حل معادلات مثلثاتی همگن. معادلات مثلثاتی - فرمول ها، راه حل ها، مثال ها

شما میتونید سفارش بدید راه حل دقیقوظیفه ی شما!!!

تساوی حاوی یک مجهول تحت علامت یک تابع مثلثاتی ("sin x، cos x، tan x" یا "ctg x") نامیده می شود. معادله مثلثاتی، فرمول های آنهاست که در ادامه بررسی خواهیم کرد.

ساده ترین معادلات عبارتند از: sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a». اجازه دهید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

• با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
• ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. «cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

«a sin x+b cos x=0» (معادله همگن درجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

1. «tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
2. «tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

حرکت به نیم زاویه

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول‌های زاویه دوتایی را اعمال کنیم و به این نتیجه می‌رسیم: `22 sin (x/2) cos (x/2) -`` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

با استفاده از روش جبری که در بالا توضیح داده شد، به دست می آوریم:

1. «tg x/2=2»، «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \در Z»،
2. «tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و ماژول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. «1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `n \ در Z`.

پاسخ. «x=2\pi n»، «n \in Z»، «x=\pi /2+2\pi n»، «n \in Z».

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون یکپارچه دولتی وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول های معادلات مثلثاتی را به خاطر بسپارید - آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.

معلم: Sinitsina S.I.

مدرسه متوسطه MBOU شماره 20 به نام N.I. Milevsky

موضوع: معادلات مثلثاتی همگن (درجه 10)

اهداف: معرفی مفهوم معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II.

الگوریتمی برای حل مسائل مثلثاتی همگن فرموله و کار کنید

معادلات درجه I و II.

تقویت مهارت حل انواع معادلات مثلثاتی از طریق

توسعه و بهبود مهارت ها برای به کارگیری دانش موجود در یک اصلاح شده

موقعیت ها، از طریق توانایی نتیجه گیری و تعمیم

القای نظم و فرهنگ رفتاری در دانش آموزان.

نوع درس: درس شکل گیری دانش جدید.

تجهیزات: کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای، صفحه نمایش، برد، ارائه

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی

درود دانش آموزان، بسیج توجه.

II. به روز رسانی دانش مرجع (مشق شبقبل از درس توسط مشاوران بررسی می شود. معلم تکالیف را خلاصه می کند.)

معلم: ما به مطالعه موضوع "معادلات مثلثاتی" ادامه می دهیم. امروز در درس شما را با نوع دیگری از معادلات مثلثاتی و روش های حل آنها آشنا می کنیم و بنابراین آنچه را که یاد گرفته ایم تکرار می کنیم. هنگام حل انواع معادلات مثلثاتی، آنها به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی خلاصه می شوند.

کار شفاهی

1. به چه معادله ای مثلثاتی می گوییم؟
2. الگوریتم حل معادله cos t = a را نام ببرید
3. الگوریتم حل معادله sin t = a را نام ببرید

III. انگیزه یادگیری.

معلم: باید روی حل جدول کلمات متقاطع کار کنیم. پس از حل آن، نام نوع جدیدی از معادلات را خواهیم فهمید که امروز در کلاس حل آن را یاد خواهیم گرفت.

سوالات بر روی تابلو پیش بینی می شود. پس از حل جدول کلمات متقاطع، کودکان کلمه "همگن" را می خوانند.

1.مقدار متغیری که معادله را درست می کند؟ (ریشه)

2.واحد زوایا؟ (رادیان)

3. عامل عددی در محصول؟ (ضریب)

4. شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد؟ (مثلثات)

5. چه مدل ریاضی برای معرفی مورد نیاز است توابع مثلثاتی؟(دایره)

6. کدام تابع مثلثاتی زوج است؟ (کسینوس)

7- برابری واقعی چیست؟ (هویت)

8.برابری با یک متغیر؟ (معادلات)

9. معادلاتی که ریشه های یکسانی دارند؟ (معادل)

10- یک معادله چند ریشه دارد؟ (راه حل)

IV. توضیح یک موضوع جدید

معلم: موضوع درس "معادلات مثلثاتی همگن" است.

بیایید موضوع درس را در یک دفتر یادداشت کنیم. معادلات مثلثاتی همگن درجه یک و دو هستند.

اجازه دهید تعریف یک معادله همگن درجه اول را بنویسیم. من نمونه ای از حل این نوع معادله را نشان می دهم؛ شما یک الگوریتم برای حل یک معادله مثلثاتی همگن درجه یک ایجاد می کنید.

معادله فرم a sinx + b cosx = 0معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

بیایید حل معادله را زمانی در نظر بگیریم که ضرایب a و b با 0 متفاوت باشند.

مثال 1: 2sinx - 3cosx = 0

از تقسیم هر دو طرف معادله بر ترم بر cosx، به دست می‌آید

2sinx/cosx - 3cosx/cosx = 0

2 tg ایکس-3 = 0، tg ایکس =3/2, ایکس= arctan3/2 + πn، nє Z،

توجه! فقط در صورتی می توانید بر همان عبارت تقسیم کنید که این عبارت در هیچ کجا به 0 تبدیل نشود. بیایید تجزیه و تحلیل کنیم. اگر کسینوس برابر با 0 باشد، برای اینکه کل عبارت به 0 تبدیل شود، سینوس نیز باید برابر با 0 باشد (ما در نظر می گیریم که ضرایب با 0 متفاوت است). اما ما می دانیم که سینوس و کسینوس در آن ناپدید می شوند نقاط مختلف. بنابراین در هنگام حل این نوع معادلات می توان چنین عملیاتی را انجام داد.

معادله فرم a sin mx + b cos mx = 0معادله مثلثاتی همگن درجه اول نیز نامیده می شود و با تقسیم دو طرف معادله بر cos mx نیز حل می شود.

معادله فرم a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود.

مثال2: sin 2 x – 3 sinx cosx +2 cos 2 x = 0

ضریب a با 0 متفاوت است و بنابراین مانند رابطه قبلی cosx 0 است و بنابراین می توانید از روش تقسیم دو طرف معادله بر cos 2 x استفاده کنید.

ما tg 2 x – 3 tgx +2 = 0 را دریافت می کنیم

ما با معرفی یک متغیر جدید اجازه دهید tgx = a را حل می کنیم، سپس معادله را بدست می آوریم

a 2 -3 a +2 = 0 a 1 = 1 a 2 = 2

بازگشت به جایگزینی

tgx =1، x = ¼π+ πn، nє Z tgx = 2، x = آرکتان 2 + πn، nє Z

پاسخ: x = ¼π + πn، nє Z، x = آرکتان 2 + πn، nє Z

اگر ضریب a = 0 باشد، معادله به شکل –3sinx cosx + 2cos 2 x = 0 است، آن را با خارج کردن ضریب مشترک – cosx از پرانتز حل می کنیم: – cosx (3 sinx – 2cosx) = 0،

cosx = 0 یا 3sinx – 2cosx = 0. معادله دوم یک معادله همگن درجه اول است.

اگر ضریب c = 0 باشد، معادله به شکل sin 2 x -3sinx cosx = 0 خواهد بود، آن را با خارج کردن عامل مشترک sinx از پرانتز حل می کنیم: sinx (sinx -3 cosx) = 0،

sinx = 0 یا sinx -3 cosx = 0. معادله دوم یک معادله همگن درجه اول است.

الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه دوم:

1. ببینید آیا معادله شامل عبارت a sin 2 x است یا خیر.

2. اگر عبارت asin 2 x در معادله موجود باشد (یعنی a 0)، معادله با تقسیم حل می شود.

هر دو طرف معادله در cos 2 x و متعاقباً معرفی یک متغیر جدید a = tgx

3. اگر عبارت asin 2 x در معادله موجود نباشد (یعنی a = 0)، معادله با فاکتورگیری حل می شود: cosx از براکت ها خارج می شود.

معادلات همگننوع a sin 2 mx + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0به همین ترتیب حل شد

V. جذب دانش جدید

آیا این معادلات همگن هستند؟

1. sin x = 2 cos x
2. sin 5x + cos 5x = 0
3. sin 3x - cos 3x = 2
4. sin 2 8x – 5 sin8x cos8x +2 cos 2 8x =0

VI. دقیقه تربیت بدنی

VII. شکل گیری مهارت برای حل معادلات مثلثاتی همگن

کتابهای مسئله را باز کنید، شماره 18.10 (الف)، شماره 18.11 (الف، ب)، 18.12 (د)

VIII. کار مستقل (دانش آموزان با توجه به دو گزینه وظایف متمایز را انتخاب می کنند)

گزینه 1 گزینه 2

1) sinx + 2cosx = 0. 1) sinx - 4cosx = 0.

2) sin 2 x + 2sinx cosx -3 cos 2 x = 0 2) sin 2 x – 4 sinx cosx +3 cos 2 x = 0

3) 2sin 2 2x – 5 sin2x cos2x +2 cos 2 2x = 0 3) 3sin 2 3x +10 sin3x cos3x +3 cos 2 3x = 0

پاسخ های صحیح روی تخته نمایش داده می شود.

IX جمع بندی درس، نمره دادن

چه نوع معادلات مثلثاتی را در کلاس یاد گرفتیم؟

چه معادلاتی را همگن می نامیم؟

الگوریتم هایی برای حل معادلات مثلثاتی همگن درجه اول و دوم فرموله کنید.

X. تکالیف: 2 معادله همگن درجه یک و 1 معادله همگن درجه دو بسازید و حل کنید.

موضوع درس: "معادلات مثلثاتی همگن"

(کلاس 10 م)

هدف: مفهوم معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II را معرفی کنید. الگوریتمی برای حل معادلات مثلثاتی همگن درجات I و II را فرموله و کار کنید. آموزش حل معادلات مثلثاتی همگن درجات I و II به دانش آموزان. توسعه توانایی شناسایی الگوها و تعمیم. برانگیختن علاقه به موضوع، ایجاد حس همبستگی و رقابت سالم.

نوع درس: درس شکل گیری دانش جدید

فرم: کار گروهی.

تجهیزات: کامپیوتر، نصب چند رسانه ای

در طول کلاس ها

زمان سازماندهی

درود دانش آموزان، بسیج توجه.

در درس، یک سیستم رتبه بندی برای ارزیابی دانش (معلم سیستم ارزیابی دانش را توضیح می دهد، با پر کردن برگه ارزیابی توسط یک کارشناس مستقل که توسط معلم از بین دانش آموزان انتخاب می شود). درس با ارائه همراه است. .

به روز رسانی دانش پایه

تکالیف قبل از کلاس توسط کارشناس و مشاور مستقل بررسی و درجه بندی می شود و برگه نمره تکمیل می شود.

معلم تکالیف را خلاصه می کند.

معلم: ما به مطالعه مبحث "معادلات مثلثاتی" ادامه می دهیم. امروز در درس شما را با نوع دیگری از معادلات مثلثاتی و روش های حل آنها آشنا می کنیم و بنابراین آنچه را که یاد گرفته ایم تکرار می کنیم. هنگام حل انواع معادلات مثلثاتی، آنها به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی خلاصه می شوند.

تکالیف فردی انجام شده در گروه بررسی می شود. دفاع از ارائه "حل ساده ترین معادلات مثلثاتی"

(کار گروه توسط کارشناس مستقل ارزیابی می شود)

انگیزه یادگیری.

معلم: برای حل جدول کلمات متقاطع کار داریم. پس از حل آن، نام نوع جدیدی از معادلات را خواهیم فهمید که امروز در کلاس حل آن را یاد خواهیم گرفت.

سوالات بر روی تابلو پیش بینی می شود. دانش آموزان حدس می زنند و یک کارشناس مستقل نمرات دانش آموزانی را که پاسخ می دهند در برگه نمره وارد می کند.

پس از حل جدول کلمات متقاطع، کودکان کلمه "همگن" را می خوانند.

جذب دانش جدید.

معلم: موضوع درس «معادلات مثلثاتی همگن» است.

بیایید موضوع درس را در یک دفتر یادداشت کنیم. معادلات مثلثاتی همگن درجه یک و دو هستند.

اجازه دهید تعریف یک معادله همگن درجه اول را بنویسیم. من نمونه ای از حل این نوع معادله را نشان می دهم؛ شما یک الگوریتم برای حل یک معادله مثلثاتی همگن درجه یک ایجاد می کنید.

معادله فرم آ sinx + ب cosx = 0 معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

اجازه دهید راه حل معادله را با ضرایب در نظر بگیریم آو Vبا 0 تفاوت دارند.

مثال: sinx + cosx = 0

آر با تقسیم هر دو طرف معادله بر cosx، به دست می آوریم

توجه! فقط در صورتی می توانید بر 0 تقسیم کنید که این عبارت در هیچ کجا به 0 تبدیل نشود. بیایید تجزیه و تحلیل کنیم. اگر کسینوس برابر با 0 باشد، با توجه به اینکه ضرایب با 0 متفاوت است، سینوس نیز برابر با 0 خواهد بود، اما می دانیم که سینوس و کسینوس در نقاط مختلف به صفر می رسند. بنابراین در هنگام حل این نوع معادله می توان این عمل را انجام داد.

الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول: تقسیم دو طرف معادله بر cosx، cosx 0

معادله فرم آ sin mx +ب cos mx = 0معادله مثلثاتی همگن درجه اول نیز نامیده می شود و همچنین تقسیم دو طرف معادله بر کسینوس mx را حل می کند.

معادله فرم آ گناه 2 x+ب sinx cosx +ج cos2x = 0معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود.

مثال : گناه 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

ضریب a با 0 متفاوت است و بنابراین مانند رابطه قبلی cosx برابر با 0 نیست و بنابراین می توانید از روش تقسیم دو طرف معادله بر cos 2 x استفاده کنید.

ما tg 2 x + 2tgx - 3 = 0 را دریافت می کنیم

ما با معرفی یک متغیر جدید اجازه دهید tgx = a را حل می کنیم، سپس معادله را بدست می آوریم

a 2 + 2a - 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = -3

بازگشت به جایگزینی

پاسخ:

اگر ضریب a = 0 باشد، معادله به شکل 2sinx cosx – 3cos2x = 0 خواهد بود، آن را با خارج کردن ضریب مشترک cosx از پرانتز حل می کنیم. اگر ضریب c = 0، معادله به شکل sin2x +2sinx cosx = 0 باشد، آن را با خارج کردن عامل مشترک sinx از پرانتز حل می کنیم. الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول:

ببینید آیا معادله دارای عبارت asin2 x است یا خیر.

اگر عبارت asin2 x در معادله موجود باشد (یعنی a 0)، معادله با تقسیم دو طرف معادله بر cos2x و سپس معرفی یک متغیر جدید حل می‌شود.

اگر عبارت asin2 x در معادله موجود نباشد (یعنی a = 0)، معادله با فاکتورگیری حل می شود: cosx از براکت ها خارج می شود. معادلات همگن a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 به همین ترتیب حل می‌شوند.

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی همگن در کتاب درسی صفحه 102 نوشته شده است.

دقیقه تربیت بدنی

شکل گیری مهارت برای حل معادلات مثلثاتی همگن

باز کردن کتاب های مشکل صفحه 53

تصمیم گروه 1 و 2 شماره 361-v

گروه 3 و 4 به شماره 363-v تصمیم می گیرند

راه حل را روی تخته نشان دهید، توضیح دهید، تکمیل کنید. یک کارشناس مستقل ارزیابی می کند.

حل مثال از کتاب مسئله شماره 361-v
sinx - 3cosx = 0
هر دو طرف معادله را بر cosx 0 تقسیم می کنیم، به دست می آوریم

شماره 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
هر دو طرف معادله را بر cos2x تقسیم می کنیم، tg2x + tanx - 2 = 0 به دست می آید.

با معرفی یک متغیر جدید حل کنید
اجازه دهید tgx = a، سپس معادله را بدست می آوریم
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = -2
بازگشت به جایگزینی

کار مستقل.

معادلات را حل کنید.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

پس از اتمام کار مستقلتغییر شغل و بررسی متقابل پاسخ های صحیح روی تخته نمایش داده می شود.

سپس آن را به کارشناس مستقل تحویل می دهند.

راه حل خودت انجام بده

جمع بندی درس.

چه نوع معادلات مثلثاتی را در کلاس یاد گرفتیم؟

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی درجه یک و دو.

مشق شب: § 20.3 خوانده شده شماره 361 (d)، 363 (b)، دشواری اضافی شماره 380 (a).

جدول کلمات متقاطع.

اگر کلمات را درست وارد کنید، نام یکی از انواع معادلات مثلثاتی به دست می آید.

مقدار متغیری که معادله را درست می کند؟ (ریشه)

واحد اندازه گیری زاویه (رادیان)

فاکتور عددی در یک محصول؟ (ضریب)

شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد؟ (مثلثات)

چه مدل ریاضی برای معرفی توابع مثلثاتی لازم است؟ (دایره)

کدام تابع مثلثاتی زوج است؟ (کسینوس)

برابری واقعی چیست؟ (هویت)

برابری با یک متغیر؟ (معادله)

معادلاتی که ریشه های یکسانی دارند؟ (معادل)

مجموعه ریشه های یک معادله ? (راه حل)

مقاله ارزشیابی

№
n\n

نام خانوادگی، نام معلم

مشق شب

ارائه

فعالیت شناختی
در حال مطالعه

حل معادلات

مستقل
کار

تکالیف - 12 امتیاز (3 معادله 4 x 3 = 12 برای تکالیف اختصاص داده شد)

ارائه - 1 امتیاز

فعالیت دانش آموز – 1 پاسخ – 1 امتیاز (حداکثر 4 امتیاز)

حل معادلات 1 امتیاز

کار مستقل - 4 امتیاز

امتیاز گروه:

"5" - 22 امتیاز یا بیشتر
"4" - 18 - 21 امتیاز
"3" - 12 - 17 امتیاز

با این درس تصویری دانش آموزان قادر خواهند بود مبحث معادلات مثلثاتی همگن را مطالعه کنند.

بیایید تعاریف ارائه دهیم:

1) یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول شبیه یک sin x + b cos x = 0 است.

2) یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم شبیه یک sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 است.

معادله a sin x + b cos x = 0 را در نظر بگیرید. اگر a برابر با صفر باشد، معادله شبیه b cos x = 0 خواهد بود. اگر b برابر با صفر باشد، معادله شبیه یک sin x = 0 خواهد شد.

حال گزینه ای را در نظر بگیرید که a و b برابر با صفر نیستند. با تقسیم اجزای معادله بر کسینوس x، تبدیل را انجام می دهیم. یک tg x + b = 0 دریافت می کنیم، سپس tg x برابر با - b/a خواهد بود.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که معادله a sin mx + b cos mx = 0 یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول است. برای حل یک معادله، اجزای آن را بر cos mx تقسیم کنید.

بیایید به مثال 1 نگاه کنیم. حل 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. ابتدا قسمت های معادله را بر کسینوس (x/2) تقسیم کنید. با دانستن اینکه سینوس تقسیم بر کسینوس مماس است، 7 tan (x/2) - 5 = 0 به دست می آوریم. با تبدیل عبارت، متوجه می شویم که مقدار tan (x/2) برابر با 5/7 است. راه حل این معادله به شکل x = آرکتان a + πn است، در مورد ما x = 2 آرکتان (5/7) + 2πn.

معادله a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 را در نظر بگیرید:

1) در یک برابر با صفرمعادله شبیه b sin x cos x + c cos 2 x = 0 خواهد بود. با تبدیل، عبارت cos x (b sin x + c cos x) = 0 را بدست می آوریم و به حل دو معادله ادامه می دهیم. پس از تقسیم اجزای معادله بر کسینوس x، b tg x + c = 0 به دست می‌آید، یعنی tg x = - c/b. با دانستن اینکه x = آرکتان a + πn، راه حل در این حالت x = آرکتان (- с/b) + πn خواهد بود.

2) اگر a برابر با صفر نباشد، با تقسیم اجزای معادله بر مجذور کسینوس، معادله ای حاوی مماس به دست می آید که درجه دوم خواهد بود. این معادله را می توان با معرفی یک متغیر جدید حل کرد.

3) هنگامی که c برابر با صفر باشد، معادله به شکل a sin 2 x + b sin x cos x = 0 خواهد بود. این معادله را می توان با خارج کردن سینوس x از براکت حل کرد.

1. ببینید آیا معادله دارای یک گناه 2 x است.

2. اگر معادله حاوی عبارت a sin 2 x باشد، می توان معادله را با تقسیم هر دو طرف بر کسینوس مجذور و سپس معرفی یک متغیر جدید حل کرد.

3. اگر معادله حاوی sin 2 x نباشد، می توان با خارج کردن cosx از پرانتز معادله را حل کرد.

بیایید مثال 2 را در نظر بگیریم. بیایید کسینوس را از پرانتز خارج کنیم و دو معادله بدست آوریم. ریشه معادله اول x = π/2 + πn است. برای حل معادله دوم اجزای این معادله را بر کسینوس x تقسیم می کنیم و با تبدیل x = π/3 + πn بدست می آوریم. پاسخ: x = π/2 + πn و x = π/3 + πn.

بیایید مثال 3، معادله ای به شکل 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 را حل کنیم و ریشه های آن را پیدا کنیم که متعلق به بخش - π تا π است. زیرا این معادله ناهمگن است، لازم است آن را به شکل همگن برسانیم. با استفاده از فرمول sin 2 x + cos 2 x = 1، معادله sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0 را به دست می آوریم. با تقسیم تمام قسمت های معادله بر cos 2 x، tg 2 2x + به دست می آید. 2tg 2x + 1 = 0 با استفاده از ورودی یک متغیر جدید z = tan 2x، معادله ای را حل می کنیم که ریشه آن z = 1 است. سپس tan 2x = 1، که به معنای x = π/8 + (πn)/2 است. زیرا با توجه به شرایط مسئله، شما باید ریشه هایی را که متعلق به بخش از - π تا π هستند پیدا کنید، راه حل به شکل - π خواهد بود.< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

رمزگشایی متن:

معادلات مثلثاتی همگن

امروز ما به چگونگی حل "معادلات مثلثاتی همگن" خواهیم پرداخت. این معادلات از نوع خاصی هستند.

بیایید با تعریف آشنا شویم.

معادله فرم و sin x+بcosایکس = 0 (و سینوس x به اضافه کسینوس x برابر با صفر است) معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

معادله فرم و گناه 2 x+بگناه xcosایکس+scos 2 ایکس= 0 (و سینوس مربع x به علاوه سینوس x کسینوس x به علاوه se کسینوس مربع x برابر با صفر است) معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود.

اگر a=0، سپس معادله شکل می گیرد بcosایکس = 0.

اگر ب = 0 ، سپس دریافت می کنیم و sin x=0.

این معادلات مثلثاتی ابتدایی هستند و حل آنها را در مباحث قبلی مورد بحث قرار دادیم

در نظر بگیریمحالتی که هر دو ضریب برابر با صفر نباشند. بیایید هر دو طرف معادله را تقسیم کنیم آگناهایکس+ بcosایکس = 0 عضو به عضو cosایکس.

ما می توانیم این کار را انجام دهیم زیرا کسینوس x غیر صفر است. پس از همه، اگر cosایکس = 0 ، سپس معادله آگناهایکس+ بcosایکس = 0 شکل خواهد گرفت آگناهایکس = 0 , آ≠ 0، بنابراین گناهایکس = 0 . که غیر ممکن است، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اساسی گناه 2 x+cos 2 ایکس=1 .

تقسیم دو طرف معادله آگناهایکس+ بcosایکس = 0 عضو به عضو cosایکس، دریافت می کنیم: + =0

بیایید تحولات را انجام دهیم:

1. از آنجایی که = tg x، سپس =و tg x

2 کاهش می دهد cosایکس، سپس

بنابراین عبارت زیر را بدست می آوریم و tg x + b = 0.

بیایید تحول را انجام دهیم:

1. b را به سمت راست عبارت با علامت مخالف حرکت دهید

و tg x =- b

2. از شر ضریب خلاص شویم و دو طرف معادله را بر a تقسیم کنیم

tan x= -.

نتیجه گیری: معادله فرم یک گناهمترx+بcosmx = 0 (و سینوس em x به اضافه کسینوس em x برابر با صفر است) معادله مثلثاتی همگن درجه اول نیز نامیده می شود. برای حل آن، هر دو طرف را تقسیم کنید cosmx.

مثال 1. معادله 7 sin - 5 cos = 0 را حل کنید (هفت سینوس x بر دو منهای پنج کسینوس x بر دو برابر با صفر است)

راه حل. با تقسیم دو طرف معادله بر cos به دست می‌آییم

1. = 7 tan (از آنجایی که نسبت سینوس به کسینوس مماس است، پس هفت سینوس x بر دو تقسیم بر کسینوس x بر دو برابر است با 7 tan x بر دو)

2. -5 = -5 (با مخفف cos)

به این ترتیب معادله را بدست آوردیم

7tg - 5 = 0، بیایید عبارت را تبدیل کنیم، منهای پنج را به سمت راست حرکت دهیم، علامت را تغییر دهیم.

معادله را به شکل tg t = a کاهش داده ایم که t=، a =. و از آنجایی که این معادله برای هر مقداری راه حل دارد آ و این راه حل ها فرم دارند

x = آرکتان a + πn، سپس حل معادله ما به شکل زیر خواهد بود:

Arctg + πn، x را پیدا کنید

x=2 آرکتان + 2πn.

پاسخ: x=2 آرکتان + 2πn.

اجازه دهید به معادله مثلثاتی همگن درجه دوم برویم

آsin 2 x+b sin x cos x +باcos 2 x = 0.

بیایید چند مورد را در نظر بگیریم.

I. اگر a=0، سپس معادله شکل می گیرد بگناهایکسcosایکس+scos 2 ایکس= 0.

هنگام حل eسپس از روش فاکتورسازی معادلات استفاده می کنیم. ما آن را بیرون می آوریم cosایکسفراتر از براکت و دریافت می کنیم: cosایکس(بگناهایکس+scosایکس)= 0 . جایی که cosایکس= 0 یا

b sin x +باcos x=0.و ما قبلاً می دانیم که چگونه این معادلات را حل کنیم.

بیایید هر دو طرف معادله را بر cosх تقسیم کنیم، به دست می آوریم

1 (از آنجایی که نسبت سینوس به کسینوس مماس است).

بنابراین معادله را بدست می آوریم: ب tg x+c=0

معادله را به شکل tg t = a کاهش دادیم که t= x، a =. و از آنجایی که این معادله برای هر مقداری راه حل دارد آو این راه حل ها فرم دارند

x = آرکتان a + πn، سپس جواب معادله ما به صورت زیر خواهد بود:

x = آرکتان + πn، .

II. اگر a≠0، سپس هر دو طرف معادله را به صورت ترم به دو تقسیم می کنیم cos 2 ایکس.

(با استدلال به روشی مشابه، مانند مورد معادله مثلثاتی همگن درجه اول، کسینوس x نمی تواند به صفر برود).

III. اگر c=0، سپس معادله شکل می گیرد آگناه 2 ایکس+ بگناهایکسcosایکس= 0. این معادله را می توان با روش فاکتورسازی حل کرد گناهایکسفراتر از براکت).

این بدان معنی است که هنگام حل معادله آگناه 2 ایکس+ بگناهایکسcosایکس+scos 2 ایکس= 0 می توانید الگوریتم را دنبال کنید:

مثال 2. معادله sinxcosx - cos 2 x= 0 را حل کنید (سینوس x ضرب کسینوس x منهای ریشه سه برابر کسینوس مجذور x برابر با صفر است).

راه حل. بیایید آن را فاکتورسازی کنیم (cosx را خارج از پرانتز قرار دهید). ما گرفتیم

cos x(sin x - cos x)= 0، i.e. cos x=0 یا sin x - cos x= 0.

پاسخ: x =+ πn، x= + πn.

مثال 3. معادله 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (سه سینوس به مجذور دو x منهای دو برابر حاصل ضرب سینوس دو x ضرب کسینوس دو x به علاوه سه کسینوس مربع دو x) را حل کنید و ریشه های آن را پیدا کنید فاصله (- π؛ π).

راه حل. این معادله همگن نیست، پس بیایید چند تغییر ایجاد کنیم. عدد 2 موجود در سمت راست معادله را با حاصلضرب 2 1 جایگزین می کنیم

از آنجایی که با هویت مثلثاتی اصلی sin 2 x + cos 2 x =1، پس

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = باز کردن پرانتزها به دست می آید: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

این بدان معنی است که معادله 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 به شکل زیر خواهد بود:

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

ما یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم به دست آوردیم. بیایید روش تقسیم ترم به ترم بر cos 2 2x را اعمال کنیم:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

بیایید یک متغیر جدید z= tan2x معرفی کنیم.

ما z 2 - 2 z + 1 = 0 داریم. این یک معادله درجه دوم است. با توجه به فرمول ضرب اختصاری در سمت چپ - مربع اختلاف () به دست می آوریم (z - 1) 2 = 0، یعنی. z = 1. اجازه دهید به جایگزینی معکوس برگردیم:

معادله را به شکل tg t = a کاهش دادیم که t= 2x، a =1. و از آنجایی که این معادله برای هر مقداری راه حل دارد آو این راه حل ها فرم دارند

x = آرکتان x a + πn، سپس جواب معادله ما خواهد بود:

2х= arctan1 + πn،

x = + , (x برابر است با مجموع پی ضربدر هشت و پی در برابر دو).

تنها کاری که باید انجام دهیم این است که مقادیر x موجود در بازه را پیدا کنیم

(- π؛ π)، یعنی. ارضای نابرابری دوگانه - π x π. زیرا

x= +، سپس - π + π. تمام قسمت های این نابرابری را بر π تقسیم کرده و در 8 ضرب می کنیم، به دست می آید

یکی را به سمت راست و چپ حرکت دهید و علامت را به منفی یک تغییر دهید

تقسیم بر چهار می گیریم

برای راحتی کار، کل قطعات را به صورت کسری جدا می کنیم

-

این نابرابری با عدد صحیح n برآورده می شود: -2، -1، 0، 1

در این مقاله به روشی برای حل معادلات مثلثاتی همگن می پردازیم.

معادلات مثلثاتی همگن ساختاری مشابه معادلات همگن از هر نوع دیگری دارند. اجازه دهید روش حل معادلات همگن درجه دو را به شما یادآوری کنم:

اجازه دهید معادلات همگن فرم را در نظر بگیریم

ویژگی های متمایز معادلات همگن:

الف) همه تک‌جملات دارای درجه یکسانی هستند،

ب) جمله آزاد صفر است،

ج) معادله دارای توانهایی با دو پایه متفاوت است.

معادلات همگن با استفاده از الگوریتم مشابه حل می شوند.

برای حل این نوع معادله، هر دو طرف معادله را بر (می توان بر یا بر تقسیم کرد) تقسیم می کنیم.

توجه! هنگام تقسیم سمت راست و چپ یک معادله بر یک عبارت حاوی مجهول، می توانید ریشه ها را از دست بدهید. بنابراین باید بررسی کرد که آیا ریشه های عبارتی که دو طرف معادله را با آن تقسیم می کنیم، ریشه معادله اصلی است یا خیر.

اگر اینطور است، این ریشه را یادداشت می کنیم تا بعداً آن را فراموش نکنیم و سپس عبارت را بر این تقسیم می کنیم.

به طور کلی، اولین کاری که هنگام حل معادله ای که در سمت راست آن صفر است، این است که سعی کنید سمت چپ معادله را به هر شکل موجود فاکتور بگیرید. و سپس هر عامل را با صفر برابر کنید. در این صورت قطعاً ریشه ها را از دست نمی دهیم.

بنابراین، سمت چپ معادله را با دقت به عبارت ترم به ترم تقسیم کنید. ما گرفتیم:

بیایید صورت و مخرج کسرهای دوم و سوم را کاهش دهیم:

بیایید جایگزین را معرفی کنیم:

یک معادله درجه دوم بدست می آوریم:

بیایید معادله درجه دوم را حل کنیم، مقادیر را پیدا کنیم و سپس به مجهول اصلی برگردیم.

هنگام حل معادلات مثلثاتی همگن، چند نکته مهم وجود دارد که باید به خاطر بسپارید:

1. عبارت ساختگی را می توان با استفاده از هویت مثلثاتی اصلی به مربع سینوس و کسینوس تبدیل کرد:

2. سینوس و کسینوس آرگومان مضاعف تک جمله های درجه دوم هستند - سینوس آرگومان دوگانه را می توان به راحتی به حاصل ضرب سینوس و کسینوس و کسینوس آرگومان دوگانه را به مربع سینوس یا کسینوس تبدیل کرد:

بیایید به چند مثال از حل معادلات مثلثاتی همگن نگاه کنیم.

1 . بیایید معادله را حل کنیم:

این یک مثال کلاسیک از یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول است: درجه هر تک جمله برابر با یک است، جمله قطع برابر با صفر است.

قبل از تقسیم دو طرف معادله بر، باید بررسی کنید که ریشه های معادله ریشه های معادله اصلی نیستند. بررسی می کنیم: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم.

ما گرفتیم:

، جایی که

، جایی که

پاسخ: ، جایی که

2. بیایید معادله را حل کنیم:

این نمونه ای از یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است. به یاد داریم که اگر بتوانیم سمت چپ معادله را فاکتور کنیم، بهتر است این کار را انجام دهیم. در این معادله می توانیم قرار دهیم. بیایید آن را انجام دهیم:

حل معادله اول: کجا

معادله دوم یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول است. برای حل آن، دو طرف معادله را بر تقسیم کنید. ما گرفتیم:

پاسخ: کجا،

3. بیایید معادله را حل کنیم:

برای اینکه این معادله همگن شود، آن را به یک حاصلضرب تبدیل می کنیم و عدد 3 را به صورت مجموع مجذور سینوس و کسینوس ارائه می کنیم:

بیایید همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم، پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات مشابه را ارائه کنیم. ما گرفتیم:

بیایید سمت چپ را فاکتور بگیریم و هر عامل را برابر با صفر قرار دهیم:

پاسخ: کجا،

4 . بیایید معادله را حل کنیم:

ما می بینیم که چه چیزی می توانیم از پرانتز بیرون بیاوریم. بیایید آن را انجام دهیم:

بیایید هر عامل را با صفر برابر کنیم:

حل معادله اول:

معادله جمعیت دوم یک معادله کلاسیک همگن درجه دوم است. ریشه های معادله ریشه های معادله اصلی نیستند، بنابراین هر دو طرف معادله را بر دو تقسیم می کنیم:

حل معادله اول:

حل معادله دوم