ساده سازی عبارات لگاریتمی محاسبه لگاریتم ها، مثال ها، راه حل ها

مسئله B7 بیانی می دهد که باید ساده شود. نتیجه باید یک عدد منظم باشد که بتوان آن را در برگه پاسخنامه شما یادداشت کرد. تمام عبارات به طور معمول به سه نوع تقسیم می شوند:

1. لگاریتمی،
2. نشان دهنده،
3. ترکیب شده.

عبارات نمایی و لگاریتمی در شکل خالص خود عملاً هرگز یافت نمی شوند. با این حال، دانستن نحوه محاسبه آنها کاملاً ضروری است.

به طور کلی، مشکل B7 کاملاً ساده حل می شود و کاملاً در حد توانایی های یک فارغ التحصیل متوسط ​​است. فقدان الگوریتم های واضح با استانداردسازی و یکنواختی آن جبران می شود. شما می توانید به سادگی حل چنین مشکلاتی را یاد بگیرید مقدار زیادآموزش.

عبارات لگاریتمی

اکثریت قریب به اتفاق مسائل B7 شامل لگاریتم در یک شکل یا شکل دیگر است. این موضوع به طور سنتی دشوار در نظر گرفته می شود، زیرا مطالعه آن معمولاً در کلاس یازدهم رخ می دهد - عصر آمادگی انبوه برای امتحانات نهایی. در نتیجه، بسیاری از فارغ التحصیلان درک بسیار مبهمی از لگاریتم دارند.

اما در این کار هیچ کس به عمق نیاز ندارد دانش نظری. ما فقط با ساده ترین عباراتی روبرو خواهیم شد که نیاز به استدلال ساده دارند و به راحتی می توان به طور مستقل بر آنها مسلط شد. در زیر فرمول های اساسی وجود دارد که برای مقابله با لگاریتم ها باید بدانید:

علاوه بر این، شما باید بتوانید ریشه ها و کسرها را با توانی با توان گویا جایگزین کنید، در غیر این صورت در برخی عبارات به سادگی چیزی برای خارج کردن از زیر علامت لگاریتم وجود نخواهد داشت. فرمول های جایگزین:

وظیفه. معنی عبارات را بیابید:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

دو عبارت اول به عنوان تفاضل لگاریتم تبدیل می شوند:
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

برای محاسبه عبارت سوم، باید قدرت ها را جدا کنید - هم در پایه و هم در استدلال. ابتدا بیایید لگاریتم داخلی را پیدا کنیم:

سپس - خارجی:

ساختارهای فرم log a log b x برای بسیاری پیچیده و اشتباه به نظر می رسد. در همین حال، این فقط یک لگاریتم لگاریتم است، یعنی. log a (log b x ). ابتدا لگاریتم داخلی محاسبه می شود (log b x = c) و سپس خارجی: log a c.

عبارات نمایشی

تماس خواهیم گرفت بیان نمایشیهر ساختاری از شکل a k، که در آن اعداد a و k ثابت دلخواه هستند و a > 0. روش‌های کار با چنین عباراتی بسیار ساده هستند و در درس‌های جبر کلاس هشتم مورد بحث قرار می‌گیرند.

در زیر فرمول های اساسی وجود دارد که قطعاً باید بدانید. استفاده از این فرمول ها در عمل، به عنوان یک قاعده، مشکلی ایجاد نمی کند.

1. a n · a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n) m = a n · m ;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

اگر با یک عبارت پیچیده با قدرت مواجه شدید و نحوه برخورد با آن مشخص نیست، از یک تکنیک جهانی استفاده کنید - تجزیه به عوامل ساده. در نتیجه اعداد بزرگدر پایه درجه ها با عناصر ساده و قابل فهم جایگزین می شوند. سپس تنها چیزی که باقی می ماند این است که فرمول های فوق را اعمال کنید - و مشکل حل خواهد شد.

وظیفه. مقادیر عبارات را بیابید: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

راه حل. بیایید همه پایه های قدرت ها را به عوامل ساده تجزیه کنیم:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

وظایف ترکیبی

اگر فرمول ها را بدانید، پس تمام عبارات نمایی و لگاریتمی را می توان به معنای واقعی کلمه در یک خط حل کرد. با این حال، در مسئله B7 توان ها و لگاریتم ها را می توان با هم ترکیب کرد تا ترکیبات کاملاً قوی ایجاد کند.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

هنگام تبدیل عبارات با لگاریتم، برابری های فهرست شده هم از راست به چپ و هم از چپ به راست استفاده می شود.

شایان ذکر است که لازم نیست پیامدهای ویژگی ها را به خاطر بسپارید: هنگام انجام تبدیل ها، می توانید با ویژگی های اصلی لگاریتم ها و سایر حقایق (به عنوان مثال، این واقعیت که برای b≥0)، از آن استفاده کنید. پیامدهای مربوطه را به دنبال دارد. " اثر جانبی"این رویکرد فقط در این واقعیت آشکار می شود که راه حل کمی طولانی تر خواهد بود. به عنوان مثال، به منظور انجام بدون نتیجه، که با فرمول بیان می شود ، و فقط با شروع از ویژگی های اصلی لگاریتم ها، باید زنجیره ای از تبدیل ها را به شکل زیر انجام دهید: .

همین امر را می توان در مورد آخرین خاصیت از لیست بالا که با فرمول پاسخ داده می شود گفت ، از آنجایی که از خصوصیات اصلی لگاریتم ها نیز نتیجه می گیرد. نکته اصلی این است که همیشه ممکن است توان یک عدد مثبت با یک لگاریتم در توان، پایه توان و عدد زیر علامت لگاریتم را عوض کند. برای منصفانه بودن، توجه می کنیم که نمونه هایی که حاکی از اجرای این نوع تحولات در عمل هستند نادر است. در زیر چند مثال در متن خواهیم آورد.

تبدیل عبارات عددی با لگاریتم

ما خواص لگاریتم ها را به خاطر آورده ایم، اکنون زمان آن رسیده است که یاد بگیریم چگونه آنها را در عمل برای تبدیل عبارات به کار ببریم. طبیعی است که با تبدیل عبارات عددی به جای عبارات با متغیرها شروع کنیم، زیرا یادگیری اصول اولیه راحت تر و آسان تر است. این کاری است که ما انجام خواهیم داد و با یک خیلی شروع خواهیم کرد مثال های ساده، برای یادگیری نحوه انتخاب ویژگی مورد نظر لگاریتم، اما به تدریج مثال ها را پیچیده می کنیم، تا جایی که برای به دست آوردن نتیجه نهایی لازم است چندین ویژگی را پشت سر هم اعمال کنیم.

انتخاب خاصیت مورد نظر لگاریتم

لگاریتم ها دارای خواص زیادی هستند و واضح است که باید بتوانید از بین آنها مورد مناسب را انتخاب کنید که در این مورد خاص به نتیجه مورد نیاز منجر می شود. معمولاً این کار با مقایسه نوع لگاریتم یا عبارت تبدیل شده با انواع قسمت های چپ و راست فرمول های بیان کننده خواص لگاریتم دشوار نیست. اگر سمت چپ یا راست یکی از فرمول ها با یک لگاریتم یا عبارت داده شده منطبق باشد، به احتمال زیاد، این ویژگی است که باید در طول تبدیل استفاده شود. مثال های زیر به وضوح این را نشان می دهد.

بیایید با مثال هایی از تبدیل عبارات با استفاده از تعریف لگاریتم شروع کنیم که با فرمول a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 مطابقت دارد.

مثال.

در صورت امکان محاسبه کنید: الف) 5 log 5 4، b) 10 log(1+2·π)، ج) ، د) 2 log 2 (-7) ، e) .

راه حل.

در مثال زیر حرف a) ساختار a log a b به وضوح قابل مشاهده است، جایی که a=5، b=4. این اعداد شرایط a>0، a≠1، b>0 را برآورده می کنند، بنابراین می توانید با خیال راحت از برابری a log a b =b استفاده کنید. ما 5 log 5 4=4 داریم.

ب) در اینجا a=10، b=1+2·π، شرایط a>0، a≠1، b>0 برقرار است. در این حالت، برابری 10 log(1+2·π) =1+2·π صورت می گیرد.

ج) و در این مثال با درجه ای از شکل a log a b، where و b=ln15 سروکار داریم. بنابراین .

با وجود تعلق به همان نوع a log a b (در اینجا a=2، b=−7)، عبارت زیر حرف g) را نمی توان با استفاده از فرمول a log a b =b تبدیل کرد. دلیل آن بی معنی بودن آن است زیرا دارای یک عدد منفی در زیر علامت لگاریتمی است. علاوه بر این، عدد b=−7 شرط b>0 را برآورده نمی‌کند، که استفاده از فرمول a log a b =b را غیرممکن می‌کند، زیرا نیاز به انجام شرایط a>0، a≠1، b> دارد. 0. بنابراین، ما نمی توانیم در مورد محاسبه مقدار 2 log 2 (-7) صحبت کنیم. در این مورد، نوشتن 2 log 2 (-7) =-7 یک خطا خواهد بود.

به همین ترتیب، در مثال زیر حرف e) نمی توان راه حلی برای شکل ارائه داد ، از آنجایی که عبارت اصلی معنی ندارد.

پاسخ:

الف) 5 log 5 4 = 4، ب) 10 log(1+2·π) =1+2·π، c) ، د) ه) عبارات معنی ندارند.

اغلب یک تبدیل مفید این است که یک عدد مثبت را به عنوان توان یک عدد غیر واحد مثبت با لگاریتم در توان نشان دهیم. این بر اساس همان تعریف لگاریتم است. . برای مثال 3=e ln3 یا 5=5 log 5 5 .

بیایید به استفاده از خواص لگاریتم برای تبدیل عبارات ادامه دهیم.

مثال.

مقدار عبارت را بیابید: الف) log −2 1، ب) log 1 1، ج) log 0 1، د) log 7 1، ه) ln1، f) log1، g) log 3.75 1، h) log 5 π 7 1 .

راه حل.

در مثال های زیر حروف a)، b) و c) عبارات log-2 1، log 1 1، log 0 1 آورده شده است، که منطقی نیستند، زیرا پایه لگاریتم نباید دارای عدد منفی باشد. صفر یا یک، زیرا لگاریتم را فقط برای پایه ای تعریف کرده ایم که مثبت و متفاوت از واحد است. بنابراین، در مثال های الف - ج) بحثی در مورد یافتن معنای عبارت وجود ندارد.

بدیهی است که در سایر کارها، پایه های لگاریتم به ترتیب دارای اعداد مثبت و غیر واحدی 7، e، 10، 3.75 و 5·π 7 هستند و در زیر علائم لگاریتم در همه جا واحد وجود دارد. و ما ویژگی لگاریتم وحدت را می دانیم: log a 1=0 برای هر a>0، a≠1. بنابراین، مقادیر عبارات b) - e) برابر با صفر است.

پاسخ:

الف)، ب)، ج) عبارات معنی ندارند، د) log 7 1=0، ه) ln1=0، f) log1=0، g) log 3.75 1=0، h) log 5 e 7 1= 0 .

مثال.

محاسبه کنید: الف) ، ب) lne ، ج) lg10 ، d) log 5 π3-2 (5 π3-2), ه) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

راه حل.

واضح است که باید از خاصیت لگاریتم پایه استفاده کنیم که با فرمول log a a=1 برای a>0، a≠1 مطابقت دارد. در واقع، در وظایف زیر همه حروف، عدد زیر علامت لگاریتم با پایه آن منطبق است. بنابراین، من می خواهم بلافاصله بگویم که مقدار هر یک از عبارات داده شده 1 است. با این حال، در نتیجه گیری نباید عجله کنید: در وظایف زیر حروف الف) - د) مقادیر عبارات واقعاً برابر با یک است و در وظایف e) و و) عبارات اصلی معنی ندارند، بنابراین نمی توان گفت که مقادیر این عبارات برابر با 1 است.

پاسخ:

الف)، ب) lne=1، ج) lg10=1، d) log 5 π 3 - 2 ( 5 π 3 - 2 ) = 1، ه) و) عبارات معنی ندارند.

مثال.

مقدار را پیدا کنید: a) log 3 3 11, b) ، ج) ، د) log -10 (-10) 6.

راه حل.

بدیهی است که در زیر علائم لگاریتم برخی از توان های پایه وجود دارد. بر این اساس، می فهمیم که در اینجا به خاصیت درجه پایه نیاز داریم: log a a p =p، که در آن a>0، a≠1 و p هر عدد واقعی است. با در نظر گرفتن این موارد، نتایج زیر را داریم: الف) log 3 3 11 = 11، b) ، V) . آیا می توان یک برابری مشابه برای مثال زیر حرف d) از شکل log −10 (−10) 6 =6 نوشت؟ نه، نمی توانید، زیرا عبارت log −10 (−10) 6 معنی ندارد.

پاسخ:

الف) لاگ 3 3 11 = 11، ب) ، V) ، د) بیان معنی ندارد.

مثال.

عبارت را به صورت مجموع یا تفاضل لگاریتم ها با استفاده از پایه یکسان ارائه کنید: الف) ، ب) ، ج) log((-5)·(-12)) .

راه حل.

الف) در زیر علامت لگاریتم یک محصول وجود دارد و ما خاصیت لگاریتم حاصلضرب log a (x·y)=log a x+log a y، a>0، a≠1، x>0 را می دانیم. ، y>0. در مورد ما، عدد در پایه لگاریتم و اعداد در محصول مثبت هستند، یعنی شرایط خاصیت انتخاب شده را برآورده می کنند، بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را اعمال کنیم: .

ب) در اینجا از خاصیت لگاریتم ضریب استفاده می کنیم که a>0، a≠1، x>0، y>0. در مورد ما، پایه لگاریتم یک عدد e مثبت است، صورت و مخرج π مثبت هستند، به این معنی که آنها شرایط خاصیت را برآورده می کنند، بنابراین ما حق داریم از فرمول انتخاب شده استفاده کنیم: .

ج) ابتدا توجه داشته باشید که عبارت log((-5)·(-12)) منطقی است. اما در عین حال، برای آن ما حق اعمال فرمول لگاریتم حاصلضرب log a (x y)=log a x+log a y، a>0، a≠1، x>0، y را نداریم. > 0، زیرا اعداد -5 و -12 - منفی هستند و شرایط x>0، y>0 را برآورده نمی کنند. یعنی شما نمی توانید چنین تحولی را انجام دهید: log((-5)·(-12))=log(-5)+log(-12). خب ما باید چی کار کنیم؟ در چنین مواردی، عبارت اصلی برای جلوگیری از اعداد منفی نیاز به یک تبدیل اولیه دارد. درباره موارد مشابه تبدیل عبارات با اعداد منفیدر زیر علامت لگاریتم، در یکی از آنها به تفصیل صحبت خواهیم کرد، اما فعلاً برای این مثال راه حلی خواهیم داد که از قبل واضح و بدون توضیح است: log((-5)·(-12))=log(5·12)=log5+lg12.

پاسخ:

آ) ، ب) ، ج) log((-5)·(-12))=log5+lg12.

مثال.

عبارت را ساده کنید: الف) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5، ب) .

راه حل.

در اینجا همه همان خواص لگاریتم محصول و لگاریتم ضریب که در مثال های قبلی استفاده کردیم به ما کمک می کند، فقط اکنون آنها را از راست به چپ اعمال می کنیم. یعنی مجموع لگاریتم ها را به لگاریتم حاصلضرب تبدیل می کنیم و تفاضل لگاریتم ها را به لگاریتم ضریب تبدیل می کنیم. ما داریم
آ) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 (0.25 16 0.5)=log 3 2.
ب) .

پاسخ:

آ) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 2، ب) .

مثال.

از درجه زیر علامت لگاریتم خلاص شوید: الف) log 0.7 5 11، ب) ، ج) log 3 (-5) 6.

راه حل.

به راحتی می توان فهمید که ما با عباراتی از فرم log a b p سر و کار داریم. خاصیت متناظر لگاریتم به شکل log a b p = p·log a b است، که در آن a>0، a≠1، b>0، p - هر عدد واقعی. یعنی اگر شرایط a>0، a≠1، b>0 برقرار باشد، از لگاریتم توان log a b p می توانیم به حاصلضرب p·log a b برویم. بیایید این تبدیل را با عبارات داده شده انجام دهیم.

الف) در این حالت a=0.7، b=5 و p=11. بنابراین log 0.7 5 11 =11·log 0.7 5.

ب) در اینجا، شرایط a>0، a≠1، b>0 برآورده می شود. از همین رو

ج) عبارت log 3 (-5) 6 دارای همان ساختار log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 است. اما برای b شرط b>0 برآورده نمی شود که استفاده از فرمول log a b p = p·log a b را غیرممکن می کند. پس چه، شما نمی توانید با این کار کنار بیایید؟ ممکن است، اما تبدیل اولیه عبارت مورد نیاز است، که در زیر در پاراگراف زیر عنوان به طور مفصل به آن خواهیم پرداخت. راه حل به این صورت خواهد بود: log 3 (-5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

پاسخ:

الف) log 0.7 5 11 = 11 log 0.7 5،
ب)
ج) log 3 (-5) 6 =6·log 3 5.

اغلب، هنگام انجام تبدیل‌ها، فرمول لگاریتم یک توان باید از راست به چپ به شکل p·log a b=log a b p اعمال شود (برای a، b و p باید شرایط یکسانی وجود داشته باشد). مثلاً 3·ln5=ln5 3 و log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

مثال.

الف) مقدار log 2 5 را در صورتی که معلوم باشد log2≈0.3010 و log5≈0.6990 محاسبه کنید. ب) کسر را به صورت لگاریتم به پایه 3 بیان کنید.

راه حل.

الف) فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید به ما امکان می دهد این لگاریتم را به عنوان نسبت لگاریتم های اعشاری ارائه کنیم که مقادیر آن برای ما مشخص است: . تنها چیزی که باقی می ماند این است که محاسبات را انجام دهیم .

ب) در اینجا کافی است از فرمول انتقال به یک پایه جدید استفاده کنید و آن را از راست به چپ، یعنی به شکل اعمال کنید. . ما گرفتیم .

پاسخ:

الف) log 2 5≈2.3223، ب) .

در این مرحله، تبدیل ساده‌ترین عبارات را با استفاده از ویژگی‌های اصلی لگاریتم و تعریف لگاریتم به طور کامل بررسی کرده‌ایم. در این مثال ها باید یک خاصیت را اعمال می کردیم و نه بیشتر. اکنون، با وجدان راحت، می توانید به سراغ مثال هایی بروید که تبدیل آنها مستلزم استفاده از چندین ویژگی لگاریتم و سایر تبدیل های اضافی است. در پاراگراف بعدی به آنها خواهیم پرداخت. اما قبل از آن، اجازه دهید به طور مختصر به نمونه هایی از کاربرد پیامدهای خواص اصلی لگاریتم ها نگاه کنیم.

مثال.

الف) از ریشه زیر علامت لگاریتم خلاص شوید. ب) کسر را به لگاریتم پایه 5 تبدیل کنید. ج) خود را از قدرت های زیر علامت لگاریتم و در پایه آن رها کنید. د) مقدار عبارت را محاسبه کنید . ه) عبارت را با پایه 3 جایگزین کنید.

راه حل.

الف) اگر نتیجه را از خاصیت لگاریتم درجه به یاد آوریم ، سپس می توانید بلافاصله پاسخ دهید: .

ب) در اینجا از فرمول استفاده می کنیم از راست به چپ، داریم .

ج) در این صورت فرمول به نتیجه می رسد . ما گرفتیم .

د) و در اینجا کافی است نتیجه ای که فرمول با آن مطابقت دارد اعمال شود . بنابراین .

ه) ویژگی لگاریتم به ما اجازه می دهد تا به آن برسیم نتیجه مطلوب: .

پاسخ:

آ) . ب) . V) . ز) . د) .

کاربرد متوالی چندین ویژگی

وظایف واقعی در تبدیل عبارات با استفاده از ویژگی های لگاریتم معمولاً پیچیده تر از مواردی است که در پاراگراف قبلی به آنها پرداختیم. در آنها، به عنوان یک قاعده، نتیجه در یک مرحله به دست نمی آید، اما راه حل از قبل شامل اعمال متوالی ویژگی های یکی پس از دیگری، همراه با تبدیل های مشابه اضافی، مانند باز کردن پرانتز، آوردن عبارت های مشابه، کاهش کسر و غیره است. . پس بیایید به چنین نمونه هایی نزدیک شویم. هیچ چیز پیچیده ای در این مورد وجود ندارد، نکته اصلی این است که با رعایت ترتیب اقدامات با دقت و به طور مداوم عمل کنید.

مثال.

مقدار یک عبارت را محاسبه کنید (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

راه حل.

تفاوت بین لگاریتم های داخل پرانتز، با توجه به خاصیت لگاریتم ضریب، می تواند با لگاریتم log 3 (15:5) جایگزین شود و سپس مقدار آن را log 3 (15:5)=log 3 3=1 محاسبه کنید. و مقدار عبارت 7 log 7 5 با تعریف لگاریتم برابر با 5 است. با جایگزینی این نتایج به عبارت اصلی، دریافت می کنیم (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

در اینجا یک راه حل بدون توضیح وجود دارد:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

پاسخ:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

مثال.

مقدار عبارت عددی log 3 log 2 2 3 −1 چقدر است؟

راه حل.

ما ابتدا لگاریتم را زیر علامت لگاریتم با استفاده از فرمول لگاریتم توان تبدیل می کنیم: log 2 2 3 = 3. بنابراین، log 3 log 2 2 3 =log 3 3 و سپس log 3 3 = 1. بنابراین log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

پاسخ:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

مثال.

بیان را ساده کنید.

راه حل.

فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید اجازه می دهد تا نسبت لگاریتم به یک پایه به صورت log 3 5 نمایش داده شود. در این حالت، عبارت اصلی به شکل . با تعریف لگاریتم 3 log 3 5 = 5، یعنی ، و مقدار عبارت حاصل، به موجب همان تعریف لگاریتم، برابر با دو است.

در اینجا یک نسخه کوتاه از راه حل است که معمولا ارائه می شود: .

پاسخ:

.

برای انتقال هموار به اطلاعات پاراگراف بعدی، اجازه دهید نگاهی به عبارات 5 2+log 5 3 و log0.01 بیاندازیم. ساختار آنها با هیچ یک از خواص لگاریتم مطابقت ندارد. پس چه اتفاقی می افتد، آنها را نمی توان با استفاده از خواص لگاریتم تبدیل کرد؟ این امکان وجود دارد که شما تبدیل های اولیه ای را انجام دهید که این عبارات را برای اعمال ویژگی های لگاریتم آماده می کند. بنابراین 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, و log0.01=log10 −2 =−2. در ادامه ما به طور مفصل به نحوه انجام چنین آماده سازی بیان خواهیم پرداخت.

آماده سازی عبارات برای استفاده از خواص لگاریتم

لگاریتم ها در عبارتی که تبدیل می شوند اغلب در ساختار نمادگذاری با قسمت های چپ و راست فرمول های مربوط به ویژگی های لگاریتم متفاوت هستند. اما نه کمتر، تبدیل این عبارات شامل استفاده از خواص لگاریتم است: استفاده از آنها فقط به آماده سازی اولیه نیاز دارد. و این آمادگی شامل انجام معین است تحولات هویتی، لگاریتم ها را به شکلی مناسب برای اعمال ویژگی ها می آورد.

برای منصفانه بودن، توجه می کنیم که تقریباً هر تبدیل عبارات می تواند به عنوان تبدیل اولیه عمل کند، از کاهش پیش پا افتاده اصطلاحات مشابه به کاربرد. فرمول های مثلثاتی. این قابل درک است، زیرا عبارات در حال تبدیل می توانند شامل هر شیء ریاضی باشند: براکت، ماژول، کسری، ریشه، توان و غیره. بنابراین، فرد باید آماده انجام هر گونه تبدیل لازم باشد تا بتواند بیشتر از خواص لگاریتم ها استفاده کند.

بیایید فوراً بگوییم که در این مرحله ما وظیفه طبقه بندی و تجزیه و تحلیل همه تبدیلات اولیه قابل تصور را نداریم که به ما امکان می دهد متعاقباً ویژگی های لگاریتم یا تعریف لگاریتم را اعمال کنیم. در اینجا ما فقط بر روی چهار مورد از آنها تمرکز خواهیم کرد، که معمولی ترین و اغلب در عمل با آن مواجه می شوند.

و اکنون در مورد هر یک از آنها به تفصیل، پس از آن، در چارچوب موضوع ما، تنها چیزی که باقی می ماند درک تبدیل عبارات با متغیرها در زیر علائم لگاریتم است.

شناسایی توان ها در زیر علامت لگاریتم و در پایه آن

بیایید بلافاصله با یک مثال شروع کنیم. اجازه دهید یک لگاریتم داشته باشیم. بدیهی است که در این شکل ساختار آن برای استفاده از خواص لگاریتم مساعد نیست. آیا می توان به نحوی این عبارت را برای ساده سازی و حتی بهتر از آن محاسبه مقدار آن تغییر داد؟ برای پاسخ به این سوال، اجازه دهید نگاهی دقیق تر به اعداد 81 و 1/9 در زمینه مثال خود بیاندازیم. در اینجا به راحتی می توان متوجه شد که این اعداد را می توان به عنوان توان 3، در واقع، 81 = 3 4 و 1/9 = 3-2 نشان داد. در این حالت لگاریتم اصلی به شکل ارائه شده و امکان اعمال فرمول میسر می شود . بنابراین، .

تجزیه و تحلیل مثال تجزیه و تحلیل شده باعث ایجاد فکر زیر می شود: در صورت امکان، می توانید سعی کنید درجه را در زیر علامت لگاریتم و در پایه آن جدا کنید تا خاصیت لگاریتم درجه یا پیامدهای آن را اعمال کنید. فقط باید بفهمیم که چگونه این درجات را تشخیص دهیم. بیایید چند توصیه در مورد این موضوع ارائه دهیم.

گاهی اوقات کاملاً واضح است که عدد زیر علامت لگاریتمی و/یا در پایه آن نشان دهنده مقداری قدرت صحیح است، همانطور که در مثالی که در بالا بحث شد. تقریباً دائماً باید با قدرت های دو سر و کار داشته باشیم که به خوبی آشنا هستند: 4=2 2، 8=2 3، 16=2 4، 32=2 5، 64=2 6، 128=2 7، 256=2 8 ، 512 = 2 9، 1024 = 2 10. همین را می توان در مورد قدرت های سه گفت: 9 = 3 2، 27 = 3 3، 81 = 3 4، 243 = 3 5، ... در کل، اگر جلوی چشمانتان باشد، ضرری ندارد. جدول توان اعداد طبیعیدر یک دوجین همچنین کار با توان های اعداد صحیح ده، صد، هزار و غیره دشوار نیست.

مثال.

مقدار را محاسبه کنید یا عبارت را ساده کنید: a) log 6 216, b) , c) log 0.000001 0.001.

راه حل.

الف) بدیهی است که 216=6 3 پس log 6 216=log 6 6 3 =3.

ب) جدول توان های اعداد طبیعی به شما امکان می دهد اعداد 343 و 1/243 را به ترتیب به عنوان توان های 7 3 و 3 −4 نشان دهید. بنابراین، تبدیل زیر یک لگاریتم داده شده ممکن است:

ج) از آنجایی که 0.000001=10-6 و 0.001=10-3، پس log 0.000001 0.001=log 10 -6 10 -3 =(-3)/(-6)=1/2.

پاسخ:

الف) لاگ 6 216=3، ب) ، ج) log 0.000001 0.001=1/2.

در موارد پیچیده تر، برای جداسازی قدرت اعداد، باید به آن متوسل شوید.

مثال.

عبارت را به بیشتر تبدیل کنید نمای ساده log 3 648 log 2 3 .

راه حل.

بیایید ببینیم که فاکتورسازی 648 چیست:

یعنی 648=2 3 ·3 4. بدین ترتیب، log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

اکنون لگاریتم حاصلضرب را به مجموع لگاریتم ها تبدیل می کنیم و پس از آن خواص لگاریتم توان را اعمال می کنیم:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

بر اساس نتیجه ای از ویژگی لگاریتم توان، که با فرمول مطابقت دارد ، حاصلضرب log32·log23 حاصلضرب است و همانطور که مشخص است برابر با یک است. با در نظر گرفتن این موضوع، دریافت می کنیم 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

پاسخ:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

اغلب، عبارات زیر علامت لگاریتم و در پایه آن، محصولات یا نسبت‌های ریشه‌ها و/یا توان‌های برخی اعداد را نشان می‌دهند، برای مثال، . چنین عباراتی را می توان به عنوان قدرت بیان کرد. برای انجام این کار، یک انتقال از ریشه به قدرت انجام می شود، و استفاده می شود. این تبدیل ها امکان جداسازی توان ها را در زیر علامت لگاریتم و در پایه آن و سپس اعمال ویژگی های لگاریتم را فراهم می کند.

مثال.

محاسبه کنید: الف) ، ب) .

راه حل.

الف) عبارت در پایه لگاریتم حاصل ضرب توان های با است بر همین اساس، با ویژگی متناظر قدرت هایی که داریم 5 2 · 5 −0.5 · 5 −1 = 5 2−0.5−1 = 5 0.5.

حالا بیایید کسری را زیر علامت لگاریتم تبدیل کنیم: از ریشه به توان می رویم، پس از آن از ویژگی نسبت توان ها با پایه های یکسان استفاده می کنیم: .

باقی مانده است که نتایج به دست آمده را با عبارت اصلی جایگزین کنید، از فرمول استفاده کنید و تبدیل را تمام کنید:

ب) از آنجایی که 729 = 3 6 و 1/9 = 3-2 است، عبارت اصلی را می توان به صورت بازنویسی کرد.

سپس خاصیت ریشه یک توان را اعمال می کنیم، از ریشه به توان می رویم و از ویژگی نسبت توان ها برای تبدیل پایه لگاریتم به توان استفاده می کنیم: .

با توجه به آخرین نتیجه، ما داریم .

پاسخ:

آ) ، ب) .

واضح است که در حالت کلی، برای به دست آوردن توان های زیر علامت لگاریتم و در پایه آن، ممکن است تبدیل های مختلفی از عبارات مختلف لازم باشد. بیایید چند مثال بزنیم.

مثال.

معنی عبارت چیست: الف) ، ب) .

راه حل.

همچنین توجه می کنیم که عبارت داده شده دارای شکل log A B p است که در آن A=2، B=x+1 و p=4 است. عبارات عددیما این نوع را با توجه به خاصیت لگاریتم log قدرت a b p = p·log a b تبدیل کردیم، بنابراین، با عبارت داده شده می خواهم همین کار را انجام دهم و از log 2 (x+1) 4 به 4·log بروم. 2 (x+1). حالا بیایید مقدار عبارت اصلی و عبارتی که پس از تبدیل به دست می آید را محاسبه کنیم، مثلاً وقتی x=−2 باشد. ما log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 داریم و 4 log 2 (-2+1)=4 log 2 (-1)- یک عبارت بی معنی این یک سوال منطقی ایجاد می کند: "ما چه اشتباهی کردیم؟"

و دلیل این است: ما log تبدیل 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) را بر اساس فرمول log a b p = p·log a b انجام دادیم، اما ما حق داریم این فرمول را اعمال کنیم. فقط اگر شرایط a>0، a≠1، b>0، p - هر عدد واقعی. یعنی تبدیلی که ما انجام داده‌ایم اگر x+1>0 اتفاق بیفتد که همان x>−1 است (برای A و p شرایط برقرار است). با این حال، در مورد ما، ODZ متغیر x برای عبارت اصلی نه تنها از بازه x>-1، بلکه از بازه x نیز تشکیل شده است.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

نیاز به در نظر گرفتن DL

بیایید به تجزیه و تحلیل تبدیل عبارتی که log 2 (x+1) 4 را انتخاب کرده‌ایم ادامه دهیم، و اکنون ببینیم هنگام انتقال به عبارت 4 · log 2 (x+1) چه اتفاقی برای ODZ می‌افتد. در پاراگراف قبلی، ODZ عبارت اصلی را پیدا کردیم - این مجموعه (−∞، -1)∪(−1، +∞) است. حالا بیایید محدوده مقادیر قابل قبول متغیر x را برای عبارت 4·log 2 (x+1) پیدا کنیم. با شرط x+1>0 که با مجموعه (-1, +∞) مطابقت دارد تعیین می شود. بدیهی است که هنگام حرکت از log 2 (x+1) 4 به 4·log 2 (x+1)، محدوده مقادیر مجاز باریک می شود. و ما توافق کردیم که از تغییراتی که منجر به کاهش DL می شود اجتناب کنیم، زیرا این می تواند منجر به پیامدهای منفی مختلفی شود.

در اینجا شایان ذکر است که کنترل OA در هر مرحله از تبدیل و جلوگیری از باریک شدن آن مفید است. و اگر ناگهان در مرحله ای از تحول، DL باریک شد، پس ارزش آن را دارد که با دقت نگاه کنیم که آیا این تبدیل مجاز است و آیا ما حق انجام آن را داشتیم.

برای انصاف، بیایید بگوییم که در عمل معمولاً باید با عباراتی کار کنیم که در آنها مقدار متغیر متغیرها به گونه‌ای است که هنگام انجام تبدیل‌ها، بتوانیم از خصوصیات لگاریتم بدون محدودیت به شکلی که قبلاً برای ما شناخته شده است استفاده کنیم. از چپ به راست و از راست به چپ. شما به سرعت به این عادت می کنید و شروع به انجام دگرگونی های مکانیکی می کنید، بدون اینکه فکر کنید آیا امکان انجام آنها وجود دارد یا خیر. و در چنین لحظاتی، طبق شانس، نمونه های پیچیده تری از میان می روند که در آنها به کارگیری بی دقتی ویژگی های لگاریتم منجر به خطا می شود. بنابراین باید همیشه مراقب باشید و مطمئن شوید که ODZ باریک نمی شود.

به طور جداگانه برجسته کردن تحولات اصلی بر اساس ویژگی های لگاریتم، که باید با دقت انجام شود، که می تواند منجر به باریک شدن OD و در نتیجه - به خطاها شود، ضرری ندارد:

برخی از تبدیل عبارات بر اساس خواص لگاریتم نیز می تواند منجر به مخالف شود - گسترش ODZ. به عنوان مثال، انتقال از 4·log 2 (x+1) به log 2 (x+1) 4 ODZ را از مجموعه (-1, +∞) به (-∞, -1)∪(-1,) گسترش می دهد. +∞). اگر ما در چارچوب ODZ برای عبارت اصلی باقی بمانیم، چنین دگرگونی هایی رخ می دهد. بنابراین تبدیل اخیر 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 در ODZ متغیر x برای عبارت اصلی 4·log 2 (x+1) صورت می گیرد، یعنی برای x+1> 0 که همان (-1، +∞) است.

اکنون که ما در مورد تفاوت های ظریفی که هنگام تبدیل عبارات با متغیرها با استفاده از خواص لگاریتم باید به آنها توجه کنید ، بحث کردیم ، باید چگونگی انجام صحیح این تبدیل ها را بفهمیم.

X+2>0. آیا در مورد ما کار می کند؟ برای پاسخ به این سوال، اجازه دهید نگاهی به ODZ متغیر x بیاندازیم. توسط سیستم نابرابری ها تعیین می شود ، که معادل شرط x+2>0 است (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید حل سیستم های نابرابری). بنابراین، می توانیم با خیال راحت خاصیت لگاریتم توان را اعمال کنیم.

ما داریم
3 log(x+2) 7-log(x+2)-5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)-log(x+2)-5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)-log(x+2)-20 log(x+2)=
=(21-1-20)·log(x+2)=0.

شما می توانید متفاوت عمل کنید، زیرا ODZ به شما اجازه می دهد این کار را انجام دهید، برای مثال به این صورت:

پاسخ:

3 log(x+2) 7-log(x+2)-5 log(x+2) 4 =0.

اما وقتی شرایط همراه با خواص لگاریتم در ODZ برآورده نمی شود چه باید کرد؟ این را با مثال هایی متوجه خواهیم شد.

اجازه دهید از ما خواسته شود که عبارت log(x+2) 4 − log(x+2) 2 را ساده کنیم. تغییر شکل این عبارت، برخلاف عبارت مثال قبلی، اجازه استفاده آزادانه از خاصیت لگاریتم توان را نمی دهد. چرا؟ ODZ متغیر x در این مورد، اتحاد دو بازه x>-2 و x است<−2 . При x>−2 می‌توانیم به راحتی خاصیت لگاریتم یک توان را اعمال کنیم و مانند مثال بالا عمل کنیم: log(x+2) 4-log(x+2) 2 =4 log(x+2)-2 log(x+2)=2 log(x+2). اما ODZ حاوی یک بازه x+2 دیگر است<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2و بیشتر به دلیل خواص درجه k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. عبارت حاصل را می توان با استفاده از خاصیت لگاریتم یک توان تبدیل کرد، زیرا |x+2|>0 برای هر مقدار از متغیر. ما داریم log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. اکنون می توانید خود را از ماژول آزاد کنید، زیرا کار خود را انجام داده است. از آنجایی که تبدیل را در x+2 انجام می دهیم<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

بیایید به یک مثال دیگر نگاه کنیم تا کار با ماژول ها آشنا شود. اجازه دهید از بیان تصور کنیم به مجموع و تفاضل لگاریتم های دوجمله ای خطی x-1، x-2 و x-3 بروید. ابتدا ODZ را پیدا می کنیم:

در بازه (3، +∞) مقادیر عبارات x−1، x−2 و x−3 مثبت هستند، بنابراین می‌توانیم به راحتی خواص لگاریتم مجموع و تفاوت را اعمال کنیم:

و در بازه (1، 2) مقادیر عبارت x-1 مثبت و مقادیر عبارات x-2 و x-3 منفی هستند. بنابراین، در بازه در نظر گرفته شده، x-2 و x-3 را با استفاده از مدول به صورت -|x-2| و −|x−3| به ترتیب. که در آن

اکنون می‌توانیم ویژگی‌های لگاریتم محصول و ضریب را اعمال کنیم، زیرا در بازه در نظر گرفته شده (1، 2) مقادیر عبارات x−1 , |x−2| و |x−3| - مثبت

ما داریم

نتایج به دست آمده را می توان ترکیب کرد:

به طور کلی، استدلال مشابه، بر اساس فرمول های لگاریتم محصول، نسبت و درجه، به دست آوردن سه نتیجه عملی مفید، که برای استفاده بسیار راحت است، اجازه می دهد:

• لگاریتم حاصل ضرب دو عبارت دلخواه X و Y از شکل log a (X·Y) را می توان با مجموع لگاریتم های log a |X|+log a |Y| جایگزین کرد. , a>0 , a≠1 .
• لگاریتم یک فرم خاص log a (X:Y) را می توان با تفاوت لگاریتم log a |X|−log a |Y| جایگزین کرد. , a>0، a≠1، X و Y عبارات دلخواه هستند.
• از لگاریتم برخی از عبارت B تا توان زوج p به شکل log a B p می توانیم به عبارت p·log a |B| برویم. ، که در آن a>0، a≠1، p یک عدد زوج و B یک عبارت دلخواه است.

نتایج مشابهی برای مثال در دستورالعمل های حل نمایی و معادلات لگاریتمیدر مجموعه ای از مسائل ریاضی برای کسانی که وارد دانشگاه می شوند، ویرایش شده توسط M. I. Skanavi.

مثال.

بیان را ساده کنید .

راه حل.

خوب است که خواص لگاریتم توان، مجموع و تفاوت را اعمال کنیم. اما آیا ما می توانیم این کار را اینجا انجام دهیم؟ برای پاسخ به این سوال باید DZ را بشناسیم.

بیایید آن را تعریف کنیم:

کاملاً بدیهی است که عبارات x+4، x−2 و (x+4) 13 در محدوده مقادیر مجاز متغیر x می توانند مقادیر مثبت و منفی را به خود بگیرند. بنابراین، ما باید از طریق ماژول ها عمل کنیم.

ویژگی‌های ماژول به شما امکان می‌دهد آن را به صورت، بنابراین بازنویسی کنید

همچنین، هیچ چیز شما را از استفاده از خاصیت لگاریتم یک توان و سپس آوردن اصطلاحات مشابه باز نمی دارد:

توالی دیگری از تبدیل ها به همین نتیجه منجر می شود:

و از آنجایی که در ODZ عبارت x-2 می تواند مقادیر مثبت و منفی را بگیرد، پس هنگام گرفتن توان زوج 14

یکی از عناصر جبر سطح ابتدایی لگاریتم است. این نام از زبان یونانی از کلمه "عدد" یا "قدرت" گرفته شده است و به معنای قدرتی است که برای یافتن عدد نهایی، عدد در پایه باید به آن افزایش یابد.

انواع لگاریتم

• log a b – لگاریتم عدد b به پایه a (a > 0، a ≠ 1، b > 0).
• log b - لگاریتم اعشاری (لگاریتم به پایه 10، a = 10).
• ln b – لگاریتم طبیعی (لگاریتم به پایه e، a = e).

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

لگاریتم b به پایه a یک توان است که باید b را به پایه a برسانیم. نتیجه به دست آمده به این صورت تلفظ می شود: "لگاریتم b به پایه a". راه حل مسائل لگاریتمیاین است که شما باید یک مدرک معین را بر اساس اعداد مشخص شده تعیین کنید. قوانین اساسی برای تعیین یا حل لگاریتم و همچنین تبدیل خود نماد وجود دارد. با استفاده از آنها معادلات لگاریتمی حل می شوند، مشتقات پیدا می شوند، انتگرال ها حل می شوند و بسیاری از عملیات های دیگر انجام می شوند. اساساً راه حل خود لگاریتم نماد ساده شده آن است. در زیر فرمول ها و خواص اصلی آورده شده است:

برای هر یک ; a > 0; a ≠ 1 و برای هر x ; y > 0.

• a log a b = b – هویت لگاریتمی پایه
• ثبت یک = 0
• لوگا a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x، برای k≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – فرمول انتقال به یک پایه جدید
• log a x = 1/log x a

نحوه حل لگاریتم - دستورالعمل های گام به گام برای حل

• ابتدا معادله مورد نیاز را یادداشت کنید.

لطفاً توجه داشته باشید: اگر لگاریتم پایه 10 باشد، ورودی کوتاه شده و منجر به لگاریتم اعشاری می شود. اگه ارزش داره عدد طبیعی e، سپس آن را یادداشت می کنیم و به اختصار می نویسیم لگاریتم طبیعی. این بدان معنی است که نتیجه تمام لگاریتم ها توانی است که عدد پایه به آن افزایش می یابد تا عدد b به دست آید.

به طور مستقیم، راه حل در محاسبه این درجه نهفته است. قبل از حل یک عبارت با لگاریتم، باید طبق قاعده، یعنی با استفاده از فرمول، آن را ساده کرد. با کمی برگشت در مقاله می توانید هویت های اصلی را پیدا کنید.

هنگام جمع و تفریق لگاریتمی با دو عدد متفاوت اما با پایه های یکسان، به ترتیب حاصل ضرب یا تقسیم اعداد b و c را با یک لگاریتم جایگزین کنید. در این مورد، می توانید فرمول انتقال به پایه دیگر را اعمال کنید (به بالا مراجعه کنید).

اگر از عبارات برای ساده کردن لگاریتم استفاده می کنید، محدودیت هایی وجود دارد که باید در نظر بگیرید. و آن این است: پایه لگاریتم a فقط یک عدد مثبت است، اما نه برابر با یک. عدد b نیز مانند a باید بزرگتر از صفر باشد.

مواردی وجود دارد که با ساده کردن یک عبارت، نمی توانید لگاریتم را به صورت عددی محاسبه کنید. اتفاق می افتد که چنین عبارتی معنی ندارد، زیرا بسیاری از قدرت ها اعداد غیر منطقی هستند. در این شرایط، توان عدد را به عنوان لگاریتم بگذارید.

از تعریف آن برمی‌آید. و به این ترتیب لگاریتم عدد ببر اساس آبه عنوان توانی تعریف می شود که یک عدد باید به آن افزایش یابد آبرای دریافت شماره ب(لگاریتم فقط برای اعداد مثبت وجود دارد).

از این فرمول نتیجه می شود که محاسبه x=log a b، معادل حل معادله است a x =b.مثلا، گزارش 2 8 = 3زیرا 8 = 2 3 . فرمول لگاریتم این امکان را فراهم می کند که اگر b=a c، سپس لگاریتم عدد ببر اساس آبرابر است با. همچنین مشخص است که مبحث لگاریتم ارتباط تنگاتنگی با مبحث توان های یک عدد دارد.

با لگاریتم، مانند هر اعداد، می توانید انجام دهید عملیات جمع، تفریقو به هر طریق ممکن متحول شود. اما با توجه به اینکه لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، قوانین خاص خود را در اینجا اعمال می کنند که به آنها می گویند. خواص اصلی.

جمع و تفریق لگاریتم.

بیایید دو لگاریتم با پایه های یکسان بگیریم: یک x را ثبت کنیدو ورود به سیستم یک y. سپس می توان عملیات جمع و تفریق را انجام داد:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ورود به سیستم a(ایکس 1 . ایکس 2 . ایکس 3 ... x k) = یک x را ثبت کنید 1 + یک x را ثبت کنید 2 + یک x را ثبت کنید 3 + ... + ورود به سیستم x k.

از جانب قضیه ضریب لگاریتمییک ویژگی دیگر از لگاریتم را می توان به دست آورد. این دانش عمومی است که ورود به سیستم آ 1 = 0، بنابراین

ورود به سیستم آ 1 /ب= ثبت نام آ 1 - ورود به سیستم a ب= - ورود به سیستم a ب.

این به این معنی است که یک برابری وجود دارد:

log a 1 / b = - log a b.

لگاریتم دو عدد متقابلبه همین دلیل صرفاً با علامت با یکدیگر متفاوت خواهند بود. بنابراین:

Log 3 9 = - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.