Le logarithme de l'unité à n'importe quelle base est égal. Unité logarithmique et zéro logarithmique. Définition de la fonction logarithme

Le logarithme d'un nombre N Par raison un est appelé exposant X , auquel vous devez élever un pour obtenir le numéro N

À condition que
,
,

Il résulte de la définition du logarithme que
, c'est à dire.
- cette égalité est l'identité logarithmique de base.

Les logarithmes en base 10 sont appelés logarithmes décimaux. À la place de
écrivez
.

logarithmes de base e sont dits naturels et notés
.

Propriétés de base des logarithmes.

Logarithme de l'unité dans n'importe quelle base zéro

Logarithme du produit est égal à la somme les logarithmes des facteurs.

3) Le logarithme du quotient est égal à la différence des logarithmes

Facteur
s'appelle le module de transition des logarithmes à la base un aux logarithmes à la base b .

En utilisant les propriétés 2 à 5, il est souvent possible de réduire le logarithme d'une expression complexe au résultat d'opérations arithmétiques simples sur les logarithmes.

Par example,

De telles transformations du logarithme sont appelées logarithmes. Les transformations réciproques des logarithmes sont appelées potentialisation.

Chapitre 2. Éléments de mathématiques supérieures.

1. Limites

limite de fonction
est un nombre fini A si, en cherchant xx 0 pour chaque prédéterminé
, il y a un nombre
que dès que
, alors
.

Une fonction qui a une limite en diffère d'une quantité infinitésimale :
, où - b.m.w., c'est-à-dire
.

Exemple. Considérez la fonction
.

En s'efforçant
, une fonction y va à zéro :

1.1. Théorèmes de base sur les limites.

La limite d'une valeur constante est égale à cette valeur constante

.

La limite de la somme (différence) d'un nombre fini de fonctions est égale à la somme (différence) des limites de ces fonctions.

La limite d'un produit d'un nombre fini de fonctions est égale au produit des limites de ces fonctions.

La borne du quotient de deux fonctions est égale au quotient des bornes de ces fonctions si la borne du dénominateur n'est pas égale à zéro.

Limites remarquables

,
, où

1.2. Exemples de calcul de limite

Cependant, toutes les limites ne sont pas calculées aussi facilement. Le plus souvent, le calcul de la limite se réduit à la divulgation de l'incertitude de type : ou alors .

.

2. Dérivée d'une fonction

Soit une fonction
, continue sur le segment
.

Argument j'ai eu un coup de pouce
. Ensuite, la fonction sera incrémentée
.

Valeur des arguments correspond à la valeur de la fonction
.

Valeur des arguments
correspond à la valeur de la fonction .

Ainsi, .

Trouvons la limite de cette relation à
. Si cette limite existe, alors on l'appelle la dérivée de la fonction donnée.

Définition de la dérivée 3 d'une fonction donnée
par argumentation est appelée la limite du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, lorsque l'incrément de l'argument tend arbitrairement vers zéro.

Fonction dérivée
peut être noté comme suit :

; ; ; .

Définition 4L'opération consistant à trouver la dérivée d'une fonction s'appelle différenciation.

2.1. La signification mécanique de la dérivée.

Considérez le mouvement rectiligne d'un corps rigide ou d'un point matériel.

Laissez à un moment donné point mobile
était à distance depuis la position de départ
.

Après un certain temps
elle s'est éloignée
. Attitude =- vitesse moyenne point matériel
. Trouvons la limite de ce rapport, en tenant compte du fait que
.

Par conséquent, la détermination de la vitesse instantanée d'un point matériel se réduit à trouver la dérivée de la trajectoire par rapport au temps.

2.2. valeur géométrique dérivé

Supposons que nous ayons une fonction définie graphiquement
.

Riz. 1. La signification géométrique de la dérivée

Si un
, alors le point
, se déplacera le long de la courbe, se rapprochant du point
.

Ainsi
, c'est à dire. la valeur de la dérivée compte tenu de la valeur de l'argument est numériquement égal à la tangente de l'angle formé par la tangente en un point donné avec la direction positive de l'axe
.

2.3. Tableau des formules de différenciation de base.

Fonction de puissance

Fonction exponentielle

fonction logarithmique

fonction trigonométrique

Fonction trigonométrique inverse

2.4. Règles de différenciation.

Dérivé de

Dérivée de la somme (différence) des fonctions

Dérivée du produit de deux fonctions

La dérivée du quotient de deux fonctions

2.5. Dérivé de fonction complexe.

Laissez la fonction
telle qu'elle peut être représentée comme

et
, où la variable est un argument intermédiaire, alors

La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de la fonction donnée par rapport à l'argument intermédiaire par la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à x.

Exemple 1.

Exemple2.

3. Différentiel de fonction.

Qu'il y ait
, différentiable sur un certain intervalle
Laisser aller à cette fonction admet une dérivée

,

alors tu peux écrire

(1),

où - une quantité infinitésimale,

parce qu'à

En multipliant tous les termes d'égalité (1) par
on a:

Où
- b.m.v. ordre supérieur.

Valeur
s'appelle la différentielle de la fonction
et noté

.

3.1. La valeur géométrique du différentiel.

Laissez la fonction
.

Fig.2. La signification géométrique de la différentielle.

.

Évidemment, la différentielle de la fonction
est égal à l'incrément de l'ordonnée de la tangente au point donné.

3.2. Dérivés et différentiels de divers ordres.

S'il y a
, alors
est appelée la dérivée première.

La dérivée de la dérivée première est appelée dérivée du second ordre et s'écrit
.

Dérivée du nième ordre de la fonction
s'appelle la dérivée de l'ordre (n-1) et s'écrit :

.

La différentielle de la différentielle d'une fonction est appelée différentielle du second ordre ou différentielle du second ordre.

.

.

3.3 Résoudre des problèmes biologiques par différenciation.

Tache 1. Des études ont montré que la croissance d'une colonie de micro-organismes obéit à la loi
, où N – nombre de micro-organismes (en milliers), t – temps (jours).

b) La population de la colonie augmentera-t-elle ou diminuera-t-elle durant cette période ?

Répondre. La colonie va grossir.

Tâche 2. L'eau du lac est périodiquement testée pour contrôler la teneur en bactéries pathogènes. Par t jours après le test, la concentration de bactéries est déterminée par le rapport

.

Quand arrivera la concentration minimale de bactéries dans le lac et qu'il sera possible de s'y baigner ?

Solution Une fonction atteint max ou min lorsque sa dérivée est nulle.

,

Déterminons que le maximum ou le minimum sera dans 6 jours. Pour ce faire, on prend la dérivée seconde.

Réponse : Après 6 jours, il y aura une concentration minimale de bactéries.

1.1. Détermination du degré d'un exposant entier

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N fois

1.2. Zéro degré.

Par définition, il est d'usage de supposer que la puissance nulle de tout nombre est égale à 1 :

1.3. degré négatif.

X-N = 1/XN

1.4. Exposant fractionnaire, racine.

X 1/N = racine N-ième de X.

Par exemple : X 1/2 = √X.

1.5. La formule pour additionner les puissances.

X (N+M) = X N * X M

1.6. Formule pour soustraire des degrés.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Formule de multiplication de puissance.

XN*M = (XN)M

1.8. La formule pour élever une fraction à une puissance.

(X/Y)N = XN /YN

2. Nombre e.

La valeur du nombre e est égale à la limite suivante :

E = lim(1+1/N), comme N → ∞.

Avec une précision de 17 chiffres, le nombre e vaut 2,71828182845904512.

3. L'égalité d'Euler.

Cette égalité relie cinq nombres qui jouent un rôle particulier en mathématiques : 0, 1, le nombre e, le nombre pi, l'unité imaginaire.

E(i*pi) + 1 = 0

4. Fonction exponentielle exp (x)

exp(x) = e x

5. Dérivée de la fonction exponentielle

Une fonction exponentielle a une propriété remarquable : la dérivée d'une fonction est égale à elle-même fonction exponentielle:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logarithme.

6.1. Définition de la fonction logarithme

Si x = b y , alors le logarithme est la fonction

Y = Logb(x).

Le logarithme montre dans quelle mesure il est nécessaire d'élever un nombre - la base du logarithme (b) pour obtenir un nombre donné (X). La fonction logarithme est définie pour X supérieur à zéro.

Par exemple : Log 10 (100) = 2.

6.2. Logarithme décimal

Voici le logarithme en base 10 :

Y = Journal 10 (x) .

Noté Log(x) : Log(x) = Log 10 (x).

Exemple d'utilisation logarithme décimal- décibel.

6.3. Décibel

L'élément est mis en surbrillance sur une page séparée Décibel

6.4. logarithme binaire

Voici le logarithme en base 2 :

Y = Log2(x).

Noté Lg(x) : Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. un algorithme naturel

C'est le logarithme en base e :

Y = log(x) .

Noté Ln(x) : Ln(x) = Log e (X)
Un algorithme naturel - fonction inverseà la fonction exponentielle exp(X).

6.6. points caractéristiques

Loga(1) = 0
Log a(a) = 1

6.7. La formule du logarithme du produit

Log a (x*y) = Log a (x)+ Log a (y)

6.8. La formule du logarithme du quotient

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. Formule de logarithme de puissance

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formule de conversion en logarithme avec une base différente

Log b (x) = (Log a (x)) / Log a (b)

Exemple:

Journal 2 (8) = Journal 10 (8) / Journal 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formules utiles dans la vie

Souvent, il y a des problèmes de conversion de volume en surface ou en longueur, et le problème inverse est de convertir la surface en volume. Par exemple, les planches sont vendues en cubes (mètres cubes), et nous devons calculer la surface de mur pouvant être gainée avec des planches contenues dans un certain volume, voir le calcul des planches, combien de planches sont dans un cube. Soit, les dimensions du mur étant connues, il faut calculer le nombre de briques, voir calcul des briques.

Il est permis d'utiliser les matériaux du site à condition qu'un lien actif vers la source soit défini.

Comme vous le savez, lors de la multiplication d'expressions avec des puissances, leurs exposants s'additionnent toujours (a b * a c = a b + c). Cette loi mathématique a été dérivée par Archimède, et plus tard, au 8ème siècle, le mathématicien Virasen a créé une table d'indicateurs entiers. Ce sont eux qui ont servi à la découverte ultérieure des logarithmes. Des exemples d'utilisation de cette fonction peuvent être trouvés presque partout où il est nécessaire de simplifier une multiplication fastidieuse en une simple addition. Si vous passez 10 minutes à lire cet article, nous vous expliquerons ce que sont les logarithmes et comment les utiliser. Langage simple et accessible.

Définition en mathématiques

Le logarithme est une expression de la forme suivante : log a b=c, c'est-à-dire que le logarithme de tout nombre non négatif (c'est-à-dire tout positif) "b" dans sa base "a" est considéré comme la puissance de "c" , à laquelle la base "a" doit être élevée, de sorte qu'à la fin, obtenez la valeur "b". Analysons le logarithme à l'aide d'exemples, disons qu'il existe une expression log 2 8. Comment trouver la réponse ? C'est très simple, vous devez trouver un degré tel que de 2 au degré requis vous obtenez 8. Après avoir fait quelques calculs dans votre tête, nous obtenons le chiffre 3 ! Et à juste titre, car 2 à la puissance 3 donne le chiffre 8 dans la réponse.

Variétés de logarithmes

Pour de nombreux élèves et étudiants, ce sujet semble compliqué et incompréhensible, mais en fait, les logarithmes ne sont pas si effrayants, l'essentiel est de comprendre leur sens général et de se souvenir de leurs propriétés et de certaines règles. Il ya trois certains types expressions logarithmiques :

1. Logarithme naturel en a, où la base est le nombre d'Euler (e = 2,7).
2. Décimal a, où la base est 10.
3. Le logarithme de tout nombre b en base a>1.

Chacun d'eux est résolu de manière standard, y compris la simplification, la réduction et la réduction ultérieure à un logarithme à l'aide de théorèmes logarithmiques. Pour obtenir les valeurs correctes des logarithmes, il faut se souvenir de leurs propriétés et de l'ordre des actions dans leurs décisions.

Règles et quelques restrictions

En mathématiques, il existe plusieurs règles-limitations qui sont acceptées comme un axiome, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas sujettes à discussion et sont vraies. Par exemple, vous ne pouvez pas diviser des nombres par zéro, et il est également impossible de prendre une racine paire à partir de nombres négatifs. Les logarithmes ont également leurs propres règles, suivant lesquelles vous pouvez facilement apprendre à travailler même avec des expressions logarithmiques longues et volumineuses :

• la base "a" doit toujours être supérieure à zéro et en même temps non égale à 1, sinon l'expression perdra son sens, car "1" et "0" à n'importe quel degré sont toujours égaux à leurs valeurs;
• si a > 0, alors a b > 0, il s'avère que "c" doit être supérieur à zéro.

Comment résoudre les logarithmes ?

Par exemple, étant donné la tâche de trouver la réponse à l'équation 10 x \u003d 100. C'est très simple, vous devez choisir une telle puissance en élevant le nombre dix auquel nous obtenons 100. Ceci, bien sûr, est 10 2 \u003d 100.

Représentons maintenant cette expression sous forme logarithmique. Nous obtenons log 10 100 = 2. Lors de la résolution de logarithmes, toutes les actions convergent pratiquement vers la recherche du degré auquel la base du logarithme doit être entrée pour obtenir un nombre donné.

Pour déterminer avec précision la valeur d'un degré inconnu, vous devez apprendre à travailler avec une table de degrés. Il ressemble à ceci :

Comme vous pouvez le voir, certains exposants peuvent être devinés intuitivement si vous avez un esprit technique et une connaissance de la table de multiplication. Cependant, pour grandes valeurs vous avez besoin d'une table des degrés. Il peut être utilisé même par ceux qui ne comprennent rien du tout à des sujets mathématiques complexes. La colonne de gauche contient des nombres (base a), la rangée supérieure de nombres est la valeur de la puissance c, à laquelle le nombre a est élevé. A l'intersection dans les cellules, les valeurs des nombres sont déterminées, qui sont la réponse (a c =b). Prenons, par exemple, la toute première cellule avec le nombre 10 et mettons-la au carré, nous obtenons la valeur 100, qui est indiquée à l'intersection de nos deux cellules. Tout est si simple et facile que même le plus vrai humaniste comprendra !

Équations et inégalités

Il s'avère que sous certaines conditions, l'exposant est le logarithme. Par conséquent, toute expression numérique mathématique peut être écrite sous la forme d'une équation logarithmique. Par exemple, 3 4 =81 peut être écrit comme le logarithme de 81 en base 3, qui est quatre (log 3 81 = 4). Pour les puissances négatives, les règles sont les mêmes : 2 -5 = 1/32 on écrit en logarithme, on obtient log 2 (1/32) = -5. L'une des sections les plus fascinantes des mathématiques est le sujet des "logarithmes". Nous examinerons des exemples et des solutions d'équations un peu plus bas, immédiatement après avoir étudié leurs propriétés. Voyons maintenant à quoi ressemblent les inégalités et comment les distinguer des équations.

Une expression de la forme suivante est donnée : log 2 (x-1) > 3 - c'est inégalité logarithmique, puisque la valeur inconnue "x" est sous le signe du logarithme. Et aussi dans l'expression deux quantités sont comparées : le logarithme du nombre désiré en base deux est supérieur au nombre trois.

La différence la plus importante entre les équations logarithmiques et les inégalités est que les équations avec logarithmes (par exemple, le logarithme de 2 x = √9) impliquent une ou plusieurs valeurs numériques spécifiques dans la réponse, tandis que lors de la résolution des inégalités sont définies comme une zone valeurs autorisées, et les points de discontinuité de cette fonction. En conséquence, la réponse n'est pas un simple ensemble de nombres individuels, comme dans la réponse de l'équation, mais une série continue ou un ensemble de nombres.

Théorèmes de base sur les logarithmes

Lors de la résolution de tâches primitives sur la recherche des valeurs du logarithme, ses propriétés peuvent ne pas être connues. Cependant, lorsqu'il s'agit d'équations ou d'inégalités logarithmiques, il est tout d'abord nécessaire de bien comprendre et d'appliquer en pratique toutes les propriétés de base des logarithmes. Nous nous familiariserons avec des exemples d'équations plus tard, analysons d'abord chaque propriété plus en détail.

1. L'identité de base ressemble à ceci : a logaB =B. Cela ne s'applique que si a est supérieur à 0, non égal à un, et B est supérieur à zéro.
2. Le logarithme du produit peut être représenté par la formule suivante : log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dans ce cas, le prérequis est : d, s 1 et s 2 > 0 ; a≠1. Vous pouvez donner une preuve de cette formule de logarithmes, avec des exemples et une solution. Soit log a s 1 = f 1 et log a s 2 = f 2 , puis a f1 = s 1 , a f2 = s 2. On obtient que s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriétés des degrés ), et plus loin par définition : log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ce qui devait être prouvé.
3. Le logarithme du quotient ressemble à ceci : log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Le théorème sous forme de formule prend la forme suivante : log a q b n = n/q log a b.

Cette formule est appelée "propriété du degré du logarithme". Elle ressemble aux propriétés des degrés ordinaires, et ce n'est pas surprenant, car toutes les mathématiques reposent sur des postulats réguliers. Regardons la preuve.

Soit log a b \u003d t, il s'avère a t \u003d b. Si vous élevez les deux parties à la puissance m : a tn = b n ;

mais puisque a tn = (a q) nt/q = b n , donc log a q b n = (n*t)/t, alors log a q b n = n/q log a b. Le théorème a été démontré.

Exemples de problèmes et d'inégalités

Les types les plus courants de problèmes de logarithme sont des exemples d'équations et d'inégalités. On les trouve dans presque tous les cahiers de problèmes et ils sont également inclus dans la partie obligatoire des examens de mathématiques. Pour entrer dans une université ou passer des tests d'entrée en mathématiques, vous devez savoir comment résoudre correctement ces tâches.

Malheureusement, il n'y a pas de plan ou de schéma unique pour résoudre et déterminer la valeur inconnue du logarithme, cependant, certaines règles peuvent être appliquées à chaque inégalité mathématique ou équation logarithmique. Tout d'abord, vous devez savoir si l'expression peut être simplifiée ou réduite à vue générale. Vous pouvez simplifier les longues expressions logarithmiques si vous utilisez correctement leurs propriétés. Apprenons à les connaître bientôt.

Au moment de décider équations logarithmiques, il est nécessaire de déterminer quel type de logarithme nous avons devant nous : un exemple d'expression peut contenir un logarithme naturel ou décimal.

Voici des exemples ln100, ln1026. Leur solution se résume au fait que vous devez déterminer dans quelle mesure la base 10 sera égale à 100 et 1026, respectivement. Pour les solutions logarithmes naturels il faut appliquer des identités logarithmiques ou leurs propriétés. Regardons des exemples de résolution de problèmes logarithmiques de différents types.

Comment utiliser les formules logarithmiques : avec des exemples et des solutions

Alors, regardons des exemples d'utilisation des principaux théorèmes sur les logarithmes.

1. La propriété du logarithme du produit peut être utilisée dans des tâches où il est nécessaire d'étendre grande importance nombres b en facteurs plus simples. Par exemple, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La réponse est 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - comme vous pouvez le voir, en appliquant la quatrième propriété du degré du logarithme, nous avons réussi à résoudre à première vue une expression complexe et insoluble. Il suffit de factoriser la base puis de retirer les valeurs des exposants du signe du logarithme.

Tâches de l'examen

Les logarithmes se retrouvent souvent dans les examens d'entrée, en particulier beaucoup de problèmes logarithmiques dans l'examen d'État unifié (examen d'État pour tous les diplômés de l'école). Habituellement, ces tâches sont présentes non seulement dans la partie A (la plus simple pièce d'essai examen), mais aussi dans la partie C (les tâches les plus difficiles et les plus volumineuses). L'examen implique une connaissance précise et parfaite du sujet "Logarithmes naturels".

Les exemples et les solutions aux problèmes sont tirés de sources officielles UTILISER les options. Voyons comment ces tâches sont résolues.

Soit log 2 (2x-1) = 4. Solution :
réécrivons l'expression en la simplifiant un peu log 2 (2x-1) = 2 2, par la définition du logarithme, on obtient que 2x-1 = 2 4, donc 2x = 17 ; x = 8,5.

• Tous les logarithmes sont mieux réduits à la même base afin que la solution ne soit pas lourde et déroutante.
• Toutes les expressions sous le signe du logarithme sont indiquées comme positives, par conséquent, lors de la suppression de l'exposant de l'exposant de l'expression, qui est sous le signe du logarithme et comme base, l'expression restant sous le logarithme doit être positive.

Aujourd'hui, nous allons parler de formules de logarithme et faire la démonstration exemples de solutions.

Par eux-mêmes, ils impliquent des modèles de solution selon les propriétés de base des logarithmes. Avant d'appliquer les formules de logarithme à la solution, nous rappelons pour vous, d'abord toutes les propriétés :

Maintenant, sur la base de ces formules (propriétés), nous montrons exemples de résolution de logarithmes.

Exemples de résolution de logarithmes basés sur des formules.

Logarithme un nombre positif b en base a (noté log a b) est l'exposant auquel a doit être élevé pour obtenir b, avec b > 0, a > 0 et 1.

Selon la définition log a b = x, qui équivaut à a x = b, donc log a a x = x.

Logarithmes, exemples:

log 2 8 = 3, car 2 3 = 8

log 7 49 = 2 car 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, car 5 -1 = 1/5

Logarithme décimal est un logarithme ordinaire dont la base est 10. Noté lg.

log 10 100 = 2 car 10 2 = 100

un algorithme naturel- également le logarithme logarithme habituel, mais avec la base e (e \u003d 2,71828 ... - un nombre irrationnel). Appelé ln.

Il est souhaitable de se souvenir des formules ou des propriétés des logarithmes, car nous en aurons besoin plus tard lors de la résolution de logarithmes, d'équations logarithmiques et d'inégalités. Reprenons chaque formule avec des exemples.

• Identité logarithmique de base
  un log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Le logarithme du quotient est égal à la différence des logarithmes
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Propriétés du degré d'un nombre logarithmable et de la base du logarithme

  L'exposant d'un nombre logarithmique log a b m = mlog a b

  Exposant de la base du logarithme log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  si m = n, on obtient log a n b n = log a b

  bûche 4 9 = bûche 2 2 3 2 = bûche 2 3

• Transition vers une nouvelle fondation
  log a b = log c b / log c a,

  si c = b, on obtient log b b = 1

  alors log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Comme vous pouvez le voir, les formules de logarithme ne sont pas aussi compliquées qu'elles le paraissent. Maintenant, après avoir examiné des exemples de résolution de logarithmes, nous pouvons passer aux équations logarithmiques. Nous examinerons plus en détail des exemples de résolution d'équations logarithmiques dans l'article: "". Ne manquez pas!

Si vous avez encore des questions sur la solution, écrivez-les dans les commentaires de l'article.

Remarque: a décidé de suivre une formation d'une autre classe d'études à l'étranger en option.

Les logarithmes, comme n'importe quel nombre, peuvent être additionnés, soustraits et convertis de toutes les manières possibles. Mais puisque les logarithmes ne sont pas des nombres tout à fait ordinaires, il y a des règles ici, qui s'appellent propriétés de base.

Ces règles doivent être connues - sans elles, pas un seul sérieux problème logarithmique. De plus, il y en a très peu - tout peut être appris en une journée. Alors, commençons.

Addition et soustraction de logarithmes

Considérons deux logarithmes de même base : log un X et journal un y. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

1. Journal un X+journal un y= journal un (X · y);
2. Journal un X−journal un y= journal un (X : y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est le logarithme du quotient. Noter: moment clé ici - mêmes motifs. Si les bases sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon "Qu'est-ce qu'un logarithme"). Jetez un oeil aux exemples et voyez:

bûche 6 4 + bûche 6 9.

Puisque les bases des logarithmes sont les mêmes, nous utilisons la formule de somme :
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 2 48 − log 2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
bûche 2 48 - bûche 2 3 = bûche 2 (48 : 3) = bûche 2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 3 135 − log 3 5.

Encore une fois, les bases sont les mêmes, nous avons donc :
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135 : 5) = log 3 27 = 3.

Comme vous pouvez le voir, les expressions originales sont constituées de "mauvais" logarithmes, qui ne sont pas considérés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux se révèlent. Sur la base de ce fait, de nombreux papiers de test. Oui, le contrôle - des expressions similaires en toute sincérité (parfois - avec pratiquement aucun changement) sont proposés à l'examen.

Suppression de l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et s'il y a un degré dans la base ou l'argument du logarithme ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être retiré du signe du logarithme selon les règles suivantes:

Il est facile de voir que dernière règle suit les deux premiers. Mais il vaut mieux s'en souvenir quand même - dans certains cas, cela réduira considérablement la quantité de calculs.

Bien sûr, toutes ces règles ont un sens si le logarithme ODZ est respecté : un > 0, un ≠ 1, X> 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa, c'est-à-dire vous pouvez entrer les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même. C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 7 49 6 .

Débarrassons-nous du degré dans l'argument selon la première formule :
bûche 7 49 6 = 6 bûche 7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression :

[Légende de la figure]

Notez que le dénominateur est un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 2 4 ; 49 = 72. Nous avons:

[Légende de la figure]

Je pense que le dernier exemple mérite d'être clarifié. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous ne travaillons qu'avec le dénominateur. Ils ont présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de degrés et ont sorti les indicateurs - ils ont obtenu une fraction «à trois étages».

Regardons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur ont le même nombre : log 2 7. Puisque log 2 7 ≠ 0, on peut réduire la fraction - 2/4 restera au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, les quatre peuvent être transférés au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat est la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

Parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les bases sont différentes ? Et si ce ne sont pas des puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle base viennent à la rescousse. Nous les formulons sous la forme d'un théorème :

Laissez le logarithme log un X. Alors pour n'importe quel nombre c tel que c> 0 et c≠ 1, l'égalité est vraie :

[Légende de la figure]

En particulier, si l'on pose c = X, on a:

[Légende de la figure]

Il résulte de la deuxième formule qu'il est possible d'intervertir la base et l'argument du logarithme, mais dans ce cas l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme est au dénominateur.

Ces formules sont rarement trouvées dans l'ordinaire expressions numériques. Il est possible d'évaluer à quel point ils sont pratiques uniquement lors de la résolution d'équations et d'inéquations logarithmiques.

Cependant, il y a des tâches qui ne peuvent être résolues qu'en passant à une nouvelle fondation. Considérons quelques-uns de ceux-ci :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 5 16 log 2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes sont des exposants exacts. Retirons les indicateurs : log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5 ;

Inversons maintenant le deuxième logarithme :

[Légende de la figure]

Puisque le produit ne change pas à partir de la permutation des facteurs, nous avons multiplié calmement quatre et deux, puis avons calculé les logarithmes.

Tâche. Trouver la valeur de l'expression : log 9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons-le et débarrassons-nous des indicateurs:

[Légende de la figure]

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

[Légende de la figure]

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme par rapport à une base donnée. Dans ce cas, les formules nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l'exposant de l'argument. Numéro n peut être absolument n'importe quoi, car c'est juste la valeur du logarithme.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est ce qu'on appelle l'identité logarithmique de base.

En effet, que se passera-t-il si le nombre b monter au pouvoir pour que b dans cette mesure donne un nombre un? C'est vrai : c'est le même numéro un. Relisez attentivement ce paragraphe - beaucoup de gens "s'y accrochent".

Comme les nouvelles formules de conversion de base, l'identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression :

[Légende de la figure]

Notez que log 25 64 = log 5 8 - vient de retirer le carré de la base et l'argument du logarithme. Etant donné les règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

[Légende de la figure]

Si quelqu'un n'est pas au courant, c'était une vraie tâche de l'examen :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qu'il est difficile d'appeler des propriétés - ce sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils se retrouvent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants "avancés".

1. Journal un un= 1 est l'unité logarithmique. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n'importe quelle base un de cette base elle-même est égale à un.
2. Journal un 1 = 0 est zéro logarithmique. Base un peut être n'importe quoi, mais si l'argument est un, le logarithme est zéro ! car un 0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez la feuille de triche au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.