روش شناسی حل مسائل سازه ها در استریومتری. چکیده در مورد تصویر ریاضی از شکل های فضایی در یک هواپیما

ویژگی های ساخت تصاویر فیگورها، در درجه اول مسطح، و وظیفه ساخت فیگور بر روی تصاویر در نظر گرفته شده است.

هنگام بررسی موضوع ترسیم فیگورها در استریومتری، به تصویر کشیدن فیگورهای مسطح می پردازیم. و این قابل درک است، زیرا با نگاه کردن به یک شی فیزیکی واقعی (یک خانه، یک تاس، یک کتاب، و غیره)، سطحی را می بینیم که در بسیاری از موارد از قطعات صاف تشکیل شده است (شکل 201 - 203). نقشه ها و نقشه های فنی در درجه اول تلاش می کنند تا سطح یک شی و ما را به تصویر بکشند تجربه زندگیدیدن جسم به عنوان یک کل در پشت جزئیات سطح امکان پذیر است.

از آنجایی که شکل هندسی اصلی یک مثلث است، بیایید دریابیم که کدام شکل می تواند تصویر یک مثلث باشد. و سپس می توانیم در مورد به تصویر کشیدن دیگر چند ضلعی های شناخته شده از پلان سنجی بحث کنیم. چهره های فضایی.

بیایید طراحی موازی را به عنوان مبنای هندسی تصویر در نظر بگیریم. اول از همه، لازم است محتوای مفهوم "تصویر" روشن شود، زیرا با درک مستقیم تصویر یک شکل، طرح موازی آن کافی است.

ناراحت. شکل اندازه های بزرگنمایش بر روی یک ورق کاغذ به سادگی غیرممکن است - برای اینکه تصویر مناسب باشد، طرح موازی شکل باید به طور متناسب کاهش یابد (یا در موقعیت های دیگر بزرگ شود).

تصویر یک شکل فضایی شکلی است شبیه به طرح موازی یک شکل معین بر روی یک صفحه مشخص.

این تعریف نیاز به افزودن دارد. واضح است که تصویر باید تا حد امکان حاوی اطلاعات بیشتری در مورد شکل باشد. بعید است که برآمدگی موازی مکعب در شکل. 204، الف) کاملاً ویژگی های این شکل را منعکس می کند. از همین رو

تصویر چند وجهی رئوس و لبه‌های آن‌ها را به‌صورت مرئی و نامرئی نشان می‌دهد.همانطور که اشاره شد، خطوط نامرئی با خطوط چین نشان داده می‌شوند. بنابراین، تصویر مکعب در شکل. 204، ب)

بیشتر می دهد اطلاعات کاملدر مورد مکعب در تصویر فضایی فی-

گورس همچنین تصاویر او را برجسته می کند عناصر مهم(مثلاً مورب ها، مقاطع و غیره).

توجه داشته باشید که تعریف، صفحه طرح ریزی یا جهت طراحی را ثابت نمی کند. این قابل درک است، زیرا موقعیت مناسب برای بررسی را می توان خودسرانه انتخاب کرد.

حال بیایید به این سوال پاسخ دهیم: چه شکلی می تواند تصویر یک مثلث باشد؟ حالتی که مثلث در صفحه بیرون زده قرار دارد

ty، ما آن را در نظر نخواهیم گرفت. در این مورد، بر روی یک قطعه پیش بینی می شود (شکل 205).

از آنجایی که برآمدگی موازی یک مثلث یک مثلث است (به استثنای موردی که در بالا ذکر شد)، پس تصویر مثلث نیز باید یک مثلث باشد.

مربع در همان زمان، این سؤال مطرح می شود: "کدام مثلث را می توان تصویری از این مثلث دانست؟" همانطور که مشخص است، با طراحی موازی

هنگام تغییر، طول پاره ها و اندازه گیری زاویه ها تغییر می کند. واضح است که برآمدگی موازی یک مثلث متساوی الساقین، به طور کلی، یک مثلث مقیاسی است، برآمدگی یک مثلث منفرد می تواند یک مثلث حاد باشد و غیره.

انجام آزمایش های ساده با مدل های مقوایی مثلث ها هنگام دریافت سایه آنها از خورشید یا از یک لامپ دور نشان می دهد که شکل برآمدگی های موازی یک مثلث می تواند متفاوت باشد. علاوه بر این، می توان متقاعد شد که با قرار دادن مناسب مدل، یک مثلث از یک شکل معین را می توان به عنوان یک طرح به دست آورد. بنابراین با توجه به سایه های مختلف یک مثلث می توان به نتیجه زیر رسید.

تصویر این مثلث می تواند یک مثلث دلخواه باشد.

اثبات ریاضی این واقعیت بعداً ارائه خواهد شد. با استفاده از آن، می توان نتایج خاصی در مورد تصویر چهار

زوایای مجدد از خواص طراحی موازی

نتیجه این است که تصویر متوازی الاضلاع دلخواه است

متوازی الاضلاع. در واقع متوازی الاضلاع به صورت مورب به دو مثلث مساوی تقسیم می شود (شکل 206، a). تصویر

بیان مثلث ABD می تواند هر مثلث A 1 B 1 D 1 باشد. تکمیل شد

و مثلث A 1 B 1 D 1 به متوازی الاضلاع

ma (شکل 206، b)، که به طور منحصر به فرد توسط این مثلث تعیین می شود، نتیجه زیر را به دست می آوریم.

تصاویر این متوازی الاضلاع می تواند هر متوازی الاضلاع باشد.

در مورد ذوزنقه ها، در هر دو تصویر نمی توان نتیجه گیری مشابهی داشت، زیرا در طراحی موازی باید نسبت طول پایه های موازی حفظ شود. اگر مثلاً یکی از پایه ها نصف پایه دوم باشد، این نسبت باید در تصویر حفظ شود. اگرچه، البته، تصویر یک ذوزنقه باید یک ذوزنقه باشد (اما نه دلخواه!).

در مورد تصویر چند ضلعی های دیگر، می توانید سه نقطه از آنها را انتخاب کنید که روی یک خط قرار ندارند (مثلاً سه رأس). این نقاط یک مثلث را تعریف می کنند که می توان آن را به صورت یک مثلث دلخواه ترسیم کرد. علاوه بر این، با استفاده از ویژگی های طرح ریزی موازی (آنها همچنین ویژگی های تصاویر هستند)، در برخی موارد می توان تصویری از کل چند ضلعی ساخت.

با آموختن به تصویر کشیدن برخی از چهره های مسطح در فضا، می توانیم ساده ترین شکل های فضایی را به تصویر بکشیم.

تصاویر یک متوازی الاضلاع مستطیلی یا مکعب هیچ تفاوتی با تصاویر متوازی الاضلاع دلخواه ندارند، زیرا تصاویر مربع ها و مستطیل ها می توانند متوازی الاضلاع دلخواه باشند. بیشتر اوقات، مکعب همانطور که در شکل نشان داده شده است نشان داده شده است. 207، الف). در شکل 207، b)–d) تصاویر یک مکعب نیز داده شده است. با این حال، بر خلاف شکل. 207، a)، از این تصاویر به سختی می توان تصوری از خواص مکعب داشت. در شکل 207، ب)، ج) تصاویر ساده و صحیح هستند، یعنی طبق قوانین طراحی موازی ساخته شده اند. با این حال، آنها بصری نیستند. این بدان معنا نیست که در برخی موارد به هر یک از تصاویر داده شده نیازی نخواهیم داشت.

اجازه دهید با جزئیات بیشتری ساختار تصویر یک موازی را در نظر بگیریم. در بند 7، متوازی الاضلاع به عنوان چندوجهی در نظر گرفته شد که وجه آن شش متوازی الاضلاع است. در §8 ما رویکردی برای ساختن شکل ها از بخش ها در نظر گرفتیم. بهره ببریم

آنها در این صفحه α یک متوازی الاضلاع ABCD می سازیم و در تمام رئوس آن خطوط موازی را که صفحه α را قطع می کنند رسم می کنیم (شکل 208). روی این خطوط مستقیم، در یک طرف صفحه α، قطعات AA 1، BB 1، СС 1، DD 1 را به همان طول رسم می کنیم. اثبات اینکه نقاط A 1 , B 1 , C 1 , D 1 در یک صفحه قرار دارند و رئوس متوازی الاضلاع A 1 B 1 C 1 D 1 هستند دشوار نیست. عمل

بنابراین از آنجایی که AA 1 D 1 D , ABCD و BB 1 C 1 C متوازی الاضلاع هستند پس A 1 D 1 ||AD ,AD ||BC, BC ||B 1 C 1 و با توجه به معیار خطوط موازی ( قضیه 2 §8) ,A 1 D 1 ||B 1 C 1 . این به ویژه این فرصت را به ما می دهد تا ادعا کنیم که نقاط A 1، B 1، C 1، D 1 در یک صفحه قرار دارند.

به همین ترتیب، داریم که A 1 B 1 ||D 1 C 1 , یعنی چهار ضلعی A 1 B 1 C 1 D 1 متوازی الاضلاع است.

مجموعه تمام نقاط پاره های متصل کننده نقاط متوازی الاضلاع ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 شکلی را تشکیل می دهند که متوازیالسطوح(شکل 209). واضح است که هنگام ساخت متوازی الاضلاع، می توانید با قطعات موازی که نقاط مربوطه متوازی الاضلاع را به هم وصل می کنند، کنار بیایید. تصویر مطابق شکل ساخته شده است. 208، تنها با در نظر گرفتن اینکه موازی با نقطه "پر" شده است و برخی از خطوط برای ناظر نامرئی هستند. همانطور که در نقاشی، آنها با یک خط چین نشان داده شده اند. متوازی الاضلاع با رئوس آن مشخص می شود:

ABCDA1 B 1 C 1 D 1 .

دو وجهی از متوازی الاضلاع که دارای یک یال مشترک هستند مجاور و آنهایی که لبه مشترک ندارند مجاور نامیده می شوند. مقابلدو رأس که به یک صورت تعلق ندارند نامیده می شوند مقابلپاره خطی که رئوس مخالف را به هم متصل می کند نامیده می شود مورب موازی با

تصویر اهرام، به ویژه چهار وجهی، در §8 در ارتباط با ساخت آنها از بخش ها در نظر گرفته شد.

! در نظر گرفتن تصاویر مسطح و فضایی

ارقام جدید اجازه می دهدفرمول بندی الزامات برای تصاویر:

1) تصویر باید صحیح باشد، یعنی قوانین خاصی را رعایت کند.

2) تصویر باید واضح باشد؛

3) دنبال کردن تصویر باید آسان باشد.

صحت تصویر با رعایت قوانین ساخت پیش بینی های موازی تضمین می شود. وضوح و سادگی با انتخاب جهت طراحی، یعنی "زاویه دید" شکل و محل صفحه نمایش تضمین می شود. بنابراین، تصاویر چهار وجهی SABC در شکل. 210، الف)، ب) را نمی توان موفق در نظر گرفت. در حالت اول، از طرح ریزی موازی بر روی صفحه ABC استفاده می شود و در حالت دوم، جهت طراحی توسط خط مستقیم AB تعیین می شود. در هر دو مورد، حجم شکل از بین می رود. به عنوان یک قاعده، تصویر سوم استفاده می شود (شکل 210، ج). این یک ABCS چهار ضلعی تخت است که در آن قطرهای AC و SB رسم می شوند. لبه نامرئی AS با یک خط چین نشان داده شده است.

یک وسیله مهم برای اطمینان از وضوح تصویر، تصویر عناصر شکل (وسط ها، نیمسازها، خطوط وسط، مورب ها و غیره) و همچنین برش های ساده است.

ساختن تصاویر فیگورهای مختلف بخشی جدایی ناپذیر از حل مسائل استریومتری است.

اغلب، هنگام حل مسائل، لازم است ساختارهای خاصی روی تصویر انجام شود (یک میانه بکشید، مرکز یک دایره محاط شده را نشان دهید، یک بخش بسازید و غیره). این ساخت و سازها معمولا با استفاده از ویژگی های طراحی موازی انجام می شود.

مثال 1. روی یک تصویر دلخواه از مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه ABC (C = 90 درجه)، تصویری از: 1) مرکز O دایره محدود شده بسازید. 2) مربع کتیبه ای که دو طرف آن روی پاها قرار دارد

مثلث، و یکی از رئوس بر روی هیپوتانوز BA است.

 بگذارید تصویر یک مثلث متساوی الساقین راست ABC (شکل 211، a) مثلث A 1 B 1 C 1 باشد (شکل 211، b).

1) مرکز در مورد راست گوشهدایره نقطه وسط هیپوتانوس است. بنابراین تصویر آن وسط تصویر هیپوتونوس است.

ساخت و ساز. اجازه دهید بخش A 1 B 1 را به نصف تقسیم کنیم، نقطه تقسیم O 1 مورد نظر است (شکل 211، ج).

2) اگر از O وسط هیپوتانوس AB عمود بر پاها رسم کنیم (شکل 211، a را ببینید)، مربعی به دست می آوریم که شرایط کار را برآورده می کند. عمودهای ترسیم شده موازی پاها هستند. این همان چیزی است که برای ساختن تصویر مورد نظر استفاده خواهیم کرد.

ساخت و ساز. از نقطه O 1 قطعات O 1 E 1 و O 1 F 1 را به ترتیب موازی با C 1 B 1 و C 1 A 1 ترسیم می کنیم (شکل 211، d). چهار ضلعی C 1 E 1 O 1 F 1 چیزی است که ما به دنبال آن هستیم

مثال 2. بر روی تصویر یک مکعب، بخش آن را با صفحه ای بسازید که از وسط سه لبه موازی می گذرد.

 در شکل. 212 نقطه میانی لبه های AA 1، BB 1، СС 1، DD 1 مکعب ABCDA 1 B 1 С 1 D 1 به ترتیب توسط А 2، В 2، С 2، D 2 مشخص شده اند. تصاویر این نقاط در وسط تصاویر بخش های مربوطه قرار دارند (چرا؟). اجازه دهید صفحه برش از نقاط A 2 , B 2 , D 2 عبور کند. از آنجایی که تمام وجوه مکعب مربع هستند، بخش A 2 B 2 که از وسط نقطه مقابل می گذرد

سپس خط مستقیم BE جهت مورد نظر را برای طرح تعیین می کند

اضلاع مربع AA 1 B 1 B، برابر با ضلع مربع AB (یا لبه مکعب) و موازی با این ضلع است.

به طور مشابه D 2 C 2 ||DC و D 2 C 2 =DC. از آنجایی که uAB ||DC، پس مطابق با گذرا بودن رابطه موازی، A 2 B 2 || D 2 C 2. تنها یک صفحه وجود دارد که از خطوط موازی A 2 B 2، D 2 C 2 عبور می کند. نقاط A 2 , B 2 , D 2 در این صفحه قرار دارند، بنابراین این صفحه سکونت مورد نیاز است. صفحه برش وجه های مکعب را در امتداد بخش های مساوی A 2 B 2 ، B 2 C 2 ، C 2 D 2 و D 2 A 2 قطع می کند. در نتیجه، چهار ضلعی A 2 B 2 C 2 D 2 که مقطع مورد نظر است، شکل لوزی دارد. به راحتی می توان دریافت که قطرهای B 2 D 2 و A 2 C 2 این لوزی با یکدیگر برابر هستند. یعنی چهار ضلعی A 2 B 2 C 2 D 2 - مربع. ما نه تنها بخش را ساختیم، بلکه شکل آن را نیز ایجاد کردیم.

اجازه دهید منطق نتیجه گیری های فوق را در مورد تصویر شکل های صفحه اصلی در نظر بگیریم.

قضیه 1 (در مورد تصویر یک مثلث).

هر مثلثی می تواند تصویر یک مثلث معین باشد.

 بگذارید مثلث ABC داده شود. بیایید یک مثلث دلخواه KMN را در نظر بگیریم. این می تواند تصویری از مثلث ABC باشد اگر یک صفحه برآمدگی و جهت برآمدگی وجود داشته باشد به طوری که برآمدگی موازی مثلث ABC شبیه مثلث KMN باشد.

اجازه دهید صفحه طرح α را طوری انتخاب کنیم که صفحه مثلث ABC را در امتداد خط مستقیم AC قطع کند (شکل 213). ما باید جهت طراحی را طوری انتخاب کنیم که طرح مثلث ABC بر روی صفحه α مثلثی شبیه مثلث KMN باشد. برای انجام این کار، در صفحه α یک مثلث CAE شبیه مثلث KMN با ضریب شباهت می سازیم.

بیا ام کی AC

سرگردان از آنجایی که مثلث CAE یک طرح موازی از مثلث ABC است و مثلث های CAE و KMN مشابه هستند، پس مثلث KMN تصویر یک مثلث است.

کا ABC.

! این قضیه آشکار می کند فرصت های فراوانبرای انتخاب تصاویر یک مثلث معین، البته، نباید از تصاویری با ویژگی هایی استفاده کنید که نسخه اصلی آن را ندارد. به عنوان مثال، به تصویر کشیدن یک مثلث دلخواه به عنوان مثلث قائم الزاویه نامناسب است.

با حرکت به تصاویر چند ضلعی های دیگر، توجه می کنیم که برای آنها، به عنوان یک قاعده، قضایای مشابه قضیه 1 وجود ندارد، اگرچه برخی از ویژگی های آنها هنگام به تصویر کشیدن حفظ می شود. اول از همه در مورد موازی بودن اضلاع صحبت خواهیم کرد (چرا؟). در این رابطه یک قضیه مهم دیگر را ارائه می کنیم.

قضیه 2 (در مورد تصویر متوازی الاضلاع).

هر متوازی الاضلاع می تواند تصویری از متوازی الاضلاع معین باشد.

این قضیه را می توان با تقسیم متوازی الاضلاع به مثلث های مورب و استفاده از قضیه 1 اثبات کرد.

برنج. 206، الف، ب)

ما قبلاً با موقعیت‌هایی مواجه شده‌ایم که در آن حقایق پلان‌سنجی مشابه‌هایی در فضا دارند. و چنین مواردی همچنان ادامه خواهد داشت. ساده ترین شکل فضایی - چهار وجهی - مربوط به یک مثلث در صفحه است. طبق قضیه 1، هر مثلثی می تواند تصویر یک مثلث معین باشد. از طرفی یک چهار ضلعی به صورت چهار ضلعی برآمده می شود که پس از کشیدن مورب در آن، به صورت تصویری از چهار وجهی در می آید. این سوال مطرح می شود: آیا یک چهارضلعی دلخواه می تواند تصویری از یک چهار وجهی معین باشد؟ یک پاسخ مثبت به این قضیه توسط قضیه ریاضیدانان آلمانی K. Polke (1810-1877) و G. Schwartz (1843-1921) داده شده است. بر اساس آن، می توانید تصویری از چند وجهی بسازید. برای انجام این کار، باید چهار راس را انتخاب کنید که در یک صفحه قرار ندارند. آنها راس برخی از چهار وجهی هستند. سپس تصویر این نقاط را به صورت دلخواه تنظیم کنید. و تنها پس از آن تصویر کل شکل را با استفاده از ویژگی های طراحی تکمیل کنید.

مثال 3. تصویری از یک شش ضلعی منظم بسازید.

 شش ضلعی منظم ABCDEF را در نظر بگیرید (شکل 214، a). دارای خواصی است که باید در تصاویر آن حفظ شود. اضلاع شش ضلعی به صورت جفت موازی هستند (AB ||ED، BC ||EF، CD ||AF). دارای مرکز تقارن O است و قطعاتی که نقطه O را به رئوس شش ضلعی متصل می کنند با یکدیگر و برابر با ضلع آن هستند. اکنون به راحتی می توان فهمید که کافی است تصویری از متوازی الاضلاع (حتی یک لوزی) ABCO بسازیم تا پس از آن تصویر کل شش ضلعی به آن کامل شود.

بگذارید متوازی الاضلاع A 1 B 1 C 1 O 1 تصویر متوازی الاضلاع ABCO باشد (این می تواند متوازی الاضلاع دلخواه باشد!). A 1 O 1 و C 1 O 1 را فراتر از نقطه O 1 گسترش می دهیم به طوری که O 1 D 1 = A 1 O 1 ، O 1 F 1 = C 1 O 1 ، متوازی الاضلاع F 1 O 1 D 1 E 1 می سازیم ( شکل 214، ب). اساساً متوازی الاضلاع ساخته شده است که به طور مرکزی متقارن با متوازی الاضلاع A 1 B 1 C 1 O 1 نسبت به راس O 1 آن است. با اتصال نقاط A 1 و F 1، C 1 و D 1، تصویری از یک شش ضلعی منظم دریافت می کنیم (شکل 214، ج).

 سوالات تستی

1. کدام یک از شکل های شکل 215،الف)–د) تصویر مربع نیست؟

2. کدام یک از شکل های شکل 216،الف)–د) آیا تصویر یک مکعب نیست؟

3. کدام یک از انجیر. 217،الف)–د) آیا تصویر مکعب صحیح نیست؟

4. کدام یک از انجیر. 218،الف)–د) آیا تصویر چهار وجهی نادرست است؟

5. آیا طرح موازی یک شکل تصویری از آن است؟

6. آیا می توان مثلث قائم الزاویه را تصویری از مثلث متساوی الساقین در نظر گرفت؟

7. آیا درست است که تصویر خط وسط یک مثلث خط وسط تصویر آن است؟

8. آیا متوازی الاضلاع می تواند تصویر ذوزنقه باشد؟

9. آیا مثلث می تواند تصویری از چهار وجهی باشد؟

10. آیا می توان چهار وجهی را طوری ترسیم کرد که دقیقاً یکی از چهره های آن نامرئی باشد؟

11. کمترین تعداد لبه های مکعبی که در یک تصویر قابل مشاهده است چقدر است؟ و بزرگترین؟

12. تصویر کدام شکل است: الف) یک قطعه; ب) مثلث؛ ج) ذوزنقه؛ د) متوازی الاضلاع؛ د) n-gon؟

تمرین های گرافیکی

1. تعیین کنید کدام وجه از چهار وجهی ABCD نشان داده شده در شکل. 219، متعلق به نقاط P، K، M؟

2. چه جفت نقطه ای X، Y، Z، T، که در تصویر چهار وجهی در شکل نشان داده شده است. 220، روی یک صورت دراز نکشید؟

3. برش یک مکعب توسط صفحه ای که از نقاط می گذرد چه شکلی است M، N، P، نشان داده شده در شکل. 221، a)-d)؟

174 درجه. تصویری از مثلث متساوی الساقین به شکل داده شده است مثلث اسکالن. روی این تصویر یک تصویر بسازید:

1) نیمسازهای زاویه در راس.

2) عمود بر پایه، از وسط ضلع کشیده شده است. 3) لوزی که دو ضلع مجاور آن با ضلع منطبق است

اضلاع مخالف مثلث

175. با استفاده از تصویر مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین، تصویری از مربعی که در صفحه مثلث قرار دارد بسازید در صورتی که ضلع مربع برابر با:

1 درجه) ساق این مثلث؛ 2) هیپوتنوز این مثلث.

176. روی یک تصویر دلخواه مثلث متساوی الاضلاع ABC یک تصویر بسازید:

1 درجه) نقاط تقاطع ارتفاعات مثلث؛ 2 درجه) یک مستطیل "محور" که یکی از اضلاع آن

با برخی از ضلع مثلث منطبق است، و دیگری حاوی راس مخالف است. 3) نیمسازهای زاویه خارجی مثلث.

177. تصویری از مثلث و دو ارتفاع آن آورده شده است. تصویری از مرکز دایره ای که در اطراف این مثلث محصور شده است بسازید.

178. در تصویر مثلث قائم الزاویه یکی از گوشه های تیزکه 60 درجه است، یک تصویر بسازید: 1) نیمسازهای این زاویه. 2) ارتفاع به سمت هیپوتنوز کشیده شده است.

3) مرکز دایره محاطی.

179 درجه. تصویری از لوزی و ارتفاع آن از راس زاویه ای که مقدار آن 120 درجه است، بسازید.

180. تصویری از یک مربع بسازید که تصویری از نقطه تقاطع قطرهای آن و دو تصویر داشته باشید:

1 درجه) رئوس همسایه؛ 2*) رئوس مخالف. 181. روی یک تصویر دلخواه از ذوزنقه متساوی الساقین که ضلع آن برابر با قاعده کوچکتر است، ساختار

تصویر:

1 درجه) محور تقارن ذوزنقه. 2) مستطیل محاطی که دو رأس آن باقی مانده است

روی یک پایه بزرگتر درو شده و یکی از طرفین با پایه کوچکتر منطبق است. 3) مرکز دایره که دو طرف را لمس می کند و کوچکتر است

پایه ذوزنقه

182. تصویری از ذوزنقه متساوی الساقین داده شده است که زوایای قاعده آن برابر با 45 درجه است. طرح تصویر:

1) مرکز دایره ای که اطراف یک ذوزنقه است.

2*) مرکز دایره که پایه و کناره های کوچکتر را لمس می کند.

183- تصویر یک دایره و یکی از قطرهای آن آورده شده است. تصویری از شعاع دایره عمود بر این قطر بسازید.

184. تصویری از مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 داده شده است.

1 درجه) خط تقاطع صفحات DA 1 C 1 و B 1 D 1 D را بسازید.

3) قسمتی از مکعب را با صفحه ای بسازید که از مرکز سه وجه مجاور آن به صورت جفتی عبور می کند.

185. با توجه به تصویری از چهار وجهی ABCD، نقاط K، M و P به ترتیب وسط DC، AD و ВD هستند.

1°) خط تقاطع صفحات ACP و VMK را بسازید. 2) طول پاره ای از این خط را که در یک چهار وجهی قرار دارد بیابید اگر طول تمام یال های آن برابر باشد.

3) بخشی از چهار وجهی را با صفحه ای بسازید که از نقاط تلاقی وسط سه وجه آن می گذرد.

186. بخشی از چهار وجهی SABC را با صفحه ای بسازید که از آن می گذرد:

1 درجه) نقاط میانی دنده SA، SC و BC.

2) نقطه M در AS (AM :AS = 1:2)، نقطه N در SC (CN:NS = 1:2)

و نقطه P در BC (CP:PB = 1:2)؛

3) نقاط میانی لبه های AS، AB و مرکز صورت SBC. 4*) مراکز چهره ASB، ABC و BSC.

187. بخشی از مکعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 را با صفحه ای بسازید که از آن می گذرد:

1) لبه CD و مرکز صورتAA 1 B 1 B.

2) مورب A 1 D و مرکز صورت ВСС 1 В 1؛

3*) نقاط میانی لبه های AD، CD و نقطه B.

4*) مراکز چهره CDD 1 C 1، SVV 1 C 1 و نقطه A.

تمرین هایی برای تکرار

188. دو خط موازی با خط سوم قطع می شوند. یکی از هشت زاویه تشکیل شده 50 درجه است. ارزش هر یک از زوایای دیگر چقدر است؟

189. مکعب داده شده ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

1) تمام لبه های موازی با لبه AA 1 را نشان دهید.

2) ثابت کنید که لبه DC موازی با تقاطع صفحات ABC 1 و A 1 B 1 D است.

4) بگذارید a یک قطعه دلخواه در مقابل یک مکعب باشد. یک پاره خط موازی با پاره خط در یک وجه غیر مجاور مکعب بسازید.

هر متوازی الاضلاع می تواند تصویری از متوازی الاضلاع معین باشد.

هنگام ساختن پیش بینی های آکسونومتری، استفاده از ضرایب اعوجاج ناخوشایند است. بنابراین، آنها معمولاً ایزومتری مستطیل شکل استاندارد و دیمتری توصیه شده توسط GOST 2.317-69 (ST SEV 1979-79) را می سازند، و مقیاس بزرگنمایی مربوطه را 1.22 برابر برای ایزومتری و 1.06 برابر برای دیمتری می گیرند. معرفی این مقیاس ها امکان ساخت برجستگی های آکسونومتری را بدون کاهش ابعاد ترسیم شده در امتداد محورهای آکسونومتری فراهم می کند. برای یک طرح دیمتری، ابعاد در امتداد محور y 0 نصف می شود.

الف. ساخت برجستگی های آکسونومتری اشکال هندسی محدود به خطوط مستقیم و مقاطع صفحه.

با طرح ریزی موازی بر روی یک صفحه، خطوط مستقیم به خطوط مستقیم کشیده می شوند (نگاه کنید به § 6، 1a)، بنابراین، برای ساختن یک تصویر آکسونومتری از یک خط مستقیم a، کافی است برآمدگی های آکسونومتری دو نقطه متعلق به آن را تعیین کنید. که به طور منحصر به فرد خط مستقیم را تعیین می کند a 0 - برآمدگی آکسونومتری خط مستقیم a.

ساخت برجستگی های آکسونومتری چند وجهی، در مورد خاص چند ضلعی ها، به تعیین برجستگی های آکسونومتری رئوس آنها ختم می شود، که سپس توسط قطعات خط مستقیم به یکدیگر متصل می شوند.

در شکل شکل 311.6 ساخت یک برجستگی استاندارد ایزومتریک از یک هرم شش ضلعی را نشان می دهد که برآمدگی های متعامد آن در شکل 1 آورده شده است. 311، الف. ما ساخت را به ترتیب زیر انجام می دهیم: خطوط مستقیم x، y، z را که به عنوان محورهای سیستم مختصات طبیعی در نظر می گیریم، رسم می کنیم. نقطه O (O، O") را به عنوان مبدأ مختصات در نظر می گیریم. سپس محورهای آکسونومتری x 0, y 0, z 0 را رسم می کنیم. پس از اندازه گیری مختصات طبیعی رئوس قاعده هرم (نقاط 1، 2، 3، 4، 5، 6) و بالای آن (نقطه S) بر روی یک نقشه متعامد، برآمدگی های آکسونومتری آنها را می سازیم (نقاط 1 0 , 2 0، 3 0، 4 0، 5 0، 6 0، S 0). برای به دست آوردن یک برجستگی ایزومتریک از هرم، نقاط حاصل را با قطعات خط مستقیم به همان ترتیبی که در برجستگی های متعامد به هم متصل می شوند، متصل می کنیم.

ب. ساخت برجستگی های آکسونومتری اشکال هندسی محدود به خطوط و سطوح منحنی.

به طور کلی، برآمدگی آکسونومتری یک خط (یا سطح) منحنی نیز یک خط منحنی (سطح) خواهد بود.

نمونه ای از ساخت ایزومتریک استاندارد یک منحنی فضایی دلخواه l در شکل نشان داده شده است. 312. ساخت آکسونومتری

پیش بینی نقاط متعلق به منحنی l به ترتیب نشان داده شده در زیر انجام می شود.

1. ما این خط را به سیستم مختصات طبیعی Oxyz اختصاص می دهیم.

2. نقاط 1، 2، 3، ... را روی منحنی l مشخص می کنیم و مختصات متعامد آنها را مشخص می کنیم (شکل 312، a).

3. با استفاده از مختصات نقاط 1، 2، 3، ... پیش بینی های ثانویه 1 1 0، 2 1 0، 3 1 0، ... را می سازیم (شکل 312.6).

4. از طریق برجستگی های ثانویه نقاط، خطوط مستقیم موازی با محور آکسونومتری z 0 ترسیم می کنیم و قطعاتی را روی آنها رسم می کنیم. برابر با ارزشنکات کاربردی مربوطه (1، 2، 3، ...)؛ یافتن نقاط 1 0، 2 0، 3 0، ...

5. با اتصال برجستگی های آکسونومتری پیدا شده نقاط 1 0، 2 0، 3 0، ... با یک خط صاف، برآمدگی آکسونومتری منحنی l 0 را به دست می آوریم.

در عمل ساخت برجستگی های آکسونومتری قطعات مهندسی، اغلب لازم است که برجستگی های آکسونومتری دایره ها ساخته شوند. در بیشتر موارد، صفحات دایره ها با هر یک از صفحات مختصات موازی هستند. در نظر بگیریم گزینه های ممکنساختن دایره در برآمدگی های ایزومتریک و دایمتریک.

برای داشتن یک ایده بصری تر از مکان و اندازه محورهای بیضی هایی که دایره ها به داخل آنها کشیده می شوند، دومی در وجه های مکعب حک می شود. در شکل شکل 313a نمایان شدن مکعب را در ایزومتریک نشان می دهد و در شکل 1. 313.6 - در دیمتری. دایره ای که روی یک مکعب حک شده است، لبه های آن را در وسط آنها لمس می کند. از آنجایی که مماس تغییر ناپذیری از برآمدگی موازی است، در برجستگی های آکسونومتری نقاط مماس بیضی ها که دایره ها به آنها تبدیل می شوند نیز در نقاط میانی لبه های مکعب قرار می گیرند. علاوه بر این چهار نقطه، می توانید چهار نقطه دیگر متعلق به انتهای قطر بزرگ و کوچک بیضی را مشخص کنید. در برجستگی های ایزومتریک و دایمتریک مستطیلی، جهت محورهای اصلی بیضی ها بر محورهای آکسونومتری آزاد عمود هستند و محورهای فرعی بیضی ها در جهت با محورهای آکسونومتری آزاد منطبق هستند.

برای ایزومتریک مستطیلی (عملی)، قطر بزرگ بیضی برابر با l.22d دایره است و قطر کوچک آن 0.0.71d است (به شکل 313، a مراجعه کنید). در دیمتری مستطیلی، قطر اصلی بیضی برابر با l.06d است، قطر کوچک برای بیضی‌هایی که در وجه‌های مکعب موازی با صفحات مختصات Oxy و Oyz قرار دارند برابر با 0.35d است. برای یک بیضی متعلق به گناهان یک مکعب، موازی با هواپیما Oxz، قطر کوچک 0.95d تعیین شده است (شکل 313.6 را ببینید).

برای حذف محاسبات حسابی هنگام تعیین طول قطعات ضرب شده در مقدار مقیاس اعوجاج، باید از مقیاس متناسب استفاده کنید. برای ساختن آن کافی است دو خط مستقیم عمود بر یکدیگر a و b رسم کنید (شکل 314) و روی یکی از آنها از نقطه تقاطع K [KO] برابر 100 واحد و روی دیگری از نقطه تقاطع K خارج کنید. - قطعات [KII]، , , , [KVI ] به ترتیب برابر با 35، 50، 71، 95، 106، 122 واحد اندازه گیری است. نقاط I، II، ...VI به نقطه O متصل هستند. اگر اکنون [OB] به طول معین l را از نقطه O روی خط مستقیم OK کنار بگذاریم و از انتهای B قطعه [OB] عمود بر آن بسازیم. به [OK]، سپس خطوط (0I )، (OII)، (OIII)، (OIV)، (OV)، (OVI) را در نقاط 1، 2، 3، 4، 5، 6 قطع می کند. قطعات [B1]، [B2]، [VZ]، [B4]، [B5]، [B6] به ترتیب برابر با 0.35l، 0.5l، 0.71l، 0.95l، 1.06l، 1.22l خواهند بود.

اگر صفحه دایره یک موقعیت دلخواه را در رابطه با صفحات مختصات اشغال کند، ساختن یک برجستگی آکسونومتری دایره به همان روشی انجام می شود که هنگام ساختن یک برجستگی آکسونومتری یک منحنی انجام می شود (نگاه کنید به صفحه 215). ، پاراگراف B، شکل 312). ساخت برجستگی های آکسونومتری سطوح محدود کننده اشکال هندسی به دو صورت انجام می شود:

1. روش مقاطع.این روش به شرح زیر است:

1) سطح شکل هندسی، که نمای آکسونومتری آن باید ساخته شود، توسط صفحات γ1، γ2، γ3،...، γn تشریح می شود (شکل 315).

2) خطوط تقاطع یک شکل مشخص Ф را با صفحات γj تعیین می کنیم (l 1، l 2، l 3، ...، l n).

3) ساخت برجستگی های آکسونومتری خطوط l 1، l 2، l 3، ...، l n → l 0 1، l 0 2، l 0 3، ...، l 0 n; برای ساده کردن تعریف خطوط l j و ساخت برجستگی های آکسونومتری آنها، صفحات برش باید به موازات هر صفحه طرح ریزی گرفته شوند.

4) منحنی d 0 که خطوط l 0 1، l 0 2، l 0 3، ...، l 0 n را در بر می گیرد، یک خط طرح است - خط کانتور قابل مشاهده شکل Ф 0.

2. روش درج سطوح کروی. امکان سنجی استفاده از این روش بر این اساس است که به طور مستقیم

در آکسونومتری کربن، سطح کره به شکل دایره بر روی صفحه تصویر تابانیده می شود. این روش باید در مواردی استفاده شود که شکل با یک سطح چرخش محدود می شود. از آنجایی که سطوح کروی را می توان در هر سطح چرخشی حک کرد، برآمدگی آکسونومتری سطح چرخش را می توان به عنوان پوششی از این کره ها در نظر گرفت.

ماهیت روش در نشان داده خواهد شد مثال خاص. اجازه دهید لازم باشد یک برجستگی آکسونومتری (ایزومتریک مستطیل شکل) از یک حلقه ساخته شود (شکل 316، a). ما ساخت و سازها را به ترتیب زیر انجام می دهیم:

1) یک بیضی با 0 بسازید - پیش بینی آکسونومتری یک دایره با (ACBD)؛

2) از نقاط دلخواه بیضی با 0، O 0 1، O 0 2، O 0 3، ...، O 0 n، (∀ O 0 j؛ O 0 j ∈ c 0) دایره های b j را با شعاع رسم می کنیم. r - برآمدگی های آکسونومتری حکاکی شده سطوح کروی β.

3) پاکت های d 0 و d 0 2 دایره های b j یک طرح کلی قابل مشاهده از برآمدگی آکسونومتری حلقه هستند (شکل 316.6)

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

در درس استریومتری، دو نوع کار ساختمانی در نظر گرفته می شود: ساخت و سازهای خیالی (شرطی) و ساخت و سازهای روی نقشه برجستگی.

چهره های فضایی در یک الگوی مسطح به تصویر کشیده شده اند، به این معنی که چنین الگوی تا حد زیادی متعارف است: خطی و ابعاد زاویه ایبر روی آن تحریف شده اند. ساخت و سازهای خیالی به صورت ذهنی انجام می شود. نقاشی همراه با آنها فقط برای اهداف تصویری است. ویژگی های ذکر شده در نقاشی های استریومتریک برای دانش آموزان مشکلاتی ایجاد می کند. دانش‌آموزان اغلب نمی‌توانند آنها را بفهمند یا ترسیم کنند. و حل مشکلات استریومتریک معمولا در دو مرحله صورت می گیرد.

مرحله 1 - سازنده و گرافیکی. دانش آموزان با توجه به شرایط مشکل نقاشی می کشند، به دنبال راه حل هستند و ساخت و سازهای اضافی لازم را انجام می دهند.

مرحله 2 - فنی در طی این فرآیند، راه حل مشکل ثبت می شود.

در مرحله 1 است که فرآیند شکل گیری مهارت های گرافیکی دانش آموزان و توسعه مفاهیم فضایی آنها تحقق می یابد. با این حال، در عمل، معلم توجه بیشتری به مرحله 2 - ترسیم راه حل دارد. در طول درس، معلم اغلب برای یک مسئله از قبل نقاشی می کشد و بر اساس نقاشی تمام شده، آن را تجزیه و تحلیل می کند و یک طرح راه حل ترسیم می کند. به این ترتیب، در زمان درس صرفه جویی می شود، اما دانش آموزان اکثراً بدون اینکه معنی آن را بفهمند، به سادگی «تصویر را از روی تخته کپی می کنند».

مطالعه تصویر چهره های فضایی در کلاس های 5-6 - مکعب و توپ آغاز می شود. دوره استریومتری با تصاویر یک چهار وجهی و یک متوازی الاضلاع آغاز می شود. مسئله به تصویر کشیدن اشکال هندسی به ساخت طرح ریزی از این شکل ها برمی گردد. بنابراین، اساس ساخت تصاویر از اشکال هندسی، نظریه برآمدگی است. از آنجایی که در مدرسه مجبوریم تصاویر مسطح بسازیم، می توانیم در مورد طرح ریزی های موازی و مرکزی صحبت کنیم. N.F. Chetverukhin در کتاب درسیبرای معلمان، "تصویر فیگورها در استریومتری" الزاماتی را که تصاویر باید برآورده کنند، فرموله می کند: 1. تصویر باید یکی از پیش بینی های شکل به تصویر کشیده شده را نشان دهد. 2. تصویر باید واضح باشد، یعنی. برانگیختن بازنمایی فضایی از اصل؛ 3. تصویر باید به راحتی قابل پیگیری باشد. تمام این الزامات به طور کامل توسط طرح ریزی موازی برآورده می شود. بنابراین، توصیه می شود که یک طرح موازی از یک شکل داده شده یا چیزی مشابه به عنوان تصویری از اشکال هندسی در نظر گرفته شود.

روش های ساخت مقاطع که در دوره مدرسه مطالعه می شود!

تجزیه و تحلیل کتاب درسی توسط L.S. آتاناسیان کلاس 10-11. "هندسه"

طبق کتاب درسی L.S. آتاناسیان، ساخت مقاطع در فصل اول "موازی خطوط و صفحات" در بند "چهار وجهی و موازی" "وظایف ساخت مقاطع" به عنوان 1 درس در نظر گرفته شده است. 3 مسئله به عنوان نمونه هایی از ساخت مقاطع در چهار وجهی و موازی در نظر گرفته شده است. در مجموع 11 وظیفه برای ساخت مقاطع داده می شود که 3 کار برای ساخت مقاطع در چهار وجهی، 8 کار برای ساخت مقاطع به صورت موازی و 4 کار در سطح پایه اختیاری است.

در کتاب درسی L.S. آتاناسیان کلاس 10-11 مبحث هندسه "تصویر شکل های فضایی" در برنامه به صورت یک سوال با 4 زیرمجموعه آورده شده است:

طرح ریزی موازی شکل ها

تصویر شکل

تصویر فیگورهای تخت

تصویر چهره های فضایی

بخش 4 به بررسی شکل های چهار وجهی، موازی و هرم می پردازد. در این کتاب درسی، مفهوم تصویر یک شکل با استفاده از طرح ریزی موازی یک شکل معین معرفی شده است.

تجزیه و تحلیل کتاب درسی توسط I.F. شاریگینا.

بخش چندوجهی در کتاب درسی توسط I.F. شاریگینا "هندسه" کلاس 10-11. به عنوان یک پاراگراف "ساخت بر روی یک تصویر" به فصل دوم "چند وجهی" داده شده است. موضوع "روش ردیابی" و صفحات کمکی را بررسی می کند و 2 مثال از حل مسائل بر روی مقاطع چند وجهی (اهرام) را در نظر می گیرد. سپس ادغام 11 کار می آید که 4 کار دشوار است، 1 کار مهم است. این بخش همچنین در فصل 4 «مشکلات و روش‌های استریومتری» تحت پاراگراف 1 «صفحه‌های کمکی، مقاطع» مورد بحث قرار گرفته است، جایی که به عنوان یک بخش کمکی هنگام حل مسائل در نظر گرفته می‌شود. کتاب مسئله شامل 6 مسئله است.

• آموزش نحوه به کارگیری دانش کسب شده در عمل، با استفاده از یک مدل، یک الگوریتم، همراه با یک اشاره.
• تقویت مهارت های ساخت مقاطع با استفاده از بدیهیات استریومتری.
• تفکر فضایی دانش آموزان را توسعه دهید.

در طول کلاس ها.

I. بخش سازمانی.

II. تجزیه و تحلیل تکالیف.

تکالیف در سه سطح سختی بود

وظیفه 1 و 2 - سطح اول

وظیفه 3 و 4 - سطح دوم

وظیفه 5 و 6 - سطح سوم

وظیفه 1. ABCA 1 C 1 - منشور مثلثی، نقطه اف - وسط دنده AB ، نقطه در باره در ادامه دنده قرار دارد آفتاب بنابراین با واقع بین که در و در باره . قسمتی از منشور را با صفحه بسازید در 1 F.O. .

وظیفه 2.نقطه در باره - وسط دنده DD 1 کوبا ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. نقاط تقاطع خطوط را بسازید A 1 O و C1O با هواپیمای پایه آ ب پ ت و اگر طول لبه مکعب 2 سانتی متر باشد فاصله بین آنها را محاسبه کنید.

مسئله 3. یک هرم مثلثی در نظر گرفته شده است SABC نکته ها آر و آر روی دنده ها دراز بکشید S.A. و آفتاب, نقطه اف در ادامه دنده قرار دارد AC بنابراین نکته این است بابین نقاط قرار دارد آ و اف. قسمتی از هرم را با استفاده از یک صفحه بسازید PRF

وظیفه 4. SABCD- هرم چهار گوش نقطه آر روی لبه دراز می کشد SCD, یک نقطه اف در ادامه دنده دی سی بنابراین نکته این است D نهفته است بین اف و با. PFB.

وظیفه 5. DABC- چهار ضلعی منظم که طول لبه آن 4 سانتی متر است نقطه در باره - وسط دنده D.B.. نقطه اف در ادامه دنده قرار دارد آفتاب بنابراین با - وسط بخش B.F., نقطه تی در ادامه دنده قرار دارد AC بنابراین با - وسط بخش AT. قسمتی از چهار وجهی را با صفحه بسازید FTO و محیط آن را محاسبه کنید.

وظیفه 6. DABC- نقطه هرم مثلثی اف روی لبه دراز می کشد D.B., نقطه تی در ادامه دنده قرار دارد AB بنابراین نکته این است آ بین نقاط واقع شده است تی و که در, یک نقطه آر در ادامه دنده قرار دارد سی دی بنابراین نکته این است با بین نقاط قرار دارد D و آر. قسمتی از هرم را با استفاده از یک صفحه بسازید TFR.

به هر گروه بسته به سطح دشواری کارها پیشنهاد می شود. دانش آموزان این تکالیف را تکمیل می کنند و سپس در مورد چگونگی حل مسئله به طوفان فکری می پردازند.

شرایط: آیا شکل های سایه دار چند وجهی تصویر شده توسط یک صفحه بریده می شوند؟ PQR ? در مواردی که بخش به اشتباه نشان داده شده است، پیدا کنید راه حل صحیح.

تصاویر متوازی الاضلاع منظم را نشان می دهند.

وظیفه سطح اول:

وظیفه سطح دوم:

تلاش سطح 3:

به هر گروه یک وظیفه اصلی و یک کار اضافی داده می شود. در کار اضافی، تصاویر منشورهای مثلثی (سطوح 1 و 2) و یک هرم مثلثی (سطح 3) را نشان می دهند.

کار توسط معلم ارزیابی می شود و سپس در مجله یادداشت می شود.

وظیفه سطح اول:

• در یک هرم مثلثی شکل DABC نقطه در باره - نقطه تقاطع وسط صورت DBC. نقطه اف روی یک خط مستقیم قرار دارد AB بنابراین که در بین نقاط قرار دارد آ و اف, یک نقطه E روی یک خط مستقیم قرار دارد AC بنابراین نکته این است با نهفته است بین آ و E. قسمتی از هرم را با استفاده از یک صفحه بسازید O.E.F..

• PQR

وظیفه سطح دوم:

• ABCA 1 در 1 با 1 - منشور مثلثی. نقطه در باره روی لبه دراز می کشد A 1 C 1 ، نقطه اف در ادامه دنده قرار دارد AC بنابراین با نهفته است بین آ و اف. نقطه به در ادامه دنده قرار دارد AB بنابراین که در واقع بین آ و به. قسمتی از منشور را با صفحه بسازید OKF.

• کار اضافی: آیا شکل های سایه دار بخش هایی از چندوجهی های تصویر شده هستند؟ PQR ? در مواردی که بخش به اشتباه نشان داده شده است، راه حل صحیح را پیدا کنید.

وظیفه سطح سوم:

• پایه یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل آ BCDA l B 1 C 1 D 1 - مربعی که طول ضلع آن 2 سانتی متر است نقطه در باره - وسط دنده جانبی DD 1 و امتیازات به و اف در ادامه دنده ها دراز بکشید آفتاب و AB بر این اساس به طوری که آفتاب = 2SK, AB = 2FA . مساحت سطح مقطع موازی را با یک صفحه محاسبه کنید OFK ، اگر DD 1 = 4 سانتی متر

• کار اضافی: آیا شکل های سایه دار بخش هایی از چندوجهی های تصویر شده هستند؟ PQR ? در مواردی که بخش به اشتباه نشان داده شده است، راه حل صحیح را پیدا کنید.

دانش آموزان سطح دشواری مناسب را انتخاب می کنند.

وظیفه برای سطح دشواری اول:

وظیفه برای سطح دشواری دوم:

وظیفه برای سطح سوم دشواری: