صفحه اصلی / انواع لکه های پیری/ 1 نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند. معنای فیزیکی مشتق. وظایف

1 نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند. معنای فیزیکی مشتق. وظایف

معنای فیزیکیمشتق آزمون دولتی واحد در ریاضیات شامل گروهی از مسائل برای حل است که نیاز به دانش و درک معنای فیزیکی مشتق دارد. به طور خاص، مشکلاتی وجود دارد که در آن قانون حرکت یک نقطه خاص (شیء) داده می شود، که با یک معادله بیان می شود، و لازم است سرعت آن را در لحظه معینی از زمان حرکت، یا زمانی که جسم پس از آن حرکت می کند، پیدا کند. سرعت معینی را به دست خواهد آورد.وظایف بسیار ساده هستند، آنها را می توان در یک عمل حل کرد. بنابراین:

اجازه دهید قانون حرکت یک نقطه مادی x (t) در امتداد محور مختصات داده شود، جایی که x مختصات نقطه متحرک است، t زمان است.

سرعت در لحظه معینی از زمان مشتق مختصات نسبت به زمان است. این معنای مکانیکی مشتق است.

به همین ترتیب، شتاب مشتق سرعت نسبت به زمان است:

بنابراین، معنای فیزیکی مشتق، سرعت است. این می تواند سرعت حرکت، سرعت تغییر یک فرآیند (به عنوان مثال، رشد باکتری)، سرعت کار (و غیره، بسیاری از مشکلات کاربردی وجود دارد).

علاوه بر این، شما باید جدول مشتق (شما باید آن را درست مانند جدول ضرب بدانید) و قوانین تمایز را بدانید. به طور خاص، برای حل مسائل مشخص شده، آگاهی از شش مشتق اول ضروری است (جدول را ببینید):

بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

x (t) = t 2 - 7t - 20

که در آن x t زمان بر حسب ثانیه است که از ابتدای حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن را (بر حسب متر بر ثانیه) در زمان t = 5 ثانیه بیابید.

معنای فیزیکی مشتق، سرعت (سرعت حرکت، سرعت تغییر یک فرآیند، سرعت کار و غیره) است.

بیایید قانون تغییر سرعت را پیدا کنیم: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

در t = 5 داریم:

پاسخ: 3

خودتان تصمیم بگیرید:

نقطه مادی طبق قانون x (t) = 6t 2 – 48t + 17 به صورت مستقیم حرکت می کند. x- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن را (بر حسب متر بر ثانیه) در زمان t = 9 ثانیه بیابید.

نقطه مادی طبق قانون x (t) = 0.5t به صورت مستقیم حرکت می کند 3 – 3t 2 + 2t، که در آن xتی- زمان بر حسب ثانیه از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن را (بر حسب متر در ثانیه) در زمان t = 6 ثانیه بیابید.

یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

کجا x- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر،تی- زمان بر حسب ثانیه از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن را (بر حسب متر در ثانیه) در زمان t = 3 ثانیه بیابید.

یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

که در آن x فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر است، t زمان بر حسب ثانیه است که از ابتدای حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن در چه مقطع زمانی (بر حسب ثانیه) برابر با 6 متر بر ثانیه بوده است؟

بیایید قانون تغییر سرعت را پیدا کنیم:

برای اینکه بفهمیم در چه مقطع زمانیتیسرعت 3 متر بر ثانیه بود، برای حل معادله ضروری است:

پاسخ: 3

خودتان تصمیم بگیرید:

نقطه مادی طبق قانون x (t) = t 2 - 13t + 23 به صورت مستقیم حرکت می کند، جایی که x- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن در چه مقطع زمانی (بر حسب ثانیه) برابر با 3 متر بر ثانیه بوده است؟

یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

کجا x- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن در چه مقطع زمانی (بر حسب ثانیه) برابر با 2 متر بر ثانیه بوده است؟

من می خواهم توجه داشته باشم که در آزمون یکپارچه دولتی نباید فقط روی این نوع وظایف تمرکز کنید. آنها ممکن است کاملاً غیرمنتظره مشکلاتی را مطرح کنند که برعکس موارد ارائه شده است. وقتی قانون تغییر سرعت داده می شود و سوال در مورد یافتن قانون حرکت خواهد بود.

نکته: در این مورد، شما باید انتگرال تابع سرعت را پیدا کنید (این نیز یک مشکل یک مرحله ای است). اگر می خواهید مسافت طی شده را در یک نقطه زمانی مشخص پیدا کنید، باید زمان را جایگزین معادله حاصل کنید و مسافت را محاسبه کنید. با این حال، ما نیز چنین مشکلاتی را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، آن را از دست ندهید!موفق باشید برای شما!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.

− Teacher Dumbadze V.A.
از مدرسه 162 منطقه کیروف سن پترزبورگ.

گروه VKontakte ما
اپلیکیشن های موبایل:

(کجا x تی- زمان بر حسب ثانیه از ابتدای حرکت اندازه گیری می شود). سرعت آن (بر حسب متر بر ثانیه) را در لحظه زمان پیدا کنید تی= 9 ثانیه

در تی= 9 ثانیه داریم:

چرا عدد 17 را از معادله اصلی حذف می کنیم؟

مشتق تابع اصلی را پیدا کنید.

در مشتق عدد 17 وجود ندارد

چرا مشتق را پیدا کنید؟

سرعت مشتق مختصات نسبت به زمان است.

مشکل از شما می خواهد که سرعت را پیدا کنید

x- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه از ابتدای حرکت اندازه گیری می شود). سرعت آن را در (m/s) در لحظه زمان بیابید تی= 6 ثانیه

بیایید قانون تغییر سرعت را پیدا کنیم:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16، نه 20

روال را به خاطر بسپار

از چه زمانی جمع بر تفریق ارجح است؟

ضرب بر جمع و تفریق ارجحیت دارد. مثال مدرسه بچه ها را به خاطر بسپارید: 2 + 2 · 2. بگذارید به شما یادآوری کنم که در اینجا معلوم می شود نه 8، همانطور که برخی فکر می کنند، بلکه 6 است.

شما جواب مهمان را متوجه نشدید.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

پس همه چیز درست است، خودتان حساب کنید.

2) ضرب/تقسیم (بستگی به ترتیب در معادله دارد؛ آنچه اول می آید ابتدا حل می شود).

3) جمع/تفریق (به طور مشابه به ترتیب در مثال بستگی دارد).

ضرب = تقسیم، جمع = تفریق =>

نه 54 - (36+2)، بلکه 54-36+2 = 54+2-36 = 20

اولاً برای شما - سرگئی باتکوویچ. دوم اینکه فهمیدی چی میخوای بگی و به کی؟ من شما را درک نکردم

یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند (که در آن x فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر است، t زمان بر حسب ثانیه است که از ابتدای حرکت اندازه گیری می شود). سرعت آن را در (m/s) در زمان s بیابید.

بیایید قانون تغییر سرعت را پیدا کنیم: m/s. وقتی داریم:

درس با موضوع: "قواعد تمایز" کلاس یازدهم

بخش ها:ریاضیات

نوع درس: تعمیم و نظام سازی دانش.

اهداف درس:

آموزشی:
- تعمیم و نظام مند کردن مطالب در مورد یافتن مشتق.
- قواعد تمایز را تحکیم کنید.
- اهمیت پلی تکنیک و کاربردی موضوع را به دانشجویان نشان دهد.
در حال توسعه:
- اعمال کنترل بر کسب دانش و مهارت ها؛
- توسعه و بهبود توانایی استفاده از دانش در یک موقعیت تغییر یافته؛
- توسعه فرهنگ گفتار و توانایی نتیجه گیری و تعمیم.
آموزشی:
- توسعه فرآیند شناختی؛
- القای دقت در طراحی و تصمیم به دانش آموزان.

تجهیزات:

پروژکتور سقفی، صفحه نمایش؛
کارت؛
کامپیوتر؛
جدول;
وظایف متمایز در قالب ارائه های چند رسانه ای.

I. بررسی تکالیف.

1. به گزارش های دانش آموزان در مورد نمونه هایی از استفاده از مشتقات گوش دهید.

2. نمونه هایی از استفاده از مشتقات در فیزیک، شیمی، مهندسی و سایر زمینه های پیشنهادی توسط دانشجویان را در نظر بگیرید.

II. به روز رسانی دانش.

معلم:

مشتق تابع را تعریف کنید.
به چه عملیاتی تفکیک می گویند؟
هنگام محاسبه مشتق از چه قوانین تمایزی استفاده می شود؟ (از دانشجویان تحت تعقیب دعوت به عمل می آید که به هیئت مراجعه کنند).
- مشتق از مجموع;
- مشتق کار؛
- مشتق حاوی یک عامل ثابت؛
- مشتق از ضریب;
- مشتق تابع پیچیده؛
مثال هایی از مسائل کاربردی که منجر به مفهوم مشتق می شود را بیان کنید.

تعدادی از مشکلات خاص از زمینه های مختلف علوم.

وظیفه شماره 1.بدن طبق قانون x(t) در یک خط مستقیم حرکت می کند. فرمول یافتن سرعت و شتاب جسم در زمان t را بنویسید.

وظیفه شماره 2.شعاع دایره R بر اساس قانون R = 4 + 2t 2 متفاوت است. سرعت تغییر مساحت آن را تعیین کنید Vلحظه t = 2 ثانیه. شعاع دایره بر حسب سانتی متر اندازه گیری می شود. جواب: 603 سانتی متر مربع بر ثانیه.

وظیفه شماره 3.یک نقطه مادی با جرم 5 کیلوگرم طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند

S(t) = 2t+ ، کجا اس- فاصله بر حسب متر تی- زمان در ثانیه نیروی وارد بر نقطه را در لحظه پیدا کنید t = 4 ثانیه.

پاسخ:ن.

وظیفه شماره 4.فلایویل که توسط ترمز نگه داشته شده است، به عقب می چرخد تی اسدر زاویه 3t - 0.1t 2 (rad). پیدا کردن:

الف) سرعت زاویه ای چرخش فلایویل در لحظه t = 7 با
ب) فلایویل در چه نقطه ای از زمان متوقف می شود.

پاسخ:الف) 2.86; ب) 150 ثانیه.

نمونه هایی از استفاده از مشتقات نیز می تواند شامل مشکلات یافتن باشد: ظرفیت گرمایی ویژهمواد بدن داده شده، چگالی خطی و انرژی جنبشی بدن و غیره.

III. انجام وظایف متمایز

کسانی که می خواهند وظایف سطح "A" را کامل کنند، پشت کامپیوتر می نشینند و یک تست را با یک پاسخ برنامه ریزی شده تکمیل می کنند. ( کاربرد. )

1. مقدار مشتق تابع را در نقطه x 0 = 3 بیابید.

2. مقدار مشتق تابع y = xe x را در نقطه x 0 = 1 بیابید.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. اگر f (x) = (3x 2 + 1) (3x 2 – 1) معادله f / (x) = 0 را حل کنید.

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. اگر f(x) = (x 2 + 1) (x 3 – x) f/(1) را محاسبه کنید.

5. مقدار مشتق تابع f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) را در نقطه t0 = 1 بیابید.

6. نقطه مطابق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند: S(t) = t 3 – 3t 2. فرمولی را انتخاب کنید که سرعت حرکت این نقطه را در زمان t مشخص کند.

1) t 2 - 2t;
2) 3t 2 - 3t;
3) 3t 2 - 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

کاربرد مشتقات در فیزیک، فناوری، زیست شناسی، زندگی

ارائه برای درس

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر علاقه مند هستید این کارلطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

نوع درس:یکپارچه شده است.

هدف درس:بررسی برخی از جنبه های کاربرد مشتقات در زمینه های مختلف فیزیک، شیمی و زیست شناسی.

وظایف:گسترش افق دید و فعالیت شناختیدانش آموزان، توسعه تفکر منطقیو توانایی به کارگیری دانش آنها.

پشتیبانی فنی: تخته سفید تعاملی; کامپیوتر و دیسک

I. لحظه سازمانی

II. تعیین هدف درسی

- من می خواهم درسی را با شعار الکسی نیکولاویچ کریلوف، ریاضیدان و کشتی ساز شوروی برگزار کنم: "تئوری بدون تمرین مرده یا بی فایده است، تمرین بدون نظریه غیرممکن یا مضر است."

- بیایید مفاهیم اساسی را مرور کنیم و به سوالات پاسخ دهیم:

- تعریف اصلی مشتق را به من بگویید؟
- در مورد مشتق (خواص، قضایا) چه می دانید؟
- آیا نمونه ای از مسائل استفاده از مشتقات در فیزیک، ریاضیات و زیست شناسی را می شناسید؟

بررسی تعریف اولیه مشتق و دلیل آن (پاسخ به سوال اول):

مشتق - یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات. توانایی حل مسائل با استفاده از مشتقات مستلزم دانش خوب مطالب نظری و توانایی انجام تحقیق در موقعیت های مختلف است.

بنابراین، امروز در درس، دانش به دست آمده را تثبیت و نظام‌بندی می‌کنیم، کار هر گروه را در نظر می‌گیریم و ارزیابی می‌کنیم و با استفاده از مثالی از برخی مسائل، نحوه حل مسائل دیگر را با استفاده از مشتق و نشان خواهیم داد. وظایف غیر استانداردبا استفاده از مشتقات

III. توضیح مطالب جدید

1. قدرت لحظه ای مشتق کار نسبت به زمان است:

W = lim ΔA/Δt ΔA -تغییر شغل

2. اگر جسمی حول یک محور بچرخد، زاویه چرخش تابع زمان است تی
سپس سرعت زاویه ای برابر است با:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ تی → 0

3. قدرت جریان یک مشتق است Ι = lim Δg/Δt = g′،کجا g- بار الکتریکی مثبت که در طول زمان از طریق مقطع یک هادی منتقل می شود Δt.

4. اجازه دهید ΔQ- مقدار گرمای مورد نیاز برای تغییر دما در Δtزمان، پس lim ΔQ/Δt = Q′ = C –گرمای ویژه

5. مشکل در مورد سرعت یک واکنش شیمیایی

m(t) – m(t0) –مقدار ماده ای که در طول زمان واکنش نشان می دهد t0به تی

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. m جرم ماده رادیواکتیو باشد. نرخ واپاشی رادیواکتیو: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

در شکل متمایز، قانون واپاشی رادیواکتیو به شکل زیر است: dN/dt = – λN،کجا ن- تعداد هسته هایی که زمان پوسیدگی نداشته اند تی

با ادغام این عبارت، دریافت می کنیم: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c، c = constدر t = 0تعداد هسته های رادیواکتیو N = N0، از اینجا داریم: ln N0 = const،از این رو

n N = – λt + ln N0.

با تقویت این عبارت دریافت می کنیم:

– قانون واپاشی رادیواکتیو، جایی که N0- تعداد هسته ها در یک زمان t0 = 0، N- تعداد هسته هایی که در طول زمان پوسیده نشده اند تی

7. طبق معادله انتقال حرارت نیوتن، نرخ جریان گرما dQ/dtبا مساحت پنجره S و اختلاف دما ΔT بین شیشه داخلی و خارجی نسبت مستقیم دارد و با ضخامت آن d نسبت معکوس دارد:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. پدیده انتشار فرآیند ایجاد یک توزیع تعادلی است

در مراحل تمرکز انتشار به طرفین می رود و غلظت ها را یکسان می کند.

m = D Δc/Δx c –تمرکز
m = D c x x -هماهنگ کردن، د –ضریب انتشار

9. شناخته شده بود که یک میدان الکتریکی یا بارهای الکتریکی یا یک میدان مغناطیسی را تحریک می کند که دارای یک منبع واحد است - جریان الکتریکی. جیمز کلارک ماکسول اصلاحیه ای را در قوانین الکترومغناطیس که قبل از او کشف شده بود ارائه کرد: یک میدان مغناطیسی نیز هنگام تغییر ایجاد می شود. میدان الکتریکی. یک اصلاحیه به ظاهر کوچک عواقب عظیمی داشت: یک اصلاحیه کاملاً جدید جسم فیزیکی- موج الکترومغناطیسی ماکسول با استادی، برخلاف فارادی، که وجود آن را ممکن می‌دانست، معادله میدان الکتریکی را استخراج کرد:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = ثابت t

تغییر در میدان الکتریکی باعث ظاهر می شود میدان مغناطیسیدر هر نقطه از فضا، به عبارت دیگر، سرعت تغییر میدان الکتریکی، بزرگی میدان مغناطیسی را تعیین می کند. زیر بزرگ شوک الکتریکی- میدان مغناطیسی بیشتر

IV. تلفیق مطالب آموخته شده

- من و شما مشتق و خواص آن را مطالعه کردیم. من می خواهم بیانیه فلسفی گیلبرت را بخوانم: «هر فردی دیدگاه خاصی دارد. وقتی این افق به بینهایت کوچک می شود، به یک نقطه تبدیل می شود. بعد آن شخص می گوید که این دیدگاه اوست.»
بیایید سعی کنیم دیدگاه مربوط به کاربرد مشتق را بسنجیم!

داستان "برگ"(استفاده از مشتق در زیست شناسی، فیزیک، زندگی)

بیایید سقوط را به عنوان یک حرکت ناهموار بسته به زمان در نظر بگیریم.

بنابراین: S = S(t) V = S′(t) = x′(t)، a = V′(t) = S″(t)

(بررسی نظری: معنای مکانیکی مشتق).

1. حل مسئله

مشکلات را خودتان حل کنید.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

اجازه دهید قانون دوم پورتون را بنویسیم و با در نظر گرفتن معنای مکانیکی مشتق، آن را به شکل زیر بازنویسی می کنیم: F = mV′ F = mS″

داستان فیلم "گرگ ها، گوفرها"

بیایید به معادلات برگردیم: معادلات دیفرانسیل رشد و کاهش نمایی را در نظر بگیرید: F = ma F = mV’ F = mS"
حل بسیاری از مسائل فیزیک، زیست شناسی فنی و علوم اجتماعیبه مشکل یافتن توابع کاهش می یابد f"(x) = kf(x)،برآورده کردن معادله دیفرانسیل، که در آن k = ثابت .

فرمول انسانی

یک انسان به همان اندازه که از یک ستاره کوچکتر است از یک اتم بزرگتر است:

به دنبال آن است
این فرمولی است که مکان انسان را در جهان مشخص می کند. مطابق با آن، اندازه یک فرد نشان دهنده تناسب متوسط یک ستاره و یک اتم است.

من می خواهم این درس را با کلمات لوباچفسکی به پایان برسانم: "هیچ حوزه ای از ریاضیات وجود ندارد، هر چقدر هم که انتزاعی باشد، که روزی برای پدیده های دنیای واقعی قابل استفاده نباشد."

V. حل اعداد از مجموعه:

حل مستقل مسئله در هیئت مدیره، تجزیه و تحلیل جمعی راه حل های مسئله:

№ 1 سرعت حرکت یک نقطه مادی را در پایان سومین ثانیه بیابید، اگر حرکت نقطه با معادله s = t^2 –11t + 30 به دست آید.

№ 2 نقطه طبق قانون s = 6t – t^2 به صورت مستقیم حرکت می کند. سرعت آن در چه لحظه ای خواهد بود برابر با صفر?

№ 3 دو جسم به صورت مستقیم حرکت می کنند: یکی طبق قانون s = t^3 - t^2 - 27t، دیگری طبق قانون s = t^2 + 1. لحظه ای را تعیین کنید که سرعت این اجسام برابر می شود. .

№ 4 برای خودرویی که با سرعت 30 متر بر ثانیه حرکت می کند، فاصله ترمز با فرمول s(t) = 30t-16t^2 تعیین می شود، که در آن s(t) مسافت بر حسب متر، t زمان ترمز بر حسب ثانیه است. . چقدر طول می کشد تا ماشین ترمز کند تا کاملاً متوقف شود؟ کدام فاصله خواهد رفتماشین از ابتدای ترمز گرفتن تا توقف کامل؟

№5 جسمی با جرم 8 کیلوگرم طبق قانون s = 2t^2+ 3t – 1 به صورت مستقیم حرکت می کند. انرژی جنبشیبدن (mv^2/2) 3 ثانیه پس از شروع حرکت.

راه حل: بیایید سرعت حرکت بدن را در هر لحظه از زمان پیدا کنیم:
V = ds / dt = 4t + 3
بیایید سرعت بدن را در زمان t = 3 محاسبه کنیم:
V t=3 = 4 * 3 + 3 = 15 (m/s).
اجازه دهید انرژی جنبشی بدن را در زمان t = 3 تعیین کنیم:
mv2/2 = 8 – 15^2/2 = 900 (J).

№6 انرژی جنبشی جسم را 4 ثانیه پس از شروع حرکت بیابید، اگر جرم آن 25 کیلوگرم باشد و قانون حرکت به شکل s = 3t^2-1 باشد.

№7 جسمی که جرم آن 30 کیلوگرم است طبق قانون s = 4t^2 + t به صورت مستقیم حرکت می کند. ثابت کنید که حرکت یک جسم تحت تأثیر یک نیروی ثابت رخ می دهد.
راه حل: داریم s’ = 8t + 1، s” = 8. بنابراین a(t) = 8 (m/s^2)، یعنی با این قانون حرکت، بدن با شتاب ثابت 8 m/s^2. علاوه بر این، از آنجایی که جرم بدن ثابت است (30 کیلوگرم)، پس طبق قانون دوم نیوتن، نیروی وارد بر آن F = ma = 30 * 8 = 240 (H) نیز یک مقدار ثابت است.

№8 جسمی با وزن 3 کیلوگرم طبق قانون s(t) = t^3 – 3t^2 + 2 به صورت مستقیم حرکت می کند. نیروی وارد بر جسم را در زمان t = 4s بیابید.

№9 یک نقطه مادی طبق قانون s = 2t^3 – 6t^2 + 4t حرکت می کند. شتاب آن را در پایان 3 ثانیه بیابید.

VI. کاربرد مشتق در ریاضیات:

مشتق در ریاضیات نشان می دهد بیان عددیدرجه تغییر یک کمیت واقع در یک نقطه تحت تأثیر شرایط مختلف.

فرمول مشتق به قرن 15 برمی گردد. تارتگلی، ریاضیدان بزرگ ایتالیایی، با در نظر گرفتن و توسعه این سوال که برد پرتابه تا چه اندازه به تمایل تفنگ بستگی دارد، آن را در آثار خود به کار می برد.

فرمول مشتق اغلب در آثار یافت می شود ریاضیدانان معروفقرن هفدهم. نیوتن و لایب نیتس از آن استفاده کردند.

یک رساله کامل در مورد نقش مشتقات در ریاضیات را به معروف تقدیم می کند دانشمند گالیلهگالیله سپس مشتقات و ارائه های مختلف با کاربرد آن در آثار دکارت، ریاضیدان فرانسوی روبروال و گریگوری انگلیسی یافت شد. کمک های بزرگی به مطالعه مشتق توسط ذهن هایی مانند L'Hopital، Bernoulli، Langrange و دیگران انجام شد.

1. یک نمودار رسم کنید و تابع را بررسی کنید:

راه حل این مشکل:

یک لحظه آرامش

VII. کاربرد مشتق در فیزیک:

هنگام مطالعه فرآیندها و پدیده های خاص، وظیفه تعیین سرعت این فرآیندها اغلب مطرح می شود. حل آن منجر به مفهوم مشتق می شود که مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل است.

روش حساب دیفرانسیل در قرن 17 و 18 ایجاد شد. نام دو ریاضیدان بزرگ - I. Newton و G.V - با ظهور این روش مرتبط است. لایب نیتس.

نیوتن هنگام حل مسائل مربوط به سرعت حرکت یک نقطه مادی به کشف حساب دیفرانسیل رسید. در حال حاضرزمان (سرعت لحظه ای).

در فیزیک، مشتق عمدتاً برای محاسبه بزرگترین یا استفاده می شود پایین ترین مقادیرهر مقدار

№1 انرژی بالقوه Uمیدان ذره ای که در آن ذره ای دیگر وجود دارد، دقیقاً همان ذره به شکل زیر است: U = a/r 2 - b/r، کجا الفو ب- ثابت های مثبت، r- فاصله بین ذرات پیدا کنید: الف) ارزش r0مربوط به موقعیت تعادلی ذره؛ ب) دریابید که آیا این وضعیت پایدار است یا خیر. V) Fmaxارزش نیروی جاذبه؛ د) نمودارهای وابستگی تقریبی را رسم کنید U(r)و F(r).

راه حل این مشکل: برای تعیین r0مطابق با موقعیت تعادل ذره ای که مطالعه می کنیم f = U(r)به شدت.

استفاده از ارتباط بین انرژی پتانسیل میدان

Uو اف، سپس F = – dU/dr، دریافت می کنیم F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; در همان زمان r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; تعادل پایدار یا ناپایدار را با علامت مشتق دوم تعیین می کنیم:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + μt ) 2

زمانی را در نظر بگیرید که ماسه از یک سکوی پر شده بیرون می ریزد.
تغییر در حرکت در یک دوره زمانی کوتاه:
Δ p = (M - µ(t + Δ t)) (u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ تی
ترم Δ µtuضربه مقدار ماسه ای است که در طول زمان Δ از سکو ریخته شده است تیسپس:
Δ p = MΔ u – μtΔ تو – Δ µtΔ u = FΔ تی
تقسیم بر Δ تیو به سمت حد Δ حرکت کنید تی → 0
(M – μt)du/dt = F
یا a1= du/dt= F/(M – µt)

پاسخ: a = FM / (M + µt) 2، a1 = F/(M - µt)

هشتم. کار مستقل:

مشتقات توابع را پیدا کنید:

خط y = 2x بر تابع مماس است: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. آبسیسا نقطه مماس را پیدا کنید.

IX. جمع بندی درس:

- درس به چه سوالاتی اختصاص داشت؟
- در درس چه چیزی یاد گرفتید؟
- چه حقایق نظری در درس خلاصه شد؟
- کدام وظایف در نظر گرفته شده دشوارترین بودند؟ چرا؟

مراجع:

Amelkin V.V., Sadovsky A.P.مدل های ریاضی و معادلات دیفرانسیل. – مینسک: مدرسه عالی، 1982. – 272 ص.
Amelkin V.V.معادلات دیفرانسیل در کاربردها م.: علم. تحریریه اصلی ادبیات فیزیکی و ریاضی، 1987. – 160 ص.
اروگین N.P.کتابی برای مطالعه درس عمومی معادلات دیفرانسیل. – Minsk: Science and Technology, 1979. – 744 p.
.مجله «پتانسیل» آبان ۱۳۸۶ شماره ۱۱
جبر و آغاز تحلیل یازدهم س.م. نیکولسکی، M.K. پوتاپوف و دیگران.
"جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی" N.Ya. ویلنکین و همکاران
"ریاضیات" V.T. لیسیچکین، آی.ال. سولوویچیک، 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

معنای فیزیکی مشتق. وظایف!

معنای فیزیکی مشتق. آزمون دولتی واحد در ریاضیات شامل گروهی از مسائل برای حل است که نیاز به دانش و درک معنای فیزیکی مشتق دارد. به طور خاص، مشکلاتی وجود دارد که در آن قانون حرکت یک نقطه خاص (شیء) داده می شود، که با یک معادله بیان می شود، و لازم است سرعت آن را در لحظه معینی از زمان حرکت، یا زمانی که جسم پس از آن حرکت می کند، پیدا کند. سرعت معینی را به دست خواهد آورد. وظایف بسیار ساده هستند، آنها را می توان در یک عمل حل کرد. بنابراین:

سرعت در لحظه معینی از زمان مشتق مختصات نسبت به زمان است. این معنای مکانیکی مشتق است.

به همین ترتیب، شتاب مشتق سرعت نسبت به زمان است:

x (t) = t 2 - 7t - 20

که در آن x فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر است، t زمان بر حسب ثانیه است که از ابتدای حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن را (بر حسب متر بر ثانیه) در زمان t = 5 ثانیه بیابید.

معنای فیزیکی مشتق، سرعت (سرعت حرکت، سرعت تغییر یک فرآیند، سرعت کار و غیره) است.

بیایید قانون تغییر سرعت را پیدا کنیم: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

نقطه مادی طبق قانون x (t) = 0.5t 3 – 3t 2 + 2t به صورت مستقیم حرکت می کند. x- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن را (بر حسب متر در ثانیه) در زمان t = 6 ثانیه بیابید.

یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

کجا x- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن را (بر حسب متر در ثانیه) در زمان t = 3 ثانیه بیابید.

یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

بیایید قانون تغییر سرعت را پیدا کنیم:

برای اینکه بفهمیم در چه مقطع زمانی تیسرعت 3 متر بر ثانیه بود، برای حل معادله ضروری است:

یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

نکته: در این مورد، شما باید انتگرال تابع سرعت را پیدا کنید (این نیز یک کار یک مرحله ای است). اگر می خواهید مسافت طی شده را در یک نقطه زمانی مشخص پیدا کنید، باید زمان را جایگزین معادله حاصل کنید و مسافت را محاسبه کنید. با این حال، ما نیز چنین مشکلاتی را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، آن را از دست ندهید! موفق باشید برای شما!

matematikalegko.ru

جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی، کلاس یازدهم (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

شماره صفحه 094.

کتاب درسی:

نسخه OCR صفحه از کتاب درسی (متن صفحه واقع در بالا):

از مشکلاتی که در ابتدای این بند در نظر گرفته شده است، عبارات زیر صادق است:

1. اگر در حین حرکت مستقیم، مسیر s که توسط یک نقطه طی می شود تابعی از زمان t باشد، یعنی s = f(t)، آنگاه سرعت نقطه مشتق مسیر نسبت به زمان است، یعنی v( t) =

این واقعیت معنای مکانیکی مشتق را بیان می کند.

2. اگر در نقطه x 0 مماس بر نمودار تابع y = f (jc) رسم شود، عدد f"(xo) مماس زاویه a بین این مماس و جهت مثبت محور Ox است. ، یعنی /"(x 0) =

Tga. این زاویه را زاویه مماس می نامند.

این واقعیت را بیان می کند معنای هندسیمشتق

مثال 3. بیایید مماس زاویه میل مماس بر نمودار تابع y = 0.5jc 2 - 2x + 4 را در نقطه با آبسیسا x = 0 پیدا کنیم.

بیایید مشتق تابع f(x) = 0.5jc 2 - 2x + 4 را در هر نقطه x با استفاده از برابری (2) پیدا کنیم:

0.5 2 x - 2 = jc - 2.

بیایید مقدار این مشتق را در نقطه x = 0 محاسبه کنیم:

بنابراین tga = -2. نمودار x تابع y = /(jc) و مماس بر نمودار آن در نقطه با ابسیسا jc = 0 در شکل 95 نشان داده شده است.

4.1 اجازه دهید نقطه طبق قانون s = t 2 به صورت مستقیم حرکت کند. پیدا کردن:

الف) افزایش زمان D£ در بازه زمانی از t x = 1 تا £ 2 - 2.

ب) افزایش مسیر در طول دوره زمانی از t x = 1 تا t 2 = 2.

V) سرعت متوسطدر بازه زمانی از t x = 1 تا t 2 = 2.

4.2 در کار 4.1 پیدا کنید:

ب) سرعت متوسط در بازه زمانی از t تا t + At.

ج) سرعت لحظه ای در زمان t.

د) سرعت لحظه ای در زمان t = 1.

4.3 بگذارید نقطه طبق قانون به صورت مستقیم حرکت کند:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

الف) افزایش مسیر در طول دوره زمانی از t به t + At.

کتاب درسی:جبر و آغاز تحلیل ریاضی. پایه یازدهم: آموزشی. برای آموزش عمومی موسسات: پایه و مشخصات. سطوح / [S. M. Nikolsky، M. K. Potapov، N. N. Reshetnikov، A. V. Shevkin]. - ویرایش هشتم - م.: آموزش و پرورش، 1388. - 464 ص: بد.

نقطه طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند S = t 4 + 2t (S -در متر، t-در ثانیه). شتاب متوسط آن را در فاصله بین لحظه ها بیابید t 1 = 5 s، t 2 = 7 sو همچنین شتاب واقعی آن در حال حاضر تی 3 = 6 ثانیه

راه حل.

1. سرعت نقطه را به عنوان مشتق مسیر S نسبت به زمان بیابید تی،آن ها

2. با جایگزینی t به جای t مقادیر آن t 1 = 5 s و t 2 = 7 s، سرعت ها را پیدا می کنیم:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. افزایش سرعت ΔV را برای زمان Δt = 7 - 5 = 2 ثانیه تعیین کنید:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 متر بر ثانیه.

4. بدین ترتیب میانگین شتاب نقطه برابر خواهد بود

5. برای تعیین معنی واقعیبا شتاب یک نقطه، مشتق سرعت را نسبت به زمان می گیریم:

6. جایگزین کردن به جای تیمقدار t 3 = 6 s، در این نقطه از زمان شتاب می گیریم

a av =12-6 3 =432 m/s 2 .

حرکت منحنی.در طول حرکت منحنی، سرعت یک نقطه در قدر و جهت تغییر می کند.

بیایید یک نکته را تصور کنیم م،که در طول زمان Δt با حرکت در امتداد مسیر منحنی خطی به سمت موقعیت حرکت کرد M 1(شکل 6).

بردار افزایش (تغییر) سرعت ΔV خواهد شد

برای برای پیدا کردن بردار ΔV، بردار V 1 را به نقطه منتقل کنید مو یک مثلث سرعت بسازید. بیایید بردار شتاب متوسط را تعیین کنیم:

بردار یک چهارشنبهموازی با بردار ΔV است، زیرا تقسیم بردار بر یک کمیت اسکالر جهت بردار را تغییر نمی دهد. بردار شتاب واقعی حدی است که نسبت بردار سرعت به بازه زمانی مربوطه Δt به صفر میل می کند، یعنی.

این حد مشتق بردار نامیده می شود.

بنابراین، شتاب واقعی یک نقطه در حین حرکت منحنی برابر با مشتق بردار نسبت به سرعت است.

از شکل 6 واضح است که بردار شتاب در طول حرکت منحنی همیشه به سمت تقعر مسیر هدایت می شود.

برای راحتی محاسبات، شتاب به دو جزء برای مسیر حرکت تجزیه می شود: در امتداد یک مماس، به نام شتاب مماسی (مماسی) الفو در امتداد نرمال، شتاب نرمال a n نامیده می شود (شکل 7).

در این حالت شتاب کل برابر خواهد بود

شتاب مماسی در جهت با سرعت نقطه منطبق یا مخالف آن است. این تغییر در سرعت را مشخص می کند و بر این اساس با فرمول تعیین می شود

شتاب معمولی عمود بر جهت سرعت نقطه است و مقدار عددی آن با فرمول تعیین می شود.

جایی که r - شعاع انحنای مسیر در نقطه مورد نظر.

از آنجایی که شتاب های مماسی و نرمال بر یکدیگر عمود هستند، بنابراین مقدار شتاب کل با فرمول تعیین می شود.

و جهت آن

اگر ، سپس بردارهای شتاب و سرعت مماسی در یک جهت هدایت می شوند و حرکت شتاب می گیرد.

اگر ، سپس بردار شتاب مماسی در جهت مخالف بردار سرعت هدایت می شود و حرکت کند خواهد بود.

بردار شتاب معمولی همیشه به سمت مرکز انحنا است و به همین دلیل است که به آن مرکز محور می گویند.

1 نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند. معنای فیزیکی مشتق. وظایف

درس با موضوع: "قواعد تمایز" کلاس یازدهم

کاربرد مشتقات در فیزیک، فناوری، زیست شناسی، زندگی

ارائه برای درس

معنای فیزیکی مشتق. وظایف!

جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی، کلاس یازدهم (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

شماره صفحه 094.

نسخه OCR صفحه از کتاب درسی (متن صفحه واقع در بالا):

بازیابی رمز عبور