مماس بر نمودار تابع y f x. نحوه پیدا کردن شیب معادله

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

در این مقاله انواع مشکلات را برای یافتن تجزیه و تحلیل خواهیم کرد

به یاد بیاوریم معنی هندسیمشتق: اگر مماس بر نمودار یک تابع در نقطه ای رسم شود، ضریب شیب مماس (برابر مماس زاویه بین مماس و جهت مثبت محور) برابر با مشتق تابع است. در نقطه

بیایید یک نقطه دلخواه روی مماس با مختصات بگیریم:

و یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید:

در این مثلث

از اینجا

این معادله مماس رسم شده بر نمودار تابع در نقطه است.

برای نوشتن معادله مماس فقط باید معادله تابع و نقطه رسم مماس را بدانیم. سپس می توانیم پیدا کنیم و .

سه نوع اصلی از مسائل معادله مماس وجود دارد.

1. با توجه به نقطه تماس

2. ضریب شیب مماس داده می شود، یعنی مقدار مشتق تابع در نقطه.

3. مختصات نقطه ای که مماس از آن رسم می شود، اما نقطه مماس نیست، داده می شود.

بیایید به هر نوع کار نگاه کنیم.

1 . معادله مماس بر نمودار تابع را بنویسید در نقطه .

.

ب) مقدار مشتق را در نقطه پیدا کنید. ابتدا مشتق تابع را پیدا می کنیم

بیایید مقادیر یافت شده را در معادله مماس جایگزین کنیم:

بیایید براکت های سمت راست معادله را باز کنیم. ما گرفتیم:

پاسخ: .

2. ابسیسا نقاطی را که توابع در آنها مماس با نمودار هستند را پیدا کنید موازی با محور x

اگر مماس موازی با محور x باشد، بنابراین زاویه بین مماس و جهت مثبت محور برابر با صفربنابراین مماس زاویه مماس صفر است. این بدان معنی است که مقدار مشتق تابع در نقاط تماس صفر است.

الف) مشتق تابع را بیابید .

ب) مشتق را با صفر برابر می کنیم و مقادیری را که مماس آن ها با محور موازی است، پیدا می کنیم:

با برابر کردن هر عامل با صفر، به دست می آوریم:

پاسخ: 0؛ 3؛ 5

3. معادلات مماس بر نمودار یک تابع را بنویسید , موازی سر راست .

مماس موازی با یک خط است. شیب این خط -1 است. از آنجایی که مماس با این خط موازی است، بنابراین شیب مماس نیز -1 است. به این معنا که ما شیب مماس را می دانیم، و در نتیجه، مقدار مشتق در نقطه مماس.

این دومین نوع مسئله برای یافتن معادله مماس است.

بنابراین، تابع و مقدار مشتق در نقطه مماس به ما داده می شود.

الف) نقاطی را بیابید که مشتق تابع برابر 1- است.

ابتدا معادله مشتق را پیدا می کنیم.

بیایید مشتق را با عدد -1 برابر کنیم.

بیایید مقدار تابع را در نقطه پیدا کنیم.

(با شرایط)

.

ب) معادله مماس بر نمودار تابع در نقطه را بیابید.

بیایید مقدار تابع را در نقطه پیدا کنیم.

(به شرط).

بیایید این مقادیر را در معادله مماس جایگزین کنیم:

.

پاسخ:

4 . معادله مماس بر منحنی را بنویسید , عبور از یک نقطه

ابتدا بیایید بررسی کنیم که آیا نقطه یک نقطه مماس است یا خیر. اگر نقطه ای یک نقطه مماس باشد، متعلق به نمودار تابع است و مختصات آن باید معادله تابع را برآورده کند. بیایید مختصات نقطه را با معادله تابع جایگزین کنیم.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} یک عدد منفی، تساوی درست نیست و نقطه به نمودار تابع و تعلق ندارد نقطه تماس نیست

این آخرین نوع مسئله برای یافتن معادله مماس است. اولین چیز ما باید ابسیسا نقطه مماس را پیدا کنیم.

بیایید ارزش را پیدا کنیم.

اجازه دهید نقطه تماس باشد. نقطه متعلق به مماس بر نمودار تابع است. اگر مختصات این نقطه را با معادله مماس جایگزین کنیم، برابری صحیح را بدست می آوریم:

.

مقدار تابع در یک نقطه است .

بیایید مقدار مشتق تابع را در نقطه پیدا کنیم.

ابتدا مشتق تابع را پیدا می کنیم. این .

مشتق در یک نقطه برابر است با .

بیایید عبارات را جایگزین معادله مماس کنیم. معادله را بدست می آوریم:

بیایید این معادله را حل کنیم.

صورت و مخرج کسر را 2 کاهش دهید:

بیایید سمت راست معادله را به یک مخرج مشترک بیاوریم. ما گرفتیم:

بیایید عدد کسر را ساده کنیم و هر دو طرف را در آن ضرب کنیم - این عبارت به شدت بزرگتر از صفر است.

معادله را می گیریم

حلش کنیم برای انجام این کار، اجازه دهید هر دو قسمت را مربع کنیم و به سمت سیستم برویم.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 )))()">!}

بیایید معادله اول را حل کنیم.

بیا تصمیم بگیریم معادله درجه دوم، ما گرفتیم

ریشه دوم شرط title="8-3x_0>=0) را برآورده نمی کند">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

بیایید معادله مماس بر منحنی را در نقطه بنویسیم. برای انجام این کار، مقدار را در معادله جایگزین کنید - قبلاً ضبطش کرده بودیم.

پاسخ:
.

شکل زیر را در نظر بگیرید:

تابع خاصی y = f(x) را نشان می دهد که در نقطه a قابل تمایز است. نقطه M با مختصات (a; f(a)) مشخص شده است. یک MR مقطعی از طریق یک نقطه دلخواه P(a + ∆x؛ f(a + ∆x)) نمودار ترسیم می‌شود.

اگر اکنون نقطه P در طول نمودار به نقطه M منتقل شود، آنگاه خط مستقیم MR حول نقطه M خواهد چرخید. در این حالت ∆x به سمت صفر میل خواهد کرد. از اینجا می توانیم تعریف مماس بر نمودار یک تابع را فرموله کنیم.

مماس بر نمودار یک تابع

مماس بر نمودار یک تابع، موقعیت محدود سکنت است زیرا افزایش آرگومان به سمت صفر می‌رود. باید فهمید که وجود مشتق تابع f در نقطه x0 به این معنی است که در این نقطه از نمودار وجود دارد. مماسبه او.

که در آن شیبمماس برابر با مشتق این تابع در این نقطه f’(x0) خواهد بود. این معنای هندسی مشتق است. مماس بر نمودار تابع f قابل تمایز در نقطه x0 یک خط مستقیم مشخص است که از نقطه (x0;f(x0)) می گذرد و دارای ضریب زاویه ای f'(x0) است.

معادله مماس

بیایید سعی کنیم معادله مماس بر نمودار تابع f را در نقطه A(x0؛ f(x0)) بدست آوریم. معادله یک خط مستقیم با شیب k به شکل زیر است:

از آنجایی که ضریب شیب ما با مشتق برابر است f'(x0)، سپس معادله به شکل زیر خواهد بود: y = f'(x0)*x + b.

حالا بیایید مقدار b را محاسبه کنیم. برای این کار از این واقعیت استفاده می کنیم که تابع از نقطه A عبور می کند.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b، از اینجا b را بیان می کنیم و b = f(x0) - f’(x0)*x0 را بدست می آوریم.

مقدار حاصل را با معادله مماس جایگزین می کنیم:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

مثال زیر را در نظر بگیرید: معادله مماس بر نمودار تابع f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 را در نقطه x = 2 بیابید.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. مقادیر به دست آمده را با فرمول مماس جایگزین کنید، دریافت می کنیم: y = 1 + 4 * (x - 2). با باز کردن پرانتزها و آوردن عبارت های مشابه به این نتیجه می رسیم: y = 4*x - 7.

پاسخ: y = 4 * x - 7.

طرح کلی برای ترکیب معادله مماسبه نمودار تابع y = f(x):

1. x0 را تعیین کنید.

2. f(x0) را محاسبه کنید.

3. f’(x) را محاسبه کنید

یاد بگیرید که مشتقات توابع را بگیرید.مشتق نرخ تغییر یک تابع را در یک نقطه مشخص در نمودار این تابع مشخص می کند. در این حالت، نمودار می تواند یک خط مستقیم یا منحنی باشد. یعنی مشتق نرخ تغییر یک تابع را در یک نقطه خاص از زمان مشخص می کند. یاد آوردن قوانین عمومی، که توسط آن مشتقات گرفته می شود و تنها پس از آن وارد مرحله بعدی می شوید.

• مقاله را بخوان.
• چگونه ساده ترین مشتقات را مثلاً مشتق بگیریم معادله نمایی، شرح داده شده. محاسبات ارائه شده در مراحل زیر بر اساس روش های شرح داده شده در آن خواهد بود.

یاد بگیرید که مسائلی را که در آنها شیب باید از طریق مشتق یک تابع محاسبه شود، تشخیص دهید.مشکلات همیشه از شما نمی خواهند شیب یا مشتق یک تابع را پیدا کنید. برای مثال، ممکن است از شما خواسته شود که نرخ تغییر یک تابع را در نقطه A(x,y) بیابید. همچنین ممکن است از شما خواسته شود که شیب مماس را در نقطه A(x,y) بیابید. در هر دو مورد لازم است مشتق تابع را بگیریم.

مشتق تابعی که به شما داده شده است را بگیرید.در اینجا نیازی به ساختن نمودار نیست - فقط به معادله تابع نیاز دارید. در مثال ما، مشتق تابع را در نظر بگیرید. مشتق را با توجه به روش های ذکر شده در مقاله ذکر شده در بالا بگیرید:

• مشتق:

مختصات نقطه ای که به شما داده شده را با مشتق یافت شده جایگزین کنید تا شیب را محاسبه کنید.مشتق یک تابع برابر با شیب در یک نقطه معین است. به عبارت دیگر، f"(x) شیب تابع در هر نقطه است (x,f(x)). در مثال ما:

• شیب تابع را پیدا کنید f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x)در نقطه A (4،2).
• مشتق تابع:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• مقدار مختصات "x" این نقطه را جایگزین کنید:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• شیب را پیدا کنید:
• تابع شیب f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x)در نقطه A(4,2) برابر با 22 است.

در صورت امکان، پاسخ خود را در نمودار بررسی کنید.به یاد داشته باشید که شیب را نمی توان در هر نقطه محاسبه کرد. حساب دیفرانسیل بررسی می کند توابع پیچیدهو نمودارهای پیچیده، که در آن شیب را نمی توان در هر نقطه محاسبه کرد و در برخی موارد، نقاط به هیچ وجه روی نمودارها قرار نمی گیرند. در صورت امکان، از یک ماشین حساب نمودار استفاده کنید تا بررسی کنید که شیب تابعی که به شما داده شده است درست است. در غیر این صورت، در نقطه ای که به شما داده شده، یک مماس بر روی نمودار بکشید و به این فکر کنید که آیا مقدار شیبی که پیدا کردید با آنچه در نمودار می بینید مطابقت دارد یا خیر.

• مماس شیب مشابهی با نمودار تابع در یک نقطه خاص خواهد داشت. برای رسم مماس در یک نقطه داده شده، روی محور X به چپ/راست حرکت کنید (در مثال ما 22 مقدار به سمت راست) و سپس یک مقدار در محور Y بالا بروید. نقطه را علامت بزنید و سپس آن را به امتیاز به شما داده شده در مثال ما، نقاط را با مختصات (4،2) و (26،3) وصل کنید.

اجازه دهید یک تابع f داده شود که در نقطه ای x 0 مشتق محدود f (x 0) دارد. سپس خط مستقیمی که از نقطه (x 0 ؛ f (x 0)) که دارای ضریب زاویه ای f '(x 0) می گذرد مماس نامیده می شود.

اگر مشتق در نقطه x 0 وجود نداشته باشد چه اتفاقی می افتد؟ دو گزینه وجود دارد:

1. مماس با نمودار نیز وجود ندارد. یک مثال کلاسیک تابع y = |x | است در نقطه (0; 0).
2. مماس عمودی می شود. این درست است، برای مثال، برای تابع y = arcsin x در نقطه (1؛ π /2).

معادله مماس

هر خط مستقیم غیر عمودی با معادله ای به شکل y = kx + b داده می شود، که در آن k شیب است. مماس نیز از این قاعده مستثنی نیست و برای ایجاد معادله آن در نقطه ای x 0 کافی است مقدار تابع و مشتق را در این نقطه بدانیم.

بنابراین، اجازه دهید یک تابع y = f (x) داده شود که دارای مشتق y = f '(x) در قطعه است. سپس در هر نقطه x 0 ∈ (a ; b) می توان یک مماس به نمودار این تابع رسم کرد که با معادله به دست می آید:

y = f’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

در اینجا f (x 0) مقدار مشتق در نقطه x 0 است و f (x 0) مقدار خود تابع است.

وظیفه. با توجه به تابع y = x 3 . معادله ای برای مماس بر نمودار این تابع در نقطه x 0 = 2 بنویسید.

معادله مماس: y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). نقطه x 0 = 2 به ما داده می شود، اما مقادیر f (x 0) و f '(x 0) باید محاسبه شوند.

ابتدا مقدار تابع را پیدا می کنیم. همه چیز در اینجا آسان است: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
حالا بیایید مشتق را پیدا کنیم: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
x 0 = 2 را به مشتق جایگزین می کنیم: f '(x 0) = f'(2) = 3 2 2 = 12;
در مجموع بدست می آوریم: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
این معادله مماس است.

وظیفه. معادله ای برای مماس بر نمودار تابع f (x) = 2sin x + 5 در نقطه x 0 = π /2 بنویسید.

این بار ما هر عمل را با جزئیات شرح نمی دهیم - فقط مراحل کلیدی را نشان می دهیم. ما داریم:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

معادله مماس:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

در مورد دوم، خط مستقیم معلوم شد که افقی است، زیرا ضریب زاویه ای آن k = 0. هیچ مشکلی در این مورد وجود ندارد - ما فقط به یک نقطه افراطی برخورد کردیم.