نحوه پیدا کردن مشتق تابع مختلط مشتق تابع مختلط نمونه هایی از راه حل ها

در این مقاله در مورد چنین مفهوم مهم ریاضی مانند یک تابع پیچیده صحبت خواهیم کرد و نحوه یافتن مشتق را یاد خواهیم گرفت. تابع پیچیده.

قبل از یادگیری یافتن مشتق یک تابع پیچیده، بیایید مفهوم تابع پیچیده، چیستی آن، "با چه چیزی خورده می شود" و "چگونه آن را درست بپزیم" را درک کنیم.

یک تابع دلخواه را در نظر بگیرید، برای مثال، این یکی:

توجه داشته باشید که آرگومان سمت راست و چپ معادله تابع همان عدد یا عبارت است.

به جای متغیر، می‌توانیم برای مثال عبارت زیر را قرار دهیم: و سپس تابع را دریافت می کنیم

بیایید عبارت را آرگومان میانی و تابع را تابع بیرونی بنامیم. اینها مفاهیم دقیق ریاضی نیستند، اما به درک معنای مفهوم یک تابع پیچیده کمک می کنند.

یک تعریف دقیق از مفهوم تابع پیچیده به این صورت است:

اجازه دهید یک تابع روی یک مجموعه تعریف شود و مجموعه مقادیر این تابع باشد. بگذارید مجموعه (یا زیر مجموعه آن) حوزه تعریف تابع باشد. بیایید به هر یک از آنها یک عدد اختصاص دهیم. بنابراین، تابع در مجموعه تعریف می شود. به آن ترکیب تابع یا تابع پیچیده می گویند.

در این تعریف، اگر از اصطلاحات خود استفاده کنیم، یک تابع خارجی یک آرگومان میانی است.

مشتق تابع مختلط طبق قانون زیر یافت می شود:

برای روشن تر شدن موضوع، می خواهم این قانون را به صورت زیر بنویسم:

در این عبارت استفاده از تابع میانی را نشان می دهد.

بنابراین. برای پیدا کردن مشتق یک تابع پیچیده، شما نیاز دارید

1. مشخص کنید کدام تابع خارجی است و مشتق مربوطه را از جدول مشتقات بیابید.

2. یک آرگومان میانی تعریف کنید.

در این روش، بزرگترین مشکل یافتن عملکرد خارجی است. برای این کار از یک الگوریتم ساده استفاده می شود:

آ. معادله تابع را بنویسید.

ب تصور کنید که باید مقدار یک تابع را برای مقداری x محاسبه کنید. برای انجام این کار، این مقدار x را در معادله تابع قرار داده و تولید کنید عملیات حسابی. آخرین اقدامی که انجام می دهید عملکرد خارجی است.

به عنوان مثال، در تابع

آخرین اقدام توانمندسازی است.

بیایید مشتق این تابع را پیدا کنیم. برای این کار یک آرگومان میانی می نویسیم

سطح اول

مشتق یک تابع راهنمای جامع (2019)

بیایید یک جاده مستقیم را تصور کنیم که از یک منطقه تپه ای عبور می کند. یعنی بالا و پایین می رود اما به راست و چپ نمی پیچد. اگر محور به صورت افقی در امتداد جاده و به صورت عمودی هدایت شود، خط جاده بسیار شبیه به نمودار یک تابع پیوسته خواهد بود:

محور سطح معینی از ارتفاع صفر است؛ در زندگی ما از سطح دریا به عنوان آن استفاده می کنیم.

همانطور که در طول چنین جاده ای به جلو حرکت می کنیم، به سمت بالا یا پایین نیز حرکت می کنیم. همچنین می‌توان گفت: وقتی آرگومان تغییر می‌کند (حرکت در امتداد محور آبسیسا)، مقدار تابع تغییر می‌کند (حرکت در امتداد محور مختصات). حالا بیایید در مورد چگونگی تعیین "شیب" جاده خود فکر کنیم؟ این چه نوع ارزشی می تواند باشد؟ خیلی ساده است: با حرکت به سمت جلو در یک مسافت مشخص، ارتفاع چقدر تغییر می کند. در واقع، در بخش‌های مختلف جاده، با حرکت به سمت جلو (در امتداد محور x) به اندازه یک کیلومتر، صعود یا سقوط خواهیم کرد. مقادیر مختلفمتر نسبت به سطح دریا (در امتداد محور اردینات).

بیایید پیشرفت را نشان دهیم («دلتا x» را بخوانید).

حرف یونانی (دلتا) معمولاً در ریاضیات به عنوان پیشوند به معنای "تغییر" استفاده می شود. یعنی - این یک تغییر در کمیت است - یک تغییر. پس آن چیست؟ درست است، یک تغییر در بزرگی.

مهم: یک عبارت یک کل واحد، یک متغیر است. هرگز "دلتا" را از "x" یا هر حرف دیگری جدا نکنید! یعنی مثلا .

بنابراین، ما به صورت افقی به جلو حرکت کرده ایم. اگر خط جاده را با نمودار تابع مقایسه کنیم، چگونه خیز را نشان می دهیم؟ قطعا، . یعنی هرچه جلو می رویم بالاتر می رویم.

محاسبه مقدار آسان است: اگر در ابتدا در یک ارتفاع بودیم و پس از حرکت خود را در ارتفاع یافتیم، پس. اگر نقطه پایان پایین تر از نقطه شروع باشد، منفی خواهد بود - این بدان معنی است که ما صعودی نیستیم، بلکه در حال نزول هستیم.

بیایید به "شیب" برگردیم: این مقداری است که نشان می دهد هنگام حرکت یک واحد فاصله به جلو، ارتفاع چقدر (تند) افزایش می یابد:

فرض کنید در بخشی از جاده، وقتی یک کیلومتر به جلو می روید، جاده یک کیلومتر بالا می رود. سپس شیب در این مکان برابر است. و اگر جاده در حالی که با متر جلو می رود، کیلومتر کاهش یافته است؟ سپس شیب برابر است.

حالا بیایید به بالای یک تپه نگاه کنیم. اگر ابتدای قطعه را نیم کیلومتر قبل از قله و انتهای آن را نیم کیلومتر بعد از آن طی کنید، می بینید که ارتفاع تقریباً یکسان است.

یعنی طبق منطق ما معلوم می شود که شیب اینجا تقریباً برابر با صفر است که به وضوح درست نیست. فقط در فاصله کیلومتری خیلی چیزها می توانند تغییر کنند. برای ارزیابی مناسب تر و دقیق تر از شیب، لازم است مناطق کوچکتری در نظر گرفته شود. به عنوان مثال، اگر تغییر ارتفاع را با یک متر حرکت اندازه گیری کنید، نتیجه بسیار دقیق تر خواهد بود. اما حتی این دقت ممکن است برای ما کافی نباشد - بالاخره اگر یک تیر در وسط جاده وجود داشته باشد، می توانیم به سادگی از آن عبور کنیم. آن وقت چه فاصله ای را انتخاب کنیم؟ سانتی متر؟ میلی متر؟ کمتر بهتر است!

که در زندگی واقعیاندازه گیری فاصله تا نزدیکترین میلی متر بیش از حد کافی است. اما ریاضیدانان همیشه برای کمال تلاش می کنند. بنابراین، این مفهوم ابداع شد بی نهایت کوچکیعنی قدر مطلق از هر عددی که بتوانیم نام ببریم کمتر است. مثلا می گویید: یک تریلیونم! چقدر کمتر؟ و این عدد را تقسیم بر - و حتی کمتر خواهد شد. و غیره. اگر بخواهیم بنویسیم که یک کمیت بی نهایت کوچک است، به این صورت می نویسیم: (می خوانیم x تمایل به صفر دارد). درک آن بسیار مهم است که این عدد صفر نیست!ولی خیلی بهش نزدیکه این به این معنی است که شما می توانید بر آن تقسیم کنید.

مفهوم مخالف بینهایت کوچک بی نهایت بزرگ است (). احتمالاً زمانی که روی نابرابری‌ها کار می‌کردید با آن برخورد کرده‌اید: این عدد مدول‌هایی بزرگ‌تر از هر عددی است که فکرش را بکنید. اگر به بزرگترین عدد ممکن رسیدید، کافی است آن را در دو ضرب کنید و یک عدد حتی بزرگتر به دست خواهید آورد. و بی نهایت هنوز علاوه بر اینچه اتفاقی خواهد افتاد. در واقع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک معکوس یکدیگر هستند یعنی at و بالعکس: در.

حالا بیایید به جاده خود برگردیم. شیب محاسبه‌شده ایده‌آل، شیبی است که برای یک بخش بی‌نهایت کوچک از مسیر محاسبه می‌شود، یعنی:

توجه می کنم که با جابجایی بینهایت کوچک، تغییر ارتفاع نیز بی نهایت کوچک خواهد بود. اما اجازه دهید یادآوری کنم که بی نهایت به این معنا نیست برابر با صفر. اگر اعداد بینهایت کوچک را بر یکدیگر تقسیم کنید، می توانید یک عدد کاملا معمولی به دست آورید، به عنوان مثال، . یعنی یک مقدار کوچک می تواند دقیقاً چند برابر بزرگتر از مقدار دیگر باشد.

این همه برای چیست؟ جاده، شیب زیاد... ما در رالی اتومبیلرانی نمی رویم، اما در حال آموزش ریاضیات هستیم. و در ریاضیات همه چیز دقیقاً یکسان است، فقط متفاوت نامیده می شود.

مفهوم مشتق

مشتق تابع نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان است.

به صورت فزایندهدر ریاضیات به آن تغییر می گویند. میزان تغییر آرگومان () در حین حرکت در امتداد محور نامیده می شود افزایش آرگومانچقدر تابع (ارتفاع) هنگام حرکت به سمت جلو در امتداد محور با فاصله تغییر کرده است. افزایش تابعو تعیین شده است.

بنابراین، مشتق یک تابع نسبت به زمانی است. مشتق را با همان حرف تابع، فقط با علامت اول در بالا سمت راست نشان می دهیم: یا به سادگی. بنابراین، بیایید فرمول مشتق را با استفاده از این نمادها بنویسیم:

همانطور که در قیاس با جاده، در اینجا وقتی تابع افزایش می یابد، مشتق مثبت است و زمانی که کاهش می یابد، منفی است.

آیا مشتق برابر با صفر است؟ قطعا. به عنوان مثال، اگر در یک جاده افقی صاف رانندگی کنیم، شیب صفر است. و درست است، ارتفاع به هیچ وجه تغییر نمی کند. در مورد مشتق نیز همینطور است: مشتق تابع ثابت (ثابت) برابر با صفر است:

زیرا افزایش چنین تابعی برابر با صفر برای هر کدام است.

بیایید مثال بالای تپه را به یاد بیاوریم. معلوم شد که می توان انتهای بخش را در طرفین مخالف راس به گونه ای مرتب کرد که ارتفاع در انتها یکسان شود، یعنی قطعه موازی با محور باشد:

اما بخش های بزرگ نشانه ای از اندازه گیری نادرست است. قطعه خود را به موازات خودش بالا می بریم، سپس طول آن کاهش می یابد.

در نهایت، زمانی که ما بی نهایت به بالا نزدیک می شویم، طول قطعه بی نهایت کوچک می شود. اما در عین حال موازی با محور باقی مانده است، یعنی اختلاف ارتفاع در انتهای آن برابر با صفر است (به سمت آن تمایل ندارد، بلکه برابر است). پس مشتق

این را می‌توان به این صورت درک کرد: وقتی در بالاترین نقطه ایستاده‌ایم، یک جابجایی کوچک به چپ یا راست قد ما را به طرز چشمگیری تغییر می‌دهد.

یک توضیح کاملاً جبری نیز وجود دارد: در سمت چپ راس تابع افزایش می یابد و در سمت راست کاهش می یابد. همانطور که قبلا متوجه شدیم، هنگامی که یک تابع افزایش می یابد، مشتق مثبت است و زمانی که کاهش می یابد، منفی است. اما به آرامی و بدون پرش تغییر می کند (زیرا جاده در هیچ کجا شیب خود را به شدت تغییر نمی دهد). بنابراین بین منفی و ارزش های مثبتقطعا باید وجود داشته باشد جایی خواهد بود که تابع نه افزایش می یابد و نه کاهش می یابد - در نقطه راس.

همین امر در مورد فرود نیز صادق است (ناحیه ای که تابع سمت چپ کاهش می یابد و در سمت راست افزایش می یابد):

کمی بیشتر در مورد افزایش.

بنابراین استدلال را به قدر تغییر می دهیم. از چه مقداری تغییر می کنیم؟ اکنون (برهان) چه شده است؟ ما می‌توانیم هر نقطه‌ای را انتخاب کنیم، و حالا از آن می‌رقصیم.

نقطه ای را با مختصات در نظر بگیرید. مقدار تابع در آن برابر است. سپس همان افزایش را انجام می دهیم: مختصات را افزایش می دهیم. حالا بحث چیست؟ بسیار آسان: . حالا ارزش تابع چقدر است؟ جایی که آرگومان می رود، تابع: . در مورد افزایش تابع چطور؟ چیز جدیدی نیست: این مقداری است که تابع تغییر کرده است:

تمرین یافتن افزایش ها:

1. افزایش تابع را در نقطه ای پیدا کنید که افزایش آرگومان برابر است.
2. همین امر در مورد تابع در یک نقطه نیز صدق می کند.

راه حل ها:

در نقاط مختلف با افزایش آرگومان یکسان، افزایش تابع متفاوت خواهد بود. این بدان معنی است که مشتق در هر نقطه متفاوت است (ما در همان ابتدا در مورد آن بحث کردیم - شیب جاده در نقاط مختلف متفاوت است). بنابراین، وقتی مشتق می نویسیم، باید مشخص کنیم که در چه نقطه ای:

تابع توان.

تابع قدرت تابعی است که در آن آرگومان تا حدی است (منطقی، درست است؟).

علاوه بر این - به هر میزان: .

ساده ترین حالت زمانی است که توان به صورت زیر باشد:

بیایید مشتق آن را در یک نقطه پیدا کنیم. بیایید تعریف مشتق را به یاد بیاوریم:

بنابراین استدلال از به تغییر می کند. افزایش تابع چقدر است؟

افزایش این است. اما یک تابع در هر نقطه با آرگومان آن برابر است. از همین رو:

مشتق برابر است با:

مشتق برابر است با:

ب) اکنون در نظر بگیرید تابع درجه دوم (): .

حالا بیایید آن را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ارزش افزایش را می توان نادیده گرفت، زیرا بی نهایت کوچک است، و بنابراین در پس زمینه اصطلاح دیگر ناچیز است:

بنابراین، ما به یک قانون دیگر رسیدیم:

ج) سری منطقی را ادامه می دهیم: .

این عبارت را می توان به روش های مختلفی ساده کرد: اولین براکت را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری مکعب حاصل از مجموع باز کنید یا کل عبارت را با استفاده از فرمول تفاوت مکعب ها فاکتور کنید. سعی کنید خودتان این کار را با استفاده از هر یک از روش های پیشنهادی انجام دهید.

بنابراین، من موارد زیر را دریافت کردم:

و دوباره این را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ما می توانیم از تمام اصطلاحات حاوی:

ما گرفتیم: .

د) قوانین مشابهی را می توان برای قدرت های بزرگ به دست آورد:

ه) معلوم می شود که این قانون را می توان برای یک تابع توان با یک توان دلخواه تعمیم داد، نه حتی یک عدد صحیح:

(2)

این قاعده را می توان اینگونه فرموله کرد: "درجه به عنوان یک ضریب به جلو آورده می شود و سپس کاهش می یابد."

این قاعده را بعداً (تقریباً در پایان) اثبات خواهیم کرد. حال بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. مشتق توابع را پیدا کنید:

1. (به دو صورت: با فرمول و با استفاده از تعریف مشتق - با محاسبه افزایش تابع).

1. . شما آن را باور نمی کنید، اما این تابع توان. اگر سوالی دارید مانند "این چطور است؟ مدرک کجاست؟»، موضوع «» را به خاطر بسپارید!
   بله، بله، ریشه هم درجه است، فقط کسری: .
   این بدان معنی است که جذر ما فقط یک توان با یک توان است:
   .
   با استفاده از فرمول اخیراً آموخته شده به دنبال مشتق می گردیم:

   اگر در این مرحله دوباره نامشخص شد، موضوع "" را تکرار کنید!!! (در مورد یک درجه با توان منفی)

2. . حال توان:

   و اکنون از طریق تعریف (آیا هنوز فراموش کرده اید؟):
   ;
   .
   اکنون، طبق معمول، از اصطلاحی که شامل:
   .

3. . ترکیب موارد قبلی: .

توابع مثلثاتی

در اینجا ما از یک واقعیت از ریاضیات عالی استفاده خواهیم کرد:

با بیان.

شما مدرک را در سال اول موسسه یاد خواهید گرفت (و برای رسیدن به آنجا، باید آزمون یکپارچه دولتی را به خوبی پشت سر بگذارید). حالا من فقط آن را به صورت گرافیکی نشان می دهم:

می بینیم که وقتی تابع وجود ندارد - نقطه روی نمودار قطع می شود. اما هرچه به مقدار نزدیکتر باشد، تابع به آن نزدیکتر است. این همان چیزی است که "هدف" دارد.

علاوه بر این، می توانید این قانون را با استفاده از یک ماشین حساب بررسی کنید. بله، بله، خجالتی نباشید، یک ماشین حساب بگیرید، ما هنوز در آزمون یکپارچه دولتی نیستیم.

بنابراین، بیایید سعی کنیم: ;

فراموش نکنید که ماشین حساب خود را به حالت Radians تغییر دهید!

و غیره. می بینیم که هر چه کوچکتر باشد، مقدار نسبت به آن نزدیکتر است.

الف) تابع را در نظر بگیرید. طبق معمول، بیایید افزایش آن را پیدا کنیم:

بیایید اختلاف سینوس ها را به محصول تبدیل کنیم. برای این کار از فرمول استفاده می کنیم (موضوع “” را به خاطر بسپارید): .

حال مشتق:

بیایید جایگزین کنیم: . سپس برای بینهایت کوچک نیز بی نهایت کوچک است: . عبارت for به شکل زیر است:

و اکنون ما آن را با بیان به یاد می آوریم. و همچنین، اگر بتوان یک کمیت بی نهایت کوچک را در مجموع (یعنی در) نادیده گرفت چه می شود.

بنابراین، قانون زیر را دریافت می کنیم: مشتق سینوس برابر با کسینوس است:

اینها مشتقات اساسی ("جدولی") هستند. در اینجا آنها در یک لیست قرار دارند:

بعداً چند مورد دیگر را به آنها اضافه خواهیم کرد، اما اینها مهمترین آنها هستند، زیرا بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند.

تمرین:

1. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.
2. مشتق تابع را بیابید.

راه حل ها:

1. ابتدا بیایید مشتق در را پیدا کنیم نمای کلیو سپس مقدار آن را جایگزین کنید:
   ;
   .
2. در اینجا ما چیزی شبیه به یک تابع قدرت داریم. بیایید سعی کنیم او را به خود بیاوریم
   نمای عادی:
   .
   عالی، حالا می توانید از فرمول استفاده کنید:
   .
   .
3. . اییییییی….. این چیه؟؟؟؟

خوب، حق با شماست، ما هنوز نمی دانیم چگونه چنین مشتقاتی را پیدا کنیم. در اینجا ما ترکیبی از چندین نوع توابع را داریم. برای کار با آنها، باید چند قانون دیگر را یاد بگیرید:

توان و لگاریتم طبیعی.

تابعی در ریاضیات وجود دارد که مشتق آن برای هر مقدار با مقدار خود تابع در همان زمان برابر است. به آن "نما" می گویند و یک تابع نمایی است

اساس این تابع یک ثابت است - بی نهایت است اعشاری، یعنی عدد غیر منطقی (مانند). به آن "عدد اویلر" می گویند، به همین دلیل است که با یک حرف نشان داده می شود.

بنابراین، قانون:

خیلی راحت به خاطر سپردن

خوب، بیایید دور نرویم، بیایید فوراً به آن نگاه کنیم تابع معکوس. کدام تابع معکوس تابع نمایی است؟ لگاریتم:

در مورد ما، پایه عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

با چه چیزی برابر است؟ البته، .

مشتق از لگاریتم طبیعیهمچنین بسیار ساده:

مثال ها:

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: لگاریتم نمایی و طبیعی از دیدگاه مشتق، توابع ساده منحصر به فردی هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چی؟ بازم یه ترم جدید دیگه؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

همین. این فرآیند را در یک کلمه چه چیز دیگری می‌توان نامید؟ نه مشتق... ریاضیدانان دیفرانسیل را همان افزایش یک تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید آن را ثابت کنیم. بگذارید باشد یا ساده تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

1. در یک نقطه؛
2. در یک نقطه؛
3. در یک نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا این تابع خطی، یاد آوردن؟)؛

مشتق محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: بیایید یک تابع جدید معرفی کنیم و افزایش آن را پیدا کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و
2. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط نماها (آیا هنوز فراموش کرده اید که چیست؟).

بنابراین، برخی از شماره ها کجاست.

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید کاهش دهیم:

برای این ما استفاده خواهیم کرد قانون ساده: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق یک توان است: همانطور که بود، ثابت می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی دیگر نمی توان آن را یادداشت کرد. به شکل ساده. لذا در جواب به این شکل می گذاریم.

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک لگاریتم دلخواه با پایه متفاوت، به عنوان مثال:

باید این لگاریتم را به پایه کاهش دهیم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر داشته باشید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج به سادگی یک ثابت است (عددی ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده به دست می آید:

مشتقات نمایی و توابع لگاریتمیتقریباً هرگز در آزمون یکپارچه ایالت ظاهر نمی شوند، اما دانستن آنها ضرری ندارد.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست، و نه یک تانژانت. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم برای شما دشوار است، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و خوب خواهید شد)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.

یک تسمه نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیا کارهایی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. نتیجه یک شی ترکیبی است: یک شکلات که با روبان بسته شده و بسته شده است. برای خوردن یک شکلات، باید مراحل معکوس را انجام دهید به صورت برعکس.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، یک عدد (شکلاتی) به ما داده می شود، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف بندی)، و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ تابع. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم، و سپس یک عمل دوم را با آنچه که از اولی حاصل می شود، انجام می دهیم.

ما به راحتی می‌توانیم همان مراحل را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا آن را مربع می‌کنید و من به دنبال کسینوس عدد حاصل می‌گردم: . به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یک ویژگی مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال اول، .

مثال دوم: (همان چیز). .

اقدامی که آخرین بار انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و عمل انجام شد - بر این اساس عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در یک تابع

1. ابتدا چه اقدامی را انجام خواهیم داد؟ ابتدا بیایید سینوس را محاسبه کنیم و فقط آن را مکعب کنیم. به معنای، عملکرد داخلی، اما خارجی
   و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
2. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
3. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
4. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
5. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و تابع می گیریم.

خوب، حالا شکلات‌مان را استخراج می‌کنیم و به دنبال مشتق آن می‌گردیم. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. در رابطه با نمونه اصلی، به این صورت است:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ساده به نظر می رسد، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان آن را قطع کنید! چیزی از زیر کسینوس بیرون نمی آید، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

بلافاصله مشخص است که این یک تابع پیچیده سه سطحی است: از این گذشته، این به خودی خود یک تابع پیچیده است و ما ریشه را نیز از آن استخراج می کنیم، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: ما همچنان این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" خواهیم کرد: از پایان.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. توالی اقدامات مانند قبل است:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوس. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

مشتق از یک تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

مشتقات محصول:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف کرده و مشتق آن را پیدا می کنیم.
2. ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم.
3. نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

پس از آماده سازی اولیه توپخانه، نمونه هایی با 3-4-5 تودرتو عملکرد کمتر ترسناک خواهند بود. دو مثال زیر ممکن است برای برخی پیچیده به نظر برسد، اما اگر آنها را درک کنید (کسی رنج خواهد برد)، تقریباً هر چیز دیگری در حساب دیفرانسیل شبیه شوخی کودکانه به نظر می رسد.

مثال 2

مشتق یک تابع را پیدا کنید

همانطور که قبلا ذکر شد، هنگام پیدا کردن مشتق یک تابع پیچیده، اول از همه، ضروری است درستسرمایه گذاری های خود را درک کنید در مواردی که شک و تردید وجود دارد، یک تکنیک مفید را به شما یادآوری می کنم: برای مثال، مقدار آزمایشی "x" را در نظر می گیریم و سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا در پیش نویس) این مقدار را با "عبارت وحشتناک" جایگزین کنیم.

1) ابتدا باید عبارت را محاسبه کنیم، به این معنی که مجموع عمیق ترین جاسازی است.

2) سپس باید لگاریتم را محاسبه کنید:

4) سپس کسینوس را مکعب کنید:

5) در مرحله پنجم تفاوت:

6) و در نهایت بیرونی ترین تابع جذر است:

فرمول تمایز یک تابع پیچیده به ترتیب معکوس، از بیرونی ترین تابع به درونی ترین اعمال می شوند. ما تصمیم گرفتیم:

بدون خطا به نظر می رسد:

1) مشتق جذر را بگیرید.

2) مشتق تفاوت را با استفاده از قانون بگیرید

3) مشتق ثلاث صفر است. در جمله دوم مشتق درجه (مکعب) را می گیریم.

4) مشتق کسینوس را بگیرید.

6) و در نهایت مشتق عمیق ترین تعبیه را می گیریم.

شاید خیلی سخت به نظر برسد، اما این وحشیانه ترین نمونه نیست. به عنوان مثال، مجموعه کوزنتسوف را در نظر بگیرید و از زیبایی و سادگی مشتق تحلیل شده قدردانی خواهید کرد. متوجه شدم که آنها دوست دارند چیزی مشابه در یک امتحان بدهند تا بررسی کنند که آیا دانش آموز می داند چگونه مشتق یک تابع پیچیده را پیدا کند یا نمی فهمد.

مثال زیر برای تصمیم مستقل.

مثال 3

مشتق یک تابع را پیدا کنید

نکته: ابتدا قوانین خطی و قانون تمایز محصول را اعمال می کنیم

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

وقت آن است که به سراغ چیزهای کوچکتر و زیباتر بروید.
غیر معمول نیست که یک مثال حاصل ضرب نه دو، بلکه سه تابع را نشان دهد. چگونه مشتق حاصلضرب سه عامل را پیدا کنیم؟

مثال 4

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ابتدا نگاه می کنیم، آیا می توان حاصل ضرب سه تابع را به حاصل ضرب دو تابع تبدیل کرد؟ به عنوان مثال، اگر ما دو چند جمله ای در حاصلضرب داشتیم، می توانیم براکت ها را باز کنیم. اما در مثال مورد بررسی، همه توابع متفاوت هستند: درجه، توان و لگاریتم.

در چنین مواردی لازم است به صورت متوالیقانون تمایز محصول را اعمال کنید دو برابر

ترفند این است که با "y" حاصلضرب دو تابع را نشان می دهیم: و با "ve" لگاریتم را نشان می دهیم: . چرا می توان این کار را انجام داد؟ آیا واقعا - این حاصل دو عامل نیست و قانون کار نمی کند؟! هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد:

اکنون باقی مانده است که قانون را برای بار دوم اعمال کنیم به پرانتز:

شما همچنین می توانید پیچ ​​خورده و چیزی را خارج از پرانتز قرار دهید، اما در این مورد بهتر است پاسخ را دقیقاً به این شکل بگذارید - بررسی آن آسان تر خواهد بود.

مثال مورد نظر را می توان به روش دوم حل کرد:

هر دو راه حل کاملاً معادل هستند.

مثال 5

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است؛ در نمونه با استفاده از روش اول حل می شود.

در نظر بگیریم نمونه های مشابهبا کسری

مثال 6

مشتق یک تابع را پیدا کنید

چندین راه وجود دارد که می توانید به اینجا بروید:

یا مثل این:

اما اگر ابتدا از قانون تمایز ضریب استفاده کنیم، راه حل فشرده تر نوشته می شود ، در نظر گرفتن کل صورتگر:

در اصل مثال حل می شود و اگر به حال خود رها شود خطا نخواهد بود. اما اگر وقت دارید، همیشه توصیه می‌شود پیش‌نویس را بررسی کنید تا ببینید آیا می‌توان پاسخ را ساده کرد؟

بیایید بیان عدد را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم و از ساختار سه طبقه کسری خلاص شویم.:

عیب ساده‌سازی‌های اضافی این است که نه در هنگام یافتن مشتق، بلکه در طول تحولات پیش پا افتاده مدرسه، خطر خطا وجود دارد. از سوی دیگر، معلمان اغلب تکلیف را رد می‌کنند و می‌خواهند مشتق را «به ذهن بیاورند».

یک مثال ساده تر برای حل به تنهایی:

مثال 7

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ما به تسلط بر روش های یافتن مشتق ادامه می دهیم و اکنون یک مورد معمولی را در نظر می گیریم که لگاریتم "وحشتناک" برای تمایز پیشنهاد شود.

توابع از نوع پیچیده همیشه با تعریف یک تابع پیچیده مطابقت ندارند. اگر تابعی به شکل y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 وجود داشته باشد، بر خلاف y = sin 2 x نمی توان آن را پیچیده در نظر گرفت.

این مقاله مفهوم یک تابع پیچیده و شناسایی آن را نشان می دهد. بیایید با فرمول هایی برای یافتن مشتق با مثال هایی از راه حل ها در نتیجه گیری کار کنیم. استفاده از جدول مشتق و قوانین تمایز به طور قابل توجهی زمان برای یافتن مشتق را کاهش می دهد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

تعاریف اساسی

تعریف 1

تابع مختلط تابعی است که آرگومان آن تابع نیز باشد.

به این صورت نشان داده می شود: f (g (x)). داریم که تابع g (x) آرگومان f در نظر گرفته می شود (g (x)).

تعریف 2

اگر یک تابع f وجود داشته باشد و یک تابع کتانژانت باشد، آنگاه g(x) = ln x تابع لگاریتم طبیعی است. دریافتیم که تابع مختلط f (g (x)) به صورت arctg(lnx) نوشته خواهد شد. یا یک تابع f، که تابعی است که به توان 4 افزایش یافته است، که در آن g (x) = x 2 + 2 x - 3 یک تابع منطقی کامل در نظر گرفته می شود، به دست می آوریم که f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

بدیهی است که g(x) می تواند پیچیده باشد. از مثال y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 واضح است که مقدار g دارای ریشه مکعب کسری است. این عبارت را می توان با y = f (f 1 (f 2 (x)) نشان داد. از آنجا که f یک تابع سینوسی است، و f 1 تابعی است که در زیر قرار دارد ریشه دوم، f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - تابع گویا کسری.

تعریف 3

درجه لانه سازی توسط هر کدام تعیین می شود عدد طبیعیو به صورت y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) نوشته می شود.

تعریف 4

مفهوم ترکیب تابع به تعداد توابع تو در تو با توجه به شرایط مسئله اشاره دارد. برای حل، از فرمول برای یافتن مشتق تابع مختلط از فرم استفاده کنید

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

مثال ها

مثال 1

مشتق تابع مختلط به شکل y = (2 x + 1) 2 را بیابید.

راه حل

شرط نشان می دهد که f یک تابع مربع است و g(x) = 2 x + 1 یک تابع خطی در نظر گرفته می شود.

بیایید فرمول مشتق را برای یک تابع مختلط اعمال کنیم و بنویسیم:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g" (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

لازم است مشتق را با شکل اصلی ساده شده تابع پیدا کنید. ما گرفتیم:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

از اینجا ما آن را داریم

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

نتایج یکسان بود.

هنگام حل مسائل از این نوع، مهم است که بدانیم تابع شکل f و g (x) در کجا قرار خواهد گرفت.

مثال 2

شما باید مشتقات توابع مختلط به شکل y = sin 2 x و y = sin x 2 را پیدا کنید.

راه حل

نماد تابع اول می گوید که f تابع مربع و g(x) تابع سینوس است. سپس ما آن را دریافت می کنیم

y " = ( گناه 2 x) " = 2 گناه 2 - 1 x (سین x) " = 2 گناه x cos x

ورودی دوم نشان می دهد که f یک تابع سینوسی است و g(x) = x 2 یک تابع توان را نشان می دهد. نتیجه می شود که حاصل ضرب یک تابع مختلط را به صورت می نویسیم

y " = (سین x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

فرمول مشتق y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) به صورت y " = f " نوشته می شود (f 1 (f 2 (f 3 (. .. (f n (x)))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n (x) )))) · . . . fn "(x)

مثال 3

مشتق تابع y = sin را بیابید (ln 3 a r c t g (2 x)).

راه حل

این مثال دشواری نوشتن و تعیین محل توابع را نشان می دهد. سپس y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) نشان می دهد که در آن f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) تابع سینوس است، تابع افزایش تا 3 درجه، تابع با لگاریتم و پایه e، تابع قطبی و خطی.

از فرمول تعریف تابع مختلط داریم که

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

ما آنچه را که باید پیدا کنیم به دست می آوریم

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) به عنوان مشتق سینوس مطابق جدول مشتقات، سپس f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 3 (f 4 (x)))) به عنوان مشتق تابع توان، سپس f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) به عنوان یک مشتق لگاریتمی، سپس f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) به عنوان مشتق تانژانت، سپس f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. هنگام یافتن مشتق f 4 (x) = 2 x، 2 را از علامت مشتق با استفاده از فرمول مشتق تابع توان با توانی برابر با 1 حذف کنید، سپس f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

ما نتایج میانی را ترکیب می کنیم و به آن می رسیم

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

تجزیه و تحلیل چنین عملکردهایی یادآور عروسک های تودرتو است. قوانین تمایز را نمی توان همیشه به طور صریح با استفاده از جدول مشتق اعمال کرد. اغلب شما نیاز به استفاده از فرمولی برای یافتن مشتقات توابع پیچیده دارید.

تفاوت هایی بین ظاهر پیچیده و عملکردهای پیچیده وجود دارد. با داشتن توانایی واضح در تشخیص این، یافتن مشتقات بسیار آسان خواهد بود.

مثال 4

ذکر چنین مثالی ضروری است. اگر تابعی به شکل y = t g 2 x + 3 t g x + 1 وجود داشته باشد، می توان آن را به عنوان یک تابع مختلط از شکل g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 در نظر گرفت. . بدیهی است که استفاده از فرمول برای مشتق پیچیده ضروری است:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) "+ 1" = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 tg x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f" (g (x)) g" (x) = (2 tg x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

تابعی به شکل y = t g x 2 + 3 t g x + 1 پیچیده در نظر گرفته نمی شود، زیرا دارای مجموع tg x 2، 3 tg x و 1 است. با این حال، t g x 2 یک تابع مختلط در نظر گرفته می شود، سپس یک تابع توانی به شکل g (x) = x 2 و f به دست می آوریم که یک تابع مماس است. برای انجام این کار، بر اساس مقدار متمایز کنید. ما آن را دریافت می کنیم

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

بیایید به یافتن مشتق یک تابع مختلط (t g x 2) ادامه دهیم:

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g" (x) = 2 x cos 2 (x 2)

دریافت می کنیم که y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

توابع از نوع پیچیده را می توان در توابع پیچیده گنجاند و خود توابع پیچیده نیز می توانند باشند توابع جزءنوع پیچیده

مثال 5

به عنوان مثال، یک تابع مختلط به شکل y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) را در نظر بگیرید.

این تابع را می توان به صورت y = f (g (x)) نشان داد، که در آن مقدار f تابعی از لگاریتم پایه 3 است و g (x) مجموع دو تابع شکل h (x) = در نظر گرفته می شود. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 و k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . بدیهی است که y = f (h (x) + k (x)).

تابع h(x) را در نظر بگیرید. این نسبت l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 به m (x) = e x 2 + 3 3 است

داریم که l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) مجموع دو تابع n (x) = x 2 + 7 و p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) ، که در آن p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) یک تابع مختلط با ضریب عددی 3 است و p 1 یک تابع مکعب است. p 2 توسط یک تابع کسینوس، p 3 (x) = 2 x + 1 توسط یک تابع خطی.

دریافتیم که m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) مجموع دو تابع q (x) = e x 2 و r (x) = 3 3 است، که در آن q (x) = q 1 (q 2 (x)) یک تابع مختلط است، q 1 یک تابع با نمایی است، q 2 (x) = x 2 یک تابع توان است.

این نشان می دهد که h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

هنگامی که به یک عبارت به شکل k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) حرکت می کنیم، واضح است که تابع به شکل یک s مختلط ارائه می شود ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) با یک عدد صحیح گویا t (x) = x 2 + 1، که در آن s 1 یک تابع مربع است و s 2 (x) = ln x لگاریتمی با پایه e.

نتیجه این است که عبارت به شکل k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) خواهد بود.

سپس ما آن را دریافت می کنیم

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

بر اساس ساختار تابع، مشخص شد که چگونه و از چه فرمول هایی برای ساده کردن عبارت هنگام متمایز کردن آن باید استفاده شود. برای آشنایی با چنین مسائلی و مفهوم حل آنها باید به تمایز یک تابع یعنی یافتن مشتق آن رجوع کرد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

مشتق تابع مختلط نمونه هایی از راه حل ها

در این درس یاد خواهیم گرفت که چگونه پیدا کنیم مشتق یک تابع پیچیده. درس ادامه منطقی درس است چگونه مشتق را پیدا کنیم؟، که در آن ساده ترین مشتقات را مورد بررسی قرار دادیم و همچنین با قوانین تمایز و برخی تکنیک های فنی برای یافتن مشتقات آشنا شدیم. بنابراین، اگر با مشتقات توابع خیلی خوب نیستید یا برخی از نکات این مقاله کاملاً واضح نیستند، ابتدا درس بالا را بخوانید. لطفاً حال و هوای جدی داشته باشید - مطالب ساده نیست، اما من همچنان سعی می کنم آن را ساده و واضح ارائه دهم.

در عمل، شما باید اغلب با مشتق یک تابع پیچیده سر و کار داشته باشید، حتی می توانم بگویم، تقریباً همیشه، زمانی که به شما وظایفی برای یافتن مشتقات داده می شود.

ما به جدول در قانون (شماره 5) برای تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:

بیایید آن را بفهمیم. اول از همه به مدخل توجه کنیم. در اینجا ما دو تابع داریم - و، و تابع، به بیان مجازی، درون تابع تودرتو است. تابعی از این نوع (زمانی که یک تابع درون دیگری تودرتو باشد) تابع پیچیده نامیده می شود.

من تابع را فراخوانی خواهم کرد عملکرد خارجی، و عملکرد - عملکرد داخلی (یا تو در تو)..

! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی نهایی تکالیف ظاهر شوند. من از عبارات غیررسمی "عملکرد خارجی"، "عملکرد داخلی" استفاده می کنم تا درک مطالب را برای شما آسان تر کنم.

برای روشن شدن وضعیت، در نظر بگیرید:

مثال 1

مشتق یک تابع را پیدا کنید

در زیر سینوس ما نه فقط حرف "X"، بلکه یک عبارت کامل داریم، بنابراین یافتن مشتق بلافاصله از جدول کار نخواهد کرد. همچنین متوجه می شویم که اعمال چهار قانون اول در اینجا غیرممکن است، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که سینوس را نمی توان "تکه تکه کرد":

در این مثال، از توضیحات من به طور شهودی مشخص است که یک تابع یک تابع پیچیده است، و چند جمله ای یک تابع داخلی (جاسازی) و یک تابع خارجی است.

گام اولکاری که هنگام یافتن مشتق یک تابع مختلط باید انجام دهید این است که درک کنید که کدام تابع داخلی و کدام خارجی است.

چه زمانی مثال های سادهبه نظر واضح است که یک چند جمله ای زیر سینوس جاسازی شده است. اما اگر همه چیز واضح نباشد چه؟ چگونه می توان به طور دقیق تشخیص داد که کدام تابع خارجی و کدام داخلی است؟ برای این کار استفاده از تکنیک زیر را پیشنهاد می کنم که به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام می شود.

بیایید تصور کنیم که باید مقدار عبارت at را در یک ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک، هر عددی می تواند وجود داشته باشد).

ابتدا چه چیزی را محاسبه خواهیم کرد؟ اول از همهشما باید عمل زیر را انجام دهید: بنابراین چند جمله ای یک تابع داخلی خواهد بود:

دوماباید پیدا شود، بنابراین سینوس - یک تابع خارجی خواهد بود:

بعد از ما فروخته شدهبا توابع داخلی و خارجی، زمان اعمال قانون تمایز توابع پیچیده است.

بیایید شروع به تصمیم گیری کنیم. از کلاس چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ما به یاد می آوریم که طراحی راه حل برای هر مشتق همیشه به این صورت شروع می شود - عبارت را در پرانتز قرار می دهیم و یک ضربه را در بالا سمت راست قرار می دهیم:

در ابتدامشتق تابع خارجی (سینوس) را پیدا می کنیم، به جدول مشتقات توابع ابتدایی نگاه می کنیم و متوجه می شویم که . تمام فرمول های جدول نیز در صورتی قابل اجرا هستند که "x" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، در این مورد:

لطفا توجه داشته باشید که عملکرد داخلی تغییر نکرده است، ما آن را لمس نمی کنیم.

خب این کاملا واضحه

نتیجه نهایی اعمال فرمول به صورت زیر است:

عامل ثابت معمولاً در ابتدای عبارت قرار می گیرد:

در صورت وجود هرگونه سوء تفاهم، راه حل را روی کاغذ بنویسید و توضیحات را دوباره بخوانید.

مثال 2

مشتق یک تابع را پیدا کنید

مثال 3

مشتق یک تابع را پیدا کنید

مثل همیشه می نویسیم:

بیایید بفهمیم که کجا یک عملکرد خارجی داریم و کجا یک عملکرد داخلی. برای انجام این کار، سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا به صورت پیش نویس) مقدار عبارت را در محاسبه کنیم. اول باید چی کار کنید؟ اول از همه، شما باید محاسبه کنید که پایه برابر است: بنابراین، چند جمله ای تابع داخلی است:

و تنها در این صورت است که توان انجام می شود، بنابراین، تابع توان یک تابع خارجی است:

طبق فرمول، ابتدا باید مشتق تابع خارجی، در این مورد، درجه را پیدا کنید. فرمول مورد نیاز را در جدول جستجو می کنیم: . باز هم تکرار می کنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "X"، بلکه برای یک عبارت پیچیده نیز معتبر است. بنابراین، نتیجه اعمال قانون برای افتراق یک تابع پیچیده به شرح زیر است:

باز هم تاکید می کنم که وقتی مشتق تابع خارجی را می گیریم، تابع درونی ما تغییر نمی کند:

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که یک مشتق بسیار ساده از تابع داخلی پیدا کنید و نتیجه را کمی تغییر دهید:

مثال 4

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).

برای تثبیت درک شما از مشتق یک تابع پیچیده، بدون نظر مثالی می زنم، سعی کنید خودتان آن را بفهمید، دلیل اینکه تابع خارجی و داخلی کجاست، چرا کارها به این شکل حل می شوند؟

مثال 5

الف) مشتق تابع را بیابید

ب) مشتق تابع را بیابید

مثال 6

مشتق یک تابع را پیدا کنید

در اینجا ما یک ریشه داریم و برای اینکه ریشه را متمایز کنیم باید به عنوان یک قدرت نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به شکل مناسب برای تمایز می آوریم:

با تجزیه و تحلیل تابع به این نتیجه می رسیم که مجموع سه جمله تابع درونی است و افزایش به توان یک تابع بیرونی است. ما قانون تمایز توابع پیچیده را اعمال می کنیم:

ما دوباره درجه را به عنوان یک رادیکال (ریشه) نشان می دهیم، و برای مشتق تابع داخلی، یک قانون ساده برای متمایز کردن مجموع اعمال می کنیم:

آماده. همچنین می توانید عبارت را به یک مخرج مشترک در پرانتز کاهش دهید و همه چیز را به عنوان یک کسر بنویسید. البته زیباست، اما وقتی مشتقات طولانی دست و پا گیر به دست می آورید، بهتر است این کار را انجام ندهید (گیج شدن، اشتباه غیر ضروری آسان است و بررسی آن برای معلم ناخوشایند خواهد بود).

مثال 7

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).

جالب است بدانید که گاهی به جای قانون افتراق یک تابع مختلط، می توانید از قانون افتراق یک ضریب استفاده کنید. ، اما چنین راه حلی مانند یک انحراف خنده دار به نظر می رسد. در اینجا یک مثال معمولی است:

مثال 8

مشتق یک تابع را پیدا کنید

در اینجا می توانید از قانون تمایز ضریب استفاده کنید ، اما یافتن مشتق از طریق قاعده تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآورتر است:

ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - منهای را از علامت مشتق خارج می کنیم و کسینوس را به صورت شمارش می کنیم:

کسینوس یک تابع درونی است، توان یک تابع خارجی است.
بیایید از قانون خود استفاده کنیم:

مشتق تابع داخلی را پیدا می کنیم و کسینوس را به پایین تنظیم می کنیم:

آماده. در مثال در نظر گرفته شده، مهم است که در علائم گیج نشوید. به هر حال، سعی کنید آن را با استفاده از قانون حل کنید ، پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند.

مثال 9

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).

تاکنون مواردی را بررسی کرده‌ایم که تنها یک تودرتو در یک تابع پیچیده داشتیم. در کارهای عملی، شما اغلب می توانید مشتقاتی را پیدا کنید، جایی که، مانند عروسک های تودرتو، یکی در داخل دیگری، 3 یا حتی 4-5 تابع به طور همزمان تودرتو هستند.

مثال 10

مشتق یک تابع را پیدا کنید

بیایید پیوست های این تابع را درک کنیم. بیایید سعی کنیم عبارت را با استفاده از مقدار تجربی محاسبه کنیم. چگونه روی یک ماشین حساب حساب کنیم؟

ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی که آرکسین عمیق ترین جاسازی است:

سپس این آرکسین یک باید مجذور شود:

و در نهایت، ما هفت را به توان بالا می بریم:

یعنی در این مثال ما سه تابع مختلف و دو تعبیه داریم، در حالی که داخلی ترین تابع آرکسین و بیرونی ترین تابع تابع نمایی است.

بیایید تصمیم گیری را شروع کنیم

طبق قانون، ابتدا باید مشتق تابع خارجی را بگیرید. ما به جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق تابع نمایی را می یابیم: تنها تفاوت این است که به جای "x" یک عبارت پیچیده داریم که اعتبار این فرمول را نفی نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال قانون برای افتراق یک تابع پیچیده به شرح زیر است:

تحت سکته مغزی دوباره یک تابع پیچیده داریم! اما در حال حاضر ساده تر است. به راحتی می توان تأیید کرد که تابع داخلی آرکسین است، تابع بیرونی درجه است. طبق قانون تمایز یک تابع پیچیده، ابتدا باید مشتق توان را بگیرید.