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Comment trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction. Fonctions extrêmes

Avec ce service, vous pouvez trouver le plus grand et plus petite valeur les fonctions une variable f(x) avec la conception de la solution dans Word. Si la fonction f(x,y) est donnée, il faut donc trouver l'extremum de la fonction de deux variables . Vous pouvez également trouver les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.

Règles de saisie des fonctions:

Une condition nécessaire pour un extremum d'une fonction d'une variable

L'équation f" 0 (x *) = 0 est condition nécessaire extremum d'une fonction d'une variable, c'est-à-dire au point x * la dérivée première de la fonction doit s'annuler. Il sélectionne les points fixes x c auxquels la fonction n'augmente ni ne diminue.

Une condition suffisante pour un extremum d'une fonction d'une variable

Soit f 0 (x) deux fois dérivable par rapport à x appartenant à l'ensemble D . Si au point x* la condition est remplie :

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Alors le point x * est le point du minimum local (global) de la fonction.

Si au point x* la condition est remplie :

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ce point x * est un maximum local (global).

Exemple 1. Trouver les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction : sur le segment .
La solution.

Le point critique est un x 1 = 2 (f'(x)=0). Ce point appartient au segment . (Le point x=0 n'est pas critique, puisque 0∉).
Nous calculons les valeurs de la fonction aux extrémités du segment et au point critique.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Réponse : f min = 5 / 2 pour x=2 ; f max =9 à x=1

Exemple #2. En utilisant des dérivées d'ordre supérieur, trouvez l'extremum de la fonction y=x-2sin(x) .
La solution.
Trouver la dérivée de la fonction : y’=1-2cos(x) . Trouvons les points critiques : 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. On trouve y''=2sin(x), calculer , donc x= π / 3 +2πk, k∈Z sont les points minimaux de la fonction ; , donc x=- π / 3 +2πk, k∈Z sont les points maximum de la fonction.

Exemple #3. Étudiez la fonction extremum au voisinage du point x=0.
La solution. Ici, il faut trouver les extrema de la fonction. Si l'extremum x=0 , alors découvrez son type (minimum ou maximum). Si parmi les points trouvés il n'y a pas x = 0, alors calculez la valeur de la fonction f(x=0).
Il est à noter que lorsque la dérivée de part et d'autre d'un point donné ne change pas de signe, les situations possibles ne sont pas épuisées même pour des fonctions différentiables : il peut arriver que pour un voisinage arbitrairement petit d'un côté du point x 0 ou des deux côtés, la dérivée change de signe. À ces points, il faut appliquer d'autres méthodes pour étudier les fonctions à un extrême.

Comment trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction sur un segment ?

Pour ça nous suivons l'algorithme bien connu:

1 . Nous trouvons fonctions odz.

2 . Trouver la dérivée d'une fonction

3 . Égaliser la dérivée à zéro

4 . Nous trouvons les intervalles sur lesquels la dérivée conserve son signe, et à partir d'eux nous déterminons les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction :

Si sur l'intervalle I la dérivée de la fonction 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} augmente sur cet intervalle.

Si sur l'intervalle I la dérivée de la fonction , alors la fonction diminue sur cet intervalle.

5 . Nous trouvons points maximum et minimum de la fonction.

À le point maximum de la fonction, la dérivée change de signe de "+" à "-".

À point minimum de la fonctionla dérivée change de signe de "-" à "+".

6 . On trouve la valeur de la fonction aux extrémités du segment,

puis on compare la valeur de la fonction aux extrémités du segment et aux points maximaux, et choisissez la plus grande d'entre elles si vous avez besoin de trouver la plus grande valeur de la fonction
soit on compare la valeur de la fonction aux extrémités du segment et aux points minimaux, et choisissez la plus petite d'entre elles si vous avez besoin de trouver la plus petite valeur de la fonction

Cependant, selon le comportement de la fonction sur l'intervalle, cet algorithme peut être considérablement réduit.

Considérez la fonction . Le graphique de cette fonction ressemble à ceci :

Considérons plusieurs exemples de résolution de problèmes de l'Open Task Bank pour

une . Tâche B15 (#26695)

Sur la coupe.

1. La fonction est définie pour toutes les valeurs réelles de x

Évidemment, cette équation n'a pas de solutions, et la dérivée est positive pour toutes les valeurs de x. Par conséquent, la fonction augmente et prend la plus grande valeur à l'extrémité droite de l'intervalle, c'est-à-dire à x=0.

Réponse : 5.

2 . Tâche B15 (n° 26702)

Trouver la plus grande valeur d'une fonction sur la tranche.

Fonction 1.ODZ title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

La dérivée est nulle en , cependant, en ces points, elle ne change pas de signe :

Par conséquent, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} augmente et prend la plus grande valeur à l'extrémité droite de l'intervalle, à .

Pour bien comprendre pourquoi la dérivée ne change pas de signe, nous transformons l'expression de la dérivée comme suit :

Titre="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Réponse : 5.

3 . Tâche B15 (#26708)

Trouver la plus petite valeur de la fonction sur l'intervalle .

1. Fonctions ODZ : title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Plaçons les racines de cette équation sur un cercle trigonométrique.

L'intervalle contient deux nombres : et

Mettons les signes. Pour cela, on détermine le signe de la dérivée au point x=0 : . En passant par les points et la dérivée change de signe.

Représentons le changement de signe de la dérivée de la fonction sur la ligne de coordonnées :

Évidemment, le point est un point minimum (où la dérivée change de signe de "-" à "+"), et pour trouver la plus petite valeur de la fonction sur le segment, vous devez comparer les valeurs de la fonction au point minimum et à l'extrémité gauche du segment, .

D'un point de vue pratique, le plus intéressant est l'utilisation de la dérivée pour trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction. A quoi est-ce lié ? Maximiser les profits, minimiser les coûts, déterminer la charge optimale des équipements... Autrement dit, dans de nombreux domaines de la vie, il faut résoudre le problème de l'optimisation de certains paramètres. Et c'est le problème de trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction.

Il convient de noter que la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction est généralement recherchée sur un intervalle X , qui est soit le domaine entier de la fonction, soit une partie du domaine. L'intervalle X lui-même peut être un segment de ligne, un intervalle ouvert , un intervalle infini.

Dans cet article, nous parlerons de la recherche explicite des valeurs les plus grandes et les plus petites. fonction donnée une variable y=f(x) .

Navigation dans les pages.

La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction - définitions, illustrations.

Arrêtons-nous brièvement sur les principales définitions.

La plus grande valeur de la fonction , qui pour tout l'inégalité est vraie.

La plus petite valeur de la fonction y=f(x) sur l'intervalle X est appelé une telle valeur , qui pour tout l'inégalité est vraie.

Ces définitions sont intuitives : la plus grande (la plus petite) valeur d'une fonction est la plus grande (la plus petite) valeur acceptée dans l'intervalle considéré avec l'abscisse.

Points fixes sont les valeurs de l'argument auxquelles la dérivée de la fonction s'annule.

Pourquoi avons-nous besoin de points fixes pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites ? La réponse à cette question est donnée par le théorème de Fermat. Il découle de ce théorème que si une fonction différentiable a un extremum (minimum local ou maximum local) en un point, alors ce point est stationnaire. Ainsi, la fonction prend souvent sa valeur maximale (la plus petite) sur l'intervalle X à l'un des points stationnaires de cet intervalle.

De plus, une fonction peut souvent prendre les valeurs les plus grandes et les plus petites aux points où la dérivée première de cette fonction n'existe pas et la fonction elle-même est définie.

Répondons tout de suite à l'une des questions les plus courantes sur ce sujet : "Est-il toujours possible de déterminer la plus grande (la plus petite) valeur d'une fonction" ? Non pas toujours. Parfois, les limites de l'intervalle X coïncident avec les limites du domaine de la fonction, ou l'intervalle X est infini. Et certaines fonctions à l'infini et aux bornes du domaine de définition peuvent prendre à la fois des valeurs infiniment grandes et infiniment petites. Dans ces cas, rien ne peut être dit sur la plus grande et la plus petite valeur de la fonction.

Pour plus de clarté, nous donnons une illustration graphique. Regardez les images - et beaucoup de choses deviendront claires.

Sur le segment

Dans la première figure, la fonction prend les valeurs les plus grandes (max y ) et les plus petites (min y ) aux points fixes à l'intérieur du segment [-6;6] .

Considérons le cas représenté sur la deuxième figure. Remplacez le segment par . Dans cet exemple, la plus petite valeur de la fonction est obtenue en un point stationnaire et la plus grande - en un point dont l'abscisse correspond à la limite droite de l'intervalle.

Sur la figure n°3, les points frontières du segment [-3 ;2] sont les abscisses des points correspondant à la plus grande et à la plus petite valeur de la fonction.

En plein champ

Dans la quatrième figure, la fonction prend les valeurs les plus grandes (max y ) et les plus petites (min y ) aux points stationnaires dans l'intervalle ouvert (-6;6) .

Sur l'intervalle , aucune conclusion ne peut être tirée sur la plus grande valeur.

A l'infini

Dans l'exemple de la septième figure, la fonction prend la plus grande valeur (max y ) en un point stationnaire d'abscisse x=1 , et la plus petite valeur (min y ) est atteinte à la limite droite de l'intervalle. A moins l'infini, les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de y=3 .

Sur l'intervalle, la fonction n'atteint ni la plus petite ni la plus grande valeur. Comme x=2 tend vers la droite, les valeurs de la fonction tendent vers moins l'infini (la droite x=2 est une asymptote verticale), et comme l'abscisse tend vers plus l'infini, les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de y=3 . Une illustration graphique de cet exemple est présentée à la figure 8.

Algorithme permettant de trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction continue sur le segment.

Nous écrivons un algorithme qui nous permet de trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment.

Nous trouvons le domaine de la fonction et vérifions s'il contient le segment entier.
Nous trouvons tous les points où la dérivée première n'existe pas et qui sont contenus dans le segment (généralement de tels points se produisent dans les fonctions avec un argument sous le signe du module et dans fonctions de puissance avec un exposant rationnel fractionnaire). S'il n'y a pas de tels points, passez au point suivant.
Nous déterminons tous les points stationnaires qui tombent dans le segment. Pour ce faire, nous l'associons à zéro, résolvons l'équation résultante et choisissons les racines appropriées. S'il n'y a pas de points fixes ou si aucun d'entre eux ne tombe dans le segment, passez à l'étape suivante.
Nous calculons les valeurs de la fonction aux points stationnaires sélectionnés (le cas échéant), aux points où la dérivée première n'existe pas (le cas échéant), ainsi qu'à x=a et x=b .
Parmi les valeurs obtenues de la fonction, nous sélectionnons la plus grande et la plus petite - ce seront respectivement les valeurs maximales et les plus petites souhaitées de la fonction.

Analysons l'algorithme lors de la résolution d'un exemple pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment.

Exemple.

Trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction

sur le segment ;
sur l'intervalle [-4;-1] .

La solution.

Le domaine de la fonction est l'ensemble des nombres réels, à l'exception de zéro, c'est-à-dire . Les deux segments relèvent du domaine de la définition.

On trouve la dérivée de la fonction par rapport à :

Évidemment, la dérivée de la fonction existe en tout point des segments et [-4;-1] .

Les points stationnaires sont déterminés à partir de l'équation . La seule vraie racine est x=2 . Ce point stationnaire tombe dans le premier segment.

Pour le premier cas, on calcule les valeurs de la fonction aux extrémités du segment et en un point stationnaire, c'est-à-dire pour x=1 , x=2 et x=4 :

Par conséquent, la plus grande valeur de la fonction est atteint à x=1 , et la plus petite valeur – à x=2 .

Pour le second cas, on calcule les valeurs de la fonction uniquement aux extrémités du segment [-4;-1] (puisqu'il ne contient aucun point stationnaire) :

Le processus de recherche des valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction sur un segment rappelle un vol fascinant autour d'un objet (un graphique d'une fonction) sur un hélicoptère avec tir à partir d'un canon à longue portée à certains points et en choisissant parmi ces points sont des points très spéciaux pour les coups de contrôle. Les points sont sélectionnés d'une certaine manière et selon certaines règles. Selon quelles règles ? Nous en reparlerons plus loin.

Si la fonction y = F(X) continue sur le segment [ un, b] , alors il atteint sur ce segment moins et valeurs les plus élevées . Cela peut se produire soit dans points extrêmes ou aux extrémités du segment. Par conséquent, pour trouver moins et les plus grandes valeurs de la fonction , continue sur l'intervalle [ un, b] , vous devez calculer ses valeurs en tout points critiques et aux extrémités du segment, puis choisissez le plus petit et le plus grand d'entre eux.

Supposons, par exemple, qu'il soit nécessaire de déterminer la valeur maximale de la fonction F(X) sur le segment [ un, b] . Pour ce faire, trouvez tous ses points critiques se trouvant sur [ un, b] .

point critique est appelé le point auquel fonction définie, et elle dérivé est nul ou n'existe pas. Ensuite, vous devez calculer les valeurs de la fonction aux points critiques. Et, enfin, il faut comparer les valeurs de la fonction aux points critiques et aux extrémités du segment ( F(un) et F(b) ). Le plus grand de ces nombres sera la plus grande valeur de la fonction sur l'intervalle [un, b] .

Le problème de trouver les plus petites valeurs de la fonction .

On cherche ensemble les plus petites et les plus grandes valeurs de la fonction

Exemple 1. Trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur la tranche [-1, 2] .

La solution. On trouve la dérivée de cette fonction. Égalez la dérivée à zéro () et obtenez deux points critiques : et . Pour trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment donné, il suffit de calculer ses valeurs aux extrémités du segment et au point , puisque le point n'appartient pas au segment [-1, 2] . Ces valeurs de fonction sont les suivantes : , , . Il s'ensuit que plus petite valeur de fonction(marqué en rouge sur le graphique ci-dessous), égal à -7, est atteint à l'extrémité droite du segment - au point , et le plus grand(également rouge sur le graphique), est égal à 9, - au point critique .

Si la fonction est continue dans un certain intervalle et que cet intervalle n'est pas un segment (mais est, par exemple, un intervalle ; la différence entre un intervalle et un segment : les points limites de l'intervalle ne sont pas inclus dans l'intervalle, mais les les points limites du segment sont inclus dans le segment), alors parmi les valeurs de la fonction, il peut ne pas y avoir la plus petite et la plus grande. Ainsi, par exemple, la fonction représentée dans la figure ci-dessous est continue sur ]-∞, +∞[ et n'a pas la plus grande valeur.

Cependant, pour tout intervalle (fermé, ouvert ou infini), la propriété suivante des fonctions continues est valable.

Exemple 4. Trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur la tranche [-1, 3] .

La solution. On trouve la dérivée de cette fonction comme la dérivée du quotient :

On égalise la dérivée à zéro, ce qui nous donne un point critique : . Il appartient à l'intervalle [-1, 3] . Pour trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment donné, on trouve ses valeurs aux extrémités du segment et au point critique trouvé :

Comparons ces valeurs. Conclusion : égal à -5/13, au point et la plus grande valeurégal à 1 au point .

Nous continuons à rechercher ensemble les plus petites et les plus grandes valeurs de la fonction

Il y a des enseignants qui, au sujet de la recherche des valeurs les plus petites et les plus grandes d'une fonction, ne donnent pas aux élèves des exemples plus compliqués que ceux que nous venons de considérer, c'est-à-dire ceux dans lesquels la fonction est un polynôme ou une fraction, le numérateur et dont le dénominateur sont des polynômes. Mais nous ne nous limiterons pas à de tels exemples, car parmi les enseignants, il y a des amateurs de faire réfléchir les élèves en entier (tableau des dérivés). Par conséquent, le logarithme et la fonction trigonométrique seront utilisés.

Exemple 6. Trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur la tranche .

La solution. On trouve la dérivée de cette fonction comme dérivé du produit :

On égalise la dérivée à zéro, ce qui donne un point critique : . Il appartient au segment. Pour trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment donné, on trouve ses valeurs aux extrémités du segment et au point critique trouvé :

Le résultat de toutes les actions : la fonction atteint sa valeur minimale, égal à 0, en un point et en un point et la plus grande valeurégal à e² , au point .

Exemple 7. Trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur la tranche .

La solution. On trouve la dérivée de cette fonction :

Égalez la dérivée à zéro :

Le seul point critique appartient au segment . Pour trouver les plus petites et les plus grandes valeurs d'une fonction sur un segment donné, on trouve ses valeurs aux extrémités du segment et au point critique trouvé :

Conclusion: la fonction atteint sa valeur minimale, égal à , au point et la plus grande valeur, égal à , au point .

Dans les problèmes extrémaux appliqués, trouver les plus petites (plus grandes) valeurs de fonction, en règle générale, se réduit à trouver le minimum (maximum). Mais ce ne sont pas les minima ou les maxima eux-mêmes qui présentent le plus grand intérêt pratique, mais les valeurs de l'argument auquel ils sont atteints. Lors de la résolution de problèmes appliqués, une difficulté supplémentaire se pose - la compilation de fonctions décrivant le phénomène ou le processus considéré.

Exemple 8 Un réservoir d'une capacité de 4, ayant la forme d'un parallélépipède à base carrée et ouvert au sommet, doit être étamé. Quelles doivent être les dimensions du réservoir afin de le recouvrir avec le moins de matière ?

La solution. Laisser X- côté socle h- hauteur du réservoir, S- sa superficie hors couverture, V- son volume. La surface du réservoir est exprimée par la formule , c'est-à-dire est une fonction de deux variables. Exprimer S en fonction d'une variable, on utilise le fait que , d'où . Remplacer l'expression trouvée h dans la formule de S:

Examinons cette fonction pour un extremum. Elle est définie et différentiable partout dans ]0, +∞[ , et

Nous assimilons la dérivée à zéro () et trouvons le point critique. De plus, en , la dérivée n'existe pas, mais cette valeur n'est pas comprise dans le domaine de définition et ne peut donc pas être un point extremum. Donc, - le seul point critique. Vérifions la présence d'un extremum en utilisant la seconde signe suffisant. Trouvons la dérivée seconde. Lorsque la dérivée seconde est supérieure à zéro (). Cela signifie que lorsque la fonction atteint un minimum . Car ce minimum - le seul extremum de cette fonction, c'est sa plus petite valeur. Ainsi, le côté de la base du réservoir doit être égal à 2 m et sa hauteur.

Exemple 9 Du paragraphe UN, situé sur la voie ferrée, jusqu'au point DE, à distance de celui-ci je, les marchandises doivent être transportées. Le coût de transport d'une unité de poids par unité de distance par chemin de fer est égal à , et par route il est égal à . Jusqu'à quel point M lignes chemin de fer une autoroute devrait être construite pour que le transport des marchandises MAIS dans DEétait le plus économique UN B chemin de fer est supposé être droit) ?

Laissez la fonction y=F(X) continue sur le segment [ un B]. Comme on le sait, une telle fonction atteint ses valeurs maximale et minimale sur cet intervalle. La fonction peut prendre ces valeurs soit en un point intérieur du segment [ un B], ou sur la limite du segment.

Pour trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction sur l'intervalle [ un B] nécessaire:

1) trouver les points critiques de la fonction dans l'intervalle ( un B);

2) calculer les valeurs de la fonction aux points critiques trouvés ;

3) calculer les valeurs de la fonction aux extrémités du segment, c'est-à-dire pour X=un et x = b;

4) parmi toutes les valeurs calculées de la fonction, choisissez la plus grande et la plus petite.

Exemple. Trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction

sur la tranche.

Recherche de points critiques :

Ces points se situent à l'intérieur du segment ; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

à ce point X= 3 et au point X= 0.

Recherche d'une fonction de convexité et d'un point d'inflexion.

Fonction y = F (X) appelé convexe entre (un, b) , si son graphe est sous une tangente tracée en tout point de cet intervalle, et est appelé convexe vers le bas (concave) si son graphe est au-dessus de la tangente.

Le point à la transition par lequel la convexité est remplacée par la concavité ou vice versa est appelé point d'inflexion.

Algorithme d'étude de la convexité et du point d'inflexion :

1. Trouvez les points critiques de seconde espèce, c'est-à-dire les points où la dérivée seconde est égale à zéro ou n'existe pas.

2. Mettez des points critiques sur la droite numérique, en la divisant en intervalles. Trouvez le signe de la dérivée seconde sur chaque intervalle ; si , alors la fonction est convexe vers le haut, si, alors la fonction est convexe vers le bas.

3. Si, en passant par un point critique de seconde espèce, il change de signe et qu'en ce point la dérivée seconde est égale à zéro, alors ce point est l'abscisse du point d'inflexion. Trouvez son ordonnée.

Asymptotes du graphe d'une fonction. Etude d'une fonction en asymptotes.

Définition. L'asymptote du graphe d'une fonction s'appelle droit, qui a la propriété que la distance de n'importe quel point du graphique à cette ligne tend vers zéro avec un retrait illimité du point du graphique à partir de l'origine.

Il existe trois types d'asymptotes : vertical, horizontal et incliné.

Définition. Appel direct asymptote verticale graphique de fonction y = f(x), si au moins une des limites unilatérales de la fonction en ce point est égale à l'infini, c'est-à-dire

où est le point de discontinuité de la fonction, c'est-à-dire qu'elle n'appartient pas au domaine de définition.

Exemple.

RÉ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - point de rupture.

Définition. Droit y=UN appelé asymptote horizontale graphique de fonction y = f(x)à , si

Exemple.

X
y

Définition. Droit y=kx +b (k≠ 0) est appelé asymptote oblique graphique de fonction y = f(x)à , où

Schéma général pour l'étude des fonctions et le traçage.

Algorithme de recherche de fonctiony = f(x) :

1. Trouver le domaine de la fonction ré (y).

2. Trouver (si possible) les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées (avec X= 0 et à y = 0).

3. Recherchez les fonctions paires et impaires ( y (‒ X) = y (X) ‒ parité; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ étrange).

4. Trouvez les asymptotes du graphique de la fonction.

5. Trouvez les intervalles de monotonie de la fonction.

6. Trouvez les extrema de la fonction.

7. Trouvez les intervalles de convexité (concavité) et les points d'inflexion du graphique de la fonction.

8. Sur la base des recherches effectuées, construisez un graphique de la fonction.

Exemple.Étudiez la fonction et tracez son graphique.

1) ré (y) =

X= 4 - point de rupture.

2) Quand X = 0,

(0; – 5) – point d'intersection avec oy.

À y = 0,

3) y(‒ X)= fonction vue générale(ni pair ni impair).

4) Nous recherchons les asymptotes.

a) verticale

b) horizontale

c) trouver les asymptotes obliques où

‒équation asymptote oblique

5) Dans cette équation, il n'est pas nécessaire de trouver des intervalles de monotonie de la fonction.

Ces points critiques partitionnent tout le domaine de la fonction sur l'intervalle (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) et (10; +∞). Il convient de présenter les résultats obtenus sous la forme du tableau suivant.