Les vecteurs constituent-ils une base en ligne ? Dépendance linéaire et indépendance linéaire des vecteurs. Base des vecteurs. Système de coordonnées affines

Exemple 8

Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base dans un espace tridimensionnel et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base.

Solution: Tout d’abord, parlons de la condition. Par condition, quatre vecteurs sont donnés et, comme vous pouvez le voir, ils ont déjà des coordonnées sur une certaine base. Ce qu'est cette base ne nous intéresse pas. Et la chose suivante est intéressante : trois vecteurs pourraient bien constituer une nouvelle base. Et la première étape coïncide complètement avec la solution de l'exemple 6, il faut vérifier si les vecteurs sont bien linéairement indépendants :

Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :

, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants et constituent la base de l’espace tridimensionnel.

! Important: coordonnées vectorielles Nécessairementécrire en colonnes déterminant, pas en chaînes. Sinon, il y aura de la confusion dans l'algorithme de solution ultérieur.

Rappelons maintenant la partie théorique : si les vecteurs forment une base, alors n'importe quel vecteur peut être développé dans une base donnée d'une manière unique : , où sont les coordonnées du vecteur dans la base.

Puisque nos vecteurs constituent la base de l'espace tridimensionnel (cela a déjà été prouvé), le vecteur peut être développé d'une manière unique sur cette base :
, où sont les coordonnées du vecteur dans la base.

Selon la condition et il est nécessaire de trouver les coordonnées.

Pour faciliter l’explication, je vais échanger les parties : . Pour la trouver, vous devez noter cette égalité coordonnée par coordonnée :

Sur quelle base sont fixés les coefficients ? Tous les coefficients du côté gauche sont exactement transférés du déterminant , les coordonnées du vecteur sont écrites sur le côté droit.

Le résultat est un système de trois équations linéaires avec trois inconnues. Habituellement, cela est résolu par Les formules de Cramer, souvent même dans l'énoncé du problème, une telle exigence existe.

Le principal déterminant du système a déjà été trouvé :
, ce qui signifie que le système a une solution unique.

Ce qui suit est une question de technique :

Ainsi:
– décomposition du vecteur selon la base.

Répondre:

Comme je l’ai déjà noté, le problème est de nature algébrique. Les vecteurs considérés ne sont pas nécessairement ceux qui peuvent être dessinés dans l'espace, mais avant tout des vecteurs abstraits du cours d'algèbre linéaire. Pour le cas des vecteurs bidimensionnels, un problème similaire peut être formulé et résolu ; la solution sera beaucoup plus simple. Cependant, dans la pratique, je n'ai jamais rencontré une telle tâche, c'est pourquoi je l'ai ignorée dans la section précédente.

Le même problème avec les vecteurs tridimensionnels pour décision indépendante:

Exemple 9

Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base. Résolvez un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Cramer.

Solution complète et un échantillon approximatif de la conception finale à la fin de la leçon.

De même, on peut considérer le quadridimensionnel, le cinqdimensionnel, etc. espaces vectoriels, où les vecteurs ont respectivement 4, 5 coordonnées ou plus. Pour ces espaces vectoriels, il y a aussi la notion de dépendance linéaire, d'indépendance linéaire des vecteurs, il existe une base, y compris une base orthonormée, un développement d'un vecteur par rapport à une base. Oui, de tels espaces ne peuvent pas être dessinés géométriquement, mais toutes les règles, propriétés et théorèmes des cas bidimensionnels et tridimensionnels y fonctionnent - de l'algèbre pure. En fait, j'étais déjà tenté de parler de questions philosophiques dans l'article Dérivées partielles d'une fonction de trois variables, qui est apparu avant cette leçon.

Aimez les vecteurs, et les vecteurs vous aimeront !

Solutions et réponses :

Exemple 2 : Solution: faisons une proportion à partir des coordonnées correspondantes des vecteurs :

Répondre: à

Exemple 4 : Preuve: Trapèze Un quadrilatère est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et les deux autres côtés ne sont pas parallèles.
1) Vérifions le parallélisme des côtés opposés et .
Trouvons les vecteurs :


, ce qui signifie que ces vecteurs ne sont pas colinéaires et que les côtés ne sont pas parallèles.
2) Vérifiez le parallélisme des côtés opposés et .
Trouvons les vecteurs :

Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :
, ce qui signifie que ces vecteurs sont colinéaires, et .
Conclusion: Deux côtés d’un quadrilatère sont parallèles, mais les deux autres côtés ne sont pas parallèles, ce qui signifie qu’il s’agit par définition d’un trapèze. QED.

Exemple 5 : Solution:
b) Vérifions s'il existe un coefficient de proportionnalité pour les coordonnées correspondantes des vecteurs :

Le système n’a pas de solution, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Conception plus simple :
– les deuxième et troisième coordonnées ne sont pas proportionnelles, ce qui signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Répondre: les vecteurs ne sont pas colinéaires.
c) Nous examinons la colinéarité des vecteurs . Créons un système :

Les coordonnées correspondantes des vecteurs sont proportionnelles, ce qui signifie
C’est là que la méthode de conception « fantaisiste » échoue.
Répondre:

Exemple 6 : Solution: b) Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles (le déterminant est révélé en première ligne) :

, ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement dépendants et ne constituent pas la base d’un espace tridimensionnel.
Répondre : ces vecteurs ne constituent pas une base

Exemple 9 : Solution: Calculons le déterminant constitué de coordonnées vectorielles :


Ainsi, les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.
Représentons le vecteur comme une combinaison linéaire de vecteurs de base :

Coordonner :

Résolvons le système en utilisant les formules de Cramer :
, ce qui signifie que le système a une solution unique.

Répondre:Les vecteurs forment une base,

Mathématiques supérieures pour les étudiants par correspondance et plus >>>

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Produit croisé de vecteurs.
Produit mixte de vecteurs

Dans cette leçon, nous examinerons deux autres opérations avec des vecteurs : produit vectoriel vecteurs Et travail mixte vecteurs. Ce n'est pas grave, il arrive parfois que pour un bonheur complet, en plus de produit scalaire de vecteurs, il en faut de plus en plus. C’est une dépendance aux vecteurs. Il peut sembler que nous entrons dans la jungle de la géométrie analytique. C'est faux. Dans cette section mathématiques supérieures En général, il n'y a pas assez de bois de chauffage, peut-être assez pour Pinocchio. En fait, le matériel est très courant et simple - à peine plus compliqué que le même produit scalaire, il y aura encore moins de tâches typiques. L'essentiel en géométrie analytique, comme beaucoup en seront convaincus ou l'ont déjà été, est de NE PAS FAIRE D'ERREURS DANS LES CALCULS. Répétez comme un sort et vous serez heureux =)

Si les vecteurs scintillent quelque part au loin, comme des éclairs à l’horizon, peu importe, commencez par la leçon Vecteurs pour les nuls restaurer ou réacquérir les connaissances de base sur les vecteurs. Les lecteurs plus préparés peuvent se familiariser avec les informations de manière sélective ; j'ai essayé de rassembler la collection la plus complète d'exemples que l'on trouve souvent dans Travaux pratiques

Qu'est-ce qui vous rendra heureux tout de suite ? Quand j'étais petite, je savais jongler avec deux et même trois balles. Cela a bien fonctionné. Désormais, vous n'aurez plus du tout à jongler, puisque nous considérerons uniquement des vecteurs spatiaux, et les vecteurs plats avec deux coordonnées seront laissés de côté. Pourquoi? C'est ainsi que sont nées ces actions : le vecteur et le produit mixte de vecteurs sont définis et fonctionnent dans un espace tridimensionnel. C'est déjà plus simple !

Travaux de test

Tâche 1 à 10. Les vecteurs sont donnés. Montrer que les vecteurs forment une base de l'espace tridimensionnel et trouver les coordonnées du vecteur dans cette base :

Étant donné les vecteurs ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Montrer que les vecteurs constituent la base de l'espace tridimensionnel et trouver les coordonnées du vecteur X dans cette base.

Cette tâche se compose de deux parties. Vous devez d’abord vérifier si les vecteurs forment une base. Les vecteurs forment une base si le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est non nul, sinon les vecteurs ne sont pas basiques et le vecteur X ne peut pas être développé sur cette base.

Calculons le déterminant de la matrice :

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Le déterminant de la matrice est ∆ =37

Puisque le déterminant est différent de zéro, les vecteurs forment une base, le vecteur X peut donc être développé sur cette base. Ceux. il existe des nombres α 1, α 2, α 3 tels que l'égalité est vraie :

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Écrivons cette égalité sous forme de coordonnées :

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

En utilisant les propriétés des vecteurs, on obtient l'égalité suivante :

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

Par la propriété d'égalité des vecteurs on a :

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

Nous résolvons le reçu système d'équations Méthode gaussienne ou La méthode de Cramer.

X = ε 1 + 2ε 2 - ε 3

La solution a été reçue et traitée via le service :

Coordonnées vectorielles dans la base

Parallèlement à ce problème, ils résolvent également :

Résolution d'équations matricielles

Méthode Cramer

Méthode Gauss

Matrice inverse utilisant la méthode Jordano-Gauss

Matrice inverse via compléments algébriques

Multiplication matricielle en ligne

La base de l'espace ils appellent un tel système de vecteurs dans lequel tous les autres vecteurs de l'espace peuvent être représentés comme une combinaison linéaire de vecteurs inclus dans la base.
En pratique, tout cela se réalise assez simplement. La base, en règle générale, est vérifiée sur un plan ou dans l'espace, et pour cela, vous devez trouver le déterminant d'une matrice du deuxième et du troisième ordre composée de coordonnées vectorielles. Ci-dessous sont schématiquement écrits conditions dans lesquelles les vecteurs constituent une base

À développer le vecteur b en vecteurs de base
e,e...,e[n] il faut trouver les coefficients x, ..., x[n] pour lesquels la combinaison linéaire des vecteurs e,e...,e[n] est égale à vecteur B :
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Pour ce faire, l'équation vectorielle doit être convertie en un système d'équations linéaires et des solutions doivent être trouvées. C’est également assez simple à mettre en œuvre.
Les coefficients trouvés x, ..., x[n] sont appelés coordonnées du vecteur b dans la base e,e...,e[n].
Passons au côté pratique du sujet.

Décomposition d'un vecteur en vecteurs de base

Tache 1. Vérifiez si les vecteurs a1, a2 forment une base sur le plan

1) a1 (3 ; 5), a2 (4 ; 2)
Solution : On compose un déterminant à partir des coordonnées des vecteurs et on le calcule

Le déterminant n'est pas égal à zéro , ainsi les vecteurs sont linéairement indépendants, ce qui signifie qu'ils forment une base.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Solution : On calcule le déterminant constitué de vecteurs

Le déterminant est égal à 13 (non égal à zéro) - il s'ensuit que les vecteurs a1, a2 sont une base sur le plan.

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Regardons des exemples typiques du programme MAUP dans la discipline « Mathématiques supérieures ».

Tâche 2. Montrer que les vecteurs a1, a2, a3 forment la base d'un espace vectoriel tridimensionnel, et développer le vecteur b selon cette base (lors de la résolution d'un système de équations algébriques utiliser la méthode de Cramer).
1) a1 (3 ; 1 ; 5), a2 (3 ; 2 ; 8), a3 (0 ; 1 ; 2), b (−3 ; 1 ; 2).
Solution : Tout d'abord, considérons le système de vecteurs a1, a2, a3 et vérifions le déterminant de la matrice A

construit sur des vecteurs non nuls. La matrice contient un élément zéro, il est donc plus approprié de calculer le déterminant sous forme de graphique dans la première colonne ou la troisième ligne.

À la suite des calculs, nous avons constaté que le déterminant est différent de zéro, donc les vecteurs a1, a2, a3 sont linéairement indépendants.
Par définition, les vecteurs forment une base dans R3. Écrivons le programme du vecteur b basé sur

Les vecteurs sont égaux lorsque leurs coordonnées correspondantes sont égales.
Par conséquent, à partir de l’équation vectorielle, nous obtenons un système d’équations linéaires

Résolvons SLAE La méthode de Cramer. Pour ce faire, on écrit le système d’équations sous la forme

Le déterminant principal d'un SLAE est toujours égal au déterminant composé de vecteurs de base

Par conséquent, dans la pratique, cela n’est pas compté deux fois. Pour trouver des déterminants auxiliaires, on met une colonne de termes libres à la place de chaque colonne du déterminant principal. Les déterminants sont calculés à l'aide de la règle du triangle



Remplaçons les déterminants trouvés dans la formule de Cramer



Ainsi, le développement du vecteur b en termes de base a la forme b=-4a1+3a2-a3. Les coordonnées du vecteur b dans la base a1, a2, a3 seront (-4,3, 1).

2)a1 (1 ; -5 ; 2), a2 (2 ; 3 ; 0), a3 (1 ; -1 ; 1), b (3 ; 5 ; 1).
Solution : Nous vérifions les vecteurs pour une base - nous composons un déterminant à partir des coordonnées des vecteurs et le calculons

Le déterminant n'est pas égal à zéro, donc les vecteurs forment une base dans l'espace. Reste à trouver le planning du vecteur b à travers cette base. Pour ce faire, on écrit l'équation vectorielle

et transformer en un système d'équations linéaires

Nous écrivons l'équation matricielle

Ensuite, pour les formules de Cramer, nous trouvons des déterminants auxiliaires



Nous appliquons les formules de Cramer



Ainsi, un vecteur donné b a un programme passant par deux vecteurs de base b=-2a1+5a3, et ses coordonnées dans la base sont égales à b(-2,0, 5).