نحوه حل مثال با استفاده از کسر تفریق کسری با مخرج مشابه. عملیات با کسری

) و مخرج به مخرج (مخرج حاصل را می گیریم).

فرمول ضرب کسر:

مثلا:

قبل از شروع ضرب اعداد و مخرج، باید بررسی کنید که آیا کسر قابل کاهش است یا خیر. اگر بتوانید کسر را کاهش دهید، انجام محاسبات بیشتر برای شما آسان تر خواهد بود.

تقسیم کسر مشترک بر کسری.

تقسیم کسری که شامل اعداد طبیعی است.

آنقدرها هم که به نظر می رسد ترسناک نیست. همانطور که در مورد جمع، عدد صحیح را به کسری با یک در مخرج تبدیل می کنیم. مثلا:

ضرب کسرهای مختلط

قوانین ضرب کسر (مخلوط):

• تبدیل کسرهای مختلط به کسرهای نامناسب.
• ضرب در صورت و مخرج کسرها؛
• کسر را کاهش دهید؛
• اگر کسری نامناسب بدست آورید، کسر نامناسب را به کسر مختلط تبدیل می کنیم.

توجه داشته باشید!جهت تکثیر کسر مختلطبه کسر مختلط دیگر، ابتدا باید آنها را به شکل کسرهای نامناسب تبدیل کنید و سپس طبق قانون ضرب ضرب کنید. کسرهای معمولی.

روش دوم برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی.

ممکن است استفاده از روش دوم ضرب کسر مشترک در عدد راحت تر باشد.

توجه داشته باشید!برای ضرب کسری در عدد طبیعیباید مخرج کسر را بر این عدد تقسیم کرد و صورت را بدون تغییر گذاشت.

از مثالی که در بالا داده شد، واضح است که استفاده از این گزینه زمانی راحت تر است که مخرج کسری بدون باقیمانده بر یک عدد طبیعی تقسیم شود.

کسرهای چند طبقه

در دبیرستان اغلب با کسرهای سه طبقه (یا بیشتر) مواجه می‌شویم. مثال:

برای آوردن چنین کسری به شکل معمول خود، از تقسیم از طریق 2 نقطه استفاده کنید:

توجه داشته باشید!هنگام تقسیم کسرها، ترتیب تقسیم بسیار مهم است. مراقب باشید، اینجا به راحتی گیج می شود.

توجه داشته باشید، مثلا:

هنگام تقسیم یک بر هر کسری، نتیجه همان کسر خواهد بود، فقط معکوس:

نکات کاربردی برای ضرب و تقسیم کسر:

1. مهمترین چیز هنگام کار با عبارات کسری دقت و توجه است. تمام محاسبات را با دقت و دقیق، متمرکز و واضح انجام دهید. بهتر است چند خط اضافی در پیش نویس خود بنویسید تا اینکه در محاسبات ذهنی گم شوید.

2. در کارهای با انواع کسرها به سراغ نوع کسرهای معمولی بروید.

3. همه کسرها را کم می کنیم تا زمانی که دیگر امکان کاهش وجود نداشته باشد.

4. عبارات کسری چند سطحی را با استفاده از تقسیم از طریق 2 نقطه به عبارات معمولی تبدیل می کنیم.

5. یک واحد را بر یک کسری در سر خود تقسیم کنید، به سادگی کسر را برگردانید.

صورت، و آنچه بر آن تقسیم می شود، مخرج است.

برای نوشتن کسری ابتدا صورت را بنویسید سپس یک خط افقی زیر عدد بکشید و مخرج را زیر خط بنویسید. خط افقی که صورت و مخرج را از هم جدا می کند، خط کسری نامیده می شود. گاهی اوقات به صورت "/" یا "∕" مایل به تصویر کشیده می شود. در این حالت، صورت در سمت چپ خط و مخرج در سمت راست نوشته می شود. بنابراین، به عنوان مثال، کسری "دو سوم" به عنوان 2/3 نوشته می شود. برای وضوح، صورت معمولاً در بالای خط نوشته می شود و مخرج در پایین، یعنی به جای 2/3 می توانید پیدا کنید: ⅔.

برای محاسبه حاصل ضرب کسرها ابتدا عدد یک را ضرب کنید کسرینسبت به شمارش متفاوت است. نتیجه را در صورت حساب جدید بنویسید کسری. پس از این، مخرج ها را ضرب کنید. مقدار کل را در جدید وارد کنید کسری. مثلا 1/3؟ 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1؛ 3 × 5 = 15).

برای تقسیم یک کسر بر کسر دیگر ابتدا عدد اولی را در مخرج دوم ضرب کنید. همین کار را با کسر دوم (مقسوم کننده) انجام دهید. یا، قبل از انجام تمام اقدامات، اگر برای شما راحت تر است، ابتدا مقسوم علیه را "برگردانید": مخرج باید به جای صورتگر ظاهر شود. سپس مخرج تقسیم را در مخرج جدید مقسوم علیه ضرب کنید و اعداد را ضرب کنید. به عنوان مثال، 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

منابع:

• مسائل کسری اساسی

اعداد کسری را می توان به صورت بیان کرد در اشکال مختلفارزش دقیق مقدار شما می توانید همان عملیات ریاضی را با کسری که می توانید با اعداد کامل انجام دهید: تفریق، جمع، ضرب و تقسیم. تا تصمیم گیری را یاد بگیریم کسری، باید برخی از ویژگی های آنها را به خاطر بسپاریم. آنها به نوع آنها بستگی دارد کسری، وجود یک جزء صحیح، یک مخرج مشترک. مقداری عملیات حسابیپس از اجرا آنها نیاز به کاهش بخش کسری نتیجه دارند.

شما نیاز خواهید داشت

• - ماشین حساب

دستورالعمل ها

با دقت به اعداد نگاه کنید. اگر در بین کسری ها اعشاری و نامنظم وجود داشته باشد، گاهی اوقات راحت تر است که ابتدا عملیات را با اعشار انجام دهیم و سپس آنها را به شکل نامنظم تبدیل کنیم. میتونی ترجمه کنی کسریدر این شکل ابتدا مقدار را بعد از اعشار در صورت می نویسید و 10 را در مخرج قرار می دهید. در صورت لزوم، با تقسیم اعداد بالا و پایین بر یک مقسوم علیه کسر را کاهش دهید. کسری که در آنها کل جزء جدا شده است باید با ضرب آن در مخرج و جمع کردن صورت به نتیجه به شکل اشتباه تبدیل شوند. این مقدار تبدیل به شماره‌گر جدید می‌شود کسری. برای انتخاب یک قسمت کامل از یک قسمت اولیه نادرست کسری، باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید. کل نتیجه را بنویسید کسری. و باقیمانده تقسیم تبدیل به صورت جدید، مخرج می شود کسریتغییر نمی کند. برای کسرهای دارای جزء صحیح، می توان اعمال را به طور جداگانه انجام داد، ابتدا برای عدد صحیح و سپس برای قطعات کسری. به عنوان مثال، مجموع 1 2/3 و 2 ¾ را می توان محاسبه کرد:
- تبدیل کسرها به شکل اشتباه:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- مجموع اجزای اعداد صحیح و کسری به صورت جداگانه:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

آنها را با استفاده از جداکننده ":" بازنویسی کنید و با تقسیم عادی ادامه دهید.

برای به دست آوردن نتیجه نهایی، کسر حاصل را با تقسیم صورت و مخرج بر یک عدد کامل که در این مورد بزرگ‌ترین عدد ممکن است، کاهش دهید. در این حالت باید اعداد صحیح در بالا و پایین خط وجود داشته باشد.

توجه داشته باشید

با کسری که مخرج آنها متفاوت است، حساب را انجام ندهید. عددی را طوری انتخاب کنید که وقتی صورت و مخرج هر کسر را در آن ضرب کردید، مخرج هر دو کسر برابر باشد.

مشاوره مفید

هنگام ضبط اعداد کسریسود سهام بالای خط نوشته می شود. این کمیت به عنوان شمارنده کسر تعیین می شود. مقسوم علیه یا مخرج کسر زیر خط نوشته می شود. به عنوان مثال، یک و نیم کیلوگرم برنج به صورت کسری به صورت زیر نوشته می شود: 1 ½ کیلوگرم برنج. اگر مخرج کسری 10 باشد، کسر را اعشار می نامند. در این حالت، در سمت راست تمام قسمت، با کاما از هم جدا می شود: 1.5 کیلوگرم برنج. برای سهولت محاسبه، چنین کسری همیشه می تواند به شکل اشتباه نوشته شود: 1 2/10 کیلوگرم سیب زمینی. برای ساده‌تر شدن، می‌توانید با تقسیم آن‌ها بر یک عدد صحیح، مقادیر صورت‌دهنده و مخرج را کاهش دهید. در این مثال می توانید تقسیم بر 2 کنید. نتیجه 1/5 کیلوگرم سیب زمینی خواهد بود. اطمینان حاصل کنید که اعدادی که قرار است با آنها محاسبات انجام دهید به همین شکل ارائه شوند.

یکی از مهم ترین علومی که کاربرد آن را در رشته هایی مانند شیمی، فیزیک و حتی زیست شناسی می توان دید، ریاضیات است. مطالعه این علم به شما این امکان را می دهد که برخی از ویژگی های ذهنی خود را توسعه دهید و توانایی تمرکز خود را بهبود بخشید. یکی از مباحثی که در درس ریاضی جای توجه ویژه دارد، جمع و تفریق کسرها است. بسیاری از دانش‌آموزان درس خواندن را دشوار می‌دانند. شاید مقاله ما به شما در درک بهتر این موضوع کمک کند.

نحوه تفریق کسری که مخرج آنها یکسان است

کسرها همان اعدادی هستند که با آنها می توانید عملیات مختلفی را انجام دهید. تفاوت آنها با اعداد کامل در حضور یک مخرج است. به همین دلیل است که هنگام انجام عملیات با کسرها، باید برخی از ویژگی ها و قوانین آنها را مطالعه کنید. ساده ترین حالت تفریق کسری معمولی است که مخرج آنها به صورت یک عدد نمایش داده می شود. اگر یک قانون ساده را بدانید، انجام این عمل دشوار نخواهد بود:

• برای تفریق یک ثانیه از یک کسر، لازم است که کسر کسر را از کسر در حال کاهش کم کنیم. این عدد را در صورت‌دهنده تفاضل می‌نویسیم و مخرج را یکسان می‌گذاریم: k/m - b/m = (k-b)/m.

نمونه هایی از تفریق کسری که مخرج آنها یکسان است

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

از صورت‌دهنده کسری «7»، صورت‌گر کسری «3» را کم می‌کنیم، «4» به دست می‌آید. ما این عدد را در صورتگر پاسخ می نویسیم و در مخرج همان عددی را که در مخرج کسرهای اول و دوم بود - "19" قرار می دهیم.

تصویر زیر چندین نمونه مشابه دیگر را نشان می دهد.

بیایید مثال پیچیده‌تری را در نظر بگیریم که در آن کسری از آن کم می‌شود مخرج های مشابه:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

از شمار کسر "29" که با تفریق به نوبه خود اعداد کسرهای بعدی - "3"، "8"، "2"، "7" کاهش می یابد. در نتیجه ، نتیجه "9" را به دست می آوریم که در صورتگر پاسخ می نویسیم و در مخرج عددی را که در مخرج همه این کسرها است - "47" می نویسیم.

جمع کسری که مخرج یکسان دارند

جمع و تفریق کسرهای معمولی از همین اصل پیروی می کند.

• برای اضافه کردن کسرهایی که مخرج آنها یکسان است، باید اعداد را جمع کنید. عدد حاصل، صورت‌گر مجموع است و مخرج ثابت خواهد ماند: k/m + b/m = (k + b)/m.

بیایید با استفاده از یک مثال ببینیم که این چگونه به نظر می رسد:

1/4 + 2/4 = 3/4.

به شماره‌گذار اولین جمله کسری - "1" - شمارنده جمله دوم کسری - "2" را اضافه کنید. نتیجه - "3" - در صورت مجموع نوشته می شود و مخرج همان چیزی است که در کسرها - "4" وجود دارد.

کسری با مخرج های مختلف و تفریق آنها

ما قبلاً عملیات را با کسری که مخرج یکسانی دارند در نظر گرفته ایم. همانطور که می بینیم، دانستن قوانین ساده، حل چنین مثال هایی بسیار آسان است. اما اگر لازم باشد عملیاتی را با کسری انجام دهید که مخرج متفاوتی دارد؟ بسیاری از دانش آموزان دبیرستانی با چنین مثال هایی گیج می شوند. اما حتی در اینجا، اگر اصل راه حل را بدانید، دیگر مثال ها برای شما دشوار نخواهد بود. در اینجا قانونی نیز وجود دارد که بدون آن حل چنین کسری به سادگی غیرممکن است.

برای تفریق کسری با مخرج متفاوت، باید آنها را به کوچکترین مخرج یکسان تقلیل داد.



در مورد نحوه انجام این کار با جزئیات بیشتری صحبت خواهیم کرد.

خاصیت کسری

برای اینکه چند کسر را به یک مخرج بیاورید، باید از ویژگی اصلی یک کسر در حل استفاده کنید: پس از تقسیم یا ضرب صورت و مخرج در یک عدد، کسری برابر با عدد داده شده به دست می آید.

به عنوان مثال، کسر 2/3 می تواند دارای مخرج هایی مانند "6"، "9"، "12" و غیره باشد، یعنی می تواند شکل هر عددی را داشته باشد که مضرب "3" باشد. پس از ضرب کردن صورت و مخرج در "2"، کسری 4/6 را بدست می آوریم. بعد از ضرب کردن صورت و مخرج کسر اصلی در "3" به 9/6 می رسد و اگر عمل مشابهی را با عدد "4" انجام دهیم، 8/12 به دست می آید. یک برابری را می توان به صورت زیر نوشت:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

نحوه تبدیل کسرهای متعدد به مخرج یکسان

بیایید ببینیم چگونه کسرهای متعدد را به مخرج یکسان کاهش دهیم. به عنوان مثال، کسری که در تصویر زیر نشان داده شده است را در نظر بگیرید. ابتدا باید تعیین کنید که کدام عدد می تواند مخرج همه آنها شود. برای آسان‌تر کردن کار، بیایید مخرج‌های موجود را فاکتورسازی کنیم.

مخرج کسری 1/2 و کسری 2/3 را نمی توان فاکتور گرفت. مخرج 7/9 دارای دو عامل 7/9 = 7/(3 x 3)، مخرج کسری 5/6 = 5/(2 x 3) است. اکنون باید تعیین کنیم که کدام فاکتور برای هر چهار کسر کوچکترین خواهد بود. از آنجایی که کسر اول در مخرج عدد 2 را دارد، به این معنی است که باید در همه مخرج وجود داشته باشد؛ در کسر 7/9 دو ثلاث وجود دارد، یعنی هر دو باید در مخرج نیز باشند. با در نظر گرفتن موارد فوق، تعیین می کنیم که مخرج از سه عامل 3، 2، 3 تشکیل شده و برابر با 3 x 2 x 3 = 18 است.



بیایید کسر اول را در نظر بگیریم - 1/2. در مخرج آن یک "2" وجود دارد، اما یک رقم "3" وجود ندارد، بلکه باید دو رقم باشد. برای این کار، مخرج را در دو ثلاث ضرب می کنیم، اما با توجه به خاصیت کسری، باید صورت را در دو سه برابر ضرب کنیم:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

ما همان عملیات را با کسرهای باقی مانده انجام می دهیم.

• 2/3 - یک سه و یک دو در مخرج وجود ندارد:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 یا 7/(3 x 3) - مخرج یک دو را از دست داده است:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 یا 5/(2 x 3) - مخرج سه مورد را ندارد:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

همه با هم به این شکل است:



نحوه تفریق و جمع کسری که مخرج متفاوتی دارند

همانطور که در بالا ذکر شد، برای جمع یا تفریق کسری که مخرج متفاوتی دارند، باید آنها را به یک مخرج تقلیل داد و سپس از قوانین تفریق کسرهایی که مخرج یکسان دارند استفاده کرد که قبلاً در مورد آن صحبت شد.

بیایید به عنوان مثال به این نگاه کنیم: 4/18 - 3/15.

پیدا کردن مضرب اعداد 18 و 15:

• عدد 18 از 3*2*3 تشکیل شده است.
• عدد 15 از 5*3 ساخته شده است.
• مضرب مشترک عوامل زیر خواهد بود: 5 x 3 x 2 = 90.

پس از یافتن مخرج، لازم است عاملی را محاسبه کنیم که برای هر کسری متفاوت است، یعنی عددی که در آن لازم است نه تنها مخرج، بلکه صورت نیز ضرب شود. برای انجام این کار، عددی را که یافتیم (مضرب مشترک) بر مخرج کسری که باید فاکتورهای اضافی برای آن تعیین شود، تقسیم کنیم.

• 90 تقسیم بر 15. عدد حاصل "6" ضریب 3/15 خواهد بود.
• 90 تقسیم بر 18. عدد حاصل "5" ضریب 4/18 خواهد بود.

مرحله بعدی حل ما این است که هر کسری را به مخرج "90" کاهش دهیم.

قبلاً در مورد نحوه انجام این کار صحبت کرده ایم. بیایید ببینیم که چگونه این در یک مثال نوشته شده است:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

اگر کسرها دارای اعداد کوچک هستند، می توانید مخرج مشترک را تعیین کنید، همانطور که در تصویر زیر نشان داده شده است.



همین امر در مورد کسانی که مخرج های متفاوتی دارند نیز صادق است.

تفریق و داشتن اجزای صحیح

قبلاً در مورد تفریق کسرها و جمع آنها به تفصیل بحث کرده ایم. اما اگر کسری دارای یک جزء صحیح باشد چگونه می توان آن را کم کرد؟ باز هم از چند قانون استفاده می کنیم:

• تمام کسری که دارای یک جزء صحیح است را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید. صحبت كردن به زبان ساده، کل قسمت را بردارید. برای این کار، عدد عدد صحیح را در مخرج کسر ضرب کرده و حاصل ضرب را به صورت‌گر اضافه کنید. عددی که بعد از این اعمال بیرون می آید، عدد کسر نامناسب است. مخرج بدون تغییر باقی می ماند.
• اگر کسرها مخرج های متفاوتی داشته باشند، باید به یک مخرج تقلیل داده شوند.
• جمع یا تفریق را با مخرج های یکسان انجام دهید.
• هنگام دریافت کسر نامناسب، کل قسمت را انتخاب کنید.



راه دیگری وجود دارد که در آن می توانید کسری را با اجزای کامل جمع و تفریق کنید. برای انجام این کار، اقدامات به طور جداگانه با قطعات کامل و اقدامات با کسرها به طور جداگانه انجام می شود و نتایج با هم ثبت می شوند.



مثال ارائه شده شامل کسری است که مخرج یکسانی دارند. در مواردی که مخرج ها متفاوت هستند، باید آنها را به یک مقدار رساند و سپس اقدامات را همانطور که در مثال نشان داده شده است انجام داد.

کم کردن کسرها از اعداد صحیح

نوع دیگر عملیات با کسری حالتی است که باید کسری را از آن کم کرد، در نگاه اول حل چنین مثالی دشوار به نظر می رسد. با این حال، همه چیز در اینجا بسیار ساده است. برای حل آن باید عدد صحیح را به کسری و با مخرجی که در کسر تفریق شده است تبدیل کنید. بعد، ما یک تفریق مشابه تفریق با مخرج های یکسان انجام می دهیم. در یک مثال به این صورت است:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

تفریق کسری (درجه 6) ارائه شده در این مقاله مبنایی برای حل بیشتر است نمونه های پیچیده، که در کلاس های بعدی مورد بحث قرار می گیرد. دانش این موضوع متعاقباً برای حل توابع، مشتقات و غیره استفاده می شود. بنابراین، درک و درک عملیات با کسری که در بالا مورد بحث قرار گرفت بسیار مهم است.

اکنون که یاد گرفتیم چگونه کسرهای فردی را جمع و ضرب کنیم، می توانیم موارد بیشتری را بررسی کنیم طرح های پیچیده. به عنوان مثال، اگر همان مسئله شامل جمع، تفریق و ضرب کسر باشد، چه؟

اول از همه، شما باید همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید. سپس اقدامات مورد نیاز را به ترتیب انجام می دهیم - به همان ترتیبی که برای اعداد معمولی است. برای مثال:

1. قدرت اول انجام می شود - از شر تمام عبارات حاوی توان خلاص شوید.
2. سپس - تقسیم و ضرب;
3. مرحله آخر جمع و تفریق است.

البته، اگر پرانتز در عبارت وجود داشته باشد، ترتیب عملیات تغییر می کند - هر چیزی که داخل پرانتز است ابتدا باید شمارش شود. و در مورد کسرهای نامناسب به یاد داشته باشید: فقط زمانی باید کل قسمت را برجسته کنید که سایر اقدامات قبلاً تکمیل شده باشند.

بیایید تمام کسرهای عبارت اول را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم و سپس مراحل زیر را انجام دهیم:

حالا بیایید مقدار عبارت دوم را پیدا کنیم. هیچ کسری با یک جزء صحیح وجود ندارد، اما پرانتز وجود دارد، بنابراین ابتدا جمع را انجام می دهیم و فقط سپس تقسیم می کنیم. توجه داشته باشید که 14 = 7 · 2. سپس:

در نهایت مثال سوم را در نظر بگیرید. در اینجا براکت و مدرک وجود دارد - بهتر است آنها را جداگانه بشمارید. با توجه به اینکه 9 = 3 3، داریم:

به مثال آخر دقت کنید. برای بالا بردن کسری به توان، باید به طور جداگانه صورت را به این توان و به طور جداگانه، مخرج را افزایش دهید.

شما می توانید متفاوت تصمیم بگیرید. اگر تعریف درجه را به خاطر بیاوریم، مشکل به ضرب معمول کسرها کاهش می یابد:

کسرهای چند طبقه

تا اینجا ما فقط کسرهای «خالص» را در نظر گرفته‌ایم، وقتی که صورت و مخرج هستند اعداد معمولی. این کاملاً با تعریف کسری عددی که در همان درس اول ارائه شد مطابقت دارد.

اما اگر جسم پیچیده تری را در صورت یا مخرج قرار دهید چه؟ مثلا کسری عددی دیگه؟ چنین سازه هایی اغلب به وجود می آیند، به خصوص هنگام کار با عبارات طولانی. در اینجا چند نمونه وجود دارد:

تنها یک قانون برای کار با کسرهای چند سطحی وجود دارد: باید فوراً از شر آنها خلاص شوید. اگر به یاد داشته باشید که بریده بریده به معنای عملیات تقسیم استاندارد است، حذف طبقات "اضافی" بسیار ساده است. بنابراین، هر کسری را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

با استفاده از این واقعیت و پیروی از روش، می توانیم به راحتی هر کسری چند طبقه را به یک کسر معمولی کاهش دهیم. به نمونه ها دقت کنید:

وظیفه. کسرهای چند طبقه را به کسرهای معمولی تبدیل کنید:

در هر مورد، کسر اصلی را بازنویسی می کنیم و خط تقسیم را با علامت تقسیم جایگزین می کنیم. همچنین به یاد داشته باشید که هر عدد صحیح را می توان به صورت کسری با مخرج 1 نشان داد. 12 = 12/1; 3 = 3/1. ما گرفتیم:

در آخرین مثال، کسرها قبل از ضرب نهایی لغو شدند.

مشخصات کار با کسرهای چند سطحی

یک نکته ظریف در کسرهای چند سطحی وجود دارد که همیشه باید به خاطر بسپارید، در غیر این صورت می توانید پاسخ اشتباه را دریافت کنید، حتی اگر همه محاسبات درست باشد. نگاهی بیاندازید:

1. صورت شامل عدد منفرد 7 و مخرج شامل کسری 12/5 است.
2. صورت شامل کسری 7/12 و مخرج شامل عدد جداگانه 5 است.

بنابراین، برای یک ضبط، ما دو تفسیر کاملاً متفاوت دریافت کردیم. اگر بشمارید، پاسخ ها نیز متفاوت خواهند بود:

برای اطمینان از اینکه رکورد همیشه بدون ابهام خوانده می شود، از یک قانون ساده استفاده کنید: خط تقسیم کسر اصلی باید طولانی تر از خط کسر تو در تو باشد. ترجیحا چندین بار.

اگر از این قانون پیروی کنید، کسرهای بالا باید به صورت زیر نوشته شوند:

بله، احتمالاً ناخوشایند است و فضای زیادی را اشغال می کند. اما شما درست حساب خواهید کرد. در نهایت، چند مثال که در آن کسرهای چند طبقه در واقع به وجود می آیند:

وظیفه. معانی عبارات را بیابید:

بنابراین، اجازه دهید با مثال اول کار کنیم. بیایید همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم و سپس عملیات جمع و تقسیم را انجام دهیم:

بیایید همین کار را با مثال دوم انجام دهیم. بیایید همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم و عملیات مورد نیاز را انجام دهیم. برای اینکه خواننده را خسته نکنم، از برخی محاسبات بدیهی صرف نظر می کنم. ما داریم:

با توجه به اینکه صورت و مخرج کسرهای پایه دارای جمع هستند، قانون نوشتن کسرهای چند طبقه به صورت خودکار رعایت می شود. همچنین در مثال آخر عمداً 46/1 را به صورت کسری برای انجام تقسیم گذاشتیم.

همچنین متذکر می شوم که در هر دو مثال، نوار کسری در واقع جایگزین پرانتز می شود: اول از همه، ما مجموع را پیدا کردیم و فقط پس از آن ضریب را پیدا کردیم.

برخی خواهند گفت که انتقال به کسرهای نامناسب در مثال دوم به وضوح زائد بود. شاید این درست باشد. اما با انجام این کار، خود را در برابر اشتباهات بیمه می کنیم، زیرا دفعه بعد ممکن است مثال بسیار پیچیده تر شود. آنچه مهمتر است را خودتان انتخاب کنید: سرعت یا قابلیت اطمینان.

محتوای درس

جمع کردن کسری با مخرج مشابه

دو نوع جمع کسر وجود دارد:

1. جمع کردن کسری با مخرج مشابه
2. جمع کسری با مخرج های مختلف

ابتدا جمع کسری با مخرج مشابه را بیاموزیم. اینجا همه چیز ساده است. برای جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. به عنوان مثال، بیایید کسرها و . اعداد را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به چهار قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 2.کسر و .

جواب کسری نامناسب بود. هنگامی که پایان کار فرا می رسد، مرسوم است که از شر کسرهای نامناسب خلاص شوید. برای خلاص شدن از شر کسری نامناسب، باید کل قسمت آن را انتخاب کنید. در مورد ما، کل قسمت به راحتی جدا می شود - دو تقسیم بر دو برابر یک:

اگر پیتزای دو قسمتی را به یاد بیاوریم، این مثال را به راحتی می توان فهمید. اگر پیتزای بیشتری به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل دریافت می کنید:

مثال 3. کسر و .

دوباره اعداد را جمع می کنیم و مخرج را بدون تغییر می گذاریم:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به سه قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزای بیشتری به پیتزا اضافه کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 4.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال دقیقاً به همان روش قبلی حل شده است. اعداد باید اضافه شوند و مخرج بدون تغییر باقی بماند:

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به یک پیتزا اضافه کنید و پیتزاهای بیشتری اضافه کنید، 1 پیتزا کامل و پیتزا بیشتر خواهید داشت.

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در مورد جمع کسری با مخرج یکسان وجود ندارد. کافی است قوانین زیر را درک کنید:

1. برای اضافه کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

جمع کسری با مخرج های مختلف

حالا بیایید یاد بگیریم که چگونه کسری را با مخرج های مختلف جمع کنیم. هنگام جمع کردن کسرها، مخرج کسرها باید یکسان باشد. اما آنها همیشه یکسان نیستند.

به عنوان مثال، کسرها را می توان اضافه کرد زیرا مخرج های یکسانی دارند.

اما کسرها را نمی توان فوراً اضافه کرد، زیرا این کسرها مخرج های مختلف. در چنین مواردی، کسرها باید به یک مخرج (مشترک) کاهش یابد.

روش های مختلفی برای کاهش کسرها به مخرج یکسان وجود دارد. امروز ما تنها به یکی از آنها نگاه خواهیم کرد، زیرا روش های دیگر ممکن است برای یک مبتدی پیچیده به نظر برسند.

ماهیت این روش این است که ابتدا LCM مخرج هر دو کسر جستجو می شود. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود تا اولین عامل اضافی به دست آید. آنها همین کار را با کسر دوم انجام می دهند - LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید.

سپس صورت و مخرج کسرها در ضرایب اضافی آنها ضرب می شوند. در نتیجه این اعمال، کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم.

مثال 1. بیایید کسرهای و را جمع کنیم

اول از همه، ما کمترین مضرب مشترک مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول عدد 3 و مخرج کسر دوم عدد 2 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 6 است.

LCM (2 و 3) = 6

حال به کسرها و . ابتدا LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید و اولین عامل اضافی را بدست آورید. LCM عدد 6 است و مخرج کسر اول عدد 3 است.

عدد 2 حاصل اولین ضریب اضافی است. آن را تا کسر اول یادداشت می کنیم. برای انجام این کار، یک خط مایل کوچک روی کسری ایجاد کنید و فاکتور اضافی موجود در بالای آن را بنویسید:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم و عامل اضافی دوم را بدست می آوریم. LCM عدد 6 است و مخرج کسر دوم عدد 2 است.

عدد 3 حاصل، دومین ضریب اضافی است. آن را تا کسر دوم یادداشت می کنیم. مجدداً یک خط مایل کوچک روی کسر دوم ایجاد می کنیم و فاکتور اضافی موجود در بالای آن را می نویسیم:

اکنون همه چیز را برای اضافه کردن آماده کرده ایم. باقی مانده است که صورت و مخرج کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

با دقت نگاه کنید که به چه چیزی رسیده ایم. ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم. بیایید این مثال را تا آخر بیان کنیم:

این مثال را کامل می کند. معلوم می شود که اضافه می کند.

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل و یک ششم دیگر پیتزا دریافت خواهید کرد:

کاهش کسرها به مخرج یکسان (مشترک) نیز می تواند با استفاده از یک تصویر به تصویر کشیده شود. با کاهش کسرها و به یک مخرج مشترک، کسرها و . این دو کسر با همان تکه های پیتزا نشان داده می شوند. تنها تفاوت این است که این بار آنها به سهام مساوی تقسیم می شوند (به همان مخرج تقلیل می یابد).

اولین نقاشی نشان دهنده کسری (چهار قطعه از شش قطعه) و نقاشی دوم نشان دهنده یک کسری (سه قطعه از شش قطعه) است. با اضافه کردن این قطعات به دست می آید (هفت قطعه از شش). این کسر نامناسب است، بنابراین کل قسمت آن را برجسته کردیم. در نتیجه، ما دریافت کردیم (یک پیتزا کامل و ششمین پیتزا).

لطفا توجه داشته باشید که ما این مثال را با جزئیات بیش از حد توضیح داده ایم. که در موسسات آموزشینوشتن با این جزئیات مرسوم نیست. شما باید بتوانید به سرعت LCM مخرج ها و فاکتورهای اضافی به آنها را بیابید و همچنین عوامل اضافی یافت شده را به سرعت در صورت و مخرج خود ضرب کنید. اگر در مدرسه بودیم، باید این مثال را به صورت زیر بنویسیم:

اما همچنین وجود دارد سمت عقبمدال ها اگر در مراحل اول مطالعه ریاضیات جزییات یادداشت برداری نکنید، سوالاتی از این دست ظاهر می شوند. «این عدد از کجا می آید؟»، «چرا کسرها ناگهان به کسرهای کاملاً متفاوت تبدیل می شوند؟ «.

برای آسان تر کردن جمع کردن کسر با مخرج های مختلف، می توانید از دستورالعمل های گام به گام زیر استفاده کنید:

1. LCM مخرج کسرها را بیابید.
2. LCM را بر مخرج هر کسری تقسیم کنید و برای هر کسر یک عامل اضافی بدست آورید.
3. صورت و مخرج کسرها را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید.
4. کسری را اضافه کنید که مخرج یکسانی دارند.
5. اگر جواب کسری نامناسب بود، کل قسمت آن را انتخاب کنید.

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید .

بیایید از دستورالعمل های داده شده در بالا استفاده کنیم.

مرحله 1. LCM مخرج کسرها را پیدا کنید

LCM مخرج هر دو کسر را پیدا کنید. مخرج کسرها اعداد 2 و 3 و 4 هستند

مرحله 2. LCM را بر مخرج هر کسری تقسیم کنید و برای هر کسری یک عامل اضافی بدست آورید.

LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 2 است. 12 را بر 2 تقسیم می کنیم، عدد 6 به دست می آید. اولین عامل اضافی 6 را به دست می آوریم. آن را بالای کسری اول می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 بدست می آید. دومین عامل اضافی 4 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر دوم می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر سوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید، عدد 3 به دست می آید. سومین عامل اضافی 3 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر سوم می نویسیم:

مرحله 3. صورت و مخرج کسرها را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید

صورت‌ها و مخرج‌ها را در فاکتورهای اضافی ضرب می‌کنیم:

مرحله 4. کسری با مخرج یکسان را اضافه کنید

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی (مشترک) دارند. تنها چیزی که باقی می ماند اضافه کردن این کسرها است. اضافه کنید:

اضافه در یک خط جا نمی شد، بنابراین ما عبارت باقی مانده را به خط بعدی منتقل کردیم. این در ریاضیات مجاز است. وقتی یک عبارت در یک خط قرار نمی گیرد به سطر بعدی منتقل می شود و لازم است علامت مساوی (=) در انتهای سطر اول و در ابتدای سطر جدید قرار دهیم. علامت مساوی در خط دوم نشان می دهد که این ادامه عبارتی است که در خط اول بود.

مرحله 5. اگر جواب کسری نامناسب بود، کل قسمت آن را انتخاب کنید

جواب ما کسر نامناسبی بود. ما باید یک بخش کامل از آن را برجسته کنیم. برجسته می کنیم:

جواب گرفتیم

تفریق کسری با مخرج مشابه

دو نوع تفریق کسرها وجود دارد:

1. تفریق کسری با مخرج مشابه
2. تفریق کسری با مخرج های مختلف

ابتدا بیایید یاد بگیریم که چگونه کسرها را با مخرج مشابه کم کنیم. اینجا همه چیز ساده است. برای تفریق کسر دیگری از یک کسر، باید صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید، اما مخرج را ثابت بگذارید.

برای مثال، بیایید مقدار عبارت را پیدا کنیم. برای حل این مثال، باید صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید و مخرج آن را بدون تغییر رها کنید. بیا انجامش بدیم:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به چهار قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 2.مقدار عبارت را پیدا کنید.

باز هم از صورت کسر اول، کسر دوم را کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این مثال را به راحتی می توان فهمید اگر پیتزا را به یاد بیاوریم که به سه قسمت تقسیم شده است. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا دریافت خواهید کرد:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال دقیقاً به همان روش قبلی حل شده است. از شماره‌گذار کسر اول باید شمارنده‌های کسرهای باقی‌مانده را کم کنید:

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در مورد تفریق کسری با مخرج یکسان وجود ندارد. کافی است قوانین زیر را درک کنید:

1. برای تفریق کسر دیگری از یک کسر، باید صورت کسر دوم را از کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.
2. اگر جواب کسری نامناسب بود، باید کل قسمت آن را برجسته کنید.

تفریق کسری با مخرج های مختلف

به عنوان مثال، می توانید یک کسری را از یک کسر کم کنید، زیرا کسرها مخرج های یکسانی دارند. اما شما نمی توانید کسری را از یک کسر کم کنید، زیرا این کسرها مخرج های مختلفی دارند. در چنین مواردی، کسرها باید به یک مخرج (مشترک) کاهش یابد.

مخرج مشترک با استفاده از همان اصل که ما هنگام جمع کردن کسری با مخرج های مختلف استفاده می کردیم، پیدا می شود. اول از همه، LCM مخرج هر دو کسر را پیدا کنید. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود و اولین عامل اضافی بدست می آید که بالای کسر اول نوشته شده است. به همین ترتیب، LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید که بالای کسر دوم نوشته می شود.

سپس کسرها در عوامل اضافی خود ضرب می شوند. در نتیجه این عملیات، کسری هایی که مخرج های متفاوتی داشتند، به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم.

مثال 1.معنی عبارت را پیدا کنید:

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین باید آنها را به یک مخرج (مشترک) کاهش دهید.

ابتدا LCM مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول عدد 3 و مخرج کسر دوم عدد 4 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 12 است.

LCM (3 و 4) = 12

حال به کسرها و

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. برای انجام این کار، LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 را بدست می آوریم. بالای کسر اول یک عدد چهار بنویسید:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم کنید. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید، عدد 3 بدست می آید. روی کسر دوم یک عدد سه بنویسید:

اکنون برای تفریق آماده هستیم. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم. بیایید این مثال را تا آخر بیان کنیم:

جواب گرفتیم

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک نقاشی به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید، پیتزا می گیرید

این نسخه دقیقراه حل ها اگر در مدرسه بودیم، باید این مثال را کوتاه‌تر حل می‌کردیم. چنین راه حلی به شکل زیر است:

کاهش کسرها به مخرج مشترک نیز می تواند با استفاده از یک تصویر به تصویر کشیده شود. با تقلیل این کسرها به یک مخرج مشترک، کسرهای و . این کسری ها با تکه های پیتزا یکسان نشان داده می شوند، اما این بار به سهم های مساوی تقسیم می شوند (به مخرج یکسان کاهش می یابد):

تصویر اول کسری را نشان می دهد (هشت قطعه از دوازده) و تصویر دوم کسری را نشان می دهد (سه قطعه از دوازده). با بریدن سه تکه از هشت تکه، از دوازده تکه پنج قطعه بدست می آید. کسری این پنج قطعه را توصیف می کند.

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین ابتدا باید آنها را به یک مخرج (مشترک) کاهش دهید.

بیایید LCM مخرج این کسرها را پیدا کنیم.

مخرج کسرها اعداد 10، 3 و 5 هستند که کمترین مضرب مشترک این اعداد 30 است.

LCM(10، 3، 5) = 30

اکنون برای هر کسری فاکتورهای اضافی پیدا می کنیم. برای این کار، LCM را بر مخرج هر کسر تقسیم کنید.

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. LCM عدد 30 است و مخرج کسر اول عدد 10 است. 30 را بر 10 تقسیم کنید، اولین عامل اضافی 3 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر اول می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر دوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 30 را بر 3 تقسیم کنید، ضریب دوم اضافی 10 به دست می آید. آن را بالای کسر دوم می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر سوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر سوم عدد 5 است. 30 را بر 5 تقسیم کنید، سومین عامل اضافی 6 را بدست می آوریم. آن را بالای کسر سوم می نویسیم:

اکنون همه چیز برای تفریق آماده است. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی آنها ضرب کنیم:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری هایی که مخرج های متفاوتی دارند به کسری هایی تبدیل می شوند که مخرج های یکسانی (مشترک) دارند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را کم کنیم. بیایید این مثال را تمام کنیم.

ادامه مثال در یک خط قرار نمی گیرد، بنابراین ادامه را به خط بعدی منتقل می کنیم. علامت مساوی (=) را در خط جدید فراموش نکنید:

معلوم شد که پاسخ کسری منظم است، و به نظر می رسد همه چیز برای ما مناسب است، اما بیش از حد دست و پا گیر و زشت است. باید ساده ترش کنیم چه کاری می توان کرد؟ می توانید این کسر را کوتاه کنید.

برای کاهش یک کسری، باید صورت و مخرج آن را بر (GCD) اعداد 20 و 30 تقسیم کنید.

بنابراین، gcd اعداد 20 و 30 را پیدا می کنیم:

اکنون به مثال خود باز می گردیم و صورت و مخرج کسر را بر gcd یافت شده تقسیم می کنیم، یعنی بر 10.

جواب گرفتیم

ضرب کسری در عدد

برای ضرب یک کسری در یک عدد باید صورت کسری را در آن عدد ضرب کنید و مخرج را ثابت بگذارید.

مثال 1. کسری را در عدد 1 ضرب کنید.

عدد کسری را در عدد 1 ضرب کنید

ضبط را می توان به صورت نیمی از 1 بار در نظر گرفت. به عنوان مثال، اگر یک بار پیتزا بخورید، پیتزا دریافت می کنید

از قوانین ضرب می دانیم که اگر ضرب و ضریب مبادله شوند، حاصلضرب تغییر نمی کند. اگر عبارت به صورت نوشته شود، محصول همچنان برابر خواهد بود. دوباره، قانون ضرب یک عدد کامل و یک کسری کار می کند:

این نماد را می توان به عنوان گرفتن نیمی از یک درک کرد. به عنوان مثال، اگر 1 پیتزا کامل باشد و نصف آن را برداریم، پیتزا خواهیم داشت:

مثال 2. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

عدد کسر را در 4 ضرب کنید

پاسخ کسری نامناسب بود. بیایید تمام قسمت آن را برجسته کنیم:

این عبارت را می توان به صورت دو چهارم 4 بار در نظر گرفت. به عنوان مثال، اگر 4 پیتزا بگیرید، دو پیتزا کامل دریافت خواهید کرد

و اگر ضریب و ضریب را عوض کنیم، عبارت . همچنین برابر با 2 خواهد بود. این عبارت را می توان به صورت گرفتن دو پیتزا از چهار پیتزا کامل فهمید:

ضرب کسرها

برای ضرب کسرها باید صورت و مخرج آنها را ضرب کنید. اگر جواب کسری نامناسب بود، باید کل قسمت آن را برجسته کنید.

مثال 1.مقدار عبارت را پیدا کنید.

جواب گرفتیم. توصیه می شود این کسر را کاهش دهید. کسر را می توان به 2 کاهش داد. سپس محلول نهایی به شکل زیر خواهد بود:

این عبارت را می توان به صورت گرفتن پیتزا از نصف پیتزا فهمید. فرض کنید نصف پیتزا داریم:

چگونه دو سوم از این نیمه را بگیریم؟ ابتدا باید این نیمه را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید:

و از این سه قطعه دو عدد بردارید:

پیتزا درست میکنیم به یاد داشته باشید که وقتی پیتزا به سه قسمت تقسیم می شود چه شکلی می شود:

یک تکه از این پیتزا و دو تکه ای که ما برداشتیم ابعاد یکسانی دارند:

به عبارت دیگر، ما در موردپیتزا هم اندازه بنابراین ارزش عبارت است

مثال 2. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

صورت کسر اول را در کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید:

پاسخ کسری نامناسب بود. بیایید تمام قسمت آن را برجسته کنیم:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

صورت کسر اول را در کسر دوم و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید:

جواب کسری منظم بود اما اگر کوتاه می شد خوب بود. برای کاهش این کسر باید صورت و مخرج این کسر را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) اعداد 105 و 450 تقسیم کنید.

بنابراین، بیایید gcd اعداد 105 و 450 را پیدا کنیم:

اکنون صورت و مخرج پاسخ خود را بر gcd که اکنون پیدا کرده ایم، یعنی بر 15 تقسیم می کنیم.

نمایش یک عدد کامل به صورت کسری

هر عدد کامل را می توان به صورت کسری نشان داد. به عنوان مثال، عدد 5 را می توان به صورت . این معنی پنج را تغییر نمی دهد، زیرا این عبارت به معنای "عدد پنج تقسیم بر یک" است و همانطور که می دانیم برابر با پنج است:

اعداد متقابل

اکنون با بسیار آشنا می شویم موضوع جالبدر ریاضیات به آن "اعداد معکوس" می گویند.

تعریف. معکوس به عددآ عددی است که وقتی در آن ضرب شودآ یکی می دهد.

بیایید در این تعریف به جای متغیر جایگزین کنیم آشماره 5 و سعی کنید تعریف را بخوانید:

معکوس به عدد 5 عددی است که وقتی در آن ضرب شود 5 یکی می دهد.

آیا می توان عددی را پیدا کرد که با ضرب در 5 یک عدد بدست آورد؟ معلوم می شود امکان پذیر است. بیایید پنج را به صورت کسری تصور کنیم:

سپس این کسر را در خودش ضرب کنید، فقط صورت و مخرج را عوض کنید. به عبارت دیگر، بیایید کسر را در خودش ضرب کنیم، فقط وارونه:

در نتیجه این اتفاق چه خواهد شد؟ اگر به حل این مثال ادامه دهیم، یکی به دست می آید:

این بدان معنی است که معکوس عدد 5 عدد است، زیرا وقتی 5 را در ضرب می کنیم یک به دست می آید.

متقابل یک عدد را می توان برای هر عدد صحیح دیگری نیز یافت.

شما همچنین می توانید متقابل هر کسری دیگر را پیدا کنید. برای این کار کافیست آن را برگردانید.

تقسیم کسری بر عدد

فرض کنید نصف پیتزا داریم:

بیایید آن را به طور مساوی بین دو تقسیم کنیم. هر نفر چقدر پیتزا می گیرد؟

مشاهده می شود که پس از تقسیم نصف پیتزا دو تکه مساوی به دست آمد که هر کدام یک پیتزا را تشکیل می دهند. بنابراین همه یک پیتزا می گیرند.

تقسیم کسرها با استفاده از متقابل انجام می شود. اعداد متقابل به شما امکان می دهند تقسیم را با ضرب جایگزین کنید.

برای تقسیم کسری بر یک عدد باید کسر را در معکوس مقسوم علیه ضرب کرد.

با استفاده از این قانون تقسیم نیمی از پیتزا را به دو قسمت یادداشت می کنیم.

بنابراین، شما باید کسر را بر عدد 2 تقسیم کنید. در اینجا سود تقسیمی کسره و مقسوم علیه عدد 2 است.

برای تقسیم کسری بر عدد 2 باید این کسر را در متقابل مقسوم علیه 2 ضرب کنید. بنابراین باید در آن ضرب کنید