تعیین سینوس، کسینوس مماس و کوتانژانت یک زاویه. قضایای کسینوس و سینوس. مثلث قائم الزاویه و مثلثات

در جایی که مسائل مربوط به حل مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شد، قول دادم تکنیکی برای حفظ تعاریف سینوس و کسینوس ارائه کنم. با استفاده از آن، همیشه به سرعت به یاد می آورید که کدام سمت به هیپوتنوس (مجاور یا مقابل) تعلق دارد. تصمیم گرفتم زیاد به تعویق نیندازم مواد مورد نیازدر زیر، لطفا بخوانید 😉

واقعیت این است که من بارها مشاهده کرده ام که چگونه دانش آموزان کلاس های 10-11 در به خاطر سپردن این تعاریف مشکل دارند. آنها به خوبی به یاد دارند که پا به هیپوتنوز اشاره دارد، اما کدام یک- فراموش می کنند و سردرگم. بهای یک اشتباه همانطور که می دانید در امتحان یک امتیاز از دست رفته است.

اطلاعاتی که من مستقیما ارائه خواهم کرد هیچ ربطی به ریاضیات ندارد. او با تفکر تخیلیو با روش های ارتباط کلامی-منطقی. این دقیقاً همان چیزی است که من آن را یک بار برای همیشه به یاد دارمداده های تعریف اگر آنها را فراموش کردید، همیشه می توانید با استفاده از تکنیک های ارائه شده آنها را به راحتی به خاطر بسپارید.

اجازه دهید تعاریف سینوس و کسینوس را در مثلث قائم الزاویه به شما یادآوری کنم:

کسینوس زاویه حاددر یک مثلث قائم الزاویه، این نسبت پای مجاور به هیپوتونوس است:

سینوسیزاویه تند در مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز است:

بنابراین، چه ارتباطی با کلمه کسینوس دارید؟

احتمالا هرکسی خودشو داره😉لینک را به خاطر بسپارید:

بنابراین، عبارت بلافاصله در حافظه شما ظاهر می شود -

«… نسبت پای مجاور به هیپوتنوز».

مشکل تعیین کسینوس حل شده است.

اگر لازم است تعریف سینوس در یک مثلث قائم الزاویه را به خاطر بسپارید، سپس با یادآوری تعریف کسینوس، به راحتی می توانید ثابت کنید که سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به هیپوتانوس است. از این گذشته ، فقط دو پا وجود دارد ، اگر پای مجاور توسط کسینوس "اشغال" شود ، فقط پای مخالف با سینوس باقی می ماند.

مماس و کوتانژانت چطور؟ سردرگمی همان است. دانش‌آموزان می‌دانند که این رابطه بین پاها است، اما مشکل این است که به یاد داشته باشیم که کدام یک به کدام اشاره دارد - یا برعکس با مجاور یا برعکس.

تعاریف:

مماسزاویه تند در مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است:

کوتانژانتزاویه تند در مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مجاور به مقابل است:

چگونه به خاطر بسپاریم؟ دو راه وجود دارد. یکی همچنین از یک ارتباط کلامی-منطقی استفاده می کند، دیگری از یک ارتباط ریاضی استفاده می کند.

روش ریاضی

چنین تعریفی وجود دارد - مماس یک زاویه حاد نسبت سینوس زاویه به کسینوس آن است:

*با حفظ فرمول، همیشه می توانید تعیین کنید که مماس یک زاویه تند در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است.

به همین ترتیب.کوتانژانت یک زاویه حاد نسبت کسینوس زاویه به سینوس آن است:

بنابراین! با به خاطر سپردن این فرمول ها، همیشه می توانید تعیین کنید که:

- مماس یک زاویه تند در مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است.

- هم تانژانت یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است.

روش کلمه-منطقی

در مورد مماس لینک را به خاطر بسپارید:

یعنی اگر لازم است تعریف مماس را به خاطر بسپارید، با استفاده از این ارتباط منطقی می توانید به راحتی آن را به خاطر بسپارید.

«... نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور»

اگر در مورد کوتانژانت صحبت می کنیم، پس با یادآوری تعریف مماس می توانید به راحتی تعریف کوتانژانت را بیان کنید -

«... نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل»

ترفند جالبی برای به خاطر سپردن مماس و کوتانژانت در وبسایت وجود دارد " پشت سر هم ریاضی " ، نگاه کن

روش جهانی

شما فقط می توانید آن را حفظ کنید.اما همانطور که تمرین نشان می دهد، به لطف ارتباطات کلامی-منطقی، فرد اطلاعات را برای مدت طولانی به یاد می آورد، و نه تنها اطلاعات ریاضی.

امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.

سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت یک زاویه به شما کمک می کند تا مثلث قائم الزاویه را درک کنید.

اضلاع مثلث قائم الزاویه چه نام دارند؟ درست است، هیپوتنوز و پاها: هیپوتنوز سمتی است که در مقابل قرار دارد زاویه راست(در مثال ما این سمت \(AC\) است). پاها دو ضلع باقی مانده \(AB\) و \(BC\) (آنهایی که مجاور زاویه قائم هستند) هستند و اگر پاها را نسبت به زاویه \(BC\) در نظر بگیریم، ساق \(AB\) برابر است با پای مجاور، و پای \(BC\) مقابل است. خب حالا بیایید به این سوال پاسخ دهیم: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه چیست؟

سینوس زاویه- این نسبت پای مقابل (دور) به هیپوتنوز است.

در مثلث ما:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

کسینوس زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.

در مثلث ما:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

مماس زاویه- این نسبت طرف مقابل (دور) به مجاور (نزدیک) است.

در مثلث ما:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

کتانژانت زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به طرف مقابل (دور) است.

در مثلث ما:

\[ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

این تعاریف لازم است یاد آوردن! برای اینکه راحت‌تر به خاطر بیاورید که کدام پا را باید به چه چیزی تقسیم کنید، باید آن را به وضوح درک کنید مماسو کتانژانتفقط پاها می نشینند و هیپوتنوز فقط در داخل ظاهر می شود سینوسیو کسینوس. و سپس می توانید با زنجیره ای از انجمن ها بیایید. مثلا این یکی:

کسینوس← لمس← لمس← مجاور;

کوتانژانت← لمس← لمس← مجاور.

اول از همه، باید به خاطر داشته باشید که سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث به طول این ضلع ها (در یک زاویه) بستگی ندارد. باور نکن؟ سپس با مشاهده عکس مطمئن شوید:

برای مثال کسینوس زاویه \(\beta\) را در نظر بگیرید. طبق تعریف، از مثلث \(ABC\): \(\cos \بتا =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)، اما می توانیم کسینوس زاویه \(\beta \) را از مثلث \(AHI \) محاسبه کنیم: \(\cos \بتا =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). ببینید طول اضلاع متفاوت است، اما مقدار کسینوس یک زاویه یکسان است. بنابراین، مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت تنها به بزرگی زاویه بستگی دارد.

اگر تعاریف را فهمیدید، پس بروید و آنها را تثبیت کنید!

برای مثلث \(ABC \) که در شکل زیر نشان داده شده است، پیدا می کنیم \(\sin \\alpha,\ \cos \\alpha,\ tg\ \alpha,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(آرایه) \)

خوب متوجه شدی؟ سپس خودتان آن را امتحان کنید: همان را برای زاویه \(\beta \) محاسبه کنید.

پاسخ ها: \(\sin \ \بتا =0.6;\ \cos \ \بتا =0.8;\ tg\ \بتا =0.75;\ ctg\ \بتا =\dfrac(4)(3) \).

دایره واحد (مثلثی).

با درک مفاهیم درجه و رادیان، دایره ای با شعاع برابر با \(1\) در نظر گرفتیم. چنین دایره ای نامیده می شود تنها. هنگام مطالعه مثلثات بسیار مفید خواهد بود. بنابراین، اجازه دهید به آن با کمی جزئیات بیشتر نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، این دایره در سیستم مختصات دکارتی ساخته شده است. شعاع دایره برابر با یک، در حالی که مرکز دایره در مبدا قرار دارد، موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور \(x\) ثابت است (در مثال ما، این شعاع \(AB\) است).

هر نقطه روی دایره مربوط به دو عدد است: مختصات در امتداد محور \(x\) و مختصات در امتداد محور \(y\). این اعداد مختصات چیست؟ و در کل چه ربطی به موضوع مورد بحث دارن؟ برای انجام این کار، باید مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شده را به خاطر بسپاریم. در شکل بالا دو مثلث کامل قائم الزاویه را مشاهده می کنید. مثلث \(ACG\) را در نظر بگیرید. مستطیل شکل است زیرا \(CG\) بر محور \(x\) عمود است.

\(\cos \\alpha \) از مثلث \(ACG \) چیست؟ درست است \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). علاوه بر این، می دانیم که \(AC\) شعاع است دایره واحد، که به معنای \(AC=1\) است. بیایید این مقدار را با فرمول کسینوس جایگزین کنیم. این چیزی است که اتفاق می افتد:

\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(\sin \\alpha \) از مثلث \(ACG \) برابر است با چیست؟ خوب البته، \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! مقدار شعاع \(AC\) را در این فرمول جایگزین کنید و دریافت کنید:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

بنابراین، آیا می توانید بگویید نقطه \(C\) متعلق به دایره چه مختصاتی دارد؟ خوب، هیچ راهی؟ اگر متوجه شوید که \(\cos \\alpha \) و \(\sin \alpha \) فقط اعداد هستند چه؟ \(\cos \alpha \) با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ خوب، البته، مختصات \(x\)! و \(\sin \alpha \) با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ درست است، \(y\) را هماهنگ کنید! بنابراین نکته \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

پس \(tg \alpha \) و \(ctg \alpha \) با چه چیزی برابرند؟ درست است، بیایید از تعاریف مربوط به مماس و کوتانژانت استفاده کنیم و آن را بدست آوریم \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \)، آ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).

اگر زاویه بزرگتر باشد چه؟ برای مثال مانند این تصویر:

چه چیزی در این مثال تغییر کرده است؟ بیایید آن را بفهمیم. برای انجام این کار، اجازه دهید دوباره به یک مثلث قائم الزاویه بچرخیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : زاویه (در مجاورت زاویه \(\بتا \)). مقدار سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت برای یک زاویه چقدر است \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? درست است، ما به تعاریف مربوط به توابع مثلثاتی پایبند هستیم:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ زاویه ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ زاویه ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\زاویه ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(آرایه) \)

خوب، همانطور که می بینید، مقدار سینوس زاویه همچنان با مختصات \(y\) مطابقت دارد. مقدار کسینوس زاویه - مختصات \(x\) ; و مقادیر مماس و کتانژانت به نسبت های مربوطه. بنابراین، این روابط برای هر چرخش بردار شعاع اعمال می شود.

قبلاً ذکر شد که موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور \(x\) است. تاکنون این بردار را در خلاف جهت عقربه های ساعت چرخانده ایم، اما اگر آن را در جهت عقربه های ساعت بچرخانیم چه اتفاقی می افتد؟ هیچ چیز خارق العاده ای نیست، شما همچنین زاویه ای با مقدار مشخصی دریافت خواهید کرد، اما فقط آن منفی خواهد بود. بنابراین، هنگام چرخش بردار شعاع در خلاف جهت عقربه های ساعت، به دست می آوریم زوایای مثبتو هنگام چرخش در جهت عقربه های ساعت - منفی.

بنابراین، می دانیم که کل چرخش بردار شعاع اطراف دایره \(360()^\circ \) یا \(2\pi \) است. آیا می توان بردار شعاع را با \(390()^\circ \) یا با \(-1140()^\circ \) چرخاند؟ خوب، البته که می توانید! در حالت اول، \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)بنابراین، بردار شعاع یک دور کامل ایجاد می کند و در موقعیت \(30()^\circ \) یا \(\dfrac(\pi )(6) \) متوقف می شود.

در مورد دوم، \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)، یعنی بردار شعاع سه دور کامل می کند و در موقعیت \(-60()^\circ \) یا \(-\dfrac(\pi )(3) \) متوقف می شود.

بنابراین، از مثال‌های بالا می‌توان نتیجه گرفت که زوایایی که با \(360()^\circ \cdot m\) یا \(2\pi \cdot m\) متفاوت هستند (که \(m\) هر عدد صحیحی است) با همان موقعیت بردار شعاع مطابقت دارد.

شکل زیر زاویه \(\beta =-60()^\circ \) را نشان می دهد. همان تصویر مربوط به گوشه است \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)و غیره. این لیست را می توان به طور نامحدود ادامه داد. همه این زوایا را می توان با فرمول کلی نوشت \(\beta +360()^\circ \cdot m\)یا \(\beta +2\pi \cdot m\) (که در آن \(m\) هر عدد صحیح است)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(آرایه) \)

حال با دانستن تعاریف توابع مثلثاتی اساسی و با استفاده از دایره واحد سعی کنید به مقادیر زیر پاسخ دهید:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(آرایه) \)

در اینجا یک حلقه واحد برای کمک به شما وجود دارد:

داشتن مشکلات؟ سپس بیایید آن را بفهمیم. پس می دانیم که:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\پایان(آرایه)\)

از اینجا، مختصات نقاط مربوط به معیارهای زاویه خاص را تعیین می کنیم. خوب، بیایید به ترتیب شروع کنیم: گوشه در \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)مربوط به نقطه ای با مختصات \(\left(0;1 \right) \) است، بنابراین:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\arrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- وجود ندارد؛

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

در ادامه، با رعایت همین منطق، متوجه می شویم که گوشه ها در \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )با نقاط دارای مختصات مطابقت دارد \(\left(-1;0 \right),\text()\left(0;-1 \right),\text()\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \راست) \)، به ترتیب. با دانستن این موضوع، تعیین مقادیر توابع مثلثاتی در نقاط مربوطه آسان است. ابتدا خودتان آن را امتحان کنید و سپس پاسخ ها را بررسی کنید.

پاسخ ها:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\arrow \text(ctg)\ \pi \)- وجود ندارد

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\nightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- وجود ندارد

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\nightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- وجود ندارد

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\arrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- وجود ندارد

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

بنابراین می توانیم جدول زیر را تهیه کنیم:

نیازی به یادآوری تمام این ارزش ها نیست. کافی است مطابقت بین مختصات نقاط روی دایره واحد و مقادیر توابع مثلثاتی را به خاطر بسپارید:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(باید به خاطر بسپارید یا بتوانید آن را نمایش دهید!! \) !}

اما مقادیر توابع مثلثاتی زوایا در و \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6)،\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)در جدول زیر، باید به خاطر داشته باشید:

نترسید، اکنون یک نمونه از حفظ نسبتاً ساده مقادیر مربوطه را به شما نشان خواهیم داد:

برای استفاده از این روش، به خاطر سپردن مقادیر سینوس برای هر سه معیار زاویه حیاتی است. \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)) و همچنین مقدار مماس زاویه در \(30()^\circ \) . با دانستن این مقادیر \(4\) ، بازیابی کل جدول بسیار ساده است - مقادیر کسینوس مطابق با فلش ها منتقل می شوند ، یعنی:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\پایان(آرایه)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)، با دانستن این موضوع، می توانید مقادیر را بازیابی کنید \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). عدد "\(1 \)" با \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) و مخرج "\(\sqrt(\text(3)) \)" مطابقت دارد \(\text (tg)\ 60()^\circ \\) . مقادیر کوتانژانت مطابق با فلش های نشان داده شده در شکل منتقل می شوند. اگر این را فهمیدید و نمودار را با فلش ها به خاطر بسپارید، کافی است فقط مقادیر \(4\) را از جدول به خاطر بسپارید.

مختصات یک نقطه روی یک دایره

آیا با دانستن مختصات مرکز دایره، شعاع و زاویه چرخش آن می توان نقطه ای (مختصات آن) را روی یک دایره پیدا کرد؟ خوب، البته که می توانید! بیا بیرونش کنیم فرمول کلیبرای یافتن مختصات یک نقطه برای مثال، یک دایره در مقابل ما قرار دارد:

به ما این نکته داده شده است \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- مرکز دایره شعاع دایره \(1.5\) است. لازم است مختصات نقطه \(P\) را که با چرخش نقطه \(O\) به میزان \(\delta \) درجه بدست می آید پیدا کنید.

همانطور که از شکل مشخص است، مختصات \(x\) نقطه \(P\) با طول قطعه \(TP=UQ=UK+KQ\) مطابقت دارد. طول قطعه \(UK\) مطابق با مختصات \(x\) مرکز دایره است، یعنی برابر است با \(3\). طول قطعه \(KQ\) را می توان با استفاده از تعریف کسینوس بیان کرد:

\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

سپس برای نقطه \(P\) مختصات داریم \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =3+1.5\cdot \cos \\delta \).

با استفاده از همین منطق، مقدار مختصات y را برای نقطه \(P\) پیدا می کنیم. بدین ترتیب،

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

بنابراین، در نمای کلیمختصات نقاط با فرمول تعیین می شود:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(آرایه) \)، جایی که

\(((x)_(0))، ((y)_(0)) \) - مختصات مرکز دایره،

\(r\) - شعاع دایره،

\(\delta \) - زاویه چرخش شعاع برداری.

همانطور که می بینید، برای دایره واحد مورد نظر ما، این فرمول ها به طور قابل توجهی کاهش می یابد، زیرا مختصات مرکز برابر با صفر و شعاع برابر با یک است:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \end(آرایه) \)

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای انجام محاسبات، باید کنترل های ActiveX را فعال کنید!

دستورالعمل ها

اگر نیاز به پیدا کردن کسینوس دارید زاویهدر یک مثلث دلخواه، باید از قضیه کسینوس استفاده کنید:
اگر زاویه تند باشد: cos؟ = (a2 + b2 - c2)/(2ab);
اگر زاویه: cos؟ = (c2 – a2 – b2)/(2ab)، که در آن a، b طول اضلاع مجاور گوشه، c طول ضلع مقابل گوشه است.

مشاوره مفید

نماد ریاضی کسینوس cos است.
مقدار کسینوس نمی تواند بزرگتر از 1 و کمتر از -1 باشد.

منابع:

• نحوه محاسبه کسینوس یک زاویه
• توابع مثلثاتی روی دایره واحد

کسینوس- این اساسی است تابع مثلثاتیگوشه. توانایی تعیین کسینوس در جبر برداری هنگام تعیین پیش بینی بردارها بر روی محورهای مختلف مفید است.

دستورالعمل ها

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

یک مثلث با اضلاع a، b، c به ترتیب برابر با 3، 4، 5 میلی متر وجود دارد.

پیدا کردن کسینوسزاویه بین اضلاع بزرگتر

اجازه دهید زاویه مقابل ضلع a را با ? نشان دهیم، سپس طبق فرمول به دست آمده در بالا، داریم:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8

پاسخ: 0.8.

اگر مثلث قائم الزاویه است، پس برای پیدا کردن کسینوسو برای یک زاویه کافی است که طول هر دو ضلع را بدانیم ( کسینوسزاویه راست 0 است).

بگذارید یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع a، b، c وجود داشته باشد، که در آن c فرضیه فرضی است.

بیایید همه گزینه ها را در نظر بگیریم:

اگر طول ضلع a و b (مثلث) مشخص باشد cos را پیدا کنید

اجازه دهید از قضیه فیثاغورث نیز استفاده کنیم:

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

برای اطمینان از صحت فرمول به دست آمده، آن را از مثال 1 جایگزین می کنیم.

پس از انجام برخی از محاسبات اولیه، به دست می آوریم:

به طور مشابه پیدا شده است کسینوسدر یک مستطیل مثلثدر موارد دیگر:

شناخته شده a و c (هیپوتنوز و پای مخالف، cos را پیدا کنید؟

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

با جایگزینی مقادیر a=3 و c=5 از مثال، دریافت می کنیم:

b و c شناخته شده (هیپوتنوز و پای مجاور).

cos را پیدا کنید؟

پس از ایجاد تبدیل های مشابه (نشان داده شده در مثال های 2 و 3)، ما آن را در این مورد به دست می آوریم کسینوس V مثلثبا استفاده از یک فرمول بسیار ساده محاسبه می شود:

سادگی فرمول مشتق شده را می توان به سادگی توضیح داد: در واقع، در مجاورت گوشه؟ ساق یک برآمدگی از هیپوتنوز است، طول آن برابر است با طول هیپوتنوز ضرب در cos؟.

با جایگزینی مقادیر b=4 و c=5 از مثال اول، دریافت می کنیم:

این بدان معنی است که همه فرمول های ما صحیح هستند.

نکته 5: نحوه پیدا کردن زاویه تند در مثلث قائم الزاویه

به طور مستقیم کربنیمثلث احتمالاً یکی از مشهورترین شکل های هندسی از دیدگاه تاریخی است. "شلوار" فیثاغورثی فقط می تواند با "اورکا" رقابت کند. ارشمیدس.

شما نیاز خواهید داشت

• - ترسیم مثلث؛
• - خط كش؛
• - نقاله

دستورالعمل ها

مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است. در یک مستطیل مثلثیک زاویه (مستقیم) همیشه 90 درجه خواهد بود و بقیه حاد هستند، یعنی. هر کدام کمتر از 90 درجه برای تعیین زاویه در یک مستطیل مثلثمستقیم است، از یک خط کش برای اندازه گیری اضلاع مثلث و تعیین بزرگترین آن استفاده کنید. هیپوتونوس (AB) است و در مقابل زاویه قائم (C) قرار دارد. دو طرف باقی مانده یک زاویه و پاهای قائم را تشکیل می دهند (AC، BC).

هنگامی که مشخص کردید کدام زاویه تند است، می توانید از یک نقاله برای محاسبه زاویه استفاده کنید فرمول های ریاضی.

برای تعیین اندازه زاویه با استفاده از نقاله، بالای آن را (بیایید آن را با حرف A مشخص کنیم) با یک علامت خاص روی خط کش در مرکز نقاله تراز کنید؛ پایه AC باید با لبه بالایی آن منطبق باشد. روی قسمت نیم دایره نقاله نقطه ای را که هیپوتانوس AB از آن عبور می کند علامت بزنید. مقدار در این نقطه با زاویه بر حسب درجه مطابقت دارد. اگر 2 مقدار روی نقاله نشان داده شده باشد، برای یک زاویه حاد باید یک کوچکتر را انتخاب کنید، برای یک زاویه مبهم - بزرگتر.

مقدار حاصل را در کتاب های مرجع Bradis پیدا کنید و تعیین کنید که مقدار عددی حاصل با کدام زاویه مطابقت دارد. مادربزرگ های ما از این روش استفاده می کردند.

در مورد ما کافی است تابع محاسبه را بگیریم فرمول های مثلثاتی. به عنوان مثال، ماشین حساب داخلی ویندوز. برنامه "ماشین حساب" را راه اندازی کنید، در آیتم منو "مشاهده"، "مهندسی" را انتخاب کنید. سینوس زاویه مورد نظر را محاسبه کنید، برای مثال sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

ماشین حساب را روی توابع معکوس، با کلیک بر روی دکمه INV در صفحه ماشین حساب، سپس بر روی دکمه تابع قوس الکتریکی (که روی نمایشگر به عنوان گناه به منهای توان اول نشان داده شده است) کلیک کنید. پیام زیر در پنجره محاسبه ظاهر می شود: asind (0.5) = 30. I.e. مقدار زاویه مورد نظر 30 درجه است.

منابع:

• جداول بردیس (سینوس، کسینوس)

قضیه کسینوس در ریاضیات اغلب زمانی استفاده می شود که لازم باشد ضلع سوم یک زاویه و دو ضلع پیدا شود. با این حال، گاهی اوقات شرایط مشکل برعکس تنظیم می شود: باید زاویه ای با سه ضلع مشخص شده پیدا کنید.

دستورالعمل ها

تصور کنید مثلثی به شما داده می شود که در آن طول دو ضلع و مقدار یک زاویه مشخص است. تمام زوایای این مثلث با هم برابر نیستند و اضلاع آن نیز از نظر اندازه متفاوت هستند. زاویه γ در مقابل ضلع مثلث به نام AB قرار دارد که این شکل است. از طریق این زاویه و همچنین از طریق اضلاع باقیمانده AC و BC، می توانید ضلعی از مثلث را که با استفاده از قضیه کسینوس ناشناخته است پیدا کنید و از فرمول ارائه شده در زیر از آن استخراج کنید:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ، که در آن a=BC، b=AB، c=AC
قضیه کسینوس را در غیر این صورت قضیه فیثاغورث تعمیم یافته می نامند.

حال تصور کنید که هر سه ضلع شکل داده شده است، اما زاویه γ آن ناشناخته است. با دانستن اینکه شکل a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ این عبارت را تبدیل کنید تا مقدار مورد نظر به زاویه γ تبدیل شود: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
سپس معادله بالا را به شکل کمی متفاوت قرار دهید: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
سپس این عبارت باید به عبارت زیر تبدیل شود: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
تنها چیزی که باقی می ماند این است که اعداد را جایگزین فرمول کنید و محاسبات را انجام دهید.

برای یافتن کسینوس که γ نشان داده می شود، باید آن را بر حسب معکوس مثلثات بیان کرد که کسینوس قوس الکتریکی نامیده می شود. کسینوس قوس عدد m مقدار زاویه γ است که کسینوس زاویه γ برابر m است. تابع y=arccos m در حال کاهش است. برای مثال تصور کنید کسینوس زاویه γ برابر با نصف است. سپس زاویه γ را می توان از طریق کسینوس قوس به صورت زیر تعریف کرد:
γ = آرکوس، m = آرکوس 1/2 = 60 درجه، که در آن m = 1/2.
به روشی مشابه، می توانید زوایای باقی مانده مثلث را با دو ضلع مجهول دیگر آن بیابید.

سینوس و کسینوس دو تابع مثلثاتی هستند که "مستقیم" نامیده می شوند. آنها مواردی هستند که باید بیشتر از دیگران محاسبه شوند و برای حل این مشکل امروز هر یک از ما گزینه های قابل توجهی را انتخاب می کنیم. در زیر تعدادی از بیشتر آنها آورده شده است راه های ساده.

دستورالعمل ها

اگر وسیله محاسبه دیگری در دسترس نیست از یک نقاله، یک مداد و یک تکه کاغذ استفاده کنید. یکی از تعاریف کسینوس بر حسب زوایای حاد در یک مثلث قائم الزاویه ارائه شده است - برابر است با نسبت بین طول پای مقابل این زاویه و طول. مثلثی رسم کنید که یکی از زوایای آن قائمه باشد (90 درجه) و دیگری زاویه ای باشد که می خواهید محاسبه کنید. طول پهلوها مهم نیست - آنها را به روشی که برای اندازه گیری راحت تر است بکشید. طول پای مورد نظر و هیپوتونوز را اندازه بگیرید و به هر شکلی که راحت باشد، اولی را بر دومی تقسیم کنید.

با استفاده از ماشین حساب تعبیه شده از مقدار توابع مثلثاتی استفاده کنید موتور جستجو Nigma اگر به اینترنت دسترسی دارید. به عنوان مثال، اگر شما نیاز به محاسبه کسینوس زاویه 20 درجه دارید، سپس با بارگذاری صفحه نخستسرویس http://nigma.ru، در قسمت عبارت جستجو، "cosine 20" را تایپ کنید و روی دکمه "Find!" کلیک کنید. می توانید "درجه" را حذف کنید و کلمه "کسینوس" را با cos جایگزین کنید - در هر صورت، موتور جستجو نتیجه را با دقت 15 رقم اعشار (0.939692620785908) نشان می دهد.

برنامه استاندارد نصب شده با سیستم عامل را باز کنید سیستم ویندوز، در صورت عدم دسترسی به اینترنت. برای این کار می توانید به عنوان مثال، کلیدهای win و r را به طور همزمان فشار دهید، سپس دستور calc را وارد کرده و دکمه OK را بزنید. برای محاسبه توابع مثلثاتی، در اینجا یک رابط به نام "مهندسی" یا "علمی" (بسته به نسخه سیستم عامل) وجود دارد - مورد مورد نظر را در بخش "نمایش" منوی ماشین حساب انتخاب کنید. پس از این، مقدار زاویه را وارد کنید و روی دکمه cos در رابط برنامه کلیک کنید.

ویدیو در مورد موضوع

نکته 8: نحوه تعیین زاویه در یک مثلث قائم الزاویه

مستطیل با روابط خاصی بین گوشه ها و اضلاع مشخص می شود. با دانستن مقادیر برخی از آنها، می توانید برخی دیگر را محاسبه کنید. برای این منظور از فرمول هایی استفاده می شود که به نوبه خود مبتنی بر بدیهیات و قضایای هندسه است.

کسینوس یک تابع مثلثاتی شناخته شده است که یکی از توابع اصلی مثلثات نیز می باشد. کسینوس یک زاویه در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور مثلث به هیپوتنوز مثلث است. اغلب، تعریف کسینوس با یک مثلث از نوع مستطیلی همراه است. اما همچنین اتفاق می افتد که زاویه ای که برای آن محاسبه کسینوس در یک مثلث مستطیلی لازم است در این مثلث مستطیلی واقع نشده باشد. آن وقت چه باید کرد؟ چگونه کسینوس زاویه یک مثلث را پیدا کنیم؟

اگر نیاز به محاسبه کسینوس یک زاویه در یک مثلث مستطیلی دارید، همه چیز بسیار ساده است. فقط باید تعریف کسینوس را به خاطر بسپارید که حاوی راه حل این مشکل است. شما فقط باید همان رابطه را بین آنها پیدا کنید پای مجاورو همچنین هیپوتنوز مثلث. در واقع، بیان کسینوس زاویه در اینجا دشوار نیست. فرمول به شرح زیر است: - cosα = a/c، در اینجا "a" طول ساق است و سمت "c" به ترتیب طول هیپوتانوس است. برای مثال، کسینوس یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه را می توان با استفاده از این فرمول پیدا کرد.

اگر علاقه مند هستید که کسینوس یک زاویه در یک مثلث دلخواه با چه چیزی برابر است، قضیه کسینوس به کمک می آید که در چنین مواردی ارزش استفاده از آن را دارد. قضیه کسینوس بیان می کند که مربع ضلع مثلث پیشینی است برابر با مجموعمربع اضلاع باقیمانده از یک مثلث، اما بدون اینکه حاصل ضرب این ضلع ها توسط کسینوس زاویه ای که بین آنها قرار دارد، دو برابر شود.

1. اگر نیاز به پیدا کردن کسینوس یک زاویه حاد در یک مثلث دارید، باید از فرمول زیر استفاده کنید: cosα = (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. اگر نیاز به پیدا کردن کسینوس یک زاویه منفرد در یک مثلث دارید، باید از فرمول زیر استفاده کنید: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). نامگذاری در فرمول - a و b - طول اضلاع است که در مجاورت زاویه مورد نظر قرار دارند، c - طول ضلعی است که مخالف زاویه مورد نظر است.

کسینوس یک زاویه را می توان با استفاده از قضیه سینوس نیز محاسبه کرد. بیان می کند که تمام ضلع های یک مثلث با سینوس های زوایایی که در مقابل یکدیگر قرار دارند، متناسب هستند. با استفاده از قضیه سینوس ها، می توانید عناصر باقیمانده یک مثلث را محاسبه کنید و فقط اطلاعاتی در مورد دو ضلع و زاویه ای که مخالف یک ضلع یا از دو زاویه و یک ضلع است، داشته باشید. این را با یک مثال در نظر بگیرید. شرایط مشکل: a=1; b=2; c=3. زاویه ای که مقابل ضلع A است با α نشان داده می شود، سپس طبق فرمول ها داریم: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(22+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. پاسخ 1.

اگر کسینوس یک زاویه باید نه در یک مثلث، بلکه در برخی موارد دلخواه دیگر محاسبه شود شکل هندسی، سپس همه چیز کمی پیچیده تر می شود. بزرگی زاویه ابتدا باید بر حسب رادیان یا درجه تعیین شود و تنها پس از آن کسینوس باید از این مقدار محاسبه شود. کسینوس با مقدار عددی با استفاده از جداول Bradis، ماشین حساب های مهندسی یا برنامه های خاص ریاضی تعیین می شود.

کاربردهای ریاضی خاص ممکن است عملکردهایی مانند محاسبه خودکار کسینوس زاویه ها در یک شکل خاص داشته باشند. زیبایی چنین برنامه هایی در این است که پاسخ صحیح می دهند و کاربر وقت خود را برای حل مشکلات گاه بسیار پیچیده تلف نمی کند. از سوی دیگر، با استفاده مداوم منحصراً از برنامه های کاربردی برای حل مسائل، تمام مهارت های کار با حل مسائل ریاضی در یافتن کسینوس زاویه ها در مثلث ها و همچنین سایر اشکال دلخواه از بین می رود.

من فکر می کنم شما لیاقت بیشتر از این را دارید. در اینجا کلید من برای مثلثات است:

• گنبد، دیوار و سقف را بکشید
• توابع مثلثاتی چیزی بیش از این نیستند درصداین سه شکل

استعاره از سینوس و کسینوس: گنبد

به جای اینکه فقط به خود مثلث ها نگاه کنید، با پیدا کردن یک مثال واقعی واقعی، آنها را در عمل تصور کنید.

تصور کنید در وسط یک گنبد هستید و می خواهید یک صفحه پروژکتور فیلم را آویزان کنید. انگشت خود را به سمت گنبد در یک زاویه خاص "x" بگیرید و صفحه باید از این نقطه معلق باشد.

زاویه ای که به آن اشاره می کنید تعیین می کند:

• sine (x) = sin (x) = ارتفاع صفحه (از کف تا نقطه نصب گنبد)
• کسینوس (x) = cos (x) = فاصله از شما تا صفحه نمایش (بر اساس طبقه)
• هیپوتنوز، فاصله شما تا بالای صفحه، همیشه یکسان، برابر با شعاع گنبد

آیا می خواهید صفحه نمایش تا حد امکان بزرگ باشد؟ آن را مستقیماً بالای سر خود آویزان کنید.

آیا می خواهید صفحه نمایش تا حد امکان دور از شما آویزان شود؟ آن را به صورت عمود بر آویزان کنید. صفحه نمایش در این موقعیت ارتفاع صفر خواهد داشت و همانطور که پرسیدید در دورترین فاصله آویزان خواهد شد.

ارتفاع و فاصله از صفحه نمایش با یکدیگر نسبت معکوس دارند: هر چه صفحه نمایش نزدیکتر باشد، ارتفاع آن بیشتر می شود.

سینوس و کسینوس درصد هستند

افسوس که هیچکس در طول سالهای تحصیلم به من توضیح نداد که توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس درصدی بیش نیستند. مقادیر آنها از +100٪ تا 0 تا -100٪ یا از حداکثر مثبت تا صفر تا حداکثر منفی متغیر است.

فرض کنید 14 روبل مالیات پرداخت کردم. نمیدونی چقدره اما اگر بگویید من 95 درصد مالیات دادم، متوجه می شوید که من به سادگی پشمالو شدم.

قد مطلق معنایی ندارد. اما اگر مقدار سینوس 0.95 باشد، پس می‌دانم که تلویزیون تقریباً در بالای گنبد شما آویزان است. خیلی زود او خواهد رسید حداکثر ارتفاعدر مرکز گنبد، و سپس شروع به کاهش دوباره.

چگونه می توانیم این درصد را محاسبه کنیم؟ بسیار ساده است: ارتفاع صفحه نمایش فعلی را بر حداکثر ممکن تقسیم کنید (شعاع گنبد که هیپوتنوز نیز نامیده می شود).

از همین روبه ما گفته می شود که "کسینوس = طرف مقابل / هیپوتنوز." همه چیز در مورد گرفتن علاقه است! بهتر است سینوس را به عنوان "درصد ارتفاع فعلی از حداکثر ممکن" تعریف کنیم. (اگر زاویه شما به سمت "زیر زمین" باشد، سینوس منفی می شود. اگر زاویه به سمت گنبد پشت شما باشد، کسینوس منفی می شود.)

بیایید محاسبات را با فرض اینکه در مرکز دایره واحد هستیم (شعاع = 1) ساده کنیم. می توانیم از تقسیم بگذریم و فقط سینوس را برابر با ارتفاع بگیریم.

هر دایره اساساً یک دایره است که به اندازه دلخواه کوچک یا بزرگ شده است. بنابراین اتصالات دایره واحد را تعیین کنید و نتایج را به اندازه دایره خاص خود اعمال کنید.

آزمایش: هر گوشه ای را بردارید و ببینید چه درصدی از ارتفاع به عرض آن نمایش داده می شود:

نمودار رشد مقدار سینوسی فقط یک خط مستقیم نیست. 45 درجه اول 70 درصد ارتفاع را پوشش می دهد، اما 10 درجه آخر (از 80 درجه تا 90 درجه) تنها 2 درصد ارتفاع را پوشش می دهد.

این موضوع برای شما واضح‌تر می‌شود: اگر به صورت دایره‌ای راه بروید، در 0 درجه تقریباً عمودی بالا می‌روید، اما با نزدیک شدن به بالای گنبد، ارتفاع کمتر و کمتر تغییر می‌کند.

مماس و مقطع. دیوار

یک روز همسایه دیواری ساخت درست در کنار یکدیگربه گنبد تو گریه دید تو از پنجره و قیمت مناسببرای فروش مجدد!

اما آیا می توان در این شرایط به نوعی برنده شد؟

البته که بله. اگر صفحه فیلم را درست به دیوار همسایه‌مان آویزان کنیم، چه می‌شود؟ شما زاویه (x) را هدف قرار می دهید و به دست می آورید:

• tan(x) = tan(x) = ارتفاع صفحه روی دیوار
• فاصله از شما تا دیوار: 1 (این شعاع گنبد شماست، دیوار به جایی از شما حرکت نمی کند، درست است؟)
• secant(x) = sec(x) = "طول نردبان" از شما که در مرکز گنبد ایستاده اید تا بالای صفحه معلق

بیایید چند نکته را در مورد مماس یا ارتفاع صفحه روشن کنیم.

• از 0 شروع می شود و می تواند بی نهایت بالا برود. می توانید صفحه نمایش را روی دیوار بالاتر و بالاتر بکشید تا یک بوم بی پایان برای تماشای فیلم مورد علاقه خود ایجاد کنید! (البته برای چنین بزرگی باید پول زیادی خرج کنید).
• مماس فقط یک نسخه بزرگتر از سینوس است! و در حالی که افزایش سینوس با حرکت به سمت بالای گنبد کاهش می یابد، مماس به رشد خود ادامه می دهد!

Sekansu همچنین چیزی برای لاف زدن دارد:

• سکنت از 1 شروع می شود (نردبان روی زمین است، از شما به دیوار) و از آنجا شروع به بالا رفتن می کند.
• سکنت همیشه طولانی تر از مماس است. نردبان اریب که برای آویزان کردن صفحه نمایش خود استفاده می کنید باید از خود صفحه طولانی تر باشد، درست است؟ (با اندازه های غیر واقعی، وقتی صفحه نمایش خیلی طولانی است و نردبان باید تقریباً به صورت عمودی قرار گیرد، اندازه آنها تقریباً یکسان است. اما حتی در این صورت سکنت کمی طولانی تر خواهد بود).

به یاد داشته باشید، ارزش ها هستند درصد. اگر تصمیم دارید صفحه نمایش را با زاویه 50 درجه آویزان کنید، tan(50)=1.19. صفحه نمایش شما 19 درصد بزرگتر از فاصله تا دیوار (شعاع گنبدی) است.

(x=0 را وارد کنید و شهود خود را بررسی کنید - tan(0) = 0 و sec(0) = 1.)

کوتانژانت و کوسکانت. سقف

به طرز باورنکردنی، همسایه شما اکنون تصمیم گرفته است که سقفی بر روی گنبد شما بسازد. (چه اشکالی دارد؟ ظاهراً نمی خواهد در حالی که او برهنه در حیاط قدم می زند جاسوسی کند ...)

خوب، وقت آن است که یک خروجی به پشت بام بسازید و با همسایه خود صحبت کنید. شما زاویه شیب را انتخاب می کنید و شروع به ساخت می کنید:

• فاصله عمودی بین خروجی سقف و کف همیشه 1 (شعاع گنبد) است.
• cotangent(x) = cot(x) = فاصله بین بالای گنبد و نقطه خروج
• cosecant(x) = csc(x) = طول مسیر شما تا پشت بام

مماس و سکانت دیوار را توصیف می کنند و COtangent و COsecant سقف را توصیف می کنند.

نتیجه گیری های شهودی ما این بار مشابه موارد قبلی است:

• اگر زاویه را برابر با 0 درجه بگیرید، خروج شما به پشت بام برای همیشه ادامه خواهد داشت، زیرا هرگز به سقف نمی رسد. مسئله.
• اگر آن را با زاویه 90 درجه نسبت به کف بسازید، کوتاه ترین "نردبان" به سقف به دست می آید. کوتانژانت برابر با 0 خواهد بود (ما به هیچ وجه در امتداد سقف حرکت نمی کنیم، کاملاً عمود بر آن خارج می شویم) و کوسکانت برابر با 1 خواهد بود ("طول نردبان" حداقل خواهد بود).

ارتباطات را تجسم کنید

اگر هر سه مورد به صورت ترکیبی گنبد-دیوار و سقف ترسیم شوند، نتیجه به شرح زیر خواهد بود:

خوب، هنوز هم همان مثلث است که اندازه آن برای رسیدن به دیوار و سقف افزایش یافته است. ما اضلاع عمودی (سینوس، مماس)، اضلاع افقی (کسینوس، کوتانژانت) و "هیپوتنوس" (سکانت، کوسکانت) داریم. (با فلش ها می توانید ببینید که هر عنصر به کجا می رسد. Cosecant کل فاصله شما تا سقف است).

کمی جادو. همه مثلث ها مساوات یکسانی دارند:

از قضیه فیثاغورث (a 2 + b 2 = c 2) می بینیم که اضلاع هر مثلث چگونه به هم وصل شده اند. علاوه بر این، نسبت "ارتفاع به عرض" نیز باید برای همه مثلث ها یکسان باشد. (به سادگی از بزرگترین مثلث به مثلث کوچکتر حرکت کنید. بله، اندازه تغییر کرده است، اما نسبت اضلاع ثابت می ماند).

با دانستن اینکه کدام ضلع در هر مثلث برابر با 1 (شعاع گنبد) است، می توانیم به راحتی محاسبه کنیم که "sin/cos = tan/1".

من همیشه سعی کرده ام این حقایق را از طریق تجسم ساده به خاطر بسپارم. در تصویر به وضوح این وابستگی ها را می بینید و متوجه می شوید که از کجا آمده اند. این تکنیک بسیار بهتر از به خاطر سپردن فرمول های خشک است.

زوایای دیگر را فراموش نکنید

Psst... با این فکر که مماس همیشه کمتر از 1 است روی یک نمودار گیر ندهید، اگر زاویه را افزایش دهید می توانید بدون رسیدن به دیوار به سقف برسید:

اتصالات فیثاغورث همیشه کار می کنند، اما اندازه های نسبی ممکن است متفاوت باشد.

(شاید متوجه شده باشید که نسبت های سینوس و کسینوس همیشه کوچکترین هستند زیرا در داخل گنبد قرار دارند).

به طور خلاصه: چه چیزی را باید به خاطر بسپاریم؟

برای بسیاری از ما، من می گویم این کافی است:

• مثلثات تشریح آناتومی اشیاء ریاضی مانند دایره ها و فواصل تکراری را توضیح می دهد.
• قیاس گنبد/دیوار/ سقف رابطه بین توابع مختلف مثلثاتی را نشان می دهد
• توابع مثلثاتی به درصدهایی منجر می شوند که ما آن را در سناریوی خود اعمال می کنیم.

شما نیازی به حفظ فرمول هایی مانند 1 2 + cot 2 = csc 2 ندارید. آنها فقط برای آزمون های احمقانه ای مناسب هستند که در آن آگاهی از یک واقعیت به عنوان درک آن منتقل می شود. یک دقیقه وقت بگذارید و نیم دایره ای به شکل گنبد، دیوار و سقف بکشید، عناصر را برچسب بزنید و تمام فرمول ها روی کاغذ به شما می رسد.

کاربرد: توابع معکوس

هر تابع مثلثاتی یک زاویه را به عنوان پارامتر ورودی می گیرد و نتیجه را به صورت درصد برمی گرداند. sin(30) = 0.5. این بدان معناست که زاویه 30 درجه 50 درصد حداکثر ارتفاع را اشغال می کند.

تابع مثلثاتی معکوس به صورت sin -1 یا arcsin نوشته می شود. Asin همچنین اغلب در زبان های برنامه نویسی مختلف نوشته می شود.

اگر ارتفاع ما 25 درصد ارتفاع گنبد باشد، زاویه ما چقدر است؟

در جدول نسبت های ما می توانید نسبتی را پیدا کنید که در آن سکنت بر 1 تقسیم می شود. برای مثال، سکنت بر 1 (هیپوتنوز به افقی) برابر است با 1 تقسیم بر کسینوس:

فرض کنید سکنت ما 3.5 است، یعنی. 350 درصد شعاع دایره واحد. این مقدار با چه زاویه ای از شیب به دیوار مطابقت دارد؟

ضمیمه: چند نمونه

مثال: سینوس زاویه x را پیدا کنید.

یک کار خسته کننده بیایید پیش پا افتاده "سینوس را پیدا کنید" را به "قد به عنوان درصد حداکثر (هیپوتنوز) چقدر است؟"

ابتدا توجه کنید که مثلث چرخیده است. هیچ اشکالی ندارد. این مثلث دارای ارتفاع نیز می باشد که در شکل سبز نشان داده شده است.

هیپوتانوس برابر با چیست؟ طبق قضیه فیثاغورث می دانیم که:

3 2 + 4 2 = هیپوتنوز 2 25 = هیپوتنوز 2 5 = هیپوتنوز

خوب! سینوس درصد ارتفاع بلندترین ضلع مثلث یا هیپوتنوز است. در مثال ما، سینوس 3/5 یا 0.60 است.

البته از چند راه می توانیم برویم. اکنون می دانیم که سینوس 0.60 است، به سادگی می توانیم آرکسین را پیدا کنیم:

Asin(0.6)=36.9

در اینجا یک رویکرد دیگر است. توجه داشته باشید که مثلث "رو به دیوار" است، بنابراین می توانیم به جای سینوس از مماس استفاده کنیم. ارتفاع 3، فاصله تا دیوار 4 است، بنابراین مماس ¾ یا 75٪ است. ما می‌توانیم از آرکتانژانت برای برگشت از مقدار درصد به یک زاویه استفاده کنیم:

قهوهای مایل به زرد = 3/4 = 0.75 آتان (0.75) = 36.9 مثال: آیا تا ساحل شنا خواهید کرد؟

شما در یک قایق هستید و سوخت کافی برای پیمودن 2 کیلومتر دارید. اکنون 0.25 کیلومتر از ساحل فاصله دارید. با حداکثر چه زاویه ای نسبت به ساحل می توانید به سمت آن شنا کنید تا سوخت کافی داشته باشید؟ علاوه بر بیان مشکل: ما فقط یک جدول از مقادیر کسینوس قوس داریم.

آن چه که ما داریم؟ خط ساحلیرا می توان به عنوان یک "دیوار" در مثلث معروف ما نشان داد، و "طول یک نردبان" متصل به دیوار حداکثر فاصله ممکن برای طی کردن قایق تا ساحل (2 کیلومتر) است. یک سکانت ظاهر می شود.

ابتدا باید به سراغ درصدها بروید. ما 2 / 0.25 = 8 داریم، یعنی می توانیم مسافتی را شنا کنیم که 8 برابر فاصله مستقیم تا ساحل (یا تا دیوار) است.

این سوال مطرح می شود: "بخش 8 چیست؟" اما ما نمی توانیم به آن پاسخ دهیم، زیرا ما فقط کسینوس قوس داریم.

ما از وابستگی های مشتق شده قبلی خود برای ربط دادن سکنت به کسینوس استفاده می کنیم: "sec/1 = 1/cos"

سکنت 8 برابر است با کسینوس ⅛. زاویه ای که کسینوس آن ⅛ است برابر با acos(1/8) = 82.8 است. و این بزرگترین زاویه ای است که ما می توانیم روی یک قایق با مقدار سوخت مشخص شده بپردازیم.

بد نیست، درست است؟ بدون تشبیه گنبد-دیوار-سقف، من در یکسری فرمول ها و محاسبات گم می شدم. تجسم مسئله جستجوی راه حل را بسیار ساده می کند و همچنین جالب است که ببینیم کدام تابع مثلثاتی در نهایت کمک خواهد کرد.

برای هر مشکل، اینگونه فکر کنید: آیا به گنبد (sin/cos)، دیوار (tan/sec)، یا سقف (cot/csc) علاقه دارم؟

و مثلثات بسیار لذت بخش تر خواهد شد. محاسبات آسان برای شما!