کسینوس نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز است. سینوس، کسینوس، مماس: چیست؟ نحوه پیدا کردن سینوس، کسینوس و مماس

در این مقاله نحوه دادن را نشان خواهیم داد تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه و عدد در مثلثات. در اینجا ما در مورد نمادها صحبت می کنیم، نمونه هایی از ورودی ها را ارائه می دهیم و تصاویر گرافیکی ارائه می دهیم. در خاتمه، اجازه دهید بین تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در مثلثات و هندسه مشابهی ترسیم کنیم.

پیمایش صفحه.

تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت

بیایید ببینیم که چگونه ایده سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در یک درس ریاضی مدرسه شکل می گیرد. در درس هندسه تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت داده شده است. زاویه حاددر یک مثلث قائم الزاویه و بعدها مثلثاتی مورد مطالعه قرار می گیرد که در مورد سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت زاویه چرخش و عدد صحبت می کند. بیایید همه این تعاریف را ارائه کنیم، مثال بزنیم و نظرات لازم را بیان کنیم.

زاویه تند در مثلث قائم الزاویه

از درس هندسه تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه را می دانیم. آنها به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه داده می شوند. اجازه دهید فرمول های آنها را ارائه دهیم.

تعریف.

سینوس زاویه حاد در مثلث قائم الزاویهنسبت طرف مقابل به هیپوتنوز است.

تعریف.

کسینوس زاویه حاد در مثلث قائم الزاویهنسبت پای مجاور به هیپوتنوز است.

تعریف.

مماس زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه- این نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور است.

تعریف.

کتانژانت زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه- این نسبت طرف مجاور به طرف مقابل است.

نامگذاری های سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت نیز در آنجا معرفی شده است - به ترتیب sin، cos، tg و ctg.

برای مثال، اگر ABC باشد راست گوشهبا زاویه قائم C، سپس سینوس زاویه حاد A برابر است با نسبت ضلع مقابل BC به هیپوتانوس AB، یعنی sin∠A=BC/AB.

این تعاریف به شما امکان می دهد مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه حاد را از طول های شناخته شدهاضلاع یک مثلث قائم الزاویه، و همچنین در امتداد ارزش های شناخته شدهطول اضلاع دیگر را با استفاده از سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت و طول یکی از اضلاع پیدا کنید. به عنوان مثال، اگر می دانستیم که در یک مثلث قائم الزاویه، پایه AC برابر با 3 و فرض AB برابر با 7 است، می توانیم مقدار کسینوس زاویه تند A را با تعریف محاسبه کنیم: cos∠A=AC/ AB=3/7.

زاویه چرخش

در مثلثات، آنها شروع به نگاه گسترده تر به زاویه می کنند - آنها مفهوم زاویه چرخش را معرفی می کنند. بزرگی زاویه چرخش، بر خلاف زاویه حاد، به 0 تا 90 درجه محدود نمی شود، زاویه چرخش بر حسب درجه (و بر حسب رادیان) را می توان با هر عدد واقعی از -∞ تا +∞ بیان کرد.

در این پرتو، تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت نه از یک زاویه حاد، بلکه از یک زاویه با اندازه دلخواه - زاویه چرخش، ارائه شده است. آنها از طریق مختصات x و y نقطه A 1 داده می شوند که به اصطلاح نقطه شروع A(1, 0) پس از چرخش آن با زاویه α حول نقطه O - ابتدای سیستم مختصات دکارتی مستطیلی به آن می رود. و مرکز دایره واحد.

تعریف.

سینوس زاویه چرخشα مختص نقطه A 1 است، یعنی sinα=y.

تعریف.

کسینوس زاویه چرخشα را آبسیسا نقطه A 1 می نامند، یعنی cosα=x.

تعریف.

مماس زاویه چرخشα نسبت ترتیب نقطه A 1 به ابسیسا آن است، یعنی tanα=y/x.

تعریف.

کتانژانت زاویه چرخشα نسبت آبسیسا نقطه A 1 به مختصات آن است، یعنی ctgα=x/y.

سینوس و کسینوس برای هر زاویه α تعریف می‌شوند، زیرا ما همیشه می‌توانیم ابسیسا و مختصات نقطه را تعیین کنیم که با چرخش نقطه شروع با زاویه α به دست می‌آید. اما مماس و کتانژانت برای هیچ زاویه ای تعریف نشده اند. مماس برای زوایای α تعریف نشده است که در آن نقطه شروع به نقطه ای با ابسیسا صفر (0, 1) یا (0, -1) می رود و این در زوایای 90°+180° k, k∈Z (π) رخ می دهد. /2+π·k راد). در واقع، در چنین زوایای چرخشی، عبارت tgα=y/x معنی ندارد، زیرا شامل تقسیم بر صفر است. در مورد کوتانژانت، برای زوایای α که در آن نقطه شروع به نقطه صفر (1، 0) یا (-1، 0) می رود، تعریف نشده است، و این برای زوایای 180 درجه k، k ∈Z رخ می دهد. (π·k راد).

بنابراین، سینوس و کسینوس برای هر زاویه چرخشی تعریف می شود، مماس برای همه زوایا به جز 90°+180°k، k∈Z (π/2+πk rad) و کوتانژانت برای همه زوایا به جز 180°·k تعریف می شود. ، k∈Z (π·k راد).

این تعاریف شامل نام‌هایی است که قبلاً برای ما شناخته شده‌اند sin، cos، tg و ctg، آنها همچنین برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه چرخش استفاده می‌شوند (گاهی اوقات می‌توانید عناوین tan و cot مربوط به مماس و کتانژانت را پیدا کنید) . بنابراین سینوس زاویه چرخش 30 درجه را می توان به صورت sin30° نوشت، ورودی های tg(-24°17') و ctgα مربوط به مماس زاویه چرخش 24- درجه 17 دقیقه و همتجانس زاویه چرخش α هستند. . به یاد بیاورید که هنگام نوشتن اندازه رادیان یک زاویه، نام "rad" اغلب حذف می شود. برای مثال، کسینوس زاویه چرخش سه پی راد معمولاً cos3·π نشان داده می شود.

در خاتمه این نکته، شایان ذکر است که هنگام صحبت از سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه چرخش، اغلب عبارت «زاویه چرخش» یا کلمه «چرخش» حذف می‌شود. یعنی به جای عبارت "سینوس زاویه آلفا" معمولا از عبارت "سینوس زاویه آلفا" یا حتی کوتاهتر از آن "سینوس آلفا" استفاده می شود. همین امر در مورد کسینوس، مماس و کوتانژانت نیز صدق می کند.

همچنین خواهیم گفت که تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه با تعاریفی که برای سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت از زاویه چرخش از 0 تا 90 درجه ارائه شده است، مطابقت دارد. ما این را توجیه خواهیم کرد.

شماره

تعریف.

سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد t عددی برابر با سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت زاویه چرخش بر حسب t رادیان است.

به عنوان مثال، کسینوس عدد 8·π طبق تعریف، عددی برابر با کسینوس زاویه 8·π rad است. و کسینوس زاویه 8 π راد است برابر با یکبنابراین کسینوس عدد 8·π برابر با 1 است.

روش دیگری برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک عدد وجود دارد. این شامل اختصاص یک نقطه به هر عدد واقعی t است دایره واحددر مبدأ سیستم مختصات مستطیلی قرار دارد و سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت از طریق مختصات این نقطه تعیین می‌شوند. بیایید به این موضوع با جزئیات بیشتری نگاه کنیم.

اجازه دهید نشان دهیم که چگونه یک تناظر بین اعداد واقعی و نقاط روی یک دایره برقرار می شود:

• به عدد 0 نقطه شروع A (1, 0) اختصاص داده شده است.
• عدد مثبت t با نقطه واحد دایره مرتبط است که اگر در امتداد دایره از نقطه شروع در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم و مسیری به طول t را طی کنیم به آن خواهیم رسید.
• عدد منفی t با نقطه ای از دایره واحد مرتبط است که اگر در امتداد دایره از نقطه شروع در جهت عقربه های ساعت حرکت کنیم و مسیری به طول |t| .

حال به سراغ تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت عدد t می رویم. فرض کنید عدد t مربوط به نقطه ای از دایره A 1 (x, y) است (به عنوان مثال، عدد &pi/2 مربوط به نقطه A 1 (0، 1) است).

تعریف.

سینوس عدد t مختص نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد t است، یعنی sint=y.

تعریف.

کسینوس عدد t را ابسیسا نقطه دایره واحد مربوط به عدد t می نامند، یعنی هزینه=x.

تعریف.

مماس عدد t نسبت مجمل به ابسیسا یک نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد t است، یعنی tgt=y/x. در فرمول معادل دیگری، مماس یک عدد t نسبت سینوس این عدد به کسینوس است، یعنی tgt=sint/cost.

تعریف.

کتانژانت عدد t نسبت آبسیسا به مختص یک نقطه در دایره واحد مربوط به عدد t است، یعنی ctgt=x/y. فرمول دیگر این است: مماس عدد t نسبت کسینوس عدد t به سینوس عدد t است: ctgt=cost/sint.

در اینجا متذکر می شویم که تعاریفی که ارائه شد با تعریف ارائه شده در ابتدای این پاراگراف مطابقت دارد. در واقع، نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد t با نقطه به دست آمده از چرخش نقطه شروع با زاویه t رادیان منطبق است.

هنوز هم ارزش روشن شدن این نکته را دارد. فرض کنید ورودی sin3 را داریم. چگونه می توانیم بفهمیم که در مورد سینوس عدد 3 صحبت می کنیم یا سینوس زاویه چرخش 3 رادیان؟ این معمولاً از زمینه مشخص است، در غیر این صورت احتمالاً اهمیت اساسی ندارد.

توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای و عددی

با توجه به تعاریفی که در پاراگراف قبل ارائه شد، هر زاویه چرخش α با مقدار بسیار خاصی sinα و همچنین مقدار cosα مطابقت دارد. علاوه بر این، تمام زوایای چرخش غیر از 90°+180°k، k∈Z (π/2+πk rad) با مقادیر tgα و مقادیر دیگر از 180°k، k∈Z (πk rad) مطابقت دارند - مقادیر از ctgα. بنابراین sinα، cosα، tanα و ctgα توابعی از زاویه α هستند. به عبارت دیگر، اینها توابع آرگومان زاویه ای هستند.

ما می توانیم به طور مشابه در مورد توابع سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک آرگومان عددی صحبت کنیم. در واقع، هر عدد واقعی t مربوط به یک مقدار بسیار خاص سینت و همچنین هزینه است. علاوه بر این، همه اعداد غیر از π/2+π·k، k∈Z با مقادیر tgt و اعداد π·k، k∈Z - مقادیر ctgt مطابقت دارند.

توابع سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت نامیده می شوند توابع مثلثاتی اساسی.

معمولاً از زمینه مشخص می شود که آیا با توابع مثلثاتی یک آرگومان زاویه ای سروکار داریم یا یک آرگومان عددی. در غیر این صورت، می‌توانیم متغیر مستقل را هم به عنوان معیار زاویه (آگومان زاویه‌ای) و هم یک استدلال عددی در نظر بگیریم.

با این حال، در مدرسه ما عمدتاً توابع عددی را مطالعه می کنیم، یعنی توابعی که آرگومان های آنها و همچنین مقادیر تابع متناظر آنها اعداد هستند. بنابراین، اگر ما در موردبه طور خاص در مورد توابع، توصیه می شود که توابع مثلثاتی را به عنوان توابعی از آرگومان های عددی در نظر بگیریم.

رابطه بین تعاریف از هندسه و مثلثات

اگر زاویه چرخش α را از 0 تا 90 درجه در نظر بگیریم، آنگاه تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت زاویه چرخش در زمینه مثلثات کاملاً با تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک مطابقت دارد. زاویه حاد در مثلث قائم الزاویه که در درس هندسه آورده شده است. بیایید این را توجیه کنیم.

اجازه دهید دایره واحد را در سیستم مختصات دکارتی مستطیلی Oxy به تصویر بکشیم. بیایید نقطه شروع A (1, 0) را علامت گذاری کنیم. بیایید آن را با زاویه α در محدوده 0 تا 90 درجه بچرخانیم، نقطه A 1 (x, y) را به دست می آوریم. اجازه دهید عمود A 1 H را از نقطه A 1 به محور Ox رها کنیم.

به راحتی می توان دید که در یک مثلث قائم الزاویه A 1 OH برابر با زاویهچرخش α، طول پایه OH مجاور این زاویه برابر با آبسیسا نقطه A 1 است، یعنی |OH|=x، طول پایه A 1 H در مقابل گوشه برابر با اردین است. نقطه A 1، یعنی |A 1 H|=y، و طول هیپوتانوس OA 1 برابر با یک است، زیرا شعاع دایره واحد است. سپس طبق تعریف هندسه، سینوس زاویه تند α در مثلث قائم الزاویه A 1 OH برابر است با نسبت پای مقابل به هیپوتنوز، یعنی sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. و طبق تعریف از مثلثات، سینوس زاویه چرخش α برابر است با مختصات نقطه A 1، یعنی sinα=y. این نشان می دهد که تعیین سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه معادل تعیین سینوس زاویه چرخش α در زمانی است که α از 0 تا 90 درجه است.

به طور مشابه، می توان نشان داد که تعاریف کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه حاد α با تعاریف کسینوس، مماس و کوتانژانت زاویه چرخش α مطابقت دارد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. هندسه. پایه های 7-9: کتاب درسی برای آموزش عمومی مؤسسات / [L. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev و غیره]. - چاپ بیستم م.: آموزش و پرورش، 1389. - 384 ص: بیمار. - شابک 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V.هندسه: کتاب درسی. برای پایه های 7-9 آموزش عمومی موسسات / A. V. Pogorelov. - چاپ دوم - م.: آموزش و پرورش، 2001. - 224 ص: بیمار. - شابک 5-09-010803-X.
3. جبر و توابع ابتدایی: آموزشبرای دانش آموزان پایه نهم دبیرستان/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ویرایش شده توسط دکتر علوم فیزیکی و ریاضی O. N. Golovin. - ویرایش 4. م.: آموزش و پرورش، 1969.
4. جبر:کتاب درسی برای کلاس نهم میانگین مدرسه/یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova; اد. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
5. جبرو آغاز تحلیل: Proc. برای کلاس های 10-11 آموزش عمومی موسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn و دیگران؛ اد. A. N. Kolmogorov. - ویرایش چهاردهم - M.: آموزش و پرورش، 2004. - 384 ص.: بیمار - ISBN 5-09-013651-3.
6. موردکوویچ A.G.جبر و آغاز تحلیل. پایه 10. در 2 p. قسمت 1: آموزش برای موسسات آموزشی (سطح پروفایل)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ویرایش چهارم، اضافه کنید. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. شابک 978-5-346-00792-0.
7. جبرو شروع کرد تجزیه و تحلیل ریاضی. پایه دهم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی موسسات: پایه و مشخصات. سطوح /[Yu. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ ویرایش شده توسط A. B. Zhizhchenko. - ویرایش سوم - I.: آموزش و پرورش، 1389.- 368 ص: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. باشماکوف ام. آی.جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی. برای کلاس های 10-11 میانگین مدرسه - ویرایش سوم - م.: آموزش و پرورش، 1372. - 351 ص: بیمار. - شابک 5-09-004617-4.
9. گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد مدارس فنی می شوند): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 p., ill.

ابتدا دایره ای با شعاع 1 و مرکز آن (0;0) در نظر بگیرید. برای هر αЄR می توان شعاع 0A را طوری رسم کرد که اندازه شعاعی زاویه بین 0A و محور 0x برابر با α باشد. جهت خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت در نظر گرفته می شود. بگذارید انتهای شعاع A دارای مختصات (a,b) باشد.

تعریف سینوس

تعریف : عدد b برابر با مختصات شعاع واحد ساخته شده به شکل توصیف شده با sinα نشان داده می شود و سینوس زاویه α نامیده می شود.

مثال: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

تعریف کسینوس

تعریف: عدد a برابر با آبسیسا انتهای شعاع واحد ساخته شده به روش توصیف شده با cosα نشان داده می شود و کسینوس زاویه α نامیده می شود.

مثال: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

در این مثال ها از تعریف سینوس و کسینوس یک زاویه بر حسب مختصات انتهای شعاع واحد و دایره واحد استفاده می شود. برای نمایش بصری تر، باید یک دایره واحد رسم کنید و نقاط مربوطه را روی آن رسم کنید و سپس ابسیساهای آنها را برای محاسبه کسینوس و مختصات برای محاسبه سینوس بشمارید.

تعریف مماس

تعریف: تابع tgx=sinx/cosx برای x≠π/2+πk، kЄZ، کوتانژانت زاویه x نامیده می شود. دامنه توابع tgxاینها همه اعداد واقعی هستند، به جز x=π/2+πn، nЄZ.

مثال: tg0 tgπ = 0 0 = 0

این مثال مشابه نمونه قبلی است. برای محاسبه مماس یک زاویه، باید مختصات یک نقطه را بر آبسیس آن تقسیم کنید.

تعریف کوتانژانت

تعریف: تابع ctgx=cosx/sinx برای x≠πk، kЄZ کوتانژانت زاویه x نامیده می شود. دامنه تعریف تابع ctgx = همه اعداد حقیقی به جز نقاط x=πk، kЄZ است.

بیایید به مثالی با استفاده از مثلث قائم الزاویه منظم نگاه کنیم

برای اینکه مشخص شود کسینوس، سینوس، مماس و کوتانژانت چیست. بیایید به مثالی با استفاده از یک مثلث قائم الزاویه با زاویه y و نگاه کنیم اضلاع a,b,c. هیپوتنوز c، پاهای a و b به ترتیب. زاویه بین هیپوتانوس c و پایه b y.

تعریف:سینوس زاویه y نسبت ضلع مقابل به هیپوتانوس است: siny = a/c

تعریف:کسینوس زاویه y نسبت پای مجاور به هیپوتونوس است: cozy = v/c

تعریف:مماس زاویه y نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است: tgy = a/b

تعریف:کوتانژانت زاویه y نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است: ctgy= in/a

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت توابع مثلثاتی نیز نامیده می شوند. هر زاویه سینوس و کسینوس خاص خود را دارد. و تقریباً هرکسی مماس و کتانژانت خاص خود را دارد.

اعتقاد بر این است که اگر یک زاویه به ما داده شود، سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت آن برای ما شناخته شده است! و بالعکس. با توجه به یک سینوس یا هر تابع مثلثاتی دیگر، به ترتیب، زاویه را می دانیم. حتی جداول خاصی ایجاد شده است که توابع مثلثاتی برای هر زاویه نوشته شده است.

مفاهیم سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت مقوله‌های اصلی مثلثات، شاخه‌ای از ریاضیات هستند و با تعریف زاویه پیوند ناگسستنی دارند. تسلط بر این علم ریاضی مستلزم حفظ و درک فرمول ها و قضایا و همچنین تفکر فضایی توسعه یافته است. به همین دلیل است که دانش‌آموزان و دانش‌آموزان محاسبات مثلثاتیاغلب باعث ایجاد مشکلات می شود. برای غلبه بر آنها باید با توابع و فرمول های مثلثاتی بیشتر آشنا شوید.

مفاهیم در مثلثات

فهمیدن مفاهیم اساسیمثلثات، ابتدا باید تصمیم بگیرید که مثلث قائم الزاویه و زاویه در یک دایره چیست و چرا تمام محاسبات مثلثاتی اولیه با آنها مرتبط است. مثلثی که یکی از زوایای آن 90 درجه باشد، مستطیل است. از نظر تاریخی، این رقم اغلب توسط مردم در معماری، دریانوردی، هنر و نجوم استفاده می شد. بر این اساس، افراد با مطالعه و تجزیه و تحلیل ویژگی های این رقم، نسبت های مربوط به پارامترهای آن را محاسبه کردند.

دسته های اصلی مرتبط با مثلث های قائم الزاویه عبارتند از: هیپوتنوس و پاها. هیپوتنوس ضلع مثلثی است که در مقابل زاویه قائمه قرار دارد. پاها به ترتیب دو طرف دیگر هستند. مجموع زوایای هر مثلثی همیشه 180 درجه است.

مثلثات کروی بخشی از مثلثات است که در مدرسه مطالعه نمی شود، اما در علوم کاربردی مانند نجوم و زمین شناسی، دانشمندان از آن استفاده می کنند. ویژگی یک مثلث در مثلثات کروی این است که همیشه مجموع زوایای آن بیشتر از 180 درجه است.

زوایای یک مثلث

در یک مثلث قائم الزاویه، سینوس یک زاویه، نسبت ساق مقابل زاویه مورد نظر به هیپوتنوز مثلث است. بر این اساس کسینوس نسبت ساق مجاور و هیپوتنوز است. هر دوی این مقادیر همیشه دارای قدر هستند کمتر از یک، از آنجایی که هیپوتانوز همیشه از ساق بلندتر است.

مماس یک زاویه مقداری است برابر با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور زاویه مورد نظر یا سینوس به کسینوس. کوتانژانت نیز به نوبه خود، نسبت ضلع مجاور زاویه مورد نظر به ضلع مقابل است. با تقسیم یک بر مقدار مماس هم می‌توان هم‌تانژانت یک زاویه را بدست آورد.

دایره واحد

دایره واحد در هندسه دایره ای است که شعاع آن برابر با یک است. چنین دایره ای در یک سیستم مختصات دکارتی ساخته می شود که مرکز دایره با نقطه مبدا منطبق است و موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور X (محور آبسیسا) تعیین می شود. هر نقطه روی دایره دارای دو مختصات است: XX و YY، یعنی مختصات ابسیسا و مختصات. با انتخاب هر نقطه از دایره در صفحه XX و انداختن یک عمود از آن به محور آبسیسا، یک مثلث قائم الزاویه به دست می‌آوریم که از شعاع نقطه انتخاب شده (که با حرف C مشخص می‌شود) تشکیل می‌شود، که عمود بر محور X است. (نقطه تقاطع با حرف G نشان داده می شود)، و قطعه محور آبسیسا بین مبدا (نقطه با حرف A مشخص می شود) و نقطه تقاطع G. مثلث حاصل ACG یک مثلث قائم الزاویه است که در یک دایره محاط شده است که در آن AG هیپوتنوز است و AC و GC پاها هستند. زاویه بین شعاع دایره AC و بخش محور آبسیسا با نام AG به عنوان α (آلفا) تعریف می شود. بنابراین، cos α = AG/AC. با توجه به اینکه AC شعاع دایره واحد است و برابر با یک است، معلوم می شود که cos α=AG. به همین ترتیب، sin α=CG.

علاوه بر این، با دانستن این داده ها، می توانید مختصات نقطه C را روی دایره تعیین کنید، زیرا cos α=AG، و sin α=CG، یعنی نقطه C دارد. مختصات داده شده(cos α; sin α). با دانستن اینکه مماس برابر با نسبت سینوس به کسینوس است، می توانیم تعیین کنیم که tan α = y/x و cot α = x/y. با در نظر گرفتن زوایای یک سیستم مختصات منفی، می توان محاسبه کرد که مقادیر سینوس و کسینوس برخی زوایا می تواند منفی باشد.

محاسبات و فرمول های اساسی

مقادیر تابع مثلثاتی

با در نظر گرفتن ماهیت توابع مثلثاتی از طریق دایره واحد، می‌توان مقادیر این توابع را برای برخی زوایا استخراج کرد. مقادیر در جدول زیر آمده است.

ساده ترین هویت های مثلثاتی

معادلاتی که در آنها مقدار مجهولی در زیر علامت تابع مثلثاتی وجود دارد، مثلثاتی می گویند. هویت هایی با مقدار sin x = α، k - هر عدد صحیح:

1. sin x = 0، x = πk.
2. 2. sin x = 1، x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1، x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1، هیچ راه حلی وجود ندارد.
5. sin x = a, |a| ≦ 1، x = (-1)^k * arcsin α + πk.

هویت هایی با مقدار cos x = a که k هر عدد صحیحی است:

1. cos x = 0، x = π/2 + πk.
2. cos x = 1، x = 2πk.
3. cos x = -1، x = π + 2πk.
4. cos x = a، |a| > 1، هیچ راه حلی وجود ندارد.
5. cos x = a، |a| ≦ 1، x = ± arccos α + 2πk.

هویت هایی با مقدار tg x = a، که k هر عدد صحیح است:

1. tan x = 0، x = π/2 + πk.
2. tan x = a، x = آرکتان α + πk.

هویت هایی با مقدار ctg x = a، که در آن k هر عدد صحیح است:

1. تخت x = 0، x = π/2 + πk.
2. ctg x = a، x = arcctg α + πk.

فرمول های کاهش

این دسته فرمول های ثابتروش هایی را نشان می دهد که با آن می توانید از توابع مثلثاتی شکل به توابع یک آرگومان حرکت کنید، یعنی سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه با هر مقدار را به شاخص های مربوط به زاویه بازه از 0 به کاهش دهید. 90 درجه برای راحتی بیشتر در محاسبات.

فرمول های کاهش توابع برای سینوس زاویه به صورت زیر است:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

برای کسینوس زاویه:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

استفاده از فرمول های فوق با رعایت دو قانون امکان پذیر است. ابتدا، اگر زاویه را بتوان به عنوان یک مقدار (π/2 ± a) یا (3π/2 ± a) نشان داد، مقدار تابع تغییر می کند:

• از گناه به cos;
• از cos به گناه;
• از tg به ctg؛
• از ctg تا tg.

اگر زاویه را بتوان به صورت (π ± a) یا (2π ± a) نشان داد، مقدار تابع بدون تغییر باقی می ماند.

ثانیاً، علامت تابع کاهش یافته تغییر نمی کند: اگر در ابتدا مثبت بود، همچنان باقی می ماند. توابع منفی هم همینطور.

فرمول های اضافه

این فرمول ها مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه چرخش را از طریق توابع مثلثاتی خود بیان می کنند. معمولاً زاویه ها به صورت α و β نشان داده می شوند.

فرمول ها به شکل زیر هستند:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (1-± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

این فرمول ها برای هر زاویه α و β معتبر هستند.

فرمول های دو و سه زاویه

فرمول های مثلثاتی زاویه دو و سه فرمول هایی هستند که به ترتیب توابع زوایای 2α و 3α را به توابع مثلثاتی زاویه α مرتبط می کنند. برگرفته از فرمول های جمع:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

انتقال از جمع به محصول

با توجه به اینکه 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y)، با ساده کردن این فرمول، هویت sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α - β)/2 را بدست می آوریم. به طور مشابه sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

انتقال از محصول به جمع

این فرمول ها از هویت های انتقال یک مجموع به یک محصول به دست می آیند:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2 *.

فرمول های کاهش مدرک تحصیلی

در این هویت ها، توان های مربع و مکعب سینوس و کسینوس را می توان بر حسب سینوس و کسینوس توان اول یک زاویه چندگانه بیان کرد:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

جایگزینی جهانی

فرمول های جایگزینی مثلثاتی جهانی، توابع مثلثاتی را بر حسب مماس نیم زاویه بیان می کنند.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2)، با x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2)، که در آن x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2)، که در آن x = π + 2πn;
• تخت x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2)، با x = π + 2πn.

موارد خاص

موارد خاص از تک یاخته ها معادلات مثلثاتیدر زیر آورده شده است (k هر عدد صحیحی است).

ضرایب سینوس:

مقدار Sin x	مقدار x
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk یا 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk یا -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk یا 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk یا -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk یا 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk یا -2π/3 + 2πk

ضرایب کسینوس:

مقدار cos x	مقدار x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	± 2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	± 5π/6 + 2πk

ضرایب مماس:

مقدار tg x	مقدار x
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

ضرایب کوتانژانت:

مقدار ctg x	مقدار x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

قضایا

قضیه سینوس ها

دو نسخه از قضیه وجود دارد - ساده و توسعه یافته. قضیه سادهسینوس: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. در این حالت، a، b، c اضلاع مثلث و α، β، γ به ترتیب زوایای مخالف هستند.

قضیه سینوس بسط یافته برای یک مثلث دلخواه: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. در این هویت، R نشان دهنده شعاع دایره ای است که مثلث داده شده در آن محاط شده است.

قضیه کسینوس

هویت به صورت زیر نمایش داده می شود: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. در فرمول a,b,c اضلاع مثلث و α زاویه مقابل ضلع a است.

قضیه مماس

فرمول رابطه بین مماس های دو زاویه و طول اضلاع مقابل آنها را بیان می کند. اضلاع دارای برچسب a، b، c، و زوایای مقابل مربوطه α، β، γ هستند. فرمول قضیه مماس: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

قضیه کتانژانت

شعاع دایره ای که به صورت مثلث محاط شده است را به طول اضلاع آن متصل می کند. اگر a، b، c اضلاع مثلث و A، B، C به ترتیب زوایای مقابل آنها باشند، r شعاع دایره محاطی و p نیمه محیط مثلث است، شکل زیر است. هویت معتبر است:

• تخت خواب A/2 = (p-a)/r;
• تخت خواب B/2 = (p-b)/r;
• cot C/2 = (p-c)/r.

کاربرد

مثلثات فقط یک علم نظری مربوط به فرمول های ریاضی. خواص، قضایا و قواعد آن در عمل توسط صنایع مختلف استفاده می شود. فعالیت انسانی- نجوم، ناوبری هوایی و دریایی، تئوری موسیقی، ژئودزی، شیمی، آکوستیک، اپتیک، الکترونیک، معماری، اقتصاد، مهندسی مکانیک، کار اندازه گیری، گرافیک کامپیوتری، نقشه برداری، اقیانوس شناسی، و بسیاری دیگر.

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت مفاهیم اولیه مثلثات هستند که به کمک آنها می توان روابط بین زوایای و طول اضلاع در یک مثلث را به صورت ریاضی بیان کرد و از طریق هویت ها، قضایا و قواعد کمیت های مورد نیاز را یافت.

یادداشت های مهم!
1. اگر به جای فرمول ها gobbledygook را می بینید، کش خود را پاک کنید. نحوه انجام این کار در مرورگر خود در اینجا نوشته شده است:
2. قبل از شروع خواندن مقاله، بیشتر به ناوبر ما توجه کنید منبع مفیدبرای

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت

مفاهیم سینوس ()، کسینوس ()، مماس ()، کوتانژانت () با مفهوم زاویه پیوند ناگسستنی دارند. برای اینکه درک درستی از این مفاهیم پیچیده در نگاه اول داشته باشیم (که باعث ایجاد حالت وحشت در بسیاری از دانش‌آموزان مدرسه می‌شود) و مطمئن شویم که «شیطان به اندازه‌ای که ترسیم می‌شود وحشتناک نیست»، اجازه دهید از اینجا شروع کنیم. در ابتدا و درک مفهوم زاویه.

مفهوم زاویه: رادیان، درجه

بیایید به تصویر نگاه کنیم. بردار نسبت به نقطه به مقدار معینی "چرخش" شده است. بنابراین اندازه گیری این چرخش نسبت به موقعیت اولیه خواهد بود گوشه.

چه چیز دیگری باید در مورد مفهوم زاویه بدانید؟ خوب، البته، واحدهای زاویه!

زاویه را هم در هندسه و هم در مثلثات می توان بر حسب درجه و رادیان اندازه گیری کرد.

زاویه (یک درجه) نامیده می شود زاویه مرکزیدر یک دایره، بر اساس یک قوس دایره ای برابر با بخشی از دایره. بنابراین، کل دایره از "قطعات" کمان های دایره ای تشکیل شده است، یا زاویه توصیف شده توسط دایره برابر است.

یعنی شکل بالا زاویه ای برابر را نشان می دهد، یعنی این زاویه بر روی یک قوس دایره ای به اندازه محیط قرار دارد.

زاویه بر حسب رادیان، زاویه مرکزی در دایره ای است که توسط قوس دایره ای که طول آن برابر با شعاع دایره است، فرو رفته است. خوب متوجه شدی؟ اگر نه، پس بیایید آن را از نقاشی بفهمیم.

بنابراین، شکل زاویه ای برابر با رادیان را نشان می دهد، یعنی این زاویه بر روی یک کمان دایره ای قرار دارد که طول آن برابر با شعاع دایره است (طول برابر طول یا شعاع برابر با طول قوس). بنابراین، طول قوس با فرمول محاسبه می شود:

زاویه مرکزی بر حسب رادیان کجاست.

خوب، با دانستن این، می توانید پاسخ دهید که در زاویه توصیف شده توسط دایره چند رادیان وجود دارد؟ بله، برای این شما باید فرمول دور را به خاطر بسپارید. او اینجاست:

خوب، حالا بیایید این دو فرمول را به هم مرتبط کنیم و دریابیم که زاویه توصیف شده توسط دایره برابر است. یعنی با همبستگی مقدار بر حسب درجه و رادیان به آن می رسیم. به ترتیب، . همانطور که می بینید، بر خلاف "درجه"، کلمه "رادیان" حذف شده است، زیرا واحد اندازه گیری معمولاً از متن مشخص است.

چند رادیان وجود دارد؟ درست است!

فهمیدم؟ سپس ادامه دهید و آن را اصلاح کنید:

داشتن مشکلات؟ سپس نگاه کنید پاسخ می دهد:

مثلث قائم الزاویه: سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت زاویه

بنابراین، ما مفهوم زاویه را کشف کردیم. اما سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه چیست؟ بیایید آن را بفهمیم. برای انجام این کار، مثلث قائم الزاویه به ما کمک می کند.

اضلاع مثلث قائم الزاویه چه نام دارند؟ درست است، هیپوتنوز و پاها: هیپوتنوز سمتی است که در مقابل زاویه راست قرار دارد (در مثال ما این سمت است). پاها دو طرف باقی مانده و (آنهایی که مجاور هستند زاویه راست) و اگر پاها را نسبت به زاویه در نظر بگیریم، ساق است پای مجاور، و پا در مقابل است. خب حالا بیایید به این سوال پاسخ دهیم: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه چیست؟

سینوس زاویه- این نسبت پای مخالف (دور) به هیپوتنوز است.

در مثلث ما

کسینوس زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.

در مثلث ما

مماس زاویه- این نسبت طرف مقابل (دور) به مجاور (نزدیک) است.

در مثلث ما

کتانژانت زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به مخالف (دور) است.

در مثلث ما

این تعاریف لازم است یاد آوردن! برای اینکه راحت‌تر به خاطر بیاورید که کدام پا را باید به چه چیزی تقسیم کنید، باید آن را به وضوح درک کنید مماسو کتانژانتفقط پاها می نشینند و هیپوتنوز فقط در داخل ظاهر می شود سینوسیو کسینوس. و سپس می توانید با زنجیره ای از انجمن ها بیایید. مثلا این یکی:

کسینوس← لمس← لمس← مجاور;

کوتانژانت← لمس← لمس← مجاور.

اول از همه، باید به خاطر داشته باشید که سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث به طول این ضلع ها (در یک زاویه) بستگی ندارد. باور نکن؟ سپس با مشاهده عکس مطمئن شوید:

برای مثال کسینوس یک زاویه را در نظر بگیرید. طبق تعریف، از مثلث: ، اما می توانیم کسینوس یک زاویه را از مثلث محاسبه کنیم: . ببینید طول اضلاع متفاوت است، اما مقدار کسینوس یک زاویه یکسان است. بنابراین، مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت تنها به بزرگی زاویه بستگی دارد.

اگر تعاریف را فهمیدید، پس بروید و آنها را تثبیت کنید!

برای مثلثی که در شکل زیر نشان داده شده است، پیدا می کنیم.

خوب متوجه شدی؟ سپس خودتان آن را امتحان کنید: همان را برای زاویه محاسبه کنید.

دایره واحد (مثلثی).

با درک مفاهیم درجه و رادیان دایره ای با شعاع برابر در نظر گرفتیم. چنین دایره ای نامیده می شود تنها. هنگام مطالعه مثلثات بسیار مفید خواهد بود. بنابراین، اجازه دهید به آن با کمی جزئیات بیشتر نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، این دایره در سیستم مختصات دکارتی ساخته شده است. شعاع دایره برابر با یک است، در حالی که مرکز دایره در مبدا مختصات قرار دارد، موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور ثابت است (در مثال ما، این شعاع است).

هر نقطه روی دایره مربوط به دو عدد است: مختصات محور و مختصات محور. این اعداد مختصات چیست؟ و در کل چه ربطی به موضوع مورد بحث دارن؟ برای انجام این کار، باید مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شده را به خاطر بسپاریم. در شکل بالا دو مثلث کامل قائم الزاویه را مشاهده می کنید. مثلثی را در نظر بگیرید. مستطیل است زیرا بر محور عمود است.

مثلث برابر چیست؟ درست است. علاوه بر این، می دانیم که شعاع دایره واحد است، که به معنای . بیایید این مقدار را با فرمول کسینوس جایگزین کنیم. این چیزی است که اتفاق می افتد:

مثلث برابر چیست؟ خوب البته، ! مقدار شعاع را در این فرمول جایگزین کنید و بدست آورید:

بنابراین، آیا می توانید بگویید یک نقطه متعلق به یک دایره چه مختصاتی دارد؟ خوب، هیچ راهی؟ اگر متوجه شوید که فقط اعداد هستند چه؟ با کدام مختصات مطابقت دارد؟ خب البته مختصات! و با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ درست است، مختصات! بنابراین، دوره.

پس چه هستند و برابر؟ درست است، بیایید از تعاریف متناظر مماس و کوتانژانت استفاده کنیم و دریافت کنیم که، a.

اگر زاویه بزرگتر باشد چه؟ برای مثال مانند این تصویر:

چه چیزی در این مثال تغییر کرده است؟ بیایید آن را بفهمیم. برای انجام این کار، اجازه دهید دوباره به یک مثلث قائم الزاویه بچرخیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید: زاویه (در مجاورت یک زاویه). مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت برای یک زاویه چیست؟ درست است، ما به تعاریف مربوط به توابع مثلثاتی پایبند هستیم:

خوب، همانطور که می بینید، مقدار سینوس زاویه همچنان با مختصات مطابقت دارد. مقدار کسینوس زاویه - مختصات؛ و مقادیر مماس و کتانژانت به نسبت های مربوطه. بنابراین، این روابط برای هر چرخش بردار شعاع اعمال می شود.

قبلاً ذکر شد که موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور است. تاکنون این بردار را در خلاف جهت عقربه های ساعت چرخانده ایم، اما اگر آن را در جهت عقربه های ساعت بچرخانیم چه اتفاقی می افتد؟ هیچ چیز خارق العاده ای نیست، شما همچنین زاویه ای با مقدار مشخصی دریافت خواهید کرد، اما فقط آن منفی خواهد بود. بنابراین، هنگام چرخش بردار شعاع در خلاف جهت عقربه های ساعت، به دست می آوریم زوایای مثبتو هنگام چرخش در جهت عقربه های ساعت - منفی.

بنابراین، می دانیم که یک دور کامل بردار شعاع حول یک دایره یا است. آیا می توان بردار شعاع را به یا به چرخاند؟ خوب، البته که می توانید! بنابراین، در حالت اول، بردار شعاع یک دور کامل می‌کند و در موقعیت یا توقف می‌کند.

در حالت دوم، یعنی بردار شعاع سه دور کامل می‌کند و در موقعیت یا توقف می‌کند.

بنابراین، از مثال‌های بالا می‌توان نتیجه گرفت که زوایایی که با یا (جایی که هر عدد صحیحی است) متفاوت هستند، با موقعیت یکسان بردار شعاع مطابقت دارند.

شکل زیر یک زاویه را نشان می دهد. همان تصویر مربوط به گوشه و غیره است. این لیست را می توان به طور نامحدود ادامه داد. همه این زوایا را می توان با فرمول کلی یا (هر عدد صحیح کجاست) نوشت.

حال با دانستن تعاریف توابع مثلثاتی اساسی و با استفاده از دایره واحد سعی کنید به مقادیر زیر پاسخ دهید:

در اینجا یک حلقه واحد برای کمک به شما وجود دارد:

داشتن مشکلات؟ سپس بیایید آن را بفهمیم. پس می دانیم که:

از اینجا، مختصات نقاط مربوط به معیارهای زاویه خاص را تعیین می کنیم. خوب، بیایید به ترتیب شروع کنیم: زاویه در مربوط به یک نقطه با مختصات است، بنابراین:

وجود ندارد؛

علاوه بر این، با رعایت همان منطق، متوجه می شویم که گوشه ها به ترتیب با نقاط دارای مختصات مطابقت دارند. با دانستن این موضوع، تعیین مقادیر توابع مثلثاتی در نقاط مربوطه آسان است. ابتدا خودتان آن را امتحان کنید و سپس پاسخ ها را بررسی کنید.

پاسخ ها:

بنابراین می توانیم جدول زیر را تهیه کنیم:

نیازی به یادآوری تمام این ارزش ها نیست. کافی است مطابقت بین مختصات نقاط روی دایره واحد و مقادیر توابع مثلثاتی را به خاطر بسپارید:

اما مقادیر توابع مثلثاتی زوایا در و در جدول زیر آورده شده است. باید به یاد آورد:

نترسید، اکنون یک نمونه را به شما نشان می دهیم به خاطر سپردن مقادیر مربوطه بسیار ساده است:

برای استفاده از این روش، یادآوری مقادیر سینوس برای هر سه معیار زاویه () و همچنین مقدار مماس زاویه بسیار مهم است. با دانستن این مقادیر، بازیابی کل جدول بسیار ساده است - مقادیر کسینوس مطابق با فلش ها منتقل می شوند، یعنی:

با دانستن این موضوع، می توانید مقادیر را بازیابی کنید. صورت " " مطابقت دارد و مخرج " " مطابقت دارد. مقادیر کوتانژانت مطابق با فلش های نشان داده شده در شکل منتقل می شوند. اگر این را فهمیدید و نمودار را با فلش ها به خاطر بسپارید، کافی است تمام مقادیر جدول را به خاطر بسپارید.

مختصات یک نقطه روی یک دایره

آیا می توان نقطه ای (مختصات آن) را روی یک دایره پیدا کرد؟ دانستن مختصات مرکز دایره، شعاع و زاویه چرخش آن?

خوب، البته که می توانید! بیا بیرونش کنیم فرمول کلیبرای یافتن مختصات یک نقطه.

برای مثال، یک دایره در مقابل ما قرار دارد:

به ما داده می شود که نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش آن نقطه به درجه به دست می آید، پیدا کنیم.

همانطور که از شکل مشخص است، مختصات نقطه مطابق با طول قطعه است. طول پاره مطابق با مختصات مرکز دایره است، یعنی برابر است. طول یک قطعه را می توان با استفاده از تعریف کسینوس بیان کرد:

سپس آن را برای مختصات نقطه داریم.

با استفاده از همین منطق، مقدار مختصات y را برای نقطه پیدا می کنیم. بدین ترتیب،

بنابراین، در نمای کلیمختصات نقاط با فرمول تعیین می شود:

مختصات مرکز دایره،

شعاع دایره،

زاویه چرخش شعاع برداری.

همانطور که می بینید، برای دایره واحد مورد نظر ما، این فرمول ها به طور قابل توجهی کاهش می یابد، زیرا مختصات مرکز برابر با صفر و شعاع برابر با یک است:

خوب، بیایید این فرمول ها را با تمرین یافتن نقاط روی یک دایره امتحان کنیم؟

1. مختصات یک نقطه را در دایره واحد که با چرخاندن نقطه روی آن به دست می آید، بیابید.

2. مختصات یک نقطه را بر روی دایره واحد که با چرخاندن نقطه به دست می آید، پیدا کنید.

3. مختصات یک نقطه را در دایره واحد که با چرخاندن نقطه روی آن به دست می آید، بیابید.

4. نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش بردار شعاع اولیه به دست می آید، پیدا کنیم.

5. نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش بردار شعاع اولیه به دست می آید، پیدا کنیم.

آیا در یافتن مختصات یک نقطه روی یک دایره مشکل دارید؟

این پنج مثال را حل کنید (یا در حل آنها خوب شوید) و یاد خواهید گرفت که آنها را پیدا کنید!

خلاصه و فرمول های اساسی

سینوس یک زاویه نسبت پای مقابل (دور) به هیپوتنوز است.

کسینوس یک زاویه نسبت ساق مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.

مماس یک زاویه نسبت ضلع مقابل (دور) به ضلع مجاور (نزدیک) است.

کتانژانت یک زاویه نسبت ضلع مجاور (نزدیک) به طرف مقابل (دور) است.

خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای موفقیت قبولی در آزمون دولتی یکپارچه، برای پذیرش در کالج با بودجه و مهمتر از همه مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما تئوری خواسته نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مانند ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل، تجزیه و تحلیل دقیق و تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

1. قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید -
2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - خرید کتاب درسی - 499 RUR

بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

این مقاله حاوی جداول سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها. ابتدا جدولی از مقادیر پایه توابع مثلثاتی ارائه می کنیم، یعنی جدولی از سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کتانژانت های زوایای 0، 30، 45، 60، 90، ...، 360 درجه (. 0، π/6، π/4، π/3، π/2، …، 2πرادیان). پس از این، جدولی از سینوس ها و کسینوس ها و همچنین جدول مماس ها و کوتانژانت ها توسط V. M. Bradis ارائه می دهیم و نحوه استفاده از این جداول را هنگام یافتن مقادیر توابع مثلثاتی نشان می دهیم.

پیمایش صفحه.

جدول سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کتانژانت ها برای زوایای 0، 30، 45، 60، 90، ... درجه

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای کلاس نهم میانگین مدرسه/یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova; اد. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• باشماکوف ام. آی.جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی. برای کلاس های 10-11 میانگین مدرسه - ویرایش سوم - م.: آموزش و پرورش، 1372. - 351 ص: بیمار. - شابک 5-09-004617-4.
• جبرو آغاز تحلیل: Proc. برای کلاس های 10-11 آموزش عمومی موسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn و دیگران؛ اد. A. N. Kolmogorov. - ویرایش چهاردهم - M.: آموزش و پرورش، 2004. - 384 ص.: بیمار - ISBN 5-09-013651-3.
• گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد مدارس فنی می شوند): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 p., ill.
• بردیس وی. ام.جداول ریاضی چهار رقمی: برای آموزش عمومی. کتاب درسی موسسات - ویرایش دوم - م.: بوستارد، 1378.- 96 ص: بیمار. شابک 5-7107-2667-2