EntréeSolution d'équations trigonométriques homogènes. Equations trigonométriques homogènes : schéma de résolution général
Sujet de la leçon : "Homogène équations trigonométriques"
(10ème année)
Cibler: introduire le concept d'équations trigonométriques homogènes de degrés I et II ; formuler et élaborer un algorithme pour résoudre des équations trigonométriques homogènes de degrés I et II ; apprendre aux élèves à résoudre des équations trigonométriques homogènes de degrés I et II ; développer la capacité d'identifier des modèles, de généraliser; stimuler l'intérêt pour le sujet, développer un sens de la solidarité et une saine rivalité.
Type de leçon : une leçon dans la formation de nouvelles connaissances.
Formulaire de conduite : travailler en groupe.
Équipement: informatique, installation multimédia
Pendant les cours
Organisation du temps
Accueillir les étudiants, mobiliser l'attention.
Dans la leçon, un système de notation pour l'évaluation des connaissances (l'enseignant explique le système d'évaluation des connaissances, remplissant la fiche d'évaluation par un expert indépendant choisi par l'enseignant parmi les élèves). La leçon est accompagnée d'une présentation. .
Actualisation des connaissances de base.
Devoirs est vérifié et évalué par un expert indépendant et des consultants avant la leçon et une fiche d'évaluation est remplie.
Le professeur résume les devoirs.
Prof: Nous poursuivons notre étude du sujet « Équations trigonométriques ». Aujourd'hui, dans la leçon, nous apprendrons à vous connaître avec un autre type d'équations trigonométriques et des méthodes pour les résoudre, et donc nous répéterons ce que nous avons appris. Tous les types d'équations trigonométriques lorsqu'elles sont résolues sont réduites à résoudre les équations trigonométriques les plus simples.
Les devoirs individuels faits en groupe sont vérifiés. Soutenance de la présentation « Solutions des équations trigonométriques les plus simples »
(Le travail du groupe est évalué par un expert indépendant)
Motivation pour l'apprentissage.
Prof: Nous devons travailler sur la résolution d'un jeu de mots croisés. Après l'avoir résolu, nous apprendrons le nom d'un nouveau type d'équations que nous apprendrons à résoudre aujourd'hui dans la leçon.
Les questions sont projetées au tableau. Les élèves devinent, un expert indépendant inscrit les points sur la feuille de pointage des élèves qui répondent.
Après avoir résolu le jeu de mots croisés, les gars liront le mot «homogène».
Assimilation de nouvelles connaissances.
Prof: Le sujet de la leçon est "Equations trigonométriques homogènes".
Écrivons le sujet de la leçon dans un cahier. Les équations trigonométriques homogènes sont du premier et du second degré.
Ecrivons la définition d'une équation homogène du premier degré. J'utilise un exemple pour montrer la solution de ce type d'équation, vous composez un algorithme pour résoudre une équation trigonométrique homogène du premier degré.
Équation de type un sinx + b cosx = 0 est appelée une équation trigonométrique homogène du premier degré.
Considérons la solution de l'équation lorsque les coefficients un et dans différent de 0.
Exemple: sinx + cosx = 0
R 
en divisant les deux parties de l'équation terme à terme par cosx, on obtient
Attention! La division par 0 n'est possible que si cette expression ne se transforme nulle part en 0. Analysons. Si le cosinus est 0, alors il s'avère que le sinus sera 0, étant donné que les coefficients sont différents de 0, mais nous savons que le sinus et le cosinus s'annulent dans divers points. Par conséquent, cette opération peut être effectuée lors de la résolution de ce type d'équation.
Algorithme de résolution d'une équation trigonométrique homogène du premier degré : division des deux parties de l'équation par cosx, cosx 0
Équation de type un péché mx +b cos mx = 0 ils appellent aussi une équation trigonométrique homogène du premier degré et résolvent aussi la division des deux parties de l'équation par le cosinus mx.
Équation de type un péché 2 x +b barreur de sinx +c cos2x = 0 est appelée une équation trigonométrique homogène du second degré.
Exemple : péché 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x=0
Le coefficient a est différent de 0 et donc, comme dans l'équation précédente, cosx n'est pas égal à 0, et vous pouvez donc utiliser la méthode de division des deux parties de l'équation par cos 2 x.
On obtient tg 2 x + 2tgx - 3 = 0
On résout en introduisant une nouvelle variable soit tgx = a, puis on obtient l'équation
une 2 + 2a - 3 = 0
D \u003d 4 - 4 (-3) \u003d 16
une 1 = 1 une 2 = -3
Retour au remplacement
Répondre:
Si le coefficient a \u003d 0, alors l'équation prendra la forme 2sinx cosx - 3cos2x \u003d 0, nous la résolvons en prenant le facteur commun cosx entre parenthèses. Si le coefficient c \u003d 0, alors l'équation prendra la forme sin2x + 2sinx cosx \u003d 0, nous la résolvons en prenant le facteur commun sinx entre parenthèses. Algorithme de résolution d'une équation trigonométrique homogène du premier degré :
Voir si le terme asin2 x est dans l'équation.
Si le terme asin2 x est contenu dans l'équation (c'est-à-dire a 0), alors l'équation est résolue en divisant les deux côtés de l'équation par cos2x puis en introduisant une nouvelle variable.
Si le terme asin2 x n'est pas contenu dans l'équation (c'est-à-dire a = 0), alors l'équation est résolue par la méthode de factorisation : cosx est sorti des parenthèses. Les équations homogènes de la forme a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 sont résolues de la même manière
L'algorithme de résolution des équations trigonométriques homogènes est écrit dans le manuel à la page 102.
Minute d'éducation physique
Formation de compétences pour résoudre des équations trigonométriques homogènes
Ouvrir les cahiers de problèmes page 53
1er et 2ème groupe décident n° 361-c
3e et 4e groupe décident n° 363-v
Montrer la solution au tableau, expliquer, compléter. Un expert indépendant évalue.
Exemples de résolution du livre de problèmes n ° 361-c
sinx - 3cosx = 0
nous divisons les deux côtés de l'équation par cosx 0, nous obtenons 
N° 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
nous divisons les deux côtés de l'équation par cos2x, nous obtenons tg2x + tgx – 2 = 0
résoudre en introduisant une nouvelle variable
soit tgx = a, alors on obtient l'équation
a2 + a - 2 = 0
J = 9
a1 = 1 a2 = -2
retour au remplacement
Résoudre des équations.
2 cos - 2 = 0
2cos2x – 3cosx +1 = 0
3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0
A la fin du travail indépendant, le travail et la vérification mutuelle changent. Les bonnes réponses sont affichées au tableau.
Ils sont ensuite remis à un expert indépendant.
Solution à faire soi-même
Résumé de la leçon.
Quel genre d'équations trigonométriques avons-nous rencontrées dans la leçon ?
Algorithme de résolution d'équations trigonométriques du premier et du second degré.
Devoirs: § 20.3 lire. N ° 361 (d), 363 (b), difficulté accrue en plus du n ° 380 (a).
Mots croisés.
Si vous entrez les mots corrects, vous obtenez le nom de l'un des types d'équations trigonométriques.
La valeur de la variable qui transforme l'équation en une vraie égalité ? (Racine)
Unité d'angle ? (Radian)
Multiplicateur numérique dans le produit ? (Coefficient)
Branche des mathématiques qui étudie les fonctions trigonométriques ? (Trigonométrie)
Quel modèle mathématique est nécessaire pour l'introduction fonctions trigonométriques? (Cercle)
Laquelle des fonctions trigonométriques est paire ? (Cosinus)
Comment appelle-t-on la véritable égalité ? (Identité)
Égalité avec une variable ? (L'équation)
Des équations qui ont les mêmes racines ? (équivalent)
L'ensemble des racines de l'équation ? (Décision)
Document d'évaluation
№
n\n
Nom, nom de l'enseignant
Présentation
activité cognitive
étude
Résolution d'équations
Indépendant
Emploi
Devoirs - 12 points (3 équations 4 x 3 = 12 ont été données pour les devoirs)
Présentation - 1 point
Activité étudiante - 1 réponse - 1 point (4 points maximum)
Résolution d'équations 1 point
Travail indépendant - 4 points
Classement du groupe :
"5" - 22 points ou plus
« 4 » - 18 - 21 points
« 3 » - 12 - 17 points
Arrêt! Essayons tout de même de comprendre cette formule encombrante.
En premier lieu devrait être la première variable du degré avec un certain coefficient. Dans notre cas, cela
Dans notre cas, c'est le cas. Comme nous l'avons découvert, cela signifie qu'ici le degré de la première variable converge. Et la deuxième variable du premier degré est en place. Coefficient.
Nous l'avons.
La première variable est exponentielle, et la seconde variable est au carré, avec un coefficient. C'est le dernier terme de l'équation.
Comme vous pouvez le voir, notre équation correspond à la définition sous la forme d'une formule.
Examinons la deuxième partie (verbale) de la définition.
Nous avons deux inconnues et. Il converge ici.
Considérons tous les termes. En eux, la somme des degrés des inconnues doit être la même.
La somme des puissances est égale.
La somme des puissances est égale à (at et at).
La somme des puissances est égale.
Comme vous pouvez le voir, tout s'adapte !
Entraînons-nous maintenant à définir des équations homogènes.
Déterminez lesquelles des équations sont homogènes :
Équations homogènes - équations avec des nombres :
Considérons l'équation séparément.
Si on divise chaque terme en développant chaque terme, on obtient
Et cette équation tombe complètement sous la définition des équations homogènes.
Comment résoudre des équations homogènes ?
Exemple 2
Divisons l'équation par.
Selon notre condition, y ne peut pas être égal. Par conséquent, nous pouvons diviser en toute sécurité par
En substituant, on obtient un simple équation quadratique:
Puisqu'il s'agit d'une équation quadratique réduite, nous utilisons le théorème de Vieta :
En faisant la substitution inverse, on obtient la réponse
Répondre:
Exemple 3
Divisez l'équation par (par condition).
Répondre:
Exemple 4
Trouvez si.
Ici, vous n'avez pas besoin de diviser, mais de multiplier. Multipliez l'équation entière par :
Faisons un remplacement et résolvons l'équation quadratique :
En faisant la substitution inverse, on obtient la réponse :
Répondre:
Solution d'équations trigonométriques homogènes.
La résolution d'équations trigonométriques homogènes n'est pas différente des méthodes de résolution décrites ci-dessus. Seulement ici, entre autres, vous devez connaître un peu de trigonométrie. Et être capable de résoudre des équations trigonométriques (pour cela vous pouvez lire la section).
Considérons ces équations sur des exemples.
Exemple 5
Résous l'équation.
On voit un typique équation homogène: et sont des inconnues, et la somme de leurs puissances dans chaque terme est égale.
Des équations homogènes similaires ne sont pas difficiles à résoudre, mais avant de diviser les équations en, considérons le cas où
Dans ce cas, l'équation prendra la forme : Mais le sinus et le cosinus ne peuvent pas être égaux en même temps, car selon le principe identité trigonométrique. Par conséquent, nous pouvons le diviser en toute sécurité en:
Puisque l'équation est réduite, alors selon le théorème de Vieta :
Répondre:
Exemple 6
Résous l'équation.
Comme dans l'exemple, vous devez diviser l'équation par. Prenons le cas où :
Mais le sinus et le cosinus ne peuvent pas être égaux en même temps, car selon l'identité trigonométrique de base. Alors.
Faisons une substitution et résolvons l'équation quadratique :
Faisons la substitution inverse et trouvons et :
Répondre:
Solution d'équations exponentielles homogènes.
Les équations homogènes sont résolues de la même manière que celles considérées ci-dessus. Si vous avez oublié comment décider équations exponentielles- voir la section correspondante () !
Regardons quelques exemples.
Exemple 7
Résous l'équation
Imaginez comment :
Nous voyons une équation homogène typique, avec deux variables et une somme de puissances. Divisons l'équation en :
Comme vous pouvez le voir, après avoir effectué le remplacement, on obtient l'équation quadratique réduite (dans ce cas, il ne faut pas avoir peur de diviser par zéro - elle est toujours strictement supérieure à zéro) :
D'après le théorème de Vieta :
Répondre: .
Exemple 8
Résous l'équation
Imaginez comment :
Divisons l'équation en :
Faisons un remplacement et résolvons l'équation quadratique :
La racine ne satisfait pas la condition. On fait la substitution inverse et on trouve :
Répondre:
ÉQUATIONS HOMOGÈNES. NIVEAU MOYEN
Tout d'abord, en utilisant un exemple d'un problème, permettez-moi de vous rappeler quelles sont les équations homogènes et quelle est la solution des équations homogènes.
Résoudre le problème:
Trouvez si.
Ici vous pouvez remarquer une chose curieuse : si nous divisons chaque terme par, nous obtenons :
Autrement dit, maintenant il n'y a pas de et séparé, - maintenant la valeur souhaitée est la variable dans l'équation. Et c'est une équation quadratique ordinaire, qui est facile à résoudre en utilisant le théorème de Vieta : le produit des racines est égal, et la somme est les nombres et.
Répondre:
Équations de la forme
dit homogène. C'est-à-dire qu'il s'agit d'une équation à deux inconnues, dans chaque terme de laquelle il y a la même somme des puissances de ces inconnues. Par exemple, dans l'exemple ci-dessus, ce montant est égal à. La résolution des équations homogènes s'effectue en divisant par l'une des inconnues de ce degré :
Et le changement ultérieur de variables : . Ainsi, on obtient une équation de degré à une inconnue :
Le plus souvent, nous rencontrerons des équations du second degré (c'est-à-dire quadratiques), et nous pourrons les résoudre :
Notez que diviser (et multiplier) l'ensemble de l'équation par une variable n'est possible que si l'on est convaincu que cette variable ne peut pas être égale à zéro ! Par exemple, si on nous demande de trouver, nous comprenons immédiatement cela, puisqu'il est impossible de diviser. Dans les cas où cela n'est pas si évident, il est nécessaire de vérifier séparément le cas où cette variable est égale à zéro. Par example:
Résous l'équation.
Décision:
Nous voyons ici une équation homogène typique : et sont des inconnues, et la somme de leurs puissances dans chaque terme est égale.
Mais, avant de diviser par et d'obtenir l'équation quadratique avec respect, nous devons considérer le cas où. Dans ce cas, l'équation prendra la forme : , d'où . Mais le sinus et le cosinus ne peuvent pas être égaux à zéro en même temps, car selon l'identité trigonométrique de base :. Par conséquent, nous pouvons le diviser en toute sécurité en:
J'espère que cette solution est complètement claire? Sinon, lisez la section. S'il n'est pas clair d'où il vient, vous devez revenir encore plus tôt - à la section.
Décider vous-même:
- Trouvez si.
- Trouvez si.
- Résous l'équation.
Ici je vais brièvement écrire directement la solution des équations homogènes :
Solutions:
Répondre: .
Et ici il ne faut pas diviser, mais multiplier :
Répondre:
Si vous n'avez pas encore étudié les équations trigonométriques, vous pouvez ignorer cet exemple.
Puisqu'ici nous devons diviser par, nous nous assurerons d'abord qu'il ne zéro:
Et c'est impossible.
Répondre: .
ÉQUATIONS HOMOGÈNES. EN BREF SUR LE PRINCIPAL
La solution de toutes les équations homogènes est réduite à la division par l'une des inconnues du degré et à un changement ultérieur de variables.
Algorithme:
Vous pouvez commander solution détaillée ta tâche!!!
Une égalité contenant une inconnue sous le signe d'une fonction trigonométrique (`sin x, cos x, tg x` ou `ctg x`) est appelée une équation trigonométrique, et nous examinerons leurs formules plus loin.
Les équations les plus simples sont `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, où `x` est l'angle à trouver, `a` est n'importe quel nombre. Écrivons les formules racine pour chacun d'eux.
1. Équation `sin x=a`.
Pour `|a|>1` il n'y a pas de solution.
Avec `|a| \leq 1` possède une infinité de solutions.
Formule racine : `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Équation `cos x=a`
Pour `|a|>1` - comme dans le cas du sinus, il n'y a pas de solutions parmi les nombres réels.
Avec `|a| \leq 1` possède une infinité de solutions.
Formule racine : `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Cas particuliers du sinus et du cosinus dans les graphes. 
3. Équation `tg x=a`
Possède un nombre infini de solutions pour toutes les valeurs de 'a'.
Formule racine : `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Équation `ctg x=a`
Il a également un nombre infini de solutions pour toutes les valeurs de 'a'.
Formule racine : `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formules pour les racines des équations trigonométriques dans le tableau
Pour les sinus : 
Pour le cosinus : 
Pour la tangente et la cotangente : 
Formules pour résoudre des équations contenant des fonctions trigonométriques inverses :
Méthodes de résolution d'équations trigonométriques
La résolution de toute équation trigonométrique comprend deux étapes :
- utiliser pour le convertir au plus simple;
- résoudre l'équation simple résultante en utilisant les formules ci-dessus pour les racines et les tables.
Considérons les principales méthodes de résolution à l'aide d'exemples.
méthode algébrique.
Dans cette méthode, le remplacement d'une variable et sa substitution dans l'égalité sont effectués.
Exemple. Résolvez l'équation : `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
faire un remplacement : `cos(x+\frac \pi 6)=y`, puis `2y^2-3y+1=0`,
on trouve les racines : `y_1=1, y_2=1/2`, d'où découlent deux cas :
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Réponse : `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Factorisation.
Exemple. Résolvez l'équation : `sin x+cos x=1`.
Décision. Déplacer vers la gauche tous les termes d'égalité : `sin x+cos x-1=0`. En utilisant , nous transformons et factorisons le côté gauche :
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Réponse : `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Réduction à une équation homogène
Tout d'abord, vous devez amener cette équation trigonométrique à l'une des deux formes suivantes :
`a sin x+b cos x=0` (équation homogène du premier degré) ou `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (équation homogène du second degré).
Divisez ensuite les deux parties par `cos x \ne 0` pour le premier cas, et par `cos^2 x \ne 0` pour le second. Nous obtenons des équations pour `tg x` : `a tg x+b=0` et `a tg^2 x + b tg x +c =0`, qui doivent être résolues à l'aide de méthodes connues.
Exemple. Résolvez l'équation : `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Décision. Écrivons le côté droit comme `1=sin^2 x+cos^2 x` :
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.
C'est une équation trigonométrique homogène du second degré, divisant ses parties gauche et droite par `cos^2 x \ne 0`, on obtient :
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x - 2=0`. Introduisons le remplacement `tg x=t`, comme résultat `t^2 + t - 2=0`. Les racines de cette équation sont 't_1=-2' et 't_2=1'. Puis:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Répondre. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Aller au demi-coin
Exemple. Résolvez l'équation : `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Décision. En appliquant les formules du double angle, le résultat est : `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 TG^2 x/2 - 11 TG x/2 +6=0`
En appliquant la méthode algébrique décrite ci-dessus, on obtient :
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Répondre. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Introduction d'un angle auxiliaire
Dans l'équation trigonométrique `a sin x + b cos x =c`, où a,b,c sont des coefficients et x est une variable, nous divisons les deux parties par `sqrt (a^2+b^2)` :
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.
Les coefficients du côté gauche ont les propriétés du sinus et du cosinus, à savoir que la somme de leurs carrés est égale à 1 et que leur module n'est pas supérieur à 1. Notons-les comme suit : `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, alors :
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Examinons de plus près l'exemple suivant :
Exemple. Résolvez l'équation : '3 sin x+4 cos x=2'.
Décision. En divisant les deux côtés de l'équation par `sqrt (3^2+4^2)`, nous obtenons :
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Notons `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Puisque `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, on prend `\varphi=arcsin 4/5` comme angle auxiliaire. On écrit alors notre égalité sous la forme :
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
En appliquant la formule de la somme des angles pour le sinus, nous écrivons notre égalité sous la forme suivante :
`sin(x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Répondre. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Équations trigonométriques fractionnaires-rationnelles
Ce sont des égalités avec des fractions, dans les numérateurs et les dénominateurs dont il y a des fonctions trigonométriques.
Exemple. Résous l'équation. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Décision. Multipliez et divisez le côté droit de l'équation par `(1+cos x)`. En conséquence, nous obtenons :
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Étant donné que le dénominateur ne peut pas être nul, nous obtenons `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Égalez le numérateur de la fraction à zéro : `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Alors `sin x=0` ou `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Sachant que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, les solutions sont `x=2\pi n, n \in Z` et `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Répondre. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
La trigonométrie, et les équations trigonométriques en particulier, sont utilisées dans presque tous les domaines de la géométrie, de la physique et de l'ingénierie. L'étude commence en 10e année, il y a toujours des tâches pour l'examen, alors essayez de vous souvenir de toutes les formules des équations trigonométriques - elles vous seront certainement utiles !
Cependant, vous n'avez même pas besoin de les mémoriser, l'essentiel est de comprendre l'essence et de pouvoir en déduire. Ce n'est pas aussi difficile qu'il n'y paraît. Voyez par vous-même en regardant la vidéo.
Type de leçon : explication du nouveau matériel. Le travail se fait en groupe. Chaque groupe a un expert qui supervise et dirige le travail des étudiants. Aide les élèves faibles à croire en leur force pour résoudre ces équations.
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Leçon connexe
" Équations trigonométriques homogènes"
(10ème année)
Cibler:
- introduire le concept d'équations trigonométriques homogènes de degrés I et II ;
- formuler et élaborer un algorithme pour résoudre des équations trigonométriques homogènes de degrés I et II ;
- apprendre aux élèves à résoudre des équations trigonométriques homogènes de degrés I et II ;
- développer la capacité d'identifier des modèles, de généraliser;
- stimuler l'intérêt pour le sujet, développer un sens de la solidarité et une saine rivalité.
Type de leçon : une leçon dans la formation de nouvelles connaissances.
Formulaire de conduite: travail en groupe.
Equipement : ordinateur, installation multimédia
Pendant les cours
I. Moment organisationnel
Dans la leçon, un système de notation pour l'évaluation des connaissances (l'enseignant explique le système d'évaluation des connaissances, remplissant la fiche d'évaluation par un expert indépendant choisi par l'enseignant parmi les élèves). La leçon est accompagnée d'une présentation. Annexe 1.
Fiche d'évaluation n°
n\n | Nom Prénom | Devoirs | activité cognitive | Résolution d'équations | Indépendant Emploi | Grade |
II. Mise à jour des connaissances de base..
Nous poursuivons notre étude du sujet « Équations trigonométriques ». Aujourd'hui, dans la leçon, nous apprendrons à vous connaître avec un autre type d'équations trigonométriques et des méthodes pour les résoudre, et donc nous répéterons ce que nous avons appris. Tous les types d'équations trigonométriques lorsqu'elles sont résolues sont réduites à résoudre les équations trigonométriques les plus simples. Rappelons les principaux types d'équations trigonométriques les plus simples. Utilisez les flèches pour faire correspondre les expressions.
III. Motivation pour l'apprentissage.
Nous devons travailler sur la résolution d'un jeu de mots croisés. Après l'avoir résolu, nous apprendrons le nom d'un nouveau type d'équations que nous apprendrons à résoudre aujourd'hui dans la leçon.
Les questions sont projetées au tableau. Les élèves devinent, un expert indépendant inscrit les points sur la feuille de pointage des élèves qui répondent.
Après avoir résolu le jeu de mots croisés, les gars liront le mot «homogène».
Mots croisés.
Si vous entrez les mots corrects, vous obtenez le nom de l'un des types d'équations trigonométriques.
1. La valeur de la variable qui transforme l'équation en une vraie égalité ? (Racine)
2. Unité de mesure des angles ? (Radian)
3. Multiplicateur numérique dans le produit ? (Coefficient)
4. Une section de mathématiques qui étudie les fonctions trigonométriques ? (Trigonométrie)
5. Quel modèle mathématique est nécessaire pour introduire des fonctions trigonométriques ? (Cercle)
6. Laquelle des fonctions trigonométriques est paire ? (Cosinus)
7. Quel est le nom de la véritable égalité ? (Identité)
8.Egalité avec une variable ? (L'équation)
9. Des équations avec les mêmes racines ? (équivalent)
10. Ensemble de racines de l'équation ? (Décision)
IV. Explication du nouveau matériel.
Le sujet de la leçon est "Equations trigonométriques homogènes". (Présentation)
Exemples:
- sin x + cos x = 0
- √3cos x + sin x = 0
- sin4x = cos4x
- 2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
- 4 péché 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
- sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos 2 x + 2 = 0
- 4 sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
- 1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
- sin2x + 2cos2x = 1
V. Travail indépendant
Objectifs : tester de manière exhaustive les connaissances des élèves lors de la résolution de tous types d'équations trigonométriques, inciter les élèves à l'introspection, à la maîtrise de soi.
Les étudiants sont invités à compléter 10 minutes de travail écrit.
Les élèves jouent sur des feuilles de papier vierges pour la copie. Une fois le temps écoulé, les sommets des travaux indépendants sont collectés et les solutions de copie restent avec les étudiants.
La vérification du travail indépendant (3 min) est effectuée par vérification mutuelle.
. Les élèves vérifient le travail écrit de leur voisin avec un stylo de couleur et notent le nom du vérificateur. Ensuite, remettez les feuilles.
Ils sont ensuite remis à un expert indépendant.
Option 1 : 1) sin x = √3cos x
2) 3 sin 2 x - 7 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0
3) 3 sin x – 2 sin x cos x = 1
4) sin2x⁄sinx=0
Option 2 : 1) cosx + √3sin x = 0
2)2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0
3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x
4) cos 2x ⁄ cos x = 0
VI. Résumé de la leçon
VII. Devoirs:
Devoirs - 12 points (3 équations 4 x 3 = 12 ont été données pour les devoirs)
Activité étudiante - 1 réponse - 1 point (4 points maximum)
Résolution d'équations 1 point
Travail indépendant - 4 points
Professeur : Sinitsina S.I.
École secondaire MBOU n ° 20 du nom de Milevsky N.I.
Sujet : Équations trigonométriques homogènes (10e année)
Objectifs : Introduire le concept d'équations trigonométriques homogènes de degrés I et II ;
Formuler et élaborer un algorithme de résolution trigonométrique homogène
équations de degré I et II ;
Consolider les compétences de résolution de tous les types d'équations trigonométriques à travers
le développement et l'amélioration des compétences pour appliquer les connaissances existantes dans un
situations, grâce à la capacité de tirer des conclusions et de généraliser
Éducation chez les élèves de la précision, culture du comportement.
Type de leçon: une leçon dans la formation de nouvelles connaissances.
Matériel : ordinateur, projecteur multimédia, écran, tableau blanc, présentation
Pendant les cours
I. Moment organisationnel
Accueillir les étudiants, mobiliser l'attention.
II. Actualisation des connaissances de base ( Les devoirs sont vérifiés par des consultants avant le cours. Le professeur résume les devoirs.)
Enseignant : Nous continuons à étudier le sujet "Équations trigonométriques". Aujourd'hui, dans la leçon, nous apprendrons à vous connaître avec un autre type d'équations trigonométriques et des méthodes pour les résoudre, et donc nous répéterons ce que nous avons appris. Tous les types d'équations trigonométriques lorsqu'elles sont résolues sont réduites à résoudre les équations trigonométriques les plus simples.
travail oral
- Quelle équation appelle-t-on trigonométrique ?
- Nommez l'algorithme pour résoudre l'équation cos t = a
- Nommez l'algorithme pour résoudre l'équation sin t = a
III. Motivation pour l'apprentissage.
Enseignant : Nous devons travailler sur la résolution d'un jeu de mots croisés. Après l'avoir résolu, nous apprendrons le nom d'un nouveau type d'équations que nous apprendrons à résoudre aujourd'hui dans la leçon.
Les questions sont projetées au tableau. Après avoir résolu le jeu de mots croisés, les gars liront le mot «homogène».
1. La valeur de la variable qui transforme l'équation en une vraie égalité ? (Racine)
2. Unité de mesure des angles ? (Radian)
3. Multiplicateur numérique dans le produit ? (Coefficient)
4. Une section de mathématiques qui étudie les fonctions trigonométriques ? (Trigonométrie)
5. Quel modèle mathématique est nécessaire pour introduire des fonctions trigonométriques ? (Cercle)
6. Laquelle des fonctions trigonométriques est paire ? (Cosinus)
7. Quel est le nom de la véritable égalité ? (Identité)
8.Egalité avec une variable ? (Équations)
9. Des équations avec les mêmes racines ? (équivalent)
10. Ensemble de racines de l'équation ? (Décision)
IV. Explication du nouveau sujet
Enseignant : Le sujet de la leçon est « Équations trigonométriques homogènes ».
Écrivons le sujet de la leçon dans un cahier. Les équations trigonométriques homogènes sont du premier et du second degré.
Ecrivons la définition d'une équation homogène du premier degré. J'utilise un exemple pour montrer la solution de ce type d'équation, vous composez un algorithme pour résoudre une équation trigonométrique homogène du premier degré.
Équation de type et sinx + b cosx = 0 est appelée une équation trigonométrique homogène du premier degré.
Considérons la solution de l'équation lorsque les coefficients a et b sont différents de 0.
Exemple 1: 2sinx - 3cosx = 0
En divisant les deux côtés de l'équation terme à terme par cosx, on obtient
2sinx/ cosx - 3cosx/ cosx = 0
2 TG X-3=0,tg X =3/2, X= arctg3/2 + πn, nє Z,
Attention! Il n'est possible de diviser par la même expression que si cette expression ne vire nulle part à 0. Analysons. Si le cosinus est 0, alors pour que l'expression entière se transforme en 0, le sinus doit également être égal à 0 (nous tenons compte du fait que les coefficients sont différents de 0). Mais nous savons que le sinus et le cosinus disparaissent à différents points. Par conséquent, une telle opération peut être effectuée lors de la résolution de ce type d'équations.
Équation de type et sin mx + b cos mx = 0 est également appelée une équation trigonométrique homogène du premier degré et est également résolue en divisant les deux parties de l'équation par cos mx.
Équation de type un sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 est appelée une équation trigonométrique homogène du second degré.
Exemple2: sin 2 x – 3 sinx cosx +2 cos 2 x = 0
Le coefficient a est différent de 0 et donc, comme dans l'équation précédente, cosx 0 et donc vous pouvez utiliser la méthode de division des deux parties de l'équation par cos 2 x.
On obtient tg 2 x - 3 tgx +2 = 0
On résout en introduisant une nouvelle variable soit tgx = a, puis on obtient l'équation
une 2 -3 une +2 = 0 une 1 = 1 une 2 = 2
Retour au remplacement
tgx =1, x = ¼π+ πn, nє Z tgx = 2 , x = arctg 2 + πn, nє Z
Réponse : x = ¼π + πn, nє Z, x = arctg 2 + πn, nє Z
Si le coefficient a \u003d 0, alors l'équation prendra la forme -3sinx cosx + 2cos 2 x \u003d 0, nous la résolvons en prenant le facteur commun - cosx entre parenthèses: - cosx (3 sinx - 2cosx) \u003d 0,
cosx = 0 ou 3sinx – 2cosx = 0. La deuxième équation est une équation homogène du premier degré.
Si le coefficient c \u003d 0, alors l'équation prendra la forme sin 2 x -3sinx cosx \u003d 0, nous la résolvons en prenant le multiplicateur commun sinx entre parenthèses: sinx (sinx -3 cosx) \u003d 0,
sinx = 0 ou sinx -3 cosx = 0. La deuxième équation est une équation homogène du premier degré.
Algorithme de résolution d'une équation trigonométrique homogène du second degré :
1. Voyez s'il existe un terme a sin 2 x dans l'équation.
2. Si le terme asin 2 x est contenu dans l'équation (c'est-à-dire a 0), alors l'équation est résolue en divisant
les deux parties de l'équation sur cos 2 x et introduction subséquente d'une nouvelle variable a = tgx
3. Si le terme asin 2 x n'est pas contenu dans l'équation (c'est-à-dire a = 0), alors l'équation est résolue par la méthode de factorisation : cosx est sorti des parenthèses.
Équations homogènes de la forme a sin 2 mx + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0 résolu de la même manière
V. Assimilation de nouvelles connaissances
Ces équations sont-elles homogènes ?
- sin x = 2 cos x
- sin5x + cos5x = 0
- sin 3x - cos 3x = 2
- sin 2 8x – 5 sin8x cos8x +2 cos 2 8x =0
VI. Education physique
VII. Formation de compétences pour résoudre des équations trigonométriques homogènes
Nous ouvrons les cahiers de problèmes p.47 n° 18.10 (a), n° 18.11 (a, b), 18.12 (d)
VIII. Travail indépendant ( les élèves choisissent des tâches différenciées selon deux options)
1 choix 2 choix
1) sinx + 2cosx = 0. 1) sinx - 4cosx = 0.
2) sin 2 x + 2 sinx cosx -3 cos 2 x = 0 2) sin 2 x - 4 sinx cosx +3 cos 2 x = 0
3) 2sin 2 2x – 5 sin2x cos2x +2 cos 2 2x = 0 3) 3sin 2 3x +10 sin3x cos3x +3 cos 2 3x = 0
Les bonnes réponses sont affichées au tableau.
IX. Résumer la leçon, noter
Quel genre d'équations trigonométriques avons-nous rencontrées dans la leçon ?
Quelles équations appelle-t-on homogène ?
Formuler des algorithmes pour résoudre des équations trigonométriques homogènes du premier et du second degré.
X. Devoirs : Composer et résoudre 2 équations homogènes du premier degré et 1 équation homogène du second degré