Détermination du sinus, du cosinus de la tangente et de la cotangente d'un angle. Théorèmes des cosinus et des sinus. Triangle rectangle et trigonométrie

Lorsque des problèmes de résolution d'un triangle rectangle étaient envisagés, j'ai promis de présenter une technique pour mémoriser les définitions du sinus et du cosinus. En l'utilisant, vous vous souviendrez toujours rapidement quel côté appartient à l'hypoténuse (adjacent ou opposé). J'ai décidé de ne pas retarder trop longtemps, matériel requis ci-dessous, veuillez lire 😉

Le fait est que j'ai observé à plusieurs reprises à quel point les élèves de la 10e à la 11e année ont du mal à se souvenir de ces définitions. Ils se souviennent très bien que la jambe fait référence à l'hypoténuse, mais laquelle- ils oublient et confus. Le prix d’une erreur, comme on le sait lors d’un examen, est un point perdu.

Les informations que je présenterai directement n'ont rien à voir avec les mathématiques. Elle est liée à pensée imaginative, et avec des méthodes de communication verbale-logique. C'est exactement comme ça que je m'en souviens, une fois pour toutesdonnées de définition. Si vous les oubliez, vous pourrez toujours vous en souvenir facilement en utilisant les techniques présentées.

Permettez-moi de vous rappeler les définitions du sinus et du cosinus dans un triangle rectangle :

Cosinus angle aigu dans un triangle rectangle, c'est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :

Sinus L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :

Alors, quelles associations avez-vous avec le mot cosinus ?

Probablement chacun a le sien 😉Rappelez-vous le lien:

Ainsi, l'expression apparaîtra immédiatement dans votre mémoire -

«… rapport de la jambe ADJACENTE à l'hypoténuse».

Le problème de la détermination du cosinus a été résolu.

Si vous avez besoin de vous rappeler la définition du sinus dans un triangle rectangle, puis en vous souvenant de la définition du cosinus, vous pouvez facilement établir que le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse. Après tout, il n'y a que deux branches ; si la branche adjacente est « occupée » par le cosinus, alors seule la branche opposée reste avec le sinus.

Qu'en est-il de la tangente et de la cotangente ? La confusion est la même. Les étudiants savent qu'il s'agit d'une relation de jambes, mais le problème est de se rappeler laquelle fait référence à laquelle - soit l'opposé de l'adjacent, soit vice versa.

Définitions :

Tangente L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent :

Cotangente L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé :

Comment se souvenir ? Il y a deux manières. L’un utilise également une connexion verbale-logique, l’autre une connexion mathématique.

MÉTHODE MATHÉMATIQUE

Il existe une telle définition - la tangente d'un angle aigu est le rapport du sinus de l'angle à son cosinus :

*Après avoir mémorisé la formule, vous pouvez toujours déterminer que la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent.

De même.La cotangente d'un angle aigu est le rapport du cosinus de l'angle à son sinus :

Donc! En vous souvenant de ces formules, vous pouvez toujours déterminer que :

- la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent

— la cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé.

MÉTHODE LOGIQUE PAR MOTS

À propos de la tangente. Rappelez-vous le lien:

Autrement dit, si vous avez besoin de vous souvenir de la définition de la tangente, en utilisant cette connexion logique, vous pouvez facilement vous rappeler de quoi il s'agit.

"... le rapport du côté opposé au côté adjacent"

Si nous parlons de cotangente, alors en vous rappelant la définition de la tangente, vous pouvez facilement exprimer la définition de la cotangente -

"... le rapport du côté adjacent au côté opposé"

Il existe une astuce intéressante pour mémoriser la tangente et la cotangente sur le site " Tandem mathématique " , regarder.

MÉTHODE UNIVERSELLE

Vous pouvez simplement le mémoriser.Mais comme le montre la pratique, grâce aux connexions verbales-logiques, une personne se souvient longtemps des informations, et pas seulement mathématiques.

J'espère que le matériel vous a été utile.

Cordialement, Alexandre Krutitskikh

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente d'un angle vous aidera à comprendre un triangle rectangle.

Comment s’appellent les côtés d’un triangle rectangle ? C'est vrai, l'hypoténuse et les jambes : l'hypoténuse est le côté opposé angle droit(dans notre exemple c'est le côté \(AC\) ); les jambes sont les deux côtés restants \(AB\) et \(BC\) (ceux adjacents à l'angle droit), et si l'on considère les jambes par rapport à l'angle \(BC\), alors la jambe \(AB\) est la jambe adjacente, et la jambe \(BC\) est opposée. Alors maintenant, répondons à la question : que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ?

Sinus d'angle– c'est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.

Dans notre triangle :

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus de l'angle– c’est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l’hypoténuse.

Dans notre triangle :

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangente de l'angle– c’est le rapport entre le côté opposé (distant) et le côté adjacent (proche).

Dans notre triangle :

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangente d'angle– c'est le rapport entre la jambe adjacente (proche) et la jambe opposée (lointaine).

Dans notre triangle :

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ces définitions sont nécessaires souviens-toi! Pour qu'il soit plus facile de se rappeler quelle jambe diviser en quoi, vous devez clairement comprendre que dans tangente Et cotangente seules les jambes sont assises et l'hypoténuse n'apparaît que dans sinus Et cosinus. Et puis vous pouvez créer une chaîne d’associations. Par exemple, celui-ci :

Cosinus → toucher → toucher → adjacent ;

Cotangente → toucher → toucher → adjacent.

Tout d'abord, vous devez vous rappeler que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, comme les rapports des côtés d'un triangle, ne dépendent pas des longueurs de ces côtés (au même angle). Ne crois pas? Assurez-vous ensuite en regardant la photo :

Considérons, par exemple, le cosinus de l'angle \(\beta \) . Par définition, à partir d'un triangle \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), mais on peut calculer le cosinus de l'angle \(\beta \) à partir du triangle \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vous voyez, les longueurs des côtés sont différentes, mais la valeur du cosinus d'un angle est la même. Ainsi, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente dépendent uniquement de la grandeur de l'angle.

Si vous comprenez les définitions, alors allez-y et consolidez-les !

Pour le triangle \(ABC \) représenté dans la figure ci-dessous, on trouve \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Eh bien, tu l'as eu ? Alors essayez-le vous-même : calculez la même chose pour l'angle \(\beta \) .

Réponses: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Cercle unitaire (trigonométrique)

Comprenant les notions de degrés et de radians, nous avons considéré un cercle de rayon égal à \(1\) . Un tel cercle s'appelle célibataire. Ce sera très utile lors de l’étude de la trigonométrie. Par conséquent, regardons-le un peu plus en détail.

Comme vous pouvez le voir, ce cercle est construit dans le système de coordonnées cartésiennes. Rayon du cercle égal à un, alors que le centre du cercle se trouve à l'origine, la position initiale du rayon vecteur est fixe le long de la direction positive de l'axe \(x\) (dans notre exemple, il s'agit du rayon \(AB\)).

Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée le long de l'axe \(x\) et la coordonnée le long de l'axe \(y\). Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et de manière générale, qu’ont-ils à voir avec le sujet abordé ? Pour ce faire, nous devons nous souvenir du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérons le triangle \(ACG\) . Il est rectangulaire car \(CG\) est perpendiculaire à l'axe \(x\).

Qu'est-ce que \(\cos \ \alpha \) du triangle \(ACG \) ? C'est exact \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). De plus, on sait que \(AC\) est le rayon cercle unitaire, ce qui signifie \(AC=1\) . Remplaçons cette valeur dans notre formule du cosinus. Voici ce qui se passe :

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

À quoi est égal \(\sin \ \alpha \) du triangle \(ACG \) ? Oui bien sur, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Remplacez la valeur du rayon \(AC\) dans cette formule et obtenez :

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Alors, pouvez-vous dire quelles sont les coordonnées du point \(C\) appartenant au cercle ? Eh bien, pas question ? Et si vous réalisiez que \(\cos \ \alpha \) et \(\sin \alpha \) ne sont que des nombres ? À quelle coordonnée correspond \(\cos \alpha \) ? Eh bien, bien sûr, la coordonnée \(x\) ! Et à quelle coordonnée correspond \(\sin \alpha \) ? C'est vrai, coordonnez \(y\) ! Donc le point \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

À quoi sont alors égaux \(tg \alpha \) et \(ctg \alpha \) ? C'est vrai, utilisons les définitions correspondantes de tangente et de cotangente et obtenons cela \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), UN \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Et si l'angle est plus grand ? Par exemple, comme sur cette photo :

Qu'est-ce qui a changé dans cet exemple ? Voyons cela. Pour ce faire, revenons à un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : angle (comme adjacent à l'angle \(\beta \) ). Quelle est la valeur du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour un angle \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Eh bien, comme vous pouvez le constater, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée \(y\) ; la valeur du cosinus de l'angle - coordonnée \(x\) ; et les valeurs de tangente et de cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations s’appliquent à toute rotation du rayon vecteur.

Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur se situe dans la direction positive de l’axe \(x\). Jusqu’à présent, nous avons fait pivoter ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons pivoter dans le sens des aiguilles d’une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez aussi un angle d'une certaine valeur, mais seulement il sera négatif. Ainsi, en faisant tourner le rayon vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous obtenons angles positifs, et en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre – négatif.

Ainsi, nous savons que la révolution entière du rayon vecteur autour du cercle est \(360()^\circ \) ou \(2\pi \) . Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur de \(390()^\circ \) ou de \(-1140()^\circ \) ? Bien sûr que tu peux! Dans le premier cas, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), ainsi, le rayon vecteur fera un tour complet et s'arrêtera à la position \(30()^\circ \) ou \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Dans le deuxième cas, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera à la position \(-60()^\circ \) ou \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent de \(360()^\circ \cdot m \) ou \(2\pi \cdot m \) (où \(m \) est n'importe quel nombre entier), correspondent à la même position du rayon vecteur.

La figure ci-dessous montre l'angle \(\beta =-60()^\circ \) . La même image correspond au coin \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits par la formule générale \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ou \(\beta +2\pi \cdot m \) (où \(m \) est n'importe quel nombre entier)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unité, essayez de répondre quelles sont les valeurs :

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Voici un cercle unitaire pour vous aider :

Vous rencontrez des difficultés ? Alors découvrons-le. Nous savons donc que :

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(tableau)\)

A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures d'angle. Bon, commençons dans l'ordre : le coin dans \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) correspond à un point de coordonnées \(\left(0;1 \right) \) , donc :

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- n'existe pas;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

De plus, en adhérant à la même logique, nous découvrons que les coins de \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) correspondent à des points avec des coordonnées \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \droite) \), respectivement. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.

Réponses:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- n'existe pas

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- n'existe pas

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- n'existe pas

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- n'existe pas

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :

Il n’est pas nécessaire de mémoriser toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Vous devez vous en souvenir ou pouvoir l'afficher !! \) !}

Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) indiqué dans le tableau ci-dessous, vous devez vous rappeler :

N'ayez pas peur, nous allons maintenant vous montrer un exemple de mémorisation assez simple des valeurs correspondantes :

Pour utiliser cette méthode, il est essentiel de se souvenir des valeurs sinusoïdales pour les trois mesures d'angle ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle en \(30()^\circ \) . Connaissant ces valeurs \(4\), il est assez simple de restituer l'intégralité du tableau - les valeurs du cosinus sont transférées conformément aux flèches, soit :

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(tableau) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs de \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Le numérateur "\(1 \)" correspondra à \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) et le dénominateur "\(\sqrt(\text(3)) \)" correspondra à \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec les flèches, il suffira alors de mémoriser uniquement les valeurs \(4\) du tableau.

Coordonnées d'un point sur un cercle

Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaissant les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation ? Bien sûr que tu peux! Sortons-le formule générale pour trouver les coordonnées d'un point. Par exemple, voici un cercle devant nous :

On nous donne ce point \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centre du cercle. Le rayon du cercle est \(1.5\) . Il faut trouver les coordonnées du point \(P\) obtenues en faisant pivoter le point \(O\) de \(\delta \) degrés.

Comme le montre la figure, la coordonnée \(x\) du point \(P\) correspond à la longueur du segment \(TP=UQ=UK+KQ\) . La longueur du segment \(UK\) correspond à la coordonnée \(x\) du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale à \(3\) . La longueur du segment \(KQ\) peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Alors on a que pour le point \(P\) la coordonnée \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

En utilisant la même logique, on trouve la valeur de la coordonnée y du point \(P\) . Ainsi,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Alors, dans vue générale les coordonnées des points sont déterminées par les formules :

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(tableau) \), Où

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordonnées du centre du cercle,

\(r\) - rayon du cercle,

\(\delta \) - angle de rotation du rayon vectoriel.

Comme vous pouvez le constater, pour le cercle unité que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, puisque les coordonnées du centre sont égales à zéro et le rayon est égal à un :

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Instructions

Si vous avez besoin de trouver le cosinus angle dans un triangle arbitraire, vous devez utiliser le théorème du cosinus :
si l'angle est aigu : cos ? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
si angle : cos ? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), où a, b sont les longueurs des côtés adjacents au coin, c est la longueur du côté opposé au coin.

Conseil utile

La notation mathématique du cosinus est cos.
La valeur du cosinus ne peut pas être supérieure à 1 et inférieure à -1.

Sources:

• comment calculer le cosinus d'un angle
• Fonctions trigonométriques sur le cercle unité

Cosinus- c'est basique fonction trigonométrique coin. La capacité de déterminer le cosinus est utile en algèbre vectorielle lors de la détermination des projections de vecteurs sur différents axes.

Instructions

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Il existe un triangle dont les côtés a, b, c sont respectivement égaux à 3, 4, 5 mm.

Trouver cosinus l'angle entre les plus grands côtés.

Notons l'angle opposé au côté a par ?, alors, d'après la formule dérivée ci-dessus, nous avons :

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Réponse : 0,8.

Si le triangle est rectangle, alors pour trouver cosinus et pour un angle, il suffit de connaître la longueur de deux côtés quelconques ( cosinus l'angle droit est 0).

Soit un triangle rectangle de côtés a, b, c, où c est l'hypoténuse.

Considérons toutes les options :

Trouver cos?, si les longueurs des côtés a et b (du triangle) sont connues

Utilisons également le théorème de Pythagore :

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Pour nous assurer que la formule résultante est correcte, nous y substituons l'exemple 1, c'est-à-dire

Après avoir fait quelques calculs de base, on obtient :

De même trouvé cosinus dans un rectangle Triangle dans d'autres cas:

Connu a et c (hypoténuse et jambe opposée), trouver parce que ?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

En substituant les valeurs a=3 et c=5 de l'exemple, on obtient :

Connus b et c (hypoténuse et jambe adjacente).

Trouver cos?

Après avoir effectué des transformations similaires (montrées dans les exemples 2 et 3), on obtient que dans ce cas cosinus V Triangle calculé à l'aide d'une formule très simple :

La simplicité de la formule dérivée s'explique simplement : en fait, adjacent au coin ? la jambe est une projection de l'hypoténuse, sa longueur est égale à la longueur de l'hypoténuse multipliée par cos ?.

En substituant les valeurs b=4 et c=5 du premier exemple, on obtient :

Cela signifie que toutes nos formules sont correctes.

Astuce 5 : Comment trouver un angle aigu dans un triangle rectangle

Directement carbonique le triangle est probablement l’une des figures géométriques les plus célèbres, d’un point de vue historique. Les « pantalons » pythagoriciens ne peuvent rivaliser qu’avec « Eurêka ! Archimède.

Tu auras besoin de

• - dessin d'un triangle ;
• - règle;
• - rapporteur

Instructions

La somme des angles d'un triangle est de 180 degrés. Dans un rectangle Triangle un angle (droit) sera toujours de 90 degrés et les autres seront aigus, c'est-à-dire moins de 90 degrés chacun. Pour déterminer quel angle fait un rectangle Triangle est droit, utilisez une règle pour mesurer les côtés du triangle et déterminer le plus grand. C'est l'hypoténuse (AB) et elle est située en face de l'angle droit (C). Les deux côtés restants forment un angle droit et des pattes (AC, BC).

Une fois que vous avez déterminé quel angle est aigu, vous pouvez soit utiliser un rapporteur pour calculer l'angle en utilisant formules mathématiques.

Pour déterminer l'angle à l'aide d'un rapporteur, alignez son sommet (notons-le par la lettre A) avec une marque spéciale sur la règle au centre du rapporteur ; la jambe AC ​​doit coïncider avec son bord supérieur. Marquer sur la partie semi-circulaire du rapporteur le point par lequel passe l'hypoténuse AB. La valeur à ce stade correspond à l'angle en degrés. S'il y a 2 valeurs indiquées sur le rapporteur, alors pour un angle aigu, vous devez choisir la plus petite, pour un angle obtus, la plus grande.

Recherchez la valeur résultante dans les ouvrages de référence Bradis et déterminez à quel angle correspond la valeur numérique résultante. Nos grands-mères utilisaient cette méthode.

Dans notre cas, il suffit de prendre avec la fonction de calcul formules trigonométriques. Par exemple, la calculatrice Windows intégrée. Lancez l'application "Calculatrice", dans la rubrique de menu "Affichage", sélectionnez "Ingénierie". Calculez le sinus de l'angle souhaité, par exemple, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Basculez la calculatrice sur fonctions inverses, en cliquant sur le bouton INV de l'écran de la calculatrice, puis cliquez sur le bouton de fonction arc sinus (indiqué sur l'écran par sin à la première puissance moins). Le message suivant apparaîtra dans la fenêtre de calcul : asind (0,5) = 30. C'est à dire. la valeur de l'angle souhaité est de 30 degrés.

Sources:

• Tables de Bradis (sinus, cosinus)

Le théorème du cosinus en mathématiques est le plus souvent utilisé lorsqu'il est nécessaire de trouver le troisième côté d'un angle et deux côtés. Cependant, parfois la condition du problème est inversée : vous devez trouver un angle avec trois côtés donnés.

Instructions

Imaginez que l'on vous donne un triangle dans lequel les longueurs de deux côtés et la valeur d'un angle sont connues. Tous les angles de ce triangle ne sont pas égaux et ses côtés sont également de tailles différentes. L'angle γ est opposé au côté du triangle, désigné AB, qui est cette figure. Par cet angle, ainsi que par les côtés restants AC et BC, vous pouvez trouver le côté inconnu du triangle à l'aide du théorème du cosinus, en dérivant la formule présentée ci-dessous :
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, où a=BC, b=AB, c=AC
Le théorème du cosinus est autrement appelé théorème de Pythagore généralisé.

Imaginez maintenant que les trois côtés de la figure soient donnés, mais que son angle γ soit inconnu. Sachant que la forme a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transformez cette expression pour que la valeur souhaitée devienne l'angle γ : b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Mettez ensuite l'équation ci-dessus sous une forme légèrement différente : b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Cette expression doit ensuite être convertie en celle ci-dessous : cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Il ne reste plus qu'à insérer des nombres dans la formule et à effectuer les calculs.

Pour trouver le cosinus, noté γ, il faut l’exprimer en termes de l’inverse de la trigonométrie, appelé arc cosinus. L'arc cosinus du nombre m est la valeur de l'angle γ pour laquelle le cosinus de l'angle γ est égal à m. La fonction y=arccos m est décroissante. Imaginons, par exemple, que le cosinus de l'angle γ soit égal à la moitié. Alors l’angle γ peut être défini par l’arc cosinus comme suit :
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, où m = 1/2.
De la même manière, vous pouvez trouver les angles restants du triangle avec ses deux autres côtés inconnus.

Le sinus et le cosinus sont deux fonctions trigonométriques dites « directes ». Ce sont eux qui doivent être calculés plus souvent que d’autres, et pour résoudre ce problème, chacun de nous dispose aujourd’hui d’un choix considérable d’options. Voici quelques-uns des plus des moyens simples.

Instructions

Utilisez un rapporteur, un crayon et une feuille de papier si aucun autre moyen de calcul n'est disponible. L'une des définitions du cosinus est donnée en termes d'angles aigus dans un triangle rectangle - il est égal au rapport entre la longueur de la jambe opposée à cet angle et la longueur. Dessinez un triangle dont l'un des angles est droit (90°) et l'autre est l'angle que vous souhaitez calculer. La longueur des côtés n'a pas d'importance - dessinez-les de la manière qui vous convient le mieux. Mesurez la longueur de la jambe et de l'hypoténuse souhaitées et divisez la première par la seconde de la manière qui vous convient.

Profitez de la valeur des fonctions trigonométriques à l'aide de la calculatrice intégrée à moteur de recherche Nigma, si vous avez accès à Internet. Par exemple, si vous devez calculer le cosinus d'un angle de 20°, alors en chargeant page d'accueil service http://nigma.ru, tapez « cosinus 20 » dans le champ de requête de recherche et cliquez sur le bouton « Rechercher ! ». Vous pouvez omettre « degrés » et remplacer le mot « cosinus » par cos - dans tous les cas, le moteur de recherche affichera le résultat avec une précision de 15 décimales (0,939692620785908).

Ouvrez le programme standard installé avec le système d'exploitation Système Windows, s'il n'y a pas d'accès à Internet. Vous pouvez le faire, par exemple, en appuyant simultanément sur les touches win et r, puis en entrant la commande calc et en cliquant sur le bouton OK. Pour calculer les fonctions trigonométriques, voici une interface appelée « ingénierie » ou « scientifique » (selon la version du système d'exploitation) - sélectionnez l'élément souhaité dans la section « Affichage » du menu de la calculatrice. Après cela, entrez la valeur de l'angle et cliquez sur le bouton cos dans l'interface du programme.

Vidéo sur le sujet

Astuce 8 : Comment déterminer les angles dans un triangle rectangle

Le rectangulaire se caractérise par certaines relations entre les coins et les côtés. Connaissant les valeurs de certains d'entre eux, vous pouvez en calculer d'autres. À cette fin, des formules sont utilisées, basées elles-mêmes sur les axiomes et les théorèmes de la géométrie.

Le cosinus est une fonction trigonométrique bien connue, qui est également l'une des fonctions principales de la trigonométrie. Le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent du triangle à l'hypoténuse du triangle. Le plus souvent, la définition du cosinus est associée à un triangle de type rectangulaire. Mais il arrive aussi que l'angle pour lequel il faut calculer le cosinus dans un triangle rectangle ne se situe pas dans ce triangle très rectangulaire. Que faire alors ? Comment trouver le cosinus d’un angle d’un triangle ?

Si vous devez calculer le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle, alors tout est très simple. Il vous suffit de vous rappeler la définition du cosinus, qui contient la solution à ce problème. Il suffit de trouver la même relation entre jambe adjacente, ainsi que l'hypoténuse du triangle. En effet, il n'est pas difficile d'exprimer ici le cosinus de l'angle. La formule est la suivante : - cosα = a/c, ici « a » est la longueur de la jambe, et le côté « c » est respectivement la longueur de l'hypoténuse. Par exemple, le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle peut être trouvé à l’aide de cette formule.

Si vous êtes intéressé par ce à quoi est égal le cosinus d'un angle dans un triangle arbitraire, alors le théorème du cosinus vient à la rescousse, qui vaut la peine d'être utilisé dans de tels cas. Le théorème du cosinus stipule que le carré du côté d'un triangle est a priori égal à la somme carrés des côtés restants du même triangle, mais sans doubler le produit de ces côtés par le cosinus de l'angle qui se trouve entre eux.

1. Si vous devez trouver le cosinus d'un angle aigu dans un triangle, vous devez alors utiliser la formule suivante : cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Si vous devez trouver le cosinus d'un angle obtus dans un triangle, vous devez alors utiliser la formule suivante : cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Les désignations dans la formule - a et b - sont les longueurs des côtés adjacents à l'angle souhaité, c - est la longueur du côté opposé à l'angle souhaité.

Le cosinus d'un angle peut également être calculé à l'aide du théorème du sinus. Il stipule que tous les côtés d’un triangle sont proportionnels aux sinus des angles opposés. En utilisant le théorème des sinus, vous pouvez calculer les éléments restants d'un triangle, en ayant des informations uniquement sur deux côtés et un angle opposé à un côté, ou sur deux angles et un côté. Considérez cela avec un exemple. Conditions problématiques : a=1 ; b = 2 ; c=3. L'angle opposé au côté « A » est noté α, alors, d'après les formules, on a : cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Réponse 1.

Si le cosinus d'un angle doit être calculé non pas dans un triangle, mais dans un autre arbitraire figure géométrique, alors les choses se compliquent un peu. La valeur de l'angle doit d'abord être déterminée en radians ou en degrés, et ensuite seulement, le cosinus doit être calculé à partir de cette valeur. Le cosinus par valeur numérique est déterminé à l'aide de tables de Bradis, de calculatrices techniques ou d'applications mathématiques spéciales.

Des applications mathématiques spéciales peuvent avoir des fonctions telles que le calcul automatique des cosinus des angles dans une figure particulière. La beauté de telles applications est qu’elles donnent la bonne réponse et que l’utilisateur ne perd pas son temps à résoudre des problèmes parfois assez complexes. D'un autre côté, avec l'utilisation constante exclusivement d'applications pour résoudre des problèmes, toutes les compétences nécessaires pour résoudre des problèmes mathématiques visant à trouver les cosinus des angles dans les triangles, ainsi que d'autres figures arbitraires, sont perdues.

Je pense que tu mérites plus que ça. Voici ma clé de la trigonométrie :

• Dessinez le dôme, le mur et le plafond
• Les fonctions trigonométriques ne sont rien de plus que pourcentage ces trois formes.

Métaphore du sinus et du cosinus : dôme

Au lieu de simplement regarder les triangles eux-mêmes, imaginez-les en action en trouvant un exemple concret et spécifique.

Imaginez que vous êtes au milieu d'un dôme et que vous souhaitez accrocher un écran de projection de cinéma. Vous pointez votre doigt vers le dôme selon un certain angle « x », et l'écran doit être suspendu à partir de ce point.

L'angle que vous pointez détermine :

• sine(x) = sin(x) = hauteur de l'écran (du sol au point de montage du dôme)
• cosinus(x) = cos(x) = distance entre vous et l'écran (par étage)
• hypoténuse, la distance entre vous et le haut de l'écran, toujours la même, égale au rayon du dôme

Voulez-vous que l’écran soit le plus grand possible ? Accrochez-le directement au-dessus de vous.

Voulez-vous que l’écran soit suspendu le plus loin possible de vous ? Accrochez-le perpendiculairement. L'écran aura une hauteur nulle dans cette position et sera suspendu le plus loin possible, comme vous l'avez demandé.

La hauteur et la distance par rapport à l'écran sont inversement proportionnelles : plus l'écran est proche, plus sa hauteur est grande.

Le sinus et le cosinus sont des pourcentages

Personne pendant mes années d'études ne m'a hélas expliqué que les fonctions trigonométriques sinus et cosinus ne sont que des pourcentages. Leurs valeurs vont de +100% à 0 à -100%, ou d'un maximum positif à zéro jusqu'à un maximum négatif.

Disons que j'ai payé une taxe de 14 roubles. Vous ne savez pas combien c'est. Mais si vous dites que j’ai payé 95 % d’impôts, vous comprendrez que j’ai simplement été escroqué.

La hauteur absolue ne veut rien dire. Mais si la valeur sinusoïdale est de 0,95, alors je comprends que le téléviseur est suspendu presque au sommet de votre dôme. Très bientôt, il atteindra hauteur maximale au centre du dôme, puis recommence à décliner.

Comment peut-on calculer ce pourcentage ? C'est très simple : divisez la hauteur actuelle de l'écran par le maximum possible (le rayon du dôme, aussi appelé hypoténuse).

C'est pourquoi on nous dit que « cosinus = côté opposé / hypoténuse ». Le tout est de susciter l'intérêt ! Il est préférable de définir le sinus comme « le pourcentage de la hauteur actuelle par rapport au maximum possible ». (Le sinus devient négatif si votre angle pointe « sous terre ». Le cosinus devient négatif si l’angle pointe vers le point du dôme derrière vous.)

Simplifions les calculs en supposant que nous sommes au centre du cercle unité (rayon = 1). Nous pouvons sauter la division et prendre simplement le sinus égal à la hauteur.

Chaque cercle est essentiellement un cercle unique, agrandi ou réduit à la taille souhaitée. Déterminez donc les connexions du cercle unitaire et appliquez les résultats à la taille spécifique de votre cercle.

Expérience : prenez n'importe quel coin et voyez quel pourcentage de hauteur par rapport à la largeur il affiche :

Le graphique de la croissance de la valeur sinusoïdale n’est pas simplement une ligne droite. Les 45 premiers degrés couvrent 70 % de la hauteur, mais les 10 derniers degrés (de 80° à 90°) n'en couvrent que 2 %.

Cela vous permettra d'y voir plus clair : si vous marchez en cercle, à 0° vous montez presque verticalement, mais à mesure que vous vous approchez du sommet du dôme, la hauteur change de moins en moins.

Tangente et sécante. Mur

Un jour, un voisin a construit un mur juste à côté l'un de l'autreà votre dôme. J'ai pleuré ta vue depuis la fenêtre et bon prixà la revente !

Mais est-il possible de gagner d’une manière ou d’une autre dans cette situation ?

Bien sûr que oui. Et si nous accrochions un écran de cinéma directement sur le mur de notre voisin ? Vous ciblez l'angle (x) et obtenez :

• tan(x) = tan(x) = hauteur de l'écran sur le mur
• distance de vous au mur : 1 (c'est le rayon de votre dôme, le mur ne bouge pas de vous, n'est-ce pas ?)
• sécant(x) = sec(x) = « longueur de l'échelle » depuis vous debout au centre du dôme jusqu'au sommet de l'écran suspendu

Clarifions quelques points concernant la tangente ou la hauteur de l'écran.

• il commence à 0 et peut aller infiniment haut. Vous pouvez étendre l'écran de plus en plus haut sur le mur pour créer une toile infinie pour regarder votre film préféré ! (Pour un projet aussi énorme, bien sûr, vous devrez dépenser beaucoup d'argent).
• la tangente n'est qu'une version plus grande du sinus ! Et tandis que l’augmentation du sinus ralentit à mesure que vous vous dirigez vers le sommet du dôme, la tangente continue de croître !

Sekansu a aussi de quoi se vanter :

• La sécante commence à 1 (l'échelle est au sol, de vous au mur) et commence à monter à partir de là
• La sécante est toujours plus longue que la tangente. L'échelle inclinée que vous utilisez pour accrocher votre paravent doit être plus longue que l'écran lui-même, n'est-ce pas ? (Avec des tailles irréalistes, lorsque l'écran est tellement long et que l'échelle doit être placée presque verticalement, leurs tailles sont presque les mêmes. Mais même dans ce cas, la sécante sera un peu plus longue).

N'oubliez pas que les valeurs sont pour cent. Si vous décidez d'accrocher l'écran à un angle de 50 degrés, tan(50)=1,19. Votre écran est 19 % plus grand que la distance au mur (rayon du dôme).

(Entrez x=0 et vérifiez votre intuition - tan(0) = 0 et sec(0) = 1.)

Cotangente et cosécante. Plafond

Incroyablement, votre voisin a maintenant décidé de construire un toit au-dessus de votre dôme. (Qu'est-ce qui ne va pas chez lui ? Apparemment, il ne veut pas que vous l'espionniez pendant qu'il se promène nu dans la cour...)

Eh bien, il est temps de construire une sortie sur le toit et de parler à votre voisin. Vous choisissez l'angle d'inclinaison et commencez la construction :

• la distance verticale entre la sortie du toit et le sol est toujours de 1 (le rayon du dôme)
• cotangente(x) = cot(x) = distance entre le sommet du dôme et le point de sortie
• cosecant(x) = csc(x) = longueur de votre chemin jusqu'au toit

Tangente et sécante décrivent le mur, et COtangente et COsécante décrivent le plafond.

Nos conclusions intuitives sont cette fois similaires aux précédentes :

• Si vous prenez l'angle égal à 0°, votre sortie vers le toit sera éternelle, puisqu'elle n'atteindra jamais le plafond. Problème.
• L'« échelle » la plus courte jusqu'au toit sera obtenue si vous la construisez à un angle de 90 degrés par rapport au sol. La cotangente sera égale à 0 (on ne bouge pas du tout le long du toit, on sort strictement perpendiculairement), et la cosécante sera égale à 1 (« la longueur de l'échelle » sera minime).

Visualisez les connexions

Si les trois cas sont dessinés dans une combinaison dôme-mur-plafond, le résultat sera le suivant :

Eh bien, c’est toujours le même triangle, agrandi en taille pour atteindre le mur et le plafond. Nous avons des côtés verticaux (sinus, tangent), des côtés horizontaux (cosinus, cotangent) et des « hypoténuses » (sécante, cosécante). (Par les flèches, vous pouvez voir où atteint chaque élément. La cosécante est la distance totale entre vous et le toit).

Un peu de magie. Tous les triangles partagent les mêmes égalités :

À partir du théorème de Pythagore (a 2 + b 2 = c 2), nous voyons comment les côtés de chaque triangle sont connectés. De plus, les rapports « hauteur/largeur » doivent également être les mêmes pour tous les triangles. (Il suffit de passer du plus grand triangle au plus petit. Oui, la taille a changé, mais les proportions des côtés resteront les mêmes).

Sachant quel côté de chaque triangle est égal à 1 (le rayon du dôme), nous pouvons facilement calculer que « sin/cos = tan/1 ».

J'ai toujours essayé de me souvenir de ces faits grâce à une simple visualisation. Sur l'image, vous voyez clairement ces dépendances et comprenez d'où elles viennent. Cette technique est bien meilleure que la mémorisation de formules sèches.

N'oubliez pas les autres angles

Psst... Ne restez pas coincé sur un graphique en pensant que la tangente est toujours inférieure à 1. Si vous augmentez l'angle, vous pouvez atteindre le plafond sans atteindre le mur :

Les connexions pythagoriciennes fonctionnent toujours, mais les tailles relatives peuvent varier.

(Vous avez peut-être remarqué que les rapports sinus et cosinus sont toujours les plus petits car ils sont contenus dans le dôme).

Pour résumer : que faut-il retenir ?

Pour la plupart d’entre nous, je dirais que ceci suffira :

• la trigonométrie explique l'anatomie des objets mathématiques tels que les cercles et les intervalles répétitifs
• L'analogie dôme/mur/toit montre la relation entre différentes fonctions trigonométriques
• Les fonctions trigonométriques donnent des pourcentages que nous appliquons à notre scénario.

Vous n'avez pas besoin de mémoriser des formules comme 1 2 + cot 2 = csc 2 . Ils ne conviennent que pour des tests stupides dans lesquels la connaissance d'un fait est présentée comme une compréhension de celui-ci. Prenez une minute pour dessiner un demi-cercle en forme de dôme, de mur et de toit, étiquetez les éléments et toutes les formules vous parviendront sur papier.

Application : Fonctions inverses

Toute fonction trigonométrique prend un angle comme paramètre d'entrée et renvoie le résultat sous forme de pourcentage. péché(30) = 0,5. Cela signifie qu'un angle de 30 degrés occupe 50 % de la hauteur maximale.

La fonction trigonométrique inverse s'écrit sin -1 ou arcsin. Asin est également souvent écrit dans divers langages de programmation.

Si notre hauteur représente 25 % de la hauteur du dôme, quel est notre angle ?

Dans notre tableau des proportions vous pouvez trouver un rapport où la sécante est divisée par 1. Par exemple, la sécante par 1 (hypoténuse à l'horizontale) sera égale à 1 divisé par le cosinus :

Disons que notre sécante vaut 3,5, c'est-à-dire 350 % du rayon d'un cercle unité. A quel angle d'inclinaison par rapport au mur correspond cette valeur ?

Annexe : Quelques exemples

Une tâche ennuyeuse. Compliquons le banal « trouver le sinus » en « Quelle est la hauteur en pourcentage du maximum (hypoténuse) ?

Tout d’abord, remarquez que le triangle pivote. Il n'y a rien de mal à cela. Le triangle a aussi une hauteur, elle est indiquée en vert sur la figure.

A quoi est égale l'hypoténuse ? D'après le théorème de Pythagore, on sait que :

3 2 + 4 2 = hypoténuse 2 25 = hypoténuse 2 5 = hypoténuse

Bien! Le sinus est le pourcentage de la hauteur du côté le plus long du triangle, ou hypoténuse. Dans notre exemple, le sinus est de 3/5 ou 0,60.

Bien sûr, nous pouvons procéder de plusieurs manières. Maintenant que nous savons que le sinus est de 0,60, nous pouvons simplement trouver l'arc sinus :

Asin(0,6)=36,9

Voici une autre approche. Notez que le triangle est « face au mur », nous pouvons donc utiliser la tangente au lieu du sinus. La hauteur est de 3, la distance au mur est de 4, donc la tangente est de ¾ ou 75 %. Nous pouvons utiliser l'arctangente pour passer d'une valeur en pourcentage à un angle :

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Exemple : Allez-vous nager jusqu'au rivage ?

Vous êtes dans un bateau et vous avez suffisamment de carburant pour parcourir 2 km. Vous êtes désormais à 0,25 km de la côte. À quel angle maximum par rapport au rivage pouvez-vous nager jusqu'à celui-ci pour avoir suffisamment de carburant ? Ajout à l'énoncé du problème : nous n'avons qu'un tableau de valeurs d'arc cosinus.

Ce que nous avons? littoral peut être représenté comme un « mur » dans notre fameux triangle, et la « longueur d'une échelle » fixée au mur est la distance maximale possible à parcourir en bateau jusqu'au rivage (2 km). Une sécante apparaît.

Tout d’abord, vous devez passer aux pourcentages. Nous avons 2 / 0,25 = 8, c'est-à-dire que nous pouvons nager une distance équivalant à 8 fois la distance en ligne droite jusqu'au rivage (ou jusqu'au mur).

La question se pose : « Qu’est-ce que la sécante de 8 ? Mais nous ne pouvons pas y répondre, puisque nous n’avons que des arcs cosinus.

Nous utilisons nos dépendances dérivées précédemment pour relier la sécante au cosinus : « sec/1 = 1/cos »

La sécante de 8 est égale au cosinus de ⅛. Un angle dont le cosinus est ⅛ est égal à acos(1/8) = 82,8. Et c'est l'angle le plus grand que nous puissions nous permettre sur un bateau avec la quantité de carburant spécifiée.

Pas mal, non ? Sans l’analogie dôme-mur-plafond, je me serais perdu dans un tas de formules et de calculs. Visualiser le problème simplifie grandement la recherche d'une solution, et il est également intéressant de voir quelle fonction trigonométrique sera finalement utile.

Pour chaque problème, pensez comme ceci : suis-je intéressé par le dôme (sin/cos), le mur (tan/sec) ou le plafond (cot/csc) ?

Et la trigonométrie deviendra bien plus agréable. Des calculs faciles pour vous !