Formule pour trouver la racine si le discriminant est 0. Résolution d'équations quadratiques à l'aide du discriminant

Discriminant est un terme à valeurs multiples. Dans cet article nous parlerons du discriminant d'un polynôme, qui permet de déterminer si un polynôme donné a des solutions valides. La formule du polynôme quadratique se trouve dans le cours scolaire d'algèbre et d'analyse. Comment trouver un discriminant ? Que faut-il pour résoudre l’équation ?

Un polynôme quadratique ou équation du deuxième degré est appelé i * w ^ 2 + j * w + k est égal à 0, où « i » et « j » sont respectivement les premier et deuxième coefficients, « k » est une constante, parfois appelée « terme dédaigneux » et « w » est une variable. Ses racines seront toutes les valeurs de la variable à laquelle elle se transforme en identité. Une telle égalité peut être réécrite comme le produit de i, (w - w1) et (w - w2) égal à 0. Dans ce cas, il est évident que si le coefficient « i » ne devient pas nul, alors la fonction sur le côté gauche ne deviendra nul que si x prend la valeur w1 ou w2. Ces valeurs sont le résultat de la définition du polynôme égal à zéro.

Pour trouver la valeur d'une variable à laquelle un polynôme quadratique disparaît, une construction auxiliaire est utilisée, construite sur ses coefficients et appelée discriminant. Cette conception est calculée selon la formule D est égal à j * j - 4 * i * k. Pourquoi est-il utilisé ?

1. Il indique s'il existe des résultats valides.
2. Elle aide à les calculer.

Comment cette valeur montre-t-elle la présence de racines réelles :

• S’il est positif, alors deux racines peuvent être trouvées dans la région des nombres réels.
• Si le discriminant égal à zéro, alors les deux solutions coïncident. On peut dire qu’il n’y a qu’une seule solution, et elle vient du domaine des nombres réels.
• Si le discriminant est inférieur à zéro, alors le polynôme n’a pas de véritable racine.

Options de calcul pour sécuriser le matériel

Pour la somme (7 * w^2 ; 3 * w ; 1) égale à 0 On calcule D en utilisant la formule 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, on obtient -19. Une valeur discriminante inférieure à zéro indique qu'il n'y a aucun résultat sur la ligne réelle.

Si l'on considère 2 * w^2 - 3 * w + 1 équivalent à 0, alors D est calculé comme (-3) au carré moins le produit des nombres (4 ; 2 ; 1) et est égal à 9 - 8, c'est-à-dire 1. Valeur positive dit qu'il y a deux résultats sur la vraie ligne.

Si nous prenons la somme (w ^ 2; 2 * w; 1) et l'assimilons à 0, D est calculé comme deux au carré moins le produit des nombres (4 ; 1 ; 1). Cette expression se simplifiera à 4 - 4 et ira à zéro. Il s'avère que les résultats sont les mêmes. Si vous regardez attentivement cette formule, vous comprendrez qu’il s’agit d’un « carré complet ». Cela signifie que l'égalité peut être réécrite sous la forme (w + 1) ^ 2 = 0. Il est devenu évident que le résultat de ce problème est « -1 ». Dans une situation où D est égal à 0, le côté gauche de l’égalité peut toujours être réduit en utilisant la formule du « carré de la somme ».

Utiliser un discriminant dans le calcul des racines

Cette construction auxiliaire montre non seulement le nombre de solutions réelles, mais aide également à les trouver. La formule générale de calcul d’une équation du deuxième degré est la suivante :

w = (-j +/- d) / (2 * i), où d est le discriminant à la puissance 1/2.

Disons que le discriminant est inférieur à zéro, alors d est imaginaire et les résultats sont imaginaires.

D est nul, alors d égal à D à la puissance 1/2 est également nul. Solution : -j/(2*i). En considérant à nouveau 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, nous trouvons des résultats équivalents à -2 / (2 * 1) = -1.

Supposons que D > 0, alors d est un nombre réel, et la réponse se décompose ici en deux parties : w1 = (-j + d) / (2 * i) et w2 = (-j - d) / (2 * i ) . Les deux résultats seront valides. Regardons 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Ici, le discriminant et d sont un. Il s'avère que w1 est égal à (3 + 1) divisé par (2 * 2) ou 1, et w2 est égal à (3 - 1) divisé par 2 * 2 ou 1/2.

Résultat de l'équation expression quadratiqueà zéro est calculé selon l'algorithme :

1. Déterminer le nombre de solutions valides.
2. Calcul d = D^(1/2).
3. Trouver le résultat selon la formule (-j +/- d) / (2 * i).
4. Remplacer le résultat obtenu par l'égalité originale pour vérification.

Quelques cas particuliers

En fonction des coefficients, la solution peut être quelque peu simplifiée. Évidemment, si le coefficient d'une variable à la puissance seconde est nul, alors une égalité linéaire est obtenue. Lorsque le coefficient d'une variable à la puissance première est nul, alors deux options sont possibles :

1. le polynôme se développe en une différence de carrés lorsque le terme libre est négatif ;
2. pour une constante positive, aucune vraie solution ne peut être trouvée.

Si le terme libre est nul, alors les racines seront (0; -j)

Mais il existe d’autres cas particuliers qui simplifient la recherche d’une solution.

Équation réduite du deuxième degré

Le donné s'appelle tel trinôme quadratique, où le coefficient devant le terme principal est un. Pour cette situation, le théorème de Vieta est applicable, qui stipule que la somme des racines est égale au coefficient de la variable à la première puissance, multiplié par -1, et le produit correspond à la constante « k ».

Par conséquent, w1 + w2 est égal à -j et w1 * w2 est égal à k si le premier coefficient est un. Pour vérifier l'exactitude de cette représentation, vous pouvez exprimer w2 = -j - w1 à partir de la première formule et la remplacer par la deuxième égalité w1 * (-j - w1) = k. Le résultat est l'égalité originale w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Il est important de noter, que i * w ^ 2 + j * w + k = 0 peut être obtenu en divisant par « i ». Le résultat sera : w^2 + j1 * w + k1 = 0, où j1 est égal à j/i et k1 est égal à k/i.

Regardons le 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 déjà résolu avec les résultats w1 = 1 et w2 = 1/2. Il faut le diviser en deux, donc w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Vérifions que les conditions du théorème sont vraies pour les résultats trouvés : 1 + 1/2 = 3/ 2 et 1*1/2 = 1 /2.

Même le deuxième facteur

Si le facteur d'une variable à la première puissance (j) est divisible par 2, alors il sera possible de simplifier la formule et de chercher une solution à travers un quart du discriminant D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. il s'avère que w = (-j +/- d/2) / i, où d/2 = D/4 à la puissance 1/2.

Si i = 1, et que le coefficient j est pair, alors la solution sera le produit de -1 et la moitié du coefficient de la variable w, plus/moins la racine du carré de cette moitié moins la constante « k ». Formule : w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Ordre discriminant supérieur

Le discriminant du trinôme du deuxième degré évoqué ci-dessus est le cas particulier le plus couramment utilisé. Dans le cas général, le discriminant d'un polynôme est carrés multipliés des différences des racines de ce polynôme. Ainsi, un discriminant égal à zéro indique la présence d’au moins deux solutions multiples.

Considérons i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Supposons que le discriminant dépasse zéro. Cela signifie qu’il y a trois racines dans la région des nombres réels. A zéro, il existe plusieurs solutions. Si D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Vidéo

Notre vidéo vous expliquera en détail le calcul du discriminant.

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Le discriminant, comme les équations quadratiques, commence à être étudié dans un cours d'algèbre en 8e année. Vous pouvez résoudre une équation quadratique grâce à un discriminant et en utilisant le théorème de Vieta. Méthodologie d'étude équations du second degré, comme les formules discriminantes, sont inculquées sans succès aux écoliers, comme beaucoup de choses dans la vraie éducation. C'est pourquoi ils passent années scolaires, l'éducation de la 9e à la 11e année remplace " l'enseignement supérieur"et tout le monde regarde à nouveau - "Comment résoudre une équation quadratique ?", "Comment trouver les racines de l'équation ?", "Comment trouver le discriminant ?" Et...

Formule discriminante

Le discriminant D de l'équation quadratique a*x^2+bx+c=0 est égal à D=b^2–4*a*c.
Les racines (solutions) d'une équation quadratique dépendent du signe du discriminant (D) :
D>0 – l'équation a 2 racines réelles différentes ;
D=0 - l'équation a 1 racine (2 racines correspondantes) :
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
La formule de calcul du discriminant est assez simple, c'est pourquoi de nombreux sites Web proposent un calculateur de discriminant en ligne. Nous n'avons pas encore compris ce type de scripts, donc si quelqu'un sait comment l'implémenter, écrivez-nous par e-mail. Cette adresse e-mail est protégée du spam. Vous devez avoir activé JavaScript pour le visualiser. .

Formule générale pour trouver les racines d'une équation quadratique:

On trouve les racines de l'équation en utilisant la formule
Si le coefficient d'une variable au carré est apparié, alors il est conseillé de calculer non pas le discriminant, mais sa quatrième partie
Dans de tels cas, les racines de l'équation sont trouvées à l'aide de la formule

La deuxième façon de trouver des racines est le théorème de Vieta.

Le théorème est formulé non seulement pour les équations quadratiques, mais aussi pour les polynômes. Vous pouvez le lire sur Wikipédia ou sur d’autres ressources électroniques. Cependant, pour simplifier, considérons la partie qui concerne les équations quadratiques ci-dessus, c'est-à-dire les équations de la forme (a=1)
L'essence des formules de Vieta est que la somme des racines de l'équation est égale au coefficient de la variable, pris avec le signe opposé. Le produit des racines de l’équation est égal au terme libre. Le théorème de Vieta peut être écrit sous forme de formules.
La dérivation de la formule de Vieta est assez simple. Écrivons l'équation quadratique à travers des facteurs simples
Comme vous pouvez le constater, tout ce qui est ingénieux est simple à la fois. Il est efficace d'utiliser la formule de Vieta lorsque la différence de module des racines ou la différence des modules des racines est 1, 2. Par exemple, les équations suivantes, selon le théorème de Vieta, ont des racines




Jusqu’à l’équation 4, l’analyse devrait ressembler à ceci. Le produit des racines de l'équation est 6, donc les racines peuvent être les valeurs (1, 6) et (2, 3) ou des paires de signes opposés. La somme des racines est 7 (le coefficient de la variable de signe opposé). De là, nous concluons que les solutions de l'équation quadratique sont x=2 ; x=3.
Il est plus facile de sélectionner les racines de l'équation parmi les diviseurs du terme libre, en ajustant leur signe afin de remplir les formules de Vieta. Au début, cela semble difficile à faire, mais avec la pratique d'un certain nombre d'équations quadratiques, cette technique s'avérera plus efficace que le calcul du discriminant et la recherche des racines de l'équation quadratique de la manière classique.
Comme vous pouvez le constater, la théorie scolaire de l'étude du discriminant et des méthodes de recherche de solutions à l'équation est dépourvue de sens pratique - "Pourquoi les écoliers ont-ils besoin d'une équation quadratique ?", "Quelle est la signification physique du discriminant ?"

Essayons de comprendre Que décrit le discriminant ?

Dans le cours d'algèbre, ils étudient les fonctions, les schémas d'étude des fonctions et la construction d'un graphe de fonctions. Parmi toutes les fonctions, la parabole occupe une place importante, dont l'équation peut s'écrire sous la forme
Ainsi, la signification physique de l'équation quadratique sont les zéros de la parabole, c'est-à-dire les points d'intersection du graphique de la fonction avec l'axe des abscisses Ox
Je vous demande de vous rappeler les propriétés des paraboles décrites ci-dessous. Le moment viendra de passer des examens, des tests ou des examens d’entrée et vous serez reconnaissant pour le matériel de référence. Le signe de la variable au carré correspond au fait que les branches de la parabole sur le graphique vont monter (a>0),

ou une parabole avec des branches vers le bas (un<0) .

Le sommet de la parabole se situe à mi-chemin entre les racines

Signification physique du discriminant :

Si le discriminant est supérieur à zéro (D>0) la parabole a deux points d'intersection avec l'axe Ox.
Si le discriminant est nul (D=0) alors la parabole au sommet touche l'axe des x.
Et le dernier cas, lorsque le discriminant est inférieur à zéro (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Équations quadratiques incomplètes

Les équations quadratiques sont étudiées en 8e année, il n'y a donc rien de compliqué ici. Il est absolument nécessaire de pouvoir les résoudre.

Une équation quadratique est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où les coefficients a, b et c sont des nombres arbitraires et a ≠ 0.

Avant d'étudier des méthodes de résolution spécifiques, notez que toutes les équations quadratiques peuvent être divisées en trois classes :

1. N'avoir pas de racines ;
2. Avoir exactement une racine ;
3. Ils ont deux racines différentes.

C'est une différence importante entre les équations quadratiques et les équations linéaires, où la racine existe toujours et est unique. Comment déterminer le nombre de racines d’une équation ? Il y a une chose merveilleuse à cela - discriminant.

Discriminant

Soit l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0. Alors le discriminant est simplement le nombre D = b 2 − 4ac.

Il faut connaître cette formule par cœur. D’où cela vient n’a plus d’importance maintenant. Une autre chose est importante : par le signe du discriminant, vous pouvez déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique. À savoir:

1. Si D< 0, корней нет;
2. Si D = 0, il y a exactement une racine ;
3. Si D > 0, il y aura deux racines.

Attention : le discriminant indique le nombre de racines, et pas du tout leurs signes, comme beaucoup de gens le croient pour une raison quelconque. Jetez un œil aux exemples et vous comprendrez tout vous-même :

Tâche. Combien de racines ont les équations quadratiques :

1. x 2 − 8x + 12 = 0 ;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0 ;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Écrivons les coefficients de la première équation et trouvons le discriminant :
une = 1, b = −8, c = 12 ;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Le discriminant est donc positif, donc l’équation a deux racines différentes. Nous analysons la deuxième équation de la même manière :
une = 5 ; b = 3 ; c = 7 ;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Le discriminant est négatif, il n’y a pas de racines. La dernière équation restante est :
une = 1 ; b = −6 ; c = 9 ;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Le discriminant est nul - la racine sera un.

Veuillez noter que des coefficients ont été notés pour chaque équation. Oui, c’est long, oui, c’est fastidieux, mais on ne va pas mélanger les probabilités et faire des erreurs stupides. Choisissez vous-même : rapidité ou qualité.

D'ailleurs, si vous comprenez, au bout d'un moment, vous n'aurez plus besoin d'écrire tous les coefficients. Vous effectuerez de telles opérations dans votre tête. La plupart des gens commencent à faire cela quelque part après 50 à 70 équations résolues - en général, pas tant que ça.

Racines d'une équation quadratique

Passons maintenant à la solution elle-même. Si le discriminant D > 0, les racines peuvent être trouvées à l'aide des formules :

Formule de base pour les racines d'une équation quadratique

Lorsque D = 0, vous pouvez utiliser n'importe laquelle de ces formules - vous obtiendrez le même nombre, qui sera la réponse. Enfin, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0 ;
2. 15 − 2x − x2 = 0 ;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Première équation :
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ une = 1 ; b = −2 ; c = −3 ;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ l'équation a deux racines. Trouvons-les :

Deuxième équation :
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ une = −1 ; b = −2 ; c = 15 ;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ l'équation a encore deux racines. Trouvons-les

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fin(aligner)\]

Enfin, la troisième équation :
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ une = 1 ; b = 12 ; c = 36 ;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'équation a une racine. N’importe quelle formule peut être utilisée. Par exemple, le premier :

Comme vous pouvez le voir sur les exemples, tout est très simple. Si vous connaissez les formules et savez compter, il n'y aura aucun problème. Le plus souvent, des erreurs se produisent lors de la substitution de coefficients négatifs dans la formule. Là encore, la technique décrite ci-dessus vous aidera : regardez la formule littéralement, notez chaque étape - et très bientôt vous vous débarrasserez des erreurs.

Équations quadratiques incomplètes

Il arrive qu'une équation quadratique soit légèrement différente de ce qui est donné dans la définition. Par exemple:

1. x2 + 9x = 0 ;
2. X 2 - 16 = 0.

Il est facile de remarquer qu’il manque un terme dans ces équations. De telles équations quadratiques sont encore plus faciles à résoudre que les équations standards : elles ne nécessitent même pas de calculer le discriminant. Alors, introduisons un nouveau concept :

L'équation ax 2 + bx + c = 0 est appelée une équation quadratique incomplète si b = 0 ou c = 0, c'est-à-dire le coefficient de la variable x ou de l'élément libre est égal à zéro.

Bien entendu, un cas très difficile est possible lorsque ces deux coefficients sont égaux à zéro : b = c = 0. Dans ce cas, l'équation prend la forme ax 2 = 0. Évidemment, une telle équation a une racine unique : x = 0.

Considérons les cas restants. Soit b = 0, alors on obtient une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0. Transformons-la un peu :

Depuis l'arithmétique Racine carrée n'existe qu'à partir de nombre négatif, la dernière égalité n'a de sens que pour (−c /a) ≥ 0. Conclusion :

1. Si dans une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0 l'inégalité (−c /a) ≥ 0 est satisfaite, il y aura deux racines. La formule est donnée ci-dessus ;
2. Si (−c /a)< 0, корней нет.

Comme vous pouvez le constater, aucun discriminant n'était nécessaire : il n'y a aucun calcul complexe dans les équations quadratiques incomplètes. En fait, il n'est même pas nécessaire de se souvenir de l'inégalité (−c /a) ≥ 0. Il suffit d'exprimer la valeur x 2 et de voir ce qu'il y a de l'autre côté du signe égal. S’il y a un nombre positif, il y aura deux racines. S’il est négatif, il n’y aura aucune racine.

Regardons maintenant les équations de la forme ax 2 + bx = 0, dans lesquelles l'élément libre est égal à zéro. Tout est simple ici : il y aura toujours deux racines. Il suffit de factoriser le polynôme :

Sortir le facteur commun des parenthèses

Le produit est nul lorsqu’au moins un des facteurs est nul. C'est de là que viennent les racines. En conclusion, examinons quelques-unes de ces équations :

Tâche. Résoudre des équations quadratiques :

1. x 2 - 7x = 0 ;
2. 5x2 + 30 = 0 ;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0 ; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Il n'y a pas de racines, parce que un carré ne peut pas être égal à un nombre négatif.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5 ; x 2 = −1,5.

Équation quadratique - facile à résoudre ! *Ci-après dénommé « KU ». Mes amis, il semblerait qu'il n'y ait rien de plus simple en mathématiques que de résoudre une telle équation. Mais quelque chose m'a dit que beaucoup de gens ont des problèmes avec lui. J'ai décidé de voir combien d'impressions à la demande Yandex donne par mois. Voici ce qui s'est passé, regardez :

Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie qu'environ 70 000 personnes recherchent chaque mois cette information, qu'est-ce que cet été a à voir avec cela et que se passera-t-il entre année scolaire— il y aura deux fois plus de demandes. Ce n'est pas surprenant, car ces enfants et filles qui ont obtenu leur diplôme il y a longtemps et se préparent à l'examen d'État unifié recherchent ces informations, et les écoliers s'efforcent également de se rafraîchir la mémoire.

Malgré le fait qu'il existe de nombreux sites qui vous expliquent comment résoudre cette équation, j'ai décidé de contribuer et de publier également le matériel. Premièrement, je souhaite que les visiteurs viennent sur mon site en fonction de cette demande ; deuxièmement, dans d'autres articles, lorsque le sujet de « KU » sera abordé, je fournirai un lien vers cet article ; troisièmement, je vais vous en dire un peu plus sur sa solution que ce qui est habituellement indiqué sur d'autres sites. Commençons! Le contenu de l'article :

Une équation quadratique est une équation de la forme :

où les coefficients une,bet c sont des nombres arbitraires, avec a≠0.

Dans le cours scolaire, le matériel est donné sous la forme suivante - les équations sont divisées en trois classes :

1. Ils ont deux racines.

2. *N'ayez qu'une seule racine.

3. Ils n’ont pas de racines. Il convient particulièrement de noter ici qu'ils n'ont pas de véritables racines

Comment sont calculées les racines ? Juste!

Nous calculons le discriminant. Sous ce mot « terrible » se cache une formule très simple :

Les formules racine sont les suivantes :

*Il faut connaître ces formules par cœur.

Vous pouvez immédiatement écrire et résoudre :

Exemple:

1. Si D > 0, alors l'équation a deux racines.

2. Si D = 0, alors l'équation a une racine.

3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Regardons l'équation :

A cet égard, lorsque le discriminant est égal à zéro, le cours scolaire dit qu'on obtient une racine, ici elle est égale à neuf. Tout est correct, c'est vrai, mais...

Cette idée est quelque peu incorrecte. En fait, il y a deux racines. Oui, oui, ne sois pas surpris, il s'avère que deux racines égales, et pour être mathématiquement précis, la réponse doit contenir deux racines :

x 1 = 3 x 2 = 3

Mais c'est ainsi - une petite digression. À l’école, vous pouvez l’écrire et dire qu’il n’y a qu’une seule racine.

Maintenant l'exemple suivant :

Comme nous le savons, la racine d’un nombre négatif ne peut pas être prise, il n’y a donc pas de solution dans ce cas.

C'est tout le processus de décision.

Fonction quadratique.

Cela montre à quoi ressemble géométriquement la solution. Ceci est extrêmement important à comprendre (à l'avenir, dans l'un des articles, nous analyserons en détail la solution à l'inégalité quadratique).

C'est une fonction de la forme :

où x et y sont des variables

a, b, c – nombres donnés, avec a ≠ 0

Le graphique est une parabole :

Autrement dit, il s'avère qu'en résolvant une équation quadratique avec « y » égal à zéro, nous trouvons les points d'intersection de la parabole avec l'axe des x. Il peut y avoir deux de ces points (le discriminant est positif), un (le discriminant est nul) et aucun (le discriminant est négatif). Détails sur fonction quadratique Vous pouvez visualiser article d'Inna Feldman.

Regardons des exemples :

Exemple 1 : Résoudre 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Réponse : x 1 = 8 x 2 = –12

*Il était possible de diviser immédiatement les côtés gauche et droit de l'équation par 2, c'est-à-dire de la simplifier. Les calculs seront plus faciles.

Exemple 2 : Décider x2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Nous avons trouvé que x 1 = 11 et x 2 = 11

Il est permis d'écrire x = 11 dans la réponse.

Réponse : x = 11

Exemple 3 : Décider x2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Le discriminant est négatif, il n’y a pas de solution en nombres réels.

Réponse : pas de solution

Le discriminant est négatif. Il existe une solution !

Nous parlerons ici de la résolution de l'équation dans le cas où un discriminant négatif est obtenu. Connaissez-vous quelque chose sur les nombres complexes ? Je n'entrerai pas ici dans les détails sur pourquoi et où ils sont apparus ni sur leur rôle spécifique et leur nécessité en mathématiques ; c'est le sujet d'un grand article séparé.

Le concept d'un nombre complexe.

Un peu de théorie.

Un nombre complexe z est un nombre de la forme

z = a + bi

où a et b sont des nombres réels, i est ce qu'on appelle l'unité imaginaire.

a+bi – il s’agit d’un NUMÉRO UNIQUE, pas d’un ajout.

L'unité imaginaire est égale à la racine de moins un :

Considérons maintenant l'équation :

On obtient deux racines conjuguées.

Équation quadratique incomplète.

Considérons des cas particuliers, c'est lorsque le coefficient « b » ou « c » est égal à zéro (ou les deux sont égaux à zéro). Ils peuvent être résolus facilement sans aucun discriminant.

Cas 1. Coefficient b = 0.

L'équation devient :

Transformons :

Exemple:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Cas 2. Coefficient c = 0.

L'équation devient :

Transformons et factorisons :

*Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro.

Exemple:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0

x1 = 0x2 = 5

Cas 3. Coefficients b = 0 et c = 0.

Ici, il est clair que la solution de l’équation sera toujours x = 0.

Propriétés utiles et modèles de coefficients.

Il existe des propriétés qui permettent de résoudre des équations avec de grands coefficients.

UNX 2 + bx+ c=0 l'égalité est vraie

un + b+ c = 0, Que

- si pour les coefficients de l'équation UNX 2 + bx+ c=0 l'égalité est vraie

un+ c =b, Que

Ces propriétés aident à résoudre un certain type d’équation.

Exemple 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somme des cotes est de 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ce qui signifie

Exemple 2 : 2501 X 2 +2507 X+6=0

L’égalité tient un+ c =b, Moyens

Régularités des coefficients.

1. Si dans l'équation ax 2 + bx + c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 +1), et le coefficient « c » est numériquement égal au coefficient"a", alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 +1)∙x+ une= 0 = > x 1 = –une x 2 = –1/une.

Exemple. Considérons l'équation 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x1 = –6 x2 = –1/6.

2. Si dans l'équation ax 2 – bx + c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 +1) et que le coefficient « c » est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 – (une 2 +1)∙x+ une= 0 = > X 1 = une X 2 = 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Si dans l'équation. ax 2 + bx – c = 0 coefficient « b » est égal à (a 2 – 1), et coefficient « c » est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 + (une 2 –1)∙x – une= 0 = > x 1 = – une x 2 = 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Si dans l'équation ax 2 – bx – c = 0 le coefficient « b » est égal à (a 2 – 1) et que le coefficient c est numériquement égal au coefficient « a », alors ses racines sont égales

hache 2 – (une 2 –1)∙x – une= 0 = > x 1 = une x 2 = – 1/une.

Exemple. Considérons l'équation 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Théorème de Vieta.

Le théorème de Vieta doit son nom au célèbre mathématicien français François Vieta. En utilisant le théorème de Vieta, nous pouvons exprimer la somme et le produit des racines d'une KU arbitraire en termes de ses coefficients.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Au total, le nombre 14 ne donne que 5 et 9. Ce sont des racines. Avec une certaine habileté, en utilisant le théorème présenté, vous pouvez résoudre oralement de nombreuses équations quadratiques immédiatement.

Le théorème de Vieta, en plus. pratique dans la mesure où après avoir résolu l'équation quadratique de la manière habituelle(via le discriminant) les racines résultantes peuvent être vérifiées. Je recommande de toujours faire cela.

MODE DE TRANSPORT

Avec cette méthode, le coefficient « a » est multiplié par le terme libre, comme s'il lui était « jeté », c'est pourquoi on l'appelle méthode de « transfert ». Cette méthode est utilisée lorsque les racines de l'équation peuvent être facilement trouvées à l'aide du théorème de Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré exact.

Si UN± b+c≠ 0, alors la technique de transfert est utilisée, par exemple :

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

En utilisant le théorème de Vieta dans l'équation (2), il est facile de déterminer que x 1 = 10 x 2 = 1

Les racines résultantes de l'équation doivent être divisées par 2 (puisque les deux ont été « jetées » depuis x 2), on obtient

x1 = 5x2 = 0,5.

Quelle est la justification ? Regardez ce qui se passe.

Les discriminants des équations (1) et (2) sont égaux :

Si vous regardez les racines des équations, vous n'obtenez que des dénominateurs différents, et le résultat dépend précisément du coefficient de x 2 :

Le second (modifié) a des racines 2 fois plus grosses.

On divise donc le résultat par 2.

*Si on relance les trois, on divisera le résultat par 3, etc.

Réponse : x 1 = 5 x 2 = 0,5

Carré. ur-ie et examen d'État unifié.

Je vais vous parler brièvement de son importance - VOUS DEVEZ POUVOIR DÉCIDER rapidement et sans réfléchir, vous devez connaître par cœur les formules des racines et des discriminants. De nombreux problèmes inclus dans les tâches de l'examen d'État unifié se résument à la résolution d'une équation quadratique (y compris les équations géométriques).

Quelque chose à noter !

1. La forme d'écriture d'une équation peut être « implicite ». Par exemple, la saisie suivante est possible :

15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.

Vous devez l'amener à vue générale(afin de ne pas se tromper au moment de décider).

2. N'oubliez pas que x est une quantité inconnue et qu'elle peut être désignée par n'importe quelle autre lettre - t, q, p, h et autres.

Équations du second degré. Discriminant. Solution, exemples.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Types d'équations quadratiques

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ? À quoi cela ressemble-t-il? En terme équation quadratique le mot clé est "carré". Cela signifie que dans l'équation Nécessairement il doit y avoir un x au carré. En plus de cela, l'équation peut (ou non !) contenir uniquement X (à la première puissance) et juste un nombre. (Membre gratuit). Et il ne devrait pas y avoir de X à une puissance supérieure à deux.

En termes mathématiques, une équation quadratique est une équation de la forme :

Ici a, b et c- quelques chiffres. b et c- absolument aucun, mais UN– autre chose que zéro. Par exemple:

Ici UN =1; b = 3; c = -4

Ici UN =2; b = -0,5; c = 2,2

Ici UN =-3; b = 6; c = -18

Eh bien, vous comprenez...

Dans ces équations quadratiques de gauche, il y a ensemble complet membres. X au carré avec un coefficient UN, x à la puissance première avec coefficient b Et membres gratuits s.

De telles équations quadratiques sont appelées complet.

Et si b= 0, qu'obtient-on ? Nous avons X sera perdu à la première puissance. Cela se produit lorsqu'il est multiplié par zéro.) Il s'avère, par exemple :

5x 2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Et ainsi de suite. Et si les deux coefficients b Et c sont égaux à zéro, alors c’est encore plus simple :

2x2 =0,

-0,3x2 =0

De telles équations dans lesquelles quelque chose manque sont appelées équations quadratiques incomplètes. Ce qui est tout à fait logique.) Veuillez noter que x au carré est présent dans toutes les équations.

Au fait, pourquoi UN ne peut pas être égal à zéro ? Et tu remplaces à la place UN zéro.) Notre X au carré disparaîtra ! L'équation deviendra linéaire. Et la solution est complètement différente...

Ce sont tous les principaux types d’équations quadratiques. Complet et incomplet.

Résolution d'équations quadratiques.

Résolution d'équations quadratiques complètes.

Les équations quadratiques sont faciles à résoudre. Selon des formules et des règles claires et simples. Dans un premier temps, il faut équation donnée conduire à un formulaire standard, c'est-à-dire au formulaire :

Si l'équation vous est déjà donnée sous cette forme, vous n'avez pas besoin de faire la première étape.) L'essentiel est de déterminer correctement tous les coefficients, UN, b Et c.

La formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ressemble à ceci :

L'expression sous le signe racine s'appelle discriminant. Mais plus sur lui ci-dessous. Comme vous pouvez le voir, pour trouver X, on utilise seulement a, b et c. Ceux. coefficients d’une équation quadratique. Remplacez simplement soigneusement les valeurs a, b et c Nous calculons dans cette formule. Remplaçons avec vos propres signes ! Par exemple, dans l'équation :

UN =1; b = 3; c= -4. Ici, nous l'écrivons :

L'exemple est presque résolu :

C'est la réponse.

Tout est très simple. Et quoi, tu penses qu’il est impossible de se tromper ? Eh bien, oui, comment...

Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les valeurs des signes a, b et c. Ou plutôt, pas avec leurs signes (où se tromper ?), mais avec substitution valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ce qui aide ici, c'est un enregistrement détaillé de la formule avec des nombres spécifiques. S'il y a des problèmes avec les calculs, fais ça!

Supposons que nous devions résoudre l'exemple suivant :

Ici un = -6; b = -5; c = -1

Disons que vous savez que vous obtenez rarement des réponses du premier coup.

Eh bien, ne soyez pas paresseux. Il faudra environ 30 secondes pour écrire une ligne supplémentaire. Et le nombre d'erreurs diminuera fortement. On écrit donc en détail, avec toutes les parenthèses et signes :

Cela semble incroyablement difficile à rédiger avec autant de soin. Mais il semble que ce soit le cas. Essaie. Eh bien, ou choisissez. Quoi de mieux, vite ou bien ? En plus, je te rendrai heureux. Après un certain temps, il ne sera plus nécessaire de tout écrire avec autant de soin. Cela fonctionnera tout seul. Surtout si vous utilisez les techniques pratiques décrites ci-dessous. Ce mauvais exemple avec un tas d'inconvénients peut être résolu facilement et sans erreurs !

Mais souvent, les équations quadratiques semblent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :

L'avez-vous reconnu ?) Oui ! Ce équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes.

Ils peuvent également être résolus à l’aide d’une formule générale. Il vous suffit de bien comprendre à quoi ils sont égaux ici. a, b et c.

L'as-tu compris? Dans le premier exemple une = 1 ; b = -4 ; UN c? Il n'y est pas du tout ! Eh bien oui, c'est vrai. En mathématiques, cela signifie que c = 0 ! C'est tout. Remplacez plutôt zéro dans la formule c, et nous réussirons. Idem avec le deuxième exemple. Seulement nous n'avons pas zéro ici Avec, UN b !

Mais les équations quadratiques incomplètes peuvent être résolues beaucoup plus simplement. Sans aucune formule. Considérons la première équation incomplète. Que pouvez-vous faire du côté gauche ? Vous pouvez retirer X des parenthèses ! Sortons-le.

Et qu'en est-il de cela ? Et le fait que le produit est égal à zéro si et seulement si l’un des facteurs est égal à zéro ! Vous ne me croyez pas ? D'accord, alors trouvez deux nombres non nuls qui, une fois multipliés, donneront zéro !
Ne marche pas? C'est ça...
On peut donc écrire en toute confiance : x1 = 0, x2 = 4.

Tous. Ce seront les racines de notre équation. Les deux conviennent. En remplaçant l'un d'entre eux dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité correcte 0 = 0. Comme vous pouvez le voir, la solution est beaucoup plus simple que d'utiliser la formule générale. Permettez-moi, en passant, de noter quel X sera le premier et lequel sera le second - absolument indifférent. Il est pratique d'écrire dans l'ordre, x1- ce qui est plus petit et x2- ce qui est plus grand.

La deuxième équation peut également être résolue simplement. Déplacez 9 vers la droite. On a:

Il ne reste plus qu’à extraire la racine de 9, et c’est tout. Il s'avérera :

Aussi deux racines . x1 = -3, x2 = 3.

C’est ainsi que sont résolues toutes les équations quadratiques incomplètes. Soit en plaçant X entre parenthèses, soit en déplaçant simplement le nombre vers la droite puis en extrayant la racine.
Il est extrêmement difficile de confondre ces techniques. Tout simplement parce que dans le premier cas il faudra extraire la racine de X, ce qui est en quelque sorte incompréhensible, et dans le second cas il n'y a rien à sortir des parenthèses...

Discriminant. Formule discriminante.

mot magique discriminant ! Rarement un lycéen n’a pas entendu ce mot ! L’expression « nous résolvons grâce à un discriminant » inspire confiance et rassure. Car il ne faut pas s’attendre à des ruses de la part du discriminant ! C'est simple et sans problème à utiliser.) Je vous rappelle le plus formule générale pour des solutions n'importe lequeléquations du second degré:

L'expression sous le signe racine est appelée discriminant. Généralement, le discriminant est désigné par la lettre D. Formule discriminante :

D = b 2 - 4ac

Et qu’y a-t-il de si remarquable dans cette expression ? Pourquoi méritait-il un nom spécial ? Quoi le sens du discriminant ? Après tout -b, ou 2a dans cette formule, ils ne l'appellent pas spécifiquement... Des lettres et des lettres.

Voici le truc. Lors de la résolution d'une équation quadratique à l'aide de cette formule, il est possible seulement trois cas.

1. Le discriminant est positif. Cela signifie que la racine peut en être extraite. Que la racine soit bien ou mal extraite est une autre question. Ce qui est important, c'est ce qui est extrait en principe. Alors votre équation quadratique a deux racines. Deux solutions différentes.

2. Le discriminant est nul. Vous aurez alors une solution. Puisque ajouter ou soustraire zéro au numérateur ne change rien. À proprement parler, il ne s’agit pas d’une seule racine, mais deux identiques. Mais, dans une version simplifiée, il est d'usage de parler de une solution.

3. Le discriminant est négatif. La racine carrée d’un nombre négatif ne peut pas être prise. Bien, OK. Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Honnêtement parlant, quand solution simpleéquations quadratiques, la notion de discriminant n'est pas particulièrement requise. Nous substituons les valeurs des coefficients dans la formule et comptons. Tout y arrive tout seul, deux racines, une et aucune. Cependant, lors de la résolution de tâches plus complexes, sans connaissance sens et formule du discriminant pas assez. Surtout dans les équations avec paramètres. De telles équations sont de la voltige pour l'examen d'État et l'examen d'État unifié !)

Donc, comment résoudre des équations quadratiquesà travers le discriminant dont vous vous souvenez. Ou vous avez appris, ce qui n'est pas mal non plus.) Vous savez déterminer correctement a, b et c. Savez-vous comment? attentivement remplacez-les dans la formule racine et attentivement compter le résultat. Vous comprenez que le mot clé ici est attentivement ?

Prenez maintenant note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d’erreurs. Les mêmes qui sont dus à l'inattention... Pour lesquels cela devient plus tard douloureux et offensant...

Premier rendez-vous . Ne soyez pas paresseux avant de résoudre une équation quadratique et de la mettre sous forme standard. Qu'est-ce que cela signifie?
Disons qu'après toutes les transformations vous obtenez l'équation suivante :

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous aurez presque certainement des chances mélangées a, b et c. Construisez correctement l’exemple. D'abord X au carré, puis sans carré, puis le terme libre. Comme ça:

Et encore une fois, ne vous précipitez pas ! Un moins devant un X au carré peut vraiment vous contrarier. C'est facile d'oublier... Débarrassez-vous du moins. Comment? Oui, comme enseigné dans le sujet précédent ! Nous devons multiplier l’équation entière par -1. On a:

Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et terminer la résolution de l'exemple. Décider vous-même. Vous devriez maintenant avoir les racines 2 et -1.

Réception deuxième. Vérifiez les racines ! D'après le théorème de Vieta. N'ayez pas peur, je vous explique tout ! Vérification dernière chose l'équation. Ceux. celui que nous avons utilisé pour écrire la formule racine. Si (comme dans cet exemple) le coefficient une = 1, vérifier les racines est facile. Il suffit de les multiplier. Le résultat devrait être un membre libre, c'est-à-dire dans notre cas -2. Attention, pas 2, mais -2 ! Membre gratuit avec ton signe . Si ça ne marche pas, c’est qu’ils ont déjà fait une erreur quelque part. Recherchez l'erreur.

Si cela fonctionne, vous devez ajouter les racines. Dernière et dernière vérification. Le coefficient doit être b Avec opposé familier. Dans notre cas -1+2 = +1. Un coefficient b, qui est avant le X, est égal à -1. Donc tout est correct !
C'est dommage que cela ne soit si simple que pour des exemples où x au carré est pur, avec un coefficient une = 1. Mais vérifiez au moins de telles équations ! Il y aura de moins en moins d'erreurs.

Troisième réception . Si votre équation a des coefficients fractionnaires, débarrassez-vous des fractions ! Multipliez l'équation par un dénominateur commun comme décrit dans la leçon « Comment résoudre des équations ? Transformations d'identité ». Lorsque vous travaillez avec des fractions, des erreurs continuent de s'infiltrer pour une raison quelconque...

À propos, j'ai promis de simplifier le mauvais exemple avec un tas d'inconvénients. S'il te plaît! Il est la.

Afin de ne pas se tromper avec les moins, on multiplie l'équation par -1. On a:

C'est tout! Résoudre est un plaisir !

Alors, résumons le sujet.

Conseils pratiques:

1. Avant de résoudre, nous mettons l'équation quadratique sous forme standard et la construisons Droite.

2. S'il y a un coefficient négatif devant X au carré, on l'élimine en multipliant l'équation entière par -1.

3. Si les coefficients sont fractionnaires, on élimine les fractions en multipliant l'équation entière par le facteur correspondant.

4. Si x au carré est pur, son coefficient égal à un, la solution peut être facilement vérifiée à l'aide du théorème de Vieta. Fais-le!

Maintenant, nous pouvons décider.)

Résoudre des équations :

8x2 - 6x + 1 = 0

x2 + 3x + 8 = 0

x2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Réponses (en désarroi) :

x1 = 0
x2 = 5

x 1,2 =2

x1 = 2
x2 = -0,5

x - n'importe quel nombre

x1 = -3
x2 = 3

aucune solution

x1 = 0,25
x2 = 0,5

Est-ce que tout rentre ? Super! Les équations quadratiques ne sont pas un casse-tête. Les trois premiers ont fonctionné, mais pas les autres ? Alors le problème ne vient pas des équations quadratiques. Le problème réside dans les transformations identiques des équations. Jetez un oeil au lien, c'est utile.

Ça ne marche pas vraiment ? Ou ça ne marche pas du tout ? Alors vous serez aidé par l’article 555. Tous ces exemples y sont détaillés. Montré principal erreurs dans la solution. Bien sûr, il parle aussi de l'utilisation transformations identitaires dans la résolution de diverses équations. Aide beaucoup !

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.