Trouver la plus petite valeur d'une fonction sur l'intervalle. La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment

L'algorithme standard pour résoudre de telles tâches implique, après avoir trouvé les zéros de la fonction, la détermination des signes de la dérivée sur les intervalles. Ensuite, le calcul des valeurs aux points trouvés du maximum (ou du minimum) et à la frontière de l'intervalle, en fonction de la question dans la condition.

Je vous conseille de faire les choses un peu différemment. Pourquoi? A écrit à ce sujet.

Je propose de résoudre ces tâches comme suit :

1. Trouvez la dérivée.
2. Trouvez les zéros de la dérivée.
3. Déterminez lequel d'entre eux appartient à l'intervalle donné.
4. Nous calculons les valeurs de la fonction sur les limites de l'intervalle et les points de l'élément 3.
5. Nous tirons une conclusion (nous répondons à la question posée).

Au cours de la résolution des exemples présentés, la solution n'a pas été examinée en détail. équations du second degré, vous devriez pouvoir le faire. Ils devraient aussi savoir.

Prenons des exemples :

77422. Rechercher valeur la plus élevée fonctions y=x 3 –3x+4 sur le segment [–2;0].

Trouvons les zéros de la dérivée :

Le point x = –1 appartient à l'intervalle spécifié dans la condition.

Nous calculons les valeurs de la fonction aux points -2, -1 et 0 :

La plus grande valeur de la fonction est 6.

Réponse : 6

77425. Trouver plus petite valeur fonctions y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 sur le segment.

Trouvons la dérivée fonction donnée:

Trouvons les zéros de la dérivée :

Le point x = 2 appartient à l'intervalle spécifié dans la condition.

Nous calculons les valeurs de la fonction aux points 1, 2 et 4 :

La plus petite valeur de la fonction est -2.

Réponse : -2

77426. Trouvez la plus grande valeur de la fonction y \u003d x 3 - 6x 2 sur le segment [-3; 3].

Trouver la dérivée de la fonction donnée :

Trouvons les zéros de la dérivée :

Le point x = 0 appartient à l'intervalle spécifié dans la condition.

Nous calculons les valeurs de la fonction aux points -3, 0 et 3 :

La plus petite valeur de la fonction est 0.

Réponse : 0

77429. Trouvez la plus petite valeur de la fonction y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 sur le segment.

Trouver la dérivée de la fonction donnée :

3x 2 - 4x + 1 = 0

On obtient les racines : x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Seul x = 1 appartient à l'intervalle spécifié dans la condition.

Trouvez les valeurs de la fonction aux points 1 et 4 :

Nous avons trouvé que la plus petite valeur de la fonction est 3.

Réponse : 3

77430. Trouvez la plus grande valeur de la fonction y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 sur le segment [- 4; -une].

Trouver la dérivée de la fonction donnée :

Trouvez les zéros de la dérivée, résolvez l'équation quadratique :

3x 2 + 4x + 1 = 0

Prenons les racines :

La racine х = –1 appartient à l'intervalle spécifié dans la condition.

Trouvez les valeurs de la fonction aux points –4, –1, –1/3 et 1 :

Nous avons trouvé que la plus grande valeur de la fonction est 3.

Réponse : 3

77433. Trouvez la plus petite valeur de la fonction y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 sur le segment.

Trouver la dérivée de la fonction donnée :

Trouvez les zéros de la dérivée, résolvez l'équation quadratique :

3x 2 - 2x - 40 = 0

Prenons les racines :

La racine x = 4 appartient à l'intervalle spécifié dans la condition.

On retrouve les valeurs de la fonction aux points 0 et 4 :

Nous avons trouvé que la plus petite valeur de la fonction est -109.

Réponse : -109

Considérons une méthode pour déterminer les valeurs les plus grandes et les plus petites des fonctions sans dérivée. Cette approche peut être utilisée si vous avez de gros problèmes avec la définition de la dérivée. Le principe est simple - nous substituons toutes les valeurs entières de l'intervalle dans la fonction (le fait est que dans tous ces prototypes, la réponse est un entier).

77437. Trouvez la plus petite valeur de la fonction y \u003d 7 + 12x - x 3 sur le segment [-2; 2].

On substitue les points de -2 à 2 : Voir la solution

77434. Trouvez la plus grande valeur de la fonction y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 sur le segment [-2; 0].

C'est tout. Bonne chance à toi!

Sincèrement, Alexandre Krutitskikh.

P.S: Je vous serais reconnaissant de parler du site dans les réseaux sociaux.

La plus grande et la plus petite valeur de la fonction

La plus grande valeur d'une fonction est appelée la plus grande, la plus petite valeur est la plus petite de toutes ses valeurs.

Une fonction peut avoir une seule valeur la plus grande et une seule valeur la plus petite, ou ne pas en avoir du tout. La recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites des fonctions continues est basée sur les propriétés suivantes de ces fonctions :

1) Si dans un intervalle (fini ou infini) la fonction y=f(x) est continue et n'a qu'un seul extremum, et si c'est le maximum (minimum), alors ce sera la plus grande (la plus petite) valeur de la fonction dans cet intervalle.

2) Si la fonction f(x) est continue sur un segment , alors elle a nécessairement les valeurs les plus grandes et les plus petites sur ce segment. Ces valeurs sont atteintes soit aux points extrêmes situés à l'intérieur du segment, soit aux limites de ce segment.

Pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites sur le segment, il est recommandé d'utiliser le schéma suivant :

1. Trouvez la dérivée.

2. Trouver les points critiques de la fonction où =0 ou n'existe pas.

3. Trouvez les valeurs de la fonction aux points critiques et aux extrémités du segment et choisissez parmi elles la plus grande f max et la plus petite f min.

Lors de la résolution de problèmes appliqués, en particulier ceux d'optimisation, importance avoir des problèmes pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites (maximum global et minimum global) d'une fonction sur l'intervalle X. Pour résoudre de tels problèmes, il faut, en fonction de la condition, choisir une variable indépendante et exprimer la valeur étudiée dans termes de cette variable. Trouvez ensuite la valeur maximale ou minimale souhaitée de la fonction résultante. Dans ce cas, l'intervalle de changement de la variable indépendante, qui peut être fini ou infini, est également déterminé à partir de la condition du problème.

Exemple. Le réservoir, qui a la forme d'un parallélépipède rectangle à fond carré, ouvert vers le haut, doit être étamé intérieurement à l'étain. Quelles devraient être les dimensions du réservoir d'une capacité de 108 litres. l'eau pour que le coût de son étamage soit le moindre ?

Décision. Le coût de revêtement de la cuve en étain sera le plus faible si, pour une capacité donnée, sa surface est minimale. Désignons par a dm - le côté de la base, b dm - la hauteur du réservoir. Alors l'aire S de sa surface est égale à

Et

La relation résultante établit la relation entre la surface du réservoir S (fonction) et le côté de la base a (argument). Nous étudions la fonction S pour un extremum. Trouvez la dérivée première, mettez-la à zéro et résolvez l'équation résultante :

Donc a = 6. (a) > 0 pour a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Exemple. Trouver les plus grandes et les plus petites valeurs d'une fonction entre.

Décision: Derrière fonction donnée continue sur toute la droite des nombres. Fonction dérivée

Dérivée à et à . Calculons les valeurs de la fonction en ces points :

.

Les valeurs de la fonction aux extrémités de l'intervalle donné sont égales à . Par conséquent, la plus grande valeur de la fonction est à , la plus petite valeur de la fonction est à .

Questions pour l'auto-examen

1. Formuler la règle de L'Hôpital pour la révélation des incertitudes de la forme . Lister les différents types d'incertitudes pour lesquelles la règle de L'Hospital peut être utilisée.

2. Formuler des signes de fonction croissante et décroissante.

3. Définissez le maximum et le minimum d'une fonction.

4. Formuler condition nécessaire l'existence d'un extremum.

5. Quelles valeurs de l'argument (quels points) sont dites critiques ? Comment trouver ces points ?

6. Quels sont les signes suffisants de l'existence d'un extremum d'une fonction ? Esquisser un schéma pour étudier une fonction pour un extremum en utilisant la dérivée première.

7. Résumez le schéma d'étude de la fonction pour un extremum à l'aide de la dérivée seconde.

8. Définir la convexité, la concavité d'une courbe.

9. Quel est le point d'inflexion d'un graphe de fonctions ? Spécifiez comment trouver ces points.

10. Formuler les éléments nécessaires et signes suffisants convexité et concavité d'une courbe sur un segment donné.

11. Définissez l'asymptote de la courbe. Comment trouver les asymptotes verticales, horizontales et obliques d'un graphe de fonctions ?

12. État régime généralétude de la fonction et construction de son graphe.

13. Formulez une règle pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment donné.

En pratique, il est assez courant d'utiliser la dérivée pour calculer la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction. Nous effectuons cette action lorsque nous découvrons comment minimiser les coûts, augmenter les bénéfices, calculer la charge optimale sur la production, etc., c'est-à-dire dans les cas où il est nécessaire de déterminer la valeur optimale d'un paramètre. Pour résoudre correctement de tels problèmes, il faut bien comprendre ce que sont la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Habituellement, nous définissons ces valeurs dans un certain intervalle x , qui à son tour peut correspondre à toute la portée de la fonction ou à une partie de celle-ci. Il peut s'agir soit d'un segment [ a ; b ] , et intervalle ouvert (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , intervalle infini (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) ou intervalle infini - ∞ ; une , (- ∞ ; une ] , [ une ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Dans cet article, nous décrirons comment la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction explicitement donnée avec une variable y=f(x) y = f (x) est calculée.

Définitions basiques

Nous commençons, comme toujours, par la formulation des principales définitions.

Définition 1

La plus grande valeur de la fonction y = f (x) sur un intervalle x est la valeur m a x y = f (x 0) x ∈ X , qui, pour toute valeur x x ∈ X , x ≠ x 0, rend l'inégalité f (x ) ≤ f (x 0) .

Définition 2

La plus petite valeur de la fonction y = f (x) sur un intervalle x est la valeur m i n x ∈ X y = f (x 0) , ce qui, pour toute valeur x ∈ X , x ≠ x 0, rend l'inégalité f(X f (x) ≥ f(x0) .

Ces définitions sont assez évidentes. Il peut être encore plus simple de dire ceci : la plus grande valeur d'une fonction est sa plus grande valeur sur un intervalle connu à l'abscisse x 0, et la plus petite est la plus petite valeur acceptée sur le même intervalle à x 0.

Définition 3

Les points stationnaires sont les valeurs de l'argument de la fonction auxquelles sa dérivée devient 0.

Pourquoi avons-nous besoin de savoir ce que sont les points stationnaires ? Pour répondre à cette question, rappelons le théorème de Fermat. Il en résulte qu'un point stationnaire est un point où se situe l'extremum d'une fonction différentiable (c'est-à-dire son minimum ou maximum local). Par conséquent, la fonction prendra la valeur la plus petite ou la plus grande sur un certain intervalle exactement à l'un des points stationnaires.

Une autre fonction peut prendre la valeur la plus grande ou la plus petite aux points où la fonction elle-même est définie et sa première dérivée n'existe pas.

La première question qui se pose lors de l'étude de ce sujet est : dans tous les cas, peut-on déterminer la valeur maximale ou minimale d'une fonction sur un intervalle donné ? Non, nous ne pouvons pas le faire lorsque les frontières de l'intervalle donné coïncideront avec les frontières du domaine de définition, ou si nous avons affaire à un intervalle infini. Il arrive aussi qu'une fonction dans un intervalle donné ou à l'infini prenne des valeurs infiniment petites ou infiniment grandes. Dans ces cas, il n'est pas possible de déterminer la valeur la plus grande et/ou la plus petite.

Ces moments deviendront plus compréhensibles après l'image sur les graphiques :

La première figure nous montre une fonction qui prend les plus grandes et les plus petites valeurs (m a x y et m i n y) aux points stationnaires situés sur l'intervalle [ - 6 ; 6].

Examinons en détail le cas indiqué dans le second graphique. Changeons la valeur du segment en [ 1 ; 6] et nous obtenons que la plus grande valeur de la fonction sera atteinte au point avec l'abscisse dans la limite droite de l'intervalle, et la plus petite - au point stationnaire.

Sur la troisième figure, les abscisses des points représentent les points frontières du segment [ - 3 ; 2]. Ils correspondent à la plus grande et à la plus petite valeur de la fonction donnée.

Regardons maintenant la quatrième image. Dans celui-ci, la fonction prend m a x y (la plus grande valeur) et m i n y (la plus petite valeur) aux points stationnaires de l'intervalle ouvert (- 6 ; 6) .

Si l'on prend l'intervalle [ 1 ; 6) , alors on peut dire que la plus petite valeur de la fonction sur celle-ci sera atteinte en un point stationnaire. Nous ne connaîtrons pas la valeur maximale. La fonction pourrait prendre la plus grande valeur à x égale à 6 si x = 6 appartenait à l'intervalle. C'est ce cas qui est représenté sur la figure 5.

Sur le graphique 6, cette fonction acquiert la plus petite valeur dans le bord droit de l'intervalle (- 3 ; 2 ] , et nous ne pouvons pas tirer de conclusions définitives sur la plus grande valeur.

Sur la figure 7, on voit que la fonction aura m a x y au point stationnaire, d'abscisse égale à 1 . La fonction atteint sa valeur minimale à la limite de l'intervalle sur le côté droit. A moins l'infini, les valeurs de la fonction approcheront asymptotiquement y = 3 .

Si on prend un intervalle x ∈ 2 ; + ∞ , alors nous verrons que la fonction donnée ne prendra sur elle ni la plus petite ni la plus grande valeur. Si x tend vers 2, alors les valeurs de la fonction tendront vers moins l'infini, puisque la droite x = 2 est une asymptote verticale. Si l'abscisse tend vers plus l'infini, alors les valeurs de la fonction approcheront asymptotiquement y = 3. C'est le cas illustré à la figure 8.

Dans ce paragraphe, nous donnerons une séquence d'actions qui doivent être effectuées pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction sur un certain intervalle.

1. Trouvons d'abord le domaine de la fonction. Vérifions si le segment spécifié dans la condition y est inclus.
2. Calculons maintenant les points contenus dans ce segment où la dérivée première n'existe pas. On les trouve le plus souvent dans des fonctions dont l'argument est écrit sous le signe module, ou dans fonctions de puissance, dont l'exposant est un nombre fractionnairement rationnel.
3. Ensuite, nous découvrons quels points stationnaires appartiennent à un segment donné. Pour ce faire, vous devez calculer la dérivée de la fonction, puis l'assimiler à 0 et résoudre l'équation résultante, puis choisir les racines appropriées. Si nous n'obtenons pas un seul point stationnaire ou qu'ils ne tombent pas dans un segment donné, nous passons à l'étape suivante.
4. Déterminons quelles valeurs la fonction prendra aux points stationnaires donnés (le cas échéant), ou aux points où la première dérivée n'existe pas (le cas échéant), ou nous calculons les valeurs pour x = a et x = b.
5. 5. Nous avons une série de valeurs de fonction, parmi lesquelles nous devons maintenant choisir la plus grande et la plus petite. Ce seront les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction que nous devons trouver.

Voyons comment appliquer correctement cet algorithme lors de la résolution de problèmes.

Exemple 1

État: la fonction y = x 3 + 4 x 2 est donnée. Déterminer sa plus grande et sa plus petite valeur sur les segments [ 1 ; 4 ] et [ - 4 ; - une ] .

Décision:

Commençons par trouver le domaine de cette fonction. Dans ce cas, ce sera l'ensemble de tous les nombres réels sauf 0 . Autrement dit, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Les deux segments spécifiés dans la condition seront à l'intérieur de la zone de définition.

On calcule maintenant la dérivée de la fonction selon la règle de différenciation d'une fraction :

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3

Nous avons appris que la dérivée de la fonction existera en tout point des segments [ 1 ; 4 ] et [ - 4 ; - une ] .

Maintenant, nous devons déterminer les points stationnaires de la fonction. Faisons cela avec l'équation x 3 - 8 x 3 = 0. Il n'a qu'une seule racine réelle, qui est 2. Ce sera un point stationnaire de la fonction et tombera dans le premier segment [ 1 ; 4 ] .

Calculons les valeurs de la fonction aux extrémités du premier segment et au point donné, c'est-à-dire pour x = 1 , x = 2 et x = 4 :

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Nous avons obtenu que la plus grande valeur de la fonction m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 sera atteint à x = 1 , et le plus petit m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – à x = 2 .

Le deuxième segment ne comprend aucun point stationnaire, nous devons donc calculer les valeurs de la fonction uniquement aux extrémités du segment donné :

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Par conséquent, m une x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m je n y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Répondre: Pour le segment [ 1 ; 4 ] - m une X y X ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m je n y X ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , pour le segment [ - 4 ; - 1 ] - m une X y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m je n y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Voir l'image:

Avant d'apprendre cette méthode, nous vous conseillons de revoir comment calculer correctement la limite unilatérale et la limite à l'infini, ainsi que d'apprendre les méthodes de base pour les trouver. Pour trouver la plus grande et/ou la plus petite valeur d'une fonction sur un intervalle ouvert ou infini, nous effectuons les étapes suivantes dans l'ordre.

1. Vous devez d'abord vérifier si l'intervalle donné sera un sous-ensemble du domaine de la fonction donnée.
2. Déterminons tous les points contenus dans l'intervalle requis et pour lesquels la dérivée première n'existe pas. Habituellement, ils se produisent dans les fonctions où l'argument est enfermé dans le signe du module et dans les fonctions de puissance avec un exposant fractionnellement rationnel. Si ces points manquent, vous pouvez passer à l'étape suivante.
3. Maintenant, nous déterminons quels points stationnaires tombent dans un intervalle donné. Tout d'abord, nous assimilons la dérivée à 0, résolvons l'équation et trouvons des racines appropriées. Si nous n'avons pas un seul point stationnaire ou qu'ils ne se situent pas dans l'intervalle spécifié, nous procédons immédiatement à d'autres actions. Ils sont déterminés par le type d'intervalle.

• Si l'intervalle ressemble à [ a ; b) , alors nous devons calculer la valeur de la fonction au point x = a et la limite unilatérale lim x → b - 0 f (x) .
• Si l'intervalle a la forme (a ; b ] , alors nous devons calculer la valeur de la fonction au point x = b et la limite unilatérale lim x → a + 0 f (x) .
• Si l'intervalle a la forme (a ; b) , alors nous devons calculer les limites unilatérales lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Si l'intervalle ressemble à [ a ; + ∞) , alors il faut calculer la valeur au point x = a et la limite à plus l'infini lim x → + ∞ f (x) .
• Si l'intervalle ressemble à (- ∞ ; b ] , on calcule la valeur au point x = b et la limite à moins l'infini lim x → - ∞ f (x) .
• Si - ∞ ; b , alors on considère la limite unilatérale lim x → b - 0 f (x) et la limite à moins l'infini lim x → - ∞ f (x)
• Si - ∞ ; + ∞ , alors on considère les limites à moins et plus l'infini lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. À la fin, vous devez tirer une conclusion basée sur les valeurs obtenues de la fonction et des limites. Il existe de nombreuses options ici. Ainsi, si la limite unilatérale est égale à moins l'infini ou plus l'infini, alors il est immédiatement clair que rien ne peut être dit sur la plus petite et la plus grande valeur de la fonction. Ci-dessous, nous allons considérer un exemple typique. Descriptifs détaillés vous aider à comprendre ce qui est quoi. Si nécessaire, vous pouvez revenir aux figures 4 à 8 dans la première partie du matériel.

Exemple 2

Condition : étant donné une fonction y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calculer sa plus grande et sa plus petite valeur dans les intervalles - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Décision

Tout d'abord, nous trouvons le domaine de la fonction. Le dénominateur de la fraction est trinôme carré, qui ne doit pas virer à 0 :

x 2 + x - 6 = 0 ré = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ ré (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Nous avons obtenu la portée de la fonction, à laquelle appartiennent tous les intervalles spécifiés dans la condition.

Maintenant, différencions la fonction et obtenons :

y "= 3 e 1 X 2 + X - 6 - 4" = 3 e 1 X 2 + X - 6 " = 3 e 1 X 2 + X - 6 1 X 2 + X - 6 " == 3 e 1 X 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Par conséquent, les dérivées d'une fonction existent sur tout le domaine de sa définition.

Passons à la recherche de points fixes. La dérivée de la fonction devient 0 à x = - 1 2 . C'est un point stationnaire qui est dans les intervalles (- 3 ; 1 ] et (- 3 ; 2) .

Calculons la valeur de la fonction à x = - 4 pour l'intervalle (- ∞ ; - 4 ] , ainsi que la limite à moins l'infini :

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim X → - ∞ 3 e 1 X 2 + X - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Puisque 3 e 1 6 - 4 > - 1 , alors m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Cela ne permet pas de déterminer de manière unique la plus petite valeur de la fonction. On ne peut que conclure qu'il y a une limite en dessous de -1 , puisque c'est à cette valeur que la fonction s'approche asymptotiquement à moins l'infini.

Une caractéristique du deuxième intervalle est qu'il n'a pas un seul point stationnaire et pas une seule frontière stricte. Par conséquent, nous ne pouvons pas calculer la plus grande ou la plus petite valeur de la fonction. En définissant la limite à moins l'infini et comme l'argument tend vers - 3 sur le côté gauche, on obtient uniquement la plage de valeurs :

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim X → - ∞ 3 e 1 X 2 + x - 6 - 4 = 3 et 0 - 4 = - 1

Cela signifie que les valeurs de la fonction seront situées dans l'intervalle - 1 ; +∞

Pour trouver la valeur maximale de la fonction dans le troisième intervalle, on détermine sa valeur au point stationnaire x = - 1 2 si x = 1 . Nous avons également besoin de connaître la limite unilatérale pour le cas où l'argument tend vers - 3 du côté droit :

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim X → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim X → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Il s'est avéré que la fonction prendra la plus grande valeur en un point stationnaire m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Quant à la plus petite valeur, nous ne pouvons pas la déterminer. Tout ce que nous savoir , est la présence d' une borne inférieure à - 4 .

Pour l'intervalle (- 3 ; 2), reprenons les résultats du calcul précédent et calculons à nouveau ce à quoi la limite unilatérale est égale lorsqu'elle tend vers 2 depuis le côté gauche :

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim X → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim X → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim X → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Par conséquent, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , et la plus petite valeur ne peut pas être déterminée, et les valeurs de la fonction sont délimitées par le bas par le nombre - 4 .

Sur la base de ce que nous avons fait dans les deux calculs précédents, nous pouvons affirmer que sur l'intervalle [ 1 ; 2) la fonction prendra la plus grande valeur à x = 1, et il est impossible de trouver la plus petite.

Sur l'intervalle (2 ; + ∞), la fonction n'atteindra ni la plus grande ni la plus petite valeur, c'est-à-dire il prendra des valeurs de l'intervalle - 1 ; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim X → + ∞ 3 e 1 X 2 + X - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Après avoir calculé à quoi la valeur de la fonction sera égale à x = 4 , nous découvrons que m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , et la fonction donnée à plus l'infini s'approchera asymptotiquement de la ligne y = - 1 .

Comparons ce que nous avons obtenu dans chaque calcul avec le graphique de la fonction donnée. Sur la figure, les asymptotes sont représentées par des pointillés.

C'est tout ce dont nous voulions parler pour trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction. Ces séquences d'actions que nous avons données vous aideront à effectuer les calculs nécessaires aussi rapidement et simplement que possible. Mais rappelez-vous qu'il est souvent utile de savoir d'abord sur quels intervalles la fonction diminuera et sur quels intervalles elle augmentera, après quoi d'autres conclusions peuvent être tirées. Ainsi, vous pouvez déterminer plus précisément la valeur la plus grande et la plus petite de la fonction et justifier les résultats.

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La plus grande (la plus petite) valeur de la fonction est la plus grande (la plus petite) valeur acceptée de l'ordonnée dans l'intervalle considéré.

Pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction, vous devez :

1. Vérifiez quels points fixes sont inclus dans le segment donné.
2. Calculer la valeur de la fonction aux extrémités du segment et aux points fixes de l'étape 3
3. Choisissez parmi les résultats obtenus la valeur la plus grande ou la plus petite.

Pour trouver le maximum ou le minimum de points, vous devez :

1. Trouver la dérivée de la fonction $f"(x)$
2. Trouver des points stationnaires en résolvant l'équation $f"(x)=0$
3. Factoriser la dérivée d'une fonction.
4. Tracez une ligne de coordonnées, placez-y des points fixes et déterminez les signes de la dérivée dans les intervalles obtenus, en utilisant la notation de l'article 3.
5. Trouvez les points maximum ou minimum selon la règle: si en un point la dérivée change de signe de plus à moins, alors ce sera le point maximum (si de moins à plus, alors ce sera le point minimum). En pratique, il convient d'utiliser l'image des flèches sur les intervalles : sur l'intervalle où la dérivée est positive, la flèche est tracée vers le haut et inversement.

Tableau des dérivées de quelques fonctions élémentaires :

Une fonction	Dérivé
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cox$
$cox$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$péché^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Règles de base de différenciation

1. La dérivée de la somme et de la différence est égale à la dérivée de chaque terme

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Trouver la dérivée de la fonction $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

La dérivée de la somme et de la différence est égale à la dérivée de chaque terme

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Dérivé d'un produit.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Trouver la dérivée $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Dérivée du quotient

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Trouver la dérivée $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Dérivé fonction complexe est égal au produit de la dérivée de la fonction externe et de la dérivée de la fonction interne

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Trouver le point minimum de la fonction $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Trouver fonctions odz: $x+11>0 ; x>-11$

2. Trouver la dérivée de la fonction $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Trouver des points stationnaires en assimilant la dérivée à zéro

$(2x+21)/(x+11)=0$

La fraction est nulle si le numérateur zéro, et le dénominateur n'est pas égal à zéro

$2x+21=0 ; x≠-11$

4. Tracez une ligne de coordonnées, placez-y des points fixes et déterminez les signes de la dérivée dans les intervalles obtenus. Pour ce faire, nous substituons dans la dérivée n'importe quel nombre de la région extrême droite, par exemple, zéro.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Au point minimum, la dérivée change de signe de moins à plus, par conséquent, le point $-10,5$ est le point minimum.

Réponse : $-10,5$

Trouver la valeur maximale de la fonction $y=6x^5-90x^3-5$ sur le segment $[-5;1]$

1. Trouver la dérivée de la fonction $y′=30x^4-270x^2$

2. Égalez la dérivée à zéro et trouvez les points stationnaires

$30x^4-270x^2=0$

Prenons le facteur commun $30x^2$ hors parenthèses

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Mettre chaque facteur égal à zéro

$x^2=0 ; x-3=0 ; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Choisissez des points stationnaires appartenant au segment donné $[-5;1]$

Les points stationnaires $x=0$ et $x=-3$ nous conviennent

4. Calculez la valeur de la fonction aux extrémités du segment et aux points fixes du point 3

Dans cet article, je vais parler de la façon d'appliquer la capacité de trouver à l'étude d'une fonction : trouver sa valeur la plus grande ou la plus petite. Et puis nous allons résoudre plusieurs problèmes de la tâche B15 de l'Open Task Bank pour .

Comme d'habitude, commençons d'abord par la théorie.

Au début de toute étude d'une fonction, on la trouve

Pour trouver la valeur la plus grande ou la plus petite de la fonction, vous devez rechercher sur quels intervalles la fonction augmente et sur lesquels elle diminue.

Pour cela, il faut trouver la dérivée de la fonction et étudier ses intervalles de constance de signe, c'est-à-dire les intervalles sur lesquels la dérivée conserve son signe.

Les intervalles sur lesquels la dérivée d'une fonction est positive sont des intervalles de fonction croissante.

Les intervalles sur lesquels la dérivée d'une fonction est négative sont des intervalles de fonction décroissante.

une . Résolvons la tâche B15 (n° 245184)

Pour le résoudre, nous suivrons l'algorithme suivant :

a) Trouver le domaine de la fonction

b) Trouvez la dérivée de la fonction .

c) Mettez-le égal à zéro.

d) Trouvons les intervalles de signe constant de la fonction.

e) Trouvez le point auquel la fonction prend la plus grande valeur.

f) Trouvez la valeur de la fonction à ce point.

Je raconte la solution détaillée de cette tâche dans la LEÇON VIDÉO :

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Firefox

2. Résolvons la tâche B15 (n° 282862)

Trouver la plus grande valeur d'une fonction sur la tranche

Il est évident que la fonction prend la plus grande valeur sur le segment au point maximum, à x=2. Trouvez la valeur de la fonction à ce stade :

Réponse : 5

3 . Résolvons la tâche B15 (n° 245180) :

Trouver la plus grande valeur d'une fonction

1.title="(!LANG:ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Étant donné que la portée de la fonction d'origine title="(!LANG:4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Le numérateur est zéro à . Vérifions si l'ODZ appartient à la fonction. Pour cela, vérifiez si la condition title="(!LANG:4-2x-x^2>0"> при .!}

Titre="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

donc le point appartient à l'ODZ de la fonction

Nous examinons le signe de la dérivée à droite et à gauche du point :

On voit que la fonction prend la plus grande valeur au point . Trouvons maintenant la valeur de la fonction à :

Remarque 1. Notez que dans ce problème nous n'avons pas trouvé le domaine de la fonction : nous avons seulement fixé les contraintes et vérifié si le point auquel la dérivée est égale à zéro appartient au domaine de la fonction. Dans ce problème, cela s'est avéré suffisant. Par contre, ce n'est pas toujours le cas. Cela dépend de la tâche.

Remarque 2. Lors de l'étude du comportement d'une fonction complexe, on peut utiliser la règle suivante :

• si fonction externe fonction complexe est croissante, alors la fonction prend la plus grande valeur au même point où la fonction interne prend la plus grande valeur. Cela découle de la définition d'une fonction croissante : une fonction croît sur l'intervalle I si plus grande valeur un argument de cet intervalle correspond à une plus grande valeur de la fonction.
• si la fonction externe d'une fonction complexe est décroissante, alors la fonction prend la plus grande valeur au même point où la fonction interne prend la plus petite valeur . Cela découle de la définition d'une fonction décroissante : la fonction décroît sur l'intervalle I si la plus grande valeur de l'argument de cet intervalle correspond à la plus petite valeur de la fonction

Dans notre exemple, la fonction extérieure - augmente sur tout le domaine de définition. Sous le signe du logarithme se trouve une expression - un trinôme carré, qui, avec un coefficient supérieur négatif, prend la plus grande valeur au point . Ensuite, nous substituons cette valeur de x dans l'équation de la fonction et trouver sa plus grande valeur.