Logarithme d'une équation quadratique. Résolution d'équations logarithmiques. Le guide complet (2019)

Algèbre 11e année

Sujet : « Méthodes de résolution d'équations logarithmiques »

Objectifs de la leçon:

éducatif: développer des connaissances sur en différentes manières résoudre des équations logarithmiques, la capacité de les appliquer dans chaque situation spécifique et de choisir n'importe quelle méthode de résolution ;

développement: développement de compétences pour observer, comparer, appliquer des connaissances dans une situation nouvelle, identifier des modèles, généraliser ; développer des compétences de contrôle mutuel et de maîtrise de soi ;

éducatif: favoriser une attitude responsable envers le travail éducatif, une perception attentive du matériel de la leçon et une prise de notes minutieuse.

Type de cours : leçon sur l'introduction de nouveau matériel.

"L'invention des logarithmes, tout en réduisant le travail de l'astronome, prolongea sa vie."
Mathématicien et astronome français P.S. Laplace

Pendant les cours

I. Fixer l'objectif de la leçon

La définition étudiée du logarithme, des propriétés des logarithmes et de la fonction logarithmique nous permettra de résoudre des équations logarithmiques. Toutes les équations logarithmiques, aussi complexes soient-elles, sont résolues à l'aide d'algorithmes uniformes. Nous examinerons ces algorithmes dans la leçon d'aujourd'hui. Il n'y en a pas beaucoup. Si vous les maîtrisez, alors n'importe quelle équation avec des logarithmes sera réalisable pour chacun de vous.

Notez le sujet de la leçon dans votre cahier : « Méthodes de résolution d'équations logarithmiques ». J'invite tout le monde à coopérer.

II. Actualisation des connaissances de référence

Préparons-nous à étudier le sujet de la leçon. Vous résolvez chaque tâche et notez la réponse ; vous n’avez pas besoin d’écrire la condition. Travailler en équipe de deux.

1) Pour quelles valeurs de x la fonction a-t-elle un sens :

UN)

b)

V)

d)

(Les réponses sont vérifiées pour chaque diapositive et les erreurs sont triées)

2) Les graphiques des fonctions coïncident-ils ?

a) y = x et

b)Et

3) Réécrivez les égalités sous forme d'égalités logarithmiques :

4) Écrivez les nombres sous forme de logarithmes en base 2 :

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Calculer :

6) Essayez de restaurer ou de compléter les éléments manquants dans ces égalités.

III. Introduction au nouveau matériel

La déclaration suivante s'affiche à l'écran :

"L'équation est la clé d'or qui ouvre tous les sésames mathématiques."
Mathématicien polonais moderne S. Kowal

Essayez de formuler la définition d'une équation logarithmique. (Équation contenant une inconnue sous le signe du logarithme ).

Considéronsl'équation logarithmique la plus simple : enregistrer UN x = b (où a>0, a ≠ 1). Parce que fonction logarithmique augmente (ou diminue) sur le plateau nombres positifs et prend toutes les valeurs réelles, alors d'après le théorème racine, il s'ensuit que pour tout b, cette équation n'a qu'une seule solution et une solution positive.

Rappelez-vous la définition du logarithme. (Le logarithme d'un nombre x à la base a est un indicateur de la puissance à laquelle il faut élever la base a pour obtenir le nombre x ). De la définition du logarithme, il résulte immédiatement queUN V est une telle solution.

Notez le titre :Méthodes de résolution d'équations logarithmiques

1. Par définition du logarithme .

C'est ainsi que sont résolues les équations les plus simples de la forme.

ConsidéronsN° 514(a) ): Résous l'équation

Comment proposez-vous de le résoudre ? (Par définition du logarithme )

Solution . , D'où 2x – 4 = 4 ; x = 4.

Réponse : 4.

Dans cette tâche 2x – 4 > 0, puisque> 0, donc aucune racine étrangère ne peut apparaître, etpas besoin de vérifier . Il n'est pas nécessaire d'écrire la condition 2x – 4 > 0 dans cette tâche.

2. Potentisation (passage du logarithme d'une expression donnée à cette expression elle-même).

ConsidéronsN° 519(g) : enregistrer 5 ( X 2 +8)- enregistrer 5 ( X+1)=3 enregistrer 5 2

Quelle fonctionnalité avez-vous remarquée ?(Les bases sont les mêmes et les logarithmes des deux expressions sont égaux) . Ce qui peut être fait?(Potentiser).

Il faut tenir compte du fait que toute solution est contenue parmi tous les x dont les expressions logarithmiques sont positives.

Solution: ODZ :

X 2 +8>0 inégalité inutile

enregistrer 5 ( X 2 +8) = enregistrer 5 2 3 + enregistrer 5 ( X+1)

enregistrer 5 ( X 2 +8)= enregistrer 5 (8 X+8)

Potentialisons l'équation originale

X 2 +8= 8 X+8

on obtient l'équationX 2 +8= 8 X+8

Résolvons-le :X 2 -8 X=0

x=0, x=8

Réponse : 0 ; 8

En généraltransition vers un système équivalent :

L'équation

(Le système contient une condition redondante : il n’est pas nécessaire de prendre en compte l’une des inégalités).

Question pour la classe : Laquelle de ces trois solutions avez-vous préféré ? (Discussion des méthodes).

Vous avez le droit de décider de quelque manière que ce soit.

3. Introduction d'une nouvelle variable .

ConsidéronsN° 520(g) . .

Qu'avez-vous remarqué ? (Il s'agit d'une équation quadratique par rapport à log3x) Vos suggestions? (Introduire une nouvelle variable)

Solution . ODZ : x > 0.

Laisser, alors l'équation prendra la forme :. Discriminant D > 0. Racines selon le théorème de Vieta :.

Revenons au remplacement :ou.

Après avoir résolu les équations logarithmiques les plus simples, nous obtenons :

; .

Répondre : 27;

4. Logarithme des deux côtés de l'équation.

Résous l'équation:.

Solution : ODZ : x>0, prenons le logarithme des deux côtés de l'équation en base 10 :

. Appliquons la propriété du logarithme d'une puissance :

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Soit logx = y, alors (y + 3)y = 4

, (D > 0) racines selon le théorème de Vieta : y1 = -4 et y2 = 1.

Revenons au remplacement, on obtient : lgx = -4,; logx = 1,. . C'est comme suit: si une des fonctions y = f(x) augmente, et l'autre y = g(x) diminue sur l'intervalle X, alors l'équation f(x)=g(x) a au plus une racine sur l'intervalle X .

S'il y a une racine, on peut la deviner. .

Répondre : 2

« Utilisation correcte les méthodes peuvent être apprises
seulement en les appliquant à divers exemples.
Historien danois des mathématiques G. G. Zeiten

je V. Devoirs

P. 39, considérons l'exemple 3, résolvez le n° 514(b), le n° 529(b), le n° 520(b), le n° 523(b)

V. Résumer la leçon

Quelles méthodes de résolution d’équations logarithmiques avons-nous examinées en classe ?

Dans les prochaines leçons, nous examinerons davantage équations complexes. Pour les résoudre, les méthodes étudiées seront utiles.

Dernière diapositive affichée :

« Qu’y a-t-il de plus que tout au monde ?
Espace.
Quelle est la chose la plus sage ?
Temps.
Quelle est la meilleure partie ?
Réalisez ce que vous voulez.
Thalès

Je souhaite à chacun de réaliser ce qu’il veut. Merci pour votre coopération et votre compréhension.

Les dernières vidéos d'une longue série de leçons sur la résolution d'équations logarithmiques. Cette fois, nous travaillerons principalement avec l'ODZ du logarithme - c'est précisément à cause d'une prise en compte incorrecte (ou même de l'ignorance) du domaine de définition que la plupart des erreurs surviennent lors de la résolution de tels problèmes.

Dans cette courte leçon vidéo, nous examinerons l'utilisation de formules d'addition et de soustraction de logarithmes, ainsi que les équations rationnelles fractionnaires, avec lesquelles de nombreux étudiants ont également des problèmes.

De quoi allons-nous parler ? La formule principale que j'aimerais comprendre ressemble à ceci :

log a (f g ) = log a f + log a g

Il s'agit d'une transition standard du produit à la somme des logarithmes et inversement. Vous connaissez probablement cette formule depuis le tout début de l’étude des logarithmes. Cependant, il y a un problème.

Tant que les variables a, f et g sont des nombres ordinaires, aucun problème ne se pose. Cette formule fonctionne très bien.

Cependant, dès que des fonctions apparaissent à la place de f et g, le problème de l'expansion ou du rétrécissement du domaine de définition se pose selon la direction à transformer. Jugez par vous-même : dans le logarithme inscrit à gauche, le domaine de définition est le suivant :

fg > 0

Mais dans le montant inscrit à droite, le domaine de définition est déjà quelque peu différent :

f > 0

g > 0

Cet ensemble d’exigences est plus strict que celui d’origine. Dans le premier cas, on se contentera de l’option f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 est exécuté).

Ainsi, en passant de la construction de gauche à celle de droite, un rétrécissement du domaine de définition se produit. Si au début nous avions une somme et que nous la réécrivions sous la forme d’un produit, alors le domaine de définition s’élargit.

En d’autres termes, dans le premier cas, nous pourrions perdre des racines et dans le second, nous pourrions en obtenir davantage. Ceci doit être pris en compte lors de la résolution d'équations logarithmiques réelles.

Donc, la première tâche :

[Légende de la photo]

À gauche, nous voyons la somme des logarithmes utilisant la même base. On peut donc ajouter ces logarithmes :

[Légende de la photo]

Comme vous pouvez le voir, à droite nous avons remplacé le zéro par la formule :

a = journal b b a

Réorganisons un peu plus notre équation :

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Devant nous se trouve la forme canonique de l'équation logarithmique ; nous pouvons rayer le signe logarithmique et assimiler les arguments :

(x-5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Attention : d'où vient le module ? Je vous rappelle que la racine d'un carré exact est égale au module :

[Légende de la photo]

Ensuite on résout l’équation classique de module :

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4 ; x2 = 5 + 1 = 6

Voici deux réponses candidates. Sont-ils une solution à l’équation logarithmique originale ? Certainement pas!

Nous n'avons pas le droit de tout laisser comme ça et d'écrire la réponse. Jetez un œil à l'étape où nous remplaçons la somme des logarithmes par un logarithme du produit des arguments. Le problème est que dans les expressions originales nous avons des fonctions. Par conséquent, vous devriez exiger :

x(x − 5) > 0 ; (x − 5)/x > 0.

Lorsque nous avons transformé le produit, obtenant un carré exact, les exigences ont changé :

(x-5) 2 > 0

Quand cette exigence est-elle remplie ? Oui, presque toujours ! Sauf dans le cas où x − 5 = 0. C'est à dire l'inégalité sera réduite à un point perforé :

X − 5 ≠ 0 ⇒ X ≠ 5

Comme vous pouvez le constater, la portée de la définition s'est élargie, c'est ce dont nous avons parlé au tout début de la leçon. Par conséquent, des racines supplémentaires peuvent apparaître.

Comment empêcher l’apparition de ces racines supplémentaires ? C'est très simple : nous regardons nos racines obtenues et les comparons avec le domaine de définition de l'équation d'origine. Comptons:

x (x − 5) > 0

Nous allons résoudre en utilisant la méthode des intervalles :

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0 ; x = 5

Nous marquons les nombres résultants sur la ligne. Tous les points manquent car l’inégalité est stricte. Prenez n'importe quel nombre supérieur à 5 et remplacez-le par :

[Légende de la photo]

On s'intéresse aux intervalles (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Si nous marquons nos racines sur le segment, nous verrons que x = 4 ne nous convient pas, car cette racine se situe en dehors du domaine de définition de l'équation logarithmique originale.

Nous revenons à la totalité, barrons la racine x = 4 et notons la réponse : x = 6. C'est la réponse finale à l'équation logarithmique originale. Voilà, problème résolu.

Passons à la deuxième équation logarithmique :

[Légende de la photo]

Résolvons-le. Notez que le premier terme est une fraction et le second est la même fraction, mais inversée. N'ayez pas peur de l'expression lgx - c'est juste un logarithme décimal, on peut l'écrire :

lgx = journal 10 x

Puisque nous avons deux fractions inversées, je propose d'introduire une nouvelle variable :

[Légende de la photo]

Notre équation peut donc être réécrite comme suit :

t + 1/t = 2 ;

t + 1/t − 2 = 0 ;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0 ;

(t − 1) 2 /t = 0.

Comme vous pouvez le constater, le numérateur de la fraction est un carré exact. Une fraction est égale à zéro lorsque son numérateur égal à zéro, et le dénominateur est différent de zéro :

(t-1) 2 = 0; t ≠ 0

Résolvons la première équation :

t − 1 = 0 ;

t = 1.

Cette valeur satisfait à la deuxième exigence. On peut donc dire que nous avons complètement résolu notre équation, mais uniquement par rapport à la variable t. Rappelons maintenant ce que c'est :

[Légende de la photo]

Nous avons la proportion :

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

On ramène cette équation à sa forme canonique :

logx = journal 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

En conséquence, nous avons obtenu une racine unique qui, en théorie, est la solution de l’équation originale. Cependant, jouons toujours la sécurité et écrivons le domaine de définition de l’équation originale :

[Légende de la photo]

Notre racine satisfait donc à toutes les exigences. Nous avons trouvé une solution à l'équation logarithmique originale. Réponse : x = 0,1. Le problème est résolu.

Il n'y a qu'un seul point clé dans la leçon d'aujourd'hui : lorsque vous utilisez la formule pour passer d'un produit à une somme et vice-versa, assurez-vous de prendre en compte que la portée de la définition peut se rétrécir ou s'élargir selon la direction dans laquelle la transition est effectuée.

Comment comprendre ce qui se passe : contraction ou expansion ? Très simple. Si auparavant les fonctions étaient ensemble, mais maintenant elles sont séparées, alors le champ de définition s'est rétréci (car il y a plus d'exigences). Si au début les fonctions étaient séparées, et maintenant elles sont ensemble, alors le domaine de définition est élargi (moins d'exigences sont imposées au produit qu'aux facteurs individuels).

Compte tenu de cette remarque, je voudrais noter que la deuxième équation logarithmique ne nécessite pas du tout ces transformations, c'est-à-dire que nous n'ajoutons ni ne multiplions les arguments nulle part. Cependant, je voudrais ici attirer votre attention sur une autre technique merveilleuse qui peut considérablement simplifier la solution. Il s'agit de remplacer une variable.

Rappelons cependant qu’aucune substitution ne nous libère du champ de la définition. C'est pourquoi, une fois toutes les racines trouvées, nous n'avons pas été paresseux et sommes revenus à l'équation originale pour trouver son ODZ.

Souvent, lors du remplacement d'une variable, une erreur gênante se produit lorsque les élèves trouvent la valeur de t et pensent que la solution est complète. Certainement pas!

Une fois que vous avez trouvé la valeur de t, vous devez revenir à l’équation d’origine et voir exactement ce que nous voulions dire avec cette lettre. En conséquence, nous devons résoudre une équation supplémentaire, qui sera cependant beaucoup plus simple que l'équation d'origine.

C’est précisément l’intérêt d’introduire une nouvelle variable. Nous divisons l’équation originale en deux équations intermédiaires, chacune ayant une solution beaucoup plus simple.

Comment résoudre des équations logarithmiques « imbriquées »

Aujourd'hui, nous continuons à étudier les équations logarithmiques et analyserons les constructions lorsqu'un logarithme est sous le signe d'un autre logarithme. Nous résoudrons les deux équations en utilisant la forme canonique.

Aujourd'hui, nous continuons à étudier les équations logarithmiques et analyserons les constructions lorsqu'un logarithme est sous le signe d'un autre. Nous résoudrons les deux équations en utilisant la forme canonique. Permettez-moi de vous rappeler que si nous avons l'équation logarithmique la plus simple de la forme log a f (x) = b, alors pour résoudre une telle équation, nous effectuons les étapes suivantes. Tout d'abord, nous devons remplacer le nombre b :

b = journal a a b

Remarque : a b est un argument. De même, dans l’équation originale, l’argument est la fonction f(x). Ensuite, nous réécrivons l'équation et obtenons cette construction :

log a f (x) = log a a b

Ensuite, nous pouvons effectuer la troisième étape : supprimer le signe du logarithme et écrire simplement :

f (x) = un b

En conséquence, nous obtenons une nouvelle équation. Dans ce cas, aucune restriction n'est imposée sur la fonction f (x). Par exemple, une fonction logarithmique peut également prendre sa place. Et puis nous obtiendrons à nouveau une équation logarithmique, que nous réduirons à nouveau à sa forme la plus simple et résoudrons sous la forme canonique.

Cependant, assez de paroles. Résolvons le vrai problème. Alors, tâche numéro 1 :

journal 2 (1 + 3 journal 2 x ) = 2

Comme vous pouvez le voir, nous avons une simple équation logarithmique. Le rôle de f (x) est la construction 1 + 3 log 2 x, et le rôle du nombre b est le nombre 2 (le rôle de a est aussi joué par deux). Réécrivons ces deux éléments comme suit :

Il est important de comprendre que les deux premiers deux nous viennent de la base du logarithme, c'est-à-dire s'il y avait 5 dans l'équation originale, alors nous obtiendrions que 2 = log 5 5 2. En général, la base dépend uniquement du logarithme initialement donné dans le problème. Et dans notre cas, c'est le chiffre 2.

Nous réécrivons donc notre équation logarithmique en tenant compte du fait que les deux à droite sont en fait aussi un logarithme. On a:

journal 2 (1 + 3 journal 2 x ) = journal 2 4

Passons à la dernière étape de notre schéma : se débarrasser de la forme canonique. On pourrait dire que nous biffons simplement les signes du journal. Cependant, d'un point de vue mathématique, il est impossible de « rayer le journal » - il serait plus correct de dire que nous assimilons simplement les arguments :

1 + 3 journal 2 x = 4

De là, nous pouvons facilement trouver 3 log 2 x :

3 bûches 2 x = 3

journal 2 x = 1

Nous avons à nouveau obtenu l'équation logarithmique la plus simple, ramenons-la à la forme canonique. Pour ce faire, nous devons apporter les modifications suivantes :

1 = journal 2 2 1 = journal 2 2

Pourquoi y a-t-il un deux à la base ? Parce que dans notre équation canonique de gauche il y a un logarithme précisément en base 2. Nous réécrivons le problème en tenant compte de ce fait :

journal 2 x = journal 2 2

Encore une fois, nous nous débarrassons du signe du logarithme, c'est-à-dire que nous assimilons simplement les arguments. Nous avons le droit de le faire car les bases sont les mêmes, et plus aucune action supplémentaire n'a été effectuée ni à droite ni à gauche :

C'est tout! Le problème est résolu. Nous avons trouvé une solution à l'équation logarithmique.

Note! Bien que la variable x apparaisse dans l’argument (c’est-à-dire qu’il existe des exigences pour le domaine de définition), nous n’imposerons aucune exigence supplémentaire.

Comme je l'ai dit plus haut, cette vérification est redondante si la variable n'apparaît que dans un seul argument d'un seul logarithme. Dans notre cas, x n’apparaît en réalité que dans l’argument et sous un seul signe log. Aucune vérification supplémentaire n’est donc requise.

Cependant, si vous ne faites pas confiance à cette méthode, vous pouvez facilement vérifier que x = 2 est bien une racine. Il suffit de substituer ce nombre dans l'équation originale.

Passons à la deuxième équation, elle est un peu plus intéressante :

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Si nous désignons l'expression à l'intérieur du grand logarithme par la fonction f (x), nous obtenons l'équation logarithmique la plus simple avec laquelle nous avons commencé la leçon vidéo d'aujourd'hui. On peut donc appliquer la forme canonique, pour laquelle il faudra représenter l'unité sous la forme log 2 2 1 = log 2 2.

Réécrivons notre grande équation :

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Laissons de côté le signe du logarithme, égalisant les arguments. Nous avons le droit de le faire, car à gauche comme à droite, les bases sont les mêmes. De plus, notez que log 2 4 = 2 :

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Nous avons à nouveau devant nous l'équation logarithmique la plus simple de la forme log a f (x) = b. Passons à la forme canonique, c'est-à-dire que nous représentons zéro sous la forme log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Nous réécrivons notre équation et supprimons le signe logarithmique, en égalisant les arguments :

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Encore une fois, nous avons reçu une réponse immédiatement. Aucune vérification supplémentaire n'est requise car dans l'équation d'origine, un seul logarithme contient la fonction comme argument.

Aucune vérification supplémentaire n’est donc requise. Nous pouvons affirmer avec certitude que x = 1 est la seule racine de cette équation.

Mais si dans le deuxième logarithme il y avait une fonction x au lieu de quatre (ou si 2x n'était pas dans l'argument, mais dans la base), alors il faudrait vérifier le domaine de définition. Sinon, il y a de fortes chances que vous rencontriez des racines supplémentaires.

D’où viennent ces racines supplémentaires ? Ce point doit être compris très clairement. Jetez un œil aux équations originales : partout la fonction x est sous le signe du logarithme. Par conséquent, puisque nous avons noté log 2 x, nous définissons automatiquement l'exigence x > 0. Sinon, cette entrée n'a tout simplement aucun sens.

Cependant, à mesure que nous résolvons l’équation logarithmique, nous nous débarrassons de tous les signes logarithmiques et obtenons des constructions simples. Il n'y a plus de restrictions ici, car fonction linéaire défini pour toute valeur de x.

C'est ce problème, lorsque la fonction finale est définie partout et toujours, mais que la fonction originale n'est pas définie partout et pas toujours, c'est la raison pour laquelle des racines supplémentaires apparaissent très souvent lors de la résolution d'équations logarithmiques.

Mais je le répète encore une fois : cela n'arrive que dans une situation où la fonction est soit dans plusieurs logarithmes, soit à la base de l'un d'eux. Dans les problèmes que nous examinons aujourd’hui, l’élargissement du domaine de définition ne pose en principe aucun problème.

Cas pour différents motifs

Cette leçon est consacrée aux structures plus complexes. Les logarithmes dans les équations d'aujourd'hui ne seront plus résolus immédiatement ; certaines transformations devront d'abord être effectuées.

Nous commençons à résoudre des équations logarithmiques avec des bases complètement différentes, qui ne sont pas des puissances exactes les unes des autres. Ne laissez pas ces problèmes vous effrayer : ils ne sont pas plus difficiles à résoudre que les conceptions les plus simples dont nous avons parlé ci-dessus.

Mais avant de passer directement aux problèmes, permettez-moi de vous rappeler la formule permettant de résoudre les équations logarithmiques les plus simples en utilisant la forme canonique. Considérons un problème comme celui-ci :

log une f (x) = b

Il est important que la fonction f (x) soit simplement une fonction et que le rôle des nombres a et b soit celui des nombres (sans aucune variable x). Bien sûr, dans une minute, nous examinerons de tels cas où, au lieu des variables a et b, il y a des fonctions, mais ce n'est pas le cas maintenant.

On s'en souvient, le nombre b doit être remplacé par un logarithme de même base a, qui se trouve à gauche. Cela se fait très simplement :

b = journal a a b

Bien entendu, les mots « n'importe quel nombre b » et « n'importe quel nombre a » désignent des valeurs qui satisfont au champ d'application de la définition. En particulier, dans cette équation nous parlons de seulement la base a > 0 et a ≠ 1.

Cependant, cette exigence est automatiquement satisfaite, car le problème d'origine contient déjà un logarithme en base a - il sera certainement supérieur à 0 et non égal à 1. Par conséquent, nous continuons à résoudre l'équation logarithmique :

log a f (x) = log a a b

Une telle notation est appelée forme canonique. Sa commodité réside dans le fait que l'on peut immédiatement se débarrasser du signe du journal en assimilant les arguments :

f (x) = un b

C'est cette technique que nous allons maintenant utiliser pour résoudre des équations logarithmiques avec base variable. Alors allons-y!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Et après? Quelqu'un dira maintenant qu'il faut calculer le bon logarithme, ou le réduire à la même base, ou autre chose. Et en effet, nous devons maintenant amener les deux bases sous la même forme - soit 2, soit 0,5. Mais apprenons une fois pour toutes la règle suivante :

Si une équation logarithmique contient décimales, assurez-vous de convertir ces fractions de la notation décimale aux fractions ordinaires. Cette transformation peut grandement simplifier la solution.

Une telle transition doit être effectuée immédiatement, avant même d'effectuer toute action ou transformation. Jetons un coup d'oeil :

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Que nous apporte un tel record ? Nous pouvons représenter 1/2 et 1/8 comme des puissances avec un exposant négatif :

[Légende de la photo]

Devant nous se trouve la forme canonique. Nous égalisons les arguments et obtenons l'équation quadratique classique :

x2 + 4x + 11 = 8

x2 + 4x + 3 = 0

Nous avons devant nous l’équation quadratique suivante, qui peut être facilement résolue à l’aide des formules de Vieta. Au lycée, vous devriez voir des affichages similaires littéralement oralement :

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x2 = −1

C'est tout! L'équation logarithmique originale a été résolue. Nous avons deux racines.

Je vous rappelle que dans ce cas il n'est pas nécessaire de déterminer le domaine de définition, puisque la fonction avec la variable x n'est présente que dans un seul argument. Par conséquent, la définition de la portée est effectuée automatiquement.

La première équation est donc résolue. Passons au deuxième :

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Notez maintenant que l’argument du premier logarithme peut également s’écrire sous la forme d’une puissance avec un exposant négatif : 1/2 = 2 −1. Ensuite, vous pouvez supprimer les puissances des deux côtés de l’équation et diviser le tout par −1 :

[Légende de la photo]

Et maintenant nous avons accompli beaucoup étape importante dans la résolution d'une équation logarithmique. Peut-être que quelqu'un n'a pas remarqué quelque chose, alors laissez-moi vous expliquer.

Regardez notre équation : à gauche et à droite il y a un signe log, mais à gauche il y a un logarithme en base 2, et à droite il y a un logarithme en base 3. Trois n'est pas une puissance entière de deux et, inversement, vous ne pouvez pas écrire que 2 est 3 en degrés entiers.

Il s’agit donc de logarithmes de bases différentes qui ne peuvent être réduits les uns aux autres par une simple addition de puissances. La seule façon de résoudre de tels problèmes est de se débarrasser de l’un de ces logarithmes. Dans ce cas, puisque nous envisageons encore assez tâches simples, le logarithme de droite a été simplement calculé et nous avons obtenu l'équation la plus simple - exactement celle dont nous avons parlé au tout début de la leçon d'aujourd'hui.

Représentons le nombre 2, qui est à droite, comme log 2 2 2 = log 2 4. Et puis on se débarrasse du signe du logarithme, après quoi on se retrouve simplement avec une équation quadratique :

journal 2 (5x 2 + 9x + 2) = journal 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Nous avons devant nous une équation quadratique ordinaire, mais elle n'est pas réduite car le coefficient de x 2 est différent de l'unité. Nous allons donc le résoudre en utilisant le discriminant :

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

C'est tout! Nous avons trouvé les deux racines, ce qui signifie que nous avons obtenu une solution à l’équation logarithmique originale. En effet, dans le problème original, la fonction de variable x n'est présente que dans un seul argument. Par conséquent, aucune vérification supplémentaire sur le domaine de définition n’est requise – les deux racines que nous avons trouvées répondent certainement à toutes les restrictions possibles.

Cela pourrait être la fin de la leçon vidéo d'aujourd'hui, mais en conclusion, je voudrais le répéter : assurez-vous de convertir toutes les fractions décimales en fractions ordinaires lorsque vous résolvez des équations logarithmiques. Dans la plupart des cas, cela simplifie grandement leur solution.

Rarement, très rarement, vous rencontrez des problèmes dans lesquels la suppression des fractions décimales ne fait que compliquer les calculs. Cependant, dans de telles équations, en règle générale, il est clair au départ qu'il n'est pas nécessaire de se débarrasser des fractions décimales.

Dans la plupart des autres cas (surtout si vous commencez tout juste à vous entraîner à résoudre des équations logarithmiques), n'hésitez pas à vous débarrasser des décimales et à les convertir en valeurs ordinaires. Parce que la pratique montre que vous simplifierez ainsi considérablement la solution et les calculs ultérieurs.

Subtilités et astuces de la solution

Aujourd'hui, nous passons à des problèmes plus complexes et résoudrons une équation logarithmique basée non pas sur un nombre, mais sur une fonction.

Et même si cette fonction est linéaire, de petites modifications devront être apportées au schéma de solution, dont le sens se résume à des exigences supplémentaires imposées au domaine de définition du logarithme.

Tâches complexes

Ce tutoriel sera assez long. Nous y analyserons deux équations logarithmiques assez sérieuses, lors de la résolution desquelles de nombreux étudiants commettent des erreurs. Durant ma pratique de professeur de mathématiques, j'ai constamment rencontré deux types d'erreurs :

1. L'apparition de racines supplémentaires due à l'expansion du domaine de définition des logarithmes. Pour éviter de telles erreurs offensantes, surveillez simplement attentivement chaque transformation ;
2. Perte de racines due au fait que l'étudiant a oublié de considérer certains cas « subtils » - ce sont les situations sur lesquelles nous allons nous concentrer aujourd'hui.

Ce dernière leçon, dédié aux équations logarithmiques. Ce sera long, nous analyserons des équations logarithmiques complexes. Installez-vous confortablement, préparez-vous du thé et commençons.

La première équation semble assez standard :

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Notons immédiatement que les deux logarithmes sont des copies inversées l'un de l'autre. Rappelons la merveilleuse formule :

log a b = 1/log b a

Cependant, cette formule présente un certain nombre de limitations qui surviennent si, au lieu des nombres a et b, il existe des fonctions de la variable x :

b > 0

1 ≠ une > 0

Ces exigences s'appliquent à la base du logarithme. En revanche, dans une fraction, nous devons avoir 1 ≠ a > 0, puisque non seulement la variable a est dans l'argument du logarithme (donc a > 0), mais le logarithme lui-même est au dénominateur de la fraction. . Mais log b 1 = 0, et le dénominateur doit être différent de zéro, donc a ≠ 1.

Ainsi, les restrictions sur la variable demeurent. Mais qu’arrive-t-il à la variable b ? D'une part, la base implique b > 0, d'autre part, la variable b ≠ 1, car la base du logarithme doit être différente de 1. Au total, du côté droit de la formule il s'ensuit que 1 ≠ b > 0.

Mais voici le problème : la deuxième exigence (b ≠ 1) est absente de la première inégalité, qui concerne le logarithme de gauche. En d’autres termes, lors de cette transformation, nous devons vérifier séparément, que l'argument b est différent de un !

Alors vérifions-le. Appliquons notre formule :

[Légende de la photo]

1 ≠ x − 0,5 > 0 ; 1 ≠ x + 1 > 0

Nous avons donc déjà obtenu cela de l'équation logarithmique originale, il s'ensuit que a et b doivent être supérieurs à 0 et non égaux à 1. Cela signifie que nous pouvons facilement inverser l'équation logarithmique :

Je suggère d'introduire une nouvelle variable :

log x + 1 (x − 0,5) = t

Dans ce cas, notre construction sera réécrite comme suit :

(t 2 − 1)/t = 0

Notez qu’au numérateur nous avons la différence des carrés. Nous révélons la différence des carrés à l'aide de la formule de multiplication abrégée :

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Une fraction est égale à zéro lorsque son numérateur est nul et son dénominateur non nul. Mais le numérateur contient un produit, nous assimilons donc chaque facteur à zéro :

t 1 = 1 ;

t 2 = −1 ;

t ≠ 0.

Comme on peut le voir, les deux valeurs de la variable t nous conviennent. Cependant, la solution ne s’arrête pas là, car nous devons trouver non pas t, mais la valeur de x. On revient au logarithme et on obtient :

log x + 1 (x − 0,5) = 1 ;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Mettons chacune de ces équations sous forme canonique :

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

On se débarrasse du signe du logarithme dans le premier cas et on assimile les arguments :

x − 0,5 = x + 1 ;

x−x = 1 + 0,5 ;

Une telle équation n’a pas de racines, donc la première équation logarithmique n’a pas non plus de racines. Mais avec la deuxième équation, tout est bien plus intéressant :

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

En résolvant la proportion, on obtient :

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Permettez-moi de vous rappeler que lors de la résolution d'équations logarithmiques, il est beaucoup plus pratique d'utiliser toutes les fractions décimales comme des fractions ordinaires, réécrivons donc notre équation comme suit :

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0 ;

x2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Nous avons devant nous l’équation quadratique ci-dessous, elle peut être facilement résolue en utilisant les formules de Vieta :

(x + 3/2) (x − 1) = 0 ;

x 1 = −1,5 ;

x2 = 1.

Nous avons deux racines - elles sont candidates pour résoudre l'équation logarithmique originale. Afin de comprendre quelles sont les racines de la réponse, revenons au problème initial. Nous allons maintenant vérifier chacune de nos racines pour voir si elles rentrent dans le domaine de définition :

1,5 ≠ x > 0,5 ; 0 ≠ X > −1.

Ces exigences équivalent à une double inégalité :

1 ≠ x > 0,5

De là on voit immédiatement que la racine x = −1,5 ne nous convient pas, mais x = 1 nous convient plutôt bien. Donc x = 1 est la solution finale de l’équation logarithmique.

Passons à la deuxième tâche :

bûche x 25 + bûche 125 x 5 = bûche 25 x 625

À première vue, il peut sembler que tous les logarithmes ont des bases et des arguments différents. Que faire de telles structures ? Tout d’abord, notez que les nombres 25, 5 et 625 sont des puissances de 5 :

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Profitons maintenant de la merveilleuse propriété du logarithme. Le fait est que vous pouvez extraire des pouvoirs d’un argument sous la forme de facteurs :

log a b n = n ∙ log a b

Cette transformation est également soumise à des restrictions dans le cas où b est remplacé par une fonction. Mais pour nous, b n’est qu’un nombre et aucune restriction supplémentaire ne s’impose. Réécrivons notre équation :

2 ∙ journal x 5 + journal 125 x 5 = 4 ∙ journal 25 x 5

Nous avons obtenu une équation à trois termes contenant le signe logarithmique. De plus, les arguments des trois logarithmes sont égaux.

Il est temps d'inverser les logarithmes pour les ramener à la même base - 5. Puisque la variable b est une constante, aucun changement dans le domaine de définition ne se produit. On réécrit simplement :

[Légende de la photo]

Comme prévu, les mêmes logarithmes sont apparus au dénominateur. Je suggère de remplacer la variable :

journal 5 x = t

Dans ce cas, notre équation sera réécrite comme suit :

Écrivons le numérateur et ouvrons les parenthèses :

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Revenons à notre fraction. Le numérateur doit être nul :

[Légende de la photo]

Et le dénominateur est différent de zéro :

t ≠ 0 ; t ≠ −3 ; t ≠ −2

Les dernières conditions sont remplies automatiquement, car elles sont toutes « liées » à des nombres entiers et toutes les réponses sont irrationnelles.

Donc, équation rationnelle fractionnaire résolu, les valeurs de la variable t sont trouvées. Revenons à la résolution de l'équation logarithmique et rappelons-nous ce qu'est t :

[Légende de la photo]

Nous réduisons cette équation à la forme canonique et obtenons un nombre de degré irrationnel. Ne vous laissez pas embrouiller : même de tels arguments peuvent être assimilés :

[Légende de la photo]

Nous avons deux racines. Plus précisément, deux réponses candidates - vérifions leur conformité avec le domaine de définition. Puisque la base du logarithme est la variable x, nous avons besoin de ce qui suit :

1 ≠ x > 0 ;

Avec le même succès nous affirmons que x ≠ 1/125, sinon la base du deuxième logarithme se transformera en unité. Enfin, x ≠ 1/25 pour le troisième logarithme.

Au total, nous avons reçu quatre restrictions :

1 ≠ x > 0 ; x ≠ 1/125 ; x ≠ 1/25

Maintenant, la question est : nos racines satisfont-elles à ces exigences ? Bien sûr, ils satisfont ! Parce que 5 à n'importe quelle puissance sera supérieur à zéro et que l'exigence x > 0 est automatiquement satisfaite.

Par contre, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, ce qui veut dire que ces restrictions pour nos racines (qui, je le rappelle, ont un nombre irrationnel dans l'exposant) sont également satisfaits, et les deux réponses sont des solutions au problème.

Nous avons donc la réponse finale. Points clés Il y en a deux dans ce problème :

1. Soyez prudent lorsque vous retournez un logarithme lorsque l'argument et la base sont inversés. De telles transformations imposent des restrictions inutiles sur la portée de la définition.
2. N'ayez pas peur de transformer des logarithmes : vous pouvez non seulement les retourner, mais aussi les ouvrir à l'aide de la formule de somme et généralement les modifier à l'aide de toutes les formules que vous avez étudiées lors de la résolution. expressions logarithmiques. Cependant, rappelez-vous toujours : certaines transformations élargissent la portée de la définition, tandis que d'autres la rétrécissent.

Nous connaissons tous les équations classes primaires. Là, nous avons également appris à résoudre les exemples les plus simples, et nous devons admettre qu'ils trouvent leur application même dans mathématiques supérieures. Tout est simple avec les équations, y compris les équations quadratiques. Si vous rencontrez des difficultés avec ce sujet, nous vous recommandons fortement de le consulter.

Vous avez probablement déjà étudié les logarithmes. Cependant, nous considérons qu'il est important de dire de quoi il s'agit pour ceux qui ne le savent pas encore. Un logarithme est assimilé à la puissance à laquelle il faut élever la base pour obtenir le nombre à droite du signe du logarithme. Donnons un exemple à partir duquel tout deviendra clair pour vous.

Si vous élevez 3 à la puissance quatrième, vous obtenez 81. Remplacez maintenant les nombres par analogie et vous comprendrez enfin comment les logarithmes sont résolus. Il ne reste plus qu'à combiner les deux concepts évoqués. Au premier abord, la situation semble extrêmement compliquée, mais après un examen plus approfondi, le poids se met en place. Nous sommes sûrs qu'après ce court article, vous n'aurez aucun problème dans cette partie de l'examen d'État unifié.

Il existe aujourd’hui de nombreuses façons de résoudre de telles structures. Nous vous parlerons des tâches les plus simples, les plus efficaces et les plus applicables dans le cas des tâches de l'examen d'État unifié. La résolution d’équations logarithmiques doit commencer dès le début. exemple simple. Les équations logarithmiques les plus simples sont constituées d'une fonction et d'une variable.

Il est important de noter que x est à l’intérieur de l’argument. A et b doivent être des nombres. Dans ce cas, vous pouvez simplement exprimer la fonction en termes de nombre et de puissance. Cela ressemble à ceci.

Bien entendu, résoudre une équation logarithmique à l’aide de cette méthode vous mènera à la bonne réponse. Le problème pour la grande majorité des étudiants dans ce cas est qu’ils ne comprennent pas ce qui vient d’où. Du coup, il faut supporter des erreurs et ne pas obtenir les points souhaités. L'erreur la plus offensante sera de mélanger les lettres. Pour résoudre l’équation de cette façon, vous devez mémoriser cette formule scolaire standard car elle est difficile à comprendre.

Pour vous faciliter la tâche, vous pouvez recourir à une autre méthode : la forme canonique. L'idée est extrêmement simple. Ramenez votre attention sur le problème. N'oubliez pas que la lettre a est un nombre, pas une fonction ou une variable. A n’est pas égal à un et supérieur à zéro. Il n'y a aucune restriction sur b. Or, de toutes les formules, retenons-en une. B peut être exprimé comme suit.

Il s'ensuit que toutes les équations originales avec logarithmes peuvent être représentées sous la forme :

Nous pouvons maintenant supprimer les logarithmes. Cela va fonctionner conception simple, ce que nous avons déjà vu plus tôt.

L’avantage de cette formule réside dans le fait qu’elle peut être utilisée dans une grande variété de cas, et pas seulement pour les conceptions les plus simples.

Ne vous inquiétez pas pour OOF !

De nombreux mathématiciens expérimentés remarqueront que nous n’avons pas prêté attention au domaine de la définition. La règle se résume au fait que F(x) est nécessairement supérieur à 0. Non, nous n’avons pas manqué ce point. Nous parlons maintenant d'un autre avantage sérieux de la forme canonique.

Il n'y aura pas de racines supplémentaires ici. Si une variable n’apparaît qu’à un seul endroit, alors une portée n’est pas nécessaire. Cela se fait automatiquement. Pour vérifier ce jugement, essayez de résoudre plusieurs exemples simples.

Comment résoudre des équations logarithmiques avec différentes bases

Ce sont déjà des équations logarithmiques complexes et l'approche pour les résoudre doit être particulière. Ici, il est rarement possible de se limiter à la fameuse forme canonique. Commençons notre histoire détaillée. On a la construction suivante.

Faites attention à la fraction. Il contient le logarithme. Si vous voyez cela dans une tâche, rappelez-vous une astuce intéressante.

Qu'est-ce que ça veut dire? Chaque logarithme peut être représenté comme le quotient de deux logarithmes avec une base pratique. Et cette formule a un cas particulier qui s'applique à cet exemple (nous voulons dire si c=b).

C'est exactement la fraction que nous voyons dans notre exemple. Ainsi.

Essentiellement, nous avons inversé la fraction et obtenu une expression plus pratique. Souvenez-vous de cet algorithme !

Nous avons maintenant besoin que l'équation logarithmique ne contienne pas des raisons différentes. Représentons la base sous forme de fraction.

En mathématiques, il existe une règle sur la base de laquelle vous pouvez déduire un diplôme à partir d’une base. Les résultats de construction suivants.

Il semblerait qu'est-ce qui nous empêche maintenant de transformer notre expression en forme canonique et de la résoudre de manière élémentaire ? Pas si simple. Il ne doit y avoir aucune fraction avant le logarithme. Réparons cette situation ! Les fractions peuvent être utilisées comme degrés.

Respectivement.

Si les bases sont les mêmes, nous pouvons supprimer les logarithmes et assimiler les expressions elles-mêmes. De cette façon, la situation deviendra beaucoup plus simple qu’elle ne l’était. Restera équation élémentaire, que chacun de nous a su résoudre dès la 8e ou même la 7e année. Vous pouvez faire les calculs vous-même.

Nous avons obtenu la seule vraie racine de cette équation logarithmique. Les exemples de résolution d’une équation logarithmique sont assez simples, n’est-ce pas ? Vous serez désormais en mesure de gérer de manière indépendante même les tâches les plus complexes pour préparer et réussir l'examen d'État unifié.

Quel est le résultat ?

Dans le cas de toute équation logarithmique, nous partons d'un point très règle importante. Il faut agir de manière à porter l'expression au maximum vue simple. Dans ce cas, vous aurez plus de chances non seulement de résoudre la tâche correctement, mais également de la faire de la manière la plus simple et la plus logique possible. C’est exactement ainsi que fonctionnent toujours les mathématiciens.

Nous vous déconseillons fortement de rechercher des chemins difficiles, surtout dans ce cas. Rappelez-vous quelques-uns règles simples, qui vous permettra de transformer n'importe quelle expression. Par exemple, réduisez deux ou trois logarithmes à la même base ou dérivez une puissance de la base et gagnez là-dessus.

Il convient également de rappeler que la résolution d’équations logarithmiques nécessite une pratique constante. Peu à peu, vous passerez à des structures de plus en plus complexes, ce qui vous amènera à résoudre en toute confiance toutes les variantes des problèmes de l'examen d'État unifié. Préparez vos examens bien à l’avance et bonne chance !

Équations logarithmiques. Du simple au complexe.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Qu'est-ce qu'une équation logarithmique ?

Il s'agit d'une équation avec des logarithmes. Je suis surpris, non ?) Ensuite, je vais clarifier. Il s'agit d'une équation dans laquelle se trouvent les inconnues (x) et les expressions qui les accompagnent. à l'intérieur des logarithmes. Et seulement là ! C'est important.

Voici quelques exemples équations logarithmiques:

journal 3 x = journal 3 9

journal 3 (x 2 -3) = journal 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Eh bien, vous comprenez... )

Note! Les expressions les plus diverses avec X se trouvent exclusivement dans les logarithmes. Si tout d’un coup un X apparaît quelque part dans l’équation dehors, Par exemple:

journal 2x = 3+x,

ce sera une équation type mixte. De telles équations n’ont pas de règles claires pour les résoudre. Nous ne les considérerons pas pour l'instant. À propos, il existe des équations où, à l'intérieur des logarithmes Seulement les chiffres. Par exemple:

Que puis-je dire ? Vous avez de la chance si vous tombez sur ça ! Le logarithme avec des nombres est un certain nombre. C'est tout. Il suffit de connaître les propriétés des logarithmes pour résoudre une telle équation. Connaissance de règles spéciales, de techniques adaptées spécifiquement à la résolution équations logarithmiques, pas requis ici.

Donc, qu'est-ce qu'une équation logarithmique- nous l'avons compris.

Comment résoudre des équations logarithmiques ?

Solution équations logarithmiques- la chose n'est en réalité pas très simple. Notre section est donc un quatre... Une quantité décente de connaissances sur toutes sortes de sujets connexes est requise. De plus, ces équations présentent une particularité. Et cette fonctionnalité est si importante qu'elle peut être qualifiée de problème principal dans la résolution d'équations logarithmiques. Nous traiterons ce problème en détail dans la prochaine leçon.

Pour l'instant, ne vous inquiétez pas. Nous irons dans le bon sens du simple au complexe. Sur exemples spécifiques. L'essentiel est de se plonger dans des choses simples et de ne pas être paresseux pour suivre les liens, je les mets là pour une raison... Et tout s'arrangera pour vous. Nécessairement.

Commençons par les équations les plus élémentaires et les plus simples. Pour les résoudre, il convient d'avoir une idée du logarithme, mais sans plus. Aucune idée logarithme, prendre une décision logarithmiqueéquations - en quelque sorte même gênantes... Très audacieux, je dirais).

Les équations logarithmiques les plus simples.

Ce sont des équations de la forme :

1. journal 3 x = journal 3 9

2. journal 7 (2x-3) = journal 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Processus de résolution n'importe quelle équation logarithmique consiste en le passage d'une équation avec logarithmes à une équation sans eux. Dans les équations les plus simples, cette transition s’effectue en une seule étape. C'est pourquoi ils sont les plus simples.)

Et de telles équations logarithmiques sont étonnamment faciles à résoudre. Voir par vous-même.

Résolvons le premier exemple :

journal 3 x = journal 3 9

Pour résoudre cet exemple, vous n’avez pas besoin de savoir presque quoi que ce soit, oui... Purement de l’intuition !) De quoi avons-nous besoin en particulier vous n'aimez pas cet exemple ? Quoi-quoi... Je n'aime pas les logarithmes ! Droite. Alors débarrassons-nous-en. On regarde bien l'exemple, et une envie naturelle naît en nous... Carrément irrésistible ! Prenez et jetez complètement les logarithmes. Et ce qui est bien c'est que Peut faire! Les mathématiques le permettent. Les logarithmes disparaissent la réponse est:

Super, non ? Cela peut (et devrait) toujours être fait. L'élimination des logarithmes de cette manière est l'un des principaux moyens de résoudre les équations et les inégalités logarithmiques. En mathématiques, cette opération s'appelle potentialisation. Bien entendu, il existe des règles pour une telle liquidation, mais elles sont peu nombreuses. Souviens-toi:

Vous pouvez éliminer les logarithmes sans aucune crainte s'ils ont :

a) les mêmes bases numériques

c) les logarithmes de gauche à droite sont purs (sans aucun coefficient) et sont dans un splendide isolement.

Permettez-moi de clarifier le dernier point. Dans l'équation, disons

journal 3 x = 2log 3 (3x-1)

Les logarithmes ne peuvent pas être supprimés. Les deux à droite ne le permettent pas. Le coefficient, vous savez... Dans l'exemple

journal 3 x+log 3 (x+1) = journal 3 (3+x)

Il est également impossible de potentialiser l'équation. Il n’y a pas de logarithme solitaire du côté gauche. Il y a deux d'entre eux.

En bref, vous pouvez supprimer les logarithmes si l'équation ressemble à ceci et uniquement à ceci :

log a (.....) = log a (.....)

Entre parenthèses, là où il y a des points de suspension, il peut y avoir toutes les expressions. Simple, super complexe, de toutes sortes. Peu importe. L'important est qu'après avoir éliminé les logarithmes, il nous reste équation plus simple. On suppose, bien entendu, que vous savez déjà comment résoudre des équations linéaires, quadratiques, fractionnaires, exponentielles et autres sans logarithmes.)

Vous pouvez maintenant facilement résoudre le deuxième exemple :

journal 7 (2x-3) = journal 7 x

En fait, cela se décide dans la tête. On potentialise, on obtient :

Eh bien, est-ce très difficile ?) Comme vous pouvez le voir, logarithmique une partie de la solution de l’équation est seulement en éliminant les logarithmes... Et puis vient la solution de l’équation restante sans eux. Une affaire triviale.

Résolvons le troisième exemple :

journal 7 (50x-1) = 2

On voit qu'il y a un logarithme à gauche :

Rappelons que ce logarithme est un nombre auquel il faut élever la base (soit sept) pour obtenir une expression sublogarithmique, soit (50x-1).

Mais ce nombre est deux ! D'après l'équation. C'est-à-dire:

C'est essentiellement tout. Logarithme disparu, Ce qui reste est une équation inoffensive :

Nous avons résolu cette équation logarithmique en nous basant uniquement sur la signification du logarithme. Est-il encore plus facile d'éliminer les logarithmes ?) Je suis d'accord. À propos, si vous faites un logarithme à partir de deux, vous pouvez résoudre cet exemple par élimination. N'importe quel nombre peut être transformé en logarithme. De plus, comme nous en avons besoin. Une technique très utile pour résoudre des équations logarithmiques et (surtout !) des inégalités.

Vous ne savez pas comment faire un logarithme à partir d'un nombre !? C'est bon. L'article 555 décrit cette technique en détail. Vous pouvez le maîtriser et l'utiliser au maximum ! Cela réduit considérablement le nombre d’erreurs.

La quatrième équation est résolue de manière tout à fait similaire (par définition) :

C'est ça.

Résumons cette leçon. Nous avons examiné la solution des équations logarithmiques les plus simples à l'aide d'exemples. Il est très important. Et pas seulement parce que de telles équations apparaissent dans les tests et examens. Le fait est que même les équations les plus diaboliques et les plus compliquées se réduisent nécessairement à la plus simple !

En fait, les équations les plus simples constituent la dernière partie de la solution. n'importe lequeléquations. Et cette dernière partie doit être comprise strictement ! Et plus loin. Assurez-vous de lire cette page jusqu'à la fin. Il y a une surprise là...)

Maintenant, nous décidons nous-mêmes. Allons mieux, pour ainsi dire...)

Trouvez la racine (ou la somme des racines, s'il y en a plusieurs) des équations :

ln(7x+2) = ln(5x+20)

journal 2 (x 2 +32) = journal 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

journal 2 (14x) = journal 2 7 + 2

Réponses (dans le désarroi, bien sûr) : 42 ; 12 ; 9 ; 25 ; 7; 1,5 ; 2 ; 16.

Quoi, tout ne marche pas ? Arrive. Ne t'inquiète pas! La section 555 explique la solution à tous ces exemples de manière claire et détaillée. Vous le comprendrez certainement là-bas. Vous apprendrez également des techniques pratiques utiles.

Tout s'est bien passé !? Tous les exemples de « il reste » ?) Félicitations !

Il est temps de vous révéler l’amère vérité. La résolution réussie de ces exemples ne garantit pas la réussite de la résolution de toutes les autres équations logarithmiques. Même les plus simples comme ceux-ci. Hélas.

Le fait est que la solution de toute équation logarithmique (même la plus élémentaire !) consiste à deux parts égales. Résoudre l'équation et travailler avec ODZ. Nous avons maîtrisé une partie : résoudre l'équation elle-même. Ce n'est pas si dur droite?

Pour cette leçon, j'ai spécialement sélectionné des exemples dans lesquels DL n'affecte en rien la réponse. Mais tout le monde n'est pas aussi gentil que moi, n'est-ce pas ?...)

Il est donc impératif de maîtriser l’autre partie. ODZ. C'est le principal problème de la résolution d'équations logarithmiques. Et ce n’est pas parce que c’est difficile : cette partie est encore plus facile que la première. Mais parce que les gens oublient tout simplement ODZ. Ou alors ils ne le savent pas. Ou les deux). Et ils tombent à l'improviste...

Dans la prochaine leçon, nous traiterons de ce problème. Vous pourrez alors décider en toute confiance n'importe lequel des équations logarithmiques simples et aborder des tâches assez solides.

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Expressions logarithmiques, résolution d'exemples. Dans cet article, nous examinerons les problèmes liés à la résolution de logarithmes. Les tâches posent la question de trouver le sens d'une expression. Il convient de noter que le concept de logarithme est utilisé dans de nombreuses tâches et qu’il est extrêmement important d’en comprendre la signification. Quant à l'examen d'État unifié, le logarithme est utilisé lors de la résolution d'équations, dans des problèmes appliqués, ainsi que dans des tâches liées à l'étude des fonctions.

Donnons des exemples pour comprendre le sens même du logarithme :

Identité logarithmique de base :

Propriétés des logarithmes qu'il faut toujours retenir :

*Logarithme du produit égal à la somme logarithmes de facteurs.

* * *

*Le logarithme d'un quotient (fraction) est égal à la différence entre les logarithmes des facteurs.

* * *

*Le logarithme d'un exposant est égal au produit de l'exposant par le logarithme de sa base.

* * *

*Transition vers une nouvelle fondation

* * *

Plus de propriétés :

* * *

Le calcul des logarithmes est étroitement lié à l'utilisation des propriétés des exposants.

Citons-en quelques-uns :

L'essence de cette propriété est que lorsque le numérateur est transféré au dénominateur et vice versa, le signe de l'exposant change à l'opposé. Par exemple:

Un corollaire de cette propriété :

* * *

Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, la base reste la même, mais les exposants sont multipliés.

* * *

Comme vous l’avez vu, le concept de logarithme en lui-même est simple. L'essentiel est ce qui est nécessaire bonnes pratiques, ce qui donne une certaine compétence. Bien entendu, la connaissance des formules est requise. Si les compétences nécessaires à la conversion de logarithmes élémentaires n'ont pas été développées, vous pouvez facilement commettre une erreur lors de la résolution de tâches simples.

Entraînez-vous, résolvez d'abord les exemples les plus simples du cours de mathématiques, puis passez aux exemples plus complexes. À l'avenir, je montrerai certainement comment les logarithmes « moches » sont résolus ; il n'y en aura aucun à l'examen d'État unifié, mais ils sont intéressants, ne les manquez pas !

C'est tout! Bonne chance à toi!

Cordialement, Alexandre Krutitskikh

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.