نحوه نوشتن کسرهای اعشاری نحوه صحیح خواندن اعداد اعشاری اعداد پایانی

در این مقاله خواهیم فهمید که کسر اعشاری چیست، چه ویژگی ها و ویژگی هایی دارد. برو! 🙂

کسر اعشاری حالت خاصی از کسرهای معمولی است (که در آن مخرج مضرب 10 است).

تعریف

اعشار کسری هستند که مخرج آنها اعدادی متشکل از یک و تعدادی صفر بعد از آن است. یعنی اینها کسرهایی با مخرج 10، 100، 1000 و غیره هستند. در غیر این صورت، کسر اعشاری را می توان به عنوان کسری با مخرج 10 یا یکی از توان های ده مشخص کرد.

نمونه هایی از کسرها:

, ,

کسرهای اعشاری متفاوت از کسرهای معمولی نوشته می شوند. عملیات با این کسرها نیز با عملیات معمولی متفاوت است. قوانین عملیات با آنها تا حد زیادی شبیه به قوانین عملیات با اعداد صحیح است. این به ویژه تقاضای آنها را برای حل مشکلات عملی توضیح می دهد.

نمایش کسری در نماد اعشاری

کسر اعشاری مخرج ندارد، عدد عدد را نشان می دهد. که در نمای کلیکسر اعشاری طبق طرح زیر نوشته می شود:

که در آن X قسمت صحیح کسری است، Y قسمت کسری آن، "،" نقطه اعشار است.

برای ارائه مناسب کسر مشترکبه صورت اعشاری، باید صحیح باشد، یعنی با قسمت صحیح برجسته شده (در صورت امکان) و یک عدد کوچکتر از مخرج. سپس در نماد اعشاری، قسمت صحیح قبل از نقطه اعشار (X)، و صورت‌گر کسری مشترک بعد از نقطه اعشار (Y) نوشته می‌شود.

اگر صورت‌گر دارای عددی با ارقام کمتر از تعداد صفرهای مخرج باشد، در قسمت Y تعداد اعداد از دست رفته در نماد اعشاری با صفرهای جلوتر از ارقام کسر پر می‌شود.

مثال:

اگر کسر مشترک کمتر از 1 باشد، به عنوان مثال. قسمت صحیح ندارد، سپس برای X به صورت اعشاری 0 بنویسید.

در قسمت کسری (Y) بعد از آخرین رقم معنی دار (غیر صفر) می توان تعداد دلخواه صفر را وارد کرد. این بر مقدار کسری تأثیر نمی گذارد. برعکس، تمام صفرهای انتهای قسمت کسری اعشار را می توان حذف کرد.

خواندن اعشار

قسمت X به طور کلی به صورت زیر خوانده می شود: "X اعداد صحیح".

قسمت Y با توجه به عدد در مخرج خوانده می شود. برای مخرج 10 باید بخوانید: "Y دهم"، برای مخرج 100: "Y صدم"، برای مخرج 1000: "Y هزارم" و غیره... 😉

روش دیگری برای خواندن، بر اساس شمارش تعداد ارقام جزء کسری، صحیح تر تلقی می شود. برای انجام این کار، باید بدانید که ارقام کسری در یک تصویر آینه ای با توجه به ارقام کل قسمت کسری قرار دارند.

اسامی برای خواندن صحیح در جدول آورده شده است:

بر این اساس خواندن باید بر اساس رعایت نام رقم آخرین رقم قسمت کسری باشد.

• 3.5 به عنوان "سه نقطه پنج" خوانده می شود
• 0.016 می گوید "نقطه صفر شانزده هزارم"

تبدیل کسر دلخواه به اعشار

اگر مخرج یک کسر مشترک 10 یا مقداری توان ده باشد، تبدیل کسری همانطور که در بالا توضیح داده شد انجام می شود. در شرایط دیگر، تغییرات اضافی مورد نیاز است.

2 روش ترجمه وجود دارد.

روش اول انتقال

صورت و مخرج باید در یک عدد صحیح ضرب شوند که مخرج عدد 10 یا یکی از توان های ده را تولید کند. و سپس کسری به صورت اعشاری نشان داده می شود.

این روش برای کسری که مخرج آنها فقط به 2 و 5 قابل گسترش است قابل استفاده است. بنابراین، در مثال قبلی . اگر بسط شامل فاکتورهای اصلی دیگری باشد (مثلاً)، پس باید به روش دوم متوسل شوید.

روش دوم ترجمه

روش دوم تقسیم صورت بر مخرج در یک ستون یا روی ماشین حساب است. کل قسمت، در صورت وجود، در تحول شرکت نمی کند.

قانون تقسیم طولانی که منجر به کسری اعشاری می شود در زیر توضیح داده شده است (به تقسیم اعشار مراجعه کنید).

تبدیل کسر اعشاری به کسری معمولی

برای این کار باید قسمت کسری آن را (در سمت راست اعشار) به عنوان صورت و نتیجه خواندن قسمت کسری را به عنوان عدد مربوطه در مخرج بنویسید. بعد، در صورت امکان، باید کسر حاصل را کاهش دهید.

کسر اعشاری متناهی و نامتناهی

کسر اعشاری را کسر نهایی می گویند که قسمت کسری آن از تعداد محدودی رقم تشکیل شده است.

تمام مثال های بالا شامل کسرهای اعشاری نهایی هستند. با این حال، هر کسری معمولی را نمی توان به عنوان اعشار نهایی نشان داد. اگر روش تبدیل اول برای یک کسر معین قابل اجرا نباشد و روش دوم نشان دهد که تقسیم نمی‌تواند کامل شود، آنگاه فقط یک کسر اعشاری نامتناهی می‌توان به دست آورد.

نوشتن کسر نامتناهی به شکل کامل آن غیرممکن است. در شکل ناقص، چنین کسرهایی را می توان نشان داد:

1. در نتیجه کاهش به تعداد ارقام اعشاری مورد نظر؛
2. به عنوان کسر تناوبی

کسری دوره ای نامیده می شود اگر بعد از نقطه اعشار بتوان یک دنباله اعداد بی پایان تکرار شونده را تشخیص داد.

کسرهای باقی مانده را غیر تناوبی می نامند. برای کسرهای غیر تناوبی، تنها روش اول نمایش (گرد) مجاز است.

نمونه ای از کسر تناوبی: 0.8888888... در اینجا یک عدد 8 تکرار می شود که بدیهی است تا بی نهایت تکرار می شود، زیرا دلیلی بر خلاف آن وجود ندارد. این رقم نامیده می شود دوره کسری.

کسرهای تناوبی می توانند خالص یا مخلوط باشند. کسری اعشاری خالص کسری است که دوره آن بلافاصله پس از نقطه اعشار شروع می شود. U کسر مختلط 1 یا چند رقم قبل از نقطه اعشار وجود دارد.

54.33333… – کسر اعشاری خالص تناوبی

2.5621212121… – کسر مختلط تناوبی

نمونه هایی از نوشتن کسرهای اعشاری بی نهایت:

مثال دوم نحوه صحیح قالب بندی یک نقطه را در نوشتن کسر تناوبی نشان می دهد.

تبدیل کسرهای اعشاری تناوبی به کسرهای معمولی

برای تبدیل کسر تناوبی خالص به یک دوره معمولی، آن را در صورت حساب بنویسید و عددی متشکل از نه را به مقداری برابر با تعداد ارقام نقطه در مخرج بنویسید.

کسر اعشاری متناوب مخلوط به صورت زیر ترجمه می شود:

1. شما باید یک عدد متشکل از عدد بعد از نقطه اعشار قبل از نقطه و اولین نقطه تشکیل دهید.
2. از عدد حاصل، عدد بعد از نقطه اعشار قبل از نقطه را کم کنید. نتیجه عدد کسری مشترک خواهد بود.
3. در مخرج باید عددی متشکل از 9 برابر تعداد ارقام دوره و به دنبال آن صفرها وارد کنید که تعداد آنها برابر است با تعداد ارقام عدد بعد از نقطه اعشار قبل از 1. دوره زمانی.

مقایسه اعداد اعشاری

اعداد اعشاریدر ابتدا با کل اجزای خود مقایسه می شوند. کسری که کل قسمت آن بزرگتر است بزرگتر است.

اگر اجزای صحیح یکسان هستند، ارقام ارقام مربوطه قسمت کسری را با هم مقایسه کنید، از اول (از دهم) شروع کنید. در اینجا نیز همین اصل صدق می کند: کسر بزرگتر، کسری است که دهمهای بیشتری دارد. اگر ارقام دهم برابر باشند، ارقام صدم ها با هم مقایسه می شوند و به همین ترتیب.

از آنجا که

، از آنجایی که با قطعات کامل مساوی و دهمهای مساوی در قسمت کسری، کسر دوم یک صدم بزرگتر دارد.

جمع و تفریق اعشار

اعداد اعشاری مانند اعداد کامل با نوشتن ارقام مربوطه در زیر یکدیگر جمع و تفریق می شوند. برای این کار باید اعشار زیر یکدیگر داشته باشید. سپس واحدهای (دهگان و ...) جزء صحیح و همچنین دهمین (صدم و ...) جزء کسری مطابق می شوند. ارقام گمشده قسمت کسری با صفر پر می شود. به طور مستقیم فرآیند جمع و تفریق همانند اعداد صحیح انجام می شود.

ضرب اعشار

برای ضرب اعشار باید آنها را یکی زیر دیگری بنویسید و با آخرین رقم تراز شده و به محل اعشار توجه نکنید. سپس باید اعداد را به همان روشی که در ضرب اعداد کامل ضرب می کنید، ضرب کنید. پس از دریافت نتیجه، باید تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار را در هر دو کسر دوباره محاسبه کنید و تعداد کل ارقام کسری در عدد حاصل را با کاما جدا کنید. اگر ارقام کافی وجود نداشته باشد، آنها با صفر جایگزین می شوند.

ضرب و تقسیم اعشار بر 10n

این اقدامات ساده هستند و به جابجایی نقطه اعشار خلاصه می شوند. پ هنگام ضرب، نقطه اعشار به سمت راست منتقل می شود (کسری افزایش می یابد) با تعدادی رقم برابر با تعداد صفرهای 10n، که در آن n یک توان عدد صحیح دلخواه است. یعنی تعداد معینی از ارقام از قسمت کسری به کل قسمت منتقل می شود. بر این اساس هنگام تقسیم ، کاما به سمت چپ منتقل می شود (تعداد کاهش می یابد) و برخی از ارقام از قسمت صحیح به قسمت کسری منتقل می شوند. اگر اعداد کافی برای انتقال وجود نداشته باشد، بیت های از دست رفته با صفر پر می شوند.

تقسیم یک عدد اعشاری و یک عدد کامل بر یک عدد کامل و یک عدد اعشاری

تقسیم اعشار بر یک عدد صحیح شبیه تقسیم دو عدد صحیح است. علاوه بر این، شما فقط باید موقعیت نقطه اعشار را در نظر بگیرید: هنگام حذف رقم یک مکان به دنبال کاما، باید یک کاما را بعد از رقم فعلی پاسخ تولید شده قرار دهید. در مرحله بعد باید تقسیم را ادامه دهید تا به صفر برسید. اگر علائم کافی در سود تقسیمی برای تقسیم کامل وجود نداشته باشد، باید از صفر به عنوان آنها استفاده شود.

به همین ترتیب، اگر تمام ارقام سود حذف شوند و تقسیم کامل هنوز کامل نشده باشد، 2 عدد صحیح به یک ستون تقسیم می شود. در این حالت، پس از حذف آخرین رقم سود، یک نقطه اعشار در پاسخ حاصل قرار می گیرد و از صفر به عنوان ارقام حذف شده استفاده می شود. آن ها سود سهام در اینجا اساساً به عنوان یک کسر اعشاری با یک بخش کسری صفر نشان داده می شود.

برای تقسیم یک کسر اعشاری (یا یک عدد صحیح) بر یک عدد اعشاری، باید تقسیم کننده و مقسوم علیه را در عدد 10 n ضرب کنید که در آن تعداد صفرها برابر با تعداد ارقام بعد از نقطه اعشار در مقسوم علیه است. به این ترتیب از شر اعشار کسری که می خواهید بر آن تقسیم کنید خلاص می شوید. علاوه بر این، فرآیند تقسیم با آنچه در بالا توضیح داده شد مطابقت دارد.

نمایش گرافیکی کسرهای اعشاری

کسرهای اعشاری به صورت گرافیکی با استفاده از یک خط مختصات نشان داده می شوند. برای انجام این کار، بخش های جداگانه به 10 قسمت مساوی تقسیم می شوند، همانطور که سانتی متر و میلی متر به طور همزمان روی یک خط کش علامت گذاری می شوند. این تضمین می کند که اعشار به طور دقیق نمایش داده می شوند و می توان آنها را به طور عینی مقایسه کرد.

برای اینکه تقسیم‌بندی‌ها روی بخش‌های مجزا یکسان باشند، باید طول خود بخش را با دقت در نظر بگیرید. باید به گونه ای باشد که بتوان از راحتی تقسیم اضافی اطمینان حاصل کرد.

عدد کسری

نماد اعشاری یک عدد کسریمجموعه ای از دو یا چند رقم از $0$ تا $9$ است که بین آنها به اصطلاح \textit (نقطه اعشاری) وجود دارد.

مثال 1

به عنوان مثال، $35.02 $; 100.7 دلار؛ $123\456.5$; 54.89 دلار

سمت چپ ترین رقم در نماد اعشاری یک عدد نمی تواند صفر باشد، تنها استثنا زمانی است که نقطه اعشار بلافاصله بعد از رقم اول $0 باشد.

مثال 2

به عنوان مثال، $0.357 $; 0.064 دلار

اغلب نقطه اعشار با یک نقطه اعشار جایگزین می شود. به عنوان مثال، $35.02 $; 100.7 دلار؛ $123\456.5$; 54.89 دلار

تعریف اعشاری

تعریف 1

اعداد اعشاری-- اینها اعداد کسری هستند که به صورت اعشاری نشان داده می شوند.

به عنوان مثال، 121.05 دلار؛ 67.9 دلار؛ 345.6700 دلار.

از اعشار برای فشرده‌تر نوشتن کسرهای مناسب استفاده می‌شود که مخرج آنها اعداد $10$, $100$, $1\000$ و غیره است. و اعداد مختلط که مخرج جزء کسری آن اعداد $10$، $100$، $1\000$ و غیره است.

به عنوان مثال، کسر مشترک $\frac(8)(10)$ را می توان به صورت اعشاری $0.8$، و عدد مختلط $405\frac(8)(100)$ را می توان به صورت $405.08$ اعشاری نوشت.

خواندن اعشار

کسرهای اعشاری که مربوط به کسرهای منظم هستند، مانند کسرهای معمولی خوانده می شوند، فقط عبارت "عدد صحیح صفر" در جلو اضافه می شود. به عنوان مثال، کسر مشترک $\frac(25)(100)$ (خوانده شده "بیست و پنج صدم") با کسری اعشاری $0.25$ مطابقت دارد (بخوانید "نقطه صفر بیست و پنج صدم").

کسرهای اعشاری که با اعداد مختلط مطابقت دارند مانند اعداد مختلط خوانده می شوند. به عنوان مثال، عدد مختلط $43\frac(15)(1000)$ با کسری اعشاری $43.015$ مطابقت دارد (بخوانید "چهل و سه نقطه پانزده هزارم").

مکان ها در اعشار

در نوشتن کسر اعشاری، معنای هر رقم به موقعیت آن بستگی دارد. آن ها در کسرهای اعشاری این مفهوم نیز کاربرد دارد دسته بندی.

مکان های کسری اعشاری تا نقطه اعشار همان مکان های اعداد طبیعی نامیده می شوند. ارقام اعشار بعد از اعشار در جدول ذکر شده است:

تصویر 1.

مثال 3

به عنوان مثال، در کسری اعشاری $56.328$، رقم $5$ در محل ده ها، $6$ در محل واحدها، $3$ در مکان دهم، $2$ در مکان صدم، $8$ در هزارم است. محل.

مکان ها در کسرهای اعشاری با اولویت متمایز می شوند. هنگام خواندن کسر اعشاری، از چپ به راست حرکت کنید - از ارشدرتبه به جوان تر.

مثال 4

به عنوان مثال، در کسری اعشاری 56.328 دلار، مهم ترین (بالاترین) مکان مکان ده ها و پایین ترین مکان (پایین ترین) مکان هزارم است.

یک کسر اعشاری را می توان به ارقامی شبیه به تجزیه رقمی یک عدد طبیعی گسترش داد.

مثال 5

برای مثال، بیایید کسر اعشاری $37.851$ را به ارقام تقسیم کنیم:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

اعداد پایانی

تعریف 2

اعداد پایانیکسرهای اعشاری نامیده می شوند که رکوردهای آنها شامل تعداد محدودی کاراکتر (رقم) است.

به عنوان مثال، $0.138 $; 5.34 دلار؛ 56.123456 دلار؛ 350,972.54 دلار.

هر کسر اعشاری محدود را می توان به کسری یا عدد مختلط تبدیل کرد.

مثال 6

به عنوان مثال، کسر اعشاری نهایی $7.39$ پاسخ می دهد یک عدد کسری$7\frac(39)(100)$، و کسر اعشاری نهایی $0.5$ مربوط به کسری معمولی مناسب $\frac(5)(10)$ (یا هر کسری که برابر با آن است، برای مثال، $\frac است. (1) (2)$ یا $\frac(10)(20)$.

تبدیل کسر به اعشار

تبدیل کسری با مخرج $10، 100، \dots$ به اعشار

قبل از تبدیل برخی کسرهای مناسب به اعشار، ابتدا باید آنها را "آماده کرد". نتیجه چنین آماده سازی باید همان تعداد ارقام در صورتگر و همان تعداد صفر در مخرج باشد.

ماهیت "آماده سازی اولیه" کسرهای معمولی مناسب برای تبدیل به کسرهای اعشاری، اضافه کردن چنین تعداد صفر به سمت چپ در صورت‌دهنده است که تعداد کل ارقام برابر با تعداد صفرهای مخرج می‌شود.

مثال 7

برای مثال، بیایید کسر $\frac(43)(1000)$ را برای تبدیل به اعشار آماده کنیم و $\frac(043)(1000)$ را بدست آوریم. و کسر معمولی $\frac(83)(100)$ نیازی به آماده سازی ندارد.

فرمول بندی کنیم قانون تبدیل کسر مشترک مناسب با مخرج 10$ یا 100$ یا 1\000$, $\dots$ به کسری اعشاری:

$0$ بنویسید.

بعد از آن یک نقطه اعشار قرار داد.

عدد را از صورت‌حساب یادداشت کنید (به همراه صفرهای اضافه شده پس از آماده‌سازی، در صورت لزوم).

مثال 8

کسر مناسب $\frac(23)(100)$ را به اعشار تبدیل کنید.

راه حل.

مخرج شامل عدد $100$ است که شامل $2$ و دو صفر است. شماره‌گذار شامل عدد $23$ است که با $2$.رقم نوشته می‌شود. یعنی نیازی به آماده سازی این کسر برای تبدیل به اعشار نیست.

بیایید $0$ را بنویسیم، یک نقطه اعشار قرار داده و عدد $23$ را از صورت حساب یادداشت کنیم. کسر اعشاری 0.23$ را دریافت می کنیم.

پاسخ: $0,23$.

مثال 9

کسر مناسب $\frac(351)(100000)$ را به صورت اعشاری بنویسید.

راه حل.

شماره‌گذار این کسر شامل رقم‌های $3$ است و تعداد صفرهای مخرج $5$ است، بنابراین این کسر معمولی باید برای تبدیل به اعشار آماده شود. برای انجام این کار، باید صفرهای $5-3=2$ را به سمت چپ در صورت‌گر اضافه کنید: $\frac(00351)(100000)$.

حالا می توانیم کسر اعشاری مورد نظر را تشکیل دهیم. برای انجام این کار، $0$ را یادداشت کنید، سپس یک کاما اضافه کنید و عدد را از شماره‌گذار یادداشت کنید. کسر اعشاری 0.00351$ را دریافت می کنیم.

پاسخ: $0,00351$.

فرمول بندی کنیم قانون تبدیل کسرهای نامناسب با مخرج $10$, $100$, $\dots$ به کسرهای اعشاری:

عدد را از روی شمارنده بنویسید؛

از یک نقطه اعشار برای جدا کردن رقم های سمت راست به تعداد صفر در مخرج کسر اصلی استفاده کنید.

مثال 10

کسر نامناسب $\frac(12756)(100)$ را به اعشار تبدیل کنید.

راه حل.

بیایید عدد را از صورت‌گر $12756$ بنویسیم، سپس ارقام $2$ را در سمت راست با یک نقطه اعشار جدا کنیم، زیرا مخرج کسر اصلی $2$ صفر است. کسر اعشاری 127.56 دلار را دریافت می کنیم.

کسرهای اعشاری همان کسرهای معمولی هستند، اما به اصطلاح به صورت اعشاری هستند. نماد اعشاری برای کسری با مخرج 10، 100، 1000 و غیره استفاده می شود. به جای کسر، 1/10; 1/100; 1/1000; ... نوشتن 0.1; 0.01; 0.001;... .

به عنوان مثال، 0.7 ( نقطه صفر هفت) کسری 7/10 است. 5.43 ( پنج امتیاز چهل و سه) یک کسر مختلط 5 43/100 (یا، که همان، کسری نادرست 543/100) است.

ممکن است بلافاصله پس از نقطه اعشار یک یا چند صفر وجود داشته باشد: 1.03 کسر 1 3/100 است. 17.0087 کسر 17 87/10000 است. قانون کلیاین است: مخرج کسری مشترک باید به تعداد اعداد بعد از اعشار در کسر اعشاری صفر داشته باشد..

کسر اعشاری ممکن است به یک یا چند صفر ختم شود. به نظر می رسد که این صفرها "اضافی" هستند - آنها را می توان به سادگی حذف کرد: 1.30 = 1.3. 5.4600 = 5.46; 3000 = 3. بفهمید چرا اینطور است؟

اعشار به طور طبیعی هنگام تقسیم بر اعداد "گرد" به وجود می آیند - 10، 100، 1000، ... حتماً مثال های زیر را درک کنید:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

آیا متوجه الگوی اینجا هستید؟ سعی کنید آن را فرموله کنید. اگر یک کسر اعشاری را در 10، 100، 1000 ضرب کنیم چه اتفاقی می افتد؟

برای تبدیل یک کسر معمولی به اعشار، باید آن را به مقداری مخرج "گرد" کاهش دهید:

2/5 = 4/10 = 0.4; 11/20 = 55/100 = 0.55; 9/2 = 45/10 = 4.5 و غیره

اضافه کردن اعداد اعشاری بسیار ساده تر از جمع کردن کسری است. جمع به همان روشی که با اعداد معمولی انجام می شود - با توجه به ارقام مربوطه. هنگام اضافه کردن در یک ستون، عبارت ها باید طوری نوشته شوند که کاماهای آنها روی یک عمود باشد. ویرگول جمع نیز روی همان عمود خواهد بود. تفریق کسرهای اعشاری دقیقاً به همین ترتیب انجام می شود.

اگر هنگام جمع یا تفریق در یکی از کسرها، تعداد ارقام بعد از اعشار کمتر از دیگری باشد، باید تعداد صفرهای لازم را به انتهای این کسر اضافه کرد. شما نمی توانید این صفرها را اضافه کنید، بلکه به سادگی آنها را در ذهن خود تصور کنید.

هنگام ضرب کسرهای اعشاری، آنها باید دوباره به صورت اعداد معمولی ضرب شوند (دیگر لازم نیست کاما زیر نقطه اعشار بنویسید). در نتیجه، باید تعدادی از ارقام را با کاما از هم جدا کنید که مجموع رقم های اعشار در هر دو عامل است.

هنگام تقسیم کسرهای اعشاری، می توانید به طور همزمان نقطه اعشار در تقسیم و مقسوم علیه را به همان تعداد مکان به سمت راست حرکت دهید: این ضریب را تغییر نمی دهد:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

توضیح دهید که چرا این چنین است؟

1. یک مربع 10×10 بکشید. قسمتی از آن را به اندازه زیر رنگ کنید: الف) 0.02; ب) 0.7; ج) 0.57; د) 0.91; ه) 0.135 مساحت کل مربع.
2. مربع 2.43 چیست؟ آن را در یک تصویر بکشید.
3. عدد 37 را بر 10 تقسیم کنید. 795; 4; 2.3; 65.27; 0.48 و نتیجه را به صورت کسری اعشاری بنویسید. همین اعداد را بر 100 و 1000 تقسیم کنید.
4. اعداد 4.6 را در 10 ضرب کنید. 6.52; 23.095; 0.01999. همین اعداد را در 100 و 1000 ضرب کنید.
5. اعشار را به صورت کسری نشان داده و آن را کاهش دهید:
   الف) 0.5؛ 0.2; 0.4; 0.6; 0.8;
   ب) 0.25; 0.75; 0.05; 0.35; 0.025;
   ج) 0.125; 0.375; 0.625; 0.875;
   د) 0.44; 0.26; 0.92; 0.78; 0.666; 0.848.
6. ارائه به صورت کسر مختلط: 1.5; 3.2; 6.6; 2.25; 10.75; 4.125; 23.005; 7.0125.
7. کسری را به صورت اعشاری بیان کنید:
   الف) 1/2؛ 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   ب) 1/4؛ 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   ج) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   د) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. حاصل جمع را بیابید: الف) 7.3+12.8; ب) 65.14+49.76; ج) 3.762+12.85; د) 85.4+129.756; ه) 1.44+2.56.
9. یک را به عنوان مجموع دو اعشار در نظر بگیرید. بیست راه دیگر برای ارائه آن به این شکل پیدا کنید.
10. تفاوت را بیابید: الف) 13.4–8.7. ب) 74.52-27.04; ج) 49.736-43.45; د) 127.24-93.883; ه) 67-52.07; ه) 35.24-34.9975.
11. محصول را بیابید: a) 7.6·3.8; ب) 4.8·12.5; ج) 2.39·7.4; د) 3.74·9.65.

این اتفاق می افتد که برای راحتی محاسبات باید یک کسری معمولی را به اعشار تبدیل کنید و بالعکس. در این مقاله در مورد نحوه انجام این کار صحبت خواهیم کرد. بیایید به قوانین تبدیل کسرهای معمولی به اعشار و بالعکس نگاهی بیندازیم و مثال هایی را نیز بیان کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ما تبدیل کسرهای معمولی به اعشار را با دنبال کردن یک دنباله مشخص در نظر خواهیم گرفت. ابتدا، بیایید ببینیم که چگونه کسرهای معمولی با مخرج مضرب 10 به اعشار تبدیل می‌شوند: 10، 100، 1000، و غیره.

در ادامه به نحوه تبدیل کسرهای معمولی با هر مخرج، نه فقط مضرب 10، به کسری اعشاری خواهیم پرداخت. توجه داشته باشید که هنگام تبدیل کسرهای معمولی به اعشاری، نه تنها اعشار متناهی، بلکه کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی به دست می آیند.

بیا شروع کنیم!

ترجمه کسرهای معمولی با مخرج 10، 100، 1000 و غیره. به اعشار

اول از همه، اجازه دهید بگوییم که برخی از کسرها قبل از تبدیل به فرم اعشاری نیاز به آماده سازی دارند. چیست؟ قبل از عدد موجود در صورت، باید آنقدر صفر اضافه کنید تا تعداد ارقام در صورت مساوی با تعداد صفرهای مخرج شود. به عنوان مثال، برای کسر 3100، عدد 0 باید یک بار به سمت چپ 3 در صورت جمع شود. کسری 610 طبق قانون ذکر شده در بالا نیازی به اصلاح ندارد.

بیایید به یک مثال دیگر نگاه کنیم، پس از آن قاعده ای را تدوین می کنیم که در ابتدا استفاده از آن به خصوص راحت است، در حالی که تجربه زیادی در تبدیل کسر وجود ندارد. بنابراین، کسری 1610000 پس از جمع کردن صفرها در صورت، شبیه 001510000 خواهد شد.

نحوه تبدیل کسر مشترک با مخرج 10، 100، 1000 و غیره به اعشار؟

قانون تبدیل کسرهای معمولی مناسب به اعشار

1. 0 را یادداشت کرده و بعد از آن یک کاما قرار دهید.
2. عددی را که پس از جمع صفرها به دست آمده را از روی عددی یادداشت می کنیم.

حال به سراغ مثال‌ها می‌رویم.

مثال 1: تبدیل کسرها به اعشار

بیایید کسر 39100 را به اعشار تبدیل کنیم.

ابتدا به کسری نگاه می کنیم و می بینیم که نیازی به انجام اقدامات مقدماتی نیست - تعداد ارقام در صورت شمار با تعداد صفرهای مخرج منطبق است.

طبق قانون 0 می نویسیم و بعد از آن یک اعشار می گذاریم و عدد را از روی صورتگر می نویسیم. کسر اعشاری 0.39 را می گیریم.

بیایید به راه حل مثال دیگری در این موضوع نگاه کنیم.

مثال 2. تبدیل کسرها به اعشار

بیایید کسر 105 10000000 را به صورت اعشاری بنویسیم.

تعداد صفرهای مخرج 7 است و صورتگر فقط سه رقم دارد. بیایید 4 صفر دیگر را قبل از عدد موجود در صورتگر اضافه کنیم:

0000105 10000000

حالا 0 را یادداشت می کنیم و بعد از آن یک نقطه اعشار می گذاریم و عدد را از صورت حساب می نویسیم. کسر اعشاری 0.0000105 را می گیریم.

کسرهای در نظر گرفته شده در همه مثالها کسرهای معمولی هستند. اما چگونه می توان یک کسر نامناسب را به اعشار تبدیل کرد؟ بیایید بلافاصله بگوییم که نیازی به آماده سازی با افزودن صفر برای چنین کسری نیست. بیایید یک قانون تدوین کنیم.

قانون تبدیل کسرهای نامناسب معمولی به اعشار

1. عددی را که در صورتگر است بنویسید.
2. ما از یک نقطه اعشار برای جدا کردن رقم های سمت راست به تعداد صفر در مخرج کسر اصلی استفاده می کنیم.

در زیر مثالی از نحوه استفاده از این قانون آورده شده است.

مثال 3. تبدیل کسرها به اعشار

بیایید کسر 56888038009 100000 را از یک کسر نامنظم معمولی به اعشار تبدیل کنیم.

ابتدا بیایید عدد را از صورت حساب یادداشت کنیم:

حالا در سمت راست پنج رقم را با یک اعشار از هم جدا می کنیم (تعداد صفرهای مخرج پنج است). ما گرفتیم:

سوال بعدی که به طور طبیعی مطرح می شود این است: چگونه یک عدد مختلط را به کسر اعشاری تبدیل کنیم اگر مخرج جزء کسری آن عدد 10، 100، 1000 و غیره باشد؟ برای تبدیل چنین عددی به کسری اعشاری می توانید از قانون زیر استفاده کنید.

قانون تبدیل اعداد مختلط به اعشاری

1. در صورت لزوم قسمت کسری عدد را آماده می کنیم.
2. کل قسمت شماره اصلی را یادداشت می کنیم و بعد از آن کاما می گذاریم.
3. عدد را به همراه صفرهای اضافه شده از روی صورت بخش کسری یادداشت می کنیم.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 4: تبدیل اعداد مختلط به اعشاری

بیایید عدد مختلط 23 17 10000 را به کسری اعشاری تبدیل کنیم.

در قسمت کسری عبارت 17 10000 را داریم. بیایید آن را آماده کنیم و دو صفر دیگر به سمت چپ عدد اضافه کنیم. ما دریافت می کنیم: 0017 10000.

حالا کل عدد را یادداشت می کنیم و بعد از آن کاما می گذاریم: 23, . .

بعد از نقطه اعشار، عدد را به همراه صفرها از روی عدد یادداشت کنید. نتیجه را می گیریم:

23 17 10000 = 23 , 0017

تبدیل کسرهای معمولی به کسرهای متناهی و نامتناهی

البته می توانید با مخرجی که 10، 100، 1000 و غیره نباشد، به اعشار و کسرهای معمولی تبدیل کنید.

اغلب یک کسر را می توان به راحتی به مخرج جدید کاهش داد و سپس از قاعده مندرج در پاراگراف اول این مقاله استفاده کرد. برای مثال کافی است که صورت و مخرج کسر 25 را در 2 ضرب کنیم و به کسری 410 می رسیم که به راحتی به صورت اعشاری 0.4 تبدیل می شود.

با این حال، این روش تبدیل کسری به اعشاری را نمی توان همیشه مورد استفاده قرار داد. در زیر در نظر خواهیم گرفت که در صورت غیرممکن بودن استفاده از روش در نظر گرفته شده چه باید کرد.

یک روش اساساً جدید برای تبدیل یک کسر به اعشار، تقسیم صورت بر مخرج با یک ستون است. این عمل بسیار شبیه به تقسیم اعداد طبیعی با ستون است، اما ویژگی های خاص خود را دارد.

هنگام تقسیم، شمارنده به عنوان یک کسری اعشاری نشان داده می شود - یک کاما در سمت راست آخرین رقم شماره گذار قرار می گیرد و صفرها اضافه می شوند. در ضریب حاصل، یک نقطه اعشار زمانی قرار می گیرد که تقسیم قسمت صحیح صورتگر به پایان می رسد. نحوه عملکرد دقیق این روش پس از مشاهده مثال ها مشخص خواهد شد.

مثال 5. تبدیل کسرها به اعشار

بیایید کسر مشترک 621 4 را به شکل اعشاری تبدیل کنیم.

بیایید عدد 621 را از صورت‌حساب به صورت کسری اعشاری نشان دهیم و چند صفر بعد از نقطه اعشار اضافه کنیم. 621 = 621.00

حالا بیایید 621.00 را با استفاده از یک ستون بر 4 تقسیم کنیم. سه مرحله اول تقسیم مانند تقسیم اعداد طبیعی خواهد بود و به دست خواهیم آورد.

وقتی به نقطه اعشار در تقسیم رسیدیم و باقیمانده با صفر تفاوت داشت، یک نقطه اعشار در ضریب قرار می دهیم و به تقسیم ادامه می دهیم، دیگر به کاما در تقسیم توجه نمی کنیم.

در نتیجه، کسر اعشاری 155، 25 را به دست می آوریم که نتیجه معکوس کردن کسری مشترک 621 4 است.

621 4 = 155 , 25

بیایید به مثال دیگری برای تقویت مطالب نگاه کنیم.

مثال 6. تبدیل کسرها به اعشار

بیایید کسر مشترک 21 800 را برعکس کنیم.

برای این کار، کسر 21000 را به یک ستون بر 800 تقسیم کنید. تقسیم کل قسمت در مرحله اول به پایان می رسد، بنابراین بلافاصله بعد از آن یک نقطه اعشار را در ضریب قرار می دهیم و تقسیم را ادامه می دهیم، بدون توجه به کاما در تقسیم تا زمانی که باقی مانده ای برابر با صفر بدست آوریم.

در نتیجه به دست آوردیم: 21800 = 0.02625.

اما اگر در هنگام تقسیم باز هم باقیمانده 0 بدست نیامد چه می شود. در چنین مواردی، تقسیم را می توان به طور نامحدود ادامه داد. با این حال، با شروع از یک مرحله خاص، باقی مانده ها به صورت دوره ای تکرار می شوند. بر این اساس، اعداد در ضریب تکرار خواهند شد. این به این معنی است که یک کسر معمولی به یک کسر تناوبی نامتناهی اعشاری تبدیل می شود. اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم.

مثال 7. تبدیل کسرها به اعشار

بیایید کسر مشترک 19 44 را به اعشار تبدیل کنیم. برای این کار تقسیم بر ستون را انجام می دهیم.

می بینیم که در حین تقسیم، باقی مانده های 8 و 36 تکرار می شوند. در این حالت اعداد 1 و 8 در ضریب تکرار می شوند. این دوره در کسر اعشاری است. هنگام ضبط، این اعداد در داخل پرانتز قرار می گیرند.

بنابراین، کسر معمولی اصلی به یک کسر اعشاری متناوب نامتناهی تبدیل می‌شود.

19 44 = 0 , 43 (18) .

اجازه دهید یک کسر معمولی تقلیل ناپذیر را ببینیم. چه شکلی خواهد داشت؟ کدام کسرهای معمولی به اعشار متناهی و کدام کسری به تناوبی نامتناهی تبدیل می شوند؟

ابتدا فرض کنید که اگر کسری را بتوان به یکی از مخرج های 10، 100، 1000... تقلیل داد، آنگاه به شکل کسر اعشاری نهایی خواهد بود. برای اینکه کسری به یکی از این مخرج ها تقلیل یابد، مخرج آن باید حداقل یکی از اعداد 10، 100، 1000 و غیره باشد. از قوانین فاکتورگیری اعداد به ضرایب اول به دست می آید که مقسوم علیه اعداد 10، 100، 1000 و غیره است. هنگامی که در فاکتورهای اول فاکتور می شود، باید فقط اعداد 2 و 5 را شامل شود.

بیایید آنچه گفته شد را خلاصه کنیم:

1. کسری مشترک را می توان به اعشار نهایی تقلیل داد اگر مخرج آن را بتوان در ضرایب اول 2 و 5 در نظر گرفت.
2. اگر علاوه بر اعداد 2 و 5، اعداد اول دیگری نیز در بسط مخرج وجود داشته باشند، کسر به صورت یک کسر اعشاری متناوب بی نهایت کاهش می یابد.

بیایید یک مثال بزنیم.

مثال 8. تبدیل کسرها به اعشار

کدام یک از این کسرها 47 20، 7 12، 21 56، 31 17 به کسر اعشاری نهایی تبدیل می شود و کدام یک - فقط به یک تناوبی. بیایید به این سوال بدون تبدیل مستقیم کسری به اعشار پاسخ دهیم.

کسر 47 20، همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، با ضرب صورت و مخرج در 5 به مخرج جدید 100 کاهش می یابد.

47 20 = 235 100. از این نتیجه می گیریم که این کسر به کسری اعشاری نهایی تبدیل می شود.

با فاکتورگیری مخرج کسر 7 12 12 = 2 · 2 · 3 به دست می آید. از آنجایی که عامل اول 3 با 2 و 5 متفاوت است، این کسری را نمی توان به صورت یک کسر اعشاری متناهی نشان داد، بلکه شکل یک کسر تناوبی نامتناهی خواهد داشت.

کسری 21 56، اولاً باید کاهش یابد. پس از کاهش 7، کسر تقلیل ناپذیر 3 8 را به دست می آوریم که مخرج آن فاکتور می شود و 8 = 2 · 2 · 2 می شود. بنابراین، کسر اعشاری نهایی است.

در مورد کسر 31 17، فاکتور گرفتن مخرج خود عدد اول 17 است. بر این اساس، این کسر را می توان به یک کسر اعشاری متناوب نامتناهی تبدیل کرد.

کسر معمولی را نمی توان به کسری اعشاری نامتناهی و غیر تناوبی تبدیل کرد

در بالا فقط در مورد کسرهای متناهی متناهی و نامتناهی صحبت کردیم. اما آیا هر کسر معمولی را می توان به کسر نامتناهی غیر تناوبی تبدیل کرد؟

پاسخ می دهیم: نه!

مهم!

هنگام تبدیل کسر نامتناهی به اعشار، نتیجه یا یک اعشار محدود یا یک اعشار متناوب نامتناهی است.

باقیمانده یک تقسیم همیشه کمتر از مقسوم علیه است. به عبارت دیگر، با توجه به قضیه تقسیم پذیری، اگر مقداری را تقسیم کنیم عدد طبیعیبا عدد q، پس باقیمانده تقسیم در هر صورت نمی تواند بزرگتر از q-1 باشد. پس از تکمیل تقسیم، یکی از شرایط زیر امکان پذیر است:

1. ما باقیمانده 0 را بدست می آوریم و اینجا جایی است که تقسیم به پایان می رسد.
2. باقیمانده ای بدست می آوریم که با تقسیم بعدی تکرار می شود و در نتیجه یک کسر تناوبی نامتناهی حاصل می شود.

هنگام تبدیل کسری به اعشار، هیچ گزینه دیگری وجود ندارد. همچنین فرض کنید که طول دوره (تعداد ارقام) در کسر تناوبی نامتناهی همیشه کمتر از تعداد ارقام در مخرج کسر معمولی مربوطه است.

تبدیل اعشار به کسری

اکنون زمان آن رسیده است که به روند معکوس تبدیل یک کسر اعشاری به یک کسر معمولی نگاه کنیم. اجازه دهید یک قانون ترجمه را تدوین کنیم که شامل سه مرحله است. چگونه کسر اعشاری را به کسری معمولی تبدیل کنیم؟

قانون تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی

1. در شماره‌گذار عدد را از کسر اعشاری اصلی می‌نویسیم، کاما و تمام صفرهای سمت چپ را، در صورت وجود، کنار می‌گذاریم.
2. در مخرج یک می نویسیم و به دنبال آن تعداد صفرهایی که بعد از اعشار در کسر اعشاری اصلی وجود دارد، می نویسیم.
3. در صورت لزوم، کسر معمولی حاصل را کاهش دهید.

بیایید با استفاده از مثال به کاربرد این قانون نگاه کنیم.

مثال 8. تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی

بیایید عدد 3.025 را به عنوان یک کسر معمولی تصور کنیم.

1. ما خود کسر اعشاری را در صورتگر می نویسیم و کاما: 3025 را کنار می گذاریم.
2. در مخرج ما یک و بعد از آن سه صفر می نویسیم - این دقیقاً چند رقم در کسر اصلی بعد از نقطه اعشار است: 3025 1000.
3. کسر حاصل از 3025 1000 را می توان با 25 کاهش داد و به این نتیجه رسید: 3025 1000 = 121 40.

مثال 9. تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی

کسری 0.0017 را از اعشار به معمولی تبدیل می کنیم.

1. در شماره‌گذار کسر 0، 0017 را می‌نویسیم و کاما و صفرهای سمت چپ را کنار می‌گذاریم. معلوم می شود 17 است.
2. یک را در مخرج می نویسیم و بعد از آن چهار صفر می نویسیم: 17 10000. این کسر غیر قابل کاهش است.

اگر یک کسر اعشاری دارای یک جزء صحیح باشد، آنگاه چنین کسری را می توان بلافاصله به یک عدد مختلط تبدیل کرد. چگونه انجامش بدهیم؟

بیایید یک قانون دیگر را تدوین کنیم.

قانون تبدیل اعشار به اعداد مختلط.

1. عدد قبل از نقطه اعشار در کسر به عنوان قسمت صحیح عدد مختلط نوشته می شود.
2. در صورت حساب عدد را بعد از نقطه اعشار در کسر می نویسیم و در صورت وجود صفرهای سمت چپ را کنار می گذاریم.
3. در مخرج قسمت کسری یک و به تعداد عدد صفر که بعد از نقطه اعشار در قسمت کسری وجود دارد جمع می کنیم.

بیایید یک مثال بزنیم

مثال 10. تبدیل عدد اعشاری به عدد مختلط

بیایید کسر 155، 06005 را به عنوان یک عدد مختلط تصور کنیم.

1. عدد 155 را به صورت یک عدد صحیح می نویسیم.
2. در صورت حساب اعداد را بعد از اعشار می نویسیم و صفر را کنار می گذاریم.
3. یک و پنج صفر را در مخرج می نویسیم

بیایید یک عدد مختلط را یاد بگیریم: 155 6005 100000

قسمت کسری را می توان 5 کاهش داد. ما آن را کوتاه می کنیم و نتیجه نهایی را می گیریم:

155 , 06005 = 155 1201 20000

تبدیل بی نهایت اعشار تناوبی به کسری

بیایید به نمونه هایی از نحوه تبدیل کسرهای اعشاری تناوبی به کسرهای معمولی نگاه کنیم. قبل از شروع، اجازه دهید توضیح دهیم: هر کسر اعشاری تناوبی را می توان به کسری معمولی تبدیل کرد.

ساده ترین حالت دوره کسری است برابر با صفر. کسر تناوبی با دوره صفر با کسر اعشاری نهایی جایگزین می شود و روند معکوس کردن چنین کسری به معکوس کردن کسر اعشاری نهایی کاهش می یابد.

مثال 11. تبدیل کسر اعشاری تناوبی به کسری مشترک

اجازه دهید کسر تناوبی 3، 75 (0) را معکوس کنیم.

با حذف صفرهای سمت راست، کسر اعشاری نهایی 3.75 را دریافت می کنیم.

با تبدیل این کسر به کسری معمولی با استفاده از الگوریتم مورد بحث در پاراگراف های قبل، به دست می آوریم:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

اگر دوره کسری با صفر متفاوت باشد چه؟ قسمت تناوبی را باید به عنوان مجموع عبارات یک تصاعد هندسی در نظر گرفت که کاهش می یابد. اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

یک فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش وجود دارد. اگر جمله اول پیشرفت b باشد و مخرج q به گونه ای باشد که 0 باشد< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

بیایید به چند مثال با استفاده از این فرمول نگاه کنیم.

مثال 12. تبدیل کسر اعشاری تناوبی به کسری مشترک

اجازه دهید یک کسر تناوبی 0، (8) داشته باشیم و باید آن را به یک کسر معمولی تبدیل کنیم.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

در اینجا ما یک کاهش بی نهایت داریم پیشرفت هندسیبا جمله اول 0، 8 و مخرج 0، 1.

بیایید فرمول را اعمال کنیم:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

این کسر معمولی مورد نیاز است.

برای تجمیع مطالب، مثال دیگری را در نظر بگیرید.

مثال 13. تبدیل کسر اعشاری تناوبی به کسری مشترک

بیایید کسر 0 را معکوس کنیم، 43 (18).

ابتدا کسر را به صورت مجموع نامتناهی می نویسیم:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

بیایید به اصطلاحات داخل پرانتز نگاه کنیم. این پیشرفت هندسی را می توان به صورت زیر نشان داد:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

نتیجه را به کسر نهایی 0، 43 = 43 100 اضافه می کنیم و نتیجه را می گیریم:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

پس از جمع کردن این کسرها و کاهش، به جواب نهایی می رسیم:

0 , 43 (18) = 19 44

برای نتیجه گیری این مقاله خواهیم گفت که کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی را نمی توان به کسرهای معمولی تبدیل کرد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

مانند:

± d m … د 1 د 0 , د -1 د -2 …

که در آن ± علامت کسری است: یا +، یا -،

، یک نقطه اعشار است که به عنوان جداکننده بین اعداد صحیح و کسری یک عدد عمل می کند.

dk- اعداد اعشاری

در این حالت، ترتیب اعداد قبل از نقطه اعشار (در سمت چپ آن) یک پایان دارد (به صورت حداقل 1 در هر رقم)، و بعد از نقطه اعشار (سمت راست) می تواند هر دو متناهی باشد (به عنوان یک گزینه، ممکن است هیچ رقمی بعد از نقطه اعشار وجود نداشته باشد) و بی نهایت.

ارزش اعشاری ± d m … د 1 د 0 , د -1 د -2 … یک عدد واقعی است:

که برابر است با مجموع تعداد متناهی یا نامتناهی از جمله.

نمایش اعداد واقعی با استفاده از کسرهای اعشاری، تعمیم نوشتن اعداد صحیح در سیستم اعداد اعشاری است. نمایش اعشاری یک عدد صحیح هیچ رقمی بعد از نقطه اعشار ندارد، بنابراین نمایش به صورت زیر است:

± d m … د 1 د 0 ,

و این مصادف است با نوشتن عدد ما در سیستم اعداد اعشاری.

اعشاری- این نتیجه تقسیم 1 به 10، 100، 1000 و غیره است. این کسری ها برای محاسبات بسیار راحت هستند، زیرا آنها بر اساس همان سیستم موقعیتی هستند که شمارش و ثبت اعداد صحیح بر اساس آن است. به همین دلیل، نمادها و قوانین کار با کسرهای اعشاری تقریباً مشابه اعداد کامل است.

هنگام نوشتن کسرهای اعشاری، نیازی به علامت گذاری مخرج نیست، بلکه با مکان اشغال شده توسط رقم مربوطه تعیین می شود. ابتدا تمام قسمت عدد را می نویسیم سپس یک اعشار در سمت راست قرار می دهیم. اولین رقم بعد از نقطه اعشار نشان دهنده تعداد دهم، دوم - تعداد صدم، سوم - تعداد هزارم و غیره است. اعدادی که بعد از نقطه اعشار قرار دارند عبارتند از اعداد اعشاری.

مثلا:

یکی از مزایای کسرهای اعشاری این است که به راحتی می توان آنها را به کسرهای معمولی تقلیل داد: عدد بعد از نقطه اعشار (برای ما 5047 است) صورت کسر; مخرجبرابر است n-ام توان 10، که در آن n- تعداد ارقام اعشار (برای ما این است n=4):

هنگامی که در یک کسر اعشاری جزء صحیح وجود ندارد، قبل از نقطه اعشار یک صفر قرار می دهیم:

خواص کسرهای اعشاری

1. اعشار با اضافه شدن صفر به سمت راست تغییر نمی کند:

13.6 =13.6000.

2. اعشار با حذف صفرهای انتهای اعشار تغییر نمی کند:

0.00123000 = 0.00123.

توجه!شما نمی توانید صفرهایی را که در انتهای کسر اعشاری قرار ندارند حذف کنید!

3. کسر اعشاری به ترتیب 10، 100، 1000 و غیره افزایش می‌یابد که اعشار را به ترتیب به 1، 2، 2 و به ترتیب به سمت راست می‌بریم:

3.675 → 367.5 (کسری صد برابر شد).

4. کسر اعشاری ده، صد، هزار و غیره می شود، وقتی اعشار را به ترتیب به موقعیت های 1، 2، 3 و به همین ترتیب به سمت چپ منتقل کنیم:

1536.78 → 1.53678 (کسری هزار بار کوچکتر شد).

انواع کسرهای اعشاری

کسرهای اعشاری به تقسیم می شوند نهایی, بی پایانو اعشار دوره ای.

کسر اعشاری نهایی استاین کسری است که شامل تعداد محدودی از ارقام بعد از نقطه اعشار است (یا اصلاً وجود ندارد)، یعنی. به نظر می رسد که:

یک عدد واقعی را می توان به عنوان یک کسر اعشاری متناهی نشان داد تنها در صورتی که این عدد گویا باشد و به صورت کسری تقلیل ناپذیر نوشته شود. p/qمخرج qهیچ عامل اصلی دیگری جز 2 و 5 ندارد.

اعشار بی نهایت.

شامل یک گروه بی نهایت تکرار شونده از اعداد نامیده می شود دوره زمانی. نقطه در داخل پرانتز نوشته شده است. به عنوان مثال، 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

اعشاری دوره ای- این یک کسر اعشاری نامتناهی است که در آن دنباله ارقام بعد از نقطه اعشار، که از یک مکان خاص شروع می شود، یک گروه ارقام تکرار شونده دوره ای است. به عبارت دیگر، کسر دوره ای- یک کسر اعشاری که به شکل زیر است:

چنین کسری معمولاً به طور خلاصه به صورت زیر نوشته می شود:

گروه اعداد b 1 … b l، که تکرار می شود، است دوره کسری، تعداد ارقام این گروه است طول دوره.

وقتی در یک کسر تناوبی نقطه بلافاصله بعد از نقطه اعشار می آید، به این معنی است که کسری است دوره ای خالص. وقتی اعدادی بین نقطه اعشار و نقطه 1 وجود دارد، آن کسری است دوره ای مخلوط، و گروه ارقام بعد از نقطه اعشار تا رقم 1 دوره است پیش دوره کسری.

مثلاکسری 1,(23) = 1.2323... تناوبی خالص است و کسری 0.1(23) = 0.12323... تناوبی مخلوط است.

ویژگی اصلی کسرهای تناوبی، که به دلیل آن از کل مجموعه کسرهای اعشاری متمایز می شوند ، در این واقعیت نهفته است که کسرهای تناوبی و فقط آنها اعداد گویا را نشان می دهند. به طور دقیق تر، موارد زیر رخ می دهد:

هر کسری اعشاری متناوب بی نهایت نشان دهنده است عدد گویا. برعکس، وقتی یک عدد گویا به یک کسر اعشاری نامتناهی بسط می یابد، به این معنی است که این کسری تناوبی خواهد بود.