Algorithme de résolution du système. Définitions, concepts, désignations. Cours et présentation sur le thème : "Systèmes d'équations. Méthode de substitution, méthode d'addition, méthode d'introduction d'une nouvelle variable"

Cours et présentation sur le thème : "Systèmes d'équations. Méthode de substitution, méthode d'addition, méthode d'introduction d'une nouvelle variable"

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Méthodes de résolution des systèmes d'inégalités

Les gars, nous avons étudié des systèmes d'équations et appris à les résoudre à l'aide de graphiques. Voyons maintenant quelles autres façons de résoudre des systèmes existent ?
Presque toutes les méthodes pour les résoudre ne diffèrent pas de celles que nous avons étudiées en 7e année. Nous devons maintenant procéder à quelques ajustements en fonction des équations que nous avons appris à résoudre.
L'essence de toutes les méthodes décrites dans cette leçon est de remplacer le système par un système équivalent avec une forme et une solution plus simples. Les gars, rappelez-vous ce qu'est un système équivalent.

Méthode de substitution

La première façon de résoudre des systèmes d'équations à deux variables nous est bien connue : c'est la méthode de substitution. Nous avons utilisé cette méthode pour résoudre des équations linéaires. Voyons maintenant comment résoudre des équations dans le cas général ?

Comment procéder pour prendre une décision ?
1. Exprimez une des variables par rapport à une autre. Les variables les plus souvent utilisées dans les équations sont x et y. Dans l’une des équations, nous exprimons une variable par rapport à une autre. Astuce : examinez attentivement les deux équations avant de commencer à les résoudre et choisissez celle où il est plus facile d'exprimer la variable.
2. Remplacez l'expression résultante dans la deuxième équation, au lieu de la variable qui a été exprimée.
3. Résolvez l’équation que nous avons obtenue.
4. Remplacez la solution résultante dans la deuxième équation. S'il existe plusieurs solutions, vous devez les remplacer séquentiellement afin de ne pas perdre quelques solutions.
5. En conséquence, vous recevrez une paire de nombres $(x;y)$, qui doivent être écrits comme réponse.

Exemple.
Résolvez un système à deux variables en utilisant la méthode de substitution : $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Solution.
Regardons de plus près nos équations. Évidemment, exprimer y en fonction de x dans la première équation est beaucoup plus simple.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Remplaçons la première expression dans la deuxième équation $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Résolvons la deuxième équation séparément :
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Nous avons obtenu deux solutions à la deuxième équation $x_1=2$ et $x_2=3$.
Remplacez séquentiellement dans la deuxième équation.
Si $x=2$, alors $y=3$. Si $x=3$, alors $y=2$.
La réponse sera deux paires de nombres.
Réponse : $(2;3)$ et $(3;2)$.

Méthode d'addition algébrique

Nous avons également étudié cette méthode en 7e année.
On sait qu'on peut multiplier une équation rationnelle à deux variables par n'importe quel nombre, sans oublier de multiplier les deux côtés de l'équation. Nous avons multiplié l'une des équations par un certain nombre de sorte qu'en ajoutant l'équation résultante à la deuxième équation du système, l'une des variables soit détruite. Ensuite, l’équation a été résolue pour la variable restante.
Cette méthode fonctionne toujours, même s'il n'est pas toujours possible de détruire l'une des variables. Mais cela permet de simplifier considérablement la forme d'une des équations.

Exemple.
Résolvez le système : $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Solution.
Multiplions la première équation par 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Soustrayons la seconde de la première équation.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Comme vous pouvez le constater, la forme de l’équation résultante est beaucoup plus simple que celle d’origine. Nous pouvons maintenant utiliser la méthode de substitution.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Exprimons x en termes de y dans l'équation résultante.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Nous avons $y=-1$ et $y=-3$.
Remplaçons ces valeurs séquentiellement dans la première équation. Nous obtenons deux paires de nombres : $(1;-1)$ et $(-1;-3)$.
Réponse : $(1;-1)$ et $(-1;-3)$.

Méthode d'introduction d'une nouvelle variable

Nous avons également étudié cette méthode, mais revenons-y.

Exemple.
Résolvez le système : $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Solution.
Introduisons le remplacement $t=\frac(x)(y)$.
Réécrivons la première équation avec une nouvelle variable : $t+\frac(2)(t)=3$.
Résolvons l'équation résultante :
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Nous avons $t=2$ ou $t=1$. Introduisons le changement inverse $t=\frac(x)(y)$.
Nous avons : $x=2y$ et $x=y$.

Pour chacune des expressions, le système d'origine doit être résolu séparément :
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Nous avons reçu quatre paires de solutions.
Réponse : $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Exemple.
Résolvez le système : $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cas)$.

Solution.
Introduisons le remplacement : $z=\frac(2)(x-3y)$ et $t=\frac(3)(2x+y)$.
Réécrivons les équations originales avec de nouvelles variables :
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Utilisons la méthode d'addition algébrique :
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Introduisons la substitution inverse :
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Utilisons la méthode de substitution :
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Réponse : $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Problèmes sur les systèmes d'équations pour solution indépendante

Résoudre des systèmes :
1. $\begin(cases)2x-2y=6,\\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ fin(cas)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

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Instructions

Méthode d'addition.
Vous devez en écrire deux strictement l'un en dessous de l'autre :

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dans une équation arbitrairement choisie (dans le système), insérez le nombre 11 à la place du « jeu » déjà trouvé et calculez la deuxième inconnue :

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
La réponse à ce système d'équations est x=116, y=11.

Méthode graphique.
Elle consiste à trouver pratiquement les coordonnées du point où les lignes sont écrites mathématiquement dans un système d'équations. Les graphiques des deux lignes doivent être tracés séparément dans le même système de coordonnées. Vue générale : – y=khx+b. Pour construire une droite, il suffit de trouver les coordonnées de deux points, et x est choisi arbitrairement.
Soit le système : 2x – y=4

Y=-3x+1.
Une ligne droite est construite à partir de la première, pour plus de commodité elle doit s'écrire : y=2x-4. Trouvez des valeurs (plus faciles) pour x, en les remplaçant dans l'équation, en les résolvant et en trouvant y. Nous obtenons deux points le long desquels une ligne droite est construite. (voir l'image)
x0 1

y-4-2
Une ligne droite est construite à l'aide de la deuxième équation : y=-3x+1.
Construisez également une ligne droite. (voir l'image)

et 1 -5
Trouvez les coordonnées du point d'intersection de deux lignes construites sur le graphique (si les lignes ne se coupent pas, alors le système d'équations n'a pas - donc).

Vidéo sur le sujet

Conseil utile

Si le même système d'équations est résolu par trois différentes façons, la réponse sera la même (si la solution est correcte).

Sources:

• Algèbre de 8e année
• résoudre une équation à deux inconnues en ligne
• Exemples de solutions système équations linéaires avec deux

Système équations est une collection d'enregistrements mathématiques, dont chacun contient un certain nombre de variables. Il existe plusieurs façons de les résoudre.

Tu auras besoin de

• -Règle et crayon ;
• -calculatrice.

Instructions

Considérons la séquence de résolution du système, qui consiste en des équations linéaires ayant la forme : a1x + b1y = c1 et a2x + b2y = c2. Où x et y sont des variables inconnues et b,c sont des termes libres. Lors de l'application de cette méthode, chaque système représente les coordonnées des points correspondant à chaque équation. Pour commencer, dans chaque cas, exprimez une variable en fonction d’une autre. Définissez ensuite la variable x sur n'importe quel nombre de valeurs. Deux suffisent. Remplacez dans l’équation et trouvez y. Construisez un système de coordonnées, marquez les points résultants dessus et tracez une ligne à travers eux. Des calculs similaires doivent être effectués pour d’autres parties du système.

Le système a une solution unique si les lignes construites se croisent et ont un point commun. Ils sont incompatibles s'ils sont parallèles les uns aux autres. Et il existe une infinité de solutions lorsque les lignes se confondent.

Cette méthode est considérée comme très visuelle. Le principal inconvénient est que les inconnues calculées ont des valeurs approximatives. Des résultats plus précis sont fournis par les méthodes dites algébriques.

Toute solution à un système d’équations mérite d’être vérifiée. Pour ce faire, remplacez les valeurs obtenues par les variables. Vous pouvez également trouver sa solution en utilisant plusieurs méthodes. Si la solution du système est correcte, alors tout le monde devrait avoir le même résultat.

Il existe souvent des équations dans lesquelles l’un des termes est inconnu. Pour résoudre une équation, vous devez vous souvenir et effectuer un certain ensemble d'actions avec ces nombres.

Tu auras besoin de

• - papier;
• - un stylo ou un crayon.

Instructions

Imaginez qu'il y a 8 lapins devant vous et que vous n'avez que 5 carottes. Pensez-y, vous devez encore acheter plus de carottes pour que chaque lapin en reçoive une.

Présentons ce problème sous la forme d'une équation : 5 + x = 8. Remplaçons x par le nombre 3. En effet, 5 + 3 = 8.

Lorsque vous remplacez x par un nombre, vous faites la même chose que lorsque vous soustrayez 5 de 8. Donc, pour trouver inconnu terme, soustrayez le terme connu de la somme.

Disons que vous avez 20 lapins et seulement 5 carottes. Réparons-le. Une équation est une égalité qui n'est valable que pour certaines valeurs des lettres qu'elle contient. Les lettres dont il faut trouver la signification sont appelées . Écrivez une équation à une inconnue, appelez-la x. En résolvant notre problème du lapin, nous obtenons l’équation suivante : 5 + x = 20.

Trouvons la différence entre 20 et 5. Lors de la soustraction, le nombre auquel il est soustrait est celui qui est réduit. Le nombre soustrait s’appelle , et le résultat final s’appelle la différence. Donc x = 20 – 5 ; x = 15. Vous devez acheter 15 carottes pour les lapins.

Vérifiez : 5 + 15 = 20. L'équation est résolue correctement. Bien sûr, quand nous parlons de pour les plus simples, il n'est pas nécessaire d'effectuer une vérification. Cependant, lorsque vous avez des équations avec des nombres à trois, quatre chiffres, etc., vous devez absolument vérifier pour être absolument sûr du résultat de votre travail.

Vidéo sur le sujet

Conseil utile

Pour trouver le menu inconnu, vous devez ajouter le sous-titre à la différence.

Pour trouver la soustraction inconnue, vous devez soustraire la différence de la fin du menu.

Astuce 4 : Comment résoudre un système de trois équations avec trois inconnues

Un système de trois équations à trois inconnues peut ne pas avoir de solutions, malgré un nombre suffisant d'équations. Vous pouvez essayer de le résoudre en utilisant la méthode de substitution ou en utilisant la méthode de Cramer. La méthode de Cramer, en plus de résoudre le système, permet d'évaluer si le système est résoluble avant de trouver les valeurs des inconnues.

Instructions

La méthode de substitution consiste à passer séquentiellement d'une inconnue à travers deux autres et à substituer le résultat résultant dans les équations du système. Soit un système de trois équations dans vue générale:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Exprimez x à partir de la première équation : x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - et remplacez-le dans les deuxième et troisième équations, puis exprimez y à partir de la deuxième équation et remplacez-le par la troisième. Vous obtiendrez une expression linéaire pour z grâce aux coefficients des équations du système. Maintenant, allez « en arrière » : remplacez z dans la deuxième équation et trouvez y, puis remplacez z et y dans la première et résolvez x. Le processus est généralement représenté sur la figure avant de trouver z. Écrire davantage sous forme générale sera trop fastidieux ; en pratique, en remplaçant , vous pouvez assez facilement trouver les trois inconnues.

La méthode de Cramer consiste à construire une matrice système et à calculer le déterminant de cette matrice, ainsi que trois autres matrices auxiliaires. La matrice système est composée de coefficients pour les termes inconnus des équations. Une colonne contenant les nombres des membres droits des équations, une colonne des membres droits. Il n’est pas utilisé dans le système, mais est utilisé lors de la résolution du système.

Vidéo sur le sujet

note

Toutes les équations du système doivent fournir des informations supplémentaires indépendantes des autres équations. Autrement, le système sera sous-déterminé et il ne sera pas possible de trouver une solution univoque.

Conseil utile

Après avoir résolu le système d'équations, remplacez les valeurs trouvées dans le système d'origine et vérifiez qu'elles satisfont à toutes les équations.

Par lui-même l'équation avec trois inconnu a de nombreuses solutions, il est donc le plus souvent complété par deux autres équations ou conditions. L'évolution de la décision dépendra en grande partie des données initiales.

Tu auras besoin de

• - un système de trois équations à trois inconnues.

Instructions

Si deux des trois systèmes n'ont que deux des trois inconnues, essayez d'exprimer certaines variables en fonction des autres et de les substituer dans l'équation avec trois inconnu. Votre objectif dans ce cas est de le transformer en normal l'équation avec un inconnu. Si c'est le cas, la solution supplémentaire est assez simple : remplacez la valeur trouvée dans d'autres équations et trouvez toutes les autres inconnues.

Certains systèmes d'équations peuvent être soustraits d'une équation par une autre. Voyez s'il est possible de multiplier une ou une variable pour que deux inconnues s'annulent à la fois. S'il existe une telle opportunité, profitez-en, la solution ultérieure ne sera probablement pas difficile. N'oubliez pas que lorsque vous multipliez par un nombre, vous devez multiplier à la fois le côté gauche et le côté droit. De même, lorsque vous soustrayez des équations, vous devez vous rappeler que le membre de droite doit également être soustrait.

Si les méthodes précédentes n'ont pas aidé, utilisez d'une manière générale solutions à toutes les équations avec trois inconnu. Pour ce faire, réécrivez les équations sous la forme a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Créez maintenant une matrice de coefficients pour x (A), une matrice d'inconnues (X) et une matrice d'inconnues (B). Attention, en multipliant la matrice des coefficients par la matrice des inconnues, vous obtiendrez une matrice de termes libres, c'est-à-dire A*X=B.

Trouvez la matrice A à la puissance (-1) en trouvant d'abord , notez qu'elle ne doit pas être égal à zéro. Après cela, multipliez la matrice résultante par la matrice B, vous obtiendrez ainsi la matrice X souhaitée, indiquant toutes les valeurs.

Vous pouvez également trouver une solution à un système de trois équations en utilisant la méthode de Cramer. Pour ce faire, trouvez le déterminant du troisième ordre ∆ correspondant à la matrice système. Trouvez ensuite successivement trois autres déterminants ∆1, ∆2 et ∆3, en substituant les valeurs des termes libres au lieu des valeurs des colonnes correspondantes. Trouvez maintenant x : x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sources:

• solutions aux équations à trois inconnues

Lorsque vous commencez à résoudre un système d’équations, déterminez de quel type d’équations il s’agit. Les méthodes de résolution d'équations linéaires ont été assez bien étudiées. Les équations non linéaires ne sont le plus souvent pas résolues. Il n'existe qu'un seul cas particulier, chacun étant pratiquement individuel. Par conséquent, l’étude des techniques de résolution doit commencer par des équations linéaires. De telles équations peuvent même être résolues de manière purement algorithmique.

les dénominateurs des inconnues trouvées sont exactement les mêmes. Oui, et les numérateurs montrent certaines tendances dans leur construction. Si la dimension du système d’équations était supérieure à deux, alors la méthode d’élimination conduirait à des calculs très fastidieux. Pour les éviter, des solutions purement algorithmiques ont été développées. Le plus simple d'entre eux est l'algorithme de Cramer (formules de Cramer). Car tu devrais le découvrir système généraléquations à partir de n équations.

Système n linéaire équations algébriques avec n inconnues a la forme (voir Fig. 1a). Dans celui-ci, аij sont les coefficients du système,
xj – inconnues, bi – termes libres (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Un tel système peut être écrit de manière compacte sous forme matricielle AX=B. Ici A est la matrice des coefficients du système, X est la matrice colonne des inconnues, B est la matrice colonne des termes libres (voir Figure 1b). D'après la méthode de Cramer, chaque inconnue xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Le déterminant ∆ de la matrice des coefficients est appelé déterminant principal, et ∆i l'auxiliaire. Pour chaque inconnue, le déterminant auxiliaire est trouvé en remplaçant la i-ème colonne du déterminant principal par une colonne de termes libres. La méthode Cramer pour le cas des systèmes du deuxième et du troisième ordre est présentée en détail dans la Fig. 2.

Le système est une combinaison de deux ou plusieurs égalités, chacune contenant deux ou plusieurs inconnues. Il existe deux manières principales de résoudre des systèmes d'équations linéaires utilisés dans le programme scolaire. L'une d'elles s'appelle la méthode, l'autre la méthode d'addition.

Forme standard d'un système de deux équations

À forme standard la première équation a la forme a1*x+b1*y=c1, la deuxième équation a la forme a2*x+b2*y=c2 et ainsi de suite. Par exemple, dans le cas de deux parties du système, les deux étant donnés a1, a2, b1, b2, c1, c2 sont des coefficients numériques représentés dans des équations spécifiques. À leur tour, x et y représentent des inconnues dont les valeurs doivent être déterminées. Les valeurs requises transforment simultanément les deux équations en véritables égalités.

Résoudre le système en utilisant la méthode d'addition

Afin de résoudre le système, c'est-à-dire de trouver les valeurs de x et y qui les transformeront en véritables égalités, vous devez suivre plusieurs étapes simples. La première consiste à transformer l’une ou l’autre équation de sorte que les coefficients numériques de la variable x ou y dans les deux équations soient de même ampleur, mais de signe différent.

Par exemple, supposons qu’un système composé de deux équations soit donné. Le premier d’entre eux a la forme 2x+4y=8, le second a la forme 6x+2y=6. L'une des options pour accomplir la tâche consiste à multiplier la deuxième équation par un coefficient de -2, ce qui la conduira à la forme -12x-4y=-12. Le bon choix le coefficient est l'une des tâches clés dans le processus de résolution d'un système par addition, car il détermine tout le déroulement ultérieur de la procédure de recherche d'inconnues.

Il faut maintenant additionner les deux équations du système. Évidemment, la destruction mutuelle de variables de coefficients égaux en valeur mais de signe opposé conduira à la forme -10x=-4. Après cela, il faut résoudre cette équation simple, d'où il résulte clairement que x = 0,4.

La dernière étape du processus de résolution consiste à remplacer la valeur trouvée de l'une des variables par l'une des égalités originales disponibles dans le système. Par exemple, en remplaçant x=0,4 dans la première équation, vous pouvez obtenir l’expression 2*0,4+4y=8, à partir de laquelle y=1,8. Ainsi, x=0,4 et y=1,8 sont les racines du système exemple.

Afin de s'assurer que les racines ont été trouvées correctement, il est utile de vérifier en substituant les valeurs trouvées dans la deuxième équation du système. Par exemple, dans ce cas, nous obtenons une égalité de la forme 0,4*6+1,8*2=6, ce qui est correct.

Vidéo sur le sujet

Analysons deux types de solutions aux systèmes d'équations :

1. Résoudre le système en utilisant la méthode de substitution.
2. Résoudre le système par addition (soustraction) terme par terme des équations du système.

Pour résoudre le système d'équations par méthode de substitution vous devez suivre un algorithme simple :
1. Exprimez. À partir de n'importe quelle équation, nous exprimons une variable.
2. Remplacer. Nous substituons la valeur résultante dans une autre équation au lieu de la variable exprimée.
3. Résolvez l'équation résultante avec une variable. Nous trouvons une solution au système.

Résoudre système par méthode d'addition (soustraction) terme par terme besoin de:
1. Sélectionnez une variable pour laquelle nous ferons des coefficients identiques.
2. Nous ajoutons ou soustrayons des équations, ce qui donne une équation à une variable.
3. Résolvez l’équation linéaire résultante. Nous trouvons une solution au système.

La solution du système réside dans les points d’intersection des graphiques de fonctions.

Examinons en détail la solution des systèmes à l'aide d'exemples.

Exemple 1:

Résolvons par méthode de substitution

Résoudre un système d'équations par la méthode de substitution

2x+5y=1 (1 équation)
x-10y=3 (2ème équation)

1. Exprimer
On peut voir que dans la deuxième équation il y a une variable x avec un coefficient de 1, ce qui signifie qu'il est plus simple d'exprimer la variable x à partir de la deuxième équation.
x=3+10a

2.Après l'avoir exprimé, nous substituons 3+10y dans la première équation au lieu de la variable x.
2(3+10 ans)+5 ans=1

3. Résolvez l'équation résultante avec une variable.
2(3+10y)+5y=1 (ouvrez les parenthèses)
6+20 ans+5 ans=1
25 ans = 1-6
25 ans = -5 | : (25)
y=-5:25
y=-0,2

La solution du système d'équations sont les points d'intersection des graphiques, nous devons donc trouver x et y, car le point d'intersection est constitué de x et y. Trouvons x, au premier point où nous l'avons exprimé, nous substituons y.
x=3+10a
x=3+10*(-0,2)=1

Il est d'usage d'écrire des points en premier lieu on écrit la variable x, et en second lieu la variable y.
Réponse : (1 ; -0,2)

Exemple n°2 :

Résolvons en utilisant la méthode d'addition (soustraction) terme par terme.

Résoudre un système d'équations par la méthode d'addition

3x-2y=1 (1 équation)
2x-3y=-10 (2ème équation)

1. Nous choisissons une variable, disons que nous choisissons x. Dans la première équation, la variable x a un coefficient de 3, dans la seconde - 2. Nous devons rendre les coefficients identiques, pour cela nous avons le droit de multiplier les équations ou de diviser par n'importe quel nombre. On multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3 et obtenons un coefficient total de 6.

3x-2a=1 |*2
6x-4a=2

2x-3a=-10 |*3
6x-9a=-30

2. Soustrayez la seconde de la première équation pour éliminer la variable X. Résolvez l'équation linéaire.
__6x-4a=2

5 ans = 32 | :5
y=6,4

3. Trouvez x. Nous substituons le y trouvé dans n’importe laquelle des équations, disons dans la première équation.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Le point d'intersection sera x=4,6 ; y=6,4
Réponse : (4.6 ; 6.4)

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Plus fiable que la méthode graphique évoquée dans le paragraphe précédent.

Méthode de substitution

Nous avons utilisé cette méthode en 7e année pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. L'algorithme développé en 7e année est tout à fait adapté pour résoudre des systèmes de deux équations quelconques (pas nécessairement linéaires) avec deux variables x et y (bien sûr, les variables peuvent être désignées par d'autres lettres, ce qui n'a pas d'importance). En fait, nous avons utilisé cet algorithme dans le paragraphe précédent, lorsque le problème de numéro à deux chiffres conduit à un modèle mathématique, qui est un système d’équations. Nous avons résolu ce système d'équations ci-dessus en utilisant la méthode de substitution (voir exemple 1 du § 4).

Un algorithme pour utiliser la méthode de substitution lors de la résolution d'un système de deux équations avec deux variables x, y.

1. Exprimez y en fonction de x à partir d’une équation du système.
2. Remplacez l'expression résultante au lieu de y dans une autre équation du système.
3. Résolvez l’équation résultante pour x.
4. Remplacez tour à tour chacune des racines de l'équation trouvée à la troisième étape au lieu de x par l'expression y par x obtenue à la première étape.
5. Écrivez la réponse sous la forme de paires de valeurs (x; y), qui ont été trouvées respectivement aux troisième et quatrième étapes.

4) Remplacez une par une chacune des valeurs trouvées de y dans la formule x = 5 - 3. Si donc
5) Paires (2 ; 1) et solutions à un système d'équations donné.

Réponse : (2 ; 1) ;

Méthode d'addition algébrique

Cette méthode, comme la méthode de substitution, vous est familière depuis le cours d'algèbre de 7e année, où elle était utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Rappelons l'essence de la méthode à l'aide de l'exemple suivant.

Exemple 2. Résoudre un système d'équations

Multiplions tous les termes de la première équation du système par 3 et laissons la deuxième équation inchangée :
Soustrayez la deuxième équation du système de sa première équation :

À la suite de l'addition algébrique de deux équations du système d'origine, une équation a été obtenue plus simple que les première et deuxième équations du système donné. Avec cette équation plus simple nous avons le droit de remplacer n'importe quelle équation d'un système donné, par exemple la seconde. Ensuite, le système d'équations donné sera remplacé par un système plus simple :

Ce système peut être résolu en utilisant la méthode de substitution. À partir de la deuxième équation, nous trouvons. En substituant cette expression au lieu de y dans la première équation du système, nous obtenons

Il reste à substituer les valeurs trouvées de x dans la formule

Si x = 2 alors

Ainsi, nous avons trouvé deux solutions au système :

Méthode d'introduction de nouvelles variables

Vous avez découvert la méthode d'introduction d'une nouvelle variable lors de la résolution d'équations rationnelles avec une variable dans le cours d'algèbre de 8e année. L'essence de cette méthode de résolution de systèmes d'équations est la même, mais d'un point de vue technique, nous aborderons certaines fonctionnalités dans les exemples suivants.

Exemple 3. Résoudre un système d'équations

Introduisons une nouvelle variable. Ensuite, la première équation du système peut être réécrite sous une forme plus sous forme simple: Résolvons cette équation pour la variable t :

Ces deux valeurs satisfont à la condition et sont donc des racines équation rationnelle avec la variable t. Mais cela signifie soit où nous trouvons que x = 2y, soit
Ainsi, en utilisant la méthode d'introduction d'une nouvelle variable, nous avons réussi à « stratifier » la première équation du système, en apparence assez complexe, en deux équations plus simples :

x = 2 oui ; oui - 2x.

Et après? Et puis chacun des deux reçut équations simples doivent être considérés un par un dans un système avec l'équation x 2 - y 2 = 3, dont nous ne nous sommes pas encore souvenus. Autrement dit, le problème revient à résoudre deux systèmes d’équations :

Nous devons trouver des solutions au premier système, au deuxième système et inclure toutes les paires de valeurs résultantes dans la réponse. Résolvons le premier système d'équations :

Utilisons la méthode de substitution, d'autant plus que tout est prêt ici : remplaçons l'expression 2y au lieu de x dans la deuxième équation du système. On a

Puisque x = 2y, on trouve respectivement x 1 = 2, x 2 = 2. Ainsi, deux solutions du système donné sont obtenues : (2 ; 1) et (-2 ; -1). Résolvons le deuxième système d'équations :

Utilisons à nouveau la méthode de substitution : remplacez l'expression 2x au lieu de y dans la deuxième équation du système. On a

Cette équation n’a pas de racines, ce qui signifie que le système d’équations n’a pas de solution. Ainsi, seules les solutions du premier système doivent être incluses dans la réponse.

Réponse : (2 ; 1) ; (-2;-1).

La méthode d'introduction de nouvelles variables lors de la résolution de systèmes de deux équations à deux variables est utilisée en deux versions. Première option : une nouvelle variable est introduite et utilisée dans une seule équation du système. C'est exactement ce qui s'est passé dans l'exemple 3. Deuxième option : deux nouvelles variables sont introduites et utilisées simultanément dans les deux équations du système. Ce sera le cas dans l'exemple 4.

Exemple 4. Résoudre un système d'équations

Introduisons deux nouvelles variables :

Prenons en compte cela alors

Cela vous permettra de réécrire le système donné sous une forme beaucoup plus simple, mais en respectant les nouvelles variables a et b :

Puisque a = 1, alors à partir de l'équation a + 6 = 2 on trouve : 1 + 6 = 2 ; 6=1. Ainsi, concernant les variables a et b, nous avons une solution :

En revenant aux variables x et y, on obtient un système d'équations

Appliquons la méthode d'addition algébrique pour résoudre ce système :

Depuis lors à partir de l’équation 2x + y = 3 on trouve :
Ainsi, concernant les variables x et y, nous avons une solution :

Concluons ce paragraphe par une conversation théorique brève mais assez sérieuse. Vous avez déjà acquis une certaine expérience dans la résolution de diverses équations : linéaires, quadratiques, rationnelles, irrationnelles. Vous savez que l'idée principale pour résoudre une équation est de passer progressivement d'une équation à une autre, plus simple, mais équivalente à celle donnée. Dans le paragraphe précédent, nous avons introduit la notion d'équivalence pour les équations à deux variables. Ce concept est également utilisé pour les systèmes d'équations.

Définition.

Deux systèmes d'équations avec des variables x et y sont dits équivalents s'ils ont les mêmes solutions ou si les deux systèmes n'ont pas de solutions.

Les trois méthodes (substitution, addition algébrique et introduction de nouvelles variables) dont nous avons parlé dans cette section sont absolument correctes du point de vue de l'équivalence. Autrement dit, grâce à ces méthodes, on remplace un système d’équations par un autre, plus simple, mais équivalent au système d’origine.

Méthode graphique pour résoudre des systèmes d'équations

Nous avons déjà appris à résoudre des systèmes d'équations de manière aussi courante et fiable que la méthode de substitution, l'addition algébrique et l'introduction de nouvelles variables. Rappelons maintenant la méthode que vous avez déjà étudiée dans la leçon précédente. Autrement dit, répétons ce que vous savez méthode graphique solutions.

Méthode de résolution de systèmes d'équations graphiquement représente la construction d'un graphique pour chacune des équations spécifiques incluses dans un système donné et situées dans le même plan de coordonnées, ainsi que l'endroit où il est nécessaire de trouver les intersections des points de ces graphiques. Pour résoudre ce système d'équations, il faut les coordonnées de ce point (x; y).

Il ne faut pas oublier qu'il est courant qu'un système graphique d'équations ait soit une seule solution correcte, soit un nombre infini de solutions, soit qu'il n'y ait aucune solution du tout.

Examinons maintenant chacune de ces solutions plus en détail. Ainsi, un système d’équations peut avoir une solution unique si les lignes qui constituent les graphiques des équations du système se croisent. Si ces droites sont parallèles, alors un tel système d’équations n’a absolument aucune solution. Si les graphiques directs des équations du système coïncident, alors un tel système permet de trouver de nombreuses solutions.

Eh bien, regardons maintenant l'algorithme pour résoudre un système de deux équations à 2 inconnues à l'aide d'une méthode graphique :

Tout d'abord, nous construisons d'abord un graphique de la 1ère équation ;
La deuxième étape consistera à construire un graphique relatif à la deuxième équation ;
Troisièmement, nous devons trouver les points d’intersection des graphiques.
Et en conséquence, nous obtenons les coordonnées de chaque point d'intersection, qui seront la solution du système d'équations.

Examinons cette méthode plus en détail à l'aide d'un exemple. On nous donne un système d'équations qu'il faut résoudre :

Résoudre des équations

1. Tout d’abord, nous allons construire un graphique de cette équation : x2+y2=9.

Mais il faut noter que ce graphique des équations sera un cercle avec un centre à l'origine, et son rayon sera égal à trois.

2. Notre prochaine étape consistera à tracer graphiquement une équation telle que : y = x – 3.

Dans ce cas, il faut construire une droite et trouver les points (0;−3) et (3;0).

3. Voyons ce que nous avons. On voit que la droite coupe le cercle en deux de ses points A et B.

Nous recherchons maintenant les coordonnées de ces points. On voit que les coordonnées (3;0) correspondent au point A, et les coordonnées (0;−3) correspondent au point B.

Et qu’obtient-on en conséquence ?

Les nombres (3;0) et (0;−3) obtenus lorsque la droite coupe le cercle sont précisément les solutions des deux équations du système. Et il s'ensuit que ces nombres sont aussi des solutions à ce système d'équations.

Autrement dit, la réponse à cette solution est constituée des nombres : (3;0) et (0;−3).