حل معادلات مثلثاتی همگن. معادلات مثلثاتی همگن: طرح حل کلی

موضوع درس: «همگن معادلات مثلثاتی"

(کلاس 10 م)

هدف: مفهوم معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II را معرفی کنید. الگوریتمی برای حل معادلات مثلثاتی همگن درجات I و II را فرموله و کار کنید. آموزش حل معادلات مثلثاتی همگن درجات I و II به دانش آموزان. توسعه توانایی شناسایی الگوها و تعمیم. برانگیختن علاقه به موضوع، ایجاد حس همبستگی و رقابت سالم.

نوع درس: درس شکل گیری دانش جدید

فرم: کار گروهی.

تجهیزات: کامپیوتر، نصب چند رسانه ای

در طول کلاس ها

زمان سازماندهی

درود دانش آموزان، بسیج توجه.

در درس، یک سیستم رتبه بندی برای ارزیابی دانش (معلم سیستم ارزیابی دانش را توضیح می دهد، با پر کردن برگه ارزیابی توسط یک کارشناس مستقل که توسط معلم از بین دانش آموزان انتخاب می شود). درس با ارائه همراه است. .

به روز رسانی دانش پایه

مشق شبقبل از شروع درس توسط کارشناس و مشاور مستقل بررسی و ارزیابی می شود و برگه ارزشیابی پر می شود.

معلم تکالیف را خلاصه می کند.

معلم: ما به مطالعه مبحث "معادلات مثلثاتی" ادامه می دهیم. امروز در درس شما را با نوع دیگری از معادلات مثلثاتی و روش های حل آنها آشنا می کنیم و بنابراین آنچه را که یاد گرفته ایم تکرار می کنیم. هنگام حل انواع معادلات مثلثاتی، آنها به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی خلاصه می شوند.

تکالیف فردی انجام شده در گروه بررسی می شود. دفاع از ارائه "حل ساده ترین معادلات مثلثاتی"

(کار گروه توسط کارشناس مستقل ارزیابی می شود)

انگیزه یادگیری.

معلم: برای حل جدول کلمات متقاطع کار داریم. پس از حل آن، نام نوع جدیدی از معادلات را خواهیم فهمید که امروز در کلاس حل آن را یاد خواهیم گرفت.

سوالات بر روی تابلو پیش بینی می شود. دانش آموزان حدس می زنند و یک کارشناس مستقل نمرات دانش آموزانی را که پاسخ می دهند در برگه نمره وارد می کند.

پس از حل جدول کلمات متقاطع، کودکان کلمه "همگن" را می خوانند.

جذب دانش جدید.

معلم: موضوع درس «معادلات مثلثاتی همگن» است.

بیایید موضوع درس را در یک دفتر یادداشت کنیم. معادلات مثلثاتی همگن درجه یک و دو هستند.

اجازه دهید تعریف یک معادله همگن درجه اول را بنویسیم. من نمونه ای از حل این نوع معادله را نشان می دهم؛ شما یک الگوریتم برای حل یک معادله مثلثاتی همگن درجه یک ایجاد می کنید.

معادله فرم آ sinx + ب cosx = 0 معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

اجازه دهید راه حل معادله را با ضرایب در نظر بگیریم آو Vبا 0 تفاوت دارند.

مثال: sinx + cosx = 0

آر با تقسیم هر دو طرف معادله بر cosx، به دست می آوریم

توجه! فقط در صورتی می توانید بر 0 تقسیم کنید که این عبارت در هیچ کجا به 0 تبدیل نشود. بیایید تجزیه و تحلیل کنیم. اگر کسینوس برابر با 0 باشد، سینوس نیز برابر با 0 خواهد بود، با توجه به اینکه ضرایب با 0 متفاوت است، اما می دانیم که سینوس و کسینوس در این نقطه به صفر می رسند. نقاط مختلف. بنابراین در هنگام حل این نوع معادله می توان این عمل را انجام داد.

الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول: تقسیم دو طرف معادله بر cosx، cosx 0

معادله فرم آ sin mx +ب cos mx = 0معادله مثلثاتی همگن درجه اول نیز نامیده می شود و همچنین تقسیم دو طرف معادله بر کسینوس mx را حل می کند.

معادله فرم آ گناه 2 x+ب sinx cosx +ج cos2x = 0معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود.

مثال : گناه 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

ضریب a با 0 متفاوت است و بنابراین مانند رابطه قبلی cosx برابر با 0 نیست و بنابراین می توانید از روش تقسیم دو طرف معادله بر cos 2 x استفاده کنید.

ما tg 2 x + 2tgx - 3 = 0 را دریافت می کنیم

ما با معرفی یک متغیر جدید اجازه دهید tgx = a را حل می کنیم، سپس معادله را بدست می آوریم

a 2 + 2a - 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = -3

بازگشت به جایگزینی

پاسخ:

اگر ضریب a = 0 باشد، معادله به شکل 2sinx cosx – 3cos2x = 0 خواهد بود، آن را با خارج کردن ضریب مشترک cosx از پرانتز حل می کنیم. اگر ضریب c = 0، معادله به شکل sin2x +2sinx cosx = 0 باشد، آن را با خارج کردن عامل مشترک sinx از پرانتز حل می کنیم. الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول:

ببینید آیا معادله دارای عبارت asin2 x است یا خیر.

اگر عبارت asin2 x در معادله موجود باشد (یعنی a 0)، معادله با تقسیم دو طرف معادله بر cos2x و سپس معرفی یک متغیر جدید حل می‌شود.

اگر عبارت asin2 x در معادله موجود نباشد (یعنی a = 0)، معادله با فاکتورگیری حل می شود: cosx از براکت ها خارج می شود. معادلات همگن a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 به همین ترتیب حل می‌شوند.

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی همگن در کتاب درسی صفحه 102 نوشته شده است.

دقیقه تربیت بدنی

شکل گیری مهارت برای حل معادلات مثلثاتی همگن

باز کردن کتاب های مشکل صفحه 53

تصمیم گروه 1 و 2 شماره 361-v

گروه 3 و 4 به شماره 363-v تصمیم می گیرند

راه حل را روی تخته نشان دهید، توضیح دهید، تکمیل کنید. یک کارشناس مستقل ارزیابی می کند.

حل مثال از کتاب مسئله شماره 361-v
sinx - 3cosx = 0
هر دو طرف معادله را بر cosx 0 تقسیم می کنیم، به دست می آوریم

شماره 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
هر دو طرف معادله را بر cos2x تقسیم می کنیم، tg2x + tanx - 2 = 0 به دست می آید.

با معرفی یک متغیر جدید حل کنید
اجازه دهید tgx = a، سپس معادله را بدست می آوریم
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = -2
بازگشت به جایگزینی

کار مستقل.

معادلات را حل کنید.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

در پایان کار مستقل، آنها شغل خود را تغییر می دهند و متقابل بررسی می کنند. پاسخ های صحیح روی تخته نمایش داده می شود.

سپس آن را به کارشناس مستقل تحویل می دهند.

راه حل خودت انجام بده

جمع بندی درس.

چه نوع معادلات مثلثاتی را در کلاس یاد گرفتیم؟

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی درجه یک و دو.

مشق شب: § 20.3 خوانده شده شماره 361 (d)، 363 (b)، دشواری اضافی شماره 380 (a).

جدول کلمات متقاطع.

اگر کلمات را درست وارد کنید، نام یکی از انواع معادلات مثلثاتی به دست می آید.

مقدار متغیری که معادله را درست می کند؟ (ریشه)

واحد اندازه گیری زاویه (رادیان)

فاکتور عددی در یک محصول؟ (ضریب)

شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد؟ (مثلثات)

چه مدل ریاضی برای مقدمه مورد نیاز است توابع مثلثاتی? (دایره)

کدام تابع مثلثاتی زوج است؟ (کسینوس)

برابری واقعی چیست؟ (هویت)

برابری با یک متغیر؟ (معادله)

معادلاتی که ریشه های یکسانی دارند؟ (معادل)

مجموعه ریشه های یک معادله ? (راه حل)

مقاله ارزشیابی

№
n\n

نام خانوادگی، نام معلم

مشق شب

ارائه

فعالیت شناختی
در حال مطالعه

حل معادلات

مستقل
کار

تکالیف - 12 امتیاز (3 معادله 4 x 3 = 12 برای تکالیف اختصاص داده شد)

ارائه - 1 امتیاز

فعالیت دانش آموز – 1 پاسخ – 1 امتیاز (حداکثر 4 امتیاز)

حل معادلات 1 امتیاز

کار مستقل - 4 امتیاز

امتیاز گروه:

"5" - 22 امتیاز یا بیشتر
"4" - 18 - 21 امتیاز
"3" - 12 - 17 امتیاز

متوقف کردن! بیایید سعی کنیم این فرمول دست و پا گیر را درک کنیم.

اولین متغیر در توان با مقداری ضریب باید اول باشد. در مورد ما اینطور است

در مورد ما اینطور است. همانطور که متوجه شدیم، این بدان معنی است که درجه در متغیر اول همگرا می شود. و متغیر دوم تا درجه اول در جای خود قرار دارد. ضریب.

ما داریمش.

متغیر اول توان و متغیر دوم مربع با ضریب است. این آخرین جمله در معادله است.

همانطور که می بینید، معادله ما در قالب یک فرمول با تعریف مطابقت دارد.

بیایید به بخش دوم (کلامی) تعریف نگاه کنیم.

ما دو مجهول داریم و. اینجا همگرا می شود.

بیایید همه شرایط را در نظر بگیریم. در آنها باید مجموع درجات مجهولات یکسان باشد.

مجموع درجات برابر است.

مجموع توان ها برابر است با (at و at).

مجموع درجات برابر است.

همانطور که می بینید همه چیز مناسب است!!!

حالا بیایید تعریف معادلات همگن را تمرین کنیم.

تعیین کنید کدام یک از معادلات همگن هستند:

معادلات همگن - معادلات با اعداد:

بیایید معادله را جداگانه در نظر بگیریم.

اگر هر جمله را با فاکتورگیری هر جمله تقسیم کنیم، به دست می آید

و این معادله کاملاً تحت تعریف معادلات همگن قرار می گیرد.

چگونه معادلات همگن را حل کنیم؟

مثال 2.

بیایید معادله را بر تقسیم کنیم.

با توجه به شرایط ما، y نمی تواند برابر باشد. بنابراین ما می توانیم با خیال راحت تقسیم کنیم

با ایجاد یک جایگزین، ما یک ساده دریافت می کنیم معادله درجه دوم:

از آنجایی که این یک معادله درجه دوم کاهش یافته است، از قضیه ویتا استفاده می کنیم:

پس از انجام تعویض معکوس به جواب می رسیم

پاسخ:

مثال 3.

بیایید معادله را بر (شرط) تقسیم کنیم.

پاسخ:

مثال 4.

پیدا کنید اگر.

در اینجا شما باید تقسیم نکنید، بلکه ضرب کنید. بیایید کل معادله را در:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

پس از انجام تعویض معکوس، پاسخ را دریافت می کنیم:

پاسخ:

حل معادلات مثلثاتی همگن.

حل معادلات مثلثاتی همگن با روش های حل توضیح داده شده در بالا تفاوتی ندارد. فقط در اینجا، در میان چیزهای دیگر، باید کمی مثلثات بدانید. و قادر به حل معادلات مثلثاتی (برای این شما می توانید بخش را بخوانید).

بیایید با استفاده از مثال به چنین معادلاتی نگاه کنیم.

مثال 5.

معادله را حل کنید.

ما معمولی را می بینیم معادله همگن: و مجهول هستند و مجموع قوای آنها در هر جمله برابر است.

حل چنین معادلات همگن دشوار نیست، اما قبل از تقسیم معادلات، این مورد را در نظر بگیرید که

در این حالت معادله به شکل زیر خواهد بود: , so. اما سینوس و کسینوس نمی توانند در یک زمان برابر باشند، زیرا اساسا هویت مثلثاتی. بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

از آنجایی که معادله داده شده است، پس طبق قضیه ویتا:

پاسخ:

مثال 6.

معادله را حل کنید.

مانند مثال، باید معادله را بر تقسیم کنید. بیایید این مورد را در نظر بگیریم که:

اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. از همین رو.

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

بیایید جایگزین معکوس را انجام دهیم و پیدا کنیم و:

پاسخ:

حل معادلات نمایی همگن.

معادلات همگن به همان روشی که در بالا مورد بحث قرار گرفت حل می شوند. اگر فراموش کردید که چگونه تصمیم بگیرید معادلات نمایی- به بخش مربوطه () نگاه کنید!

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 7.

معادله را حل کنید

بیایید آن را اینگونه تصور کنیم:

ما یک معادله همگن معمولی با دو متغیر و مجموع توان ها را می بینیم. بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

همانطور که می بینید، با انجام جایگزینی، معادله درجه دوم زیر را به دست می آوریم (نیازی به ترس از تقسیم بر صفر نیست - همیشه به شدت بزرگتر از صفر است):

طبق قضیه ویتا:

پاسخ: .

مثال 8.

معادله را حل کنید

بیایید آن را اینگونه تصور کنیم:

بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

ریشه شرایط را برآورده نمی کند. بیایید جایگزینی معکوس را انجام دهیم و پیدا کنیم:

پاسخ:

معادلات همگن. سطح متوسط

ابتدا با استفاده از مثال یک مشکل، اجازه دهید یادآوری کنم معادلات همگن چیست و حل معادلات همگن چیست؟

حل مشکل:

پیدا کنید اگر.

در اینجا می توانید به یک چیز عجیب توجه کنید: اگر هر عبارت را بر تقسیم کنیم، دریافت می کنیم:

یعنی در حال حاضر هیچ جدا وجود ندارد و، - اکنون متغیر در معادله مقدار مورد نظر است. و این یک معادله درجه دوم معمولی است که به راحتی با استفاده از قضیه ویتا قابل حل است: حاصل ضرب ریشه ها برابر است و مجموع اعداد و.

پاسخ:

معادلات فرم

همگن نامیده می شود. یعنی این معادله ای است با دو مجهول که هر جمله آن مجموع قدرت مجهولات یکسانی دارد. برای مثال در مثال بالا این مقدار برابر است با. معادلات همگن با تقسیم بر یکی از مجهولات به این درجه حل می شوند:

و جایگزینی متعاقب متغیرها: . بنابراین ما یک معادله توان با یک مجهول بدست می آوریم:

اغلب ما با معادلات درجه دوم (یعنی درجه دوم) مواجه می شویم و می دانیم چگونه آنها را حل کنیم:

توجه داشته باشید که تنها زمانی می توانیم کل معادله را بر یک متغیر تقسیم (و ضرب) کنیم که متقاعد شویم که این متغیر نمی تواند برابر با صفر باشد! به عنوان مثال، اگر از ما بخواهند پیدا کنیم، بلافاصله متوجه می شویم که از آنجایی که امکان تقسیم وجود ندارد. در مواردی که این چندان واضح نیست، لازم است به طور جداگانه موردی که این متغیر برابر با صفر است بررسی شود. مثلا:

معادله را حل کنید.

راه حل:

ما در اینجا یک معادله معمولی همگن را می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

اما، قبل از تقسیم بر و بدست آوردن یک نسبی معادله درجه دوم، باید موردی را در نظر بگیریم که چه زمانی. در این صورت معادله به شکل: . اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان برابر با صفر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه: . بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

امیدوارم این راه حل کاملا واضح باشد؟ اگر نه، بخش را بخوانید. اگر مشخص نیست که از کجا آمده است، باید حتی زودتر - به بخش - برگردید.

خودتان تصمیم بگیرید:

1. پیدا کنید اگر.
2. پیدا کنید اگر.
3. معادله را حل کنید.

در اینجا به طور خلاصه حل معادلات همگن را مستقیماً می نویسم:

راه حل ها:

پاسخ: .

اما در اینجا باید به جای تقسیم، ضرب کنیم:

پاسخ:

اگر هنوز معادلات مثلثاتی را نگرفته اید، می توانید از این مثال صرف نظر کنید.

از آنجایی که در اینجا باید بر تقسیم کنیم، اجازه دهید ابتدا مطمئن شویم که صد نیست برابر با صفر:

و این غیر ممکن است.

پاسخ: .

معادلات همگن. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

حل تمام معادلات همگن به تقسیم بر یکی از مجهولات توان و تغییر بیشتر متغیرها تقلیل می یابد.

الگوریتم:

شما میتونید سفارش بدید راه حل دقیقوظیفه ی شما!!!

تساوی حاوی یک مجهول تحت علامت یک تابع مثلثاتی ("sin x، cos x، tan x" یا "ctg x") معادله مثلثاتی نامیده می‌شود و فرمول‌های آن‌ها است که در ادامه بررسی خواهیم کرد.

ساده ترین معادلات عبارتند از: sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a». اجازه دهید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

• با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
• ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. «cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

«a sin x+b cos x=0» (معادله همگن درجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

1. «tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
2. «tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

حرکت به نیم زاویه

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول‌های زاویه دوتایی را اعمال کنیم و به این نتیجه می‌رسیم: `22 sin (x/2) cos (x/2) -`` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

با استفاده از روش جبری که در بالا توضیح داده شد، به دست می آوریم:

1. «tg x/2=2»، «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \در Z»،
2. «tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و ماژول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. «1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `n \ در Z`.

پاسخ. «x=2\pi n»، «n \in Z»، «x=\pi /2+2\pi n»، «n \in Z».

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون یکپارچه دولتی وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول های معادلات مثلثاتی را به خاطر بسپارید - آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.

نوع درس: توضیح مطالب جدید. کار به صورت گروهی انجام می شود. هر گروه یک متخصص دارد که کار دانش آموزان را نظارت و راهنمایی می کند. به دانش آموزان ضعیف کمک می کند تا در حل این معادلات به خود ایمان داشته باشند.

دانلود:

پیش نمایش:

درس در مورد موضوع

" معادلات مثلثاتی همگن"

(کلاس 10 م)

هدف:

1. مفهوم معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II را معرفی کنید.
2. الگوریتمی برای حل معادلات مثلثاتی همگن درجات I و II را فرموله و کار کنید.
3. آموزش حل معادلات مثلثاتی همگن درجات I و II به دانش آموزان.
4. توسعه توانایی شناسایی الگوها و تعمیم.
5. برانگیختن علاقه به موضوع، ایجاد حس همبستگی و رقابت سالم.

نوع درس : درسی در شکل گیری دانش جدید.

شکل رفتار: کار گروهی.

تجهیزات: کامپیوتر، نصب چند رسانه ای

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی

در درس، یک سیستم رتبه بندی برای ارزیابی دانش (معلم سیستم ارزیابی دانش را توضیح می دهد، با پر کردن برگه ارزیابی توسط یک کارشناس مستقل که توسط معلم از بین دانش آموزان انتخاب می شود). درس با ارائه همراه است. پیوست 1.

برگه امتیازات شماره

n\n	نام خانوادگی نام	مشق شب	فعالیت شناختی	حل معادلات	مستقل کار	مقطع تحصیلی

II. به روز رسانی دانش پایه..

ما به مطالعه مبحث "معادلات مثلثاتی" ادامه می دهیم. امروز در درس شما را با نوع دیگری از معادلات مثلثاتی و روش های حل آنها آشنا می کنیم و بنابراین آنچه را که یاد گرفته ایم تکرار می کنیم. هنگام حل انواع معادلات مثلثاتی، آنها به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی خلاصه می شوند. بیایید انواع اصلی ساده ترین معادلات مثلثاتی را به یاد بیاوریم. از فلش ها برای مطابقت با عبارات استفاده کنید.

III. انگیزه یادگیری.

برای حل جدول کلمات متقاطع کار داریم. پس از حل آن، نام نوع جدیدی از معادلات را خواهیم فهمید که امروز در کلاس حل آن را یاد خواهیم گرفت.

سوالات بر روی تابلو پیش بینی می شود. دانش آموزان حدس می زنند و یک کارشناس مستقل نمرات دانش آموزانی را که پاسخ می دهند در برگه نمره وارد می کند.

پس از حل جدول کلمات متقاطع، کودکان کلمه "همگن" را می خوانند.

جدول کلمات متقاطع.

اگر کلمات را درست وارد کنید، نام یکی از انواع معادلات مثلثاتی به دست می آید.

1.مقدار متغیری که معادله را درست می کند؟ (ریشه)

2.واحد زوایا؟ (رادیان)

3.فاکتور عددی در محصول؟ (ضریب)

4. شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد؟ (مثلثات)

5. چه مدل ریاضی برای معرفی توابع مثلثاتی مورد نیاز است؟ (دایره)

6. کدام تابع مثلثاتی زوج است؟ (کسینوس)

7- برابری واقعی چیست؟ (هویت)

8.برابری با یک متغیر؟ (معادله)

9. معادلاتی که ریشه های یکسانی دارند؟ (معادل)

10- یک معادله چند ریشه دارد؟ (راه حل)

IV. توضیح مطالب جدید

موضوع درس «معادلات مثلثاتی همگن» است. (ارائه)

مثال ها:

1. sin x + cos x = 0
2. √3cos x + sin x = 0
3. sin 4x = cos 4x
4. 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
5. 4 گناه 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
6. sin 2 x + 2 sin x cos x – 3cos 2 x + 2 = 0
7. 4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
8. 1 + 7cos 2 x = 3 گناه 2x
9. sin 2x + 2cos 2x = 1

V. کار مستقل

هدف: آزمون جامع دانش دانش آموزان در حل انواع معادلات مثلثاتی، تحریک دانش آموزان به تحلیل و خودکنترلی.
از دانش آموزان خواسته می شود که کار کتبی را به مدت 10 دقیقه تکمیل کنند.
دانش آموزان روی کاغذهای خالی کار می کنند تا کپی کنند. پس از گذشت زمان، سرفصل های کارهای مستقل جمع آوری می شود و راه حل ها برای کپی کردن نزد دانش آموزان باقی می ماند.
بررسی کار مستقل (3 دقیقه) با بررسی متقابل انجام می شود.
. دانش آموزان از یک خودکار رنگی برای بررسی کارهای نوشتاری همسایه خود استفاده می کنند و نام شخصی را که چک می کند یادداشت می کنند. سپس اوراق را تحویل می دهند.

سپس آن را به کارشناس مستقل تحویل می دهند.

گزینه 1: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x – 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) گناه 2x⁄sin x =0

گزینه 2: 1) cosx + √3sin x = 0

2) 2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3) 1 + گناه 2 x = 2 گناه x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. جمع بندی درس

VII. مشق شب:

تکالیف - 12 امتیاز (3 معادله 4 x 3 = 12 برای تکالیف اختصاص داده شد)

فعالیت دانش آموز – 1 پاسخ – 1 امتیاز (حداکثر 4 امتیاز)

حل معادلات 1 امتیاز

کار مستقل - 4 امتیاز

معلم: Sinitsina S.I.

مدرسه متوسطه MBOU شماره 20 به نام N.I. Milevsky

موضوع: معادلات مثلثاتی همگن (درجه 10)

اهداف: معرفی مفهوم معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II.

الگوریتمی برای حل مسائل مثلثاتی همگن فرموله و کار کنید

معادلات درجه I و II.

تقویت مهارت حل انواع معادلات مثلثاتی از طریق

توسعه و بهبود مهارت ها برای به کارگیری دانش موجود در یک اصلاح شده

موقعیت ها، از طریق توانایی نتیجه گیری و تعمیم

القای نظم و فرهنگ رفتاری در دانش آموزان.

نوع درس: درس شکل گیری دانش جدید.

تجهیزات: کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای، صفحه نمایش، برد، ارائه

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی

درود دانش آموزان، بسیج توجه.

II. به روز رسانی دانش مرجع (تکالیف قبل از کلاس توسط مشاوران بررسی می شود. معلم تکالیف را خلاصه می کند.)

معلم: ما به مطالعه موضوع "معادلات مثلثاتی" ادامه می دهیم. امروز در درس شما را با نوع دیگری از معادلات مثلثاتی و روش های حل آنها آشنا می کنیم و بنابراین آنچه را که یاد گرفته ایم تکرار می کنیم. هنگام حل انواع معادلات مثلثاتی، آنها به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی خلاصه می شوند.

کار شفاهی

1. به چه معادله ای مثلثاتی می گوییم؟
2. الگوریتم حل معادله cos t = a را نام ببرید
3. الگوریتم حل معادله sin t = a را نام ببرید

III. انگیزه یادگیری.

معلم: باید روی حل جدول کلمات متقاطع کار کنیم. پس از حل آن، نام نوع جدیدی از معادلات را خواهیم فهمید که امروز در کلاس حل آن را یاد خواهیم گرفت.

سوالات بر روی تابلو پیش بینی می شود. پس از حل جدول کلمات متقاطع، کودکان کلمه "همگن" را می خوانند.

1.مقدار متغیری که معادله را درست می کند؟ (ریشه)

2.واحد زوایا؟ (رادیان)

3. عامل عددی در محصول؟ (ضریب)

4. شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد؟ (مثلثات)

5-چه مدل ریاضی برای معرفی توابع مثلثاتی مورد نیاز است؟ (دایره)

6. کدام تابع مثلثاتی زوج است؟ (کسینوس)

7- برابری واقعی چیست؟ (هویت)

8.برابری با یک متغیر؟ (معادلات)

9. معادلاتی که ریشه های یکسانی دارند؟ (معادل)

10- یک معادله چند ریشه دارد؟ (راه حل)

IV. توضیح یک موضوع جدید

معلم: موضوع درس "معادلات مثلثاتی همگن" است.

بیایید موضوع درس را در یک دفتر یادداشت کنیم. معادلات مثلثاتی همگن درجه یک و دو هستند.

اجازه دهید تعریف یک معادله همگن درجه اول را بنویسیم. من نمونه ای از حل این نوع معادله را نشان می دهم؛ شما یک الگوریتم برای حل یک معادله مثلثاتی همگن درجه یک ایجاد می کنید.

معادله فرم a sinx + b cosx = 0معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

بیایید حل معادله را زمانی در نظر بگیریم که ضرایب a و b با 0 متفاوت باشند.

مثال 1: 2sinx - 3cosx = 0

از تقسیم هر دو طرف معادله بر ترم بر cosx، به دست می‌آید

2sinx/cosx - 3cosx/cosx = 0

2 tg ایکس-3 = 0، tg ایکس =3/2, ایکس= arctan3/2 + πn، nє Z،

توجه! فقط در صورتی می توانید بر همان عبارت تقسیم کنید که این عبارت در هیچ کجا به 0 تبدیل نشود. بیایید تجزیه و تحلیل کنیم. اگر کسینوس برابر با 0 باشد، برای اینکه کل عبارت به 0 تبدیل شود، سینوس نیز باید برابر با 0 باشد (ما در نظر می گیریم که ضرایب با 0 متفاوت است). اما می دانیم که سینوس و کسینوس در نقاط مختلف ناپدید می شوند. بنابراین در هنگام حل این نوع معادلات می توان چنین عملیاتی را انجام داد.

معادله فرم a sin mx + b cos mx = 0معادله مثلثاتی همگن درجه اول نیز نامیده می شود و با تقسیم دو طرف معادله بر cos mx نیز حل می شود.

معادله فرم a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود.

مثال2: sin 2 x – 3 sinx cosx +2 cos 2 x = 0

ضریب a با 0 متفاوت است و بنابراین مانند رابطه قبلی cosx 0 است و بنابراین می توانید از روش تقسیم دو طرف معادله بر cos 2 x استفاده کنید.

ما tg 2 x – 3 tgx +2 = 0 را دریافت می کنیم

ما با معرفی یک متغیر جدید اجازه دهید tgx = a را حل می کنیم، سپس معادله را بدست می آوریم

a 2 -3 a +2 = 0 a 1 = 1 a 2 = 2

بازگشت به جایگزینی

tgx =1، x = ¼π+ πn، nє Z tgx = 2، x = آرکتان 2 + πn، nє Z

پاسخ: x = ¼π + πn، nє Z، x = آرکتان 2 + πn، nє Z

اگر ضریب a = 0 باشد، معادله به شکل –3sinx cosx + 2cos 2 x = 0 است، آن را با خارج کردن ضریب مشترک – cosx از پرانتز حل می کنیم: – cosx (3 sinx – 2cosx) = 0،

cosx = 0 یا 3sinx – 2cosx = 0. معادله دوم یک معادله همگن درجه اول است.

اگر ضریب c = 0 باشد، معادله به شکل sin 2 x -3sinx cosx = 0 خواهد بود، آن را با خارج کردن عامل مشترک sinx از پرانتز حل می کنیم: sinx (sinx -3 cosx) = 0،

sinx = 0 یا sinx -3 cosx = 0. معادله دوم یک معادله همگن درجه اول است.

الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه دوم:

1. ببینید آیا معادله شامل عبارت a sin 2 x است یا خیر.

2. اگر عبارت asin 2 x در معادله موجود باشد (یعنی a 0)، معادله با تقسیم حل می شود.

هر دو طرف معادله در cos 2 x و متعاقباً معرفی یک متغیر جدید a = tgx

3. اگر عبارت asin 2 x در معادله موجود نباشد (یعنی a = 0)، معادله با فاکتورگیری حل می شود: cosx از براکت ها خارج می شود.

معادلات همگن فرم a sin 2 mx + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0به همین ترتیب حل شد

V. جذب دانش جدید

آیا این معادلات همگن هستند؟

1. sin x = 2 cos x
2. sin 5x + cos 5x = 0
3. sin 3x - cos 3x = 2
4. sin 2 8x – 5 sin8x cos8x +2 cos 2 8x =0

VI. دقیقه تربیت بدنی

VII. شکل گیری مهارت برای حل معادلات مثلثاتی همگن

کتابهای مسئله را باز کنید، شماره 18.10 (الف)، شماره 18.11 (الف، ب)، 18.12 (د)

VIII. کار مستقل (دانش آموزان با توجه به دو گزینه وظایف متمایز را انتخاب می کنند)

گزینه 1 گزینه 2

1) sinx + 2cosx = 0. 1) sinx - 4cosx = 0.

2) sin 2 x + 2sinx cosx -3 cos 2 x = 0 2) sin 2 x – 4 sinx cosx +3 cos 2 x = 0

3) 2sin 2 2x – 5 sin2x cos2x +2 cos 2 2x = 0 3) 3sin 2 3x +10 sin3x cos3x +3 cos 2 3x = 0

پاسخ های صحیح روی تخته نمایش داده می شود.

IX جمع بندی درس، نمره دادن

چه نوع معادلات مثلثاتی را در کلاس یاد گرفتیم؟

چه معادلاتی را همگن می نامیم؟

الگوریتم هایی برای حل معادلات مثلثاتی همگن درجه اول و دوم فرموله کنید.

X. تکالیف: 2 معادله همگن درجه یک و 1 معادله همگن درجه دو بسازید و حل کنید.