معادلات نمایی چگونه معادلات نمایی را حل کنیم؟ روش های حل معادلات نمایی

مثال ها:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

چگونه معادلات نمایی را حل کنیم

هنگام حل هر معادله نمایی، سعی می کنیم آن را به شکل \(a^(f(x))=a^(g(x))\ برسانیم، و سپس انتقال را به برابری توانها انجام دهیم، یعنی:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

مثلا:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

مهم! از همین منطق، دو شرط برای چنین انتقالی به دست می آید:
- شماره در چپ و راست باید یکسان باشند.
- درجات سمت چپ و راست باید "خالص" باشندیعنی ضرب و تقسیم و غیره نباشد.

مثلا:

برای کاهش معادله به شکل \(a^(f(x))=a^(g(x))\) و استفاده می شود.

مثال . حل معادله نمایی \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
راه حل:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		ما می دانیم که \(27 = 3^3\). با در نظر گرفتن این، معادله را تبدیل می کنیم.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		با خاصیت ریشه \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) بدست می آوریم که \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). سپس با استفاده از خاصیت درجه \((a^b)^c=a^(bc)\)، \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ را بدست می آوریم (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		همچنین می دانیم که \(a^b·a^c=a^(b+c)\). با اعمال این در سمت چپ، دریافت می کنیم: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		حالا به یاد داشته باشید که: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). این فرمول همچنین می تواند در سمت معکوس: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). سپس \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		با اعمال ویژگی \((a^b)^c=a^(bc)\) در سمت راست، به دست می آوریم: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		و اکنون پایه های ما برابر است و هیچ ضرایب تداخلی و غیره وجود ندارد. بنابراین ما می توانیم انتقال را انجام دهیم.
		مثال . حل معادله نمایی \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) راه حل: \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) ما دوباره از ویژگی power \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) در جهت مخالف استفاده می کنیم. \(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\) حالا به یاد داشته باشید که \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) با استفاده از خصوصیات درجه، تبدیل می کنیم: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) ما با دقت به معادله نگاه می کنیم و می بینیم که جایگزین \(t=2^x\) خودش را پیشنهاد می کند. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) با این حال، ما مقادیر \(t\) را پیدا کرده ایم و به \(x\) نیاز داریم. ما به X برمی گردیم و جایگزینی معکوس می کنیم. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) بیایید معادله دوم را با استفاده از خاصیت توان منفی تبدیل کنیم... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ... و تا جواب تصمیم می گیریم. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) پاسخ : \(-1; 1\). سوال باقی می ماند - چگونه بفهمیم چه زمانی از کدام روش استفاده کنیم؟ این با تجربه همراه است. تا زمانی که آن را بدست آورید، از آن استفاده کنید توصیه کلیبرای حل مشکلات پیچیده - "اگر نمی دانید چه کاری انجام دهید، آنچه را که می توانید انجام دهید." یعنی به دنبال این باشید که چگونه می توانید معادله را در اصل تغییر دهید و سعی کنید آن را انجام دهید - اگر چه اتفاقی بیفتد؟ نکته اصلی این است که فقط تبدیلات مبتنی بر ریاضی ایجاد کنیم. معادلات نمایی بدون جواب بیایید به دو موقعیت دیگر که اغلب دانش‌آموزان را گیج می‌کنند نگاه کنیم: - عدد مثبتبه توان برابر با صفر، به عنوان مثال، \(2^x=0\); - یک عدد مثبت برابر با توان یک عدد منفی است، برای مثال \(2^x=-4\). بیایید سعی کنیم با زور وحشیانه حل کنیم. اگر x یک عدد مثبت باشد، با رشد x، کل توان \(2^x\) فقط افزایش می یابد: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) همچنین توسط. X منفی باقی می ماند. با یادآوری ویژگی \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\)، بررسی می کنیم: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) علیرغم اینکه عدد با هر مرحله کوچکتر می شود، هرگز به صفر نمی رسد. بنابراین درجه منفی ما را نجات نداد. ما به یک نتیجه منطقی می رسیم: یک عدد مثبت به هر درجه ای یک عدد مثبت باقی می ماند. بنابراین، هر دو معادله بالا هیچ راه حلی ندارند. معادلات نمایی با پایه های مختلف در عمل گاهی اوقات با معادلات نمایی با پایه های مختلف که قابل تقلیل به یکدیگر نیستند و در عین حال با توان های یکسان مواجه می شویم. آنها به این شکل هستند: \(a^(f(x))=b^(f(x))\)، که در آن \(a\) و \(b\) اعداد مثبت هستند. مثلا: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) چنین معادلاتی را می توان به راحتی با تقسیم بر هر یک از اضلاع معادله حل کرد (معمولاً تقسیم بر سمت راست، یعنی بر \(b^(f(x))\) می توانید به این ترتیب تقسیم کنید زیرا یک عدد مثبت است. به هر توانی مثبت است (یعنی بر صفر تقسیم نمی کنیم) دریافت می کنیم: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) مثال . حل معادله نمایی \(5^(x+7)=3^(x+7)\) راه حل: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) در اینجا ما نمی‌توانیم یک پنج را به سه یا برعکس (حداقل بدون استفاده از) تبدیل کنیم. این بدان معناست که ما نمی توانیم به شکل \(a^(f(x))=a^(g(x))\) برسیم. با این حال، شاخص ها یکسان است. بیایید معادله را به سمت راست تقسیم کنیم، یعنی بر \(3^(x+7)\) (می توانیم این کار را انجام دهیم زیرا می دانیم که سه به هیچ درجه ای صفر نخواهد بود). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) حالا ویژگی \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) را به خاطر بسپارید و از سمت چپ در جهت مخالف استفاده کنید. در سمت راست، ما به سادگی کسر را کاهش می دهیم. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) به نظر می رسد که اوضاع بهتر نشده است. اما یک ویژگی دیگر از توان را به خاطر بسپارید: \(a^0=1\)، به عبارت دیگر: "هر عددی به توان صفر برابر است با \(1\)." عکس آن نیز صادق است: "یک را می توان به عنوان هر عددی به توان صفر نشان داد." بیایید با درست کردن پایه سمت راست مانند سمت چپ از این مزیت استفاده کنیم. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) وویلا! بیایید از شر پایه ها خلاص شویم. ما در حال نوشتن پاسخ هستیم. پاسخ : \(-7\). گاهی اوقات «یکسانی» شارح ها آشکار نیست، اما استفاده ماهرانه از ویژگی های شارح این مشکل را حل می کند. مثال . حل معادله نمایی \(7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) راه حل: \(7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) معادله بسیار غم انگیز به نظر می رسد... نه تنها نمی توان پایه ها را به یک عدد کاهش داد (هفت به هیچ وجه برابر با \(\frac(1)(3)\) نخواهد بود)، بلکه توان ها نیز متفاوت هستند. .. با این حال، بیایید از نمایی چپ استفاده کنیم. \(7^(2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) با به خاطر سپردن ویژگی \((a^b)^c=a^(b·c)\) از سمت چپ تبدیل می کنیم: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) حالا با به خاطر سپردن خاصیت درجه منفی \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\)، از سمت راست تبدیل می کنیم: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) سپاس خداوند را! شاخص ها یکی هستند! طبق طرحی که قبلاً برای ما آشناست عمل می کنیم ، قبل از پاسخ حل می کنیم. پاسخ : \(2\).

سخنرانی: "روش های حل معادلات نمایی».

1 . معادلات نمایی

معادلات حاوی مجهولات در توان را معادلات نمایی می نامند. ساده ترین آنها معادله ax = b است که a > 0، a ≠ 1 است.

1) در ب< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) برای b > 0، با استفاده از یکنواختی تابع و قضیه ریشه، معادله یک ریشه منحصر به فرد دارد. برای یافتن آن، b باید به شکل b = aс، аx = bс ó x = c یا x = logab نمایش داده شود.

معادلات نمایی با تبدیل های جبری منجر به معادلات استاندارد می شود که با استفاده از روش های زیر حل می شوند:

1) روش کاهش به یک پایه؛

2) روش ارزیابی؛

3) روش گرافیکی؛

4) روش معرفی متغیرهای جدید.

5) روش فاکتورسازی؛

6) نشان دهنده - معادلات قدرت;

7) نمایشی با یک پارامتر.

2 . روش کاهش به یک پایه

این روش بر اساس ویژگی درجه های زیر است: اگر دو درجه مساوی و پایه های آنها مساوی باشد، توان آنها برابر است، یعنی باید سعی کرد معادله را به شکل کاهش داد.

مثال ها. معادله را حل کنید:

1 . 3x = 81;

بیایید سمت راست معادله را به شکل 81 = 34 نشان دهیم و معادله را معادل 3 x = 34 اصلی بنویسیم. x = 4. پاسخ: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">و اجازه دهید به معادله برای نماهای 3x+1 = 3 – 5x؛ 8x = برویم. 4؛ x = 0.5 پاسخ: 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

توجه داشته باشید که اعداد 0.2، 0.04، √5 و 25 قدرت های 5 را نشان می دهند. بیایید از این مزیت استفاده کنیم و معادله اصلی را به صورت زیر تبدیل کنیم:

, از آنجا 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2، که از آن راه حل x = -1 را پیدا می کنیم. پاسخ 1.

5. 3x = 5. با تعریف لگاریتم، x = log35. پاسخ: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

بیایید معادله را به شکل 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 بازنویسی کنیم، یعنی..png" width="181" height="49 src="> بنابراین x – 4 =0، x = 4. پاسخ: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. با استفاده از خواص توان ها، معادله را به شکل 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 سپس 3∙3x = 9، 3x+1 می نویسیم. = 32، یعنی x+1 = 2، x =1. پاسخ 1.

بانک مشکل شماره 1.

معادله را حل کنید:

تست شماره 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3؛ 1 2) -3؛-1 3) 0؛ 2 4) بدون ریشه
	1) 7؛ 1 2) بدون ریشه 3) -7؛ 1 4) -1؛-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

تست شماره 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) بدون ریشه 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 روش ارزشیابی.

قضیه ریشه: اگر تابع f(x) در بازه I افزایش (کاهش) پیدا کند، عدد a هر مقداری است که با f در این بازه گرفته شود، سپس معادله f(x) = a دارای یک ریشه در بازه I است.

هنگام حل معادلات با روش تخمین، از این قضیه و ویژگی های یکنواختی یک تابع استفاده می شود.

مثال ها. حل معادلات: 1. 4x = 5 - x.

راه حل. بیایید معادله را به صورت 4x +x = 5 بازنویسی کنیم.

1. اگر x = 1، 41 + 1 = 5، 5 = 5 درست است، به این معنی که 1 ریشه معادله است.

تابع f(x) = 4x – در R افزایش می یابد، و g(x) = x – در R => h(x)= f(x)+g(x) در R افزایش می یابد، به عنوان مجموع توابع افزایشی، سپس x = 1 تنها ریشه معادله 4x = 5 – x است. پاسخ 1.

2.

راه حل. بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم .

1. اگر x = -1، پس 3 = 3 درست است، یعنی x = -1 ریشه معادله است.

2. ثابت کنید که او تنها است.

3. تابع f(x) = - در R کاهش می یابد، و g(x) = - x - کاهش می یابد در R=> h(x) = f(x)+g(x) - در R کاهش می یابد، به عنوان مجموع کاهش توابع . این بدان معناست که طبق قضیه ریشه، x = -1 تنها ریشه معادله است. پاسخ 1.

بانک مشکل شماره 2. معادله را حل کنید

الف) 4x + 1 =6 - x;

ب)

ج) 2x – 2 =1 – x;

4. روش معرفی متغیرهای جدید.

روش در بند 2.1 توضیح داده شده است. معرفی یک متغیر جدید (جایگزینی) معمولاً پس از تبدیل (ساده سازی) شرایط معادله انجام می شود. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال ها. آرمعادله را حل کنید: 1. .

بیایید معادله را متفاوت بنویسیم: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

راه حل. بیایید معادله را متفاوت بنویسیم:

بیایید https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> را تعیین کنیم - مناسب نیست.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - معادله غیر منطقی. توجه می کنیم که

جواب معادله x = 2.5 ≤ 4 است، یعنی 2.5 ریشه معادله است. پاسخ: 2.5.

راه حل. بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم و هر دو طرف را بر 56x+6 ≠ 0 تقسیم کنیم. معادله را بدست می آوریم

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

ریشه های معادله درجه دوم t1 = 1 و t2 است<0, т. е..png" width="200" height="24">.

راه حل . بیایید معادله را به شکل بازنویسی کنیم

و توجه داشته باشید که هست معادله همگندرجه دوم

معادله را بر 42 برابر تقسیم می کنیم، به دست می آید

بیایید https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> را جایگزین کنیم.

پاسخ: 0; 0.5.

بانک مشکل شماره 3. معادله را حل کنید

ب)

ز)

تست شماره 3 با انتخابی از پاسخ ها حداقل سطح.

A1	1) -0.2؛ 2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2؛ 1 2) -1؛ 0 3) بدون ریشه 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) بدون ریشه 2) 2؛ 4 3) 3 4) -1؛ 2

تست شماره 4 با انتخابی از پاسخ ها سطح عمومی.

A1	1) 2؛ 1 2) ½؛ 0 3) 2؛ 0 4) 0
A2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0؛ 1 4) بدون ریشه

5. روش فاکتورسازی.

1. معادله را حل کنید: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69">، از کجا

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

راه حل. بیایید 6 برابر از براکت ها را در سمت چپ معادله و 2 برابر را در سمت راست قرار دهیم. معادله 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x را بدست می آوریم.

از آنجایی که 2x>0 برای همه x، می‌توانیم هر دو طرف این معادله را بر 2x تقسیم کنیم، بدون ترس از از دست دادن راه‌حل. ما 3x = 1- x = 0 دریافت می کنیم.

3.

راه حل. بیایید معادله را با استفاده از روش فاکتورسازی حل کنیم.

اجازه دهید مربع دو جمله ای را انتخاب کنیم

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ریشه معادله است.

معادله x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

تست شماره 6 سطح عمومی.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1؛ 3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3؛ 4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. معادلات نمایی – توان.

در مجاورت معادلات نمایی، معادلات به اصطلاح توان نمایی قرار دارند، یعنی معادلات به شکل (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

اگر معلوم شود که f(x)> 0 و f(x) ≠ 1، آنگاه معادله، مانند نمایی، با معادل سازی توان های g(x) = f(x) حل می شود.

اگر شرط امکان f(x)=0 و f(x)=1 را رد نکند، باید این موارد را هنگام حل یک معادله نمایی در نظر بگیریم.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

راه حل. x2 +2x-8 - برای هر x منطقی است، زیرا یک چند جمله ای است، به این معنی که معادله معادل کل است.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

ب)

7. معادلات نمایی با پارامترها.

1. معادله 4 (5-3)2 +4p2-3p = 0 (1) برای چه مقادیری از پارامتر p یک راه حل منحصر به فرد دارد؟

راه حل. اجازه دهید جایگزین 2x = t، t > 0 را معرفی کنیم، سپس معادله (1) به شکل t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 خواهد بود. (2)

ممیز معادله (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

اگر معادله (2) یک ریشه مثبت داشته باشد، معادله (1) یک راه حل منحصر به فرد دارد. این امر در موارد زیر امکان پذیر است.

1. اگر D = 0، یعنی p = 1، معادله (2) به شکل t2 – 2t + 1 = 0 خواهد بود، بنابراین t = 1، بنابراین، معادله (1) یک جواب منحصر به فرد x = 0 دارد.

2. اگر p1، 9(p – 1)2 > 0، آنگاه معادله (2) دارای دو ریشه مختلف t1 = p، t2 = 4p – 3 است. شرایط مسئله توسط مجموعه ای از سیستم ها برآورده می شود.

جایگزینی t1 و t2 در سیستم ها، داریم

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

راه حل. اجازه دهید سپس معادله (3) به شکل t2 – 6t – a = 0 خواهد بود. (4)

اجازه دهید مقادیر پارامتر a را پیدا کنیم که حداقل یک ریشه از معادله (4) شرط t> 0 را برآورده کند.

اجازه دهید تابع f(t) = t2 – 6t – a را معرفی کنیم. موارد زیر ممکن است.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} سه جمله ای درجه دوم f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

مورد 2. معادله (4) یک راه حل مثبت منحصر به فرد دارد اگر

D = 0، اگر a = – 9 باشد، معادله (4) به شکل (t – 3) 2 = 0، t = 3، x = – 1 خواهد بود.

مورد 3. معادله (4) دارای دو ریشه است، اما یکی از آنها نابرابری t > 0 را برآورده نمی کند. این در صورتی امکان پذیر است که

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

بنابراین، برای a 0، معادله (4) یک ریشه مثبت دارد . سپس معادله (3) یک راه حل منحصر به فرد دارد

وقتی یک< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

اگر یک< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
اگر a = – 9، آنگاه x = – 1.

اگر a  0 باشد، آنگاه

اجازه دهید روش های حل معادلات (1) و (3) را با هم مقایسه کنیم. توجه داشته باشید که هنگام حل معادله (1) به یک معادله درجه دوم که ممیز آن یک مربع کامل است کاهش می یابد. بنابراین، ریشه های معادله (2) بلافاصله با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم محاسبه شد و سپس در مورد این ریشه ها نتیجه گیری شد. معادله (3) به یک معادله درجه دوم (4) تقلیل یافته است که ممیز آن یک مربع کامل نیست، بنابراین هنگام حل معادله (3)، توصیه می شود از قضایایی در مورد محل ریشه های یک سه جمله درجه دوم استفاده شود. و یک مدل گرافیکی توجه داشته باشید که معادله (4) را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد.

بیایید بیشتر حل کنیم معادلات پیچیده.

مسئله 3: معادله را حل کنید

راه حل. ODZ: x1، x2.

بیایید جایگزینی را معرفی کنیم. فرض کنید 2x = t، t > 0، سپس در نتیجه تبدیل ها، معادله به شکل t2 + 2t - 13 - a = 0 خواهد بود. (*) اجازه دهید مقادیر a را پیدا کنیم که حداقل یک ریشه معادله (*) شرط t > 0 را برآورده می کند.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

پاسخ: اگر a > – 13، a  11، a  5، سپس اگر a – 13،

a = 11، a = 5، پس هیچ ریشه ای وجود ندارد.

کتابشناسی - فهرست کتب.

1. Guzeev مبانی فناوری آموزشی.

2. تکنولوژی Guzeev: از پذیرش تا فلسفه.

م «مدیر مدرسه» شماره 4، 1375

3. Guzeev و اشکال سازمانی آموزش.

4. گوزیف و تمرین فناوری آموزشی یکپارچه.

م." اموزش عمومی"، 2001

5. Guzeev از فرم های یک درس - سمینار.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 1366 ص 9 – 11.

6. فن آوری های آموزشی Seleuko.

م. «آموزش عمومی»، 1377

7. دانش آموزان Episheva برای مطالعه ریاضیات.

م. "روشنگری"، 1990

8. ایوانوا دروس - کارگاه ها را آماده می کند.

ریاضیات در مدرسه شماره 6، 1990 ص. 37-40.

9. مدل اسمیرنوف در تدریس ریاضیات.

ریاضیات در مدرسه شماره 1، 1376 ص. 32-36.

10. Tarasenko راه های سازماندهی کار عملی.

ریاضیات در مدرسه شماره 1، 1993 ص. 27-28.

11. در مورد یکی از انواع کار فردی.

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 94، ص 63 – 64.

12. خازنکین مهارت های خلاقانهدانش آموزان

ریاضیات در مدرسه شماره 2، 1989 ص. 10.

13. اسکانوی. ناشر، 1997

14. و دیگران جبر و آغاز تحلیل. مواد آموزشی برای

15. وظایف Krivonogov در ریاضیات.

M. "اول سپتامبر"، 2002

16. چرکاسوف. کتاب راهنمای دانش آموزان دبیرستانی و

ورود به دانشگاه ها "A S T - مدرسه مطبوعات"، 2002

17. Zhevnyak برای کسانی که وارد دانشگاه می شوند.

مینسک و فدراسیون روسیه "بررسی"، 1996

18. کتبی د. ما برای امتحان ریاضی آماده می شویم. M. Rolf، 1999

19. و غیره آموزش حل معادلات و نامساوی.

م. «عقل – مرکز»، 1382

20. و غیره. مواد آموزشی و آموزشی برای آماده سازی برای EGE.

م. "اطلاعات - مرکز"، 1382 و 1383.

21 و دیگران. گزینه های CMM. مرکز تست وزارت دفاع فدراسیون روسیه، 2002، 2003.

22. معادلات گلدبرگ. "کوانتوم" شماره 3، 1971

23. Volovich M. چگونه ریاضیات را با موفقیت تدریس کنیم.

ریاضی، 1376 شماره 3.

24 Okunev برای درس، بچه ها! م. آموزش و پرورش، 1367

25. Yakimanskaya - یادگیری گرا در مدرسه.

26. Liimets در کلاس کار می کنند. م. دانش، 1975

معادله نمایی چیست؟ مثال ها.

بنابراین، یک معادله نمایی... یک نمایشگاه منحصر به فرد جدید در نمایشگاه عمومی ما از طیف گسترده ای از معادلات!) همانطور که تقریباً همیشه همینطور است، کلمه کلیدی هر اصطلاح ریاضی جدید صفت مربوطه است که آن را مشخص می کند. پس اینجاست. کلمه کلیدی در اصطلاح "معادله نمایی" کلمه است "نشان دهنده". چه مفهومی داره؟ این کلمه به معنای قرار گرفتن مجهول (x) است از نظر هر درجهو فقط آنجا! این بسیار مهم است.

برای مثال، این معادلات ساده:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

یا حتی این هیولاها:

2 sin x = 0.5

لطفا بلافاصله به یک نکته مهم توجه کنید: دلایلدرجه (پایین) - فقط اعداد. ولی در شاخص هادرجه (بالا) - طیف گسترده ای از عبارات با X. مطلقاً.) همه چیز به معادله خاص بستگی دارد. اگر به طور ناگهانی، x علاوه بر نشانگر، در جای دیگری از معادله ظاهر شود (مثلاً 3 x = 18 + x 2)، آنگاه چنین معادله ای قبلاً یک معادله خواهد بود. نوع مختلط . چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل آنها ندارند. بنابراین، ما آنها را در این درس در نظر نخواهیم گرفت. برای خوشحالی دانش آموزان.) در اینجا ما فقط معادلات نمایی را به شکل "خالص" آنها در نظر خواهیم گرفت.

به طور کلی، همه و نه همیشه حتی معادلات نمایی خالص را نمی توان به وضوح حل کرد. اما در میان انواع مختلف معادلات نمایی، انواع خاصی وجود دارد که می توان و باید آنها را حل کرد. این نوع معادلات هستند که در نظر خواهیم گرفت. و ما قطعاً مثال ها را حل خواهیم کرد.) پس بیایید راحت باشیم و برویم! همانطور که در شوترهای کامپیوتری، سفر ما از طریق سطوح انجام خواهد شد.) از ابتدایی به ساده، از ساده به متوسط ​​و از متوسط ​​به پیچیده. در طول راه، یک سطح مخفی نیز در انتظار شما خواهد بود - تکنیک ها و روش هایی برای حل نمونه های غیر استاندارد. آنهایی که در اکثر کتاب‌های مدرسه نمی‌خوانید... خب، و در پایان، البته، رئیس نهایی در قالب تکالیف در انتظار شماست.)

سطح 0. ساده ترین معادله نمایی چیست؟ حل معادلات نمایی ساده

ابتدا، اجازه دهید به چند چیز ابتدایی صریح نگاه کنیم. باید از جایی شروع کنی، درسته؟ برای مثال این معادله:

2 x = 2 2

حتی بدون هیچ نظریه ای طبق منطق ساده و حس مشترکواضح است که x = 2. راه دیگری وجود ندارد، درست است؟ هیچ معنای دیگری از X مناسب نیست ... و اکنون توجه خود را به آن معطوف کنیم سابقه تصمیماین معادله نمایی جالب:

2 x = 2 2

X = 2

چه اتفاقی برای ما افتاد؟ و موارد زیر اتفاق افتاد. ما در واقع آن را گرفتیم و ... فقط آن را دور انداختیم زمینه های یکسان(دو نفر)! کاملا بیرون انداخته شده و، خبر خوب این است که ما به چشم گاو نر برخوردیم!

بله، در واقع، اگر در یک معادله نمایی چپ و راست وجود داشته باشد هماناعداد در هر توانی، سپس این اعداد را می توان کنار گذاشت و به سادگی توان ها را برابر کرد. ریاضیات اجازه می دهد.) و سپس می توانید به طور جداگانه با شاخص ها کار کنید و یک معادله بسیار ساده تر را حل کنید. عالیه، درسته؟

در اینجا ایده کلیدی برای حل هر معادله نمایی (بله، دقیقاً هر!) وجود دارد: با استفاده از تحولات هویتیلازم است اطمینان حاصل شود که چپ و راست در معادله هستند همان اعداد پایه در توان های مختلف و سپس می توانید با خیال راحت همان پایه ها را بردارید و توان ها را برابر کنید. و با یک معادله ساده تر کار کنید.

حالا بیایید قانون آهنین را به خاطر بسپاریم: حذف پایه های یکسان در صورتی امکان پذیر است که اعداد سمت چپ و راست معادله دارای اعداد پایه باشند. در تنهایی غرور آفرین

در انزوای باشکوه یعنی چه؟ این یعنی بدون هیچ همسایه و ضرایبی. بگذار توضیح بدهم.

به عنوان مثال، در معادله

3 3 x-5 = 3 2 x +1

سه ها را نمی توان حذف کرد! چرا؟ از آنجا که در سمت چپ ما فقط یک سه نفر تا درجه تنها نداریم، بلکه کار کردن 3 · 3 x-5 . سه مورد اضافی تداخل دارد: ضریب، متوجه می‌شوید.)

همین را می توان در مورد معادله نیز گفت

5 3 x = 5 2 x +5 x

در اینجا نیز همه پایه ها یکسان هستند - پنج. اما در سمت راست ما یک توان پنج نداریم: مجموع قدرت ها وجود دارد!

به طور خلاصه، ما حق حذف پایه های یکسان را تنها زمانی داریم که معادله نمایی ما به این شکل باشد و فقط به این شکل باشد:

آf (ایکس) = یک گرم (ایکس)

این نوع معادله نمایی نامیده می شود ساده ترین. یا از نظر علمی ابتدایی . و مهم نیست که چه معادله پیچیده ای در مقابل خود داشته باشیم، به هر نحوی آن را دقیقاً به این ساده ترین شکل (متعارف) تقلیل خواهیم داد. یا در برخی موارد به کلیتمعادلات از این نوع سپس ساده ترین معادله ما را می توان به صورت زیر نوشت نمای کلیآن را به این صورت بازنویسی کنید:

F(x) = g(x)

همین. این یک تبدیل معادل خواهد بود. در این مورد، f(x) و g(x) می توانند مطلقاً هر عبارتی با x باشند. هر چه.

شاید یک دانش آموز کنجکاو بخصوص از خود بپرسد: چرا ما به این راحتی و به سادگی پایه های یکسان چپ و راست را کنار می گذاریم و توان ها را برابر می گیریم؟ شهود شهود است، اما اگر در برخی معادلات و به دلایلی، این رویکرد نادرست باشد، چه؟ آیا همیشه قانونی است که همان دلایل را کنار بگذاریم؟متأسفانه، برای یک پاسخ ریاضی دقیق به این علاقه بپرسشما باید کاملا عمیق و جدی در آن فرو بروید نظریه عمومیرفتار دستگاه و عملکرد و کمی به طور خاص - در پدیده یکنواختی شدیدبه ویژه، یکنواختی شدید تابع نماییy= تبر. از آنجایی که این تابع نمایی و ویژگی های آن است که زیربنای حل معادلات نمایی است، بله.) پاسخ دقیق به این سوال در یک درس ویژه جداگانه اختصاص داده شده به حل معادلات پیچیده غیر استاندارد با استفاده از یکنواختی توابع مختلف داده خواهد شد.)

توضیح دقیق این نکته در حال حاضر فقط ذهن یک دانش آموز معمولی را منفجر می کند و او را زودتر از موعد با یک نظریه خشک و سنگین می ترساند. من این کار را نمی کنم.) زیرا اصلی ما این لحظهوظیفه - یادگیری حل معادلات نمایی!ساده ترین ها! بنابراین، بیایید هنوز نگران نباشیم و جسورانه همان دلایل را کنار بگذاریم. این می توان، حرف من را قبول کنید!) و سپس معادله معادل f(x) = g(x) را حل می کنیم. به عنوان یک قاعده، ساده تر از نمایی اصلی است.

البته فرض بر این است که افراد قبلاً می دانند چگونه حداقل و معادلات را بدون x در توان حل کنند.) برای کسانی که هنوز نمی دانند چگونه این صفحه را ببندند، پیوندهای مربوطه را دنبال کرده و پر کنند. شکاف های قدیمی وگرنه کار سختی خواهید داشت، بله...

من در مورد معادلات غیرمنطقی، مثلثاتی و سایر معادلات وحشیانه صحبت نمی کنم که می توانند در روند حذف پایه ها نیز ظاهر شوند. اما نگران نباشید، ما فعلاً ظلم آشکار را از نظر درجه در نظر نخواهیم گرفت: خیلی زود است. ما فقط بر روی ساده ترین معادلات آموزش خواهیم داد.)

حال بیایید به معادلاتی نگاه کنیم که برای کاهش آنها به ساده ترین نیاز به تلاش بیشتری دارند. به خاطر تمایز، آنها را صدا کنیم معادلات نمایی ساده. بنابراین، اجازه دهید به سطح بعدی حرکت کنیم!

سطح 1. معادلات نمایی ساده. بیایید درجات را بشناسیم! شاخص های طبیعی

قوانین کلیدی در حل هر معادله نمایی عبارتند از قوانین برخورد با مدارک تحصیلی. بدون این دانش و مهارت هیچ چیز کار نخواهد کرد. افسوس. بنابراین، اگر مشکلی در مدرک وجود دارد، ابتدا خوش آمدید. علاوه بر این، ما نیز نیاز خواهیم داشت. این تبدیل ها (دوتا از آنها!) مبنای حل کلی معادلات ریاضی هستند. و نه تنها موارد نمایشی. بنابراین، هر کسی که فراموش کرده است، به پیوند نگاهی نیز بیندازد: من فقط آنها را در آنجا قرار نمی دهم.

اما عملیات با قدرت و تغییر هویت به تنهایی کافی نیست. مشاهده شخصی و نبوغ نیز لازم است. ما به همین دلایل نیاز داریم، نه؟ بنابراین مثال را بررسی می کنیم و به صورت آشکار یا مبدل به دنبال آنها می گردیم!

برای مثال این معادله:

3 2 x – 27 x +2 = 0

ابتدا نگاه کنید زمینه. آنها متفاوتند! سه و بیست و هفت. اما برای وحشت و ناامیدی خیلی زود است. وقت آن است که آن را به خاطر بسپاریم

27 = 3 3

اعداد 3 و 27 از نظر درجه فامیل هستند! و نزدیکان.) بنابراین، ما حق داریم بنویسیم:

27 x +2 = (3 3) x+2

اکنون بیایید دانش خود را در مورد آن به هم متصل کنیم اقدامات با درجه(و من به شما هشدار دادم!). یک فرمول بسیار مفید وجود دارد:

(a m) n = mn

اگر اکنون آن را عملی کنید، عالی عمل می کند:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

نمونه اصلی اکنون به این صورت است:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

عالی، پایه های درجات صاف شده است. این چیزی است که ما می خواستیم. نیمی از نبرد انجام شده است.) اکنون تغییر هویت اصلی را راه اندازی می کنیم - 3 3 (x +2) را به سمت راست حرکت می دهیم. هیچ کس عملیات ابتدایی ریاضیات را لغو نکرده است، بله.) دریافت می کنیم:

3 2 x = 3 3 (x +2)

این نوع معادله چه چیزی به ما می دهد؟ و این واقعیت است که اکنون معادله ما کاهش یافته است به شکل متعارف: در سمت چپ و راست اعداد یکسان (سه) در توان وجود دارد. علاوه بر این، هر سه در انزوای عالی قرار دارند. با خیال راحت سه تایی را بردارید و دریافت کنید:

2x = 3 (x+2)

ما این را حل می کنیم و می گیریم:

X = -6

خودشه. این جواب درست است.)

حالا بیایید به راه حل فکر کنیم. چه چیزی ما را در این مثال نجات داد؟ آگاهی از قدرت های سه ما را نجات داد. دقیقا چطور؟ ما شناخته شده استشماره 27 شامل سه رمزگذاری شده است! این ترفند (رمزگذاری همان پایه در زیر اعداد مختلف) یکی از محبوب ترین ها در معادلات نمایی است! مگر اینکه محبوب ترین باشد. بله، اتفاقاً به همین ترتیب. به همین دلیل است که مشاهده و توانایی تشخیص قدرت اعداد دیگر در اعداد در معادلات نمایی بسیار مهم است!

توصیه عملی:

شما باید قدرت اعداد محبوب را بدانید. در چهره!

البته هرکسی می تواند دو را به توان هفتم یا سه تا را به توان پنجم برساند. در ذهن من نیست، اما حداقل در یک پیش نویس. اما در معادلات نمایی، خیلی بیشتر اوقات لازم نیست که به یک توان برسیم، بلکه باید بفهمیم که چه عددی و به چه توانی در پشت عدد پنهان شده است، مثلاً 128 یا 243. و این پیچیده تر از افزایش ساده است. شما موافقت خواهید کرد همانطور که می گویند تفاوت را احساس کنید!

از آنجایی که توانایی تشخیص مدارک به صورت حضوری نه تنها در این سطح، بلکه در سطوح بعدی نیز مفید خواهد بود، در اینجا یک کار کوچک برای شما وجود دارد:

تعیین کنید که اعداد چه قدرت ها و چه اعدادی هستند:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

پاسخ ها (البته به صورت تصادفی):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

بله بله! تعجب نکنید که پاسخ ها بیشتر از وظایف هستند. به عنوان مثال، 2 8، 4 4 و 16 2 همه 256 هستند.

سطح 2. معادلات نمایی ساده. بیایید درجات را بشناسیم! شاخص های منفی و کسری.

در این سطح ما در حال حاضر از دانش خود در مورد مدارک تحصیلی به طور کامل استفاده می کنیم. یعنی ما شاخص های منفی و کسری را در این روند جذاب دخالت می دهیم! بله بله! ما باید قدرت خود را افزایش دهیم، درست است؟

به عنوان مثال، این معادله وحشتناک:

باز هم، اولین نگاه به پایه ها است. دلایل متفاوت است! و این بار حتی از دور شبیه هم نیستند! 5 و 0.04 ... و برای از بین بردن پایه ها همون ها لازمه ... چیکار کنیم ؟

خوبه! در واقع، همه چیز یکسان است، فقط ارتباط بین پنج و 0.04 از نظر بصری ضعیف است. چگونه می توانیم خارج شویم؟ بریم سراغ عدد 0.04 به عنوان یک کسر معمولی! و سپس، می بینید، همه چیز درست می شود.)

0,04 = 4/100 = 1/25

وای! معلوم می شود که 0.04 1/25 است! خوب، چه کسی فکرش را می کرد!)

خوب چطور؟ آیا اکنون مشاهده ارتباط بین اعداد 5 و 1/25 آسانتر است؟ خودشه...

و حالا طبق قواعد اعمال با درجات با شاخص منفیشما می توانید با یک دست ثابت بنویسید:

عالی است. بنابراین به همان پایگاه رسیدیم - پنج. حالا عدد نامناسب 0.04 را در معادله با 5 -2 جایگزین می کنیم و می گیریم:

مجدداً، طبق قوانین عملیات با درجه، اکنون می توانیم بنویسیم:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

در هر صورت، من به شما یادآوری می کنم (در صورتی که کسی نمی داند) که قوانین اساسی برای برخورد با مدرک معتبر است هرشاخص ها! از جمله برای موارد منفی.) بنابراین، با خیال راحت شاخص های (-2) و (x-1) را طبق قانون مناسب بگیرید و ضرب کنید. معادله ما بهتر و بهتر می شود:

همه! به غیر از تنها پنج نفر، هیچ چیز دیگری در قدرت های چپ و راست وجود ندارد. معادله به شکل متعارف کاهش می یابد. و سپس - در امتداد مسیر پیچ خورده. پنج ها را حذف می کنیم و شاخص ها را برابر می کنیم:

ایکس 2 –6 ایکس+5=-2(ایکس-1)

مثال تقریباً حل شده است. تنها چیزی که باقی مانده است ریاضی دوره راهنمایی ابتدایی است - پرانتزها را باز کنید (به درستی!) و همه چیز را در سمت چپ جمع کنید:

ایکس 2 –6 ایکس+5 = -2 ایکس+2

ایکس 2 –4 ایکس+3 = 0

ما این را حل می کنیم و دو ریشه می گیریم:

ایکس 1 = 1; ایکس 2 = 3

همین است.)

حالا بیایید دوباره فکر کنیم. در این مثال دوباره باید همان عدد را در درجات مختلف تشخیص می دادیم! یعنی برای دیدن یک پنج رمزگذاری شده در عدد 0.04. و این بار - در درجه منفی!چگونه این کار را انجام دادیم؟ درست خارج از خفاش - به هیچ وجه. اما پس از انتقال از اعشاری 0.04 به کسر مشترک 1/25 و بس! و سپس کل تصمیم مانند ساعت پیش رفت.)

بنابراین، یکی دیگر از توصیه های کاربردی سبز.

اگر یک معادله نمایی شامل کسرهای اعشاری باشد، از کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی حرکت می کنیم. که در کسرهای معمولیتشخیص قدرت بسیاری از اعداد محبوب بسیار ساده تر است! پس از شناسایی، از کسری به قدرت هایی با توان منفی می رویم.

به خاطر داشته باشید که این ترفند خیلی خیلی زیاد در معادلات نمایی اتفاق می افتد! اما شخص در موضوع نیست. مثلاً به اعداد 32 و 0.125 نگاه می کند و ناراحت می شود. بدون اینکه او بداند، این یکی و همان دو است، فقط در درجات مختلف... اما شما از قبل می دانید!)

معادله را حل کنید:

که در! به نظر می رسد ترسناک آرام است... با این حال، ظاهر فریبنده است. این ساده ترین معادله نمایی است، با وجود دلهره آور بودن ظاهر. و اکنون آن را به شما نشان خواهم داد.)

ابتدا، بیایید به تمام اعداد در مبانی و ضرایب نگاه کنیم. آنها البته متفاوت هستند، بله. اما ما همچنان ریسک می کنیم و سعی می کنیم آنها را بسازیم همسان! بیایید سعی کنیم به آن برسیم همان تعداد در قدرت های مختلف. علاوه بر این، ترجیحاً اعداد تا حد امکان کوچک باشند. بنابراین، بیایید رمزگشایی را شروع کنیم!

خوب، با این چهار همه چیز بلافاصله روشن است - 2 2 است. خوب، این قبلاً چیزی است.)

با کسری از 0.25 - هنوز نامشخص است. نیاز به بررسی. بیایید از توصیه های عملی استفاده کنیم - از کسری اعشاری به کسری معمولی حرکت کنیم:

0,25 = 25/100 = 1/4

خیلی بهتره قبلا زیرا اکنون به وضوح قابل مشاهده است که 1/4 برابر 2 -2 است. عالی است و عدد 0.25 نیز شبیه به دو است.)

تا اینجای کار خیلی خوبه. اما بدترین تعداد باقی مانده است - جذر دو!با این فلفل چه کنیم؟ آیا می توان آن را به عنوان یک توان دو نیز نشان داد؟ و چه کسی می داند ...

خوب، بیایید دوباره به گنجینه دانش خود در مورد درجه ها شیرجه بزنیم! این بار علاوه بر این، دانش خود را به هم متصل می کنیم در مورد ریشه ها. من و شما از کلاس نهم باید یاد می گرفتیم که هر ریشه ای در صورت تمایل همیشه به مدرک تبدیل می شود. با نشانگر کسری

مثل این:

در مورد ما:

وای! معلوم می شود که جذر دو برابر 2 1/2 است. خودشه!

خوبه! همه شماره‌های نامناسب ما در واقع دو عدد رمزگذاری شده بودند.) من بحث نمی‌کنم، در جایی بسیار پیچیده رمزگذاری شده است. اما ما همچنین در حال ارتقاء سطح حرفه ای خود در حل چنین رمزهایی هستیم! و سپس همه چیز از قبل آشکار است. در معادله ما اعداد 4، 0.25 و ریشه دو را با توان دو جایگزین می کنیم:

همه! پایه های تمام درجات در مثال یکسان شد - دو. و اکنون از اقدامات استاندارد با درجه استفاده می شود:

صبحa n = صبح + n

a m:a n = m-n

(a m) n = mn

برای سمت چپ دریافت می کنید:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2 (5 x -16)

برای سمت راست این خواهد بود:

و حالا معادله شیطانی ما به این صورت است:

برای کسانی که دقیقاً متوجه نشده اند که چگونه این معادله به وجود آمده است، سؤال اینجا در مورد معادلات نمایی نیست. سؤال در مورد اعمال دارای درجه است. از شما خواستم فوراً برای کسانی که مشکل دارند تکرار کنید!

اینجا خط پایان است! شکل متعارف معادله نمایی به دست آمده است! خوب چطور؟ آیا من شما را متقاعد کرده ام که همه چیز آنقدرها هم ترسناک نیست؟ ؛) دوتا را حذف می کنیم و اندیکاتورها را برابر می کنیم:

تنها کاری که باید انجام دهید این است که آن را حل کنید معادله خطی. چگونه؟ البته با کمک تحولات یکسان.) تصمیم بگیرید چه اتفاقی می افتد! هر دو طرف را در دو ضرب کنید (برای حذف کسر 3/2)، عبارت ها را با X به چپ، بدون X به راست حرکت دهید، موارد مشابه را بیاورید، بشمارید - و خوشحال خواهید شد!

همه چیز باید زیبا شود:

X=4

حالا بیایید دوباره به راه حل فکر کنیم. در این مثال، انتقال از به ما کمک کرد ریشه دوم به درجه با توان 1/2. علاوه بر این، فقط چنین دگرگونی حیله گرانه ای به ما کمک کرد که همه جا به همان پایگاه (دو) برسیم که وضعیت را نجات داد! و اگر اینطور نبود، ما هر فرصتی را خواهیم داشت که برای همیشه منجمد شویم و هرگز با این مثال کنار نیاییم، بله...

بنابراین، از توصیه های عملی زیر غافل نمی شویم:

اگر یک معادله نمایی دارای ریشه باشد، از ریشه به توان با توان کسری می رویم. اغلب اوقات فقط چنین تحولی وضعیت بیشتر را روشن می کند.

البته قدرت های منفی و کسری بسیار پیچیده تر هستند درجات طبیعی. حداقل از منظر ادراک بصری و مخصوصاً تشخیص از راست به چپ!

واضح است که مثلاً بالا بردن مستقیم دو به توان 3- یا چهار به توان 3/2- آنقدرها مشکل بزرگی نیست. برای کسانی که می دانند.)

اما برو مثلاً فوراً این را بفهم

0,125 = 2 -3

یا

در اینجا فقط تمرین و تجربه غنی حاکم است، بله. و، البته، یک ایده روشن، درجه منفی و کسری چیست؟و همچنین توصیه های عملی! بله، بله، همان ها سبز.) من امیدوارم که آنها هنوز هم به شما کمک کنند تا در کل رشته های متنوع مختلف پیمایش کنید و شانس موفقیت شما را به طور قابل توجهی افزایش دهند! پس از آنها غافل نشویم. من بیهوده نیستم سبزمن گاهی می نویسم.)

اما اگر حتی با قدرت های عجیب و غریب مانند قدرت های منفی و کسری همدیگر را بشناسید، توانایی های شما در حل معادلات نمایی به شدت گسترش می یابد و تقریباً قادر خواهید بود تقریباً هر نوع معادله نمایی را مدیریت کنید. خوب، اگر هیچ، 80 درصد از تمام معادلات نمایی - مطمئنا! بله، بله، شوخی نمی کنم!

بنابراین، بخش اول ما از مقدمه معادلات نمایی به نتیجه منطقی خود رسیده است. و به عنوان یک تمرین متوسط، من به طور سنتی پیشنهاد می کنم کمی خود اندیشی انجام دهید.)

تمرین 1.

به طوری که سخنان من در مورد رمزگشایی منفی و قدرت های کسریبیهوده نیست، پیشنهاد می کنم بازی کنید یک بازی کوچک!

اعداد را به توان دو بیان کنید:

پاسخ ها (به هم ریخته):

اتفاق افتاد؟ عالی! سپس ما یک ماموریت جنگی انجام می دهیم - ساده ترین و ساده ترین معادلات نمایی را حل کنید!

وظیفه 2.

معادلات را حل کنید (همه پاسخ ها به هم ریخته است!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

پاسخ ها:

x = 16

ایکس 1 = -1; ایکس 2 = 2

ایکس = 5

اتفاق افتاد؟ در واقع، بسیار ساده تر است!

سپس بازی بعدی را حل می کنیم:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x · 7 x

پاسخ ها:

ایکس 1 = -2; ایکس 2 = 2

ایکس = 0,5

ایکس 1 = 3; ایکس 2 = 5

و این نمونه ها یکی مانده است؟ عالی! شما در حال رشد هستید! سپس در اینجا چند نمونه دیگر برای شما برای میان وعده وجود دارد:

پاسخ ها:

ایکس = 6

ایکس = 13/31

ایکس = -0,75

ایکس 1 = 1; ایکس 2 = 8/3

و آیا این تصمیم گرفته شده است؟ خوب، احترام! کلاهم را برمی دارم.) پس درس بیهوده نبود و سطح اولحل معادلات نمایی را می توان با موفقیت تسلط یافت. سطوح بعدی و معادلات پیچیده تر در پیش هستند! و تکنیک ها و رویکردهای جدید. و نمونه های غیر استاندارد. و شگفتی های جدید.) همه اینها در درس بعدی است!

آیا مشکلی پیش آمده است؟ این بدان معنی است که به احتمال زیاد مشکلات در . یا در . یا هر دو در یک زمان. من اینجا ناتوانم من می توانم وارد شوم یک بار دیگرمن فقط می توانم یک چیز را پیشنهاد کنم - تنبل نباشید و پیوندها را دنبال کنید.)

ادامه دارد.)

حل معادلات نمایی. مثال ها.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

چه اتفاقی افتاده است معادله نمایی? این معادله ای است که مجهولات (x) و عبارات با آنها در آن قرار دارند شاخص هابرخی درجات و فقط آنجا! مهم است.

شما آنجا هستید نمونه هایی از معادلات نمایی:

3 x 2 x = 8 x + 3

توجه داشته باشید! بر اساس درجه (زیر) - فقط اعداد. که در شاخص هادرجه (بالا) - طیف گسترده ای از عبارات با X. اگر به طور ناگهانی X در معادله در جایی غیر از یک نشانگر ظاهر شود، برای مثال:

این یک معادله از نوع مختلط خواهد بود. چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل آنها ندارند. فعلا آنها را در نظر نخواهیم گرفت. در اینجا به آن خواهیم پرداخت حل معادلات نماییدر خالص ترین شکل آن

در واقع، حتی معادلات نمایی خالص نیز همیشه به وضوح حل نمی شوند. اما انواع خاصی از معادلات نمایی وجود دارد که می توانند و باید حل شوند. اینها انواعی هستند که ما در نظر خواهیم گرفت.

حل معادلات نمایی ساده

اول، بیایید یک چیز بسیار اساسی را حل کنیم. مثلا:

حتی بدون هیچ نظریه ای، با انتخاب ساده مشخص می شود که x = 2. دیگه هیچی درسته!؟ هیچ مقدار دیگری از X کار نمی کند. حال بیایید به حل این معادله نمایی پیچیده نگاه کنیم:

ما چه کرده ایم؟ ما، در واقع، به سادگی همان پایه ها (سه گانه) را بیرون انداختیم. کاملا بیرون انداخته شده و خبر خوب این است که میخ را به سرمان زدیم!

در واقع، اگر در یک معادله نمایی چپ و راست وجود داشته باشد هماناعداد در هر توانی، این اعداد را می توان حذف کرد و توان ها را برابر کرد. ریاضیات اجازه می دهد. برای حل یک معادله بسیار ساده تر باقی مانده است. عالیه، درسته؟)

با این حال، بیایید قاطعانه به یاد داشته باشیم: شما می توانید پایه ها را فقط زمانی حذف کنید که اعداد پایه در سمت چپ و راست در انزوا عالی باشند!بدون هیچ همسایه و ضرایبی. بیایید در معادلات بگوییم:

2 x +2 x+1 = 2 3، یا

دوتا قابل حذف نیست!

خوب، ما به مهمترین چیز مسلط شدیم. چگونه از عبارات نمایی بد به معادلات ساده تر حرکت کنیم.

"آن زمان است!" - تو بگو. "چه کسی چنین درس ابتدایی در آزمون ها و امتحانات می دهد!؟"

من باید موافقت کنم. هیچ کس نخواهد. اما اکنون می‌دانید که هنگام حل مثال‌های پیچیده کجا را هدف بگیرید. باید به فرمی که همان عدد پایه در سمت چپ و راست است آورده شود. سپس همه چیز آسان تر خواهد شد. در واقع، این یک کلاسیک از ریاضیات است. نمونه اصلی را می گیریم و آن را به نمونه دلخواه تبدیل می کنیم ماذهن البته طبق قوانین ریاضی.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم که به تلاش بیشتری برای کاهش آنها به ساده ترین نیاز دارند. به آنها زنگ بزنیم معادلات نمایی ساده

حل معادلات نمایی ساده مثال ها.

هنگام حل معادلات نمایی، قوانین اصلی هستند اقدامات با درجهبدون آگاهی از این اقدامات هیچ چیز کار نخواهد کرد.

به اعمال دارای درجه، باید مشاهده شخصی و نبوغ را اضافه کرد. آیا به اعداد پایه یکسانی نیاز داریم؟ بنابراین ما آنها را در مثال به صورت صریح یا رمزگذاری شده جستجو می کنیم.

بیایید ببینیم چگونه این کار در عمل انجام می شود؟

اجازه دهید مثالی برای ما آورده شود:

2 2x - 8 x+1 = 0

اولین نگاه دقیق به زمینه.آنها... با هم فرق دارند! دو و هشت. اما برای ناامید شدن خیلی زود است. وقت آن است که آن را به خاطر بسپاریم

دو و هشت از نظر درجه نسبی هستند.) کاملاً ممکن است بنویسیم:

8 x+1 = (2 3) x+1

اگر فرمول را از عملیات با درجه به یاد بیاوریم:

(a n) m = a nm

این عالی عمل می کند:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

مثال اصلی به این شکل شروع شد:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

انتقال می دهیم 2 3 (x+1)در سمت راست (هیچ کس عملیات ابتدایی ریاضیات را لغو نکرده است!)، دریافت می کنیم:

2 2x = 2 3 (x+1)

این عملاً تمام است. برداشتن پایه ها:

ما این هیولا را حل می کنیم و می گیریم

این جواب درست است.

در این مثال، دانستن قدرت های دو به ما کمک کرد. ما شناخته شده استدر هشت، دو رمزگذاری شده وجود دارد. این تکنیک (رمزگذاری پایه های مشترک تحت اعداد مختلف) یک تکنیک بسیار محبوب در معادلات نمایی است! بله، و در لگاریتم نیز. شما باید بتوانید قدرت اعداد دیگر را در اعداد تشخیص دهید. این برای حل معادلات نمایی بسیار مهم است.

واقعیت این است که افزایش هر عددی به هر توانی مشکلی ندارد. ضرب کنید، حتی روی کاغذ، و تمام. به عنوان مثال، هر کسی می تواند 3 را به توان پنجم برساند. اگر جدول ضرب را بدانید 243 درست می شود.) اما در معادلات نمایی، خیلی بیشتر اوقات نیازی به بالا بردن به توان نیست، بلکه برعکس... پیدا کنید چه عددی به چه درجه ایپشت عدد 243 یا مثلاً 343 پنهان شده است... اینجا هیچ ماشین حسابی به شما کمک نمی کند.

شما باید قدرت برخی از اعداد را با دید بدانید، درست است... بیایید تمرین کنیم؟

تعیین کنید که اعداد چه قدرت ها و چه اعدادی هستند:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

پاسخ ها (البته در آشفتگی!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

اگر دقت کنید می توانید ببینید واقعیت عجیب. پاسخ ها به طور قابل توجهی بیشتر از وظایف هستند! خوب، اتفاق می افتد... مثلاً 2 6، 4 3، 8 2 - این همه 64 است.

فرض کنید شما اطلاعات مربوط به آشنایی با اعداد را یادداشت کرده اید.) همچنین یادآور می شوم که برای حل معادلات نمایی از ما استفاده می کنیم. همهذخیره دانش ریاضی از جمله کسانی که از طبقات متوسطه و متوسطه هستند. شما مستقیماً به دبیرستان نرفتید، درست است؟)

به عنوان مثال، هنگام حل معادلات نمایی، قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز اغلب کمک می کند (سلام به کلاس هفتم!). بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

3 2x+4 -11 9 x = 210

و باز هم اولین نگاه به پایه هاست! پایه درجات متفاوت است... سه و نه. اما ما می خواهیم آنها یکسان باشند. خب، در این صورت خواسته کاملا برآورده می شود!) زیرا:

9 x = (3 2) x = 3 2x

استفاده از قوانین مشابه برای برخورد با مدرک:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

عالی است، می توانید آن را یادداشت کنید:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

به همین دلایل مثال زدیم. خب بعدش چیه!؟ شما نمی توانید سه نفر را بیرون بیندازید... بن بست؟

اصلا. جهانی ترین و قدرتمندترین قانون تصمیم گیری را به خاطر بسپارید هر کستکالیف ریاضی:

اگر نمی دانید به چه چیزی نیاز دارید، آنچه می توانید انجام دهید!

ببین، همه چیز درست میشه).

آنچه در این معادله نمایی وجود دارد می توانانجام دادن؟ بله، در سمت چپ فقط التماس می کند که از پرانتز خارج شود! ضریب کلی 3 2x به وضوح به این اشاره دارد. بیایید امتحان کنیم، سپس خواهیم دید:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

مثال همیشه بهتر و بهتر می شود!

ما به یاد داریم که برای حذف زمینه ها نیاز به مدرک تحصیلی خالص و بدون ضریب داریم. عدد 70 ما را اذیت می کند. بنابراین هر دو طرف معادله را بر 70 تقسیم می کنیم، به دست می آید:

اوه! همه چیز بهتر شد!

این پاسخ نهایی است.

با این حال اتفاق می افتد که تاکسی بر همین اساس محقق می شود، اما حذف آنها ممکن نیست. این در انواع دیگر معادلات نمایی اتفاق می افتد. بیایید به این نوع تسلط پیدا کنیم.

جایگزینی متغیر در حل معادلات نمایی. مثال ها.

بیایید معادله را حل کنیم:

4 x - 3 2 x +2 = 0

اول - طبق معمول. بیایید به یک پایه برویم. به یک دونه.

4 x = (2 2) x = 2 2x

معادله را بدست می آوریم:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

و اینجا جایی است که ما می گذریم. تکنیک های قبلی، مهم نیست که چگونه به آن نگاه کنید، کارساز نخواهد بود. ما باید روش قدرتمند و جهانی دیگری را از زرادخانه خود بیرون بکشیم. نامیده می شود جایگزینی متغیر

ماهیت روش به طرز شگفت آوری ساده است. به جای یک نماد پیچیده (در مورد ما - 2 x) یک نماد دیگر ساده تر (مثلا - t) می نویسیم. چنین جایگزینی به ظاهر بی معنی منجر به نتایج شگفت انگیزی می شود!) همه چیز واضح و قابل درک می شود!

بنابراین اجازه دهید

سپس 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

در معادله ما تمام توان ها را با x با t جایگزین می کنیم:

خوب، آیا به شما طلوع می کند؟) آیا هنوز معادلات درجه دوم را فراموش کرده اید؟ با حل از طریق تفکیک، دریافت می کنیم:

نکته اصلی اینجا این است که متوقف نشویم، همانطور که اتفاق می افتد... این هنوز پاسخی نیست، ما به x نیاز داریم، نه t. بیایید به X ها برگردیم، یعنی. ما یک جایگزین معکوس می کنیم. ابتدا برای t 1:

به این معنا که،

یک ریشه پیدا شد. ما به دنبال مورد دوم از t 2 هستیم:

هوم... 2 x سمت چپ، 1 در سمت راست... مشکل؟ اصلا! کافی است به یاد داشته باشید (از عملیات با قدرت ها، بله...) که یک واحد است هرعدد به توان صفر هر هر چه نیاز باشد ما آن را نصب می کنیم. ما به دوتا نیاز داریم به معنای:

الان همین است. ما 2 ریشه گرفتیم:

این پاسخ است.

در حل معادلات نماییدر پایان گاهی اوقات شما با نوعی بیان ناخوشایند مواجه می شوید. نوع:

هفت را نمی توان با یک توان ساده به دو تبدیل کرد. اقوام نیستن... چطوری باشیم؟ ممکن است کسی گیج شود ... اما شخصی که در این سایت موضوع "لگاریتم چیست؟" را خوانده است. ، فقط با احتیاط لبخند می زند و با دستی محکم پاسخ کاملا صحیح را می نویسد:

چنین پاسخی در وظایف "B" در آزمون یکپارچه دولتی وجود ندارد. در آنجا یک شماره خاص مورد نیاز است. اما در وظایف "C" آسان است.

در این درس مثال هایی از حل رایج ترین معادلات نمایی ارائه می شود. بیایید نکات اصلی را برجسته کنیم.

توصیه عملی:

1. اول از همه، نگاه می کنیم زمینهدرجه. ما در تعجب هستیم که آیا امکان ساخت آنها وجود دارد یا خیر همسان.بیایید سعی کنیم این کار را با استفاده فعال انجام دهیم اقدامات با درجهفراموش نکنید که اعداد بدون x را نیز می توان به توان تبدیل کرد!

2. ما سعی می کنیم معادله نمایی را زمانی که در سمت چپ و راست وجود دارد به شکلی در بیاوریم هماناعداد در هر قدرتی ما استفاده می کنیم اقدامات با درجهو فاکتورسازیآنچه را می توان با اعداد شمارش کرد، ما می شماریم.

3. اگر نکته دوم کار نکرد، از جایگزینی متغیر استفاده کنید. نتیجه ممکن است معادله ای باشد که به راحتی قابل حل باشد. اغلب - مربع. یا کسری که به مربع نیز تقلیل می یابد.

4. برای حل موفقیت آمیز معادلات نمایی، باید قدرت برخی از اعداد را از روی دید بدانید.

طبق معمول، در پایان درس از شما دعوت می شود تا کمی تصمیم بگیرید.) خودتان. از ساده به پیچیده.

حل معادلات نمایی:

سخت تر:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

محصول ریشه ها را پیدا کنید:

2 3 + 2 x = 9

اتفاق افتاد؟

خب پس پیچیده ترین مثال(اما در ذهن تصمیم گرفت...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

چه جالب تر؟ سپس در اینجا به شما مثال شیطانی. برای افزایش سختی بسیار وسوسه انگیز است. اجازه دهید اشاره کنم که در این مثال، چیزی که شما را نجات می دهد، نبوغ و جهانی ترین قانون برای حل تمام مسائل ریاضی است.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

یک مثال ساده تر، برای آرامش):

9 2 x - 4 3 x = 0

و برای دسر. مجموع ریشه های معادله را پیدا کنید:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

بله بله! این یک معادله از نوع مختلط است! که در این درس به آن توجه نکردیم. چرا آنها را در نظر بگیرید، آنها باید حل شوند!) این درس برای حل معادله کاملاً کافی است. خوب، شما نیاز به نبوغ دارید... و ممکن است کلاس هفتم به شما کمک کند (این یک اشاره است!).

پاسخ ها (به هم ریخته، با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند):

1 2 3; 4; هیچ راه حلی وجود ندارد؛ 2 -2 -5; 4; 0.

آیا همه چیز موفق است؟ عالی.

مشکلی وجود دارد؟ مشکلی نیست! در بخش ویژه 555، تمام این معادلات نمایی با حل می شوند توضیحات مفصل. چی، چرا و چرا. و البته، اطلاعات ارزشمند بیشتری در مورد کار با انواع معادلات نمایی وجود دارد. نه فقط اینها.)

آخرین سوال جالبی که باید در نظر گرفت. در این درس با معادلات نمایی کار کردیم. چرا من اینجا یک کلمه در مورد ODZ نگفتم؟در معادلات، اتفاقاً این یک چیز بسیار مهم است ...

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

1º. معادلات نماییمعادلات حاوی یک متغیر در یک توان نامیده می شوند.

حل معادلات نمایی بر اساس خاصیت توان ها است: دو توان با پایه یکسان اگر و تنها در صورتی که توان آنها برابر باشد برابر هستند.

2 درجه روش های اساسی برای حل معادلات نمایی:

1) ساده ترین معادله راه حل دارد.

2) معادله ای از شکل لگاریتمی به پایه آ کاهش به شکل;

3) معادله ای از فرم معادل معادله است.

4) معادله فرم معادل معادله است.

5) یک معادله از فرم با جایگزینی به یک معادله کاهش می یابد و سپس مجموعه ای از معادلات نمایی ساده حل می شود.

6) معادله با متقابل با جایگزینی آنها را به یک معادله کاهش می دهند و سپس مجموعه ای از معادلات را حل می کنند.

7) معادلات همگن با توجه به a g(x)و b g(x)با توجه به اینکه نوع از طریق جایگزینی آنها به یک معادله کاهش می یابد و سپس مجموعه ای از معادلات حل می شود.

طبقه بندی معادلات نمایی.

1. معادلات با رفتن به یک پایه حل می شوند.

مثال 18. معادله را حل کنید .

راه حل: بیایید از این که همه پایه های قدرت ها قدرت های عدد 5 هستند استفاده کنیم: .

2. معادلات حل شده با عبور به یک توان.

این معادلات با تبدیل معادله اصلی به فرم حل می شوند ، که با استفاده از ویژگی تناسب به ساده ترین آن کاهش می یابد.

مثال 19. معادله را حل کنید:

3. معادلات با خارج کردن عامل مشترک از پرانتز حل می شوند.

اگر هر یک از نماهای یک معادله با عدد معینی با دیگری تفاوت داشته باشد، معادلات با قرار دادن توانی با کوچکترین توان در خارج از پرانتز حل می شوند.

مثال 20. معادله را حل کنید.

راه حل: بیایید درجه ای را با کوچکترین توان از داخل پرانتز در سمت چپ معادله برداریم:

مثال 21. معادله را حل کنید

راه حل: بیایید به طور جداگانه در سمت چپ معادله عبارات حاوی توان ها را با پایه 4، در سمت راست - با پایه 3 گروه بندی کنیم، سپس توان های دارای کوچکترین توان را خارج از پرانتز قرار دهیم:

4. معادلاتی که به معادلات درجه دوم (یا مکعبی) تقلیل می یابند.

معادلات زیر برای متغیر جدید y به یک معادله درجه دوم کاهش می یابد:

الف) نوع جایگزینی در این مورد؛

ب) نوع جایگزینی و .

مثال 22. معادله را حل کنید .

راه حل: بیایید تغییری در متغیر ایجاد کنیم و حل کنیم معادله درجه دوم:

.

پاسخ: 0; 1.

5. معادلاتی که از نظر توابع نمایی همگن هستند.

معادله شکل یک معادله همگن درجه دوم نسبت به مجهولات است تبرو b x. این گونه معادلات با تقسیم ابتدا دو طرف و سپس جایگزینی آنها به معادلات درجه دوم کاهش می یابد.

مثال 23. معادله را حل کنید.

راه حل: دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنید:

با قرار دادن یک معادله درجه دوم با ریشه بدست می آوریم.

اکنون مسئله به حل مجموعه ای از معادلات می رسد . از معادله اول در می یابیم که . معادله دوم ریشه ندارد، زیرا برای هر مقداری ایکس.

پاسخ: -1/2.

6. معادلات گویا با توجه به توابع نمایی.

مثال 24. معادله را حل کنید.

راه حل: صورت و مخرج کسر را بر تقسیم کنید 3 xو به جای دو، یک تابع نمایی دریافت می کنیم:

7. معادلات فرم .

چنین معادلاتی با یک مجموعه ارزش های قابل قبول(ODZ)، تعیین شده توسط شرط، با گرفتن لگاریتم از دو طرف معادله به یک معادله معادل کاهش می یابد، که به نوبه خود معادل مجموعه ای از دو معادله یا.

مثال 25. معادله را حل کنید.

.

مطالب آموزشی

حل معادلات:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. حاصل ضرب ریشه های معادله را بیابید .

27. مجموع ریشه های معادله را بیابید .

معنی عبارت را پیدا کنید:

28. کجا x 0- ریشه معادله

29. کجا x 0- ریشه کامل معادله .

معادله را حل کنید:

31. ; 32. .

پاسخ ها: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0، 0.5; 50; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1، 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2، -1; 16. -2، 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1، 0; 21. -2، 2; 22. -2، 2; 23.4; 24. -1، 2; 25. -2، -1، 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1، 0، 2، 3; 31. 32. .

مبحث شماره 8.

نابرابری های نمایی

1º. نابرابری حاوی یک متغیر در توان نامیده می شود نابرابری نمایی

2 درجه راه حل نابرابری های نمایینوع بر اساس عبارات زیر است:

اگر , آنگاه نابرابری معادل ;

اگر، آنگاه نابرابری معادل است.

هنگام حل نابرابری های نمایی، از همان تکنیک هایی استفاده می شود که در حل معادلات نمایی استفاده می شود.

مثال 26. حل نابرابری (روش انتقال به یک پایه).

راه حل: چون ، سپس نابرابری داده شده را می توان به صورت زیر نوشت: . از آنجا که، پس این نابرابری معادل نابرابری است .

با حل آخرین نابرابری، به دست می آوریم.

مثال 27. حل نابرابری: ( با خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز).

راه حل: بیایید از داخل پرانتز سمت چپ نابرابری، در سمت راست نابرابری را بیرون بیاوریم و دو طرف نامساوی را بر (2-) تقسیم کنیم و علامت نابرابری را به عکس تغییر دهیم:

از آنجایی که پس از حرکت به سمت نابرابری شاخص ها، علامت نابرابری دوباره به عکس تغییر می کند. ما گرفتیم. بنابراین، مجموعه تمام راه حل های این نابرابری بازه است.

مثال 28. حل نابرابری ( با معرفی یک متغیر جدید).

راه حل: اجازه دهید. سپس این نابرابری به شکل زیر در می آید: یا ، که راه حل آن فاصله است.

از اینجا. از آنجایی که تابع افزایش می یابد، پس .

مطالب آموزشی

مجموعه راه حل های نابرابری را مشخص کنید:

1. ; 2. ; 3. ;

6. در چه مقادیری ایکسآیا نقاط روی نمودار تابع زیر خط مستقیم قرار دارند؟

7. در چه مقادیری ایکسآیا نقاط روی نمودار تابع حداقل به اندازه خط مستقیم قرار دارند؟

حل نابرابری:

8. ; 9. ; 10. ;

13. بزرگترین راه حل عدد صحیح برای نابرابری را مشخص کنید .

14. حاصل ضرب بزرگترین عدد صحیح و کوچکترین راه حل نابرابری را بیابید. .

حل نابرابری:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

دامنه تابع را پیدا کنید:

27. ; 28. .

29. مجموعه ای از مقادیر آرگومان را که مقادیر هر یک از توابع بزرگتر از 3 است پیدا کنید:

و .

پاسخ ها: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]؛ 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0؛ 2]؛ 26. (3؛ 3.5) U (4؛ +∞)؛ 27. (-∞؛ 3) U(5؛ 28. )