان کنید.

1. Find-di-te ra-di-us دایره، توصیف-san-noy در مورد سه زاویه-no-ka، بالای چیزی یک co-or-di -no misters دارد.

2. یافتن-دی-ته یا-دی-رو-آن مرکز دایره، سان-نوی را در مورد مثلث-no-ka توصیف کنید، که بالای آن دارای مختصات است.

3. دایره ای با مرکز در یک نقطه به گونه ای که محور ab-ciss را لمس کند چه نوع رادی-و-سا باید باشد؟

4. یافتن-دی-آنها یا-دی-روی-آن نقطه ی دوباره ی اتصال محور و از-برش، اتصال-نقطه و

پاسخ ها:

آیا همه چیز موفق بود؟ من واقعا به آن امیدوارم! اکنون - آخرین فشار. حالا به خصوص مراقب باشید. مطالبی که اکنون توضیح خواهم داد نه تنها به طور مستقیم به آن مربوط است کارهای سادهبه روش مختصات از قسمت B، اما همچنین در همه جای مسئله C2 یافت می شود.

به کدام یک از وعده هایم هنوز عمل نکرده ام؟ به یاد دارید چه عملیاتی را روی بردارها قول معرفی کردم و در نهایت کدام را معرفی کردم؟ مطمئنی من چیزی را فراموش نکرده ام؟ یادم رفت! یادم رفت توضیح دهم ضرب برداری یعنی چه.

دو روش برای ضرب یک بردار در یک بردار وجود دارد. بسته به روش انتخاب شده، اشیایی با ماهیت های مختلف دریافت خواهیم کرد:

محصول متقاطع کاملاً هوشمندانه انجام می شود. در مقاله بعدی به چگونگی انجام آن و چرایی نیاز آن خواهیم پرداخت. و در این یکی ما بر روی محصول اسکالر تمرکز خواهیم کرد.

دو روش وجود دارد که به ما امکان محاسبه آن را می دهد:

همانطور که حدس زدید، نتیجه باید یکسان باشد! پس بیایید ابتدا روش اول را بررسی کنیم:

محصول نقطه از طریق مختصات

یافتن: - نماد پذیرفته شده کلی برای محصول اسکالر

فرمول محاسبه به شرح زیر است:

یعنی حاصل ضرب اسکالر = مجموع حاصلضرب مختصات برداری!

مثال:

پیدا-دی-ته

راه حل:

بیایید مختصات هر یک از بردارها را پیدا کنیم:

ما حاصل ضرب اسکالر را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم:

پاسخ:

ببینید، مطلقاً هیچ چیز پیچیده ای نیست!

خب حالا خودت امتحان کن:

· یافتن اسکالر طرفدار ایز و د نی از قرن ها و

توانستی مدیریت کنی؟ شاید متوجه شکار کوچکی شده اید؟ بیایید بررسی کنیم:

مختصات برداری، مانند مشکل قبلی! پاسخ: .

علاوه بر مختصات، روش دیگری برای محاسبه حاصل ضرب اسکالر وجود دارد، یعنی از طریق طول بردارها و کسینوس زاویه بین آنها:

نشان دهنده زاویه بین بردارها و.

یعنی حاصل ضرب اسکالر برابر است با حاصل ضرب طول بردارها و کسینوس زاویه بین آنها.

چرا به این فرمول دوم نیاز داریم، اگر فرمول اول را داریم که بسیار ساده تر است، حداقل کسینوس در آن وجود ندارد. و لازم است تا از فرمول اول و دوم من و شما به این نتیجه برسیم که چگونه زاویه بین بردارها را پیدا کنیم!

اجازه دهید سپس فرمول طول بردار را به خاطر بسپارید!

سپس اگر این داده ها را با فرمول محصول اسکالر جایگزین کنم، دریافت می کنم:

اما به شکلی دیگر:

پس من و تو چی گرفتیم؟ اکنون فرمولی داریم که به ما امکان می دهد زاویه بین دو بردار را محاسبه کنیم! گاهی هم برای اختصار اینگونه می نویسند:

یعنی الگوریتم محاسبه زاویه بین بردارها به صورت زیر است:

1. حاصل ضرب اسکالر را از طریق مختصات محاسبه کنید
2. طول بردارها را بیابید و آنها را ضرب کنید
3. نتیجه نقطه 1 را بر نتیجه نقطه 2 تقسیم کنید

بیایید با مثال ها تمرین کنیم:

1. زاویه بین پلک ها و. پاسخ را در grad-du-sah بدهید.

2. در شرایط مسئله قبلی، کسینوس بین بردارها را پیدا کنید

بیایید این کار را انجام دهیم: من به شما کمک می کنم مشکل اول را حل کنید و سعی کنید دومی را خودتان انجام دهید! موافق؟ سپس بیایید شروع کنیم!

1. این بردارها دوستان قدیمی ما هستند. ما قبلاً حاصل ضرب اسکالر آنها را محاسبه کرده ایم و برابر بود. مختصات آنها عبارتند از: , . سپس طول آنها را پیدا می کنیم:

سپس به دنبال کسینوس بین بردارها می گردیم:

کسینوس زاویه چیست؟ این گوشه است.

پاسخ:

خب حالا خودت مشکل دوم رو حل کن بعد مقایسه کن! من فقط یک راه حل بسیار کوتاه می دهم:

2. مختصات دارد، مختصات دارد.

اجازه دهید زاویه بین بردارها و سپس

پاسخ:

لازم به ذکر است که مشکلات به طور مستقیم بر روی بردارها و روش مختصات در قسمت B مقاله امتحانی بسیار نادر است. با این حال، اکثریت قریب به اتفاق مسائل C2 را می توان به راحتی با معرفی یک سیستم مختصات حل کرد. بنابراین می توانید این مقاله را پایه ای در نظر بگیرید که بر اساس آن ساخت و سازهای کاملاً هوشمندانه ای خواهیم ساخت که برای حل مشکلات پیچیده به آن نیاز داریم.

مختصات و بردارها. سطح متوسط

من و شما به مطالعه روش مختصات ادامه می دهیم. در قسمت آخر، تعدادی فرمول مهم را استخراج کردیم که به شما امکان می دهد:

1. مختصات برداری را پیدا کنید
2. طول یک بردار را بیابید (به طور متناوب: فاصله بین دو نقطه)
3. بردارها را جمع و تفریق کنید. آنها را در یک عدد واقعی ضرب کنید
4. نقطه وسط یک پاره را پیدا کنید
5. محاسبه حاصل ضرب نقطه ای بردارها
6. زاویه بین بردارها را پیدا کنید

البته کل روش مختصات در این 6 نقطه نمی گنجد. زیربنای علمی مانند هندسه تحلیلی است که در دانشگاه با آن آشنا خواهید شد. من فقط می خواهم پایه ای بسازم که به شما امکان می دهد مشکلات را در یک دولت حل کنید. امتحان ما به وظایف قسمت B پرداختیم. اکنون زمان آن است که به سمت کیفیت بالا برویم سطح جدید! این مقاله به روشی برای حل مسائل C2 اختصاص خواهد داشت که در آن جابجایی به روش مختصات منطقی است. این معقول بودن با آنچه که باید در مسئله یافت شود و چه رقمی ارائه می شود تعیین می شود. بنابراین، اگر سؤالات زیر باشد، از روش مختصات استفاده می کنم:

1. زاویه بین دو صفحه را پیدا کنید
2. زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه را پیدا کنید
3. زاویه بین دو خط مستقیم را پیدا کنید
4. فاصله یک نقطه تا یک صفحه را پیدا کنید
5. فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید
6. فاصله یک خط مستقیم تا یک صفحه را پیدا کنید
7. فاصله بین دو خط را پیدا کنید

اگر شکل داده شده در بیان مسئله بدنه ای از چرخش باشد (توپ، استوانه، مخروط...)

ارقام مناسب برای روش مختصات عبارتند از:

1. متوازی الاضلاع مستطیلی
2. هرم (مثلثی، چهار گوش، شش ضلعی)

همچنین از تجربه من استفاده از روش مختصات برای آن نامناسب است:

1. یافتن مناطق مقطعی
2. محاسبه حجم اجسام

با این حال، بلافاصله باید توجه داشت که سه موقعیت "نامطلوب" برای روش مختصات در عمل بسیار نادر است. در بیشتر کارها، می تواند ناجی شما باشد، به خصوص اگر در ساخت و سازهای سه بعدی (که گاهی اوقات می تواند کاملاً پیچیده باشد) خیلی خوب نباشید.

تمام ارقامی که در بالا ذکر کردم چیست؟ آنها دیگر مسطح نیستند، مثلاً مربع، مثلث، دایره، بلکه حجیم هستند! بر این اساس، ما باید یک سیستم مختصات دو بعدی را در نظر نگیریم. ساختن آن کاملاً آسان است: فقط علاوه بر محور ابسیسا و مختصات، محور دیگری به نام محور کاربردی را معرفی خواهیم کرد. شکل به صورت شماتیک موقعیت نسبی آنها را نشان می دهد:

همه آنها عمود بر یکدیگر هستند و در یک نقطه متقاطع می شوند که ما آن را مبدأ مختصات می نامیم. مانند قبل، محور آبسیسا، محور ارتین - و محور کاربردی معرفی شده - را نشان خواهیم داد.

اگر قبلاً هر نقطه در هواپیما با دو عدد مشخص می شد - ابسیسا و مختصات، در این صورت هر نقطه در فضا قبلاً با سه عدد توصیف می شود - ابسیسا، ترتیب و اعمال. مثلا:

بر این اساس، انتزاع یک نقطه برابر است، ترتیب یک و مصداق است.

گاهی به ابسیسا یک نقطه، برآمدگی یک نقطه بر محور ابسیسا، اردینات - برآمدگی یک نقطه بر محور مجال، و اعمال - برآمدگی یک نقطه بر روی محور اعمالی نیز گفته می شود. بر این اساس، اگر یک نقطه داده شود، یک نقطه با مختصات:

به پرتاب یک نقطه بر روی صفحه می گویند

به پرتاب یک نقطه بر روی صفحه می گویند

یک سوال طبیعی مطرح می شود: آیا همه فرمول های مشتق شده برای حالت دو بعدی در فضا معتبر هستند؟ پاسخ مثبت است، آنها منصف هستند و ظاهر یکسانی دارند. برای یک جزئیات کوچک. فکر می کنم قبلاً حدس زده اید که کدام است. در تمام فرمول ها باید یک عبارت دیگر که مسئول محور کاربردی است اضافه کنیم. برای مثال.

1. اگر دو امتیاز داده شود:

• مختصات برداری:
• فاصله بین دو نقطه (یا طول برداری)
• نقطه میانی قطعه دارای مختصاتی است

2. اگر دو بردار داده شود: and، سپس:

• حاصل ضرب اسکالر آنها برابر است با:
• کسینوس زاویه بین بردارها برابر است با:

با این حال، فضا به این سادگی نیست. همانطور که می دانید، افزودن یک مختصات دیگر تنوع قابل توجهی را در طیف چهره های "زندگی" در این فضا ایجاد می کند. و برای روایت بیشتر لازم است که برخی، به طور تقریبی، «تعمیم» خط مستقیم را معرفی کنم. این "تعمیم" یک هواپیما خواهد بود. از هواپیما چه می دانید؟ سعی کنید به این سوال پاسخ دهید که هواپیما چیست؟ گفتنش خیلی سخته با این حال، همه ما به طور شهودی تصور می کنیم که چگونه به نظر می رسد:

به طور کلی، این یک نوع "ورق" بی پایان است که در فضا گیر کرده است. "بی نهایت" باید درک شود که هواپیما در همه جهات گسترش می یابد، یعنی مساحت آن برابر با بی نهایت است. با این حال، این توضیح «عملی» کوچکترین ایده ای در مورد ساختار هواپیما نمی دهد. و این اوست که به ما علاقه مند خواهد شد.

بیایید یکی از بدیهیات اساسی هندسه را به یاد بیاوریم:

• یک خط مستقیم از دو نقطه مختلف در یک صفحه می گذرد و فقط یکی:

یا آنالوگ آن در فضا:

البته به یاد دارید که چگونه معادله یک خط را از دو نقطه داده شده استخراج کنید؛ اصلاً دشوار نیست: اگر نقطه اول دارای مختصات باشد: و دومی، معادله خط به صورت زیر خواهد بود:

شما این را در کلاس هفتم گرفتید. در فضا، معادله یک خط به این صورت است: اجازه دهید دو نقطه با مختصات به ما داده شود: سپس معادله خطی که از آنها می گذرد به شکل زیر است:

به عنوان مثال، یک خط از نقاط عبور می کند:

این را چگونه باید فهمید؟ این باید به صورت زیر درک شود: یک نقطه روی یک خط قرار دارد اگر مختصات آن سیستم زیر را برآورده کند:

ما علاقه زیادی به معادله خط نخواهیم داشت، اما باید به آن توجه کنیم مفهوم مهمبردار هدایت خط مستقیم. - هر بردار غیر صفر که روی یک خط معین یا موازی با آن قرار دارد.

برای مثال، هر دو بردار بردار جهت یک خط مستقیم هستند. بگذارید یک نقطه روی یک خط باشد و بگذارید بردار جهت آن باشد. سپس معادله خط را می توان به شکل زیر نوشت:

یک بار دیگر، من خیلی به معادله یک خط مستقیم علاقه مند نخواهم شد، اما واقعاً به شما نیاز دارم که به یاد داشته باشید که بردار جهت چیست! از نو: این هر بردار غیر صفر است که روی یک خط یا موازی با آن قرار دارد.

کنار کشیدن معادله یک هواپیما بر اساس سه نقطه داده شدهدیگر چندان پیش پا افتاده نیست و معمولاً در دوره به این موضوع پرداخته نمی شود دبیرستان. اما بیهوده! این تکنیک زمانی حیاتی است که برای حل مسائل پیچیده به روش مختصات متوسل شویم. با این حال، من فرض می کنم که شما مشتاق یادگیری چیز جدیدی هستید؟ علاوه بر این، زمانی که معلوم شود از قبل می دانید که چگونه از تکنیکی استفاده کنید که معمولاً در یک دوره هندسه تحلیلی مطالعه می شود، می توانید معلم خود را در دانشگاه تحت تأثیر قرار دهید. پس بیایید شروع کنیم.

معادله یک هواپیما با معادله یک خط مستقیم در یک صفحه تفاوت زیادی ندارد، یعنی به شکل زیر است:

برخی از اعداد (نه همه برابر با صفر) و متغیرها، به عنوان مثال: و غیره. همانطور که می بینید، معادله یک هواپیما با معادله یک خط مستقیم (تابع خطی) تفاوت زیادی ندارد. با این حال، یادت هست من و تو چه بحثی داشتیم؟ گفتیم که اگر سه نقطه داشته باشیم که روی یک خط قرار نگیرند، می‌توان معادله هواپیما را به‌طور منحصربه‌فرد از روی آنها بازسازی کرد. اما چگونه؟ من سعی می کنم آن را برای شما توضیح دهم.

از آنجایی که معادله هواپیما به صورت زیر است:

و نقاط متعلق به این صفحه هستند، پس هنگام جایگزینی مختصات هر نقطه در معادله صفحه باید هویت صحیح را بدست آوریم:

بنابراین، نیاز به حل سه معادله با مجهول وجود دارد! دوراهی! با این حال، همیشه می توانید فرض کنید که (برای انجام این کار باید تقسیم بر). بنابراین، سه معادله با سه مجهول دریافت می کنیم:

با این حال، ما چنین سیستمی را حل نمی کنیم، بلکه عبارت اسرارآمیزی که از آن حاصل می شود را می نویسیم:

معادله صفحه ای که از سه نقطه داده شده عبور می کند

\[\چپ| (\begin(آرایه)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(آرایه)) \right| = 0\]

متوقف کردن! این چیه؟ چند ماژول بسیار غیر معمول! با این حال، شیئی که در مقابل خود می بینید ربطی به ماژول ندارد. این شیء را دترمینان مرتبه سوم می نامند. از این به بعد، وقتی با روش مختصات در یک هواپیما سر و کار دارید، اغلب با همین عوامل تعیین کننده مواجه خواهید شد. تعیین کننده مرتبه سوم چیست؟ به اندازه کافی عجیب، این فقط یک عدد است. باقی مانده است که بفهمیم چه عدد خاصی را با تعیین کننده مقایسه خواهیم کرد.

اجازه دهید ابتدا دترمینال مرتبه سوم را در موارد بیشتر بنویسیم نمای کلی:

چند عدد کجاست علاوه بر این، منظور از شاخص اول، شماره ردیف، و از شاخص، شماره ستون است. به عنوان مثال، به این معنی است که این عدد در تقاطع ردیف دوم و ستون سوم است. بگذار آن را بپوشانیم سوال بعدی: دقیقا چگونه چنین تعیین کننده ای را محاسبه خواهیم کرد؟ یعنی چه عدد خاصی را با آن مقایسه خواهیم کرد؟ برای تعیین کننده مرتبه سوم یک قانون مثلث اکتشافی (بصری) وجود دارد، به نظر می رسد این است:

1. حاصل ضرب عناصر مورب اصلی (از گوشه سمت چپ بالا به سمت راست پایین) حاصل ضرب عناصر تشکیل دهنده مثلث اول "عمود" به مورب اصلی حاصل ضرب عناصر تشکیل دهنده مثلث دوم "عمود بر" مورب اصلی
2. حاصل ضرب عناصر مورب ثانویه (از گوشه سمت راست بالا به سمت چپ پایین) حاصل ضرب عناصر تشکیل دهنده مثلث اول "عمود" به مورب ثانویه حاصل ضرب عناصر تشکیل دهنده مثلث دوم "عمود" به مورب ثانویه
3. سپس تعیین کننده برابر است با تفاوت بین مقادیر به دست آمده در مرحله و

اگر همه اینها را با اعداد بنویسیم، عبارت زیر را دریافت می کنیم:

با این حال، لازم نیست روش محاسبه را در این فرم به خاطر بسپارید؛ کافی است فقط مثلث ها و همین ایده را در ذهن خود نگه دارید که چه چیزی به چه چیزی اضافه می شود و چه چیزی سپس از چه چیزی کم می شود).

بیایید روش مثلث را با یک مثال توضیح دهیم:

1. تعیین کننده را محاسبه کنید:

بیایید بفهمیم چه چیزی را اضافه و چه چیزی را کم می کنیم:

شرایطی که دارای امتیاز مثبت هستند:

این مورب اصلی است: حاصلضرب عناصر برابر است با

مثلث اول، «عمود بر مورب اصلی: حاصل ضرب عناصر برابر است با

مثلث دوم «عمود بر مورب اصلی: حاصل ضرب عناصر برابر است با

سه عدد را جمع کنید:

اصطلاحاتی که با منهای همراه هستند

این یک مورب جانبی است: حاصل ضرب عناصر برابر است با

مثلث اول، «عمود بر قطر ثانویه: حاصل ضرب عناصر برابر است با

مثلث دوم، «عمود بر قطر ثانویه: حاصل ضرب عناصر برابر است با

سه عدد را جمع کنید:

تنها کاری که باید انجام شود این است که مجموع عبارت‌های «بعلاوه» را از مجموع عبارت‌های «منهای» کم کنیم:

بدین ترتیب،

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده یا فراطبیعی در محاسبه تعیین کننده های مرتبه سوم وجود ندارد. فقط مهم است که مثلث ها را به خاطر بسپارید و خطاهای حسابی نداشته باشید. حالا سعی کنید خودتان آن را محاسبه کنید:

بررسی می کنیم:

1. مثلث اول عمود بر مورب اصلی:
2. مثلث دوم عمود بر مورب اصلی:
3. مجموع اصطلاحات با پلاس:
4. مثلث اول عمود بر مورب ثانویه:
5. مثلث دوم عمود بر مورب ضلع:
6. جمع عبارات با منفی:
7. مجموع عبارات با یک به علاوه منهای مجموع عبارت های با منهای:

در اینجا چند عامل دیگر وجود دارد، مقادیر آنها را خودتان محاسبه کنید و آنها را با پاسخ ها مقایسه کنید:

پاسخ ها:

خوب، آیا همه چیز همزمان بود؟ عالی است، پس می توانید ادامه دهید! اگر مشکلاتی وجود دارد، توصیه من این است: در اینترنت برنامه های زیادی برای محاسبه تعیین کننده آنلاین وجود دارد. تنها چیزی که نیاز دارید این است که تعیین کننده خود را بیابید، خودتان آن را محاسبه کنید و سپس آن را با آنچه برنامه محاسبه می کند مقایسه کنید. و به همین ترتیب تا زمانی که نتایج شروع به همزمانی کنند. مطمئنم این لحظه دیری نخواهد رسید!

حالا بیایید برگردیم به تعیین کننده ای که وقتی در مورد معادله هواپیمایی که از سه نقطه داده شده می گذرد، نوشتم:

تنها چیزی که نیاز دارید این است که مقدار آن را مستقیماً (با استفاده از روش مثلث) محاسبه کنید و نتیجه را صفر کنید. به طور طبیعی، از آنجایی که اینها متغیر هستند، مقداری از عبارت را دریافت خواهید کرد که به آنها بستگی دارد. این عبارت است که معادله صفحه ای خواهد بود که از سه نقطه داده شده عبور می کند که روی یک خط مستقیم قرار ندارند!

بیایید این موضوع را با یک مثال ساده توضیح دهیم:

1. معادله صفحه ای را بسازید که از نقاط عبور می کند

ما برای این سه نقطه یک عامل تعیین می کنیم:

بیایید ساده کنیم:

اکنون آن را مستقیماً با استفاده از قانون مثلث محاسبه می کنیم:

\[(\ چپ| (\شروع(آرایه)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\پایان(آرایه)) \ راست| = \چپ((x + 3) \راست) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \راست) + \چپ((y - 2) \راست) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

بنابراین، معادله صفحه ای که از نقاط عبور می کند به صورت زیر است:

اکنون سعی کنید یک مشکل را خودتان حل کنید و سپس در مورد آن بحث خواهیم کرد:

2. معادله هواپیمای عبوری از نقاط را بیابید

خوب، اکنون راه حل را مورد بحث قرار می دهیم:

بیایید یک تعیین کننده ایجاد کنیم:

و مقدار آن را محاسبه کنید:

سپس معادله هواپیما به شکل زیر است:

یا با کاهش، دریافت می کنیم:

اکنون دو وظیفه برای خودکنترلی:

1. معادله صفحه ای را بسازید که از سه نقطه عبور می کند:

پاسخ ها:

آیا همه چیز همزمان بود؟ باز هم، اگر مشکلات خاصی وجود دارد، پس توصیه من این است: سه نقطه را از سر خود بردارید (به احتمال زیاد روی یک خط مستقیم قرار نگیرند)، بر اساس آنها یک هواپیما بسازید. و سپس خود را آنلاین چک می کنید. به عنوان مثال در سایت:

با این حال، با کمک عوامل تعیین کننده، ما نه تنها معادله هواپیما را خواهیم ساخت. به یاد داشته باشید، من به شما گفتم که نه تنها محصول نقطه ای برای بردارها تعریف شده است. همچنین یک محصول برداری و همچنین یک محصول ترکیبی وجود دارد. و اگر حاصل ضرب اسکالر دو بردار عددی باشد، حاصل ضرب بردار دو بردار یک بردار خواهد بود و این بردار عمود بر بردارهای داده شده خواهد بود:

علاوه بر این، ماژول آن برابر با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها و. برای محاسبه فاصله یک نقطه تا یک خط به این بردار نیاز داریم. چگونه می توانیم بشماریم؟ محصول برداریبردارها و اگر مختصات آنها داده شود؟ تعیین کننده مرتبه سوم دوباره به کمک ما می آید. با این حال، قبل از اینکه به الگوریتم محاسبه حاصلضرب بردار بروم، باید یک انحراف کوچک انجام دهم.

این انحراف مربوط به بردارهای پایه است.

آنها به صورت شماتیک در شکل نشان داده شده اند:

به نظر شما چرا به آنها پایه می گویند؟ حقیقت این هست که :

یا در تصویر:

اعتبار این فرمول بدیهی است، زیرا:

اثر هنری وکتور

اکنون می توانم شروع به معرفی محصول متقاطع کنم:

حاصل ضرب برداری دو بردار یک بردار است که طبق قانون زیر محاسبه می شود:

حال بیایید چند نمونه از محاسبه ضربدری را بیان کنیم:

مثال 1: حاصل ضرب بردارها را بیابید:

راه حل: من یک تعیین کننده می سازم:

و من آن را محاسبه می کنم:

اکنون از نوشتن از طریق بردارهای پایه، به نماد برداری معمول بازخواهم گشت:

بدین ترتیب:

حالا امتحانش کن

آماده؟ بررسی می کنیم:

و به طور سنتی دو وظایف برای کنترل:

1. حاصلضرب برداری بردارهای زیر را بیابید:
2. حاصلضرب برداری بردارهای زیر را بیابید:

پاسخ ها:

حاصلضرب مخلوط سه بردار

آخرین ساختنی که به آن نیاز دارم حاصلضرب مخلوط سه بردار است. مانند یک عدد اسکالر یک عدد است. دو روش برای محاسبه آن وجود دارد. - از طریق یک تعیین کننده، - از طریق یک محصول مخلوط.

یعنی سه بردار به ما داده می شود:

سپس حاصلضرب مخلوط سه بردار را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

1. - یعنی حاصلضرب مخلوط حاصل ضرب اسکالر یک بردار و حاصلضرب برداری دو بردار دیگر است.

به عنوان مثال، حاصلضرب مخلوط سه بردار عبارت است از:

سعی کنید خودتان آن را با استفاده از حاصل ضرب برداری محاسبه کنید و مطمئن شوید که نتایج مطابقت دارند!

و دوباره - دو مثال برای تصمیم مستقل:

پاسخ ها:

انتخاب سیستم مختصات

خوب، اکنون ما تمام پایه های دانش لازم را برای حل مسائل پیچیده هندسی استریومتری داریم. با این حال، قبل از اینکه مستقیماً به مثال‌ها و الگوریتم‌هایی برای حل آنها بپردازیم، فکر می‌کنم که در این سؤال مفید خواهد بود: دقیقاً چگونه یک سیستم مختصات را برای یک شکل خاص انتخاب کنید.از این گذشته، این انتخاب موقعیت نسبی سیستم مختصات و شکل در فضا است که در نهایت تعیین می کند که محاسبات چقدر دست و پا گیر خواهند بود.

یادآور می شوم که در این بخش، ارقام زیر را در نظر می گیریم:

1. متوازی الاضلاع مستطیلی
2. منشور مستقیم (مثلثی، شش ضلعی ...)
3. هرم (مثلثی، چهار گوش)
4. چهار وجهی (همان هرم مثلثی)

برای یک متوازی الاضلاع یا مکعب مستطیلی، ساخت زیر را به شما توصیه می کنم:

یعنی شکل را "در گوشه" قرار می دهم. مکعب و متوازی الاضلاع بسیار هستند ارقام خوب. برای آنها، شما همیشه می توانید به راحتی مختصات رئوس آن را پیدا کنید. به عنوان مثال، اگر (همانطور که در تصویر نشان داده شده است)

سپس مختصات رئوس به صورت زیر است:

البته، لازم نیست این را به خاطر بسپارید، اما به یاد داشته باشید که چگونه یک مکعب یا متوازی الاضلاع مستطیل شکل را به بهترین شکل قرار دهید.

منشور مستقیم

منشور شکل مضر تری است. می توان آن را به روش های مختلف در فضا قرار داد. با این حال، گزینه زیر به نظر من قابل قبول ترین است:

منشور مثلثی:

یعنی یکی از اضلاع مثلث را کاملا روی محور قرار می دهیم و یکی از رئوس منطبق بر مبدا مختصات است.

منشور شش ضلعی:

یعنی یکی از رئوس با مبدا منطبق است و یکی از اضلاع روی محور قرار دارد.

هرم چهار گوش و شش ضلعی:

وضعیت شبیه به یک مکعب است: دو طرف پایه را با محورهای مختصات تراز می کنیم و یکی از رئوس را با مبدا مختصات تراز می کنیم. تنها مشکل جزئی محاسبه مختصات نقطه خواهد بود.

برای یک هرم شش ضلعی - مانند یک منشور شش ضلعی. وظیفه اصلی دوباره یافتن مختصات راس خواهد بود.

چهار وجهی (هرم مثلثی)

وضعیت بسیار شبیه به چیزی است که من برای یک منشور مثلثی ارائه کردم: یک راس منطبق بر مبدا، یک طرف روی محور مختصات قرار دارد.

خب، حالا من و شما بالاخره به حل مشکلات نزدیک شده ایم. از آنچه در همان ابتدای مقاله گفتم، می توانید به این نتیجه برسید: اکثر مسائل C2 به 2 دسته تقسیم می شوند: مسائل زاویه و مسایل فاصله. ابتدا به مشکلات یافتن زاویه می پردازیم. آنها به نوبه خود به دسته های زیر تقسیم می شوند (با افزایش پیچیدگی):

مشکلات برای یافتن زاویه

1. پیدا کردن زاویه بین دو خط مستقیم
2. پیدا کردن زاویه بین دو صفحه

بیایید به ترتیب به این مشکلات نگاه کنیم: بیایید با پیدا کردن زاویه بین دو خط مستقیم شروع کنیم. خوب، به یاد داشته باشید، آیا من و شما قبلاً نمونه های مشابه را حل نکرده ایم؟ یادت هست قبلا چیزی شبیه به آن داشتیم... ما به دنبال زاویه بین دو بردار بودیم. به شما یادآوری می کنم، اگر دو بردار داده شود: and، آنگاه زاویه بین آنها از رابطه پیدا می شود:

اکنون هدف ما یافتن زاویه بین دو خط مستقیم است. بیایید به "تصویر مسطح" نگاه کنیم:

با قطع شدن دو خط مستقیم به چند زاویه رسیدیم؟ فقط چند چیز درست است، تنها دو مورد از آنها برابر نیستند، در حالی که بقیه نسبت به آنها عمودی هستند (و بنابراین با آنها مطابقت دارند). پس زاویه بین دو خط مستقیم را کدام زاویه در نظر بگیریم: یا؟ در اینجا قانون این است: زاویه بین دو خط مستقیم همیشه بیشتر از درجه نیست. یعنی از دو زاویه همیشه زاویه ای را با اندازه کوچکترین درجه انتخاب می کنیم. یعنی در این تصویر زاویه بین دو خط مستقیم برابر است. ریاضیدانان حیله گر برای اینکه هر بار با یافتن کوچکترین دو زاویه اذیت نشوند، استفاده از یک مدول را پیشنهاد کردند. بنابراین، زاویه بین دو خط مستقیم با فرمول تعیین می شود:

شما، به عنوان یک خواننده با دقت، باید این سوال را داشته باشید: دقیقاً از کجا همین اعدادی را که برای محاسبه کسینوس یک زاویه نیاز داریم، بدست می آوریم؟ پاسخ: آنها را از بردارهای جهت خطوط می گیریم! بنابراین، الگوریتم برای یافتن زاویه بین دو خط مستقیم به شرح زیر است:

1. ما فرمول 1 را اعمال می کنیم.

یا با جزئیات بیشتر:

1. ما به دنبال مختصات بردار جهت اولین خط مستقیم هستیم
2. ما به دنبال مختصات بردار جهت خط مستقیم دوم هستیم
3. ما مدول حاصل ضرب اسکالر آنها را محاسبه می کنیم
4. ما به دنبال طول اولین بردار هستیم
5. ما به دنبال طول بردار دوم هستیم
6. نتایج نقطه 4 را در نتیجه 5 ضرب کنید
7. نتیجه نقطه 3 را بر نتیجه نقطه 6 تقسیم می کنیم. کسینوس زاویه بین خطوط بدست می آید.
8. اگر این نتیجه به ما اجازه دهد که زاویه را به طور دقیق محاسبه کنیم، آن را جستجو می کنیم
9. در غیر این صورت از طریق کسینوس قوس می نویسیم

خوب، اکنون زمان آن است که به سراغ مشکلات برویم: راه حل دو مورد اول را با جزئیات نشان می دهم، راه حل را به یکی دیگر ارائه خواهم کرد. به طور خلاصهو برای دو مشکل آخر فقط جواب می‌دهم، شما باید خودتان همه محاسبات را برای آنها انجام دهید.

وظایف:

1. در سمت راست، زاویه بین ارتفاع تت را و ضلع وسط را پیدا کنید.

2. در سمت راست شش گوشه پی را می ده، صد اوس نو و نیا مساوی و لبه های کناری مساوی است، زاویه بین خطوط را بیابید و.

3. طول تمام لبه های سمت راست چهار زغال پی-را-می-دی با یکدیگر برابر است. زاویه بین خطوط مستقیم را بیابید و اگر از برش - با پی را-می-دی داده شده هستید، نقطه se-re-di-روی دنده های bo-co- دوم آن است.

4. در لبه مکعب نقطه ای وجود دارد که زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنید و

5. نقطه - در لبه های مکعب زاویه بین خطوط مستقیم و.

تصادفی نیست که وظایف را به این ترتیب مرتب کردم. در حالی که شما هنوز شروع به پیمایش روش مختصات نکرده اید، من خودم "مشکل ساز" ترین ارقام را تجزیه و تحلیل می کنم و شما را به ساده ترین مکعب می گذارم! به تدریج باید یاد بگیرید که چگونه با تمام شکل ها کار کنید؛ من پیچیدگی کارها را از موضوعی به موضوع دیگر افزایش خواهم داد.

بیایید شروع به حل مشکلات کنیم:

1. یک چهار وجهی بکشید، آن را همانطور که قبلاً پیشنهاد کردم در سیستم مختصات قرار دهید. از آنجایی که چهار وجهی منظم است، تمام وجوه آن (از جمله قاعده) مثلث های منظم هستند. از آنجایی که طول ضلع به ما داده نمی شود، می توانم آن را برابر بدانم. فکر می‌کنم متوجه شده‌اید که زاویه واقعاً به میزان "کشش" چهار وجهی ما بستگی ندارد؟ همچنین ارتفاع و میانه را در چهار وجهی رسم خواهم کرد. در طول راه پایه آن را می کشم (برای ما هم مفید خواهد بود).

من باید زاویه بین و را پیدا کنم. چه می دانیم؟ ما فقط مختصات نقطه را می دانیم. یعنی باید مختصات نقاط را پیدا کنیم. حال فکر می کنیم: نقطه نقطه تلاقی ارتفاعات (یا نیمسازها یا وسط) مثلث است. و یک نقطه یک نقطه مطرح است. نقطه وسط بخش است. سپس در نهایت باید پیدا کنیم: مختصات نقاط: .

بیایید با ساده ترین چیز شروع کنیم: مختصات یک نقطه. به شکل نگاه کنید: واضح است که کاربرد یک نقطه برابر با صفر است (نقطه روی صفحه قرار دارد). ترتیب آن مساوی است (چون وسط است). پیدا کردن آبسیس آن دشوارتر است. با این حال، این به راحتی بر اساس قضیه فیثاغورث انجام می شود: یک مثلث را در نظر بگیرید. هیپوتنوز آن برابر است و یکی از پایه های آن برابر است سپس:

در نهایت داریم: .

حالا مختصات نقطه را پیدا می کنیم. معلوم است که مصداق آن دوباره برابر با صفر است و مصداق آن همان نقطه است، یعنی. بیایید آبسیسه آن را پیدا کنیم. اگر آن را به خاطر داشته باشید، این کار کاملاً پیش پا افتاده انجام می شود ارتفاعات مثلث متساوی الاضلاعنقطه تقاطع به نسبت تقسیم می شود، از بالا می شمرد. از آنجایی که: , پس آبسیسا مورد نیاز نقطه برابر با طول پاره برابر است با: . بنابراین مختصات نقطه عبارتند از:

بیایید مختصات نقطه را پیدا کنیم. واضح است که تبرّک و ترتیب آن منطبق بر تبرّک و ترتیب نقطه است. و درخواست برابر با طول قطعه است. - این یکی از پایه های مثلث است. هیپوتنوز یک مثلث یک قطعه - یک پا است. به دلایلی جستجو می شود که به صورت پررنگ برجسته کرده ام:

نقطه وسط بخش است. سپس باید فرمول مختصات نقطه میانی قطعه را به خاطر بسپاریم:

تمام است، اکنون می توانیم مختصات بردارهای جهت را جستجو کنیم:

خوب، همه چیز آماده است: همه داده ها را در فرمول جایگزین می کنیم:

بدین ترتیب،

پاسخ:

شما نباید از چنین پاسخ های "ترسناک" بترسید: برای مشکلات C2 این یک روش معمول است. ترجیح می دهم از پاسخ "زیبا" در این قسمت تعجب کنم. همچنین همانطور که متوجه شدید عملاً به غیر از قضیه فیثاغورث و خاصیت ارتفاعات مثلث متساوی الاضلاع متوسل نشدم. یعنی برای حل مشکل استریومتریک از حداقل استریومتری استفاده کردم. سود در این تا حدی با محاسبات نسبتاً دست و پا گیر "خاموش" می شود. اما کاملا الگوریتمی هستند!

2. اجازه دهید یک هرم شش ضلعی منظم را به همراه سیستم مختصات و همچنین پایه آن به تصویر بکشیم:

باید زاویه بین خطوط و را پیدا کنیم. بنابراین، وظیفه ما به یافتن مختصات نقاط می رسد: . مختصات سه مورد آخر را با استفاده از یک نقاشی کوچک پیدا می کنیم و مختصات راس را از طریق مختصات نقطه می یابیم. کارهای زیادی برای انجام دادن وجود دارد، اما باید شروع کنیم!

الف) مختصات: مشخص است که مصداق و مختصات آن برابر با صفر است. بیایید آبسیسا را ​​پیدا کنیم. برای این کار یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید. افسوس که در آن فقط هیپوتونوس را می دانیم که برابر است. ما سعی خواهیم کرد ساق را پیدا کنیم (چون واضح است که دو برابر طول ساق باعث می شود آبسیسا نقطه به ما برسد). چگونه می توانیم به دنبال آن باشیم؟ بیایید به یاد بیاوریم که چه شکلی در قاعده هرم داریم؟ این یک شش ضلعی منظم است. چه مفهومی داره؟ این بدان معنی است که همه اضلاع و همه زوایا برابر هستند. ما باید یکی از این زاویه ها را پیدا کنیم. هر ایده؟ ایده های زیادی وجود دارد، اما یک فرمول وجود دارد:

مجموع زوایای یک n-گون منتظم برابر است با .

بنابراین مجموع زوایای یک شش ضلعی منتظم برابر با درجه است. سپس هر یک از زوایا برابر است با:

بیایید دوباره به تصویر نگاه کنیم. واضح است که قطعه نیمساز زاویه است. سپس زاویه برابر با درجه است. سپس:

بعد از کجا

بنابراین، دارای مختصات است

ب) اکنون می توانیم مختصات نقطه را به راحتی پیدا کنیم: .

ج) مختصات نقطه را بیابید. از آنجایی که آبسیسه آن با طول قطعه منطبق است، برابر است. پیدا کردن مختصات نیز چندان دشوار نیست: اگر نقطه ها را به هم وصل کنیم و نقطه تقاطع خط را به عنوان مثال تعیین کنیم. (این کار را خودتان انجام دهید ساخت و ساز ساده). بنابراین، ترتیب نقطه B برابر است با مجموع طول قطعات. بیایید دوباره به مثلث نگاه کنیم. سپس

سپس از Then then نقطه دارای مختصاتی است

د) حالا مختصات نقطه را پیدا می کنیم. مستطیل را در نظر بگیرید و ثابت کنید که بنابراین مختصات نقطه عبارتند از:

ه) برای یافتن مختصات راس باقی مانده است. واضح است که تبرّک و ترتیب آن منطبق بر تبرّک و ترتیب نقطه است. بیایید اپلیکیشن را پیدا کنیم. از آن به بعد. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید. با توجه به شرایط مشکل، یک لبه جانبی. این هیپوتانوز مثلث من است. سپس ارتفاع هرم یک پا است.

سپس نقطه دارای مختصاتی است:

خوب، همین، من مختصات تمام نکاتی را که برایم جالب است، دارم. من به دنبال مختصات بردارهای هدایت کننده خطوط مستقیم هستم:

ما به دنبال زاویه بین این بردارها هستیم:

پاسخ:

باز هم، در حل این مشکل، من از هیچ تکنیک پیچیده ای به جز فرمول مجموع زوایای یک n-gon منظم و همچنین تعریف کسینوس و سینوس مثلث قائم الزاویه استفاده نکردم.

3. از آنجایی که دوباره طول لبه های هرم به ما داده نشده است، آنها را می شمارم. برابر با یک. بنابراین، از آنجایی که همه لبه ها، و نه فقط لبه های کناری، با یکدیگر برابر هستند، در قاعده هرم و من یک مربع وجود دارد و وجه های جانبی مثلث های منظم هستند. اجازه دهید چنین هرمی و همچنین پایه آن را روی یک صفحه بکشیم و تمام داده های داده شده در متن مسئله را یادداشت کنیم:

ما به دنبال زاویه بین و هستیم. وقتی مختصات نقاط را جستجو می کنم محاسبات بسیار مختصری انجام خواهم داد. شما باید آنها را "رمزگشایی" کنید:

ب) - وسط قطعه. مختصات آن:

ج) طول پاره را با استفاده از قضیه فیثاغورث در مثلث پیدا می کنم. من می توانم آن را با استفاده از قضیه فیثاغورث در یک مثلث پیدا کنم.

مختصات:

د) - وسط بخش. مختصات آن است

ه) مختصات برداری

و) مختصات برداری

ز) به دنبال زاویه:

مکعب ساده ترین شکل است. مطمئنم خودت متوجه میشی پاسخ مسائل 4 و 5 به شرح زیر است:

پیدا کردن زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه

خوب، زمان معماهای ساده به پایان رسیده است! اکنون مثال ها حتی پیچیده تر خواهند شد. برای یافتن زاویه بین خط و صفحه به صورت زیر عمل می کنیم:

1. با استفاده از سه نقطه معادله ای از هواپیما می سازیم
   ,
   با استفاده از یک تعیین کننده مرتبه سوم
2. با استفاده از دو نقطه، مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم را جستجو می کنیم:
3. برای محاسبه زاویه بین یک خط مستقیم و یک صفحه از فرمول استفاده می کنیم:

همانطور که می بینید، این فرمول بسیار شبیه فرمولی است که برای یافتن زاویه بین دو خط مستقیم استفاده کردیم. ساختار سمت راست به سادگی یکسان است و در سمت چپ ما اکنون به دنبال سینوس هستیم، نه کسینوس قبلی. خوب، یک اقدام بد اضافه شد - جستجو برای معادله هواپیما.

معطل نکنیم مثال های راه حل:

1. منشور مستقیم اصلی-اما-و-نی-ام-ما یک مثلث مساوی به ضعیف هستیم. زاویه بین خط مستقیم و صفحه را پیدا کنید

2. در یک مستطیل par-ral-le-le-pi-pe-de از غرب زاویه بین خط مستقیم و صفحه را پیدا کنید.

3. در یک منشور شش گوشه راست، تمام یال ها با هم برابرند. زاویه بین خط مستقیم و صفحه را پیدا کنید.

4. در مثلث راست پی را می د با os-no-va-ni-em از دنده های شناخته شده یک گوشه پیدا کنید، ob-ra-zo-van - مسطح در قاعده و مستقیم، عبور از خاکستری. دنده ها و

5. طول تمام یال های یک چهار گوش راست pi-ra-mi-dy با راس با یکدیگر برابر است. اگر نقطه در سمت لبه pi-ra-mi-dy باشد، زاویه بین خط مستقیم و صفحه را پیدا کنید.

باز هم دو مشکل اول را به طور مفصل حل می کنم، سومی را به طور خلاصه و دو تای آخر را می گذارم تا خودتان حل کنید. علاوه بر این، شما قبلاً مجبور شده اید با هرم های مثلثی و چهار گوش برخورد کنید، اما هنوز با منشورها سروکار نداشته اید.

راه حل ها:

1. اجازه دهید یک منشور و همچنین پایه آن را به تصویر بکشیم. بیایید آن را با سیستم مختصات ترکیب کنیم و تمام داده‌هایی را که در عبارت مشکل داده شده است یادداشت کنیم:

من از برخی عدم رعایت تناسب عذرخواهی می کنم، اما برای حل مشکل این در واقع چندان مهم نیست. هواپیما به سادگی "دیوار پشتی" منشور من است. کافی است حدس بزنیم که معادله چنین صفحه ای به شکل زیر است:

با این حال، این را می توان به طور مستقیم نشان داد:

بیایید سه نقطه دلخواه را در این صفحه انتخاب کنیم: به عنوان مثال، .

بیایید معادله هواپیما را ایجاد کنیم:

برای شما تمرین کنید: خودتان این عامل تعیین کننده را محاسبه کنید. موفق شدی؟ سپس معادله هواپیما به نظر می رسد:

یا به سادگی

بدین ترتیب،

برای حل مثال، باید مختصات بردار جهت خط مستقیم را پیدا کنم. از آنجایی که نقطه منطبق بر مبدا مختصات است، مختصات بردار به سادگی با مختصات نقطه منطبق خواهد شد، برای این کار ابتدا مختصات نقطه را پیدا می کنیم.

برای این کار یک مثلث را در نظر بگیرید. بیایید ارتفاع (همچنین به عنوان میانه و نیمساز شناخته می شود) را از راس رسم کنیم. از آنجا که، ترتیب نقطه برابر است با. برای یافتن آبسیسا این نقطه باید طول قطعه را محاسبه کنیم. طبق قضیه فیثاغورث داریم:

سپس نقطه دارای مختصاتی است:

نقطه یک نقطه "برآمده" است:

سپس مختصات برداری عبارتند از:

پاسخ:

همانطور که می بینید، هنگام حل چنین مشکلاتی هیچ چیز اساساً دشوار نیست. در واقع، این فرآیند با "صراط مستقیم" شکلی مانند منشور کمی ساده تر می شود. حالا بریم سراغ مثال بعدی:

2. یک متوازی الاضلاع رسم کنید، یک صفحه و یک خط مستقیم در آن بکشید و همچنین به طور جداگانه پایه پایینی آن را بکشید:

ابتدا معادله صفحه را پیدا می کنیم: مختصات سه نقطه در آن قرار دارد:

(دو مختصات اول به صورت واضح به دست می آیند و شما می توانید آخرین مختصات را از روی نقطه به راحتی از روی تصویر پیدا کنید). سپس معادله هواپیما را می سازیم:

محاسبه می کنیم:

ما به دنبال مختصات بردار راهنما هستیم: واضح است که مختصات آن با مختصات نقطه منطبق است، اینطور نیست؟ چگونه مختصات را پیدا کنیم؟ اینها مختصات نقطه هستند که در امتداد محور کاربردی یک بار بالا آمده اند! . سپس به دنبال زاویه مورد نظر می گردیم:

پاسخ:

3. یک هرم شش ضلعی منظم بکشید و سپس یک صفحه و یک خط مستقیم در آن بکشید.

در اینجا حتی ترسیم هواپیما مشکل است، نه به حل این مشکل، اما روش مختصات اهمیتی ندارد! تطبیق پذیری آن مزیت اصلی آن است!

هواپیما از سه نقطه عبور می کند: . ما به دنبال مختصات آنها هستیم:

1) . مختصات دو نقطه آخر را خودتان بیابید. برای این کار باید مشکل هرم شش ضلعی را حل کنید!

2) معادله هواپیما را می سازیم:

ما به دنبال مختصات بردار هستیم: . (مسئله هرم مثلثی را دوباره ببینید!)

3) به دنبال زاویه:

پاسخ:

همانطور که می بینید، هیچ چیز فوق طبیعی در این وظایف دشوار نیست. فقط باید خیلی مراقب ریشه ها باشید. من فقط به دو مشکل آخر پاسخ خواهم داد:

همانطور که می بینید، تکنیک حل مسائل در همه جا یکسان است: وظیفه اصلی یافتن مختصات رئوس و جایگزینی آنها با فرمول های خاص است. ما هنوز باید یک دسته دیگر از مسائل را برای محاسبه زاویه در نظر بگیریم، یعنی:

محاسبه زوایای بین دو صفحه

الگوریتم حل به صورت زیر خواهد بود:

1. با استفاده از سه نقطه معادله صفحه اول را جستجو می کنیم:
2. با استفاده از سه نقطه دیگر معادله صفحه دوم را جستجو می کنیم:
3. ما فرمول را اعمال می کنیم:

همانطور که می بینید، فرمول بسیار شبیه به دو فرمول قبلی است که با کمک آن به دنبال زاویه بین خطوط مستقیم و بین یک خط مستقیم و یک صفحه بودیم. بنابراین به خاطر سپردن این مورد برای شما دشوار نخواهد بود. بیایید به تجزیه و تحلیل وظایف بپردازیم:

1. ضلع قاعده منشور مثلثی راست مساوی و مورب وجه جانبی برابر است. زاویه بین صفحه و صفحه محور منشور را پیدا کنید.

2. در چهار گوشه سمت راست پی را می د، که تمام لبه های آن با هم مساوی است، سینوس زاویه بین صفحه و استخوان صفحه را پیدا کنید، از نقطه پر-قلم-دی-کو- عبور کنید. دروغگو، اما راست.

3. در یک منشور چهار گوشه منظم، اضلاع پایه برابر و لبه های جانبی برابر هستند. یک نقطه در لبه از-من-چه-آن وجود دارد به طوری که. زاویه بین صفحات و

4. در منشور چهار گوش راست، اضلاع قاعده مساوی، و لبه های جانبی برابر هستند. یک نقطه در لبه از نقطه وجود دارد به طوری که زاویه بین صفحات و.

5. در یک مکعب، co-si-nus زاویه بین صفحات و را پیدا کنید

راه حل های مشکل:

1. من یک منشور مثلثی منتظم (مثلث متساوی الاضلاع در قاعده) رسم می کنم و صفحاتی را که در بیان مسئله ظاهر می شوند روی آن علامت می زنم:

ما باید معادلات دو صفحه را پیدا کنیم: معادله پایه بی اهمیت است: شما می توانید تعیین کننده مربوطه را با استفاده از سه نقطه بسازید، اما من بلافاصله معادله را می سازم:

حالا بیایید معادله نقطه دارای مختصات نقطه است - از آنجایی که میانه و ارتفاع مثلث است، به راحتی با استفاده از قضیه فیثاغورث در مثلث پیدا می شود. سپس نقطه دارای مختصاتی است: بیایید کاربرد نقطه را پیدا کنیم برای این کار یک مثلث قائم الزاویه در نظر بگیرید.

سپس مختصات زیر را بدست می آوریم: معادله هواپیما را می سازیم.

ما زاویه بین صفحات را محاسبه می کنیم:

پاسخ:

2. کشیدن نقاشی:

دشوارترین چیز این است که بفهمیم این چه نوع هواپیمای مرموز است که به طور عمود از نقطه عبور می کند. خوب، نکته اصلی این است که چیست؟ نکته اصلی توجه است! در واقع خط عمود است. خط مستقیم نیز عمود است. سپس صفحه ای که از این دو خط می گذرد عمود بر خط خواهد بود و اتفاقاً از نقطه عبور می کند. این هواپیما از بالای هرم نیز عبور می کند. سپس هواپیمای مورد نظر - و هواپیما قبلاً در اختیار ما قرار گرفته است. ما به دنبال مختصات نقاط هستیم.

مختصات نقطه را از طریق نقطه پیدا می کنیم. از تصویر کوچک به راحتی می توان استنباط کرد که مختصات نقطه به صورت زیر خواهد بود: اکنون چه چیزی برای یافتن مختصات بالای هرم باقی مانده است؟ شما همچنین باید ارتفاع آن را محاسبه کنید. این کار با استفاده از همان قضیه فیثاغورث انجام می شود: ابتدا ثابت کنید که (به طور بی اهمیت از مثلث های کوچکی که یک مربع در قاعده تشکیل می دهند). از آنجایی که به شرط، ما داریم:

اکنون همه چیز آماده است: مختصات راس:

معادله هواپیما را می سازیم:

شما قبلاً در محاسبه عوامل تعیین کننده متخصص هستید. بدون مشکل دریافت خواهید کرد:

یا در غیر این صورت (اگر هر دو طرف را در ریشه دو ضرب کنیم)

حال بیایید معادله هواپیما را پیدا کنیم:

(فراموش نکرده اید که چگونه معادله یک هواپیما را به دست می آوریم، درست است؟ اگر متوجه نشدید که این منهای یک از کجا آمده است، پس به تعریف معادله یک هواپیما برگردید! همیشه قبل از آن مشخص می شد. هواپیمای من متعلق به مبدأ مختصات بود!)

ما تعیین کننده را محاسبه می کنیم:

(ممکن است متوجه شوید که معادله هواپیما با معادله خطی که از نقاط می گذرد منطبق است و به این فکر کنید که چرا!)

حالا بیایید زاویه را محاسبه کنیم:

باید سینوس را پیدا کنیم:

پاسخ:

3. سوال پیچیده: به نظر شما منشور مستطیلی چیست؟ این فقط یک متوازی الاضلاع است که شما خوب می دانید! بیایید بلافاصله یک نقاشی بکشیم! حتی لازم نیست پایه را جداگانه به تصویر بکشید؛ در اینجا کاربرد کمی دارد:

هواپیما، همانطور که قبلاً اشاره کردیم، به شکل یک معادله نوشته شده است:

حالا بیایید یک هواپیما بسازیم

بلافاصله معادله هواپیما را ایجاد می کنیم:

به دنبال زاویه:

اکنون پاسخ دو مشکل آخر:

خوب، اکنون وقت آن است که کمی استراحت کنیم، زیرا من و شما عالی هستیم و کار بزرگی انجام داده ایم!

مختصات و بردارها. سطح پیشرفته

در این مقاله با شما دسته دیگری از مسائل را که می توان با استفاده از روش مختصات حل کرد، بحث خواهیم کرد: مسائل محاسبه فاصله. یعنی موارد زیر را بررسی خواهیم کرد:

1. محاسبه فاصله بین خطوط متقاطع.

من این تکالیف را به منظور افزایش سختی سفارش داده ام. به نظر می رسد که پیدا کردن آن ساده ترین است فاصله از نقطه به هواپیما، و پیدا کردن سخت ترین چیز است فاصله بین خطوط عبور. اگرچه، البته، هیچ چیز غیر ممکن نیست! بیایید تعلل نکنیم و بلافاصله به بررسی اولین دسته از مشکلات بپردازیم:

محاسبه فاصله نقطه تا صفحه

برای حل این مشکل به چه چیزی نیاز داریم؟

1. مختصات نقطه

بنابراین، به محض دریافت تمام داده های لازم، فرمول را اعمال می کنیم:

شما از قبل باید بدانید که چگونه معادله یک هواپیما را از مسائل قبلی که در قسمت آخر بحث کردم، می سازیم. بیایید مستقیم به وظایف برسیم. طرح به شرح زیر است: 1، 2 - من به شما کمک می کنم تصمیم بگیرید، و در برخی جزئیات، 3، 4 - فقط پاسخ، شما خودتان راه حل را انجام دهید و مقایسه کنید. بیا شروع کنیم!

وظایف:

1. یک مکعب داده می شود. طول لبه مکعب برابر است. فاصله se-re-di-na را از برش تا صفحه پیدا کنید

2. با توجه به سمت راست چهار ذغال پی-را-می-بله، ضلع ضلع برابر با پایه است. فاصله نقطه تا صفحه را پیدا کنید که در آن - لبه‌ها را دوباره تکرار کنید.

3. در مثلث راست پی را می د با os-no-va-ni-em، لبه کناری برابر است، و صد رو روی os-no-vania برابر است. فاصله از بالا تا هواپیما را پیدا کنید.

4. در یک منشور شش ضلعی راست، تمام یال ها با هم برابرند. فاصله یک نقطه تا یک صفحه را پیدا کنید.

راه حل ها:

1. مکعبی با لبه های منفرد رسم کنید، یک پاره و یک صفحه بسازید، وسط قطعه را با یک حرف مشخص کنید.

.

اول، بیایید با ساده شروع کنیم: مختصات نقطه را پیدا کنید. از آن زمان به بعد (مختصات وسط بخش را به خاطر بسپارید!)

حالا با استفاده از سه نقطه معادله هواپیما را می سازیم

\[\چپ| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

اکنون می توانم شروع به یافتن فاصله کنم:

2. دوباره با نقاشی شروع می کنیم که تمام داده ها را روی آن علامت گذاری می کنیم!

برای یک هرم، ترسیم پایه آن به طور جداگانه مفید خواهد بود.

حتی این که من مثل مرغ با پنجه اش می کشم مانع از این نمی شود که این مشکل را به راحتی حل کنیم!

اکنون یافتن مختصات یک نقطه آسان است

از آنجایی که مختصات نقطه، پس

2. از آنجایی که مختصات نقطه a وسط پاره است، پس

بدون هیچ مشکلی می توانیم مختصات دو نقطه دیگر را در صفحه پیدا کنیم و برای هواپیما معادله ایجاد کرده و آن را ساده می کنیم:

\[\چپ| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(آرایه)) \right|) \right| = 0\]

از آنجایی که نقطه دارای مختصات است: فاصله را محاسبه می کنیم:

پاسخ (بسیار نادر!):

خوب متوجه شدی؟ به نظر من همه چیز در اینجا به همان اندازه فنی است که در نمونه هایی که در قسمت قبل به آن نگاه کردیم. بنابراین مطمئن هستم که اگر به آن مطالب تسلط داشته باشید، حل دو مشکل باقیمانده برای شما دشوار نخواهد بود. من فقط جواب ها را به شما می دهم:

محاسبه فاصله یک خط مستقیم تا یک صفحه

در واقع هیچ چیز جدیدی در اینجا وجود ندارد. چگونه می توان یک خط مستقیم و یک صفحه را نسبت به یکدیگر قرار داد؟ آنها فقط یک امکان دارند: قطع شوند، یا یک خط مستقیم موازی با صفحه باشد. به نظر شما فاصله یک خط مستقیم تا صفحه ای که این خط مستقیم با آن قطع می شود چقدر است؟ به نظر من اینجا واضح است که چنین فاصله ای برابر با صفر است. مورد جالبی نیست

مورد دوم پیچیده تر است: در اینجا فاصله در حال حاضر غیر صفر است. با این حال، از آنجایی که خط موازی با صفحه است، پس هر نقطه از خط از این صفحه مساوی فاصله دارد:

بدین ترتیب:

این بدان معنی است که وظیفه من به کار قبلی کاهش یافته است: ما به دنبال مختصات هر نقطه در یک خط مستقیم هستیم، به دنبال معادله هواپیما و محاسبه فاصله نقطه تا صفحه هستیم. در واقع، چنین وظایفی در آزمون یکپارچه دولتی بسیار نادر است. من فقط یک مشکل را پیدا کردم و داده های موجود در آن به گونه ای بود که روش مختصات برای آن چندان کاربردی نبود!

حالا بیایید به دسته دیگری از مسائل مهمتر برویم:

محاسبه فاصله یک نقطه تا یک خط

چه چیزی نیاز داریم؟

1. مختصات نقطه ای که به دنبال فاصله از آن هستیم:

2. مختصات هر نقطه ای که روی یک خط قرار دارد

3. مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم

از چه فرمولی استفاده کنیم؟

منظور از مخرج این کسر باید برای شما روشن باشد: این طول بردار جهت دهنده خط مستقیم است. این یک شمارش بسیار مشکل است! عبارت به معنای مدول (طول) حاصل ضرب برداری بردارها و نحوه محاسبه حاصلضرب بردار است که در قسمت قبل کار مطالعه کردیم. دانش خود را تازه کنید، ما اکنون به آن بسیار نیاز خواهیم داشت!

بنابراین، الگوریتم برای حل مسائل به صورت زیر خواهد بود:

1. ما به دنبال مختصات نقطه ای هستیم که از آن فاصله را جستجو می کنیم:

2. ما به دنبال مختصات هر نقطه از خطی هستیم که فاصله تا آن را جستجو می کنیم:

3. بردار بسازید

4. بردار جهت دهنده یک خط مستقیم بسازید

5. حاصل ضرب برداری را محاسبه کنید

6. طول بردار حاصل را جستجو می کنیم:

7. محاسبه فاصله:

ما کار زیادی داریم که باید انجام دهیم و نمونه ها بسیار پیچیده خواهند بود! پس اکنون تمام توجه خود را متمرکز کنید!

1. یک مثلث قائم الزاویه pi-ra-mi-da با یک بالا داده می شود. صد رو بر اساس پی را میدی مساوی است، شما مساوی هستید. فاصله لبه خاکستری تا خط مستقیم را پیدا کنید، جایی که نقاط و لبه های خاکستری هستند و از دامپزشکی.

2. طول دنده ها و زاویه مستقیم-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da بر این اساس برابر است و فاصله از بالا تا خط مستقیم را بیابید.

3. در یک منشور شش ضلعی راست، تمام یال ها برابر هستند، فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم را پیدا کنید.

راه حل ها:

1. ما یک نقاشی منظم می سازیم که روی آن همه داده ها را علامت گذاری می کنیم:

ما خیلی زیاد کار داریم که انجام دهیم! اول، من می خواهم با کلمات توضیح دهم که به دنبال چه چیزی و به چه ترتیبی خواهیم بود:

1. مختصات نقاط و

2. مختصات نقطه

3. مختصات نقاط و

4. مختصات بردارها و

5. محصول متقاطع آنها

6. طول برداری

7. طول محصول برداری

8. فاصله از تا

خب ما خیلی کار در پیش داریم! بیایید با آستین بالا به آن برسیم!

1. برای یافتن مختصات ارتفاع هرم باید مختصات نقطه را بدانیم که مصداق آن صفر است و مختصات آن برابر با آبسیس آن برابر طول پاره است.از آنجایی که ارتفاع آن برابر است یک مثلث متساوی الاضلاع است که از اینجا به نسبت تقسیم می شود. در نهایت مختصات را بدست آوردیم:

مختصات نقطه

2. - وسط بخش

3. - وسط بخش

نقطه میانی بخش

4. مختصات

مختصات برداری

5. حاصل ضرب برداری را محاسبه کنید:

6. طول برداری: ساده ترین راه برای جایگزینی این است که پاره خط وسط مثلث باشد، به این معنی که برابر با نصف قاعده است. بنابراین.

7. طول حاصلضرب بردار را محاسبه کنید:

8. در نهایت فاصله را پیدا می کنیم:

اوه، همین! من صادقانه به شما می گویم: حل این مشکل با استفاده از روش های سنتی (از طریق ساخت و ساز) بسیار سریع تر خواهد بود. اما اینجا همه چیز را به یک الگوریتم آماده تقلیل دادم! فکر می کنم الگوریتم حل برای شما واضح است؟ بنابراین از شما می خواهم دو مشکل باقی مانده را خودتان حل کنید. بیایید پاسخ ها را با هم مقایسه کنیم؟

باز هم تکرار می‌کنم: حل این مشکلات از طریق ساخت‌وساز آسان‌تر (سریع‌تر) به جای متوسل شدن به روش مختصات است. من این روش راه‌حل را فقط برای نشان دادن روشی جهانی به شما نشان دادم که به شما امکان می‌دهد «هیچ چیزی را به پایان نرسانید».

در نهایت، آخرین دسته از مسائل را در نظر بگیرید:

محاسبه فاصله بین خطوط متقاطع

در اینجا الگوریتم حل مسائل مشابه الگوریتم قبلی خواهد بود. آن چه که ما داریم:

3. هر بردار که نقاط خط اول و دوم را به هم متصل می کند:

چگونه فاصله بین خطوط را پیدا کنیم؟

فرمول به شرح زیر است:

شمارنده مدول است محصول مخلوط(در قسمت قبل معرفی کردیم) و مخرج مانند فرمول قبلی است (مدول حاصلضرب بردار بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم که فاصله بین آنها را جستجو می کنیم).

من آن را به شما یادآوری می کنم

سپس فرمول فاصله را می توان به صورت بازنویسی کرد:

این یک تعیین کننده تقسیم بر یک تعیین کننده است! هر چند راستش را بخواهید اینجا وقت شوخی ندارم! این فرمول در واقع بسیار دست و پا گیر است و به محاسبات بسیار پیچیده ای منجر می شود. من اگر جای شما بودم فقط به عنوان آخرین راه به آن متوسل می شدم!

بیایید سعی کنیم چند مشکل را با استفاده از روش بالا حل کنیم:

1. در یک منشور مثلثی قائم الزاویه که تمام لبه های آن با هم برابرند، فاصله خطوط مستقیم را پیدا کنید و.

2. با توجه به منشور مثلثی قائم الزاویه، تمام لبه های پایه برابر با مقطعی است که از دنده بدنه می گذرد و دنده های se-re-di-well یک مربع هستند. فاصله بین خطوط مستقیم و

اولی را من تصمیم می گیرم و بر اساس آن شما دومی را!

1. منشور می کشم و خطوط مستقیم را مشخص می کنم و

مختصات نقطه ج: سپس

مختصات نقطه

مختصات برداری

مختصات نقطه

مختصات برداری

مختصات برداری

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \راست) = \چپ| (\begin(آرایه)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (ج)) 0&0&1\پایان(آرایه))\\(\شروع(آرایه)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\پایان(آرایه))\پایان(آرایه)) \راست| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

ما حاصل ضرب برداری بین بردارها و را محاسبه می کنیم

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\پایان(آرایه)\\\شروع(آرایه)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

حالا طول آن را محاسبه می کنیم:

پاسخ:

حالا سعی کنید کار دوم را با دقت کامل کنید. پاسخ آن این خواهد بود: .

مختصات و بردارها. توضیحات مختصر و فرمول های اساسی

بردار یک قطعه جهت دار است. - آغاز بردار، - پایان بردار.
یک بردار با یا نشان داده می شود.

قدر مطلقبردار - طول قطعه ای که بردار را نشان می دهد. به عنوان مشخص شده است.

مختصات برداری:

,
انتهای بردار \displaystyle a کجاست.

مجموع بردارها: .

محصول بردارها:

حاصل ضرب نقطه ای بردارها:

معادله یک هواپیما. چگونه معادله یک هواپیما را بنویسیم؟
چیدمان متقابل هواپیماها. وظایف

هندسه فضایی بسیار پیچیده تر از هندسه "مسطح" نیست و پروازهای ما در فضا با این مقاله آغاز می شود. برای تسلط بر موضوع، باید درک خوبی از آن داشته باشید بردارها، علاوه بر این، توصیه می شود با هندسه هواپیما آشنا باشید - شباهت های زیادی وجود خواهد داشت، تشابهات زیادی وجود خواهد داشت، بنابراین اطلاعات بسیار بهتر هضم می شود. در یک سری از درس های من، دنیای دوبعدی با یک مقاله باز می شود معادله یک خط مستقیم در یک صفحه. اما اکنون بتمن صفحه تخت تلویزیون را ترک کرده و از کیهان بایکونور پرتاب می شود.

بیایید با نقاشی ها و نمادها شروع کنیم. از نظر شماتیک، صفحه را می توان به شکل متوازی الاضلاع ترسیم کرد که تصوری از فضا ایجاد می کند:

هواپیما بی نهایت است، اما ما این فرصت را داریم که فقط یک تکه از آن را به تصویر بکشیم. در عمل علاوه بر متوازی الاضلاع، یک بیضی یا حتی یک ابر نیز ترسیم می شود. به دلایل فنی، برای من راحت تر است که هواپیما را دقیقاً به این شکل و دقیقاً در این موقعیت به تصویر بکشم. هواپیماهای واقعی که در آنها در نظر خواهیم گرفت نمونه های عملی، می تواند به هر شکلی قرار گیرد - به طور ذهنی نقاشی را در دستان خود بگیرید و آن را در فضا بچرخانید و به هواپیما هر شیب و هر زاویه ای بدهید.

تعیین ها: هواپیماها را معمولاً با حروف کوچک یونانی نشان می دهند، ظاهراً برای اینکه آنها را با خط مستقیم در هواپیمایا با خط مستقیم در فضا. من به استفاده از حرف عادت دارم. در نقاشی حرف "سیگما" است و اصلاً سوراخ نیست. اگرچه، هواپیمای سوراخ مطمئناً بسیار خنده دار است.

در برخی موارد، استفاده از همان حروف یونانی با زیرنویس های پایین تر برای تعیین هواپیما راحت است، به عنوان مثال، .

بدیهی است که هواپیما به طور منحصر به فرد توسط سه مورد تعیین می شود نقاط مختلف، روی یک خط مستقیم دراز نکشید. بنابراین، تعیین سه حرفی هواپیماها بسیار محبوب است - به عنوان مثال، با توجه به نقاط متعلق به آنها و غیره. اغلب حروف در پرانتز قرار می گیرند: ، تا هواپیما را با یک شکل هندسی دیگر اشتباه نگیرید.

برای خوانندگان با تجربه خواهم داد منوی دسترسی سریع:

• چگونه با استفاده از یک نقطه و دو بردار معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟
• چگونه با استفاده از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟

و ما در انتظارهای طولانی سست نخواهیم شد:

معادله صفحه عمومی

معادله کلی هواپیما به شکلی است که در آن ضرایب در آن واحد برابر با صفر نیستند.

تعدادی از محاسبات نظری و مسائل عملی هم برای مبنای متعارف متعارف و هم برای پایه وابستهفضا (اگر روغن روغن است، به درس برگردید وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها). برای سادگی، فرض می کنیم که همه رویدادها بر اساس یک سیستم متعامد و یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی رخ می دهند.

حالا بیایید کمی تخیل فضایی خود را تمرین کنیم. اگر مال شما بد باشد اشکالی ندارد، اکنون آن را کمی توسعه می دهیم. حتی بازی روی اعصاب هم نیاز به تمرین دارد.

در کلی ترین حالت، زمانی که اعداد برابر با صفر نیستند، صفحه هر سه محور مختصات را قطع می کند. به عنوان مثال، مانند این:

یک بار دیگر تکرار می کنم که هواپیما به طور نامحدود در همه جهات ادامه دارد و ما این فرصت را داریم که تنها بخشی از آن را به تصویر بکشیم.

بیایید ساده ترین معادلات هواپیماها را در نظر بگیریم:

چگونه این معادله را بفهمیم؟ در مورد آن فکر کنید: "Z" برای هر مقدار "X" و "Y" همیشه برابر با صفر است. این معادله صفحه مختصات "بومی" است. در واقع، به طور رسمی معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: ، از جایی که به وضوح می توانید ببینید که ما اهمیتی نمی دهیم که "x" و "y" چه مقادیری می گیرند، مهم است که "z" برابر با صفر باشد.

به همین ترتیب:
- معادله صفحه مختصات؛
- معادله صفحه مختصات.

بیایید مشکل را کمی پیچیده کنیم، یک صفحه در نظر بگیریم (در اینجا و در ادامه پاراگراف فرض می کنیم که ضرایب عددی برابر با صفر نیستند). بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم: . چگونه آن را درک کنیم؟ "X" همیشه برای هر مقدار "Y" و "Z" برابر با یک عدد مشخص است. این صفحه موازی با صفحه مختصات است. مثلاً صفحه ای موازی با صفحه است و از نقطه ای می گذرد.

به همین ترتیب:
- معادله صفحه ای که با صفحه مختصات موازی است.
- معادله صفحه ای که با صفحه مختصات موازی است.

بیایید اعضا را اضافه کنیم: . معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: یعنی "zet" می تواند هر چیزی باشد. چه مفهومی داره؟ "X" و "Y" توسط رابطه ای به هم متصل می شوند که یک خط مستقیم مشخص را در صفحه ترسیم می کند (شما متوجه خواهید شد معادله یک خط در یک صفحه؟). از آنجایی که "z" می تواند هر چیزی باشد، این خط مستقیم در هر ارتفاعی "تکثیر" می شود. بنابراین، معادله یک صفحه موازی با محور مختصات را تعریف می کند

به همین ترتیب:
- معادله صفحه ای که با محور مختصات موازی است.
- معادله صفحه ای که با محور مختصات موازی است.

اگر عبارات آزاد صفر باشند، هواپیماها مستقیماً از محورهای مربوطه عبور می کنند. به عنوان مثال، کلاسیک "نسبت مستقیم": . یک خط مستقیم در صفحه بکشید و به صورت ذهنی آن را به بالا و پایین ضرب کنید (زیرا Z هر کدام است). نتیجه: صفحه تعریف شده توسط معادله از محور مختصات عبور می کند.

ما بررسی را کامل می کنیم: معادله هواپیما از مبدأ عبور می کند. خوب، در اینجا کاملاً واضح است که نقطه این معادله را برآورده می کند.

و در نهایت، مورد نشان داده شده در نقاشی: - هواپیما با تمام محورهای مختصات دوستانه است، در حالی که همیشه یک مثلث را که می تواند در هر یک از هشت اکتان قرار گیرد، "قطع" می کند.

نابرابری های خطی در فضا

برای درک اطلاعات باید خوب مطالعه کنید نابرابری های خطی در صفحه، زیرا بسیاری از چیزها مشابه خواهند بود. این پاراگراف ماهیت مختصری با چندین مثال دارد، زیرا مطالب در عمل بسیار نادر است.

اگر معادله یک صفحه را تعریف می کند، نابرابری ها
پرسیدن نیم فاصله ها. اگر نابرابری دقیق نباشد (دو مورد آخر در لیست)، راه حل نابرابری، علاوه بر نیم فاصله، شامل خود صفحه نیز می شود.

مثال 5

بردار نرمال واحد هواپیما را پیدا کنید .

راه حل: بردار واحد برداری است که طول آن یک باشد. اجازه دهید این بردار را با علامت گذاری کنیم. کاملاً واضح است که بردارها هم خط هستند:

ابتدا بردار نرمال را از معادله صفحه حذف می کنیم: .

چگونه بردار واحد را پیدا کنیم؟ برای پیدا کردن بردار واحد، شما نیاز دارید هرمختصات بردار را بر طول بردار تقسیم کنید.

بیایید بردار معمولی را به شکل بازنویسی کنیم و طول آن را پیدا کنیم:

با توجه به مطالب فوق:

پاسخ:

تأیید: آنچه لازم بود تأیید شود.

خوانندگانی که پاراگراف آخر درس را با دقت مطالعه کردند احتمالاً متوجه این موضوع شده اند مختصات بردار واحد دقیقاً کسینوس های جهت بردار هستند:

بیایید کمی از مشکل موجود فاصله بگیریم: وقتی یک بردار غیر صفر دلخواه به شما داده می شودو با توجه به شرط باید کسینوس های جهت آن را پیدا کرد (به آخرین مسائل درس مراجعه کنید حاصل ضرب نقطه ای بردارها، در واقع یک بردار واحد هم خط با این بردار پیدا می کنید. در واقع دو کار در یک بطری.

نیاز به یافتن بردار نرمال واحد در برخی مسائل تحلیل ریاضی مطرح می شود.

ما فهمیدیم که چگونه یک بردار معمولی را ماهیگیری کنیم، اکنون اجازه دهید به سوال مخالف پاسخ دهیم:

چگونه با استفاده از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله یک هواپیما ایجاد کنیم؟

این ساختار سفت و سخت از یک بردار معمولی و یک نقطه به خوبی برای تخته دارت شناخته شده است. لطفاً دست خود را به جلو دراز کنید و به طور ذهنی یک نقطه دلخواه در فضا را انتخاب کنید، به عنوان مثال، یک گربه کوچک در بوفه. بدیهی است که از طریق این نقطه می توانید یک صفحه عمود بر دست خود بکشید.

معادله صفحه ای که از نقطه ای عمود بر بردار عبور می کند با فرمول بیان می شود:

می توانید تنظیم کنید راه های مختلف(یک نقطه و یک بردار، دو نقطه و یک بردار، سه نقطه و غیره). با در نظر گرفتن این است که معادله هواپیما می تواند داشته باشد انواع مختلف. همچنین با توجه به شرایط خاصی، صفحات می توانند موازی، عمود بر هم، متقاطع و غیره باشند. در این مقاله در مورد این موضوع صحبت خواهیم کرد. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه یک معادله کلی یک هواپیما و موارد دیگر ایجاد کنیم.

شکل عادی معادله

فرض کنید یک فضای R 3 وجود دارد که دارای یک سیستم مختصات مستطیلی XYZ است. اجازه دهید بردار α را تعریف کنیم که از نقطه اولیه O آزاد می شود. از انتهای بردار α، صفحه ای را رسم می کنیم که عمود بر آن خواهد بود.

اجازه دهید یک نقطه دلخواه در P را به صورت Q = (x, y, z) نشان دهیم. بردار شعاع نقطه Q را با حرف p امضا می کنیم. در این حالت طول بردار α برابر است با р=IαI و Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

این یک بردار واحد است که مانند بردار α به سمت کناره هدایت می شود. α، β و γ زوایایی هستند که به ترتیب بین بردار Ʋ و جهات مثبت محورهای فضایی x، y، z تشکیل می شوند. طرح ریزی هر نقطه QϵП بر روی بردار Ʋ یک مقدار ثابت است که برابر است با p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

معادله فوق زمانی معنا می یابد که p=0 باشد. تنها نکته این است که صفحه P در این حالت نقطه O را قطع می کند (0=α) که مبدأ مختصات است و بردار واحد Ʋ آزاد شده از نقطه O با وجود جهت آن عمود بر P خواهد بود. به این معنی است که بردار Ʋ با دقت به علامت تعیین می شود. معادله قبلی معادله صفحه ما P است که به صورت برداری بیان شده است. اما در مختصات به این صورت خواهد بود:

P در اینجا بزرگتر یا مساوی 0 است. ما معادله هواپیما در فضا را به شکل عادی پیدا کرده ایم.

معادله کلی

اگر معادله را در مختصات در هر عددی ضرب کنیم که برابر با صفر نباشد، معادله ای معادل آن به دست می آید که همان صفحه را تعریف می کند. شبیه این خواهد شد:

در اینجا A، B، C اعدادی هستند که به طور همزمان با صفر متفاوت هستند. این معادله را معادله صفحه عمومی می نامند.

معادلات هواپیماها موارد خاص

معادله به صورت کلی در صورت وجود شرایط اضافی قابل تغییر است. بیایید به برخی از آنها نگاه کنیم.

فرض کنید ضریب A 0 باشد. این بدان معناست که این صفحه با محور Ox داده شده موازی است. در این صورت شکل معادله تغییر می کند: Ву+Cz+D=0.

به طور مشابه، شکل معادله در شرایط زیر تغییر می کند:

• اولاً اگر B = 0 باشد، معادله به Ax + Cz + D = 0 تغییر می کند که نشان دهنده موازی بودن با محور Oy است.
• ثانیاً اگر C=0 باشد، معادله به Ax+By+D=0 تبدیل می‌شود که نشان‌دهنده موازی بودن با محور اوز است.
• ثالثاً، اگر D=0 باشد، معادله شبیه Ax+By+Cz=0 خواهد شد که به این معنی است که صفحه O (مبدا) را قطع می کند.
• چهارم، اگر A=B=0، معادله به Cz+D=0 تغییر می کند که موازی با Oxy است.
• خامساً اگر B=C=0 معادله Ax+D=0 می شود، یعنی صفحه اویز موازی است.
• ششم، اگر A=C=0، معادله به شکل Ву+D=0 می شود، یعنی موازی بودن را به Oxz گزارش می دهد.

نوع معادله در بخش ها

در صورتی که اعداد A، B، C، D با صفر متفاوت باشند، شکل معادله (0) می تواند به صورت زیر باشد:

x/a + y/b + z/c = 1،

که در آن a = -D/A، b = -D/B، c = -D/C.

شایان ذکر است که این صفحه محور Ox را در نقطه ای با مختصات (a,0,0) Oy - (0,b,0) و Oz - (0,0,c) قطع می کند. ).

با در نظر گرفتن معادله x/a + y/b + z/c = 1، تصور بصری قرارگیری هواپیما نسبت به یک سیستم مختصات معین دشوار نیست.

مختصات بردار معمولی

بردار نرمال n به صفحه P دارای مختصاتی است که ضرایب هستند معادله کلیاز یک صفحه معین، یعنی n (A، B، C).

برای تعیین مختصات n نرمال کافی است معادله کلی یک صفحه معین را بدانیم.

هنگام استفاده از یک معادله در قطعات، که به شکل x/a + y/b + z/c = 1 است، و همچنین هنگام استفاده از یک معادله کلی، می توانید مختصات هر بردار نرمال یک صفحه معین را بنویسید: (1 /a + 1/b + 1/ با).

شایان ذکر است که بردار معمولی به حل مسائل مختلف کمک می کند. رایج ترین آنها شامل مسائلی است که شامل اثبات عمود یا موازی صفحات، مشکلات یافتن زاویه بین صفحات یا زاویه بین صفحات و خطوط مستقیم است.

نوع معادله صفحه با توجه به مختصات نقطه و بردار نرمال

بردار غیر صفر n عمود بر یک صفحه معین را برای یک صفحه معین نرمال می نامند.

فرض کنید در فضای مختصات (سیستم مختصات مستطیلی) Oxyz داده می شود:

• نقطه Mₒ با مختصات (xₒ,yₒ,zₒ)؛
• بردار صفر n=A*i+B*j+C*k.

لازم است برای صفحه ای که از نقطه Mₒ عمود بر n نرمال عبور کند معادله ای ایجاد شود.

هر نقطه دلخواه در فضا را انتخاب می کنیم و آن را M (x y, z) نشان می دهیم. بگذارید بردار شعاع هر نقطه M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k باشد و بردار شعاع نقطه Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. اگر بردار MₒM بر بردار n عمود باشد، نقطه M متعلق به یک صفحه معین خواهد بود. اجازه دهید شرط متعامد را با استفاده از حاصل ضرب اسکالر بنویسیم:

[MₒM، n] = 0.

از آنجایی که MₒM = r-rₒ، معادله برداری صفحه به صورت زیر خواهد بود:

این معادله می تواند شکل دیگری داشته باشد. برای این کار از خواص حاصل ضرب اسکالر استفاده می شود و سمت چپ معادله تبدیل می شود. = - . اگر آن را با c نشان دهیم، معادله زیر به دست می آید: - c = 0 یا = c، که ثابت بودن برآمدگی ها را بر بردار عادی بردارهای شعاع نقاط داده شده که به صفحه تعلق دارند، بیان می کند.

اکنون می توانیم مختصات نوشتن معادله برداری صفحه خود را بدست آوریم = 0. از آنجایی که r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k، و n = A*i+B *j+С*k، داریم:

معلوم می شود که برای صفحه ای که از نقطه ای عمود بر n معمولی می گذرد معادله ای داریم:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-z2)=0.

نوع معادله صفحه با توجه به مختصات دو نقطه و بردار هم خط به صفحه

اجازه دهید دو نقطه دلخواه M′ (x′,y′,z′) و M″ (x″,y″,z″) و همچنین یک بردار a (a′,a″,a‴) تعریف کنیم.

اکنون می‌توانیم برای یک صفحه معین معادله‌ای بسازیم که از نقاط موجود M′ و M″ و همچنین هر نقطه M با مختصات (x، y، z) موازی با بردار معین a عبور کند.

در این حالت، بردارهای M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) و M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) باید با بردار همسطح باشند. a=(a′,a″,a‴)، به این معنی که (M′M, M″M, a)=0.

بنابراین، معادله هواپیمای ما در فضا به شکل زیر خواهد بود:

نوع معادله صفحه ای که سه نقطه را قطع می کند

فرض کنید سه نقطه داریم: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) که به یک خط تعلق ندارند. لازم است معادله صفحه ای که از سه نقطه داده شده عبور می کند بنویسیم. نظریه هندسه ادعا می کند که این نوع صفحه واقعا وجود دارد، اما تنها و منحصر به فرد است. از آنجایی که این صفحه نقطه (x',y',z') را قطع می کند، شکل معادله آن به صورت زیر خواهد بود:

در اینجا A، B، C همزمان با صفر متفاوت هستند. همچنین، صفحه داده شده دو نقطه دیگر را قطع می کند: (x″,y″,z″) و (x‴,y‴,z‴). در این رابطه شرایط زیر باید رعایت شود:

اکنون می توانیم یک سیستم همگن با مجهولات u، v، w ایجاد کنیم:

در ما مورد x,yیا z به عنوان یک نقطه دلخواه عمل می کند که معادله (1) را برآورده می کند. با توجه به معادله (1) و سیستم معادلات (2) و (3)، سیستم معادلات نشان داده شده در شکل بالا با بردار N (A,B,C) که غیر پیش پا افتاده است ارضا می شود. به همین دلیل است که تعیین کننده این سیستم برابر با صفر است.

معادله (1) که به دست آوردیم معادله صفحه است. دقیقاً از 3 نقطه عبور می کند و بررسی آن آسان است. برای انجام این کار، باید دترمینانت خود را به عناصر ردیف اول گسترش دهیم. از خصوصیات موجود تعیین کننده، این نتیجه می شود که صفحه ما به طور همزمان سه نقطه در ابتدا داده شده (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) را قطع می کند. . یعنی تکلیف محول شده را حل کرده ایم.

زاویه دو وجهی بین صفحات

یک زاویه دو وجهی نشان دهنده فضایی است شکل هندسی، توسط دو نیم صفحه تشکیل شده است که از یک خط مستقیم بیرون می آیند. به عبارت دیگر، این بخشی از فضا است که توسط این نیم صفحه ها محدود می شود.

فرض کنید دو صفحه با معادلات زیر داریم:

می دانیم که بردارهای N=(A,B,C) و N1=(A1,B1,C1) بر اساس عمود بر هم هستند. هواپیماهای داده شده. در این راستا، زاویه φ بین بردارهای N و N1 برابر با زاویه (دو وجهی) است که بین این صفحات قرار دارد. محصول نقطه به شکل زیر است:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

دقیقا به این دلیل

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

کافی است در نظر بگیریم که 0≤φ≤π.

در واقع دو صفحه که قطع می کنند دو زاویه (دو وجهی) تشکیل می دهند: φ 1 و φ 2. مجموع آنها برابر است با π (φ 1 + φ 2 = π). در مورد کسینوس آنها، مقادیر مطلق آنها برابر است، اما آنها در علامت متفاوت هستند، یعنی cos φ 1 = -cos φ 2. اگر در رابطه (0) A، B و C را به ترتیب با اعداد -A، -B و -C جایگزین کنیم، آنگاه معادله ای که به دست می آوریم همان صفحه، تنها یک، زاویه φ را در معادله cos تعیین می کند. φ= NN 1 /| N||N 1 | با π-φ جایگزین خواهد شد.

معادله یک صفحه عمود بر هم

صفحاتی که زاویه بین آنها 90 درجه است، عمود نامیده می شوند. با استفاده از مطالب ارائه شده در بالا، می توانیم معادله یک صفحه عمود بر دیگری را پیدا کنیم. فرض کنید دو صفحه داریم: Ax+By+Cz+D=0 و A¹x+B1y+C¹z+D=0. می توان گفت که اگر cosφ=0 آنها عمود خواهند بود. این بدان معنی است که NN1=AA1+BB1+CC1=0.

معادله صفحه موازی

دو صفحه که دارای نقاط مشترک نیستند موازی نامیده می شوند.

شرط (معادلات آنها مانند پاراگراف قبل است) این است که بردارهای N و N1 که بر آنها عمود هستند، هم خط باشند. این بدان معنی است که شرایط تناسب زیر رعایت می شود:

A/A¹=B/B1=C/C¹.

اگر شرایط تناسب گسترش یابد - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD1،

این نشان می دهد که این هواپیماها منطبق هستند. این بدان معنی است که معادلات Ax+By+Cz+D=0 و A¹x+B1y+C1z+D1=0 یک صفحه را توصیف می کنند.

فاصله تا هواپیما از نقطه

فرض کنید صفحه P داریم که با معادله (0) به دست می آید. باید فاصله آن را از نقطه ای با مختصات (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ پیدا کرد. برای انجام این کار، باید معادله صفحه P را به شکل عادی در آورید:

(ρ,v)=р (р≥0).

در این حالت ρ (x, y, z) شعاع بردار نقطه ما Q است که روی P قرار دارد، p طول عمود P است که از نقطه صفر رها شده است، v بردار واحد است که در جهت الف.

تفاوت ρ-ρº بردار شعاع نقطه ای Q = (x, y, z) متعلق به P و همچنین بردار شعاع یک نقطه داده شده Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) چنین بردار است. مقدار مطلق طرح ریزی که بر روی v برابر است با فاصله d که باید از Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) تا P پیدا شود:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|، اما

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

پس معلوم می شود

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

بنابراین، قدر مطلق عبارت حاصل، یعنی d مورد نظر را خواهیم یافت.

با استفاده از زبان پارامتر، واضح است:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

اگر نقطه تنظیم Q 0 در طرف دیگر صفحه P است، مانند مبدا مختصات، بنابراین بین بردار ρ-ρ 0 و v قرار دارد:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

در صورتی که نقطه Q 0 به همراه مبدأ مختصات در همان سمت P قرار گیرد، زاویه ایجاد شده حاد است، یعنی:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)> 0.

در نتیجه، معلوم می شود که در حالت اول (ρ 0 ,v)>р، در مورد دوم (ρ 0 ,v)<р.

صفحه مماس و معادله آن

صفحه مماس به سطح در نقطه تماس Mº صفحه ای است که شامل تمام مماس های ممکن بر منحنی های کشیده شده از این نقطه روی سطح است.

با این نوع معادله سطح F(x,y,z)=0، معادله صفحه مماس در نقطه مماس Mº(xº,yº,zº) به شکل زیر خواهد بود:

F x (xº، yº، zº) (x- xº) + F x (xº، yº، zº) (y- yº) + F x (xº، yº، zº) (z-zº) = 0.

اگر سطح را به صورت صریح z=f (x,y) مشخص کنید، صفحه مماس با معادله توصیف می شود:

z-zº =f(xº، yº)(x- xº)+f(xº، yº) (y- yº).

تقاطع دو صفحه

در سیستم مختصات (مستطیل شکل) Oxyz قرار دارد، دو صفحه П′ و П″ داده می شود که همدیگر را قطع می کنند و منطبق نمی شوند. از آنجایی که هر صفحه ای که در یک سیستم مختصات مستطیلی قرار دارد با یک معادله کلی تعیین می شود، فرض می کنیم که P' و P' با معادلات A'x+B'y+C'z+D'=0 و A″x به دست می آیند. +B″y+ С″z+D″=0. در این حالت، n نرمال (A',B',C') صفحه P' و n″ نرمال (A″,B″,C″) صفحه P″ را داریم. از آنجایی که صفحات ما موازی نیستند و بر هم منطبق نیستند، این بردارها هم خطی نیستند. با استفاده از زبان ریاضیات می توانیم این شرط را به صورت زیر بنویسیم: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. بگذارید خط مستقیمی که در محل تقاطع P' و P' قرار دارد با حرف a نشان داده شود، در این مورد a = P' ∩ P″.

a خط مستقیمی است که از مجموعه تمام نقاط صفحات (مشترک) P' و P' تشکیل شده است. این بدان معناست که مختصات هر نقطه متعلق به خط a باید همزمان معادلات A′x+B′y+C′z+D′=0 و A″x+B″y+C″z+D″=0 را برآورده کند. . این بدان معنی است که مختصات نقطه حل جزئی سیستم معادلات زیر خواهد بود:

در نتیجه، معلوم می شود که راه حل (کلی) این سیستم معادلات، مختصات هر یک از نقاط خط را که به عنوان نقطه تلاقی P و P عمل می کند، تعیین می کند و خط مستقیم را تعیین می کند. a در سیستم مختصات Oxyz (مستطیل شکل) در فضا.

فرض کنید ما باید معادله صفحه ای را پیدا کنیم که از سه نقطه داده شده عبور می کند که روی یک خط قرار ندارند. با نشان دادن بردار شعاع آنها با و بردار شعاع جریان با نشان دادن بردار، می توانیم به راحتی معادله مورد نیاز را به صورت برداری بدست آوریم. در واقع، بردارها باید همسطح باشند (همه آنها در صفحه مورد نظر قرار دارند). بنابراین، حاصل ضرب بردار- اسکالر این بردارها باید برابر با صفر باشد:

این معادله صفحه ای است که از سه نقطه داده شده به شکل برداری می گذرد.

با رفتن به مختصات، معادله را در مختصات به دست می آوریم:

اگر سه نقطه داده شده روی یک خط قرار بگیرند، آنگاه بردارها هم خط خواهند بود. بنابراین، عناصر متناظر دو خط آخر تعیین کننده در معادله (18) متناسب و تعیین کننده به طور یکسان برابر با صفر خواهد بود. در نتیجه، معادله (18) برای هر مقدار x، y و z یکسان خواهد شد. از نظر هندسی، این بدان معنی است که از هر نقطه در فضا صفحه ای عبور می کند که سه نقطه داده شده در آن قرار دارند.

نکته 1. همین مسئله را می توان بدون استفاده از بردارها حل کرد.

با نشان دادن مختصات سه نقطه داده شده، معادله هر صفحه ای را که از نقطه اول عبور می کند، می نویسیم:

برای به دست آوردن معادله صفحه مورد نظر، لازم است که معادله (17) با مختصات دو نقطه دیگر برآورده شود:

از معادلات (19) باید نسبت دو ضریب به ثلث را تعیین کرد و مقادیر یافت شده را در معادله (17) وارد کرد.

مثال 1. برای صفحه ای که از نقاط می گذرد معادله بنویسید.

معادله صفحه ای که از اولین نقطه عبور می کند به صورت زیر خواهد بود:

شرایط عبور هواپیما (17) از دو نقطه دیگر و نقطه اول عبارتند از:

با اضافه کردن معادله دوم به معادله اول، متوجه می شویم:

با جایگزینی معادله دوم به دست می آوریم:

با جایگزینی معادله (17) به جای A، B، C، به ترتیب، 1، 5، -4 (اعداد متناسب با آنها)، به دست می آوریم:

مثال 2. یک معادله برای صفحه ای بنویسید که از نقاط (0، 0، 0)، (1، 1، 1)، (2، 2، 2) می گذرد.

معادله هر صفحه ای که از نقطه (0، 0، 0) عبور کند، خواهد بود]

شرایط عبور این هواپیما از نقاط (1، 1، 1) و (2، 2، 2) عبارتند از:

با کاهش 2 معادله دوم، می بینیم که برای تعیین دو مجهول، یک معادله با

از اینجا می گیریم. اکنون با جایگزینی مقدار هواپیما در معادله، متوجه می شویم:

این معادله صفحه مورد نظر است. بستگی به دلخواه دارد

مقادیر B, C (یعنی از رابطه یعنی تعداد بی نهایت صفحه از سه نقطه داده شده عبور می کنند (سه نقطه داده شده روی یک خط مستقیم قرار دارند).

نکته 2. اگر از دترمینال ها استفاده کنیم، مشکل ترسیم یک صفحه از طریق سه نقطه داده شده که روی یک خط قرار ندارند، به راحتی قابل حل است. در واقع، از آنجایی که در معادلات (17) و (19) ضرایب A، B، C نمی توانند به طور همزمان برابر با صفر باشند، پس با در نظر گرفتن این معادلات به عنوان یک سیستم همگن با سه مجهول A، B، C، لازم و کافی می نویسیم. شرط وجود راه حلی از این سیستم، متفاوت از صفر (قسمت 1، فصل ششم، بند 6):

با گسترش این تعیین کننده به عناصر ردیف اول، معادله ای از درجه اول را با توجه به مختصات فعلی به دست می آوریم که به ویژه با مختصات سه نقطه داده شده برآورده می شود.

همچنین می توانید این مورد دوم را مستقیماً با جایگزین کردن مختصات هر یک از این نقاط به جای . در سمت چپ ما یک تعیین کننده دریافت می کنیم که در آن یا عناصر ردیف اول صفر هستند یا دو ردیف یکسان وجود دارد. بنابراین، معادله ساخته شده نمایانگر صفحه ای است که از سه نقطه داده شده عبور می کند.

برای اینکه یک صفحه منفرد از هر سه نقطه در فضا کشیده شود، لازم است که این نقاط روی یک خط مستقیم قرار نگیرند.

نقاط M 1 (x 1، y 1، z 1)، M 2 (x 2، y 2، z 2)، M 3 (x 3، y 3، z 3) را در سیستم مختصات دکارتی عمومی در نظر بگیرید.

برای اینکه یک نقطه دلخواه M(x, y, z) در یک صفحه با نقاط M 1, M 2, M 3 قرار گیرد، لازم است که بردارها همسطح باشند.

تعریف 2.1.

دو خط در فضا اگر در یک صفحه قرار گیرند و نقاط مشترک نداشته باشند موازی نامیده می شوند.

اگر دو خط a و b موازی باشند، مانند پلان سنجی، یک || بنویسید ب در فضا می توان خطوط را طوری قرار داد که همدیگر را قطع نکنند یا موازی باشند. این مورد مخصوص استریومتری است.

تعریف 2.2.

خطوطی که نقاط مشترک ندارند و موازی نیستند را متقاطع می گویند.

قضیه 2.1.

از طریق نقطه ای خارج از یک خط معین، می توان یک خط موازی با یک خط داده شده و فقط یک خط رسم کرد.

علامت خطوط موازی

دو خط در فضا اگر در یک صفحه قرار گیرند و قطع نشوند موازی نامیده می شوند. از طریق یک نقطه خارج از یک خط معین می توانید یک خط مستقیم موازی با این خط مستقیم بکشید، و فقط یک خط. این عبارت به اصل تشابهات در یک صفحه کاهش می یابد. قضیه. دو خط موازی با خط سوم موازی هستند. بگذارید خطوط b و c با خط a موازی باشند. اجازه دهید ثابت کنیم که b || با. حالتی که خطوط مستقیم a، b و روی یک صفحه قرار می گیرند در پلان سنجی در نظر گرفته می شود، آن را حذف می کنیم. فرض کنید a، b و c در یک صفحه قرار نگیرند. اما از آنجایی که دو خط موازی در یک صفحه قرار دارند، می توانیم فرض کنیم که a و b در صفحه و a b و c در صفحه قرار دارند (شکل 61). در خط c یک نقطه (هر) M را علامت گذاری می کنیم و از طریق خط b و نقطه M یک صفحه رسم می کنیم. او، , در یک خط مستقیم l قطع می شود. خط مستقیم l صفحه را قطع نمی کند، زیرا اگر l قطع شود، نقطه تقاطع آنها باید روی a باشد (a و l در یک صفحه هستند) و روی b (b و l در یک صفحه هستند). بنابراین، یک نقطه تقاطع l و باید روی هر دو خط a و خط b قرار گیرد که غیرممکن است: a || ب بنابراین، یک || ، l || الف، ل || ب از آنجایی که a و l در یک صفحه قرار دارند، پس l با خط c منطبق است (با اصل توازی)، و بنابراین با || ب قضیه ثابت شده است.

25.علامت توازی بین خط و صفحه

قضیه

اگر خطی که متعلق به یک صفحه نیست، موازی با یک خط در این صفحه باشد، آنگاه با خود صفحه موازی است.

اثبات

فرض کنید α یک صفحه باشد، a خطی که در آن قرار ندارد و a1 خطی در صفحه α موازی با خط a باشد. اجازه دهید صفحه α1 را از میان خطوط a و a1 بکشیم. صفحات α و α1 در امتداد خط مستقیم a1 همدیگر را قطع می کنند. اگر خط یک صفحه متقاطع α باشد، آنگاه نقطه تقاطع متعلق به خط a1 خواهد بود. اما این غیرممکن است، زیرا خطوط a و a1 موازی هستند. در نتیجه، خط a صفحه α را قطع نمی کند، بنابراین با صفحه α موازی است. قضیه ثابت شده است.

27.وجود یک صفحه موازی با یک صفحه معین

قضیه

از طریق نقطه ای خارج از یک صفحه معین، می توان یک صفحه موازی با صفحه داده شده و فقط یک صفحه رسم کرد.

اثبات

اجازه دهید در این صفحه α هر دو خط متقاطع a و b را رسم کنیم. از طریق نقطه A، خطوط a1 و b1 را موازی با آنها رسم می کنیم. صفحه β که از خطوط a1 و b1 می گذرد، طبق قضیه موازی بودن صفحات، موازی با صفحه α است.

فرض کنید صفحه β1 دیگری از نقطه A عبور می کند که موازی با صفحه α است. اجازه دهید نقطه C را در صفحه β1 علامت گذاری کنیم که در صفحه β قرار ندارد. اجازه دهید صفحه γ را از نقاط A، C و برخی از نقاط B از صفحه α ترسیم کنیم. این صفحه صفحات α، β و β1 را در امتداد خطوط مستقیم b، a و c قطع می کند. خطوط a و c خط b را قطع نمی کنند، زیرا صفحه α را قطع نمی کنند. بنابراین آنها با خط b موازی هستند. اما در صفحه γ تنها یک خط موازی با خط b می تواند از نقطه A عبور کند. که با این فرض در تضاد است. قضیه ثابت شده است.

28.خواص صفحات موازیهفتم

29.

خطوط عمود بر فضا دو خط در فضا اگر زاویه بین آنها 90 درجه باشد عمود نامیده می شوند. ج متر ک. ک. متر ج ک. متقاطع. تلاقی.

قضیه 1 علامت تعمیم یک خط و یک صفحه. اگر خطی که یک صفحه را قطع می کند عمود بر دو خط در این صفحه باشد که از نقطه تلاقی این خط و صفحه می گذرد، آنگاه بر صفحه عمود است.

اثبات: فرض کنید a خطی عمود بر خطوط b و c در صفحه باشد. سپس خط a از نقطه A تقاطع خطوط b و c عبور می کند. اجازه دهید ثابت کنیم که خط مستقیم a عمود بر صفحه است. اجازه دهید یک خط دلخواه x از نقطه A در صفحه رسم کنیم و نشان دهیم که بر خط a عمود است. اجازه دهید یک خط دلخواه در صفحه رسم کنیم که از نقطه A عبور نمی کند و خطوط b، c و x را قطع می کند. بگذارید نقاط تقاطع B، C و X باشند. اجازه دهید قطعات مساوی AA 1 و AA 2 را در خط a از نقطه A در جهات مختلف رسم کنیم. مثلث A 1 CA 2 متساوی الساقین است، زیرا پاره AC ارتفاع طبق قضیه و میانه بر اساس ساخت است (AA 1 = AA 2) به همین دلیل، مثلث A 1 BA 2 نیز متساوی الساقین است. بنابراین مثلث های A 1 BC و A 2 BC از سه ضلع برابر هستند. از تساوی مثلث های A 1 BC و A 2 BC، نتیجه می شود که زوایای A 1 BC و A 2 BC با هم برابرند و بنابراین مثلث A 1 BC و A 2 BC در دو ضلع و زاویه بین آنها با هم برابر هستند. . از تساوی اضلاع A 1 X و A 2 X این مثلث ها نتیجه می گیریم که مثلث A 1 XA 2 متساوی الساقین است. بنابراین میانه XA آن نیز ارتفاع آن است. و این بدان معنی است که خط x عمود بر a است. طبق تعریف، یک خط مستقیم عمود بر یک صفحه است. قضیه ثابت شده است.

قضیه 2 1 ویژگی خطوط و صفحات عمود. اگر صفحه ای بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، بر دیگری نیز عمود است.
اثبات: فرض کنید 1 و 2 - 2 خطوط موازی و صفحه ای عمود بر خط a 1 باشند. اجازه دهید ثابت کنیم که این صفحه عمود بر خط a 2 است. اجازه دهید یک خط مستقیم دلخواه x 2 در صفحه از نقطه A 2 از تقاطع خط a 2 با صفحه رسم کنیم. اجازه دهید در صفحه ای که از نقطه A 1 عبور می کند، تقاطع خط a 1 را با خط x 1 موازی با خط x 2 ترسیم کنیم. از آنجایی که خط a 1 بر صفحه عمود است پس خطوط a 1 و x 1 عمود هستند. و با قضیه 1، خطوط متقاطع موازی با آنها، a 2 و x 2 نیز عمود هستند. بنابراین، خط a 2 بر هر خط x 2 در صفحه عمود است. و این (طبق تعریف) به این معنی است که خط مستقیم a 2 عمود بر صفحه است. قضیه ثابت شده است. به کار پشتیبانی شماره 2 نیز مراجعه کنید.
قضیه 3 دوم خاصیت خطوط و صفحات عمود. دو خط عمود بر یک صفحه موازی هستند.
اثبات: فرض کنید a و b 2 خط مستقیم عمود بر صفحه باشند. فرض کنید خطوط a و b موازی نیستند. اجازه دهید نقطه C را در خط b انتخاب کنیم که در صفحه قرار نگیرد. اجازه دهید یک خط b 1 تا نقطه C، موازی با خط a رسم کنیم. خط b 1 بر اساس قضیه 2 بر صفحه عمود است. فرض کنید B و B 1 نقاط تقاطع خطوط b و b 1 با صفحه باشند. سپس خط مستقیم BB 1 بر خطوط متقاطع b و b 1 عمود است. و این غیر ممکن است. ما به یک تناقض رسیده ایم. قضیه ثابت شده است.

33.عمود بر، از یک نقطه معین در یک صفحه معین پایین می آید، پاره ای است که یک نقطه معین را به یک نقطه از صفحه متصل می کند و روی یک خط مستقیم عمود بر صفحه قرار می گیرد. انتهای این قطعه که در هواپیما قرار دارد نامیده می شود قاعده عمود.
شیب داررسم شده از یک نقطه معین به یک صفحه معین هر قطعه ای است که یک نقطه معین را با نقطه ای از صفحه که عمود بر صفحه نیست وصل می کند. انتهای قطعه ای که در یک صفحه قرار دارد نامیده می شود پایه مایل. پاره ای که پایه های یک عمود را به یک شیبدار از یک نقطه وصل می کند نامیده می شود. برآمدگی مایل.

AB بر صفحه α عمود است.
AC - مایل، CB - طرح ریزی.

بیان قضیه

اگر خط مستقیمی که بر روی صفحه ای از قاعده یک خط مایل کشیده می شود، عمود بر طرح آن باشد، آنگاه بر خط مایل عمود است.

اثبات

اجازه دهید AB- عمود بر صفحه α، A.C.- مایل و ج- یک خط مستقیم در صفحه α که از نقطه عبور می کند سیو عمود بر طرح ریزی قبل از میلاد مسیح.. یه دایرکت بزنیم CKبه موازات خط AB. سر راست CKبر صفحه α عمود است (زیرا موازی است ABو بنابراین هر خط مستقیمی از این صفحه، بنابراین، CKعمود بر یک خط مستقیم ج. بیایید از طریق خطوط موازی رسم کنیم ABو CKصفحه β (خطوط موازی یک صفحه را تعریف می کنند و فقط یک صفحه). سر راست جعمود بر دو خط متقاطع واقع در صفحه β، این است قبل از میلاد مسیح.با توجه به شرایط و CKبا ساخت به این معنی است که بر هر خط متعلق به این صفحه عمود است، یعنی عمود بر خط است. A.C..