کسر کسر، قواعد و مثال‌هایی از کسر کسر. چگونه کسری را کاهش دهیم؟ قوانین برای همه موقعیت ها

اگر لازم باشد 497 را بر 4 تقسیم کنیم، در آن صورت هنگام تقسیم خواهیم دید که 497 به طور مساوی بر 4 بخش پذیر نیست، یعنی. باقی مانده تقسیم باقی می ماند. در چنین مواردی گفته می شود که تکمیل شده است تقسیم با باقی ماندهو راه حل به صورت زیر نوشته می شود:
497: 4 = 124 (1 باقیمانده).

اجزای تقسیم در سمت چپ تساوی مانند تقسیم بدون باقی مانده نامیده می شوند: 497 - سود سهام, 4 - تقسیم کننده. حاصل تقسیم وقتی با باقیمانده تقسیم می شود نامیده می شود خصوصی ناقص. در مورد ما، این عدد 124 است. و در نهایت، آخرین جزء که در تقسیم معمولی نیست، باقی مانده. در مواردی که باقیمانده ای وجود ندارد، یک عدد بر عدد دیگر تقسیم می شود بدون هیچ اثری یا به طور کامل. اعتقاد بر این است که با چنین تقسیم بندی باقی مانده است برابر با صفر. در مورد ما، باقیمانده 1 است.

باقیمانده همیشه کمتر از مقسوم علیه است.

تقسیم را می توان با ضرب بررسی کرد. برای مثال، اگر برابری 64: 32 = 2 وجود داشته باشد، بررسی را می توان به این صورت انجام داد: 64 = 32 * 2.

اغلب در مواردی که تقسیم با باقی مانده انجام می شود، استفاده از برابری راحت است
a = b * n + r،
که در آن a سود سهام، b مقسوم علیه، n سهم جزئی، r باقیمانده است.

ضریب اعداد طبیعی را می توان به صورت کسری نوشت.

صورت کسری سود تقسیمی است و مخرج آن مقسوم علیه است.

از آنجایی که صورت کسری تقسیم کننده است و مخرج آن تقسیم کننده است، معتقدند که خط کسری به معنای عمل تقسیم است. گاهی اوقات نوشتن تقسیم به صورت کسری بدون استفاده از علامت ":" راحت است.

ضریب تقسیم اعداد طبیعی m و n را می توان به صورت کسری \(\frac(m)(n) \ نوشت، که در آن صورت m سود تقسیمی و مخرج n تقسیم کننده است:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

قوانین زیر درست است:

برای بدست آوردن کسری \(\frac(m)(n)\)، باید واحد را به n قسمت مساوی (سهم) تقسیم کنید و m از این قسمت ها را بگیرید.

برای بدست آوردن کسری \(\frac(m)(n)\)، باید عدد m را بر عدد n تقسیم کنید.

برای یافتن بخشی از یک کل، باید عدد مربوط به کل را بر مخرج تقسیم کرده و حاصل را در عدد کسری که این جزء را بیان می کند ضرب کنید.

برای یافتن یک کل از قسمت آن، باید عدد مربوط به این قسمت را بر صورتگر تقسیم کنید و حاصل را در مخرج کسری که این جزء را بیان می کند ضرب کنید.

اگر هم صورت و هم مخرج کسری در یک عدد ضرب شوند (به جز صفر)، مقدار کسری تغییر نمی کند:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

اگر هم صورت و هم مخرج کسری بر یک عدد تقسیم شوند (به جز صفر)، مقدار کسری تغییر نمی کند:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
این خاصیت نامیده می شود ویژگی اصلی کسری.

دو تبدیل آخر نامیده می شوند کاهش کسری.

اگر لازم باشد کسرها به صورت کسری با مخرج یکسان نمایش داده شوند، این عمل نامیده می شود. تقلیل کسرها به مخرج مشترک.

کسرهای مناسب و نامناسب. اعداد مختلط

قبلاً می دانید که با تقسیم یک کل به قطعات مساوی و گرفتن چندین قسمت از این قبیل، یک کسری به دست می آید. برای مثال، کسری \(\frac(3)(4)\) به معنای سه چهارم یک است. در بسیاری از مشکلات پاراگراف قبل کسرهای رایجبرای نشان دادن بخشی از یک کل استفاده می شود. عقل سلیمپیشنهاد می کند که جزء باید همیشه کوچکتر از کل باشد، اما پس از آن کسرهایی مانند، برای مثال، \(\frac(5)(5)\) یا \(\frac(8)(5)\) چطور؟ واضح است که این دیگر بخشی از واحد نیست. احتمالاً به همین دلیل است که کسری که صورت آن بزرگتر یا مساوی مخرج است نامیده می شود کسرهای نامناسب. کسرهای باقیمانده یعنی کسری که صورت آن کوچکتر از مخرج است نامیده می شود. کسرهای صحیح.

همانطور که می دانید، هر کسر مشترک، اعم از مناسب و نامناسب، را می توان نتیجه تقسیم صورت بر مخرج در نظر گرفت. بنابراین، در ریاضیات، بر خلاف زبان معمولی، اصطلاح «کسری نامناسب» به این معنا نیست که ما کار اشتباهی انجام داده‌ایم، بلکه فقط به این معناست که صورت این کسر بزرگتر یا مساوی با مخرج است.

اگر عددی از یک جزء صحیح و یک کسری تشکیل شده باشد، چنین است کسرها را مختلط می گویند.

به عنوان مثال:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 قسمت صحیح و \(\frac(2)(3) \) قسمت کسری است.

اگر کسر کسری \(\frac(a)(b) \) بر یک عدد طبیعی n بخش پذیر باشد، برای تقسیم این کسر بر n، صورت آن باید بر این عدد تقسیم شود:
\(\large \frac(a)(b): n = \frac(a:n)(b) \)

اگر صورت کسری \(\frac(a)(b) \) بر یک عدد طبیعی n بخش پذیر نیست، برای تقسیم این کسر بر n، باید مخرج آن را در این عدد ضرب کنید:
\(\large \frac(a)(b): n = \frac(a)(bn) \)

توجه داشته باشید که قاعده دوم زمانی نیز صادق است که صورت بر n بخش پذیر باشد. بنابراین، زمانی می توانیم از آن استفاده کنیم که در نگاه اول تشخیص اینکه آیا عدد کسری بر n بخش پذیر است یا خیر، دشوار است.

اعمال با کسر. جمع کردن کسرها

با اعداد کسری، مانند اعداد طبیعی، می توانید انجام دهید عملیات حسابی. بیایید ابتدا به جمع کسرها نگاه کنیم. به راحتی کسرها را با مخرج های مشابه. اجازه دهید برای مثال، مجموع \(\frac(2)(7)\) و \(\frac(3)(7)\) را پیدا کنیم. به راحتی می توان فهمید که \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

برای جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.

با استفاده از حروف، قانون جمع کسری با مخرج مشابه را می توان به صورت زیر نوشت:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

اگر نیاز به اضافه کردن کسر با مخرج های مختلف، سپس ابتدا باید آنها را به یک مخرج مشترک آورد. به عنوان مثال:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

برای کسرها، مانند اعداد طبیعی، خواص جابجایی و انجمنی جمع معتبر است.

افزودن کسرهای مخلوط

نمادهایی مانند \(2\frac(2)(3)\) فراخوانی می شوند کسرهای مخلوط. در این حالت عدد 2 نامیده می شود کل بخشکسر مختلط، و عدد \(\frac(2)(3)\) آن است قسمت کسری. ورودی \(2\frac(2)(3)\) به صورت زیر خوانده می شود: "دو و دو سوم".

هنگام تقسیم عدد 8 بر عدد 3، می توانید دو پاسخ دریافت کنید: \(\frac(8)(3)\) و \(2\frac(2)(3)\). آنها همان عدد کسری را بیان می کنند، یعنی \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

بنابراین، کسر نامناسب \(\frac(8)(3)\) به عنوان یک کسر مختلط \(2\frac(2)(3)\ نمایش داده می شود. در چنین مواردی می گویند که از کسری نامناسب کل قسمت را برجسته کرد.

تفریق کسرها (اعداد کسری)

تفریق اعداد کسریمانند طبیعی ها بر اساس عمل جمع تعیین می شود: تفریق عدد دیگری از یک عدد به معنای یافتن عددی است که وقتی به عدد دوم اضافه می شود عدد اول را می دهد. به عنوان مثال:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) از \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

قانون تفریق کسری با مخرج مشابه مشابه قانون جمع کردن این کسرها است:
برای پیدا کردن تفاوت بین کسری با مخرج یکسان، باید عدد دوم را از صورت کسر اول کم کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.

با استفاده از حروف، این قانون به صورت زیر نوشته می شود:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

ضرب کسرها

برای ضرب کسری در کسری باید صورت و مخرج آنها را ضرب کنید و حاصل ضرب اول را به عنوان صورت و دومی را به عنوان مخرج بنویسید.

با استفاده از حروف، قانون ضرب کسر را می توان به صورت زیر نوشت:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

با استفاده از قانون فرموله شده، می توانید یک کسری را در یک عدد طبیعی ضرب کنید کسر مختلط، و همچنین کسرهای مختلط را ضرب کنید. برای این کار باید یک عدد طبیعی را به صورت کسری با مخرج 1 بنویسید و یک کسر مختلط را به صورت کسر نامناسب بنویسید.

نتیجه ضرب را باید (در صورت امکان) با کاهش کسر و جداسازی کل قسمت کسر نامناسب ساده کرد.

برای کسرها، مانند اعداد طبیعی، خواص جابجایی و ترکیبی ضرب و همچنین خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع معتبر است.

تقسیم کسرها

بیایید کسری \(\frac(2)(3)\) را برداریم و آن را "تغییر" کنیم و صورت و مخرج را عوض کنیم. کسری \(\frac(3)(2)\) را بدست می آوریم. این کسر نامیده می شود معکوسکسری \(\frac(2)(3)\).

اگر اکنون کسر \(\frac(3)(2)\ را "برعکس" کنیم، کسر اصلی \(\frac(2)(3)\ را دریافت خواهیم کرد). بنابراین، کسری مانند \(\frac(2)(3)\) و \(\frac(3)(2)\) نامیده می شوند. متقابل معکوس.

به عنوان مثال، کسرهای \(\frac(6)(5) \) و \(\frac(5)(6) \)، \(\frac(7)(18) \) و \(\frac (18) )(7)\).

با استفاده از حروف، کسرهای متقابل را می توان به صورت زیر نوشت: \(\frac(a)(b) \) و \(\frac(b)(a) \)

واضح است که حاصل ضرب کسرهای متقابل برابر با 1 است. به عنوان مثال: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

با استفاده از کسرهای متقابل، می توانید تقسیم کسرها را به ضرب کاهش دهید.

قانون تقسیم کسری بر کسری به این صورت است:
برای تقسیم یک کسر بر کسر دیگر، باید سود تقسیمی را در متقابل تقسیم کننده ضرب کنید.

با استفاده از حروف، قانون تقسیم کسری را می توان به صورت زیر نوشت:
\(\large \frac(a)(b): \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

اگر سود سهام یا تقسیم کننده باشد عدد طبیعییا کسر مختلط، پس برای استفاده از قانون تقسیم کسرها، ابتدا باید به صورت کسر نامناسب نمایش داده شود.

در این مقاله به طور مفصل به نحوه انجام آن خواهیم پرداخت کسر کسر. ابتدا بیایید در مورد چیزی که کسر کسر نامیده می شود بحث کنیم. پس از این، بیایید در مورد کاهش کسر تقلیل پذیر به شکل غیرقابل تقلیل صحبت کنیم. در ادامه قانون کاهش کسرها را به دست می آوریم و در نهایت نمونه هایی از کاربرد این قانون را در نظر می گیریم.

پیمایش صفحه.

کاهش کسری به چه معناست؟

می دانیم که کسرهای معمولی به کسرهای تقلیل پذیر و غیر قابل تقلیل تقسیم می شوند. از روی نام ها می توان حدس زد که کسرهای تقلیل پذیر را می توان کاهش داد، اما کسرهای تقلیل ناپذیر را نمی توان.

کاهش کسری به چه معناست؟ کسری را کاهش دهید- یعنی تقسیم صورت و مخرج آن بر مثبت و متفاوت از واحد. واضح است که در نتیجه کسر کسر، کسر جدیدی با صورت و مخرج کوچکتر به دست می‌آید و به دلیل خاصیت اصلی کسر، کسر حاصل با کسر اصلی برابر است.

برای مثال، بیایید کسر مشترک 8/24 را با تقسیم صورت و مخرج آن بر 2 کاهش دهیم. به عبارت دیگر، کسری 8/24 را 2 کاهش می دهیم. از آنجایی که 8:2=4 و 24:2=12، این کاهش منجر به کسر 4/12 می شود که برابر است با کسر اصلی 8/24 (کسری مساوی و نامساوی را ببینید). در نتیجه ما داریم.

تقلیل کسرهای معمولی به شکل غیر قابل تقلیل

به طور معمول، هدف نهایی از کاهش یک کسر، به دست آوردن کسری غیر قابل تقلیل است که برابر با کسر قابل تقلیل اولیه باشد. این هدف را می توان با کاهش کسر تقلیل پذیر اولیه توسط صورت و مخرج آن به دست آورد. در نتیجه چنین کاهشی، همیشه کسری غیر قابل تقلیل به دست می آید. در واقع کسری غیر قابل کاهش است، زیرا مشخص است که و - . در اینجا خواهیم گفت که بزرگترین مقسوم علیه و مخرج کسری است. بزرگترین عدد، که توسط آن می توان این کسر را کاهش داد.

بنابراین، کاهش یک کسر مشترک به شکل غیر قابل تقلیلشامل تقسیم صورت و مخرج کسر قابل تقلیل اولیه بر gcd آنها است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم که برای آن به کسر 24/8 برمی گردیم و آن را با بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 8 و 24 کاهش می دهیم که برابر با 8 است. از آنجایی که 8:8=1 و 24:8=3، به کسر تقلیل ناپذیر 1/3 می رسیم. بنابراین، .

توجه داشته باشید که عبارت "کاهش کسری" اغلب به معنای کاهش کسر اصلی به شکل غیر قابل تقلیل آن است. به عبارت دیگر، کاهش یک کسر اغلب به تقسیم صورت و مخرج بر بزرگترین عامل مشترک آنها (به جای هر عامل مشترک) اشاره دارد.

چگونه کسری را کاهش دهیم؟ قواعد و مثال های کسر کسر

تنها چیزی که باقی می ماند این است که به قانون کاهش کسرها نگاه کنیم، که توضیح می دهد چگونه یک کسر معین را کاهش دهیم.

قانون کاهش کسرهاشامل دو مرحله است:

• ابتدا gcd صورت و مخرج کسری پیدا می شود.
• ثانیاً، صورت و مخرج کسر بر gcd آنها تقسیم می شود که کسری تقلیل ناپذیر برابر با کسر اصلی به دست می دهد.

بیایید آن را مرتب کنیم مثال کاهش کسریطبق قاعده اعلام شده

مثال.

کسر 182/195 را کاهش دهید.

راه حل.

بیایید هر دو مرحله را که توسط قانون برای کاهش کسری تعیین شده است انجام دهیم.

ابتدا GCD (182، 195) را پیدا می کنیم. استفاده از الگوریتم اقلیدسی راحت‌تر است (نگاه کنید به): 195=182·1+13، 182=13·14، یعنی GCD(182، 195)=13.

حالا صورت و مخرج کسر 182/195 را بر 13 تقسیم می کنیم و کسری تقلیل ناپذیر 14/15 به دست می آید که برابر با کسر اصلی است. این کاهش کسر را کامل می کند.

به طور خلاصه می توان راه حل را به صورت زیر نوشت: .

پاسخ:

اینجاست که می توانیم کسر کسر را به پایان برسانیم. اما برای تکمیل تصویر، اجازه دهید به دو روش دیگر برای کاهش کسرها که معمولاً در موارد آسان استفاده می شود، نگاه کنیم.

گاهی اوقات کسر و مخرج کسر در حال کاهش دشوار نیست. کاهش کسری در این مورد بسیار ساده است: فقط باید همه عوامل مشترک را از صورت و مخرج حذف کنید.

شایان ذکر است که این روش مستقیماً از قانون تقلیل کسرها تبعیت می کند، زیرا حاصلضرب همه ضرایب اول مشترک صورت و مخرج برابر با بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها است.

بیایید به راه حل مثال نگاه کنیم.

مثال.

کسر 360/2 940 را کاهش دهید.

راه حل.

بیایید صورت و مخرج را به عوامل ساده تقسیم کنیم: 360=2·2·2·3·3·5 و 2,940=2·2·3·5·7·7. بنابراین، .

اکنون ما از شر عوامل مشترک در صورت و مخرج خلاص می شویم، آنها را به سادگی خط می زنیم. .

در نهایت عوامل باقیمانده را ضرب می کنیم: و کاهش کسر کامل می شود.

در اینجا خلاصه ای کوتاه از راه حل آورده شده است: .

پاسخ:

بیایید روش دیگری را برای کاهش یک کسر در نظر بگیریم که شامل کاهش متوالی است. در اینجا، در هر مرحله، کسر با چند مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج کاهش می یابد، که یا آشکار است یا به راحتی با استفاده از آن تعیین می شود.

ماشین حساب کسر آنلاین راحت و ساده با راه حل های دقیقشاید:

• جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کسری آنلاین,
• یک محلول آماده از کسرها را با یک تصویر دریافت کنید و به راحتی آن را انتقال دهید.



نتیجه حل کسرها اینجا خواهد بود...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
علامت کسری "/" + - * :
_پاک کردن پاک کردن
ماشین حساب کسر آنلاین ما ورودی سریع دارد. برای حل کسری، به عنوان مثال، به سادگی بنویسید 1/2+2/7 وارد ماشین حساب شده و دکمه " را فشار دهید کسری را حل کنید". ماشین حساب برای شما می نویسد راه حل دقیقکسریو صادر خواهد کرد یک تصویر با قابلیت کپی آسان.

علائمی که برای نوشتن در ماشین حساب استفاده می شود

می توانید یک مثال را برای یک راه حل از صفحه کلید یا با استفاده از دکمه ها تایپ کنید.

ویژگی های ماشین حساب کسر آنلاین

ماشین حساب کسری فقط می تواند عملیات را روی 2 کسر ساده انجام دهد. آنها می توانند صحیح باشند (کمتر از مخرج است) یا نادرست (عدد بزرگتر از مخرج است). اعداد در صورت و مخرج نمی توانند منفی یا بزرگتر از 999 باشند.
ماشین حساب آنلاین ما کسرها را حل می کند و پاسخ را به شکل صحیح می آورد - کسر را کاهش می دهد و در صورت لزوم کل قسمت را انتخاب می کند.

اگر نیاز به حل کسرهای منفی دارید، به سادگی از خواص منفی استفاده کنید. هنگام ضرب و تقسیم کسرهای منفی، منهای در منهای مثبت می شود. یعنی حاصل ضرب و تقسیم کسرهای منفی برابر است با حاصلضرب و تقسیم همان کسرهای مثبت. اگر یک کسر در هنگام ضرب یا تقسیم منفی است، به سادگی منهای را حذف کرده و سپس آن را به پاسخ اضافه کنید. هنگام جمع کردن کسرهای منفی، نتیجه همان خواهد بود که اگر همان کسرهای مثبت را اضافه کنید. اگر یک کسر منفی اضافه کنید، این همان کسر مثبت است.
هنگام تفریق کسرهای منفی، نتیجه همان خواهد بود که اگر آنها را مبادله کرده و مثبت می کنند. یعنی منهای به منهای در این مورد یک مثبت می دهد، اما مرتب کردن مجدد عبارت ها مجموع را تغییر نمی دهد. هنگام تفریق کسری از قوانین یکسانی استفاده می کنیم که یکی از آنها منفی است.

برای حل کسرهای مختلط (کسری که در آنها کل قسمت جدا شده است)، به سادگی کل قسمت را در کسر قرار دهید. برای این کار کل قسمت را در مخرج ضرب کرده و به صورت جمع کنید.

اگر نیاز به حل 3 یا بیشتر کسری به صورت آنلاین دارید، باید آنها را یکی یکی حل کنید. ابتدا 2 کسر اول را بشمارید سپس کسر بعدی را با جوابی که می گیرید حل کنید و همینطور ادامه دهید. عملیات را یک به یک و هر بار 2 کسر انجام دهید و در نهایت پاسخ صحیح را خواهید گرفت.

کاهش کسر برای کاهش کسر به بیشتر ضروری است نمای سادهمثلاً در جوابی که در نتیجه حل یک عبارت به دست می آید.

کاهش کسرها، تعریف و فرمول.

کسرهای کاهنده چیست؟ کاهش کسری به چه معناست؟

تعریف:
کسر کسر- این تقسیم صورت و مخرج کسری به یک چیز است عدد مثبتبرابر صفر و یک نیست در نتیجه کاهش، کسری با صورت و مخرج کوچکتر برابر با کسر قبلی به دست می آید.

فرمول کاهش کسرملک اصلی اعداد گویا.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
کسر \(\frac(9)(15)\) را کاهش دهید

راه حل:
ما می‌توانیم کسری را به عوامل اول تبدیل کنیم و عوامل مشترک را لغو کنیم.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(قرمز) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

پاسخ: پس از کاهش، کسری \(\frac(3)(5)\ را بدست آوردیم. با توجه به ویژگی اصلی اعداد گویا، کسر اصلی و حاصل برابر هستند.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

چگونه کسرها را کاهش دهیم؟ تقلیل کسری به شکل غیر قابل تقلیل آن.

برای به دست آوردن یک کسر غیر قابل تقلیل در نتیجه، ما نیاز داریم پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)برای صورت و مخرج کسر.

چندین راه برای یافتن GCD وجود دارد که در مثال از تجزیه اعداد به فاکتورهای اول استفاده خواهیم کرد.

کسر تقلیل ناپذیر \(\frac(48)(136)\) را بدست آورید.

راه حل:
بیایید GCD (48، 136) را پیدا کنیم. بیایید اعداد 48 و 136 را در فاکتورهای اول بنویسیم.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48، 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(قرمز) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(قرمز) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6) (17)\)

قانون کاهش کسری به شکل غیر قابل تقلیل.

1. ما باید بزرگترین مقسوم علیه مشترک را برای صورت و مخرج پیدا کنیم.
2. برای به دست آوردن کسری غیر قابل تقلیل باید صورت و مخرج را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک تقسیم کنید.

مثال:
کسر \(\frac(152)(168)\) را کاهش دهید.

راه حل:
بیایید GCD (152، 168) را پیدا کنیم. بیایید اعداد 152 و 168 را در فاکتورهای اول بنویسیم.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(قرمز) (6) \times 19)(\color(قرمز) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

پاسخ: \(\frac(19)(21)\) یک کسر تقلیل ناپذیر است.

کاهش کسرهای نامناسب

چگونه یک کسر نامناسب را کاهش دهیم؟
قوانین کاهش کسر برای کسرهای مناسب و نامناسب یکسان است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
کسر نامناسب \(\frac(44)(32)\) را کاهش دهید.

راه حل:
بیایید صورت و مخرج را در فاکتورهای ساده بنویسیم. و سپس عوامل مشترک را کاهش خواهیم داد.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(قرمز) (2 \times 2) \times 11)(\color(red) (2 \times 2) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

کاهش کسرهای مخلوط

کسرهای مختلط از همان قوانین کسرهای معمولی پیروی می کنند. تنها تفاوت این است که ما می توانیم تمام قسمت را لمس نکنید، بلکه قسمت کسری را کاهش دهیدیا کسر مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید، آن را کاهش دهید و دوباره به کسر مناسب تبدیل کنید.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
کسر مختلط \(2\frac(30)(45)\) را لغو کنید.

راه حل:
بیایید آن را به دو روش حل کنیم:
راه اول:
بیایید قسمت کسری را به فاکتورهای ساده بنویسیم، اما به کل قسمت دست نزنیم.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(قرمز) (5 \times 3))(3 \times \color(قرمز) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

راه دوم:
ابتدا آن را به کسر نامناسب تبدیل می کنیم و سپس آن را به ضرایب اول می نویسیم و کاهش می دهیم. بیایید کسر نامناسب حاصل را به کسر مناسب تبدیل کنیم.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(قرمز) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(قرمز) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

سوالات در مورد موضوع:
آیا می توانید کسرها را هنگام جمع یا تفریق کاهش دهید؟
پاسخ: خیر، ابتدا باید کسرها را طبق قوانین جمع یا تفریق کنید و سپس آنها را کاهش دهید. بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

عبارت \(\frac(50+20-10)(20)\) را ارزیابی کنید.

راه حل:
آنها اغلب اشتباه می کنند که اعداد یکسان را در صورت و مخرج کاهش می دهند، در مورد ما عدد 20 را کاهش می دهند، اما تا زمانی که جمع و تفریق را کامل نکنید، نمی توان آنها را کاهش داد.

\(\frac(50+\color(قرمز) (20)-10)(\color(قرمز) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

با چه اعدادی می توان کسری را کاهش داد؟
پاسخ: می توانید کسری را با بزرگترین عامل مشترک یا مقسوم علیه مشترک صورت و مخرج کاهش دهید. برای مثال، کسری \(\frac(100)(150)\).

بیایید اعداد 100 و 150 را در فاکتورهای اول بنویسیم.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
بزرگترین مقسوم علیه مشترک عدد GCD خواهد بود(100,150)=2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

ما کسر تقلیل ناپذیر \(\frac(2)(3)\) را بدست آوردیم.

اما لازم نیست همیشه یک کسر تقلیل‌پذیر را تقسیم کنید. به عنوان مثال، عدد 100 و 150 مقسوم علیه مشترک 2 دارند. بیایید کسری \(\frac(100)(150)\) را به 2 کاهش دهیم.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

ما کسر تقلیل پذیر \(\frac(50)(75)\) را بدست آوردیم.

چه کسری را می توان کاهش داد؟
پاسخ: می توانید کسری را که در آنها صورت و مخرج یک مقسوم علیه مشترک دارند، کاهش دهید. به عنوان مثال، کسری \(\frac(4)(8)\). عدد 4 و 8 دارای عددی هستند که هر دو بر آن بخش پذیر هستند - عدد 2. بنابراین، چنین کسری را می توان با عدد 2 کاهش داد.

مثال:
دو کسر \(\frac(2)(3)\) و \(\frac(8)(12)\) را با هم مقایسه کنید.

این دو کسر برابرند. بیایید به کسری \(\frac(8)(12)\ دقیقتر نگاه کنیم:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)

از اینجا، \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\) می گیریم

دو کسر مساوی هستند اگر و فقط در صورتی که یکی از آنها با کاهش کسر دیگر با ضریب مشترک صورت و مخرج به دست آید.

مثال:
در صورت امکان، کسرهای زیر را کاهش دهید: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) د) \(\frac(100)(250)\)

راه حل:
الف) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(قرمز) (5) \times 3 \times 3)(\color(قرمز) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
ب) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(قرمز) (3 \times 3) \times 3)(\color(قرمز) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3) (7)\)
ج) \(\frac(17)(100)\) کسری تقلیل ناپذیر
د) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(قرمز) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ بار 5)=\frac(2)(5)\)

بنابراین به کاهش رسیدیم. ویژگی اصلی یک کسر در اینجا اعمال می شود. اما! به این سادگی نیست. با کسری های زیاد (از جمله کسرهای دوره مدرسه)، می توان با آنها کنار آمد. اگر کسری‌هایی را که «تندتر» هستند، بگیریم چه؟ بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم!من توصیه می کنم به مواد با کسر نگاه کنید.

بنابراین، ما قبلاً می دانیم که صورت و مخرج یک کسری را می توان در یک عدد ضرب و تقسیم کرد، کسر تغییر نخواهد کرد. بیایید سه رویکرد را در نظر بگیریم:

به یک نزدیک شوید.

برای کاهش، صورت و مخرج را بر یک مقسوم علیه مشترک تقسیم کنید. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

کوتاه کنیم:

در مثال های ارائه شده، بلافاصله می بینیم که کدام مقسوم علیه را برای کاهش انتخاب کنیم. روند ساده است - ما از طریق 2،3،4،5 و غیره عبور می کنیم. در اکثر نمونه های دوره مدرسه، این کاملاً کافی است. اما اگر کسری باشد:

در اینجا فرآیند انتخاب مقسوم‌گیرنده‌ها می‌تواند زمان زیادی طول بکشد؛). البته، چنین نمونه هایی خارج از برنامه درسی مدرسه هستند، اما شما باید بتوانید با آنها کنار بیایید. در زیر به نحوه انجام این کار خواهیم پرداخت. در حال حاضر، اجازه دهید به روند کاهش بازگردیم.

همانطور که در بالا توضیح داده شد، برای کاهش یک کسری، تقسیم بر مقسوم(های) مشترکی که تعیین کردیم، انجام شد. همه چیز درست است! فقط باید علائم بخش پذیری اعداد را اضافه کرد:

- اگر عدد زوج باشد بر 2 بخش پذیر است.

- اگر عددی از دو رقم آخر بر 4 بخش پذیر باشد خود آن عدد بر 4 بخش پذیر است.

— اگر مجموع ارقامی که عدد را تشکیل می دهند بر 3 بخش پذیر باشد، خود عدد بر 3 بخش پذیر است. به عنوان مثال، 125031، 1+2+5+0+3+1=12. دوازده بر 3 بخش پذیر است، پس 123031 بر 3 بخش پذیر است.

- اگر انتهای یک عدد 5 یا 0 باشد، آن عدد بر 5 بخش پذیر است.

— اگر مجموع ارقامی که عدد را تشکیل می دهند بر 9 بخش پذیر باشد، خود عدد بر 9 بخش پذیر است. برای مثال 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. هجده بر 9 بخش پذیر است، یعنی 623032 بر 9 بخش پذیر است.

رویکرد دوم.

به طور خلاصه، در واقع، کل عمل به فاکتورگیری از صورت و مخرج و سپس کاهش عوامل مساوی در صورت و مخرج (این رویکرد نتیجه رویکرد اول است):

از نظر بصری، برای جلوگیری از سردرگمی و اشتباه، عوامل مساوی به سادگی خط زده می شوند. سوال - چگونه یک عدد را فاکتور کنیم؟ باید همه مقسوم علیه ها را با جستجو مشخص کرد. این یک موضوع جداگانه است، پیچیده نیست، اطلاعات را در یک کتاب درسی یا در اینترنت جستجو کنید. با فاکتورگیری اعدادی که در کسرهای مدرسه وجود دارد با مشکل بزرگی مواجه نخواهید شد.

به طور رسمی، اصل کاهش را می توان به صورت زیر نوشت:

رویکرد سه.

اینجا جالب ترین چیز برای افراد پیشرفته و کسانی است که می خواهند یکی شوند. بیایید کسر 143/273 را کاهش دهیم. خودتان آن را امتحان کنید! خوب، چگونه به سرعت اتفاق افتاد؟ حالا نگاه کن!

آن را بر می گردانیم (جای صورت و مخرج را عوض می کنیم). کسر حاصل را با یک گوشه تقسیم کرده و به آن تبدیل کنید عدد مختلطیعنی کل قسمت را انتخاب می کنیم:

در حال حاضر آسان تر است. می بینیم که صورت و مخرج را می توان 13 کاهش داد:

حالا فراموش نکنید که کسر را دوباره به عقب برگردانید، بیایید کل زنجیره را یادداشت کنیم:

بررسی شده - زمان کمتری نسبت به جستجو و بررسی مقسوم‌گیرنده‌ها می‌برد. بیایید به دو مثال خود برگردیم:

اول با یک گوشه (نه روی ماشین حساب) تقسیم می کنیم، دریافت می کنیم:

البته این کسری ساده تر است، اما کاهش دوباره یک مشکل است. اکنون به طور جداگانه کسری 1273/1463 را تجزیه و تحلیل می کنیم و آن را برمی گردانیم:

اینجا راحت تره ما می توانیم مقسوم علیه 19 را در نظر بگیریم. بقیه مناسب نیستند، این واضح است: 190:19 = 10، 1273:19 = 67. هورای! بیایید بنویسیم:

مثال بعدی بیایید 88179/2717 را کوتاه کنیم.

تقسیم کنید، دریافت می کنیم:

به طور جداگانه، کسری 1235/2717 را تجزیه و تحلیل می کنیم و آن را برمی گردانیم:

می توانیم مقسوم علیه 13 را در نظر بگیریم (تا 13 مناسب نیست):

شماره 247:13=19 مخرج 1235:13=95

*در طول فرآیند، مقسوم علیه دیگری برابر با 19 دیدیم.

حالا عدد اصلی را می نویسیم:

و مهم نیست که چه چیزی در کسر بزرگتر است - صورت یا مخرج، اگر مخرج باشد، آن را برمیگردانیم و همانطور که توضیح داده شد عمل می کنیم. به این ترتیب ما می توانیم هر کسری را کاهش دهیم، رویکرد سوم را می توان جهانی نامید.

البته دو مثالی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، نمونه های ساده ای نیستند. بیایید این فناوری را روی کسری‌های «ساده» که قبلاً در نظر گرفته‌ایم امتحان کنیم:

دو ربع

دهه هفتاد و دو دهه شصت. صورت بزرگتر از مخرج است، نیازی به معکوس کردن آن نیست.

البته رویکرد سوم برای چنین مواردی اعمال شد مثال های سادهفقط به عنوان یک جایگزین روش، همانطور که قبلاً گفته شد، جهانی است، اما برای همه کسری ها، به ویژه برای موارد ساده، راحت و صحیح نیست.

تنوع کسرها زیاد است. مهم است که اصول را درک کنید. به سادگی هیچ قانون دقیقی برای کار با کسری وجود ندارد. ما نگاه کردیم، فهمیدیم که چگونه راحت تر عمل کنیم، و به جلو حرکت کردیم. با تمرین، مهارت به دست می آید و شما آنها را مانند دانه می شکافید.

نتیجه گیری:

اگر مقسوم(های) مشترکی برای صورت و مخرج می بینید، از آنها برای کاهش استفاده کنید.

اگر می‌دانید چگونه به سرعت یک عدد را فاکتور بگیرید، صورت و مخرج را فاکتور بگیرید، سپس کم کنید.

اگر نمی توانید مقسوم علیه مشترک را تعیین کنید، از رویکرد سوم استفاده کنید.

* برای کاهش کسرها، تسلط بر اصول کاهش، درک ویژگی اصلی یک کسری، دانستن رویکردهای حل، و در انجام محاسبات بسیار مهم است.

و به یاد داشته باشید! مرسوم است که کسر را تا توقف آن کم می کنند، یعنی تا زمانی که مقسوم علیه مشترک وجود دارد، آن را کاهش می دهند.

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.