Résoudre des équations exponentielles de même degré. Résoudre des équations exponentielles. Les bases

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Rappelons d’abord les formules de base des pouvoirs et leurs propriétés.

Produit d'un nombre un se produit sur lui-même n fois, on peut écrire cette expression sous la forme a a … a=a n

1. une 0 = 1 (une ≠ 0)

3. un n un m = un n + m

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. un n / un m = un n - m

Equations de puissance ou exponentielles– ce sont des équations dans lesquelles les variables sont en puissances (ou exposants), et la base est un nombre.

Exemples d'équations exponentielles :

Dans cet exemple, le chiffre 6 est la base ; il est toujours en bas, et la variable X degré ou indicateur.

Donnons plus d'exemples d'équations exponentielles.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Voyons maintenant comment les équations exponentielles sont résolues ?

Prenons une équation simple :

2 x = 2 3

Cet exemple peut être résolu même dans votre tête. On voit que x=3. Après tout, pour que les côtés gauche et droit soient égaux, vous devez mettre le chiffre 3 au lieu de x.
Voyons maintenant comment formaliser cette décision :

2 x = 2 3
x = 3

Afin de résoudre une telle équation, nous avons supprimé motifs identiques(c'est-à-dire deux) et j'ai noté ce qui restait, ce sont des diplômes. Nous avons obtenu la réponse que nous recherchions.

Résumons maintenant notre décision.

Algorithme de résolution de l'équation exponentielle :
1. Besoin de vérifier le même si l'équation a des bases à droite et à gauche. Si les raisons ne sont pas les mêmes, nous recherchons des options pour résoudre cet exemple.
2. Une fois que les bases sont devenues les mêmes, assimiler degrés et résoudre la nouvelle équation résultante.

Voyons maintenant quelques exemples :

Commençons par quelque chose de simple.

Les bases des côtés gauche et droit sont égales au chiffre 2, ce qui signifie que nous pouvons écarter la base et égaliser leurs degrés.

x+2=4 L'équation la plus simple est obtenue.
x=4 – 2
x=2
Réponse : x=2

Dans l'exemple suivant, vous pouvez voir que les bases sont différentes : 3 et 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Tout d’abord, déplaçons le neuf vers la droite, nous obtenons :

Maintenant, vous devez créer les mêmes bases. Nous savons que 9=3 2. Utilisons la formule de puissance (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

On obtient 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Il est maintenant clair que sur les côtés gauche et droit, les bases sont les mêmes et égales à trois, ce qui signifie que nous pouvons les écarter et égaliser les degrés.

3x=2x+16 on obtient l'équation la plus simple
3x - 2x=16
x=16
Réponse : x=16.

Regardons l'exemple suivant :

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

Tout d’abord, nous examinons les bases, les bases deux et quatre. Et nous avons besoin qu’ils soient les mêmes. Nous transformons les quatre en utilisant la formule (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Et nous utilisons également une formule a n a m = a n + m :

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ajoutez à l'équation :

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Mais les autres nombres 10 et 24 nous gênent, que faire avec eux ? Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir que sur le côté gauche nous avons 2 2x répétés, voici la réponse - nous pouvons mettre 2 2x entre parenthèses :

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculons l'expression entre parenthèses :

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

On divise l'équation entière par 6 :

Imaginons 4=2 2 :

2 2x = 2 2 bases sont les mêmes, nous les rejetons et égalisons les degrés.
2x = 2 est l'équation la plus simple. Divisez-le par 2 et nous obtenons
x = 1
Réponse : x = 1.

Résolvons l'équation :

9 x – 12*3 x +27= 0

Convertissons :
9 x = (3 2) x = 3 2x

On obtient l'équation :
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nos bases sont les mêmes, égales à 3. Dans cet exemple, vous pouvez voir que les trois premiers ont un degré deux fois (2x) que le second (juste x). Dans ce cas, vous pouvez résoudre méthode de remplacement. On remplace le nombre par le plus petit degré :

Alors 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Nous remplaçons toutes les puissances x dans l'équation par t :

t2 - 12t+27 = 0
Nous obtenons une équation quadratique. En résolvant par le discriminant, on obtient :
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenir à la variable X.

Prenez le t1 :
t 1 = 9 = 3x

C'est,

3x = 9
3x = 3 2
x1 = 2

Une racine a été trouvée. Nous recherchons le deuxième à partir de t 2 :
t 2 = 3 = 3x
3x = 3 1
x2 = 1
Réponse : x 1 = 2 ; x2 = 1.

Sur le site, vous pouvez poser toutes vos questions dans la section AIDE À DÉCIDER, nous vous répondrons certainement.

Rejoins le groupe

Équipement:

• ordinateur,
• projecteur multimédia,
• écran,
• Annexe 1(Présentation de diapositives PowerPoint) « Méthodes de résolution d'équations exponentielles »
• Annexe 2(Résoudre une équation comme « Trois bases de pouvoirs différentes » dans Word)
• Annexe 3(document dans Word pour Travaux pratiques).
• Annexe 4(document en Word pour les devoirs).

Pendant les cours

1. Étape organisationnelle

• message du sujet de la leçon (écrit au tableau),
• la nécessité d'un cours général dans les classes 10-11 :

L'étape de préparation des étudiants à l'apprentissage actif

Répétition

Définition.

Une équation exponentielle est une équation contenant une variable avec un exposant (réponses des élèves).

Note du professeur. Les équations exponentielles appartiennent à la classe des équations transcendantales. Ce nom imprononçable suggère que de telles équations, d’une manière générale, ne peuvent pas être résolues sous forme de formules.

Ils ne peuvent être résolus qu’approximativement par des méthodes numériques sur ordinateur. Mais qu’en est-il des tâches d’examen ? L’astuce est que l’examinateur formule le problème de manière à permettre une solution analytique. En d’autres termes, vous pouvez (et devez !) faire ce qui suit : transformations identitaires, qui réduisent cette équation exponentielle à l'équation exponentielle la plus simple. Cette équation la plus simple s’appelle : l'équation exponentielle la plus simple. C'est en train d'être résolu par logarithme.

La situation de résolution d'une équation exponentielle rappelle un voyage dans un labyrinthe spécialement inventé par l'auteur du problème. De ces arguments très généraux découlent des recommandations très précises.

Pour réussir à résoudre des équations exponentielles, vous devez :

1. Non seulement connaître activement toutes les identités exponentielles, mais également trouver les ensembles de valeurs variables sur lesquelles ces identités sont définies, de sorte que lors de l'utilisation de ces identités, vous n'acquérez pas de racines inutiles, et plus encore, ne perdez pas de solutions à l'équation.

2. Connaître activement toutes les identités exponentielles.

3. Effectuer clairement, en détail et sans erreurs, des transformations mathématiques d'équations (transférer les termes d'une partie de l'équation à une autre, sans oublier de changer de signe, ramener les fractions à un dénominateur commun, etc.). C’est ce qu’on appelle la culture mathématique. Dans le même temps, les calculs eux-mêmes doivent être effectués automatiquement à la main et le responsable doit réfléchir au fil conducteur général de la solution. Les transformations doivent être effectuées avec le plus grand soin et le plus de détails possible. Seul cela garantira une décision correcte et sans erreur. Et rappelez-vous : une petite erreur arithmétique peut simplement créer une équation transcendantale qui, en principe, ne peut pas être résolue analytiquement. Il s'avère que vous avez perdu votre chemin et que vous avez heurté le mur du labyrinthe.

4. Connaître les méthodes pour résoudre les problèmes (c'est-à-dire connaître tous les chemins à travers le labyrinthe de solutions). Pour naviguer correctement à chaque étape, vous devrez (consciemment ou intuitivement !) :

• définir type d'équation;
• rappelez-vous le type correspondant méthode de résolution Tâches.

L'étape de généralisation et de systématisation du matériel étudié.

L'enseignant, avec les élèves à l'aide d'un ordinateur, passe en revue tous les types d'équations exponentielles et les méthodes pour les résoudre, compile régime général. (Formation utilisée Programme d'ordinateur L.Ya. Borevsky "Cours de mathématiques - 2000", l'auteur de la présentation PowerPoint est T.N. Kuptsova.)

Riz. 1. La figure montre un schéma général de tous les types d'équations exponentielles.

Comme le montre ce diagramme, la stratégie pour résoudre les équations exponentielles consiste à réduire l'équation exponentielle donnée à l'équation, tout d'abord, avec les mêmes bases de diplômes , et puis – et avec les mêmes indicateurs de degré.

Après avoir reçu une équation avec les mêmes bases et exposants, vous remplacez cet exposant par une nouvelle variable et obtenez une équation algébrique simple (généralement fractionnaire-rationnelle ou quadratique) par rapport à cette nouvelle variable.

Après avoir résolu cette équation et effectué la substitution inverse, vous vous retrouvez avec un ensemble d'équations exponentielles simples qui peuvent être résolues en vue générale en utilisant le logarithme.

Les équations dans lesquelles seuls des produits de puissances (partielles) se démarquent. En utilisant les identités exponentielles, il est possible de réduire immédiatement ces équations à une base, en particulier à l'équation exponentielle la plus simple.

Voyons comment résoudre une équation exponentielle avec trois bases différentes.

(Si l'enseignant dispose du programme informatique pédagogique de L.Ya. Borevsky «Cours de mathématiques - 2000», alors naturellement nous travaillons avec le disque, sinon, vous pouvez en faire une impression de ce type d'équation pour chaque pupitre, présenté ci-dessous.)

Riz. 2. Plan pour résoudre l’équation.

Riz. 3. Commencez à résoudre l'équation

Riz. 4. Terminez de résoudre l’équation.

Faire des travaux pratiques

Déterminez le type d’équation et résolvez-le.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Résumer la leçon

Notation pour la leçon.

Fin de cours

Pour le professeur

Entraînez-vous au schéma de réponse.

Exercice: dans la liste des équations, sélectionnez les équations du type spécifié (entrez le numéro de réponse dans le tableau) :

1. Trois bases de diplômes différentes
2. Deux bases différentes - exposants différents
3. Bases de pouvoirs - pouvoirs d'un seul nombre
4. Mêmes bases – exposants différents
5. Les mêmes bases de diplômes - les mêmes indicateurs de diplômes
6. Produit de pouvoirs
7. Deux bases de diplômes différentes - les mêmes indicateurs
8. Les équations exponentielles les plus simples

1. (produit de puissances)

2. (mêmes bases – exposants différents)

Exemples:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Comment résoudre des équations exponentielles

Lors de la résolution d'une équation exponentielle, nous nous efforçons de l'amener à la forme \(a^(f(x))=a^(g(x))\), puis effectuons la transition vers l'égalité des exposants, c'est-à-dire :

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Par exemple:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Important! De la même logique découlent deux exigences pour une telle transition :
- numéro dans la gauche et la droite devraient être identiques ;
- les degrés à gauche et à droite doivent être « purs », c'est-à-dire qu'il ne devrait y avoir aucune multiplication, division, etc.

Par exemple:

Pour réduire l'équation à la forme \(a^(f(x))=a^(g(x))\) et sont utilisés.

Exemple . Résolvez l'équation exponentielle \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Solution:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Nous savons que \(27 = 3^3\). En tenant compte de cela, nous transformons l'équation.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Par la propriété de la racine \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) on obtient que \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Ensuite, en utilisant la propriété de degré \((a^b)^c=a^(bc)\), nous obtenons \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Nous savons également que \(a^b·a^c=a^(b+c)\). En appliquant cela au côté gauche, nous obtenons : \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Rappelez-vous maintenant que : \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Cette formule peut également être utilisée dans verso: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Alors \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		En appliquant la propriété \((a^b)^c=a^(bc)\) au côté droit, on obtient : \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Et maintenant nos bases sont égales et il n'y a pas de coefficients interférents, etc. Nous pouvons donc faire la transition.
		Exemple . Résolvez l'équation exponentielle \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Solution: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Nous utilisons à nouveau la propriété de puissance \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) dans la direction opposée. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Rappelez-vous maintenant que \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) En utilisant les propriétés des degrés, on transforme : \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Nous examinons attentivement l'équation et voyons que le remplacement \(t=2^x\) se suggère. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Cependant, nous avons trouvé les valeurs de \(t\), et nous avons besoin de \(x\). Nous revenons aux X en effectuant un remplacement inversé. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformons la deuxième équation en utilisant la propriété de puissance négative... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...et nous décidons jusqu'à la réponse. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Répondre : \(-1; 1\). La question demeure : comment comprendre quand utiliser quelle méthode ? Cela vient avec l’expérience. Jusqu'à ce que vous l'obteniez, utilisez-le recommandation générale pour résoudre des problèmes complexes - « si vous ne savez pas quoi faire, faites ce que vous pouvez ». Autrement dit, cherchez comment vous pouvez transformer l'équation en principe et essayez de le faire - et si que se passait-il ? L'essentiel est de n'effectuer que des transformations basées sur des mathématiques. Équations exponentielles sans solutions Examinons deux autres situations qui déroutent souvent les étudiants : - un nombre positif à la puissance est égal à zéro, par exemple \(2^x=0\) ; - un nombre positif est égal à une puissance d'un nombre négatif, par exemple \(2^x=-4\). Essayons de résoudre par force brute. Si x est un nombre positif, alors à mesure que x grandit, la puissance totale \(2^x\) ne fera qu'augmenter : \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Aussi par. Il reste des X négatifs. En nous souvenant de la propriété \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), on vérifie : \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Même si le nombre diminue à chaque pas, il n'atteindra jamais zéro. Le degré négatif ne nous a donc pas sauvé. Nous arrivons à une conclusion logique : Un nombre positif, dans quelque mesure que ce soit, restera un nombre positif. Ainsi, les deux équations ci-dessus n’ont pas de solutions. Équations exponentielles avec différentes bases En pratique, on rencontre parfois des équations exponentielles avec des bases différentes, non réductibles les unes aux autres, et en même temps avec les mêmes exposants. Ils ressemblent à ceci : \(a^(f(x))=b^(f(x))\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres positifs. Par exemple: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) De telles équations peuvent facilement être résolues en divisant par l'un des côtés de l'équation (généralement divisé par le côté droit, c'est-à-dire par \(b^(f(x))\). Vous pouvez diviser de cette façon car un nombre positif est positif à toute puissance (c'est-à-dire que nous ne divisons pas par zéro). Nous obtenons : \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Exemple . Résolvez l'équation exponentielle \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Solution: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Ici, nous ne pourrons pas transformer un cinq en trois, ou vice versa (du moins sans utiliser ). Cela signifie que nous ne pouvons pas arriver à la forme \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Cependant, les indicateurs sont les mêmes. Divisons l'équation par le côté droit, c'est-à-dire par \(3^(x+7)\) (nous pouvons le faire car nous savons que trois ne sera nullement nul). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Rappelez-vous maintenant la propriété \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) et utilisez-la depuis la gauche dans la direction opposée. A droite, on réduit simplement la fraction. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Il semblerait que les choses ne se soient pas améliorées. Mais rappelez-vous une autre propriété de la puissance : \(a^0=1\), en d'autres termes : "tout nombre à la puissance zéro est égal à \(1\)." L’inverse est également vrai : « un peut être représenté par n’importe quel nombre à la puissance zéro ». Profitons-en en faisant en sorte que la base de droite soit la même que celle de gauche. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voilà ! Débarrassons-nous des bases. Nous écrivons une réponse. Répondre : \(-7\). Parfois, la « similitude » des exposants n’est pas évidente, mais une utilisation habile des propriétés des exposants résout ce problème. Exemple . Résolvez l'équation exponentielle \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Solution: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) L'équation a l'air bien triste... Non seulement les bases ne peuvent pas être réduites au même nombre (sept ne sera en aucun cas égal à \(\frac(1)(3)\)), mais en plus les exposants sont différents. .. Cependant, utilisons l'exposant gauche deux. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) En nous souvenant de la propriété \((a^b)^c=a^(b·c)\) , nous transformons depuis la gauche : \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Maintenant, en nous souvenant de la propriété de degré négatif \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), nous transformons depuis la droite : \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Alléluia! Les indicateurs sont les mêmes ! En agissant selon le schéma qui nous est déjà familier, nous résolvons avant la réponse. Répondre : \(2\).

Conférence : « Méthodes de résolution d'équations exponentielles. »

1 . Équations exponentielles.

Les équations contenant des inconnues dans les exposants sont appelées équations exponentielles. La plus simple d'entre elles est l'équation ax = b, où a > 0, a ≠ 1.

1) En b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 fonction exponentielle, n'a pas de solution.

2) Pour b > 0, en utilisant la monotonie de la fonction et le théorème racine, l'équation a une racine unique. Pour le trouver, b doit être représenté sous la forme b = aс, аx = bс ó x = c ou x = logab.

Les équations exponentielles par transformations algébriques conduisent à des équations standards, qui sont résolues à l'aide des méthodes suivantes :

1) méthode de réduction à une base ;

2) méthode d'évaluation ;

3) méthode graphique ;

4) méthode d'introduction de nouvelles variables ;

5) méthode de factorisation ;

6) indicatif – équations de puissance;

7) démonstratif avec un paramètre.

2 . Méthode de réduction à une base.

La méthode est basée sur la propriété suivante des degrés : si deux degrés sont égaux et que leurs bases sont égales, alors leurs exposants sont égaux, c'est-à-dire qu'il faut essayer de réduire l'équation à la forme

Exemples. Résous l'équation:

1 . 3x = 81 ;

Représentons le côté droit de l'équation sous la forme 81 = 34 et écrivons l'équation équivalente à l'original 3 x = 34 ; x = 4. Réponse : 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">et passons à l'équation des exposants 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4 ; x = 0,5 Réponse : 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Notez que les nombres 0,2, 0,04, √5 et 25 représentent des puissances de 5. Profitons-en et transformons l'équation originale comme suit :

, d'où 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, d'où on trouve la solution x = -1. Réponse 1.

5. 3x = 5. Par définition du logarithme, x = log35. Réponse : log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Réécrivons l'équation sous la forme 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, c'est-à-dire.png" width="181" height="49 src="> D'où x – 4 =0, x = 4. Réponse : 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. En utilisant les propriétés des puissances, on écrit l'équation sous la forme 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 puis 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, c'est-à-dire x+1 = 2, x =1. Réponse 1.

Banque à problèmes n°1.

Résous l'équation:

Essai n°1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) pas de racines
	1) 7;1 2) pas de racines 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Essai n°2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) pas de racines 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Méthode d'évaluation.

Théorème racine: si la fonction f(x) augmente (diminue) sur l'intervalle I, le nombre a est n'importe quelle valeur prise par f sur cet intervalle, alors l'équation f(x) = a a une racine unique sur l'intervalle I.

Lors de la résolution d'équations par la méthode d'estimation, ce théorème et les propriétés de monotonie d'une fonction sont utilisés.

Exemples. Résoudre des équations : 1. 4x = 5 – x.

Solution. Réécrivons l'équation comme 4x +x = 5.

1. si x = 1, alors 41+1 = 5, 5 = 5 est vrai, ce qui signifie que 1 est la racine de l'équation.

Fonction f(x) = 4x – augmente sur R, et g(x) = x – augmente sur R => h(x)= f(x)+g(x) augmente sur R, comme la somme des fonctions croissantes, alors x = 1 est la seule racine de l'équation 4x = 5 – x. Réponse 1.

2.

Solution. Réécrivons l'équation sous la forme .

1. si x = -1, alors , 3 = 3 est vrai, ce qui signifie que x = -1 est la racine de l'équation.

2. prouver qu'il est le seul.

3. Fonction f(x) = - diminue sur R, et g(x) = - x – diminue sur R=> h(x) = f(x)+g(x) – diminue sur R, comme la somme de fonctions décroissantes. Cela signifie que, selon le théorème racine, x = -1 est la seule racine de l'équation. Réponse 1.

Banque à problèmes n°2. Résous l'équation

une) 4x + 1 =6 – x ;

b)

c) 2x – 2 =1 – x ;

4. Méthode d'introduction de nouvelles variables.

La méthode est décrite au paragraphe 2.1. L'introduction d'une nouvelle variable (substitution) s'effectue généralement après transformations (simplification) des termes de l'équation. Regardons des exemples.

Exemples. R. Résous l'équation: 1. .

Réécrivons l'équation différemment : https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e.png" width="210" height = "45">

Solution. Réécrivons l'équation différemment :

Désignons https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ne convient pas.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - équation irrationnelle. On remarque que

La solution de l'équation est x = 2,5 ≤ 4, ce qui signifie que 2,5 est la racine de l'équation. Réponse : 2.5.

Solution. Réécrivons l'équation sous la forme et divisons les deux côtés par 56x+6 ≠ 0. Nous obtenons l'équation

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Les racines de l'équation quadratique sont t1 = 1 et t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solution . Réécrivons l'équation sous la forme

et notons qu'il s'agit d'une équation homogène du deuxième degré.

Divisez l'équation par 42x, nous obtenons

Remplaçons https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Réponse : 0 ; 0,5.

Banque à problèmes n°3. Résous l'équation

b)

G)

Essai n°3 avec un choix de réponses. Niveau minimum.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) pas de racines 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) pas de racines 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Essai n°4 avec un choix de réponses. Niveau général.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) pas de racines

5. Méthode de factorisation.

1. Résolvez l'équation : 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , d'où

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solution. Mettons 6x entre parenthèses sur le côté gauche de l'équation et 2x sur le côté droit. Nous obtenons l'équation 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ou 6x = 2x.

Puisque 2x >0 pour tout x, nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par 2x sans craindre de perdre des solutions. Nous obtenons 3x = 1ó x = 0.

3.

Solution. Résolvons l'équation en utilisant la méthode de factorisation.

Sélectionnons le carré du binôme

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 est la racine de l'équation.

Équation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Essai n°6 Niveau général.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponentielle – équations de puissance.

À côté des équations exponentielles se trouvent les équations dites de puissance exponentielle, c'est-à-dire les équations de la forme (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Si l'on sait que f(x)>0 et f(x) ≠ 1, alors l'équation, comme l'équation exponentielle, est résolue en égalisant les exposants g(x) = f(x).

Si la condition n'exclut pas la possibilité de f(x)=0 et f(x)=1, alors nous devons considérer ces cas lors de la résolution d'une équation exponentielle.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Solution. x2 +2x-8 – a du sens pour tout x, puisqu'il s'agit d'un polynôme, ce qui signifie que l'équation est équivalente à la totalité

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Équations exponentielles avec paramètres.

1. Pour quelles valeurs du paramètre p l'équation 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) a-t-elle une solution unique ?

Solution. Introduisons le remplacement 2x = t, t > 0, alors l'équation (1) prendra la forme t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminant de l'équation (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

L'équation (1) a une solution unique si l'équation (2) a une racine positive. Ceci est possible dans les cas suivants.

1. Si D = 0, c'est-à-dire p = 1, alors l'équation (2) prendra la forme t2 – 2t + 1 = 0, donc t = 1, donc l'équation (1) a une solution unique x = 0.

2. Si p1, alors 9(p – 1)2 > 0, alors l'équation (2) a deux racines différentes t1 = p, t2 = 4p – 3. Les conditions du problème sont satisfaites par un ensemble de systèmes

En substituant t1 et t2 dans les systèmes, nous avons

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solution. Laisser alors l'équation (3) prendra la forme t2 – 6t – a = 0. (4)

Trouvons les valeurs du paramètre a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (4) satisfait à la condition t > 0.

Introduisons la fonction f(t) = t2 – 6t – a. Les cas suivants sont possibles.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} trinôme quadratique f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Cas 2. L'équation (4) a une solution positive unique si

D = 0, si a = – 9, alors l'équation (4) prendra la forme (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Cas 3. L'équation (4) a deux racines, mais l'une d'elles ne satisfait pas l'inégalité t > 0. Ceci est possible si

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Ainsi, pour a 0, l’équation (4) a une seule racine positive . Alors l'équation (3) a une solution unique

Lorsqu'un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

si un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
si a = – 9, alors x = – 1 ;

si un  0, alors

Comparons les méthodes de résolution des équations (1) et (3). A noter que lors de la résolution de l'équation (1) on a réduit à une équation quadratique dont le discriminant est un carré parfait ; Ainsi, les racines de l'équation (2) ont été immédiatement calculées à l'aide de la formule des racines d'une équation quadratique, puis des conclusions ont été tirées concernant ces racines. L'équation (3) a été réduite à une équation quadratique (4), dont le discriminant n'est pas un carré parfait, donc lors de la résolution de l'équation (3), il est conseillé d'utiliser des théorèmes sur l'emplacement des racines d'un trinôme quadratique et un modèle graphique. Notez que l'équation (4) peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta.

Résolvons des équations plus complexes.

Problème 3 : Résoudre l’équation

Solution. ODZ : x1, x2.

Introduisons un remplacement. Soit 2x = t, t > 0, alors suite aux transformations l'équation prendra la forme t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Trouvons les valeurs de a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (*) satisfait à la condition t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Réponse : si a > – 13, a  11, a  5, alors si a – 13,

a = 11, a = 5, alors il n'y a pas de racines.

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Cette leçon est destinée à ceux qui commencent tout juste à apprendre les équations exponentielles. Comme toujours, commençons par la définition et des exemples simples.

Si vous lisez cette leçon, alors je suppose que vous avez déjà au moins une compréhension minimale des équations les plus simples - linéaires et quadratiques : $56x-11=0$ ; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, etc. Être capable de résoudre de telles constructions est absolument nécessaire pour ne pas « rester coincé » dans le sujet qui va maintenant être abordé.

Donc, des équations exponentielles. Laissez-moi vous donner quelques exemples :

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Certains d’entre eux peuvent vous paraître plus complexes, tandis que d’autres, au contraire, sont trop simples. Mais ils ont tous une chose en commun signe important: leur notation contient la fonction exponentielle $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Ainsi, introduisons la définition :

Une équation exponentielle est toute équation contenant une fonction exponentielle, c'est-à-dire expression de la forme $((a)^(x))$. En plus de la fonction indiquée, ces équations peuvent contenir toute autre construction algébrique - polynômes, racines, trigonométrie, logarithmes, etc.

Alors ok. Nous avons réglé la définition. Maintenant la question est : comment résoudre toutes ces conneries ? La réponse est à la fois simple et complexe.

Commençons par la bonne nouvelle : d'après mon expérience d'enseignement à de nombreux étudiants, je peux dire que la plupart d'entre eux trouvent les équations exponentielles beaucoup plus faciles que les mêmes logarithmes, et encore plus la trigonométrie.

Mais il y a de mauvaises nouvelles : parfois, les rédacteurs de problèmes pour toutes sortes de manuels et d'examens sont frappés par « l'inspiration », et leur cerveau enflammé par la drogue commence à produire des équations si brutales que leur résolution devient problématique non seulement pour les étudiants, mais aussi pour de nombreux enseignants. rester coincé sur de tels problèmes.

Cependant, ne parlons pas de choses tristes. Et revenons à ces trois équations données au tout début de l'histoire. Essayons de résoudre chacun d'eux.

Première équation : $((2)^(x))=4$. Eh bien, à quelle puissance faut-il élever le chiffre 2 pour obtenir le chiffre 4 ? Probablement le deuxième ? Après tout, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - et nous avons obtenu l'égalité numérique correcte, c'est-à-dire en effet $x=2$. Eh bien, merci Cap, mais cette équation était si simple que même mon chat pouvait la résoudre. :)

Regardons l'équation suivante :

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Mais ici, c'est un peu plus compliqué. De nombreux étudiants savent que $((5)^(2))=25$ est la table de multiplication. Certains soupçonnent également que $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ est essentiellement la définition des puissances négatives (similaire à la formule $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Finalement, seuls quelques privilégiés réalisent que ces faits peuvent être combinés et donner le résultat suivant :

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Ainsi, notre équation originale sera réécrite comme suit :

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Mais c'est déjà tout à fait résoluble ! À gauche dans l'équation il y a une fonction exponentielle, à droite dans l'équation il y a une fonction exponentielle, il n'y a rien d'autre nulle part à part elles. On peut donc « rejeter » les bases et assimiler bêtement les indicateurs :

Nous avons obtenu l’équation linéaire la plus simple qu’un étudiant puisse résoudre en quelques lignes seulement. Bon, en quatre lignes :

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Si vous ne comprenez pas ce qui s'est passé dans les quatre dernières lignes, assurez-vous de revenir au sujet " équations linéaires" et répétez-le. Car sans une compréhension claire de ce sujet, il est trop tôt pour aborder les équations exponentielles.

\[((9)^(x))=-3\]

Alors, comment pouvons-nous résoudre ce problème ? Première pensée : $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, donc l'équation originale peut être réécrite comme suit :

\[((\gauche(((3)^(2)) \droite))^(x))=-3\]

On se souvient ensuite que lorsqu'on élève une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Et pour une telle décision, nous en recevrons deux honnêtement mérités. Car, avec la sérénité d'un Pokémon, nous avons envoyé le signe moins devant le trois à la puissance de ce même trois. Mais vous ne pouvez pas faire ça. Et c'est pourquoi. Jetez un œil aux différents pouvoirs de trois :

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

En compilant cette tablette, je n'ai pas perverti autant que possible : j'ai considéré les degrés positifs, et les négatifs, et même les fractionnaires... enfin, où y a-t-il au moins un un nombre négatif? Il est parti! Et cela ne peut pas être le cas, car la fonction exponentielle $y=((a)^(x))$, premièrement, ne prend toujours que valeurs positives(peu importe combien vous multipliez un ou divisez par deux, ce sera toujours un nombre positif), et deuxièmement, la base d'une telle fonction - le nombre $a$ - est par définition un nombre positif !

Eh bien, comment alors résoudre l'équation $((9)^(x))=-3$ ? Mais pas question : il n’y a pas de racines. Et en ce sens, les équations exponentielles sont très similaires aux équations quadratiques : il se peut également qu'il n'y ait pas de racines. Mais si dans équations du second degré le nombre de racines est déterminé par le discriminant (discriminant positif - 2 racines, négatif - pas de racines), puis dans les exponentielles tout dépend de ce qui se trouve à droite du signe égal.

Formulons ainsi la conclusion clé : l'équation exponentielle la plus simple de la forme $((a)^(x))=b$ a une racine si et seulement si $b>0$. Connaissant ce simple fait, vous pouvez facilement déterminer si l'équation qui vous est proposée a des racines ou non. Ceux. Vaut-il la peine de le résoudre ou d'écrire immédiatement qu'il n'y a pas de racines.

Ces connaissances nous seront utiles à maintes reprises lorsque nous devrons résoudre des problèmes plus complexes. Pour l'instant, assez de paroles - il est temps d'étudier l'algorithme de base pour résoudre les équations exponentielles.

Comment résoudre des équations exponentielles

Alors, formulons le problème. Il faut résoudre l'équation exponentielle :

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Selon l'algorithme « naïf » que nous avons utilisé précédemment, il faut représenter le nombre $b$ comme une puissance du nombre $a$ :

De plus, si au lieu de la variable $x$ il y a une expression, nous obtiendrons une nouvelle équation qui peut déjà être résolue. Par exemple:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\fin (aligner)\]

Et curieusement, ce système fonctionne dans environ 90 % des cas. Qu’en est-il alors des 10 % restants ? Les 10 % restants sont des équations exponentielles légèrement « schizophréniques » de la forme :

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Eh bien, à quelle puissance faut-il augmenter 2 pour obtenir 3 ? D'abord? Mais non : $((2)^(1))=2$ ne suffit pas. Deuxième? Non non plus : $((2)^(2))=4$, c'est trop. Lequel alors ?

Les étudiants avertis l'ont probablement déjà deviné : dans de tels cas, lorsqu'il n'est pas possible de le résoudre « magnifiquement », l'« artillerie lourde » - les logarithmes - entre en jeu. Permettez-moi de vous rappeler qu'en utilisant les logarithmes, tout nombre positif peut être représenté comme une puissance de n'importe quel autre nombre positif (sauf un) :

Vous vous souvenez de cette formule ? Quand je parle des logarithmes à mes étudiants, je préviens toujours : cette formule (qui est aussi l'identité logarithmique de base ou, si vous préférez, la définition d'un logarithme) vous hantera très longtemps et « surgira » dans la plupart des cas. des endroits inattendus. Eh bien, elle a refait surface. Regardons notre équation et cette formule :

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Si nous supposons que $a=3$ est notre nombre d'origine à droite et que $b=2$ est la base même de la fonction exponentielle à laquelle nous voulons tant réduire le côté droit, nous obtenons ce qui suit :

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\fin (aligner)\]

Nous avons reçu une réponse légèrement étrange : $x=((\log )_(2))3$. Dans une autre tâche, beaucoup auraient des doutes sur une telle réponse et commenceraient à revérifier leur solution : et si une erreur s'était glissée quelque part ? Je m'empresse de vous faire plaisir : il n'y a pas d'erreur ici, et les logarithmes dans les racines des équations exponentielles sont une situation tout à fait typique. Alors habituez-vous. :)

Résolvons maintenant les deux équations restantes par analogie :

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\fin (aligner)\]

C'est tout! D'ailleurs, la dernière réponse peut s'écrire différemment :

Nous avons introduit un multiplicateur à l'argument du logarithme. Mais personne ne nous empêche d’ajouter ce facteur à la base :

De plus, les trois options sont correctes - c'est simple formes différentes enregistrements du même numéro. C'est à vous de décider lequel choisir et noter dans cette solution.

Ainsi, nous avons appris à résoudre toutes les équations exponentielles de la forme $((a)^(x))=b$, où les nombres $a$ et $b$ sont strictement positifs. Cependant dure réalité notre monde est tel que semblable tâches simples vous vous rencontrerez très, très rarement. Le plus souvent, vous rencontrerez quelque chose comme ceci :

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fin (aligner)\]

Alors, comment pouvons-nous résoudre ce problème ? Est-ce que cela peut être résolu ? Et si oui, comment ?

Ne pas paniquer. Toutes ces équations se réduisent rapidement et facilement aux formules simples que nous avons déjà envisagées. Vous avez juste besoin de vous rappeler quelques astuces du cours d'algèbre. Et bien sûr, il n’y a pas de règles pour travailler avec des diplômes. Je vais vous parler de tout ça maintenant. :)

Conversion d'équations exponentielles

La première chose à retenir : toute équation exponentielle, aussi complexe soit-elle, doit d'une manière ou d'une autre être réduite aux équations les plus simples - celles que nous avons déjà considérées et que nous savons résoudre. En d'autres termes, le schéma de résolution de toute équation exponentielle ressemble à ceci :

1. Écrivez l’équation originale. Par exemple : $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Fais des conneries bizarres. Ou même des conneries appelées « convertir une équation » ;
3. En sortie, obtenez les expressions les plus simples de la forme $((4)^(x))=4$ ou quelque chose d'autre comme ça. De plus, une équation initiale peut donner plusieurs expressions de ce type à la fois.

Tout est clair avec le premier point : même mon chat peut écrire l'équation sur un morceau de papier. Le troisième point semble également plus ou moins clair - nous avons déjà résolu tout un tas de ces équations ci-dessus.

Mais qu’en est-il du deuxième point ? Quel genre de transformations ? Transformer quoi en quoi ? Et comment?

Eh bien, découvrons-le. Tout d’abord, je voudrais noter ce qui suit. Toutes les équations exponentielles sont divisées en deux types :

1. L'équation est composée de fonctions exponentielles de même base. Exemple : $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. La formule contient des fonctions exponentielles avec différentes bases. Exemples : $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ et $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Commençons par les équations du premier type : ce sont les plus faciles à résoudre. Et pour les résoudre, nous serons aidés par une technique telle que la mise en évidence d'expressions stables.

Isoler une expression stable

Regardons à nouveau cette équation :

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Que voit-on ? Les quatre sont élevés à des degrés différents. Mais toutes ces puissances sont de simples sommes de la variable $x$ avec d'autres nombres. Par conséquent, il est nécessaire de rappeler les règles pour travailler avec des diplômes :

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\fin (aligner)\]

En termes simples, l’addition peut être convertie en produit de puissances et la soustraction peut facilement être convertie en division. Essayons d'appliquer ces formules aux degrés de notre équation :

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\fin (aligner)\]

Réécrivons l'équation originale en tenant compte de ce fait, puis rassemblons tous les termes à gauche :

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -onze; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fin (aligner)\]

Les quatre premiers termes contiennent l'élément $((4)^(x))$ - retirons-le des parenthèses :

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\fin (aligner)\]

Il reste à diviser les deux côtés de l'équation par la fraction $-\frac(11)(4)$, c'est-à-dire multiplier essentiellement par la fraction inversée - $-\frac(4)(11)$. On a:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\fin (aligner)\]

C'est tout! Nous avons réduit l’équation originale à sa forme la plus simple et obtenu la réponse finale.

En même temps, au cours du processus de résolution, nous avons découvert (et même retiré du support) le facteur commun $((4)^(x))$ - c'est une expression stable. Elle peut être désignée comme une nouvelle variable, ou vous pouvez simplement l'exprimer avec soin et obtenir la réponse. Dans tous les cas, le principe clé de la solution est le suivant :

Trouvez dans l'équation originale une expression stable contenant une variable qui se distingue facilement de toutes les fonctions exponentielles.

La bonne nouvelle est que presque toutes les équations exponentielles vous permettent d’isoler une expression aussi stable.

Mais la mauvaise nouvelle est que ces expressions peuvent être assez délicates et difficiles à identifier. Examinons donc un autre problème :

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Peut-être que quelqu'un a maintenant une question : « Pacha, es-tu défoncé ? Il y a différentes bases ici – 5 et 0,2. Mais essayons de convertir la puissance en base 0,2. Par exemple, débarrassons-nous de la fraction décimale en la réduisant à une fraction régulière :

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Comme vous pouvez le constater, le chiffre 5 apparaissait toujours, bien qu'au dénominateur. Dans le même temps, l’indicateur a été réécrit en négatif. Et maintenant rappelons-nous l'un des les règles les plus importantes travailler avec des diplômes :

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ici, bien sûr, je mentais un peu. Car pour une compréhension complète, la formule pour se débarrasser des indicateurs négatifs devait s'écrire ainsi :

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ à droite))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

En revanche, rien ne nous empêchait de travailler uniquement avec des fractions :

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ droite))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Mais dans ce cas, il faut pouvoir élever une puissance à une autre puissance (je vous le rappelle : dans ce cas, les indicateurs s'additionnent). Mais je n'ai pas eu à "inverser" les fractions - ce sera peut-être plus facile pour certains. :)

Dans tous les cas, l’équation exponentielle originale sera réécrite comme suit :

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fin (aligner)\]

Il s'avère donc que l'équation originale peut être résolue encore plus simplement que celle considérée précédemment : ici, vous n'avez même pas besoin de sélectionner une expression stable - tout a été réduit de lui-même. Il ne reste plus qu'à rappeler que $1=((5)^(0))$, d'où on obtient :

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\fin (aligner)\]

C'est la solution ! Nous avons obtenu la réponse finale : $x=-2$. En parallèle, je voudrais souligner une technique qui a grandement simplifié pour nous tous les calculs :

Dans les équations exponentielles, assurez-vous de vous débarrasser de décimales, convertissez-les en fichiers normaux. Cela vous permettra de voir les mêmes bases de diplômes et de simplifier grandement la solution.

Passons maintenant à plus équations complexes, dans lequel il existe différentes bases qui ne sont pas du tout réductibles les unes aux autres à l'aide de degrés.

Utilisation de la propriété Degrees

Permettez-moi de vous rappeler que nous avons deux équations plus particulièrement dures :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fin (aligner)\]

La principale difficulté ici est qu’il n’est pas clair quoi donner et sur quelle base. Où sont les expressions stables ? Où sont les mêmes motifs ? Il n’y a rien de tout cela.

Mais essayons d'emprunter une voie différente. S'il n'y a pas de prêt motifs identiques, vous pouvez essayer de les retrouver en factorisant les bases existantes.

Commençons par la première équation :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\fin (aligner)\]

Mais vous pouvez faire l'inverse : former le nombre 21 à partir des nombres 7 et 3. C'est particulièrement facile à faire à gauche, puisque les indicateurs des deux degrés sont les mêmes :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\fin (aligner)\]

C'est tout! Vous avez sorti l'exposant du produit et obtenu immédiatement une belle équation qui peut être résolue en quelques lignes.

Examinons maintenant la deuxième équation. Tout est beaucoup plus compliqué ici :

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Dans ce cas, les fractions se sont avérées irréductibles, mais si quelque chose pouvait être réduit, assurez-vous de le réduire. Souvent, des raisons intéressantes apparaîtront avec lesquelles vous pouvez déjà travailler.

Malheureusement, rien de spécial ne nous est apparu. Mais on voit que les exposants de gauche dans le produit sont opposés :

Je vous le rappelle : pour supprimer le signe moins dans l'indicateur, il suffit de « retourner » la fraction. Eh bien, réécrivons l'équation originale :

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fin (aligner)\]

En deuxième ligne, nous avons simplement effectué indicateur général du produit hors parenthèses selon la règle $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, et dans ce dernier, il suffit de multiplier le nombre 100 par une fraction.

Notez maintenant que les chiffres à gauche (à la base) et à droite sont quelque peu similaires. Comment? Oui, c’est évident : ce sont des puissances du même nombre ! Nous avons:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \droite))^(2)). \\\fin (aligner)\]

Ainsi, notre équation sera réécrite comme suit :

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\droite))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Dans ce cas, à droite vous pouvez également obtenir un diplôme avec la même base, pour lequel il suffit simplement de « retourner » la fraction :

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Notre équation prendra finalement la forme :

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\fin (aligner)\]

C'est la solution. Son idée principale se résume au fait que même avec des bases différentes on essaie, par crochet ou par escroc, de réduire ces bases à la même chose. Les transformations élémentaires des équations et des règles pour travailler avec les puissances nous y aident.

Mais quelles règles et quand l’utiliser ? Comment comprenez-vous que dans une équation, vous devez diviser les deux côtés par quelque chose, et dans une autre, vous devez factoriser la base de la fonction exponentielle ?

La réponse à cette question viendra avec l’expérience. Essayez-vous d'abord équations simples, puis compliquez progressivement les tâches - et très bientôt vos compétences seront suffisantes pour résoudre n'importe quelle équation exponentielle du même examen d'État unifié ou de tout travail indépendant/test.

Et pour vous aider dans cette affaire difficile, je vous propose de télécharger un ensemble d'équations pour décision indépendante. Toutes les équations ont des réponses, vous pouvez donc toujours vous tester.